Wasserstein距离下的模型风险度量

2022-6-10 17:22:27

Wasserstein距离下的模型风险度量Yu Feng+和Erik Schl+++悉尼理工大学定量金融研究中心，2019年3月5日摘要本文提出了一种基于两个概率度量之间的Wasserstein距离的模型风险度量新方法。它阐述了稳健风险管理的竞争对手的解释所产生的理论动机。所提议的方法考虑了等效和非等效可能性度量，并结合了对手的经济现实。它提供了实际可行的结果，克服了仅考虑意味着与参考模型等效的概率度量的模型的限制。Wasserstein方法适用于各种类型的模型风险问题，从单资产对冲风险问题到多资产配置问题。考虑相关风险的稳健资本市场线，无法通过其他非参数方法实现。1简介目前关于稳健风险管理的大多数工作要么侧重于参数不确定性，要么依赖于模型之间的比较。除此之外，Glassermand Xu最近提出了一种非参数方法[7]。在此框架下，在参考模型的邻域中的所有备选模型中找到最坏情况模型。Glasserman和Xu采用Kullback-Leibler散度（即相对熵）来衡量替代模型和参考模型之间的距离。他们还建议使用α-散度来避免在Kullback-Leibler散度下引起可积性问题的重尾。Kullback-Leibler散度和α散度都是f散度的特例[1，2，3]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:22:31

使用f-散度的一个大问题是，只有当替代度量相对于参考度量绝对连续时，才能很好地定义f-散度。这限制了备选模型的范围。在某些情况下，我们可能希望搜索所有可能的概率度量，无论它们是否绝对连续。当我们将这种方法应用于波动率时，情况尤其如此，波动率对应于过程的二次变化。如果这个过程是由布朗运动驱动的，那么在绝对连续测度上搜索就排除了与波动性相关的任何模型风险。在图1（a）中，参考模型下的波动率分布为Dirac-δ函数。解释波动性风险的最坏情况是波动性分布广泛。然而，在这种情况下，f-分歧没有得到很好的定义，因此最坏的情况只是被忽略了。图1：（a）狄拉克测度支持单点。具有广泛分布的替代模型不能与使用f-散度的参考模型相关联。（b）度量空间中的状态转移。f-分歧不涉及度量，因此从状态1到状态2的转换与从状态1到状态3的转换所需的成本相同。此外，金融从业者所考虑的状态空间通常配有一个自然指标。例如，证券的价格从正实数集合中取值，因此自然继承了欧几里德度量。假设有一个分化过程，证券的价格会沿着一条连续的路径移动。这意味着价格大幅变动的可能性小于价格小幅变动的可能性，这意味着与参考模型的偏差更大。然而，在使用f-散度时，没有明确考虑由自然度量度量度量的移动距离。无花果

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:22:34

1（b）显示了与证券价格的三种分布相对应的三种模型。假设采用模型1作为参考模型，则模型2作为替代模型的可能性明显高于模型3。然而，我们无法使用任何类型的偏离来区分差异，因为模型具有不相交的支持。为了解决这些问题，我们建议采用Wasserstein度量来度量概率度量之间的距离。依赖于状态空间中设置的度量，Wasserstein度量适用于任何两种度量，即使它们的支持是互斥的。因此，拟议的Wasserteinapproach考虑了所有替代措施，而不仅仅是绝对连续的措施。这些特性使我们能够解决上述f-CEA的两个问题。对于金融从业者来说，当处理具有子空间支持的参考度量（如aDirac度量）时，所提出的方法特别有用。本文的组织方式如下。第。2.1提供概念介绍，包括直观的动机和有关Wassersteinmetric及其相关运输理论的基础知识。第。3.1是提供问题公式和主要结果的理论部分。它还包括实践考虑和不同方法之间的比较。第。4给出了数学金融中的一些测试应用，从波动性风险操作定价和对冲到稳健的投资组合优化。2基本概念2.1动机和对手解释为了直观地说明模型风险的概念，我们从一个简单的混凝土状态空间开始。例如，信用评级为顺序，例如A+、A、A-、BBB+，等等。假设我们有一个参考模型，说明在一个月内，机构的信用评级可以是A+、A-或BBB+。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:22:38

参考模型为这三种状态分配了25%、50%和25%的概率。由于我们没有完整的信息，模型风险的存在要么是因为三个州的实际概率不同，要么是因为其他评级仍然可行。格拉斯曼（Glasserman）和徐（Xu）提出了所谓的“对手”解释，这意味着一个敌对的对手会干扰我们的概率[7]。通过干扰概率，对手本质上增加了新的信息，受到其信息熵预算的限制。例如，如果对手希望将5%的几率从A+移动到BBB+，则其相对熵消耗为0.2 ln0.20.25+ 0.3英寸0.30.25= 0.01（1）现在假设对手希望将5%的概率移动到BBB，在参考度量下，BBB是一种概率为0的状态。相对密度0.2 ln的消耗0.20.25+ 0.05磅0.05（2）变得不确定。这仅仅意味着，无论对手有多大的控制权，这种干扰都是不可能的。在概率论的语言中，只有当新度量相对于标称度量是绝对连续的时，相对性才得到很好的定义。为了对模型风险进行更一般的量化，我们可以重新定义所需的扰动成本。我们没有使用相对熵，而是考虑状态转换的成本（称为运输成本）。这种运输成本通常由状态空间的某些度量给出。为简单起见，我们假设两个信用评级之间的距离由两者之间的评级数给出，例如d（A+，A-）=2和d（A+，BBB+）=3。我们计算最后一段中讨论的两种扰动的加权平均运输成本：1。将5%的机会从A+转移到BBB+：运输成本=5%×3=0.152。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:22:41

将5%的机会从A+转移到BBB：运输成本=5%×4=0.2第二类扰动只涉及比第一类稍大的成本，而不是有限的成本。使用上述运输成本，可以衡量对手所有替代措施的成本，而不仅仅是绝对连续的措施。它可以提供高度集中的状态转换。为了说明这一点，请考虑从状态A+的转换。好斗的对手只会在一个方向上推高评级。这意味着活动代理执行的传输可以用状态空间T上的（确定性）地图表示：Ohm → Ohm. T被称为交通图【4】。事实上，假设活动代理（因此是最坏的情况）将状态a+转换为状态，例如BBB+是最理想的。agent没有动机将任何概率质量从A+传输到其他状态。这是运输成本线性的结果，将在下一节中进一步说明。格拉斯曼（Glasserman）和徐（Xu）对模型风险的解释涉及到一个竞争对手，但没有明确考虑其经济性质。他们认为，广告人的表现是一致的，目的是使我们的预期损失最大化。事实上，这样一个对手只能由一个代理人或机构来实现。然而，实际市场结构通常更具竞争力。从经济角度来看，竞争对手可能由独立行动的异质代理人组成。这就需要基于实际市场结构来量化模型风险的方法。现在回到信用评级示例。事实上，可能有多个代理能够影响评级，其中一些代理更倾向于提升评级，而其他代理则倾向于降低评级。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

能者818

2022-6-10 17:22:44

这需要不同的状态转换公式，因为从给定初始状态转换的最终状态成为随机变量。我们所知道的只是给定初始状态（或跃迁密度）的概率测度条件。总的来说，运输由联合概率密度γ描述：Ohm ×Ohm → R+而不是确定性映射。接缝密度（或Ohm × Ohm) 被称为运输计划【5】。这使我们能够制定优化问题。r、 t运输计划，而不是运输地图。这样的公式导致了更一般的结果，能够解释不同类型的市场结构。从实用的角度来看，使用Wasserstein度量的主要优点是处理由严格子空间支持的参考度量。仍以信用评级为例，参考指标由{A+，A-, BBB+}，这是整个状态空间（评级）的严格子空间。基于F分歧的方法只能将具有相同支持的替代措施结合起来。另一方面，使用Wasserstein方法确实允许我们改变支持。特别是，如果我们使用运输映射来描述问题，那么新的支持是{T（a+），T（a-), T（BBB+）}，仍然是一个严格子空间。因此，尽管不同的交通地图为我们提供了不同的支持，但它们都无法扩展到整个状态空间。另一方面，通过制定运输计划来解决问题，我们确实考虑了整个空间支持的替代措施。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:22:47

现在，将竞争对手视为一类异质代理人，我们有理由相信，在对手的干扰下，分布广泛。因此，我们对基于运输计划制定运输成本的模型风险度量方法感兴趣。我们将看到，这种方法能够通过参数化熵约束来解释实际的市场结构（第3.2节）。在本节的剩余部分，我们将回顾Wasserstein度量及其相关的运输理论。2.2运输理论和Wasserstein度量从这一点开始，除非另有说明，否则我们将始终假设连续状态空间。离散状态空间的方法遵循相同的路线，因此省略。现在让状态空间(Ohm, d）如果是波兰公制空间，我们可以确定运输成本c：Ohm × Ohm → R+乘以themetric的n次方，即c（x，y）=d（x，y）n，其中n∈ [1, ∞). 给定两个概率测度(Ohm, d），我们可以使用运输地图或运输计划来制定最优运输问题。对于前一种方法，我们需要找到交通地图T：Ohm → Ohm 这实现了Ohmp（x）c（x，T（x））dx（3）s.T.| JT（x）| q（T（x））=p（x），x个∈ Ohm其中，p（x）和q（x）分别是两个测度和q的概率密度函数。jt是映射T的雅可比矩阵。它是强制映射T保持度量的约束的一部分。公式3被称为最优运输问题的Monge公式。Monge公式的问题是不能保证测度preservingmap T的存在。最后一节中的示例提供了该问题的离散状态说明：supp（Q）={T（a+），T（a-), T（BBB+）}最多有三个元素。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 17:22:50

因此，如果| supp（Q）|>| supp（P）|，则不存在保留度量的映射。在连续状态空间中，一个保持测度的映射将一个狄拉克测度发送给另一个狄拉克测度。因此，如果P是aDirac测度，而Q不是，则不存在测度保持映射。通过采用运输计划γ，可以改进不适定Monge公式：Ohm × Ohm → R+：infγZOhm×Ohmγ（x，y）c（x，y）dxdy（4）s.t.ZOhmγ（x，y）dy=p（x）ZOhmγ（x，y）dx=q（y）式4被称为Kantorovich的最优运输问题公式。很明显，每个运输图T都可以由运输计划γ（x，y）=| JT（x）| q（y）δ（y）给出- T（x））（5），其中δ（·）是狄拉克-δ函数。此外，可以保证运输计划的存在，因为γ（x，y）=p（x）q（y）始终满足等式4中的约束条件。根据这些观察，Kantorovich公式优于theMonge公式。记住，运输成本c（x，y）是度量c（x，y）的n次方。第n个Wasserstein矩阵（用Wn表示）在公式4中定义为整数，并提升为1/n的幂。在下一节中，将借助Kantorovich公式介绍本文的理论公式和主要结果。运输成本函数c（x，y）将被视为一个通用的非负函数，而不参考其具体形式或幂n.3理论3.1模型风险问题的Wasserstein公式模型风险度量的核心部分是确定最坏情况下的备选模型。在概率论的语言中，我们需要确定使我们的预期损失最大化的替代概率度量。我们可以用下面的方法来描述这个问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 17:22:53

给定状态空间上的标称概率测度POhm, 我们希望找到最坏情况下的衡量标准Q*这实现了以下上限：supQEQ[V（X）]（6）s.t.D（P | | Q）≤ η在损失函数V下，在替代措施Q下取期望值：Ohm → R、只有与参考测量值足够接近的替代测量值才被视为合法。该限制通过将统计距离D（P | | Q）限制为等于或小于常数η来表示。Glasserman和Xu建议对D（P，Q）使用相对熵（或Kullback-Leibler散度）。像任何f散度一样，相对熵的可行性有限，因为只有等价的度量才是合法的。根据上一节的讨论，我们建议改用Wasserstein度量。另一方面，模型风险问题的实际公式与EQ的形式略有不同。6、具体而言，不是优化期望值w.r.t，而是替代测量值Q（或其密度函数Q：Ohm → R+，我们优化了预期w.R.t运输计划γ：Ohm ×Ohm → R+直接。将q上的单个约束替换为应用于γ的两个约束，包括在q中给出的边缘化条件。这一提法基于国家过渡的思想，如下所示。根据上一节的讨论，对于任意一对状态x，y∈ Ohm 我们需要找到的是从x到y的转变密度，pY | x（y | x）。给定从x到y的运输成本函数c（x，y），初始状态x的预期运输成本条件为w（x）=ZOhmpY | X（y | X）c（X，y）dy（7）初始状态X遵循参考模型给出的分布pX（X）。在参考测度下取期望，我们得到无条件运输成本w=ZOhmpX（x）W（x）dx=ZOhm×OhmpX，Y（x，Y）c（x，Y）dxdy（8），其中联合分布pX，Y（x，Y）=pX（x）pY | x（Y | x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:22:57

为了与前面使用的符号一致，我们用运输计划γ表示边际分布pX、pYby p、q和联合分布pX、yb。值得注意的是，转换将初始分布p（x）转换为最终分布q（y），从而导致状态空间上度量的变化Ohm.模型风险度量的关键任务之一是求解特定约束条件下的最坏情况模型。这些约束设置了合法替代模型的标准。现在用V（x）（x）表示损失函数∈ Ohm), 参考模型的概率密度函数为p（x），备选模型的概率密度函数为q（x）。我们用所有合法模型的期望损失的上确界supq（y）Z来描述这个问题Ohmq（y）V（y）dy（9）根据上一节的讨论，我们将测度的变化视为概率态跃迁。备选模型的概率密度函数q（y）仅仅是联合密度（或运输计划）γ（x，y）的边缘化，即q（y）=ROhmγ（x，y）dx。这允许我们取γ（x，y）上的上确界，而不是q（y）：supγ（x，y）ZOhm×Ohmγ（x，y）V（y）dxdy（10）上确界问题的第一个约束来自节理密度w.r.t x的边缘化，如参考模型Z所示Ohmγ（x，y）dy=p（x）（11）与Glasserman和Xu的工作类似，我们通过与参考模型的距离来限制所有替代测量。现在，距离由等式8中给出的平均运输成本来衡量。它反映了根据运输计划γ（x，y），试图将一个状态x转移到另一个状态y的敌对对手所支付的预期成本。这导致以下约束，这些约束定义了一组合法的度量：ZOhm×Ohmγ（x，y）c（x，y）dxdy≤η（12）式中的常数η。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 17:23:00

12被称为Wasserstein距离预算，就像Glasserman和Xu方法中的相对熵预算一样。为了解释特定的密度函数q*（y）在等式给出的约束上确界问题中。9-12，Wasserstein距离，在公式4中定义，q*（y）名义密度p（x）不能超过η。事实上，如果q*（y）可通过边际化运输成本γ获得*（x，y）满足等式11-12，然后根据等式4，其瓦瑟斯坦距离与标称密度函数p（x）isW（p，q*) = infγZOhm×Ohmγ（x，y）c（x，y）dxdy≤ZOhm×Ohmγ*（x，y）c（x，y）dxdy≤ 另一方面，如果W（p，q*) < η、然后是密度函数q*（y）可以用运输计划γ的边缘化来表示*（x，y）这令人满意。11-12. 否则，在Wasserstein距离的定义中，公式4，η为termZ设置了较低的界限Ohm×Ohmγ（x，y）c（x，y）dxdy（14），因此，作为上述项的上限，瓦瑟斯坦距离等于或大于η。这立即违反了假设W（p，q*) < η. 综上所述，η设置了Wasserstein距离的最大水平（预算），以使备选度量值合法。值得注意的是，即使问题（方程式10-12）是使用运输计划（Kantorovich公式）来制定的，其解决方案也可以用运输图T来表示*: Ohm → Ohm,T*（x） =arg最大值∈OhmV（y）-c（x，y）β（15）其中β∈ R++是一个常量。根本原因是方程式14 w.r.T运输计划γ的线性。假设最坏的情况是将一个状态XT传输到另一个状态T*（x）。那么，竞争对手就没有动机将x转移到T以外的国家*（x），比如T（x），因为对手可以通过增加γ（x，T）来继续改进目标*（x）同时减少γ（x，T（x））（以相同的量）。公式推导示意图见附录A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:03

15.3.2运输计划的熵约束Q。15为inEq制定的问题提供了最坏情况下的运输图。10-12. 这种表述实际上假设了双方之间的零和博弈，在这种博弈中，我们的对手试图将状态x转换为y*（x）（决定性地）使其利益（因此我们的损失）最大化。以秒为单位。2.1，我们提到，实际的市场结构可能更具竞争力，包括或多或少独立行动的异质代理。这需要一个广泛的跃迁密度y | X（y | X）（而不是δ函数）。在实践中，具有广泛分布的传递度也是有利的。出于风险管理的目的，由于模型的模糊性，我们需要考虑广泛的替代措施。因此，广泛分布通常比狭窄分布更具代表性。从信息论的角度来看，广泛分布包含的信息较少（熵较多），因此更适合表示模型模糊度。现在考虑一下基于f-发散的方法不适用的实际情况。它们通常具有过于严格的参考度量，因为它们仅由（状态空间的）子空间支持。要正确量化模型风险，应考虑整个状态空间支持的广泛分布。然而，这些分布并没有明确的f-散度w.r.t作为参考度量，这提供了这些方法的一个固有问题。使用Wasserstein度量代替f-Differencei的主要目的之一就是解决这个问题。具体而言，我们希望包括所有措施，不考虑其支持。这一目的是通过使用Kantorovich的公式实现的，如第。2.2.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:06

然而，如等式15所示，在没有进一步约束的情况下，最坏情况模型仍然可以通过运输图来实现。如果参考度量仅由子空间支持，则这会导致最坏情况度量具有限制性。为了实现广泛的最坏情况分布，可能需要对等式10-12施加进一步的限制。用P表示的狄拉克参考度量值提供了一个特殊示例，其中eq。15不适合描述最坏情况。应用交通地图T*结果是{T（x）}支持的最坏情况度量，其中x是supp（P）中的唯一元素。最坏的衡量标准也是狄拉克。在大多数情况下，这种最坏情况下的度量不恰当地解释了模型的模糊性。为了解决这个问题，我们可以进一步施加熵约束，以确保最坏情况度量得到整个状态空间的支持：-ZOhm×Ohmγ（x，y）lnγ（x，y）dxdy≥ u（16）LHS是联合分布（运输计划）γ（x，y）的（差别）熵[6]，RHS是常数u∈ R（或正常数u∈ 离散状态空间的R++）。此约束不包括与交通地图等效的所有交通计划。事实上，每个运输图都给出了一个具有δ-函数转移密度的运输计划（见等式5）。对于此类运输计划，δ函数使等式16的LHS接近负单位（或离散状态空间为零），因此被排除在外。或者，可以根据跃迁密度函数pY | X（y | X）来解释等式16。我们可以通过-ZOhm×Ohmγ（x，y）ln pY | x（y | x）dxdy≥ u+ZOhmp（x）ln p（x）dx（17）等式17对跃迁密度函数施加了限制。更严格的限制（u更大）意味着更宽的转变密度，反映出更具竞争力的市场结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:09

另一方面，如果我们通过将u移向负单位（或离散状态空间为零）来完全放松约束，那么我们允许跃迁密度以δ函数的形式出现，对应于单主体对手。我们可以进一步引入信息论中的术语，并重写等式17byZOhmp（x）H（Y | x=x）dx≥ u - H（X）（18），其中H（X）表示随机变量X的熵[6]。由于其分布p（x）由参考模型给出，因此H（x）被视为常数。另一方面，H（Y | X=X）是信息熵w.r.t转变密度pY | X（Y | X）。它被解释为随机变量Y的熵，以X为条件，取给定值X。H（Y | X=X）量化给定状态X的运输不确定性。通常，竞争越激烈的市场，涉及更多独立决策者，导致更不确定的状态转换，从而产生更大的H（Y | X=X）。因此，等式18允许我们通过参数化u来合并实际的市场结构。值得注意的是，在信息论中，LHS ofEq。19被称为条件（微分）熵，用H（Y | X）表示[6]。这导致了constraintEq的等效信息论版本。16： H（Y | X）≥ u - H（X）（19）3.3主要结果和讨论等式10的最大值问题，受等式11、12和16的三个约束，制定了模型风险度量的Wasserstein方法的完整版本。现在假设存在联合分布γ*（x，y）解决了这个问题。然后，最坏情况模型的特征是概率密度函数Q*（y） =Zx∈Ohmγ*（x，y）dx，y∈ Ohm （20）为了解决约束上确界问题，我们引入了两个乘法器α∈ R+和β∈ R+，并将原始问题转化为对偶问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 17:23:12

解决对偶问题的内部导致了我们的主要结果（参见附录B的推导）：q*（y） =ZOhmdxp（x）扩展V（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（z）α-c（x，z）αβdz（21）值得注意的是，乘数α和β实际上是控制变量，分别决定熵约束方程16和运输约束方程12的约束水平。α接近零时的极限对应于熵约束方程16的完全松弛。在此极限下，公式20退化为由公式15给出的输运图所诱导的概率密度函数。在光谱的另一端，由于严格的熵约束，当α接近完整性时，等式20接近均匀分布。在β=0的极端情况下，公式20得出一个简单的结果q*（x） =p（x）。这是因为等式12的运输约束达到其最紧极限（η=0）。不允许状态转换，因此保留了参考模型。另一方面，当β接近实际值时，最坏情况分布q*（y）~ exp（V（y）/α）呈指数分布。在这种情况下，运输成本基本上为零。因此，最坏情况下的度量是最大化期望值V（Y）并具有相当大的熵的度量（最大期望值由arg maxyV（Y）处的Dirac度量给出，但这会导致非常低的熵）。表21列出了公式21的特殊情况。1表示α和β的不同值。表1：不同（α，β）组合下的最坏情况概率密度函数。p为名义分布，u为均匀分布。δ表示Diracδ-泛函和T*是等式15给出的交通图。α = 0 αα → ∞β=0p（x）βp（T*-1（x））/| JT |由公式20给出→ u（x）β→ ∞ δ（x-arg最大V（x））∝ eV（x）/α3.4根据表进行的实际考虑。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:17

1，当α接近整体时（即在最严格的熵约束下），最坏情况下的度量接近均匀分布。实际上，我们可能希望最坏情况下的分布收敛到给定的密度函数，而不是均匀分布。这需要通过将熵约束公式19推广到-DKL（P（Y | X）| Q（Y））≥ u - H（X）- H（Y）（22）DKL（P（Y | X）| Q（Y））表示条件相对熵，由两个概率密度函数w.r.t Y，pY | X（·| X）和Q（·）的KL散度的期望值DKL（P（Y | X=X）| Q（Y））给出。条件相对熵的形式为dkl（P（Y | X）| Q（Y））=ZOhmp（x）ZOhmpY | X（y | X）lnpY | X（y | X）q（y）dy公司dx=ZOhm×Ohmγ（x，y）lnγ（x，y）q（y）dxdy-ZOhmp（x）ln p（x）dx（23）将等式23替换为等式22，可以获得约束的显式版本：-ZOhm×Ohmγ（x，y）lnγ（x，y）q（y）dxdy-ZOhmq（y）ln q（y）dy≥ u（24）很明显，前面的熵约束等式16只是Eq的一个特例。其中QI为均匀分布。根据这个公式，我们需要解决的问题由等式10、11、12和24组成。结果与等式不同。21加权函数q（推导见附录B）：q*（y） =ZOhmdxp（x）q（y）expV（y）α-c（x，y）αβROhmq（z）扩展V（z）α-c（x，z）αβdz（25）值得注意的是，公式25的形式与Bayes定理相似，并且qserves是先验分布。事实上，如果条件分布采用以下形式：p*X | Y（X | Y）∝ 经验值V（y）α-c（x，y）αβ（26）然后Bayes定理指出P*Y | X（Y | X）=p*X | Y（X | Y）q（Y）EYp*X | Y（X |·）q（·）=q（y）经验V（y）α-c（x，y）αβROhmq（z）扩展V（z）α-c（x，z）αβdz（27），即观察X=X时Y的后验分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:20

现在，如果我们观察到x上的分布p（x），那么我们可以推断Y到beq的分布*（y） =ZOhmp（x）p*Y | X（Y | X）dx=ZOhmdxp（x）q（z）expV（y）α-c（x，y）αβROhmq（y）经验V（z）α-c（x，z）αβdz（28），这正是等式25中给出的最坏情况分布。贝叶斯定理和公式25之间的联系不仅仅是巧合。事实上，公式28中给出的Y的最坏情况分布可以视为潜在变量的后分布。另一方面，由p（X）给出的X的参考模型被认为是实际观察到的分布。假设不存在参考模型（即未对X进行观测），则我们对潜变量Y的最佳猜测仅由其先验分布q（Y）给出。现在，如果可观测变量X确实取一个特定值X，那么我们需要根据贝叶斯定理（等式27）更新我们的估计。条件概率密度p*X | Y（X | Y）采用公式26的形式，反映了可观测变量X和潜在变量Y相距不远的事实。假设我们在标称分布p（x）之后生成一个采样集{xi}，然后对于每个xi，我们得到一个后验分布p*公式27中的Y | X（Y | xi）。总的来说，潜在变量Y上分布的最佳估计是这些后验分布的聚集结果。这是通过将它们的概率p（xi）加权平均来实现的，如等式28所示。这导致了对模型风险度量的贝叶斯解释，其结论是，通过对可观测变量x“观察”参考模型p（x），通过更新潜在变量Y的分布，从先验分布q（Y）到后验分布q，给出了最坏情况下的模型*（y）。表2：具有先前qat不同（α，β）组合的最坏情况密度函数。是标称分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:23

δ表示Diracδ-函数和T*是等式15给出的运输图。α = 0 αα → ∞β=0p（x）βp（T*-1（x））/| JT |由公式25给出→ q（x）β→ ∞ δ（x-arg最大V（x））∝ q（x）eV（x）/α如果我们对参考模型一无所知，那么将先前的qt设置为均匀分布似乎最有意义（因为均匀分布使熵最大化，因此包含的信息最少）。这导致了公式21得出的主要结果。然而，有时选择一个先验比均匀分布更方便。一个特别有趣的情况是将qthesame设置为标称分布p。在这种情况下，β的极限→ ∞ （运输约束的完全放松）由Q给出*（x） =p（x）eθV（x）ROhmp（x）eθV（x）dx（29），其中我们替换参数α-1byθ。这个极限正是相对熵方法给出的最坏情况分布。尽管等式29很简单，但不建议设置q=p，因为这样做会失去改变参考度量支持度的能力。实际上，相对熵方法的一个常见问题是，式21中的分母可能不可积。为了了解这一点，我们研究了相对熵方法下最坏情况下的密度函数：q*KL（x）∝ p（x）eθV（x）（30）如果V（x）增加得太快（或p（x）Decastoo缓慢，如在重尾情况下），则等式30的RHS可能不可积。例如，我们考虑最坏情况方差问题，其中V（x）=x。如果参考模型遵循指数分布，则等式30不可积。然而，使用提议的Wasserstein方法，选择适当的优先Qs的灵活性有助于我们绕过这个问题。事实上，人们可以选择一个不同于标称分布p的先验分布q，以保证其衰减足够快。根据等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:26

我们只需要保证Q（y）expV（y）α-c（x，y）αβ（31）是可积的w.r.t y。幸运的是，总是可以找到一些满足此标准的QT。作为一个简单的选择，我们可以设置q（y）∝ e-V（y）/α以确保可集成性。这样的选择使得等式31与xp成正比-c（x，y）αβ（32）我们假设状态空间Ohm 是一个具有有限维数的欧几里德空间，运输成本c（x，y）由其欧几里德距离给出。那么对于allx∈ Ohm 公式32是可积的w.r.t y，因为当y离开x时，被积函数会以指数形式减小。总之，使用相对熵约束q来描述问题。24允许灵活选择先验分布q。这实际上很有用，因为可以通过选择适当的先验来避免可积性问题。如Glasserman和Xu[7]所述，相对熵方法不具有这种灵活性，这被视为一种特殊情况，在此情况下，先前的qequals p.4应用程序4.1跳跃风险在一个不同的参考模型下，我们从一个以几何布朗运动形式出现的价格过程开始，T=uStdt+σStdWt（33）。T时的对数回报遵循正态分布：x：=lnSTS公司~ Nu -σT、 σT（34）当波动率为零时，收益率具有确定性，分布密度isp（x）=limσ→0√2πTσe-[x-(u-σ/2）T]2σT=δ（x- uT）（35）在这种情况下，无法使用f-散度对模型风险进行量化。事实上，参考度量是狄拉克度量，因此不存在等效的替代度量。特别是在KL散度下，最坏情况下的测度由p（x）eθV（x）R计算Ohmp（x）eθV（x）dx=δ（x- uT）（36），与参考测量值相同。这与Girsanov扩散过程定理一致，该定理指出漂移项的变化量与波动率成一定比例，即￠u=u- λσ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:29

当参考模型下的波动率降至零时，替代指标与参考指标相同。基于f-散度的方法排除了零波动情况下模型风险的存在。然而，这在实践中并不真实，因为名义上的差异过程可能仍然会“政权切换”到一些不连续的过程。事实上，为了量化风险，人们通常会考虑状态变量不连续变化的可能性（即“跳跃”）。使用Wasserstein方法，量化此类跳跃风险成为可能，即使参考模型基于纯粹的差异过程。将公式35代入公式21得到最坏情况下的分布（详见附录C）qW（x）=expV（x）α-c（x，uT）αβROhm经验值V（y）α-c（y，uT）αβdy（37）注意，公式37适用于参考模型由狄拉克度量给出的任何应用。在f-散度下，等效测量的限制保持参考模型不变。另一方面，Wasserstein方法放宽了这种限制，允许使用与Dirac测度不同的最坏情况模型。这使我们能够在参考模型中假设为确定性的变量中测量风险。一个特别有趣的例子是二次变化过程，在BlackScholes模型下被认为是确定性的。我们将在后面的动态对冲模型风险中详细讨论这一点。为了说明公式37，我们考虑了最坏情况下x的预期值。该问题使用等式6表示，线性损失函数V（x）=x。我们进一步假设二次运输成本函数c（x，y）=（x- y）。最坏情况下的分布由等式给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:32

37结果是beqW（x）=√παβe-（十）-uT-β/2）αβ（38）人们可以看到，最坏的情况与平均值的不断变化有关（通过-β/2），即使参考度量是确定性的（即Dirac）。如果α被指定为正值，则平均值的变化也与比例方差（即αβ/2）相关。由此产生的正态分布具有有限的方差，反映了模型的模糊性。这与基于F分歧的方法形成了对比，因为F分歧无法改变参考模型。在这种情况下，asits支持仅包括一个点。4.2波动性风险和方差风险在本节中，我们考虑了给定nominalBlack-Scholes模型的波动性不确定性风险。当期权接近到期时，参考指标（基于其基础资产的价格）将接近狄拉克指标。这可以通过收益率的正态分布来体现√t、当到期时间t→ 0时，正态分布转变为方差为零的狄拉克分布。在Kullback-Leibler散度（或任何f-散度）下，当参考模型收敛到Dirac测度时，任何模型的风险都会消失。因此，在较短的到期时间内，只有以较大的成本（由θ参数化）才能产生足够数量的方差不确定性。为了说明这一点，请考虑正态分布（在取极限之前，假设公式35）。为了测量方差风险，我们需要采用二次损失函数V（x）=x。在Kullback-Leibler散度下，最坏情况分布的方差由[7]σKLT=σT1给出- 2θσT（39），当到期时间T→ 0，最坏情况下的波动率σKL→ σ与固定θ。这与我们在市场上看到的不一致。事实上，随着成熟时间的缩短，对跳跃的恐惧可能会起到重要作用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:35

这种对风险的恐惧被称为波动性（或方差）风险溢价的期权和方差掉期定价。图2：（a）瓦瑟斯坦方法，（b）KL发散下最坏情况下的波动率随时间的变化。波动性（或差异）风险溢价可被视为支付给期权卖方的承担波动性风险的补偿【8，9】。实际量化为隐含波动率（或方差）和变现波动率（或方差）之间的差异。由于它是基于波动性风险进行定价的，因此其数量与用于建模基础资产的参考指标相关的风险直接相关。因此，通过分析此类溢价的期限结构，可以了解最坏情况下的波动性风险。在有效价格动态的假设下，Carr和Wu开发了货币隐含方差的公式【10】。如图2所示，对于超过3个月的到期日，公式与经验数据【11】吻合良好。然而，对于短于3个月的到期日，该公式似乎低估了差异风险溢价。其他实证研究也表明，期权购买者持续为期限较短的期权支付较高的风险溢价[9]。对于不同的模型来说，低估短期波动性风险溢价是一个固有的问题。事实上，上述工作揭示了在成熟时间仍然很短的情况下量化跳跃的重要性。其他研究表明，在不同的到期日，由于跳跃而产生的风险溢价是相当恒定的【12】。这意味着时间依赖性与持续价格变动的时间依赖性非常不同（等式39）。事实上，任何基于f-散度的方法都无法在t上产生有效的模型风险→ 0，表明风险溢价的期限结构正在衰退。另一方面，Wasserstein方法并不能解决这个问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:38

事实上，它产生了一种最坏情况下的波动率，几乎没有时间依赖性（图2）。因此，Wasserstein方法为管理方差风险和量化短期成熟度风险溢价提供了一个特别有用的工具。对于Wasserstein方法，最坏情况方差的形式为（见附录B）σWT=σT（1- β)+αβ2(1 - β）（40）Wasserstein方法提供了与到期时间无关的最坏情况方差。它通过常数因子（1）缩放名义方差-β)-此外，它引入了一个常数额外方差αβ/（1）- β). 额外的方差项由参数α调制。如果我们将α设置为零，则最坏情况下的波动率σ仅为名义波动率σ的恒定放大。然而，如果名义波动率非常接近于零，则该模型风险度量可能不够有效。额外方差项用于说明名义波动率未捕捉到的额外风险（如跳跃）。4.3投资组合方差中的模型风险假设资产回报遵循多变量非线性分布，则可以应用Wasserstein方法量化与投资组合方差建模相关的风险。假设有n项资产在考虑中，其收益由状态向量x：x反映∈ 其中V是n维向量空间。为了通用性，我们考虑以下目标函数V:V→ R+V（x）=xTAx（41），其中A是一个正定对称矩阵。如果我们用x=x替换x- E（x）和A，则目标函数的预期值反映投资组合的方差：E[V（x）]=E（xTwwTx）=wT∑w（42），其中w是投资组合中的组合向量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:42

∑是正态分布资产收益的协方差矩阵（参考模型下）。为了使用Wasserstein方法找到最坏情况下的模型，我们需要在向量空间V中重新定义一个度量。假设向量空间由anrom | x | | | |定义，那么该度量自然由c（x，y）=| x定义-y | |。在这里，我们关注的是一种具有内部产品结构的规范：| | x | |=√xTBx，x个∈ V（43），其中B是正有限对称矩阵（常数度量张量）。由此产生的最坏情况分布仍然是多元正态分布，均值和协方差矩阵的向量替换为（推导见附录D）uW=（B- βA）-1Bu（44）∑W=（B- βA）-1B∑B（B- βA）-1+αβ（B- βA）-1（45）除了参数α赋值为零时消失的常数项外，最坏情况分布通过测量保留线性映射从标称分布转换而来（见附录D）。这个结果比使用KL散度得到的结果更直观，由[7]uKL=（I- 2θ∑A）-1u（46）∑KL=（I- 2θ∑A）-1∑（47）图3提供了一个示例，说明最坏情况分布确实是使用Wasserstein方法的度量保持变换。图3：多元名义分布（a）参考模型，（b）KL发散下的最坏情况，（c）瓦瑟斯坦方法下的最坏情况（作为一种衡量保留转换的指标）。当参考模型的方差为零时，常数项反映了剩余不确定性。当某些资产完全相关（1或-1）且向量空间V未完全由参考度量支持时，此术语尤其有用。在这种情况下，Wasserstein方法提供的结果与f-散度方法显著不同。特别是，基于KL发散（或任何f发散）的方法不能改变支持度，它们只能重新查看支持度内的状态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 17:23:45

这如图4所示，其中两个资产完全相关。（a）中所示的参考模型提供了由V的一维向量子空间支持的度量。KL散度下的最坏情况度量由相同的子空间支持，如（b）中所示。这一结论实际上可以从公式47给出的最坏情况度量中得出。图4：多元标称分布（a）参考模型，（b）KL散度下的最坏情况，当支持是低维子空间时。Wasserstein方法下最坏情况下的多变量分布（c）θ=0（d）θ=0.5。（证明见附录E）。另一方面，Wasserstein方法能够检查其他向量子空间支持的度量。我们首先通过将公式45中的α设置为零来忽略常数方差项。Wasserstein方法通过将线性映射应用于参考度量来“旋转”原始支持。在图所示的情况下。4（c），基本上由一维向量子空间支持的所有度量都在该方法的范围内（证明见附录F）。在这些测量中，Wasserstein方法选择了最差的一个，由一个不同于原始向量子空间的向量子空间支持。它本质上是在整个空间上搜索最优变换。在实践中，我们可能需要考虑与完美相关性假设相关的风险。这是通过将正值分配给α来实现的，允许分布“diffuse”进入整个接收器空间，如图4（d）所示。值得注意的是，与基于KL散度的方法相比，Wasserstein方法也具有实际优势。如果我们检查两种方法（公式45和47）产生的最坏情况方差，我们可以发现它们的正不确定性无法得到保证。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:23:48

这要求从业者谨慎地对任何一种方法进行参数化，以确保积极的不确定性。然而，在KLDifference下，正不确定性取决于原始协方差矩阵。这使得该方法难以参数化和推广。如果资产回报具有时变相关性，则可能需要切换参数（θ），以确保正定义矩阵。另一方面，Wassersteinapproach只需要B-βA为正定义，与协方差矩阵∑无关。因此，参考概率度量不再影响量化最坏情况风险的可行性。4.4稳健投资组合优化和相关风险在现代投资组合理论中，我们考虑n种证券，其对数回报率超过多元正态分布，即X~ N（u，∑）。标准平均方差优化由minaat∑a（48）s.t.uTa=C（49）表示，其中a∈ Rn是投资组合权重的向量。它可以接受任何价值，因为Sumingit总是可以以无风险利率借贷，也可以卖空任何资产。该问题通过引入拉格朗日乘子λ：a来解决*=λΣ-1u（50）最佳投资组合权重a*取决于λ。然而，最优投资组合的夏普比率与λ：a无关*Tu√一*T∑a*=puT∑-1u（51）参考模型假设多变量正态分布N（u，∑）。最坏情况模型是一种依赖于证券头寸a的替代度量。为了描述最坏情况度量问题，我们可以首先用minae表示均值方差优化问题（十）- u）TaaT（x- u) - λxTa（52）在参考措施下采取预期。考虑到模型风险，我们可以制定一个稳健的Eq版本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 17:23:51

52这与文献工作一致【7】：minamaxQ∈墨西哥当量（十）- u）TaaT（X- u) - λXTa（53）其中M是受不同标准约束的替代措施空间。对于基于Kullback-Leibler散度的方法，通过参考模型的最大相对熵w.r.t（即相对熵预算）给出约束。在Wasserstein方法下，约束由eq给出。12和16。为了解决等式53的内部问题，我们可以将问题进一步简化为Maxq∈墨西哥当量（十）- u）TaaT（X- u) - λXTa= 最大质量∈墨西哥当量（十）- u - k） TaaT（X- u - k）- λuTa-λ（54），其中k是满足k=λ/2的向量。值得注意的是，这是一个近似值，因为测量值的改变也会将平均值从u改变为u。方差应通过公式（m）计算（十）- u）TaaT（X- u). 然而，差异与（u）成正比- u），因此在测量值的微小变化（即β）上是次要的 1). 公式53的解在KLDifference（见附录G）和Wasserstein度量（见附录H）下也是多元正态的。这两种方法产生具有不同权重的稳健MVO投资组合（高达一阶w.r.tθ或β）：a*吉隆坡=λ-θλ1+uT∑-1uΣ-1ua*W=λ-βλuT∑-1B级-1Σ-1uΣ-1u -βλ1+uT∑-1uΣ-1B级-1Σ-1u（55）将公式55与公式50给出的标准MVO投资组合进行比较，我们可以看到稳健的MVO投资组合提供了一阶修正，从而导致总体上更加保守的资产配置。尽管更加保守*KLI实际上与标准MVOportfolio a平行*. 因此，稳健的MVO投资组合不会改变组件资产的相对权重。事实上，为了考虑模型风险，所有权重都按相同比例（c<1）减少。然而，这对于相关性风险来说是不适当的。例如，两项高度相关的资产在名义MVO投资组合中的权重极高。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 17:23:54

由于存在相关风险，我们预计稳健的MVO投资组合会将其相对于其他资产的权重较低。这就是*W、事实上*Wn不仅降低了总体投资组合权重，以便更加保守，而且还调整了组成资产的相对权重，以实现不太极端的配置。人们可能会注意到表达式括号内的术语*Wis是一个平方矩阵（见等式55），用于线性变换投资组合权重向量。通过调整它们的相对权重，等式139正确地解释了相关性风险（详见附录H）。由λ表示的稳健最优投资组合参数允许我们绘制稳健资本市场线（CML）。与标准CML不同，它不再是直线，夏普比现在取决于λ。图5：由两种证券组成的投资组合的标准化最优组合，由*除以λ/2。参考模型下的归一化最优合成由常数向量∑给出-1u，而最坏情况下的模型取决于λ。特别是，Kullback-Leibler方法按比例减少了这两种合成，而Wasserstein方法以非线性方式减少了合成。图6：使用（a）Kullback-Leibler散度和（b）Wasserstein方法的稳健资本市场线（CML）。在参考模型下，投资组合的最优组合由λ∑给出-1u/2. 这个解决方案的相称性表明，如果预期超额回报翻倍，我们应该将权重加倍。然而，由于杠杆率的增加，这最终可能导致过度风险。模型风险是这里的主要风险来源，因为我们不确定预期超额回报和协方差矩阵是否正确反映了未来（给定持有期）的回报分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝