Wasserstein对凸序概率测度的抽样

2022-6-1 08:40:16

WASSERSTEIN PROJECTIONAUR'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINAbstract的凸序概率测度抽样。在本文中，对于u和ν，Rd上的两个概率测度，动量为%≥ 1，我们定义了由ν支配的概率测度集和凸序中大于u的概率测度集上的W%~Wasserstein距离u和ν的各自投影。通过求解具有线性约束的二次优化问题，当u和ν具有有限支持度时，可以轻松计算u的W投影。在维度d=1时，Gozlan等人【14】表明，预测不依赖于%。我们用u和ν的分位数函数来表示它们的分位数函数。运动化是通过使用线性规划求解器来近似鞅最优运输问题而设计的保持凸序的采样技术。当样本量趋于一致时，我们证明了基于瓦瑟斯坦投影的抽样方法的收敛性，并通过数值实验加以说明。关键词：凸序、鞅最优运输、瓦瑟斯坦距离、抽样技术、线性规划AMS主题分类（2010）：91G60、90C08、60G42、60E15.1。对于Rd上概率测度集P（Rd）中的u，ν，我们说对于凸阶，u小于ν，并表示u≤cxνifRRdφ（x）u（dx）≤每个凸函数φ：Rd的RRdφ（y）ν（dy）→ R相对于u+ν非负或可积。据我们所知，很少有研究考虑在逼近两个这样的概率测度时保持凸序的问题。我们可以提到David Baker在其博士论文[6]中提出的基于分位数函数的一维方法（有关更多详细信息，请参见第2.2节的开头）。

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2022-6-1 08:40:19

Pag\'es和Wilbertz[23]引入的对偶量子化提供了另一种在维1中保持凸序的方法（参见[23]中命题10后的注释）。不幸的是，对于更高维度来说，这不再是事实。例如，概率定律u=δ（0,0）和ν（U，0）上的分布，其中U均匀[-1, 1]. 我们有u≤cxν。我们在两个三角形和两个顶点上计算它们的双量化器u和ν{(-1, 0), (0, -1），（0，1）}和{（0，-1), (1, 0), (0, 1)}. Weeasily获得？u=（δ（0，-1)+ δ(0,1)), ν =(δ(0,-1)+ δ(0,1)+ δ(-1,0)+ δ(1,0)). 因此，我们得到Rx'u（dx，dy）=1，Rx'ν（dx，dy）=，这证明了凸阶不被保留。然而，量子化和双重量子化提供了一种可能的方法来近似凸阶中的u和ν。精确地说，u的量化给出了一个概率度量u，并提供了有限的支持，使得u≤cxu，而ν的双重量化给出了概率日期：2019年2月11日。巴黎理工大学，Cermics（ENPC），INRIA，F-77455 Marne la Vall’ee，法国，电子邮件：aurelien。alfonsi@enpc.frjcorbetta@zeliade.com，本杰明。jourdain@enpc.fr.This研究得益于法国国家研究机构“Risques金融家主席基金会”的支持，该基金会在ANR-12-BS01-0019（STAB）项目下开展，并在Zeliade Systems雇佣雅各布·科尔贝塔后完成。2 AUR’elin ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINmeasureν，并提供有限的支持，以便ν≤cx？ν。因此，我们有u≤cx？ν。虽然这种结构很普遍，但也有一些缺点。首先，为了定义双重量化，ν和u必须有一个紧凑的支持。这是一个非常严格的假设。其次，u的量子化和ν的双重量子化的计算在维数d中通常是不可信的≥ 2和可能需要重要的计算时间。

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2022-6-1 08:40:22

这就是为什么人们通常会预先计算标准分布的量子化，高斯情况见[22]。第三，该方法仅适用于两个度量值，不能推广到设计u，ν，η的近似值∈ P（Rd）在u时保持凸序≤cxν≤cxη。为了避免维数灾难，很自然地要考虑蒙特卡罗方法，并考虑经验度量uI=IPIi=1δxindνJ=JPJj=1δYj，其中X，XI（分别为Y，…，YJ）是分布为u（分别为ν）的i.i.d.随机变量。显然，没有理由让ipii=1Xi=JPJj=1Yj（选择φ（x，…，xd）=±xkw和k的凸阶的必要条件∈ {1，…，d}），甚至更多≤cxνJ.维数d=1，根据Kertz和R¨osler【19，20】，具有有限第一矩的概率度量集是一个完整的增加和减少对流序的晶格。本论文来源于我们的预印本【1】（第3节和第4节），其中，在第2节专门讨论一维情况，我们还研究了uIbyuI的近似值∧νJ（分别为νJbyuI∨νJ）定义为ui和νJ的最大值，用于当nipii=1Xi时的递减对流序≤JPJj=1Yjand，用于增加凸阶，否则，使uI∧ νJ≤cxνJ（分别为uI≤cxuI∨ νJ）。不幸的是，这种方法不能推广到维度d≥ 其中，根据命题4.5【21】，即使具有常数期望的概率测度集也不再是凸序的格。在本文中，仍在寻找u的修正比νJin的凸阶更接近，我们引入以下最小化问题，其中%≥ 1（最小EIPII=1xi-PJj=1rijYj%在约束条件下i、 j，rij≥ 0, i、 PJj=1rij=1和j、 PIi=1rij=IJ。（1.1）对于%=2，这是一个具有线性约束的二次优化问题，可以通过数值有效解决（见第5节）。

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2022-6-1 08:40:25

一般来说，这是紧集上连续函数的极小化，存在一个极小化r？。然后我们确定u%，？一、 J=IIXi=1δX？i、和X一起？i=JXj=1r？ijYj。按构造，我们有u%，？一、 J≤cxνJ。在下一节中，我们通过考虑P%（Rd）={η的一般元素来代替点度量uIandνJ来推广这个问题∈P（Rd）：RRd | x |%η（dx）<∞} 与%≥ 1用u和ν表示（略微滥用符号）。这使得我们可以确定u在集P（ν）={η上的投影u%P（ν）∈ P（Rd）：η≤指数为%：W%（u，η）=minπ的Wasserstein距离凸序中由ν支配的概率测度的cxν}∈Π(u,η)ZRd×Rd | x- y |%π（dx，dy）1/%，其中∏（u，ν）Rd×Rd上的概率度量π集，具有边际定律u和ν，即对于任何Borel集A，π（A×Rd）=u（A）和π（Rd×A）=ν（A） Rd.我们证明该预测对于%>1是很好的定义，并研究了它的一些性质。请注意，在我们的预印本【1】之后，Gozlan和Juillet【13】以及Backhoff-Varaguas等人【5】最近考虑了%=2的投影。根据Gozlan等人[14]对凸阶概率测度的抽样3理论1.5，在维数d=1时，投影不取决于%。我们用u和ν的分位数函数来表示它的分位数函数，这样当u和ν有有限的支持度时，就可以通过高效的算法来计算它。在第3节中，我们证明，当u≤cxν，thennw%（u，（uI）%P（νJ））≤ 2W%（u，uI）+W%（ν，νJ），并推断（uI）%P（νJ）弱收敛于uas I，J→ +∞. 此外，我们还将构造扩展到几个按凸顺序排列的概率测度的抽样。第4节专门讨论了ν在集合P（u）={η上的投影ν%\'P（u）∈ P（Rd）：u≤指数为%的Wasserstein距离凸序中大于u的概率测度的cxη}。

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2022-6-1 08:40:29

最后，在第5节中，我们通过数值实验说明了基于Wasserstein投影的抽样方法及其在近似鞅最优运输问题中的应用。本文的一个重要动机确实是从数值上解决[7]中引入的鞅最优运输（MOT）问题，该问题最近在金融界受到了极大关注，以获得期权价格的模型自由边界。Rd（Q（x，dy））x上的一类概率测度∈对于任何Borel集A，Rdis称为Rdif上的马尔可夫核 Rd，Rd3 x 7→ Q（x，A）是可测量的。Wede FINE∏M（u，ν）={π∈ Π(u, ν) : x个∈ Rd，RRd | y |πy | X（X，dy）<∞ andRRdyπY | X（X，dy）=X}，其中πY | xd表示马尔可夫核，使得π（dx，dy）=u（dx）πY | X（X，dy），鞅耦合集。Strassen[27]中的定理8确保，当ν∈ P（Rd），u≤cxν<==> ∏M（u，ν）6=. 对于可测量的支付函数c:Rd×Rd→ R、 MOT问题在于找到最佳耦合π？∈ 在所有耦合π中，使ZRd×Rdc（x，y）π（dx，dy）（1.2）最小化（或最大化）的∏M（u，ν）∈ ∏M（u，ν）。在金融领域，如果考虑到d资产的价格ST，统计日期T<T，这个问题自然会出现。我们假设利率为零，并且假设我们可以从市场上的期权价格中观察到ST（resp.ST）的边际法则u（resp.ν），并且我们想对在日期T支付c（ST，ST）的期权进行定价。任何鞅耦合π∈ πM（u，ν）是一种无套利定价模型：所有这些耦合的Rd×Rdc（x，y）π（dx，dy）的上确界和下确界给出了期权价格的无模型界限。从问题的双重表述出发，Beiglbock、Penkner和HenryLabord\'ere[7]证明了上界（或下界）是超边缘（或次边缘）策略中最便宜（或最昂贵）的初始值。

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2022-6-1 08:40:32

为了计算期权价格的模型自由边界，可以考虑通过具有有限支持度的概率测度（通常是i.i.d.样本的经验测度）来近似概率测度u和ν，ui=PIi=1piδxindνJ=PJj=1qjδyj，i，J∈ N*, xi，yj∈ Rd，pi，qj>0对于任何i，j和pii=1pi=PJj=1qj=1，并解决近似的MOT问题：最小（或最大化）IXi=1JXj=1rijc（xi，yj）（1.3）超过（rij）1≤我≤一、 1个≤j≤Junder the constraintsrij约束≥ 0，IXi=1pirij=qj，JXj=1rij=1，JXj=1rijyj=xi。这个问题属于线性规划领域：已经开发出强大的算法来数值求解它。运行这些算法的关键问题是此类矩阵的存在性（rij）1≤我≤一、 1个≤j≤J、这相当于在uI和νJ之间存在一个鞅耦合4 AUR’elin ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdain。根据Strassen定理，这相当于有uI≤cxνJ，这激发了在对概率度量u和ν进行采样时保持凸序的兴趣。在金融应用中，考虑I=J的经验计量是很自然的：一旦随机模型被校准为欧洲期权市场价格，基本上可以在不同的时间对其进行采样，以对奇异期权进行定价，从而在这些时间给出经验计量。2、凸序下由ν支配的概率测度集上u的Wasserstein投影2.1。定义、存在和独特性。对于Rd上的马尔可夫核R（x，dy），wesetmR（x）=x的ZRdyR（x，dy）∈ Rds。t、 ZRd | y | R（x，dy）<∞.众所周知（见第78–80页【11】或第117页【24】如果π∈ π（u，ν），存在一个u（dx）-a.e.唯一马尔可夫核R，使得u（dx）R（x，dy）=π（dx，dy）。该内核显然满足了Lyrx∈Rdu（dx）R（x，dy）=ν（dy），我们稍后会注意到uR=ν。

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2022-6-1 08:40:35

相反，ifR是满足uR=ν的核，那么u（dx）R（x，dy）定义了∏（u，ν）中的概率度量。我们定义了P（Rd）在Rdand上的概率度量集，为%≥ 1，P%（Rd）={u∈ P（Rd），ZRd | x |%u（dx）<∞},具有有限阶矩%的概率测度集。假设ν∈ P（Rd）和R是马尔可夫核，使得uR=ν。然后ZRd×Rd | y | R（x，dy）u（dx）=ZRd | y |ν（dy）<∞因此mR（x）定义为u（dx）-a.e。。此外，对于每个凸函数φ：Rd→ R这样的supx∈Rd |φ（x）| 1+| x |<∞, 根据Jensen不等式，ZRdφ（y）ν（dy）=ZRd×Rdφ（y）u（dx）R（x，dy）≥ZRdφZRdyR（x，dy）u（dx）=ZRdφ（mR（x））u（dx）。尽管下面的引理A.1限制了凸函数φ的增长，但这确保了mR#u≤cxν。对于%≥ 1和u，ν∈ P%（Rd），我们考虑最小化问题（1.1）的以下推广：（最小化J%（R）：=RRd | x- mR（x）|%u（dx），在R是马尔可夫核的约束下，使得uR=ν。请注意，这个问题是Gozlan等人[15]和Alibert等人[3]所考虑的一般运输成本的一个特例，他们对对偶结果感兴趣，Backho ff Veraguas等人[5]则以循环单调性的精神处理最优运输计划的存在以及必要和有效的最优条件。Gozlan和Juillet【13】凸阶概率测度的抽样5描述了成本J在u和ν之间的最优运输计划。当通过设置r（x，dy）=（PJj=1rijδYj（dy）来恢复Xiaredistinct（1.1）时，对于某些i∈ {1，…，I}δx（dy）如果x/∈ {X，…，XI}。在（1.1）中的最优性条件下，由Jensen的不等式jj=1rijYj=PJj=1rkjyjj，当Xi=Xkfor1≤ k 6=i≤ 当Xi=Xkis通过设置r（x，dy）=（PIi=1{Xi=x}Pi恢复时，用附加约束修改问题（1.1）：Xi=xPJj=1rijδYj（dy），如果x∈ {X，…，XI}δX（dy）如果X/∈ {X。

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2022-6-1 08:40:38

，XI}。根据下一个定理，广义问题等价于在%Wasserstein距离的凸序下，计算由ν支配的概率测度集上u的投影。定理2.1。出租%≥ 1, u, ν ∈ P%（Rd）。一个具有infR：uR=νJ%（R）=infη∈P（ν）W%%（u，η），其中两个单位均达到。如果%>1，则函数{mR？：uR？=ν和J%（R？）=infR：uR=νJ%（R）}u（dx）a.e.是否相等，u%P（ν）：=mR#u是唯一的η≤cxν最小化w%%（u，η）和u（dx）δmR？（x）（dy）唯一最优运输计划π∈ π（u，u%P（ν）），使得w%%（u，u%P（ν））=RRd×Rd | x- y |%π（dx，dy）。当%>1时，u%P（ν）是u在概率测度集上的投影，该概率测度集由ν在凸序和u%P（ν）中支配≤cxν。证据对于η∈ P（Rd），W%%（u，η）≤ZRd×Rd | x- y |%u（dx）η（dy）≤ 2%-1.ZRd | x |%u（dx）+ZRd | y |%η（dy）.如果η，则右侧为有限∈ 自supη起的P（ν）∈P（ν）RRd | x |%η（dx）=RRd | x |%ν（dx）。通过马尔可夫不等式和普罗霍罗夫定理，最后一个界意味着对于弱收敛拓扑，P（ν）是相对紧的。对于K∈ (0, ∞) 和η≤cxν，用R表示鞅核，使得ηR=ν，我们有zrd | x | 1{| x|≥K} η（dx）=ZRdZRdyR（x，dy）{| x|≥K} η（dx）≤ZRd×Rd | y | 1{| x|≥K} R（x，dy）η（dx）≤ZRd×Rd | y | 1{| y|≥√K} R（x，dy）η（dx）+√KZRd{| x|≥K} η（dx）≤ZRd | y | 1{| y|≥√K} ν（dy）+RRd | x |η（dx）√K≤ZRd | y | 1{| y|≥√K} ν（dy）+RRd | y |ν（dy）√K、对于{η中的（ηn）na序列∈ P（Rd）：η≤cxν}弱收敛于η∞, 这意味着一致可积性，确保φ：Rd→ R连续且supx∈Rd |φ（x）| 1+| x|<∞, 画→∞RRdφ（x）ηn（dx）=RRdφ（x）η∞（dx）。利用下面的引理A.1和Rd上实值凸函数的连续性，我们推导出η∞∈ P（ν）。

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2022-6-1 08:40:41

因此，对于弱收敛拓扑，P（ν）是紧的。6奥尔·埃林·阿方西、雅各布·科尔贝塔和本杰明·乔丹，自η7起→ W%%（u，η）对于该拓扑是下半连续的，是否存在η？∈ P（ν），例如W%%（u，η？）=infη∈P（ν）W%%（u，η）。设P是鞅马尔可夫核，使得η？P=ν，Q是马尔可夫核，使得uQ=η？和W%%（u，η？）=RRd×Rd | x-y |%Q（x，dy）u（dy）。一个具有uQP=η？P=ν，通过P的鞅性，mQP（x）=ZRd×RdzP（y，dz）Q（x，dy）=ZRdyQ（x，dy）。利用Jensen不等式，我们推导出w%%（u，η？）=ZRd×Rd | x- y |%Q（x，dy）u（dy）≥ZRd公司x个-ZRdyQ（x，dy）%u（dx）=J%（QP）。（2.1）另一方面，对于任何马尔可夫核R，uR=ν，mR#u≤cxν和J%（R）=RRd | x- mR（x）|%u（dx）≥ W%%（u，mR#u）。HenceinfR：uR=νJ%（R）≥ infη∈P（ν）W%%（u，η）=W%%（u，η？）≥ J%（QP）≥ infR：uR=νJ%（R），因此两个in fi都相等，且J%（QP）=infR：uR=νJ%（R）。此外，（2.1）中的不等式是一个等式。如果%>1，则通过x 7的严格凸性→ |x |%，这意味着u（dx）a.e.R（x，dy）=δmQP（x）（dy），因此η？=uQ=mQP#u。对于%>1，mR的独特性？也是从x 7的严格凸性得到的→ |x |%。也就是说，对于任何最优核R？我们有J%（（R？+QP）/2）=ZRdx个-先生（x） +mQP（x）%u（dx）≤ZRd | x- 先生（x） |%+| x- mQP（x）|%u（dx）=（J%（R？）+J%（QP））=参考：uR=νJ%（R）。自uR+QP=ν，我们必须有J%（（R？+QP）/2）=inf：uR=νJ%（R），然后是mr？（x） =mQP（x），u（dx）-a.e。。备注2.2。当%=1时，让我们给出一个关于最优函数mr和概率测度η的非唯一性的例子？∈ P（ν），使得W（u，η？）=infη∈P（ν）W（u，η）。设u（dx）=1[0,1]（dx）（分别ν（dy）=1[1,2]（dy））为[0,1]（分别。

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能者818

2022-6-1 08:40:44

[1, 2]).我们有：uR=νJ（R）≥ infR：uR=νZRxu（dx）-ZRmR（x）u（dx）=ZRxu（dx）-ZRyν（dy）= 1、对于λ∈ [0，1]，Rλ（x，dy）=（1- λ） δ1+x（dy）+λδ2-x（dy）为uRλ=ν，mRλ（x）=（1+λ）+（1-2λ）x和mRλ#u是[（1+λ）上的统一定律∧(2 -λ), (1 + λ) ∨(2 -λ)].使用该mRλ（x）≥ 1代表x∈ （0，1）对于第一个等式，我们有w（u，mRλ#u）≤ J（Rλ）=Z1+λ- 2λxdx=1=infη∈P（ν）W（u，η）。因此，所有核Rλ和推进测度mRλ#u都是最优的。示例2.3。Letu≤cxν和%≥ 1、我们假设ν∈ P%，这意味着u∈ P%。对于α∈ Rd，设uα为ux 7的图像→ x+α。然后，对于任何核R，使得凸阶概率测度的采样7uαR=ν，ZRd | x- mR（x）|%uα（dx）≥ZRdx公司- mR（x）uα（dx）%=ZRdxuα（dx）-ZRdyν（dy）%=ZRdxuα（dx）-ZRdxu（dx）%= |α|%.当R（x，dy）=Q（x）时，得到了该下界-α、 dy），其中Q是任意鞅核，uQ=ν，因为mR（x）=x-α用于此选择。因此，对于%>1，（uα）%P（ν）=u。让我们观察一下，如果u，ν∈ P%（Rd）%>1，那么我们有u，ν∈ 任何%∈ (1, %). 通常，如下一示例中所示，u%P（ν）与u%P（ν）不同。示例2.4。设d=2，u=δ（1,0）+δ（0，a）用一个∈ R和ν=δ(1,0)+ δ(-1,0).对于%>1，因为根据定理2.1，u%P（ν）是u通过一些传输映射的图像，u%P（ν）≤cxν，一个有u%P（ν）=δ（x%，0）+δ(-x%，0）对于某些x%∈ [0, 1]. 对于x∈ [0，1]，因为（x，0）和（0，a）之间的距离(-x、 0）和（0，a）相等，而（x，0）更接近（1，0）比(-x、 0），其中一个具有2W%%（u，δ（x，0）+δ(-x、 0）) = (1-x） %+（a+x）%/2。因为x 7是唯一的最小值→ (1 - x） [0，1]上的+（a+x）是，一个有x=和uP（ν）=δ(1/2,0)+ δ(-1/2,0).

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2022-6-1 08:40:48

因为x 7是唯一的最小值→ (1 - x） [0，1]上的+（5+x）3/2表示∈ {-√5.√5} ，其中一个具有x=和uP（ν）=δ(1/4,0)+ δ(-1/4,0).然而，情况在维度d=1上有着显著的不同，根据Gozlan等人【14】定理1.5，投影不取决于%。我们将通过用u和ν的分位数函数来描述它的分位数函数来明确这个投影。2.2. 尺寸d=1。设Fu（x）=u((-∞, x] ）和Fν（x）=ν((-∞, x] ）是累积分布函数，对于p∈ （0，1），F-1u（p）=inf{x∈ R:Fu（x）≥ p} andF公司-1ν（p）=inf{x∈ R:Fν（x）≥ p} 它们的左连续非递减广义逆也被称为分位数函数。凸阶在分位数函数方面的特征如下（见定理3.A.5【26】）：对于u，ν∈ P（R），u≤cxνi ff ZF-1u（p）dp=ZF-1ν（p）dp和q∈ （0，1），ZqF-1u（p）dp≤ZqF公司-1ν（p）dp。（2.2）注意，由于该特性，如果u≤cxν，那么对于I，k≥ 1，IPIi=1δIRiIi-1如果-1u（u）du≤cxkIPkIj=1δkIRjkIj-1如果-1ν（u）du，如Baker在定理2.4.11【6】中所述。定理2.5。对于u，ν∈ P（R），设ψ表示函数[0，1]3 q 7的凸包（从上到下的最大凸函数）→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。存在概率度量uP（ν），因此q∈ [0，1]，RqF-1uP（ν）（P）dp=RqF-1u（p）dp- ψ（q）。此外，uP（ν）∈ P（ν），对于每个%>1，使得u，ν∈ P%（R），u%P（ν）=uP（ν）。最后，T（x）=F-1u（Fu（x））- ψ（Fu（x）-) 是非递减的，是最佳传输图：T#u=uP（ν），并且对于所有%≥ 1，W%%（u，uP（ν））=RR | T（x）- x |%u（dx）。对于概率度量，uI=PIi=1piδxi（分别是νJ=PJj=1qjδyj），在实线上与（p，…，pI）∈ （0，1）i和x<x<…<xI（分别为q，…，qJ）∈ （0，1）Jand y<y<8 AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAIN。

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可人4

2022-6-1 08:40:52

<yJ），连续分段函数q 7→RqF-1uI（p）-F-1νJ（p）dp在q处改变坡度∈ {Pik=1pk：1≤ 我≤ 我-1}∪{Pjk=1qk：1≤ j≤ J-1} 更改等于toPI-1i=1{q=Pik=1pk}（xi+1- 十一）-PJ公司-1j=1{q=Pjk=1qk}（yj+1- yj）（如果q=Pik=1pk=Pjk=1qkand xi+1，则可等于零- xi=yj+1- yj）。很明显，ψ是分段的，并且在点q处最多改变斜率∈ {Pik=1pk：1≤ 我≤ 我- 1} 变化不超过xi+1- xiso即（uI）P（νJ）=PIi=1piδzi和z≤ z≤ . . . ≤ zI。凸壳ψ可用Andrew的单调链算法和点（zi）i计算∈我很容易堕落。定理2.5的证明依赖于下面的引理，并在证明后推迟。引理2.6。设%>1和u，ν∈ P%（R）。然后（0，1）3第7页→ F-1u%P（ν）（P）- F-1u（p）不增加。证据如果第7页→ F-1η（p）- F-对于某些η，1u（p）不是不增加的∈ P（ν），可以找到eη∈ P（ν），使得W%%（u，eη）<W%%（u，η），其中，根据比例2.17【25】，W%%（u，η）=R | F-1η（p）- F-1u（p）|%dp。具有P 7的左侧连续性→ F-1η（p）- F-1u（p），该函数的无单调性相当于0<Z（0,1）Iη（p，q）dpdq，其中Iη={（p，q）：（p-q）（F）-1η（p）-F-1u（p）-F-1η（q）+F-1u（q））>0}。设α（p，q）=1Iη（p，q）F-1η（p）-F-1u（p）-F-1η（q）+F-1u（q）2（F-1η（p）-F-1η（q）），其中可以轻松检查分母在Iη上是否消失，以及0≤ α（p，q）=α（q，p）<1。

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2022-6-1 08:40:56

对于（p，q）∈ Iη，α（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）- F-1u（p）=F-1η（p）- F-1u（p）+F-1η（q）- F-1u（q），因此通过严格凸性，|F-1η（p）- F-1u（p）|%+| F-1η（q）- F-1u（q）|%>|α（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）- F-1u（p）|%。利用Jensen不等式，我们推导出w%%（u，η）=Z（0,1）| F-1η（p）- F-1u（p）|%+| F-1η（q）- F-1u（q）|%dpdq>Z（0,1）|α（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）- F-1u（p）|%dpdq≥ZZα（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）dq- F-1u（p）%数据处理右侧不小于W%%（u，eη），其中eη表示（0，1）上的Lebesguemeasurement图像，p 7→Rα（p，q）F-1η（q）+（1- α（q，p））F-1η（p）dq。φ：R→ R凸面，使supx∈R |φ（x）| 1+| x |%<∞, 根据Jensen不等式，ZRφ（x）eη（dx）≤Z（0,1）α（p，q）φ（F-1η（q））+（1- α（q，p））φ（F-1η（p））dqdp=Zφ（F-1η（q））dq。由于右侧等于toRRφ（x）η（dx），通过下面的引理A.1，我们得到了eη∈ P（ν）。凸阶概率测度的抽样9定理2.5的证明。设U在（0，1）上均匀分布。自所有q∈ [0，1]，RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp≥RqF-1u（p）dp- qRF-1ν（p）dp，其中右侧是q的凸函数，其中ψ（0）=0，ψ（1）=RF-1u（p）-F-1ν（p）dp。通过下面的引理A.2，q 7和→RqF-1u（p）dp和q 7→RqF-1ν（p）dp表示q 7→RqF-1u（p）dp- ψ（q）是凸的。设f表示该函数的左导数，uP（ν）表示f（U）的概率分布。根据下面的引理A.3，f等于f-1uP（ν），以便q∈ [0，1]，RqF-1uP（ν）（P）dp=RqF-1u（p）dp- ψ（q）。让q∈ [0, 1]. 自ψ（q）≤RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp，当q=1时相等，一个hasRqF-1uP（ν）（P）dp=RqF-1u（p）dp- ψ（q）≥RqF-q=1时等于1的1ν（p）dp，因此通过（2.2），up（ν）≤cxν。

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2022-6-1 08:40:59

通过[0，1]3 q 7的凹度→ -ψ（q）=RqF-1uP（ν）（P）- F-1u（p）dp，左连续函数（0，1）3 p 7→ F-1uP（ν）（P）- F-1u（p）不增加。seteP（ν）：={η∈ P（ν）：（0，1）3 P 7→ F-1η（p）- F-1u（p）不增加}不为空，因为up（ν），δRRyν（dy）∈eP（ν）。设D（η）表示F的分布-1η(1 -U）-F-1u(1 - U）对于η∈eP（ν）。对于所有η∈eP（ν），RR | x | D（η）（dx）<∞ andRRxD（η）（dx）=EF-1η(1 - U）- F-1u(1 - U）=RRx（ν- u）（dx）。根据下面的引理A.4，集合{D（η）：η∈eP（ν）}允许凸阶和所有q的一个内界π∈ [0，1]，RqF-1π（p）dp=infη∈eP（ν）RqF-1D（η）（p）dp。对于η∈eP（ν），自（0，1）3 p 7→ F-1η(1 - p）- F-1u(1 - p） isnon递减，引理A.3，第7页→ F-1D（η）（p）和p 7→ F-1η(1 - p）-F-1u(1 - p）与它们共同的不连续性的最多可数集重合，前者是左连续的，后者是右连续的。因此对于q∈ [0,1]，ZqF-1π（p）dp=infη∈eP（ν）Z1-qF公司-1η（p）- F-1u（p）dp=- supη∈eP（ν）Z1-qF公司-1u（p）- F-1η（p）dp，其中右侧不大于r1-qF公司-1uP（ν）（P）-F-自up（ν）起的1u（p）dp∈eP（ν）。自η起∈eP（ν）i ff-1u- F-1η为非递减，R | F-1η（p）| dp<∞,射频-1η（p）dp=RF-1ν（p）dp和所有q∈ [0，1]，R1-qF公司-1η（p）dp≥R1级-qF公司-1ν（p）dp（见（2.2）），ψ的定义意味着对于所有q∈ [0，1]，supη∈eP（ν）R1-qF公司-1u（p）- F-1η（p）dp≤ ψ(1 -q） =R1-qF公司-1u（p）- F-1uP（ν）（P）dp。亨塞尔夫-1π（p）dp=R1-qF公司-1uP（ν）（P）- F-1u（p）dp=RqF-1D（uP（ν））（P）dp，适用于所有q∈ [0，1]确保π是分布D（uP（ν））ofF-1uP（ν）（1- U）- F-1u(1 - U）。因此，如果%>1为u，ν∈ P%（R），W%%（u，uP（ν））=Eh | F-1uP（ν）（1- U）- F-1u(1 - U）|%i=ZR | x |%π（dx）≤ infη∈eP（ν）E|F-1u(1 - U）- F-1η(1 - U）|%= infη∈eP（ν）W%%（u，η）=infη∈P（ν）W%%（u，η），其中我们使用π的定义和R 3 x 7的凸性→ |x |%表示不等式，引理2.6表示最终等式。

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2022-6-1 08:41:04

由于根据定理2.1，u%P（ν）是P（ν）上w%%（u，η）的唯一极小值，我们得出结论，uP（ν）=u%P（ν）。从分位数函数的左连续性，我们得到F-1uP（ν）（P）=F-1u（p）- ψ（p-)对于p∈ （0，1），此函数为非递减函数。因此，T是不递减的。为了总结10 AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdaint的证据，现在有必要检查T（F-1u（p））=F-1u（p）- ψ（p-) 对于a.e.p∈(0, 1). 事实上，结合逆变换采样和命题2.17【25】，这确保了Tu=uP（ν）和w%%（u，uP（ν））=Z | F-1u（p）- T（F-1u（p））|%dp=ZR | x- T（x）|%u（dx）。通过定义分位数函数F-1u，适用于所有x∈ R、 F级-1u（Fu（x））≤ x和右侧Fu的连续性，对于所有p∈ （0，1），Fu（F-1u（p））≥ p、用Fuwe的单调性导出所有x的单调性∈ R使得Fu（x）∈ （0，1），Fu（F-1u（Fu（x））=Fu（x）。因此，如果p∈ （0，1）对于某些x，p=Fu（x）∈ R、然后T（F-1u（p））=F-1u（p）- ψ（p-).否则，p∈ [Fu（x-), Fu（x））对于某些x∈ R使得u（{x}）>0。我们观察到F-1u（q）和ψ（q-) 是恒定的（Fu（x-), Fu（x）]，自第7季度起→RqF-1u（u）- F-1ν（u）du在此间隔上是凹的。对于p∈ （Fu（x-), Fu（x）]，我们有F-1u（p）=x，我们得到（F-1u（p））=F-1u（Fu（x））- ψ（Fu（x）-) = F-1u（p）- ψ（p-). 因此，p的等式在可数集{Fu（x）之外-) : x个∈ R s.t.u（{x}）>0}。3、凸序近似下一个命题是构造保持凸序的概率测度近似的关键结果。提案3.1。出租%≥ 1，u，ν，uI，νJ∈ P%（Rd），使u≤cxν。那么，我们有w%（u，（uI）%P（νJ））≤ 2W%（u，uI）+W%（ν，νJ），其中，对于%=1，稍微滥用符号，（uI）P（νJ）表示任何η？∈ P（νJ）使得w（uI，η？）=infη∈P（νJ）W（uI，η）。Letu，ν∈ P%（Rd）应为u≤cxν。

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2022-6-1 08:41:08

根据命题3.1，如果我们有满足W%（u，uI）的近似值uIandνj→我→+∞0和W%（ν，νJ）→J→+∞0，那么（uI）%P（νJ）也接近u，因为我们有W%（u，（uI）%P（νJ））→一、 J→+∞特别是，如果我们采取i.i.d.样本（Xi）i≥1（分别为Yj）j≥1）根据u（分别为ν）分布，经验测量值uI=IPIi=1δXi（分别为νJ=JPJj=1δYj）满足W%（u，uI）→我→+∞0（分别为W%（ν，νJ）→J→+∞0）几乎可以肯定。事实上，大数定律给出了ui向u的几乎确定的弱收敛性，以及πi=1 | Xi |%toRRd | x |%u（dx）的几乎确定的收敛性。根据[4]的命题7.1.5，我们得到W%（u，uI）→我→+∞0几乎可以肯定。在对测度u和ν进行更严格的假设下，我们几乎可以确定收敛速度的估计。让我们假设u是这样的：Eα，γ=RRdeγ| x |αu（dx）<∞ 对于某些α>%和γ>0。然后，根据Fournier和Guillin[12]的定理2，常数c，c>0取决于%，d，α，γ，Eα，γ，使得x个∈ （0，1），P（W%（u，uI）>x）=P（W%%（u，uI）>x%）≤ C扩展(-cIxd公司∨(2%)).因此，我们有∞I=2PW%（u，uI）>2日志（I）cId∨(2%)≤ 人物配对关系∞I=2I-2< ∞, 几乎可以肯定的是我≥ 一、 W%（u，uI）≤2日志（I）cId∨(2%). 凸阶11x 7概率测度的SinceSAMPLING→ eγ| x |α是凸的，RRdeγ| x |αν（dx）<∞ ==>RRdeγ| x |αu（dx）<∞, 在这种情况下，W%（u，uI）=O日志（I）Id∨(2%)W%（ν，νJ）=O对数（J）Jd∨(2%)和thusW%（u，（uI）%P（νJ））=I，J→+∞O日志（I∧ J）我∧ Jd∨(2%)!, a、 s.【12】的定理2也给出了P（W%（u，uI）>x）在u上不同的最弱衰减下的上界。在这些情况下，我们可以重复相同的论点，得到W%（u，uI）向0的较弱收敛率。我们现在简要地考虑多边际的情况。出租%≥ 1, ` ≥ 2、我，我是积极的智者，u`是RDS上的概率度量，因此u≤cx。≤cxu`和Rrd | x |%u`（dx）<∞.

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能者818

2022-6-1 08:41:10

我们考虑1≤ k≤ `, ukIk=IkPIki=1δxkit i.i.d.样品Xk的经验测量，xkikd根据uk分布。让我们设置u`、%I`=u\'I\'，并通过反向归纳k定义（使用%=1命题3.1中的符号滥用）∈ {1, . . . , ` - 1} ，投影uk，%Ik，。。。，W%Wasserstein距离的集合P（uk+1，%Ik+1，…，I`）中ukIkon的I`。那么，根据命题3.1，我们有≤ k≤ ` - 1，W%（uk，uk，%Ik，…，I`）≤ 2W%（uk，ukIk）+W%（uk+1，uk+1，%Ik+1，…，I`）。因此，我们通过归纳推断W%（uk，uk，%Ik，…，I`）≤ 2`-1Xk=千瓦%（uk，ukIk）+瓦%（u`，u\'I`）。我们最终得到以下结果。提案3.2。出租%≥ 1, u, . . . , u`是RDS上的概率度量，因此u≤cx。≤cxu`和Rrd | x |%u`（dx）<∞. 然后，正如我所说，我`→ +∞,P\'k=1W%（uk，uk，%Ik，…，I`）几乎肯定会收敛到0。此外，如果rRDEγ| x |αu`（dx）对于某些α>%和γ>0，我们有a.s.P` k=1W%（uk，uk，%Ik，…，I`）=貂皮=1`Ik→+∞Olog（貂=1，…，`Ik）貂=1`Ikd∨(2%).命题3.1的证明。我们认为%>1。设Q%uI（分别为Q%ν）为马尔可夫核，使得uI（dx）Q%uI（x，dy）（分别为ν（dx）Q%ν（x，dy））是W%（uI，u）（分别为W%（ν，νJ））的最优传输计划。设R（x，dy）是一个鞅核，使得ν=uR。我们观察到Q%uIRQ%ν是一个马尔可夫核，使得uIQ%uIRQ%ν=uRQ%ν=νQ%ν=νJ。

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2022-6-1 08:41:14

根据定理2.1,12，AUR\'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINthen利用R的鞅性质、Jensen不等式和Minkowski不等式，我们得到了w%（uI，（uI）%P（νJ））≤ J1/%%（Q%uIRQ%ν）=ZRd公司ZRd×Rd×Rd（x- w+w- y） Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）%uI（dx）1/%=ZRd公司ZRd×Rd×Rd（x- w+z- y） Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）%uI（dx）1/%≤ZRd×Rd×Rd×Rd | x- w+z- y |%Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）uI（dx）1/%≤ZRd×Rd | x- w |%Q%uI（x，dw）uI（dx）1/%+ZRd×Rd | z- y |%ν（dz）Q%ν（z，dy）1/%=W%（uI，u）+W%（νJ，ν）。根据W%（u，（uI）%P（νJ））的要求≤ W%（u，uI）+W%（uI，（uI）%P（νJ））。4、凸序集u，ν中大于u的概率测度集上ν的Wasserstein投影∈ P%（Rd）。我们刚刚提出了一个度量u%P（ν）的构造，例如u%P（ν）≤cxν。然后，一个自然的问题是：我们是否可以构造一个类似的度量ν%(R)P（u），使得u≤cxν%？P（u）？让我们从两个经验度量uI=IPIi=1δxindνJ=JPJj=1δYj开始。自然构造是取（νJ）%？P（uI）=JPJj=1δeYj，其中（eYj，J=1，…，J）∈ （Rd）JminimizesPJj=1 | eYj- 约束uI下的Yj |%≤cxJPJj=1δeYj（当J=I时，通过取eYj=Xjforj=1，…，J或当J≥ d+1由takingeYj表示，j=1，d+1是通过某种相似变换得到的正则单纯形的垂直方向的图像）。ν%(R)P（u）的类似构造是取ν%(R)P（u）=T#ν，其中T:Rd→ RDI是一个可测量的地图，可将SRD | y最小化- T（y）|%ν（dy），在u约束下≤cxT#ν。更一般地说，wede fineν%(R)P（u）：=arg minη∈\'P（u）W%（ν，η），其中\'P（u）={η∈ P（Rd）：u≤cxη}。现在让我们假设%>1。后一个问题与前一个问题一致，当ν相对于Lebesgue测度是绝对连续的（即。

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2022-6-1 08:41:17

对于Lebesgue测度为零的任何Borelset A，ν（A）=0），因为我们知道在这种情况下，Wasserstein距离W%的最佳耦合由传输图给出，参见[4]中的定理6.2.4。我们现在检查它是否定义良好。Let（ηn）n≥1.∈ （P%（Rd））Nbe，使ηn∈\'P（u）和W%（ν，ηn）→n→+∞infη∈(R)P（u）W%（ν，η）。设πn∈ π（ν，ηn）表示在ν和η之间的最佳输运计划（对于W%）。我们有R | x |%ηn（x）1/%=W%（ηn，δ）≤ W%（ηn，ν）+W%（ν，δ）：矩的有界性确保存在一个子序列，使得πν（n）和ην（n）弱收敛于π∞和η∞. 这给出了infη∈(R)P（u）W%%（ν，η）≥ 画→+∞R（| x-y |%∧K） πД（n）（dx，dy）=R（| x-y |%∧K） π∞（dx，dy）对于任何K>0。通过单调收敛，我们得出infη∈(R)P（u）W%（ν，η）≥R | x-y |%π∞（dx，dy）。很明显，π∞是νetη之间的耦合∞. 此外，从%阶矩上的界给出的一致可积性出发，我们对凸阶概率测度13进行抽样，得到任何凸函数φ：Rd的一致可积性→ Rd以便supx∈Rd |φ（x）| 1+| x |<∞,Rφ（x）u（dx）≤Rφ（x）ηД（n）（dx）→n→+∞Rφ（x）η∞（dx）。因此，通过下面的引理A.1，η∞∈(R)P（u），表示存在最小值。当ν相对于lebesgue测度绝对连续时，我们可以证明这个最小值是唯一的。让我们考虑η，η∈\'P（u），使得W%（ν，η）=W%（ν，η）=infη∈(R)P（u）W%（ν，η）。一个有（η+η）∈(R)P（u），根据下面的Emma A.5，我们得到W%ν,(η+ η)≤ infη∈\'P（u）W%（ν，η）和η=η，因为它们的内在质量必然相等。在维1中，唯一性仍然成立，对ν没有任何假设。事实上，根据（2.2），概率度量“η”由F定义-1’η=（F-1η+F-1η）为u≤cx？η。再次通过引理A.5，W%（ν，’η）≤ infη∈(R)P（u）W%（ν，η）和η=η，因为不等式必然是一个等式。

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2022-6-1 08:41:20

尺寸d=1，如果u，ν∈ P（R），leteP（u）：={η∈(R)P（u）∩ P（R）：（0，1）3 P 7→ F-1η（p）- F-1ν（p）为非递减}。Leteψ表示函数q 7的凹壳（大于的最小凹函数）→RqF-1u（p）-F-1ν（p）dp。有一个概率度量ν′P（u），使得rqf-1ν′P（u）（P）dp=eψ（q）+RqF-1ν（p）dp。此外，ν′P（u）∈eP（u）。对于η∈eP（u），设D（η）表示F的分布-1η（U）-F-1ν（U）表示U均匀分布在（0，1）上。根据下面的引理A.4，集合{D（η）：η∈eP（u）}允许凸阶和所有q的一个内界π∈ [0，1]，RqF-1π（p）dp=infη∈eP（u）RqF-1D（η）（p）。对于η∈eP（u），一个有F-1D（η）=F-1η- F-1νbyLemma A.3如下。事实上η∈eP（u）当且仅当ifRqF-1η（p）dp≥RqF-所有q为1u（p）dp∈ （0，1），q=0和[0，1]3 q 7相等→RqF-1η（p）- F-1ν（p）dp是凹的，可以推断q是凹的∈ （0，1），ZqF-1π（p）dp=infη∈eP（u）ZqF-1η（p）- F-1ν（p）dp=eψ（q）=ZqF-1ν′P（u）（P）- F-1ν（p）dp。因此π=D（ν′P（u））。如果u，ν∈ P%（R）对于某些%>1，则w%%（ν，ν′P（u））=Eh | F-1ν′P（u）（U）- F-1ν（U）|%i=ZR | x |%π（dx）≤ infη∈eP（u）E|F-1η（U）- F-1ν（U）|%= infη∈eP（u）W%%（ν，η）。根据下面的引理A.6，infη∈eP（u）W%（ν，η）=infη∈(R)P（u）W%（ν，η）。因此W%（ν，ν′P（u））=infη∈\'P（u）W%（ν，η）和ν%\'P（u）=ν\'P（u）。对于概率度量，uI=PIi=1piδxi（分别是νJ=PJj=1qjδyj），在实线上，与（p，…，pI）∈ （0，1）i和x<x<…<xI（分别为q，…，qJ）∈ （0，1）Jandy<y<…<yJ），eψ等于toRF-1uI（p）- F-1νJ（p）dp减去q 7的凸包ψ→RqF-1uI（p）- F-1νJ（p）dp已经在定理2.5之后讨论过，可以用Andrew的单调链算法计算。然后，可以计算概率度量（νJ）(R)P（uI），该概率度量用K表示kk=1rkδzk≤ I+J，z≤ z≤ . . .

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2022-6-1 08:41:23

≤ zKand（rk）1≤k≤K消除{0}递增重新排序的连续元素之间的差异∪ {Pik=1pk：1≤ 我≤ I}∪ {Pjk=1qk：1≤ j≤ J} 。Letu，ν∈ P%（Rd），使u≤cxν和uI，νJ∈ P%（Rd）是u和ν的任意近似值。概率测度（νJ）%P（uI）（或14 AUR'ELIEN ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN Jourdain唯一性未显示时的任何最小化概率测度）满足%（（νJ）%P（uI），ν）≤ W%（u，uI）+2W%（ν，νJ）（4.1）我们像命题3.1的证明一样进行。设Q%uI（分别为Q%ν）是马尔可夫核，使得uI（dx）Q%uI（x，dy）（分别为ν（dx）Q%ν（x，dy））是W%（uI，u）（分别为W%（ν，νJ））的最优传输计划，R是鞅核，使得uR=ν。我们显然有νJ=uIQ%uIRQ%ν。利用Jensen不等式和R的鞅性质，我们得到了uI≤cx（（x，w，z）7→ x+z- w） #uI（dx）Q%uI（x，dw）R（w，dz），因此infη∈(R)P（uI）W%（νJ，η）≤Z（Rd）| x+Z- w- y |%uI（dx）Q%uI（x，dw）R（w，dz）Q%ν（z，dy）！1/%.我们使用Minkowski不等式和三角形不等式W%（（νJ）%？P（uI），ν）得到（4.1）≤W%（（νJ）%？P（uI），νJ）+W%（ν，νJ）。在多边缘情况下，感应式定义u1，%I=uI，k∈ {2，…，`}，uk，%I，。。。，IkasukIkon'P（uk）的W%投影-1，%I，。。。，Ik-1），我们推断k∈ {2，…，`}，W%（uk，uk，%I，…，Ik）≤ W%（u，uI）+2kXk=2W%（uk，ukIk）。尽管我们在下一个命题中总结了所有这些有趣的性质，但测量值（s）ν%-P（u）do（es）似乎不容易用数值计算，即使%=2。事实上，在极小化程序中，凸阶约束并不容易处理。更准确地说，在经验测量的情况下，必须将EPJj=1 | eYj最小化- Yj |在约束条件下，pii=1δXi≤cxJPJj=1δeYj。

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2022-6-1 08:41:26

即使在标注1中，此约束也不是线性的，因为它等效于maxiXi≤ maxjeYj，miniXi≤ minjeYj，IPIi=1Xi=JPJj=1eYj，andIPIi=1（Xi-eYj）+≤JPJj=1（eYj-eYj）+对于任何1≤ j≤ J、参见[1]中的推论2.2。这就是为什么我们主要关注uP（ν），它可以清晰地实现具有线性约束的二次问题。定理4.1。对于%>1，如果u，ν∈ P%（Rd），然后infη∈\'P（u）W%%（ν，η）是通过某种概率测度ν%\'P（u）获得的，当ν相对于勒贝格测度绝对连续或d=1时，该测度是唯一的。如果u，ν∈ P（R），那么有一个概率ν′P（u），对于所有q∈ [0，1]，RqF-1ν′P（u）（P）dp=eψ（q）+RqF-1ν（p）dp，其中eψ表示函数q 7的凹壳→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。此外，对于每个%>1，ν%\'P（u）=ν'P（u），使得u，ν∈ P%（R）。最后，如果%>1和u，ν，uI，νJ∈ P%（Rd），然后是u≤cxν=> W%（（νJ）%？P（uI），ν）≤W%（u，uI）+2W%（ν，νJ）。比较W%（ν%？P（u），ν）和W%（u，u%P（ν））可以得出有趣的性质。推论4.2。对于%>1，u，ν∈ P%（Rd），我们有W%（ν%’P（u），ν）=W%（u，u%P（ν）），并且有一个可测量的传输图T:Rd→ 因此，ν%\'P（u）和ν之间的唯一最佳运输计划是ν%\'P（u）（dz）δT（z）（dy）。此外，对于任何鞅核，以凸阶15对概率测度进行采样，使得uR=ν%(R)P（u），u（dx）R（x，dz）a.e.，T（z）-z=RRdT（z）R（x，dz）-x、最后，在尺寸d=1时，u，ν∈ P（R），我们还有%≥ 1，W%（ν′P（u），ν）=W%（u，uP（ν））=R |ψ（u-)|%杜邦1/%，其中ψ（u-) 是函数[0，1]3 q 7的凸包ψ的左导数→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。证据自u起≤cxν%’P（u），我们可以用命题3.1中的（u，u，ν%’P（u），ν）替换（u，uI，ν，νJ），得到W%（u，u%P（ν））≤ W%（ν%？P（u），ν）。

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2022-6-1 08:41:30

使用该u%P（ν）≤cxν将定理4.1中的（u，uI，ν，νJ）替换为（u%P（ν），u，ν，ν），我们得到了逆不等式。现在，让%>1，R表示一个鞅核，使得uR=ν%\'P（u），Q表示一个Markovkernel，使得ν%\'P（u）（dz）Q（z，dy）是W%（ν%\'P（u），ν）的最优传输计划。重复命题3.1的论点（再次将（u，uI，ν，νJ）替换为（u，u，ν%’P（u，ν）），我们得到w%（u，u%P（ν））≤ZRd公司ZRd×Rd（x- y） R（x，dz）Q（z，dy）%u（dx）=ZRdZRd×Rd（z- y） R（x，dz）Q（z，dy）%u（dx）≤ZRd公司ZRd（z- y） Q（z，dy）%ν%(R)P（u）（dz）≤ZRd×Rd | z- y |%ν%\'P（u）（dz）Q（z，dy）=W%%（ν%\'P（u），ν）=W%%（u，u%P（ν））。最后一个不等式中的等式确保了ν%(R)P（u）（dz）a.e.，Q（z，dy）=δT（z）（dy），其中T（z）=RRdyQ（z，dy）。此外，第二个不等式中的等式意味着u（dx）R（x，dz）a.e.，T（z）- z=RRdT（z）R（x，dz）- x、如果eQ是另一个马尔可夫核，使得ν%’P（u）（dz）eQ（z，dy）是W%（ν%’P（u），ν）的最优输运计划，那么ν%’P（u）（dz）eQ+Q（z，dy）也是最优输运计划，而ν%’P（u）（dz）a.e.，eQ+Q（z，dy）是狄拉克质量，因此eQ（z，dy）=Q（z，dy）。在维度1中，我们观察到q∈ [0,1]，ZqF-1uP（ν）（P）dp=ZqF-1u（p）dp-ψ（q）和zqf-1ν′P（u）（P）dp=ZqF-1ν（p）dp+ψ（q）。（4.2）因此，我们有F-1uP（ν）（P）-F-1u（p）=-ψ（p-) 和F-1ν′P（u）（P）-F-1ν（p）=ψ（p-) 对于p∈ （0，1），给出了索赔。性质T（z）- z=RRdT（z）R（x，dz）- x、 u（dx）R（x，dz）a.e.在推论4.2中指出，在维度1中，νP（u）和ν之间的最佳迁移映射T应该是分段的，在orem a.4[8]中介绍的（u，νP（u））的不可约分量上斜率为1，前提是我们可以找到一个跨越整个分量的鞅核R。根据以下命题，情况确实如此，该命题更详细地展示了W%（ν′P（u），ν）和W%（u，uP（ν））的共同最佳传输图。提案4.3。设%>1，u，ν∈ P%（R）。Let（tn，tn），1≤ n≤ N、（分别为。

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2022-6-1 08:41:33

（tn，tn），1≤ n≤N）是（u，ν′P（u））（分别为（uP（ν），ν））的不可约组分。那么，我们有N=和Fu（tn）=FuP（ν）（tn），Fu（tn-) = FuP（ν）（tn-) 最多重新编号（tn）1≤n≤N、 16 AUR’elin ALFONSI、JACOPO CORBETTA和BENJAMIN JOURDAINLetψ是函数[0，1]3 q 7的凸包→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp。然后，函数T:R→ 定义人x个/∈ ∪1.≤n≤N（tn，tn），T（x）=F-1ν（Fν′P（u）（x））和1.≤ n≤ Nx个∈ （tn，tn），T（x）=x-ψ（Fu（tn-)) - ψ（Fu（tn））Fu（tn-) - Fu（tn）是W%（ν′P（u），ν）和W%（u，uP（ν））的最佳传输图。证据我们设置qn=Fu（tn）和qn=Fu（tn-). 从下面的（4.2）和引理A.8中，我们得到了[1]，引理A.8用分位数函数描述了不可约分量≤n≤N（qn，qn）=q∈ [0,1]，ZqF-1u（p）dp>ZqF-1ν′P（u）（P）dp=q∈ [0，1]，ψ（q）<ZqF-1u（p）dp-ZqF公司-1ν（p）dp=q∈ [0,1]，ZqF-1uP（ν）（P）dp>ZqF-1ν（p）dp=[1≤n≤N（FuP（ν）（tn），FuP（ν）（tn-)),这是第一个要求。从第二个等式出发，由于ψ是[0，1]3 q 7的凸包→RqF-1u（p）- F-1ν（p）dp，我们得到q/∈ ∪1.≤n≤N（qn，qn），ψ（q）=ZqF-1u（p）dp-ZqF公司-1ν（p）dp（4.3）和ψ（q）=ψ（qn）+ψ（qn）-ψ（qn）qn-qn（q- qn）对于q∈ [qn，qn]。从（4.2）可以看出q∈ （qn，qn），F-1ν′P（u）（q）=F-1ν（q）+ψ（qn）- ψ（qn）qn- qnand F-1uP（ν）（q）=F-1u（q）-ψ（qn）- ψ（qn）qn- qn。（4.4）（0，1）中的任意点q\\∪1.≤n≤N（qn，qn）是递增序列（qk）k的极限≥1点sin（0，1）\\∪1.≤n≤N（qn，qn）。自，根据（4.2）和（4.3），q-QKRQKF-1ν′P（u）（P）dp=q-QKRQKF-1u（p）dpandq-QKRQKF-1uP（ν）（P）dp=q-QKRQKF-1ν（p）dp，分位数函数的左连续性简化了F-1ν′P（u）（q）=F-1u（q）和F-1uP（ν）（q）=F-1ν（q）。我们推断q∈ (0, 1) \\ ∪1.≤n≤N（qn，qn），F-1ν′P（u）（q）=F-1u（q）和F-1uP（ν）（q）=F-1ν（q）。（4.5）根据推论4.2，在ν′P（u）和ν之间存在一个最佳运输映射。根据[25]中的命题2.17，我们得到了dq-a.e.eT（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν（q）。

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2022-6-1 08:41:36

对于x∈ R使得fν′P（u）（x-) < Fν′P（u）（x），自F-1ν′P（u）在（Fν′P（u）（x）上是常数（等于x-), Fν′P（u）（x）]，我们推导出左连续函数F-1ν在此间隔上也是常数。让我们现在开始∈ R∩ ∪1.≤n≤N{tn，tn}。通过对不可约组分的定义，我们得到了fν′P（u）（x-) ≤ Fu（x-) ≤ Fu（x）≤ Fν′P（u）（x）。（4.6）如果Fν′P（u）（x-) < Fν′P（u）（x），（F-1ν′P（u），F-1ν）是常数，等于（x，F-区间（Fν′P（u）（x））上的1ν（Fν′P（u）（x）））-), Fν′P（u）（x）]，通过定义T，T（F-1ν′P（u））和F-1ν在此间隔上相等。凸阶概率测度的抽样17我们现在要证明dq a.e.，T（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν（q），根据[25]中的命题2.17，它确保T是ν′P（u）和ν之间的最佳传输图。如果q∈ （Fν′P（u）（tn），Fν′P（u）（tn-)) 然后是F-1ν′P（u）（q）∈ （tn，tn）和T（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν′P（u）（q）-ψ（qn）-ψ（qn）qn-qn右侧等于F-1ν（q）乘以（4.4），因为，乘以（4.6），（Fν′P（u）（tn），Fν′P（u）（tn-)) （qn，qn）。根据上述x的推理∈ R∩ ∪1.≤n≤N{tn，tn}，T（F）之间的等式-1ν′P（u））和f-1ν仍然保持（Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn-)) ∪ （Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn）]。如果q/∈ （Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn）]，然后F-1ν′P（u）（q）≤ T或F-1ν′P（u）（q）>tn。我们推导出q的/∈ ∪1.≤n≤N（Fν′P（u）（tn-), Fν′P（u）（tn）]，F-1ν′P（u）（q）/∈ ∪1.≤n≤N（tn，tn）和T（F-1ν′P（u）（q））=F-1ν（Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q）））。右侧等于F-当FνP（u）（F-1ν′P（u）（q）-) =Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q））自那时起Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q））=当q>Fν′P（u）（F）时，q和其他-1ν′P（u）（q）-)因此，间隔（Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q）-), Fν′P（u）（F-1ν′P（u）（q））]其中F-1ν是常数q。在结论T（F）中-1ν′P（u）（q））=F-对于最大可数集{Fν'P（u）（tn）之外的q，1ν（q）-) :1.≤ n≤ N}∪ {Fν'P（u）（x-) : x个∈ R s.t.Fν′P（u）（x-) < Fν′P（u）（x）}，因此dq a.e。。利用（4.5），我们推导出dq a.e。

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2022-6-1 08:41:39

在（0，1）上\\∪1.≤n≤N（qn，qn），T（F-1u（q））=F-1uP（ν）（q）。国际单项体育联合会∈ （qn，qn）对于某些1≤ n≤ N、然后是F-1u（q）∈ （tn，tn）和，通过定义T和（4.4），T（F-1u（q））=F-1u（q）-ψ（qn）-ψ（qn）qn-qn=F-1uP（ν）（q）。因此，dq a.e.T（F-1u（q））=F-1uP（ν）（q）和t是u和uP（ν）之间的最佳传输图。数值实验5.1。瓦瑟斯坦距离。我们首先用数值方法说明命题3.2中得到的收敛性，并从定理4.1中推导出来。我们在一个例子中展示了当uI和νI分别是u和ν与u的经验度量时，瓦瑟斯坦距离的瓦瑟斯坦投影（uI）%P（νI）（分别为（νI）%P（uI））向u（分别为ν）的收敛性≤cxν。为此，我们考虑一个维数为1且%=2的例子，以便可以根据定理2.5和4.1显式计算投影。我们取u=N（0，1）和ν=N（0，1.1）。对于I≥ 1，我们考虑独立样本X，XIand Y，yi分别按u和ν分布。然后，我们设置uI=IPIi=1δXi，νI=IPIi=1δYi，’Xi=IPIi=1Xi，’Yi=IPIi=1Yi，euI=IPIi=1δXi-(R)xind eνI=IPIi=1δYi-\'\'易。注意，为了确定euI和eνI，我们利用了u和ν的共同平均值知识。这种情况在金融应用中很常见：贴现资产价格是鞅，其均值由现值给出。我们计算瓦瑟斯坦投影（uI）P（νI）和（euI）P（eνI）（分别为（νI）(R)P（uI）和（eνI）(R)P（euI）），以及每个测量值和u（分别为。

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2022-6-1 08:41:42

ν），如下所述。作为与这些预测的比较，我们考虑了u和ν乘以uI的各自近似值∧νI和uI∨νI，其中uI∧νI和uI∨νi分别定义为ui的上确界和上确界，对于递减凸阶，当nipii=1Xi≤IPIi=1yi，对于增加的凸阶，否则为uI∧νI∈ P（νI）和uI∨νI∈？P（uI）。我们还考虑了euI的近似值∧ eνI和euI∨ eνI.对于具有有限支持的概率测度（见[2]或[1]）以及维1.4 5 6 7 8 9 105.04.54.03.53.02.52.01.51.00.54 5 6 7 9 105.04.54.03.53.02.52.51.00.00.5 5 5 5 5 5 5 5 9 105.04.53.02.52.01.51.00.5图1中的瓦瑟斯坦预测的自然替代方案，可以明确计算这些近似值。Wasserstein距离的对数在log（I）函数中的绘图。图1左侧（分别为右侧）的图表说明了W（u，uI）的收敛性∧ νI），W（u，（uI）P（νI）），W（uI∨νI，ν）和W（（νI）(R)P（uI），ν）（分别为W（u，euI∧eνI），W（u，（euI）P（eνI）），W（euI∨eνI，ν）和W（（eνI）(R)P（euI，ν）），当I→ ∞. 相应的曲线分别为红色、蓝色、绿色和品红。星形（对应十字）点表示命题3.1（对应定理4.1）给出的W（u，（uI）P（νI））（左）和W（u，（euI）P（eνI））（右）（对应W（（νI）(R)P（uI），ν）（左）和W（（eνI）(R)P（euI），ν）（右））的上界。正如所料，蓝色和洋红色的曲线位于这些点的下方。让我们提到，所有这些瓦瑟斯坦距离都是使用分位数函数N精确计算的-标准正态变量的1。例如，如果η=PIi=1piδzi，Z≤ Z≤ . . . ≤ ZI，P=0，Pi=Pi-1+Pi用于1≤ 我≤ 一、 W（u，η）=ZRx（u（dx）+η（dx））- 2IXi=1ZiZPiPi-1N-1（p）dp=1+IXi=1piZi+√√πIXi=1Zie-（N）-1（Pi））/2- e-（N）-1（Pi-1))/2.渐近地，度量（uI）P（νI）（resp.（νI）(R)P（uI））似乎比uI更接近u（resp.ν∧νI（分别为uI∨νI）。

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2022-6-1 08:41:45

尽管如此，所有这些度量似乎都以接近O（I）的速率收敛于瓦瑟斯坦距离-1/2）如等式y=-x/2。这一比率优于命题3.2中所述的理论比率。在右图中，我们首先观察到均衡平均值可以提高近似值并减少瓦瑟斯坦距离（见到黑线的距离）。然而，收敛速度仍大致在O（I-1/2). 我们还观察到，使用euI∧ eνIor（euI）P（eνI）（分别为euI∨ eνIor（eνI）(R)P（euI））。在图2中，W（uI，uI）的值绘制在左侧（分别为右侧∧νI），W（uI，（uI）P（νI））=W（νI，（νI）(R)P（uI）），W（νI，uI∨νI）（分别为W（euI，euI∧eνI），W（euI，（euI）P（eνI））=W（eνI，（eνI）(R)P（euI）），凸阶概率测度抽样190 2000 4000 6000 8000 100000.000.050.100.150.200.250.300 2000 4000 6000 6000 8000 100000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040图2。Wasserstein距离W（uI，uI）的曲线图∧ νI），W（uI，（uI）P（νI）），W（νI，uI∨ νI）（左）和W（euI，euI∧ eνI），W（euI，（euI）P（eνI）），W（eνI，euI∨ eνI）（右）在I.W（eνI，euI）的函数中∨ eνI）的函数。相应的曲线为红色、蓝色和绿色。我们观察到W（uI，uI）的值∧νI）和W（νI，uI∨νI）非常接近。正如所料，蓝色曲线低于其他两条曲线。在右图中，我们观察到，对于I，我们的样本上的所有Wassersteindistances都等于0≈ 3200，但对于较大的I值，再次取正值。这表明I的值，即euI≤cxeνI（如果存在）取决于样品，可能很大。现在，我们通过检查%=2的二次优化问题（1.1）的求解器COIN-OR+的精度来结束本节。事实上，在维1中，我们知道（uI）P（νI）可以按照下面的定理2.5显式计算。

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