数学金融中的适应Wasserstein距离与稳定性

2022-6-11 11:11:26

适应了《金融数学》中的WASSERSTEIN距离和稳定性。BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERAbstract。假设代理人通过度量对金融资产进行建模，目标是对某些衍生产品进行定价/对冲或优化某些预期效用。即使模型Q是以最熟练和复杂的方式选择的，她也有可能Q不能提供对现实的准确描述。这就引出了以下问题：对冲对Q附近的模型是否仍有意义？如果我们用通常的Wasserstein距离（比如）来衡量接近度，答案是否定的。类似于w.r.t.的模型。Wasserstein距离可能会提供不同的信息，从而作为对冲策略的基础。值得注意的是，这可以通过考虑考虑pricingmodels的时间结构的Wasserstein距离的适当调整版本来克服。这种适应的Wasserstein距离与P flug和Pichler提出的嵌套距离关系最为密切【52、53、54】。它允许我们建立离散和连续时间半鞅模型套期保值策略的Lipschitz性质。值得注意的是，对于布朗运动和欧式看涨期权，这些抽象结果已经很清晰了。关键词：套期保值、效用最大化、最优运输、因果最优运输、瓦瑟斯坦距离、敏感性、稳定性。AMS学科分类（2010）91G80、60G42、60G44、90C151。导言1.1。概述假设参考指标P用于模拟金融资产X的演变，目的是对冲金融债权或最大化某些预期效用。我们并不期望模型P以绝对准确的方式捕捉现实。

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mingdashike22

2022-6-11 11:11:29

然而，假设P足够接近现实（用概率Q描述），我们仍然希望为P制定的策略能够产生合理的结果。本文的主要目的是在半鞅测度之间的自适应Wasserstein距离AWP的新概念的基础上，建立这一直观的概念。为了确定想法，我们提供了我们追求的结果的第一个示例。定理1.1。设P，Q是资产价格过程X的连续半鞅模型，并假设C（X）表示（路径相关）导数C的L-Lipschitz支付。假设可预测的交易策略H=（Ht）t，| H |≤ 坎丹初始捐赠m∈ R构成C（X）的P-超边，即C（X）≤ m+（HoX）T，P-几乎可以肯定。然后有一个可预测的G s.t.m，G构成一个“几乎”的Q-超边：EQ[（C（X）- m级- （GoX）T）+]≤ 6（k+L）·AW（P，Q）。（1.1）虽然采用的瓦瑟斯坦距离将用抽象术语定义（见（1.3）），但它与“简单”模型的模型参数直接相关。特别是，如果P，Q是具有不同挥发性的布朗模型，那么这些模型之间的距离就是这些挥发性的不同。此外，（1.1）2 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDER中的界（以及下面给出的进一步Lipschitz界）在这样一个简单的设置和C欧洲看涨期权中已经很尖锐了。下面我们将提供一些与定理1.1类似的结果。E、 g.我们将提供对冲误差在风险度量方面得到控制的版本，并且我们将证明，如果在模型P和模型Q中应用相同的交易策略H，则类型（1.1）的Lipschitz界限适用（具有更大的常数）。

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2022-6-11 11:11:32

重要的是，我们确定了Lipschitz连续性的可比结果适用于效用最大化和效用差异定价。我们强调，熟悉的概念，如L'evy-Prokhorov度量或通常的Wasserstein距离，似乎不适合得出与OREM 1.1相当的结果。E、 g.在有意义的金融模型附近，存在套利任意高的模型，即使是有界策略；类似现象出现w.r.t.完整性/不完整性。相反，我们引入了一个adaptedWasserstein距离AWP，它考虑了半鞅模型的时间结构。这些距离在概念上与P flug和Pichler提出的嵌套距离密切相关【53、54、55】；第一篇将这种距离与融资联系起来的文章，请参见[1、30、20]。我们将在下文第2节更详细地描述这些贡献。1.2. 符号和适应的Wasserstein距离。自始至终，我们让Ohm := RTor公司Ohm := C（0，T）。第一种设置称为离散时间情况，第二种设置称为连续时间情况。在第一种情况下，我们用I={1，…，T}表示时间索引集，在第二种情况下，I=[0，T]。在整篇文章中，我们将提供定义和结果，但不指定我们所指的两种情况中的哪一种：这意味着定义/结果适用于这两种情况。我们偶尔会具体考虑一个案例，在这种情况下，我们会明确说明这一点。我们解释Ohm 作为一维定价的所有可能演变（及时）的集合。重要的是，经过必要的修改，我们的所有结果（命题3.3、3.6和示例3.4除外）对于多维资产价格过程（对应于Ohm = （Rd）T/Ohm = C（[0，T]，Rd））。我们选择了一维版本来简化符号。映射X，Y：Ohm → Ohm 表示规范过程（即。

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2022-6-11 11:11:36

身份映射），我们在Ohm × Ohm 过程X表示第一个坐标，Y表示第二个坐标。空间Ohm 和Ohm × Ohm 具有最大范数和相应的Borel-σ-场。在连续时间内，空间Ohm 被赋予由X生成的正确连续过滤，在离散时间内，我们使用由X生成的普通过滤。在任何情况下，我们用F=（Ft）表示该过滤，并赋予Ohm × Ohm 使用产品过滤（Ft Ft）t。给定σ-代数G和G上的概率P，我们写出G的P-完成的gp。概率测度P，Q之间耦合的setCpl（P，Q）由G上的所有概率测度π组成Ohm × Ohm 这样X（π）=P，Y（π）=Q。对于某些Borel映射T，Monge耦合是π=（Id，T）（P）形式的耦合：Ohm → Ohm 将P转换为Q，即满足度T（P）=Q。给定指标dOhm 和p≥ 1，P的Wasserstein距离，Q isWp（P，Q）=infnEπ[d（X，Y）P]1/P：π∈ Cpl（P，Q）o.（1.2）在许多实际情况下，如果仅将Monge耦合最小化，则（1.2）中的上限保持不变，参见【56】。事实上，离散案例和连续案例中的论点使用了相同的观点，但离散案例中的陈述技术性明显较低，这是将离散案例纳入本文的重要原因。在定义测量值P和Q之间的适应WASSERSTEIN距离之前，数学金融中的适应WASSERSTEIN距离和稳定性3Ohm, 让我们来解释一下，为什么与弱收敛相关的距离不适合我们所想到的结果。例如，假设我们对两个时期的效用最大化问题感兴趣，图1描述了两种交易资产的P、Q定律。很明显，它们在Wasserstein距离上非常接近，考虑到T引起的明显Monge耦合，如下所示：Ohm → Ohm, T（P）=图1中所示的Q。

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kedemingshi

2022-6-11 11:11:39

与此同时，效用最大化的结果肯定是非常不同的。类似地，P是鞅测度，而Q允许rbitrage。其明显原因是时间1可用信息的不同结构。t图1。Map T将左边的蓝色路径发送到右边的蓝色路径，同样地，红色路径也是如此。所描述的随机过程在瓦瑟斯坦意义上是相近的，但在效用最大化方面却大相径庭。为了说明为什么瓦瑟斯坦距离不反映这种不同的信息结构，让我们回顾一下传输条件T（P）=Q。我们将其重新表述为（T（X，X），T（X，X））~ （Y，Y）。（1.3）虽然这种情况在大众运输中是完全自然的，（1.3）从概率的角度来看，几乎似乎是欺骗：地图不允许考虑未来值Xin以确定Y。以定义适应的瓦瑟斯坦距离，“过程”（Ti）i=1,2应该进行调整，以解释P和Q的不同信息结构。当然，我们对调整后的Wasserstein距离的定义不会指调整后的Monge运输，而是指在适当意义上“调整”的耦合。继拉萨尔（Lassalle）[45]之后，我们将这种耦合称为（双）因果耦合。由于以下定义乍看起来可能有点技术性，以下内容可能会让人安心：在离散时间设置和绝对连续测量中，自适应Monge耦合集的弱闭包，即π=（Id，T）（P）forT adapted，正是所有因果耦合集，见【42】。定义1.2（（双）因果耦合）。对于P，Q的耦合π∈ P(Ohm) 用π（dω，dη）=P（dω）πω（dη）表示有规律的崩解w.r.t.P。

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2022-6-11 11:11:43

因果耦合的CplC（P，Q）集由所有π组成∈ Cpl（P，Q）使得对于所有t∈ I和A∈ Ftω7→ πω（A）是FPt可测的。所有双因果耦合集CplBC（P，Q）由所有π组成∈ CplC（P，Q）也包括S（π）∈ CplC（Q，P），其中S：Ohm × Ohm → Ohm × Ohm, S（ω，η）：=（η，ω）。在离散时间中，耦合π是因果的当且仅当π（Y，…，Yt）∈ A | X= π（Y，…，Yt）∈ A | X。Xt公司,每个t和Borel集合a的P-a.s Rt，也就是说，在时间t，给定X的过去（X，…，Xt），yt的分布不取决于X的未来（Xt+1，…，XN）。用（1.2）中的双因果耦合替换耦合，可以达到P flug和Pichler引入的嵌套距离【52，53】。由于我们的目标是在连续时间内比较also4 J.BACKHOFF-VERAGUAS、D.BARTL、M.BEIGLB¨OCK、M.Edersemimatingale模型，因此我们将使用略微不同定义的自适应Wasserstein距离。（值得注意的是，这两个距离相当于RN的概率。我们将在下面第3.3节中详细说明，（1.4）中的定义为什么更适合我们的目的7（离散时间）。）在连续时间中，我们用SM表示(Ohm) 所有概率P的集合（theBorelσ-field of）Ohm 其中正则过程X是连续半鞅。在离散时间内，SM(Ohm) 表示所有Borel概率P的集合Ohm 其中X是可积的。在这两种情况下，我们都可以唯一地分解X=M+A，从零开始有一个有限变化的可预测过程，M是局部鞅。事实上，在第一种情况下，X是一个特殊的半鞅，事实上M和a也是连续的，而在第二种情况下，这是一个积分适应离散时间过程的Doob分解。

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mingdashike22

2022-6-11 11:11:46

对于p∈ [1, ∞) 我们用SMp表示(Ohm) SM的子集(Ohm) 其中，p[[M]p/2T+| A | p1 var]<∞,其中[·]是二次变化，|·| 1-Var是第一个变化范数。注：BDG不等式EP[sups≤T | Ms |]<∞ 对于SMp(Ohm), 因此M是真鞅。定义1.3（适应的瓦瑟斯坦距离）。对于P，Q∈ SMp公司(Ohm), p≥ 1 setAWp（P，Q）：=infnEπ[MX- MY]p/2T+| AX- AY | p1变量1/p：π∈ CplBC（P，Q）o，（1.4），其中X=MX+AX，Y=MY+ay表示X和Y各自的半鞅分解。引理3.1表明，AWPI定义良好（即X- Y是每个双因果耦合下的半鞅），在引理3.2中，AWpin定义了一个度量。备注1.4。在连续时间设置中，自适应的Wasserstein距离可以通过以下公式计算：P（P，Q）=infnEπ[X- Y]p/2T+MVT[| X- Y | p1/p：π∈ CplBC（P，Q）o。此处MV表示平均变化，即MVT【Z】=supPtj公司∈|E[Ztj+1-Ztj | Ftj]|，其中上确界接管所有有限分区共[0，T]。在下面的第3.2节中，我们将给出在简单SDE描述的半鞅测度的情况下，适用的Wassersteindition的显式公式。1.3. 超磨边的稳定性。对于本文的其余部分，请确定一些k∈ R+并让HK成为所有可预测流程的集合H：Ohm ×I→ [-k、 k）]。对于每个p≥ 1，为“上”伯克霍尔德-戴维斯-甘迪（BDG）常数写下BPS，参见下面的备注3.12。具体而言，已知b≤ 6，b=2。我们的第一个主要结果涉及超边缘的稳定性，并构成了上述定理1.1的一个更大版本。定理1。设P，Q∈ SM公司(Ohm), H∈ Hkand let C：Ohm → R为Lipschitz，常数为L。

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大多数88

2022-6-11 11:11:49

那么Q下的套期保值误差是以P和Q的距离加上P下的套期保值误差为界的，在以下意义上：存在G∈ HksuchthatEQ[（C- m级- （GoX）T）+]≤ EP[（C- m级- （HoX）T）+]+b（k+L）AW（P，Q）。（WHI）调整了数学金融中的WASSERSTEIN距离和稳定性5，此外，假设Ht：Ohm → R是Lipschitz，每t的常数为L∈ 一、然后我们可以取G=H，得到eq[（C- m级- （HoX）T）+]≤ EP[（C- m级- （HoX）T）+]+b（k+L）AW（P，Q）+βAW（P，Q），（SHI），其中β：=2√2bL最小值{AW（P，δ），AW（Q，δ）}。重要的是，不可能将P下的超边转换为Q下的超边。这已经在一个周期框架内发生，并且不是我们定义的适应瓦瑟斯坦距离的副产品；见备注5.2。类似的推理要求只考虑受k约束的交易策略；见备注5.3。比较不平等（WHI）和（SHI）是值得的：（S）在某种意义上，“强对冲不平等”（SHI）似乎是更相关的断言：毕竟交易者不知道模型Q（而不是模型P）描述了现实，因此她可能（有些人）坚持按照策略H对冲风险的初始计划。那么不平等（SHI）就是允许量化此模型错误造成的损失。（W）然而，“弱对冲不平等”（WHI）也有一个特殊的优点：假设交易者W从先前的信念开始，即资产价格根据波动率σ的Black-Scholes模型演变，但很快0就会意识到波动率σ（其中σ6=σ）会产生更充分的现实描述。

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kedemingshi

2022-6-11 11:11:53

如果机智的交易者W对正确的模型做出了准确的猜测，并相应地更新了她的交易策略，那么她的损失可以通过更紧密的界限（WHI）来控制。在定理4.2中，我们提供了定理1.5的一个版本，其中（·）+被一个凸的、严格递增的损失函数l:R代替→ R+。另一种衡量几乎超边缘效应的方法是通过风险度量。我们将一般公式推迟到定理4.3，并给出了一个符合风险平均值AVaRPα的版本。回想一下，对于随机变量Z：Ohm → RAVaRPα（Z）：=infm∈代表[（Z- m） +/α+m]是α级的平均风险值∈ （0，1）在模型P下，我们得到了定理1.6。假设C：Ohm → R是带有常数L的LipschitzinfH公司∈HkAVaRPα（C- （高oX）T）- infH公司∈HkAVaRQα（C- （高oX）T）≤ r AW（P，Q），对于r：=b（L+k）/α。如果H∈ Hkis使Ht：Ohm → [-k、 k]是Lipschitz，每t有常数L∈ I和β是定理1.5中定义的常数，那么AVaRPα（C- （高oX）T）- AVaRQα（C- （高oX）T）≤ r AW（P，Q）+βαAW（P，Q）。这个结果的解释类似于定理1.5：由于AVaRPα（·）是平移不变的，因此∈HkAVaRPα（C- （HoX）T）=infnm∈ R：有H∈ HK，使AVARPα（C- m级- （高oX）T）≤ 0o，右侧构成了超边缘价格的宽松版本。值得注意的是，第3.2节中给出的适应Wasserstein距离的显式计算意味着定理1.6（和类似的定理1.5）是sharp6 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERExample 1.7（布朗框架中的对冲）。考虑欧洲看涨期权C（X）=（XT-K） +，其中为简单起见，K=0。此外，设Pσ为具有常数波动率σ的维纳测度≥ 0

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2022-6-11 11:11:57

那么对于每个σ，^σ≥ 0，k≥ 1和α∈ （0，1）法院认为（我们将这一事实的证明推迟到第4节）infH公司∈HkAVaRPσα（C- （高oX）T）- infH公司∈HkAVaRP^σα（C- （高oX）T）=EPσ[C]- EP^σ[C]=√2πT |σ- ^σ| =√2πAW（Pσ，P^σ）。这表明定理1.6中的估计是紧的（直到常数），从某种意义上说，根本不可能改进概率度量AW。我们要强调的是，Glanzer、P flug和Pichler【30】使用期望距离，通过这些模型的嵌套距离，以Lipschitz的方式控制离散时间模型中的可接受价格。具体而言，在离散时间单周期框架中【30，命题3】和定理1.6得出了几乎相同的结论：在这种设置中，唯一的区别是【30，命题3】没有指定Lipschitz常数，也没有假设允许对冲策略的一致有界性。（然而，后者似乎与我们下面的备注5.3相矛盾。）1.4. 效用最大化和效用差异定价的稳定性。我们继续考虑效用最大化的连续性。让U：R→ R、 bea效用函数，它是凹的，递增的，用U′表示导数的左连续版本。我们有定理1.8。让C：Ohm → R是Lipschitz连续的，假设存在≥ 0，使得U′（x）≤ c（1+| x | p-1）对于所有x。

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大多数88

2022-6-11 11:12:01

然后，对于每个R≥ 0存在常数K，因此supH公司∈HkEP【U（C+（HoX）T）】- supH公司∈HkEQ【U（C+（HoX）T）】≤ K·AWp（P，Q），对于所有P，Q∈ SMp公司(Ohm) AWp（P，δ），AWp（Q，δ）≤ R注释5.1说明了通常的Wasserstein距离无法保证效用最大化的稳定性。量化索赔价值的常用方法是通过效用差异定价：给定索赔C，效用差异（投标）价格v定义为以下等式的解∈HkEP[U（C- v+（HoX）T）]=supH∈HkEP【U（（HoX）T）】。继续本论文的精神，我们对P 7的稳定性感兴趣→ v（P），其中后者表示与模型P相关的效用差异价格。定理1.9。让C：Ohm → R是Lipschitz连续的，假设存在≥ 0使得0<U′（x）≤ c（1+| x | p-1）对于所有x。那么，对于每个R≥ 0存在一个常数K，使得v（P）- v（Q）≤ K·AWp（P，Q），对于所有P，Q∈ SMp公司(Ohm) 有AWp（P，δ），AWp（Q，δ）≤ R我们感谢匿名仲裁人指出，我们可以将效用差异定价的稳定性纳入w.r.t.适应的Wasserstein距离。《数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性》71.5。论文的结构。在第2节中，我们简要回顾了与本文相关的文献。在第三节中，我们建立了adaptedWasserstein距离的一些基本性质，讨论了成本函数的选择，并给出了一些例子。此外，我们推导出了一个收缩原理（定理3.10），该原理将adaptedWasserstein距离与“弱”（Gozlan等人[32]）传输距离联系起来。该结果构成了引言中所述结果的证明基础，以及这些结果的某些扩展，请参见第4节。最后，我们在第5.2节中作了一些评论。与我们的精神最接近的文章是[1、20、30]。

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2022-6-11 11:12:04

Acciaio、Zalashko和本文作者之一在[1]中考虑了与效用最大化、过滤扩大和最佳停止相关的连续时间适应Wassersteinstance相关的对象。Glanzer、P flug和Pichler[30]证明了离散时间框架中所谓嵌套距离的偏差不等式，并考虑了通过嵌套距离描述的模糊集上的可接受性定价。Bion Nadal和Talay【20】通过PDE论证了一个与适应的Wasserstein距离相关的连续时间优化问题。因果耦合的概念，以及因果耦合上的最优传输，最近已被拉萨尔推广【45】，尽管可以在作品中找到先兆【62，58】。这一概念是最近几篇文章的核心[1、10、8、9]。为了解释时间演化而加强度量弱收敛的想法有一定的历史。事实上，有几位作者独立地引入了不同的方法来应对这一挑战：奥尔德斯（Aldous）[2]的开创性未发表著作引入了扩展弱收敛的概念，用于研究最优停止问题的稳定性。其主要思想不是直接比较过程的规律，而是比较相应预测过程的规律。赫尔维格（Hellwig）[33]独立地介绍了经济学中均衡问题稳定性的信息拓扑。粗略地说，两个概率测度关于一个有限多空间X××的乘积。如果foreach t≤ N第一个t坐标上的投影以及相应的条件（规则）分解非常接近。与这些发展无关，Sp flug和Pichler【52、53、54】引入了离散时间随机规划稳定性的嵌套距离。

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大多数88

2022-6-11 11:12:07

嵌套距离是本文中考虑的适应瓦瑟斯坦距离的明显角色模型，以及（如上所述）固定数量的时间步长和p≥ 1、它们显然是等价的。另一个解释过程时间演变的想法是，通过取Wc（P，Q）和Wc（Q，P）的最大值或总和，对称化Lassalle[45]定义的因果运输成本Wc（P，Q）；这是Soumik Pal指出的。在平行工作中[6]，本文的四位作者详细研究了这些概念之间的关系。值得注意的是，在离散时间内，上述所有概念（适应的Wasserstein距离、扩展的弱收敛、信息拓扑、嵌套距离、对称的因果运输成本）定义了相同的拓扑。如上所述，这种“弱适应拓扑”是通常的弱拓扑（适用于T≥ 2，另见备注5.2）。文章[8，6，27]研究了这种拓扑的基本性质，例如弱适应拓扑是波兰的[8，第5节]，集合是完全有界的w.r.t.到适应的Wasserstein距离/嵌套距离，当且仅当它们是完全有界的w.r.t。修订版中添加了usualNote:最近在[7]中获得了改进的收敛速度，用于相关的基于样本的估计。与本文的结果一起，这为所考虑的金融问题的实证版本提供了统计上的一致性。8 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.Ederwassertein distance[6，引理1.6]。对于这些概念在优化传输及其概率变体中的最新应用，我们参考了【11、12、61】。相比之下，上述概念在连续时间情况下的基本拓扑性质似乎不太被理解，就作者而言，这对未来的研究提出了一个有趣的挑战。

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2022-6-11 11:12:10

具体而言，我们不清楚在连续时间的情况下，与适应的Wassersteindition相关的拓扑结构是否是波兰式的。同样，我们希望类似于本文结果的结果应该适用于C\'adl\'ag路径的情况，但这种扩展超出了我们目前对适应Wasserstein距离的理解范围。多年来，人们从不同的角度研究了数学金融的稳定性问题。值得注意的是，从Lyons[46]和Avellaneda，Levy[5]的文章开始，稳健金融领域主要集中在一个特定类别中主导每种模型支付的极端模型和对冲策略。霍布森的开创性文章[36]发表后，与斯科罗霍德嵌入问题的联系成为该领域的驱动力，参见霍布森的调查[37]和Ob l\'oj的调查[48]。最近，来自（鞅）最优运输的技术补充了这一点，早期提出这一观点的论文包括[38、15、29、16、21、26、24、18]。在某种意义上，与本文更密切相关的关于波动率“局部”误判的文献似乎更为空泛。El Karoui、Jeanblanc和Shreve【28】在随机波动性框架中建立了一个假设，即如果错误指定的波动性支配真实波动性，那么错误指定的看涨期权价格支配真实价格；另请参见霍布森的优雅描述【39】。最近，Herrmann、Muhle Karbe和Seifried【35】（另见【34】）研究了参考局部波动性模型波动性不确定性下的定价和套期保值问题。通过对参考模型波动率的均方距离对不稳定模型进行惩罚，作者在较小的不确定性厌恶极限下获得了价格和享乐策略的显式公式。

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2022-6-11 11:12:13

Becherer和Kentia【14】在模型模糊性下得出了最坏情况下的好交易界限，该界限涉及漂移和波动性。事实上，与Dirk Becherer的讨论促使我们考虑在我们关于超级套期保值稳定性的结果中也存在漂移的模型。Ob l'oj和Wiesel【49】针对d维资产和一个时间段，深入研究了参考模型周围的超级套期保值价格在球（w.r.t.各种距离概念）中的行为。我们工作的一个显著含义是，它产生了一种一致的方法来测量模型不确定性（在Cont的流行文章[25]的意义上）：确定所有一致模型集合M的子集，即鞅度量，它与价格可以在市场上观察到的基准工具一致。给定nm，与导数f相关的模型不确定性可以通过ρM（f）：=sup{EQf:Q来测量∈ M}- inf{EQf:Q∈ M} 。稳健金融中通常采用的最坏情况方法会产生ρM（f）forM=M，但将Mto作为参考模型的最小平衡似乎同样自然。这一方法首先由Drapeau、Ob l\'oj、Wiesel和本文作者之一在一个时期框架内进行。我们的结果表明，适应的Wasserstein距离提供了一种将其扩展到多周期设置的方法，我们打算在未来的工作中进一步研究这一点。另一方面，关于离散时间模型与其连续时间类似物的收敛性，已经做了很多工作。由于这本书内容浩瀚，我们请读者参考这本书。最后，最近，从卡尔达拉斯（Kardaras）和齐特科维奇（ˇZitkovi'c）的著作开始，在[41、43、44、47、60]等文献中研究了效用最大化的稳定性。《数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性》93。调整后的Wasserstein距离为3.1。AWp的基本特性。

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2022-6-11 11:12:16

以下引理表明AWPI定义良好。引理3.1。设P，Q是X，Y的可积（半）鞅测度：Ohm → Ohm,设π是P和Q之间的双因果耦合。然后是X，Y，X-Y:Ohm × Ohm → Ohm 是（半）-鞅w.r.t.π。此外，如果X=M+A表示P下的半鞅分解，那么直到消失，M+A是X在π下的半鞅分解。证据设X=M+A为P和considerM下的半鞅分解，A为上的过程Ohm×Ohm 通过M（ω，η）：=M（ω）和A（ω，η）：=A（ω）。进一步假设π=P（dω）πω（dη）是P和Q之间的双因果耦合。为了证明x=M+a仍然是π下的半鞅分解，足以证明M是π下的鞅。为此，让0≤ s≤ t和letZ：Ohm × Ohm → R be Fs Fs可测量且有界。（回想一下，F=（Ft）t表示由X生成的正确连续过滤，我们赋予Ohm × Ohm过滤（英尺 Ft）t.）然后随机变量Z′：Ohm → 定义为z′（ω）：=ZZ（ω，η）πω（dη）是FPs可测的，并且有明确的界。事实上，如果Z（ω，η）=Z（ω）Z（η），对于Fs可测的有界函数Zand Z，那么从双因果关系的定义来看，Z′是fps可测的；然后，一般语句来自单调类参数。因此π[（Mt- Ms）Z]=Z（Mt（ω）- Ms（ω））ZZ（ω，η）πω（dη）P（dω）=EP[（Mt- Ms）Z′]=0，根据M在P下的鞅性质。这表明M是π下的鞅，因此X=M+a是π下的半鞅分解。引理3.2。AWpde定义了集合SMp的指标(Ohm).我们注意到，非常相似的论点可以用来证明AWpde定义了具有有限时间范围N或[0，∞).引理3.2的证明。很明显，AWp（P，Q）=AWp（Q，P）≥ 所有P、Q均为0∈SMp公司(Ohm). 假设AWp（P，Q）=0。

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2022-6-11 11:12:19

作为k·k∞≤ | · |1-var，如果π参与了定义中的AWp（P，Q）和X- Y=M+A，则为neπ[kX- Y kp∞] ≤ 2p级-1Eπ[kMkp∞+ |A | p1变量]≤ 2p级-1ppeπ[[M]p/2T+| A | p1 var]，其中bps表示BDG常数，我们使用BDG不等式表示鞅M。因此，P和Q之间通常的瓦瑟斯坦距离（定义w.r.t.thek·k∞-范数）由AWp（P，Q）控制，因此P=Q。我们现在证明三角形不等式。设P，Q，R给定。我们假设ε>0，并假设π是AWp（P，Q）的双因果ε-最优，而￠π是AWp（Q，R）的双因果ε-最优。在接下来的几行中，ω始终表示Ohm, η是第二个，γ是最后一个。设π（dω，dη）=πη（dω）Q（dη）和▄π（dη，dγ）=▄πη（dγ）Q（dη）为崩解，并定义▄∈ P(Ohm) 由∏（dω，dη，dγ）=πη（dω）～πη（dγ）Q（dη）。10 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERIfπ（Dω，Dγ）：=ROhmπ（dω，dη，dγ）是π在第一和第三个分量上的投影，那么很明显π的第一和第二个边缘分别是P和r。此外，πω（dγ）=Z给出了π=πω（dγ）P（dω）的分解Ohm§πη（dγ）πω（dη），其中，如上所述，πω现在表示πw.r.t的分解。Firstcoordination，即π（dω，dη）=πω（dη）P（dω）。我们声称∈ Ft，映射ω7→πω（A）是FPt可测的。事实上，通过|π的双因果关系，我们得到η7→ πη（A）是可测量的FQt。因此，有一个Ft可测函数X和aQ几乎可以肯定为零函数N，使得对于所有η，πη（A）=X（η）+N（η）∈ Ohm.那么πω（A）=ROhmX（η）πω（dη）+ROhm所有η的N（η）πω（dη）∈ Ohm. 第一项是FPT可测量的（通过π的双因果关系），并且，由于π是P和Q之间的耦合，因此有Ohm对于P-几乎所有ω，N（η）πω（dη）=0∈ Ohm.π=πγ（dω）R（dγ）的参数类似，因此π是P和R之间的双因果耦合。

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2022-6-11 11:12:22

最后，在引理3.1的证明中，如果x=MX+AX，Y=MY+AY，Z=MZ+AZare是P，Q和R下的半鞅分解，那么它们仍然是∏on下的半鞅分解Ohm具有产品过滤功能。为了完成三角形不等式的证明，我们观察到awp（P，R）≤ Eπ[[MX- MZ]p/2T+| AX- AZ | p1 var]1/p=E∏h[（MX- MY）+（MY）- MZ）]p/2T+········+|（AX- 是的）+（是的- AZ）| p1-vari1/p。功能M 7→ E∏[[M]p/2T]1/pis已知是∏-鞅的空间Mp（π）上的范数，其上确界为p-可积。同样，A 7→E∏[| A | p1 var]1/pis是具有p-可积变差的有限变差过程空间上的范数。因此（M，A）7→ k（M，A）k：=E∏[[M]p/2T+| A | p1 var]1/pis这些空间乘积的范数。我们用awp（P，R）给出了三角线质量的证明≤ k（MX- 我的，AX- AY）+（车型年款- MZ，AY- AZ）k≤ k（MX- 我的，AX- AY）k+k（MX- 我的，AX- AY）k=Eπ[[MX- MY]p/2T+| AX- AY | p1 var]1/p+E|π[[我的- MZ]p/2T+| AY- AZ | p1变量]1/p≤ 2ε+AWp（P，Q）+AWp（Q，R），因为X的半鞅分解-πis（MX）下的Y-我的）-（AX-AY），具有Y的类似表达式- Z在∧π下。为了得出结论，我们需要证明AWp（P，Q）<∞ 对于所有P，Q∈SMp公司(Ohm). 通过引理3.1，我们得到了AWp（P，δ）=EP[[M]P/2T+| A | p1 var]1/P其中x=M+A是P下的半鞅分解。因此，三角线质量意味着AWp是SMp上的实值(Ohm). 3.2. 示例和详细计算。我们从一个简单的结果开始，该结果允许在连续时间的情况下给出适应的Wasserstein距离的闭式表达式：适应的Wasserstein距离和数学金融中的稳定性11命题3.3。

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2022-6-11 11:12:26

对于i∈ {1，2}考虑具有有界渐进系数的SDE：dXit=ui（t，{Xis}s≤t） dt+σi（t，{Xis}s≤t） dBit。（3.1）假设每个SDE都有一个唯一的强解，并用Pui表示，σi分别表示。进一步假设ou仅是时间的函数（即u：[0，T]→ R） oσ，σ≥ 0，其中至少有一个是时间的函数。然后同步耦合（即π*= （X，X）的联合定律，其中B=Bin（3.1）），在定义AWp（Pu，σ，Pu，σ）时是最佳的。上述同步耦合的离散时间版本由Knothe-Rosenblatt重排给出[10]，并且在离散时间框架中也可以获得先前结果的变体。证据设π为AWp的可行耦合（Pu，σ，Pu，σ），导致有限的成本。当然，对于这个证明，我们将坐标过程表示为Ohm×Ohm 按（X，X）。与之前一样，我们让Xi=Ai+Mibe在其右连续过滤的Pui，σi-完成下的唯一连续半鞅分解。根据u的假设，观察到ddtais a.s.是确定性的，并且ddt定律与耦合π无关。这两个事实都可以很容易地从identityddtAit=limε0Eπ得出Xit+ε| FXit- Xitε，根据Lebesgue微分定理，它保持dtdπ-a.s.因此，术语Eπ[| a- A | p1-var]与耦合π无关，因此我们可以忽略它，只关注Eπ[[M- M] p/2T）。根据Doob的鞅表示【40，定理4.2】，在可能扩大的过滤概率空间（~Ohm,~F，~π）我们可以用mit=Ztσi1dW+Ztσi2d^W来表示鞅（M，M），其中W，^W是独立的标准一维布朗运动和{σik:i，k∈ {1，2}}实值过程，它们都适应于扩大的过滤空间。在下面，我们将省略参数{Xis}s≤t从σi开始。

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mingdashike22

2022-6-11 11:12:29

必然σi=滴滴涕[米]t=σi1+σi2，（dt d▄π- a、 s.）。通过Cauchy-Schwarz不等式，我们几乎可以确定，[M，M]T=ZT[σ+σ]dt≤ZTσσdt，相应地我们得到了下界π[[M- M] p/2T]≥ EπhZT（σ- σ） dt公司p/2i。正如在证明的开始，由于σi仅是时间的函数，右侧不依赖于耦合π。综上所述，观察同步耦合π*我们在上面的等式中是相等的。作为一个简单的结果，我们有12个J.BACKHOFF-VERAGUAS、D.BARTL、M.BEIGLB¨OCK、M.EDERExample 3.4。对于有界Lipschitz函数u，u，σ，σ，我们用Pui，σi表示，diffusiondxit=ui（t，Xit）dt+σi（t，Xit）dBt。假设ouiis独立于x变量，一些i∈ {1，2}，和oσkis独立于x变量，一些k∈ {1, 2}.呼叫j∈ {1，2}\\{i}和l ∈ {1，2}\\{k}，我们有awp（Pu，σ，Pu，σ）P=EhZT[σl（t，Xlt）- σk（t）]dtp/2i+EhZT |uj（t，Xjt）- ui（t）| dt圆周率。我们现在说明，一般来说，命题3.3的直接同步耦合不是最优的。因此，我们不期望自适应的Wasserstein距离有一个封闭形式的表达式。[8，第7节]讨论了这一观察结果的离散时间版本。示例3.5。考虑d=1，T=2，对于每个c∈ R引入uct（ω）：=c1[1,2]（t）符号（ω）和^uct（ω）：=-uct（ω）。假设B是布朗运动，对于σ∈ R+，我们引入耦合π：=定律σB+Zuct（B）dt，σB+Zuct（B）dt,π： =法律σB+Zuct（B）dt，-σB+Z^uct(-B） dt公司.这些耦合具有相同的边缘，并且每个都是双因果的。

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kedemingshi

2022-6-11 11:12:32

很容易计算π[M] p/2T+| A | p1 var= （2c）p，Eπ[M] p/2T+| A | p1 var= （8σ）p/2。我们得出结论，对于每个p，都有大量对（c，σ），因此对于度量AWp，“同步”耦合π在其边缘之间不是最优的。为了结束这一部分，我们估计了具有不同波动率的两个几何布朗运动之间的距离。提案3.6。对于i=1，2，设Pσibe为SDEdZit=σizitdbit且Zi=1的解的定律，其中Bidenotes布朗运动和σi∈ R+。出租人R~ N（0，T），我们得到aw（Pσ，Pσ）=E“eσR-σT- eσR-σT#= eσT- 2eσT+eσT，对于p>1AWp（pσ，pσ）p≤ cpE公司eσR-σT- eσR-σTp,式中，CPI是BDG不等式中的常数，允许通过终值控制二次变化。调整了WASSERSTEIN距离和数学金融稳定性13证明。我们有awp（Pσ，Pσ）P=infnEπ[Z]- Z] p/2T: π ∈ CplBC（P，Q）o≤cpinfnEπ[（ZT- ZT）p）]：π∈ CplBC（P，Q）o=cpinfnZeσr-σT- eσr-σTpdπ（r，r）：π∈ Cpl（γT，γT）o=cpEeσR-σT- eσR-σTp,式中，γT表示方差为T的中心高斯分布。对于p=2和c=1，我们获得相等。3.3. 选择“成本函数”。回想定义1.3，adaptedWasserstein距离通过hawP（P，Q）：=inf{Φ：π给出∈ CplBC（P，Q）o，其中“成本函数”Φ=Eπ[MX- MY]p/2T+| AX- AY | p1变量1/p（3.2）是使用半鞅分解X=MX+AX，Y=MY+AY定义的。这种“二次加一阶变分”函数的独特性质是，它显示了适当的比例，可以将离散时间情况解释为与连续时间对应的近似值。也就是说，考虑Ohm = C（[0，1]），设Pσ是X的定律，其中Xt=RtσsdBs，B布朗运动和σ∈ C（[0，1]），σ≥ 对于每个N，用PσN表示{0，1/N，2/N。

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可人4

2022-6-11 11:12:35

，1}，具有从n/n到（n+1）/n的独立增量，根据n（0，σn/n/n）分布。然后可以计算0≤ σ, σ′∈ C（[0，1]）AW（PσN，Pσ′N）=N-1Xn=0N |σn/n- σ′n/n|1/2→Z |σt- σ′t | dt）1/2=AW（Pσ，Pσ′）。为了进行比较，考虑将Φin（3.2）替换为Φ=Eπ[PNi=0（Xi）的后果-Yi）i]1/2对应于二次嵌套距离（根据P flug和Pichler[53]）。虽然知道每个固定N的等效度量，但gAWdoes没有显示大N的适当缩放。一个简单的计算显示了gaw（PσN，Pσ′N）→ ∞ 作为N→ ∞ 每当σ6=σ′。结果，套期保值误差的界值（PσN，Pσ′N）随着N逐渐变弱→ ∞.特别是，它们不允许有意义的连续时间限制。当仅限于鞅测度P，Q时，（3.2）的一个合理替代方案是考虑最大范数，即Φ′=eπ[supt | Xt- Yt | p]1/p。事实上，根据BDG不等式，这本质上等同于我们在（3.2）中的选择。然而，当考虑半鞅时，这个代价太粗糙了。例如，设（ωn）为Ohm 最大范数收敛于零，但第一个变量趋于一致。然后Pn：=Δωn收敛到P：=δ（当仅以最大范数为代价定义适应距离时），然而，我们的优化问题都不会收敛（采取策略H∈ HK，其中（H（X）oX）T≈ k |ωn | 1-几乎可以肯定）。14 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDER3.4。随机积分和收缩原理。我们在这里给出了两个技术结果，它们是本文中主要定理证明的基础。第一个是Emma 3.7。设P，Q∈ SM公司(Ohm), H∈ Hk，π是np和Q之间的双因果耦合。然后存在一个过程G∈ hk使得Gt（Y）=Eπ[Ht（X）| Y]对于每个t，π-几乎可以肯定。此外，我们几乎可以肯定的是，（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]，π。证据

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2022-6-11 11:12:38

在离散时间内，为Borel函数Ht:Rt写入H=PNt=1Ht{t}-1.→[-k、 k）]。设π=πη（dω）P（dω）为崩解，对于每个t和η，定义′t（η）：=ZHt（ω）πη（dω）∈ Ohm. 通过定义双因果耦合G′tis FQt-1-可测量。仍需选择功能GT，即Ft-1可测量，如Gt=G′tQ几乎可以确定。由于Eπ[Ht（X）| Y]=Gt（Y）π-几乎肯定，很明显，（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]π-几乎肯定。在连续时间内，我们将G作为H的可预测投影，在参考度量π下，关于π-过滤完成{, Ohm}财政年度。根据[1，引理C.1]，结果是π-在过滤FY的Q-完成下，与可预测过程无法区分。因此，t-by-t，π-几乎确定等式Gt（Y）=Eπ[Ht（X）| Y]是可预测投影定义的结果。π-几乎确定等式（G（Y）oY）T=Eπ[（HoY）T | Y]在下面的引理3.8中建立，假设等式[[Y]T]<∞. 一般情况下，接下来是本地化。引理3.8。在引理3.7的连续时间上下文中，进一步假设eq[[Y]T]<∞. 那么我们有（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]，π-几乎可以肯定。证据如果我们将积分w.r.t.视为Y的有限变化部分（根据Riemanstieltjes积分的性质，或直接从可预测投影的定义），而不是随机积分，则该陈述是正确的。

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2022-6-11 11:12:41

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2022-6-11 11:12:46

如果进一步Ht：Ohm → 对于每个t，R是▄L-Lipschitz连续的，那么我们有eπ[|（H（X）oX）t- （H（Y）oY）T | p]≤ 22便士-2bpkp·Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]+α·Eπ[[M]pT+| A | 2p1 var]1/2其中α=23p-2▄Lpbpb1/22pmin{AW2p（P，δ）P，AW2p（Q，δ）P}。证据初等不等式（x+y）p≤ 2p级-1xp+2p-1ypfor x，y≥ 0与BDG不等式和k·k∞≤ | · |1-varimplyEπ[kX- Y kp∞] ≤ 2p级-1Eπ[kMkp∞] + 2p级-1Eπ[| A | p1 var]≤ 2p级-1ppeπ[[M]p/2T+| A | p1 var]。这证明了第一部分。相同的参数表示π[|（H（X）oX）T- （H（X）oY）T | p]≤ 2p级-1Eπ[|（H（X）oM）T | p]+2p-1Eπ[|（H（X）oA）T | p]≤ 2p级-1kpbpEπ[[M]p/2T+| A | p1 var]，第二部分如下。为了证明第三项权利要求，写下π[|（H（X）oX）T- （H（Y）oY）T | p]≤ 2p级-1Eπ[|（（H（X））- H（Y））oX）T | p]+2p-1Eπ[|（H（Y）oX）T- （H（Y）oY）T | p]。第二项小于2p-1便士-第二部分为1KPPEπ[[M]p/2T+| A | p1 var]。仍需估计Eπ[|（（H（Y））-H（Y））oX）T | p]。对于P下X的半鞅分解，写出X=N+B。引理3.1，半鞅16 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDERdecomposition在π下仍然是X=N+B。此外，BDG不等式，H的Lipschitz连续性和H¨older不等式，都意味着eπ[|（（H（X））- H（Y））oX）T | p]≤ 2p级-1Eπ[|（（H（X））- H（Y））oN）T | p+|（（H（X）- H（Y））oB）T | p]≤ 2p级-1Eπ[kH（X）- H（Y）kp∞（bp【N】p/2T+| B | p1 var）]≤ 2p级-1bpLpEπ[kX- Y k2p∞]1/2Eπ[（[N]pT+| B | P1 var）]1/2。现在，从第一部分可以看出，eπ[kX- Y k2p∞]1/2≤ （22便士-1b2p）1/2Eπ[[M]pT+| A | 2p1 var]1/2，通过引理3.1我们得到eπ[（[N]p/2T+| B | p1 var）]1/2≤ 21/2AW2p（P，δ）P。将所有估计值放在一起，并替换X和Y，得出索赔。用Pp（R）表示R上所有Borel概率度量u的集合，使得R | x | pu（dx）<∞.

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可人4

2022-6-11 11:12:49

此外，设dp（u，ν）为通常的p-Wasserstein距离，并设dwp弱p-Wasserstein代价，即dp（u，ν）：=infnZ | x- y | pγ（dx，dy）1/p：γ是u和νo的耦合，dwp（u，ν）：=infnZx个-Zyγx（dy）pu（dx）1/p：γ是u和νo的耦合。这里γ=u（dx）γx（dy）表示崩解。注意，dwp不是对称的，由于Jensen不等式，我们总是有dwp≤ 数据处理dwp（u，ν）的问题被称为“弱最优传输”，Gozlan等人在[32]中介绍过，但也可参见[3、4、11、9、31]。我们有定理3.10（收缩）。设P，Q∈ SMp公司(Ohm), 设π是P和Q之间的双因果耦合，设C：Ohm → R是具有常数L的Lipschitz，设H∈ 香港。进一步表示为X-Y=M+Aπandlet G下的半鞅分解∈ hk使得（G（Y）oY）T=Eπ[（H（X）oY）T | Y]π-几乎可以肯定。然后是DWP（C（Y）+（G（Y）oY）T）（Q），（C（X）+（H（X）oX）T）（P）≤2（p-1） /pb1/pp（k+L）·Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]1/p.（3.4）现在，除此之外，假设Ht：Ohm → 对于每t，R是▄L-Lipschitz连续的，然后是dp（C（Y）+（H（Y）oY）T）（Q），（C（X）+（H（X）oX）T）（P）≤2（3p-3） /pb1/pp（k+L）Eπ[[M]p/2T+| A | p1 var]1/p+α1/pEπ[[M]pT+| A | 2p1 var]1/2p，其中α是引理3.9的常数。证据我们首先证明第一个主张。设π如前所述，定义a（X）：=C（X）+（H（X）oX）Tas以及b（Y）：=C（Y）+（G（Y）oY）T。

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2022-6-11 11:12:52

现在让γ：=（b（Y），a（X））（π），因此γ是b（Y）（Q）和a（X）（P）之间的耦合。因此，DWPb（Y）（Q）、a（X）（P）≤ Eπ[| b（Y）- 假设Eπ[（G（Y）oY）T- （H（X）oX）T | Y]=Eπ[（H（X）oY）T- （H（X）oX）T | Y）。采用数学金融学中的WASSERSTEIN距离和稳定性17因此，利用tower性质和Jensen不等式，得出eπ[| b（Y）- Eπ[a（X）| b（Y）]| p]1/p≤ EπEπ[C（Y）- C（X）| Y]+Eπ[（G（Y）oY）T- （H（X）oX）T | Y]p1/p≤ Eπ[| C（Y）- C（X）| p]1/p+Eπ[|（H（X）oY）T- （H（X）oX）T | p]1/p该索赔现在来自引理3.9中的第一和第二次估计。在第二种情况下，其中H另外是Lipschitz，设d（X）：=C（X）+（H（X）oX）Tas以及e（Y）：=C（Y）+（H（Y）oY）Tandγ：=（e（Y），d（Y））（π）。然后，与之前一样，dpe（Y）（Q），d（X）（P）≤ Eπ[| E（Y）- d（Y）| p]1/p≤ Eπ[| C（Y）- C（X）| p]1/p+Eπ[|（H（Y）oY）T- （H（X）oX）T | p]1/pand该索赔来自引理3.9的第一和第三次估计。备注3.11。一个明显的问题是，在没有（Lipschitz-）连续性假设的情况下，通常的Wasserstein距离的估计是否成立。如果（3.4）适用于dp而不是dwp，则命名为。下面的示例表明这不是真的。在两周期离散时间模型（T=2）中，letP：=δ ((δ+ δ-1） /2）和Pε：=（（δε+δ-ε)/2) ((δ+ δ-1） /2）使AWp（Pε，P）→ 0为ε→ 每p为0。然后，设置H：=0和H：=（0，∞)- 1(-∞,0). 对于Pε和H的P之间的任何双因果耦合下的投影，计算G=0和G=0。尤其是（G（Y）oY）T=0P几乎可以肯定。然而，对于每一个ε>0，就有Pε（（H（X）oX）T≥ 1.-ε) ≥ 这意味着各自的定律无法收敛。备注3.12。通过bpwe表示最小实数，即e[kMkp∞] ≤ 对于每个鞅M，bpE[[M]p/2]（3.5）。

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