因此∈HkAVaRQα（C（Y）- （G（Y）oY）T）- infH公司∈HkAVaRPα（C（X）- （H（X）oX）T）≤ AVaRQα（C（Y）- （G）*（Y）oY）T）- AVaRPα（C（X）- （H）*（十） oX）T）≤αdw（C（Y）- （G）*（Y）oY）T）（Q），（C（X）- （H）*（十） oX）T）（P）≤b（k+L）αAW（P，Q），其中最后一个不等式由定理3.10得出。交换P和Q的作用可以得到预期的结论。第二个估计的证明与此类似。4.3. 示例1.7的证明。首先注意AVaRPα（Z）≥ EP【Z】对于每个可积随机变量Z。实际上，这是通过积分PointWise不等式x=x+m得出的-m级≤ （x+m）+/α-m、 因此，当布朗随机积分的期望值为零时，我们得出如下结论：∈HkAVaRPα（C（X）-（H（X）oX）T）≥ EP【C（X）】。另一方面，定义（t，x）：=Zc（x+y）N（0，σ（t- t） ）（dy）对于（t，x）∈ [0，T]×R，其中N（0，σ（T-t） ）表示正态分布，平均值为0，方差σ（t- t） 。然后，对于每0，C（X）=f（T，XT）和EP[f（T，XT）| Fs]=f（s，Xs≤s≤ t型≤ T因此，根据It^o公式和鞅性质意味着有限变差部分消失的事实，我们有f（t，Xt）=f（0，0）+（H*（十） ·X）t针对可预测的交易策略H*t： =xf（t，Xt）。进一步| H*t |≤ 每tand f（0，0）取1）=σ/√2π，1 hasinfH∈哈瓦普α（C（X）- （H（X）oX）T）≤ AVaRPα（C（X）- （H）*（十） ·X）T）=σ√2π.现在的证明来自于示例3.4中导出的适用Wasserstein距离的显式公式以及EP[C（X）]=σ的事实/√2π .4.4. 定理1.8的证明。回想一下U′（x）≤ c（1+| x | p-1） 对于所有x∈ R和一些常数c。设P，Q∈ SMp公司(Ohm) 要任意，并且仅为符号简单起见，假设有H*∈ HK使EP[U（C（X）+（H*（十） oX）T）]=supH∈HkEP[U（C（X）+（H（X）oX）T）]，并且P和Q之间存在双因果耦合π耦合，这对于AWp（P，Q）是最佳的。引理3.7表示G*∈ HK，以便（G*（Y）oY）T=Eπ[（H*（十） oY）T | Y]π-几乎可以肯定。

设u：=（C（Y）+（G*（Y）oY）T）（Q）和ν：=（C（X）+（H*（十） oX）T）（P），并设γ为dwp（u，ν）的（几乎）最优耦合。因为U是凹的和递增的，所以我们有U（y）-U（x）≤ U′（min{x，y}）| x- y |。利用Jensen不等式20 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.Ederf对凹函数U进行了补充∈HkEP[U（C（X）+（H（X）oX）T]- supG公司∈HkEQ【U（C（Y）+（G（Y）oY）T）】≤ EP[U（C（X）+（H*（十） oX）T）]- 等式[U（C（Y）+（G*（Y）oY）T）]=ZU（Y）- U（x）γ（dx，dy）≤祖Zyγx（dy）- U（x）u（dx）≤ZU′型minnx，Zyγx（dy）oqu（dx）1/qdwp（u，ν），其中我们在最后一行中使用了H¨older不等式，q表示p的共轭H¨older指数（即，1/p+1/q=1）。同于q（p- 1） =p，增长假设U′意味着| U′（min{x，y}）| q≤ 对于一些（新的）常数c，c（1+| x | p+| y | p）。然后，通过引理3.9，我们得到U′型minnx，Zyγx（dy）oqu（dx）≤ c1+Z | x | pu（dx）+ZZyγx（dy）pu（dy）≤ c1+Z | x | pu（dx）+Z | y | pν（dy）≤ c1+AWp（Q，δ）p+AWp（p，δ）p=: e前：=▄c（1+Rp+Rp）。交换P和Q的角色并使用定理3.10完成证明。4.5. 定理1.9的证明。在第一步中，我们声称v（P）是所有P与AWp（P，δ）的统一边界≤ R事实上，利用增长假设onU，U急剧增加的事实，以及BDG不等式来控制（HoX）T的p-thmoment，可以得出如下结论：∈ R使得inf U<a≤ supH公司∈HkEP【U（（HoX）T）】≤ A<sup U（4.3），对于所有具有AWp（P，δ）的P≤ R、 现在假设存在一个序列PnwithAWp（Pn，δ）≤ R但v（Pn）→ ∞. 然后，再次使用BDG不等式，它如下所示∈香港环保网[U（C）]- v（Pn）+（HoX）T）]→ inf U，与（4.3）相矛盾。

案例v（Pn）→ - ∞ 类似地排除。此时，使用v（P）的定义，定理1.8的双重应用产生supH公司∈HkEQ[U（C- v（P）+（HoX）T）]- supH公司∈HkEQ【U（（HoX）T）】≤ 2K·AWp（P，Q）。事实上，虽然直接应用该定理会得到一个常数K，它依赖于v（P），但对其证明的检查表明，常数K仅取决于v（P）的大小。到第一步，这是在P上用awp（P，δ）统一有界的≤ R现在让ε>0和H∈ Hkbe任意，并设置Y：=YH：=C-v（P）+（HoX）T。然后，得出一些常数c>0（取决于R≥ AWp（Q，δ）和U）使得EQ[U（Y+ε）]=EQ[U（Y）]+EQhZY+εYU′（z）dzi≥ EQ[U（Y）]+εc。实际上，如果Y以固定常数为界，但很容易扩展到当前设置，则这将直接遵循EQ[| Y | p]≤ C对于某些常数C>0，在数学金融21中，只要AWp（Q，δ），适应的WASSERSTEIN距离和稳定性与H和Q无关≤ R、 以类似的方式eq[U（Y- ε)] ≤ 等式[U（Y）]- εc.把所有的东西放在一起∈HkEQ[U（C- （v（P）+ε）+（HoX）T）]<supH∈HkEQ[U（（HoX）T）]<SUP∈HkEQ[U（C- （v（P）- ε） +（HoX）T）]，对于某些ε<CAWp（P，Q）（其中▄C是从K和C中产生的新常数）。因此| v（Q）- v（P）|≤ ε ≤完成证明的CAWp（P，Q）。4.6. 两个基因序列。以下两个结果可以用与定理1.6和定理1.8的证明几乎相同的参数来证明。特别是这些证明归结为建立了关于dp的图像度量的收敛性，并且没有给出关于适应的Wasserstein距离的新见解，因此我们应该跳过它们。提案4.2。允许l: R→ R+是一个凸的严格递增函数，且δ>0。假设p≥ 1是这样的l′（十）≤ c（1+| x | p-1） 为了一些康斯坦茨。

然后，对于每个Lipschitz连续函数C：Ohm → R、 功能P 7→ infnm公司∈ R:H∈ 香港，以便EP[l（C（X）- （H（X）oX）T- m） ]≤ δois连续开启（SMp(Ohm), AWp）。设ρ是一个定律不变的风险度量，我们直接将其视为从pp（R）到reals的函数。对于P∈ SMp公司(Ohm) 和一个随机变量Z：Ohm → R（使Z（P）∈ 我们写ρP（Z）=ρ（Z（P））。满足ρ（u）的法律不变量风险度量的典型示例-ρ(ν) ≤ Ldw（u，ν）对于一些依赖于p的常数L，u和ν的矩是优化的确定性等价物，在【19】中介绍给数学金融界。对于凸增函数l: R→ R，从下到下为界，满足l（x） /x个→ ∞ 作为x→ ∞, 通过ρP（Z）：=infm确定最佳确定性当量∈REP公司[l（Z）- m） ]+米= infm公司∈RZl（十）- m） （Z（P））（dx）+m.如果l′（十）≤ c（1+| x | p-1） ，则可以得出m上的最小值可以在一些紧集上取，这取决于p阶矩。由于ρ的现金可加性，下面的命题与定理1.6具有相同的解释。提案4.3。假设ρ：Pp（R）→ R满意度ρ（u）- ρ(ν) ≤ 某些常数L的Ldw（u，ν），取决于p-u和ν的力矩。然后，对于everyLipschitz函数C：Ohm → R、 地图7→ infH公司∈HkρP（C（X）- （H（X）oX）T）在（SMp）上是局部Lipschitz连续的(Ohm), AWp）。最后，让我们指出（虽然不是凸风险度量），风险价值（VaR）将是研究连续性的另一个自然候选。然而，由于VaR不是连续的w.r.t.弱收敛，已经处于一个周期的模型连续性P 7→ inf{m∈ R：有H∈ Hkwith VaRP（C（X）- m级- （H（X）oX）T）≤ 0}不适用。22 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDER5。最后备注备注5.1（通常Wasserstein不适用于I）。

我们注意到，在本文研究的任何问题中，通常的Wasserstein距离中的收敛都不足以获得连续性。考虑一个有PN的两周期市场=δ（1/n，1）+δ（1/n，0）+δ(-1/n，0）+δ(-1/n，-1),P=δ(0,1)+ 2δ(0,0)+ δ(0,-1).然后P和每个pn满足经典的无套利条件，不同于图1中描述的情况。虽然pn在通常的Wasserstein距离中收敛到P，但可以验证嵌套距离中的收敛并不成立。例如，在平凡索赔C=0的效用最大化中，我们有supH∈HkEP[U（C（X）+（H（X）oX）T）]=由Jensen不等式得出的U（0）（因为X是P下的鞅）。对于PNTAKING策略H*由H组成*= 0和H*（x） =k符号（x），一个getssupH∈HkEPn[U（C（X）+（H（X）oX）T）]≥ EPn[U（C（X）+（H*（十） oX）T）]→ U（k），表示缺乏连续性。备注5.2（通常Wasserstein不起作用II）。正如导言中所解释的，定理1.5中的目标可以看作是超边缘问题的放松版本。考虑这种放松的原因并不是技术上的简化，而是在没有进一步假设的情况下获得连续性所必需的。事实上，过度边缘化的问题∈ R：有H∈ hk，使m+（HoX）T≥ C（X），P-几乎可以肯定在任何k的P w.r.t.适应距离中不连续∈ [0, ∞]. 事实上，这已经在一个时期内发生了，在这一时期内，适应了通常的Wasserstein距离（WassersteinDistancescoincide）。考虑一系列具有完全支持的测度pn，其弱收敛于测度P。然后，超边缘价格w.r.t.pn等于C的凹面包络，而超边缘价格w.r.t.P等于限制于P的支持的凹面包络。有关一个时期内关于此问题的最新论文，请参阅Ob l\'oj和Wiesel的工作【49】。备注5.3（一致有界策略是必要的）。与Remark5.2中对香港交易策略的限制类似（即。

一致有界策略）也不是技术上的简化。例如，在单周期框架中，测量值Pε：=（1- ε)δ(0,ε)+ εδ(0,-ε） 在每个（适应的）Wasserstein距离上收敛到P：=δ（0,0）。然而，对于小ε>0infH∈H∞AVaRPεα（（HoX）T）=-∞ 当infH∈H∞AVaRPα（（HoX）T）=0，其中H∈ H∞:=Sk公司∈NHkis是所有有界交易策略的集合。确认。所有作者都感谢匿名评论员，他们的评论对本文产生了重大影响。J、 Backhoff感谢FWF通过P30750拨款和维也纳理工大学提供的财政支持。D、 Bartl由奥地利科学基金会（FWF）在P28661项目下资助。M、 Beiglboeck和M.Eder衷心感谢FWF通过Y782赠款提供的财政支持。改编自《数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性》，参考文献23【1】B.Acciaio、J.Backho ff-Veraguas和A.Zalashko。因果最优运输及其与过滤和连续时间随机优化的联系。即将在Stoch发布。流程及其应用，2016年。[2] D.J.奥尔德斯。弱收敛与过程的一般理论。未出版的专著；加利福尼亚大学伯克利分校统计系，加利福尼亚947201981年7月。[3] A.Alfonsi、J.Corbetta和B.Jourdain。凸序一维概率测度的抽样与鲁棒期权价格界的计算。《国际理论与应用金融杂志》，22（03）：19500022019。[4] J.-J.Alibert、G.Bouchitte和T.Champion。优化运输规划的一类新成本。hal预印本，2018年。[5] M.Avellanda、A.Levy和A.Par\'as。在波动性不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。应用程序。数学《金融》，2（2）：73–881995年。[6] J.Backho Off-Veraguas、D.Bartl、M.Beiglb¨ock和M.Eder。

所有适应的拓扑都是相等的。arXiv电子打印，第arXiv页：1905.003682019年5月。[7] J.Backho Off-Veraguas、D.Bartl、M.Beiglb¨ock和J.Wiesel。以adaptedwasserstein距离估计过程。arXiv e-prints，2020年。[8] J.Backho ff-Veraguas、M.Beiglb¨ock、M.Eder和A.Pichler。过程距离的基本性质。ArXiv e-prints，2017年。[9] J.Backho Off-Veraguas、M.Beiglb¨ock、M.Huesmann和S.K¨allblad。Benamou-Brenier鞅：概率观点。《概率年鉴》，2018年8月。[10] J.Backho ff-Veraguas、M.Beiglb¨ock、Y.Lin和A.Zalashko。离散时间因果迁移及其应用。《暹罗优化杂志》，27（4）：2528–25622017。[11] J.Backho Off-Veraguas、M.Beiglb¨ock和G.Pammer。弱运输成本的存在性、对偶性和周期单调性。《变分法和偏微分方程》，58（6）：2032019。[12] J.Backho ff-Veraguas和G.Pammer。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性。arXiv电子打印，第arXiv页：1904.04171，2019年4月。[13] D.Bartl、S.Drapeau、J.Ob l\'oj和J.Wiesel。2019年，私人通信。[14] D.Becherer和K.Kentia。在漂移和波动的组合不确定性下的良好交易对冲和估值。概率。无把握数量。风险，2：2017年第13、40号文件。[15] 贝格洛克先生、亨利·劳德埃先生和彭克纳先生。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。财务Stoch。，17(3):477–501, 2013.[16] M.Beiglb¨ock和N.Juillet。关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。概率。，44(1):42–106, 2016.[17] M.Beiglb¨ock和P.Siorpaes。伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式的路径版本。伯努利，21（1）：360–3732015。[18] M.Beiglboeck、A.Cox和M.Huesmann。多边缘Skorokhod嵌入的几何。PTRF，将于2019年5月出现，第arXiv页：1705.09505。[19] A。

Ben Tal和M.Teboulle。凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。《数学金融》，17（3）：449–4762007。[20] J.Bion Nadal和D.Talay。关于Wasserstein型随机微分方程解之间的距离。安。应用程序。概率。，29(3):1609–1639, 2019.【21】B.Bouchard和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。《应用概率年鉴》，25（2）：823–8592015。[22]D.L.伯克霍尔德。鞅理论及其应用的探索。在“Ecole d”Et“e deProbabilit”es de Saint Flour XIX-1989，第1464卷数学课堂讲稿中。，第1-66页。柏林斯普林格，1991年。[23]D.L.伯克霍尔德。鞅平方函数期望的Davis不等式中的最佳常数。变速箱。美国。数学Soc。，354（1）：91–105（电子版），2002年。[24]L.Campi、I.Laachir和C.Martini。二边鞅输运问题中数值的变化。财务Stoch。，2017年6月21日（2）：471-486107。【25】R.Cont.模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。数学金融，16（3）：519–54720006。[26]Y.Dolinsky和H.M.Soner。连续时间鞅最优运输和鲁棒套期保值。概率。理论关系。字段，160（1-2）：391–4272014。【27】M.Eder。自适应弱拓扑的紧性。arXiv电子打印，第arXiv页：1905.008562019年5月。【28】N.El Karoui、M.Jeanblanc和S.Shreve。Black和Scholes公式的稳健性。数学《金融》，8（2）：93-1261998.24 J.BACKHOFF-VERAGUAS，D.BARTL，M.BEIGLB¨OCK，M.EDER[29]A.Galichon，P.Henry Labord\'ere，N.Touzi。一种随机控制方法，用于给定边际的无套利边界，并应用于回望期权。安。应用程序。概率。，24(1):312–336, 2014.【30】M.Glanzer、G.C.P flug和A.Pichler。

将统计模型误差纳入未定权益可接受价格的计算。数学规划，174（1-2）：499–5242019。【31】N.Gozlan、C.Roberto、P.-M.Samson、Y.Shu和P.Tetali。线上一类弱输运熵不等式的特征。安。Henri Poincar\'e Probab研究所。《统计》，54（3）：1667–169320018年。【32】N.Gozlan、C.Roberto、P.-M.Samson和P.Tetali。一般运输成本和应用的Kantorovich对偶。J、 功能。分析。，273(11):3327–3405, 2017.【33】M.F.Hellwig。不确定条件下的序贯决策与极大值定理。J、 数学。经济体。，25(4):443–464, 1996.【34】S.Herrmann和J.Muhle Karbe。模型的不确定性、重新校准和三角织女星对冲的出现。《金融与随机》，21（4）：873–930，2017年10月。【35】S.Herrmann、J.Muhle Karbe和F.T.Seifried。具有较小的不确定性厌恶的对冲。《金融与随机》，21（1）：1–642017年1月。[36]D.霍布森。回望期权的稳健对冲。《金融与随机》，2:329–3471998。[37]D.霍布森。Skorokhod嵌入问题和期权价格的模型无关界。在巴黎，普林斯顿2010年数学金融讲座，2003年数学讲座卷。，第267-318页。柏林斯普林格，2011年。[38]D.Hobson和A.Neuberger。前向启动选项的鲁棒边界。数学《金融》，22（1）：31–562012年。[39]D.G.霍布森。波动性误认、期权定价和通过耦合的超级复制。安。应用程序。概率。，8(1):193–205, 1998.【40】I.Karatzas和S.Shreve。布朗运动与随机微积分，第113卷。SpringerScience&Business Media，2012年。[41]C.Kardaras和G.ˇZitkovi'C.不完备市场中随机捐赠效用最大化问题的稳定性。数学《金融》，21（2）：313–3332011年。[42]D.拉克。

密集的联合分布集出现在过滤放大、随机控制和因果最优运输中。ArXiv e-prints，2018年。[43]K.拉森。效用最大化相对于偏好的连续性。数学《金融》，19（2）：237–2502009年。[44]K.Larsen和G.ˇZitkovi'c.不完全市场中效用最大化的稳定性。随机过程。应用程序。，117(11):1642–1662, 2007.【45】R.拉萨尔。因果迁移计划及其Monge-Kantorovich问题。《随机分析与应用》，36（3）：452–4842018。[46]T.J.Lyons。不确定的波动性和衍生品的无风险合成。应用数学金融，2（2）：117–1331995年。【47】M.Mocha和N.Westray。约束效用最大化问题的稳定性：aBSDE方法。暹罗J.金融学杂志。，4(1):117–150, 2013.【48】J.Ob l'oj。斯科罗霍德嵌入问题及其影响。概率。Surv。，1:321–390,2004.【49】J.Ob l\'oj和J.Wiesel。超边际价格的统计估计。ArXiv e-prints，2018年。【50】A.Osekowski。鞅方括号的尖锐极大不等式。《随机：概率与随机过程国际杂志》，82（06）：589–6052010。【51】A.Osekowski。Sharp鞅和半鞅不等式，InstytutMatematyczny Polskiej Akademii Nauk第72卷。专著Matematyczne（新系列）[波兰科学院数学研究所。数学专著（新系列）]。Birkhauser/Springer Basel AG，巴塞尔，2012年。【52】G.C.P层。多阶段随机优化中的版本独立性和嵌套分布。《暹罗优化杂志》，20（3）：1406–14202009。【53】G.C.P flug和A.Pichler。多级随机优化模型的距离。西亚姆杰。Opti m.，22（1）：2012年1月至23日。【54】G.C.P flug和A.Pichler。多级随机优化。

Springer系列在运营研究和金融工程领域。斯普林格，查姆，2014年。【55】G.C.P flug和A.Pichler。从经验观测到随机优化的树模型：收敛性。暹罗J.Optim。，26(3):1715–1740, 2016.【56】A.Pratelli。关于最佳大众运输中Monge最小值和Kantorovich最小值之间的相等性。安。Poincar\'e Probab研究所。统计员。，43(1):1–13, 2007.【57】J.-L.普里金特。金融市场的弱收敛性。《金融市场弱趋同》，第129-265页。斯普林格，2003年。改编自《数学金融学中的瓦瑟斯坦距离和稳定性》25[58]L.R¨uschendorf。Wasserstein距离和近似定理。Z、 瓦赫希。Verw公司。Gebiete，70（1）：117–129，1985年。【59】W.Schachermayer和F.Stebegg。Burkholder-Davis-Gundy不等式和非光滑粘贴的夏普常数。伯努利出版社，2017年7月出版。[60]K.韦斯顿。非等价市场中效用最大化的稳定性。《金融与随机》，20（2）：511–5412016。[61]J.Wiesel。实线上鞅最优运输问题的连续性。arXive印刷品，第arXiv页：1905.045742019年5月。【62】T.Yamada和S.Watanabe。关于随机微分方程解的唯一性。京都大学数学杂志，11（1）：155-1671971年。