根据她的信号，她对V做出了有根据的猜测。因此，存在一个可测函数f，使得f（Z）=E[V | Z]。我们假设Z是一个连续的随机变量，f是连续的。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以将Z作为标准正态随机变量，可能是某些布朗运动的时间1值。此外，f可以严格增加（为什么？）。这尤其意味着，对于知情交易者来说，信号Z越大，r isky资产的价值就越大。不对称信息下的市场微观结构数学5她被假设为风险中性，她的目标是最大化预期的最终财富。supθ∈A（H）E0，zWθ, 式中，Wθ=（V- S1级-))θ1-+Z1级-θs-dSs。然而，利用条件期望的塔性质，上述问题等价于upθ∈A（H）E0，zWθ, 式中（2.5）Wθ=（f（Z）- S1级-)θ1-+Z1级-θs-dSs。（2.6）上述A（H）是给定定价规则H的一组可接受交易策略，将在定义2中定义。此外，E0，zi是关于P0，z的期望，这是σ（Ys，z；s）的概率度量≤ 1） 由（Y，Z）生成，Y=0，Z=Z。因此，内幕人士将其最终财富的预期价值Wθ最大化，其中等式（2.5）右侧的第一项是由于市场价格和基本价值之间的潜在差异或内幕人士在信息发布时的私人估值对最终财富的贡献，第二项是阅读活动对最终财富的贡献。鉴于上述市场结构，我们现在可以精确地定义制造商和知情交易员的过滤。

由于我们将要求他们满足通常的条件，我们首先确定完成过滤时将使用的概率度量。第一个定义F：=σ（Bt，Z；t≤ 1） 让P0，zb表示由（B，Z）生成的F上的概率测度，其中B=0，Z=Z。同时定义F上的概率测度P(Ohm, F） by（2.7）P（E）=ZRQ0，z（E）Q（z∈ dz），对于任何E∈ F、 2.1。关于过滤和空集s的一些技术性问题。P0、Zi是指未形成的领导者如何为B和Z产生的事件分配可能性，P是指未准确观察到的做市商的概率分布。因此，以FM表示的市场制造商过滤将是由Y生成的P-null过滤集的正确连续扩充。另一方面，由于知情交易者完全了解z的值，因此可以假设她的过滤被P0，z-null集所增强。然而，这将使建模变得繁琐，因为过滤将额外依赖于注释的价值，这意味着内幕人士的最佳交易策略考虑了反馈效应，即价格对其交易策略的反应。6 UMUT C,etinz纯粹出于技术原因。另一个自然选择是考虑所有这些增强的交集。即拟合=∩z∈RFI，zt，其中FI，zt是由Z和S生成的过滤的通常增强，并用P0的空集完成，z、 过滤的关键观察：内幕人士的过滤是用她自己的信号z扩大市场过滤。概率度量的关键观察：内幕人士的概率度量与做市商的概率度量是相似的。实际上，P0，z（F（z）=F（z））=1，而P（F（z）=F（z））=0.2.2。平衡的定义。

我们通常能够对该市场的理性预期均衡进行严格定义，即一对由可接受的定价规则和可接受的交易策略组成，这样：a）给定定价规则，交易策略是最优的，b）给定交易策略，定价规则在以下意义上是合理的：（2.8）H（t，Yt）=St=ef（Z）| FMt,其中E对应于P下的期望算子。为了正式定义非均衡，我们首先定义了一组可接受的定价规则和交易策略。定义1。可接受的定价规则是满足以下条件的任何函数：（1）H∈ C1,2（[0,1）×R）。（2）x 7→ H（t，x）对于每t严格递增∈ [0，1）；备注1。空间变量中H的严格单调性意味着H在时间1之前是不变的，因此，内幕人士的过滤是由y和Z生成的。这反过来意味着（FS，Zt）=（FB，Zt），即内幕人士拥有关于市场的全部信息。鉴于上述情况，可以将FIt=FB，Zt用于所有T∈ [0, 1].定义2。如果（1）θ是上的半鞅，则FB，Z-适应θ是给定定价规则H的可接受交易策略(Ohm, F、 （FB，Zt），Q0，z），具有ea ch z的可和跳跃∈ R、 （2）无双精度策略是一种低成本策略，即针对所有z∈ R（2.9）E0，zZH（t，Xt）dt< ∞.给定H的可容许传输策略集用A（H）表示。在内幕交易文献中，标准的做法（例如，参见[4]或[30]）是将允许的策略集限制为绝对连续的策略，这些策略的动机是后面的结果[2]。我们将在定理1中证明这一点，即内部人员如果不采用有限变化的连续策略，则不会获得任何额外收益。鉴于上述讨论，我们可以将内部人的可接受策略限制为绝对连续策略，由Ac（H）表示。

事实上，定理1表明，在mildcondition条件下，如果只允许内幕人士在非对称信息7绝对连续策略下使用市场微观结构数学，那么内幕人士的价值函数是不变的。此外，即使不满足这些条件，定理1也表明，将市场价格带到资产基本价值的绝对连续策略在A内是最优的。在我们在以下章节中考虑的模型中，这种策略将始终存在，均衡定价规则将满足定理1的条件。因此，对Acis的限制不会失去通用性。现在，我们可以正式定义市场均衡，如下所示。定义3。一对（H*θ*) 如果H*是一个可容许的pricingrule，θ*∈ Ac（H*), 满足以下条件：（1）市场效率条件：给定θ*, H*是一种合理的定价规则，即。满足（2.8）。（2） 内部最优性条件：给定H*, θ*解决内部优化问题：E[Wθ*] = supθ∈Ac（H*)E[Wθ]。3、关于内部人的最优策略在证明具有不连续路径或具有有限变化路径的策略是次优的之前，让我们非正式地推导出与内部人假设绝对连续交易策略的价值函数相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。设H为任意有理定价规则，并假设dθt=αtdt。

首先，对于Wθ应用分部积分公式的标准应用给出（3.10）Wθ=Z（f（Z）- Ss）αsds。此外，（3.11）E0，zZ（f（Z）- Ss）αsds= E0，zZ（f（Z）- Ss）αsds.根据（3.10）和（3.11），insider的优化问题变成（3.12）supθE0，z[Wθ]=supθE0，zZ（f（Z）- H（s，Ys））α-sds.现在让我们介绍一下t的值函数：φ（t，y，z）：=ess supαE0，zZt（f（z）- H（s，Ys））αsds | Yt=y，Z=Z, t型∈ [0, 1].通常应用动态规划原理，我们得到以下HJB方程：（3.13）0=supα（[φy+f（z））- H（t，y）]α）+φt+φy y.8 UMUT C,etin因此，为了值函数的完整性和最优ima lα的存在，我们需要φy+f（z）-H（t，y）=0（3.14）φt+φy y=0。（3.15）关于y的微分（3.14），从（3.14）可以得出φy=H（t，y）-f（z），我们得到（3.16）φy y=Hy（t，y），φy yy=Hy y。由于与t相关的微分（3.14）给出了φy t=Ht（t，y），（3.16）意味着在与y（3.17）Ht（t，y）+Hy y（t，y）=0相关的微分（3.15）后。因此，最后两个方程似乎是有必要的，以获得内部问题的最终解决方案。下一个结果表明，等式（3.17）还意味着内部人员必须使用连续策略来定义变化。定理1。设H是一个令人满意的定价规则，满足（3.17）。然后θ∈ A（H）是非最优策略ifi）θ是连续且变化有限的，ii）和H（1-, Y1级-) = f（Z），P0，Z-a.s。。此外，如果我们进一步假设H是有界的，则存在一个可容许的绝对连续策略θ，使得supθ∈A（H）E0，zWθ= E0，zWθ.这个定理的证明和凯尔模型中平衡点的构造将在我们收集一些机器之后开始。从声明中可以看出，内幕人士在进行最佳交易时必须使用删节策略。这需要对扩散过程的调节取得一定的结果。

在这样做的同时，我们还应注意其与扩大过滤理论的联系，因为内幕人士的过滤是做市商过滤的扩大。还要注意的是，做市商定价规则的合理性意味着他们需要根据Y的历史计算Z的条件分布。因此，我们需要回顾随机滤波的基础知识，至少在高斯过程的背景下。4、随机滤波器支持在过滤概率空间上给出一个感兴趣的自适应过程，X=（Xt）0≤t型≤T、 称为信号处理，用于确定性T。pr的问题是信号无法直接观察到，我们所能看到的只是一个适应的观察过程y=（Yt）0≤t型≤T、 过滤涉及到确定E[f（Xt）| FYt]，其中FYt是由Y生成并满足通常假设的最小过滤，f是一个可测量的函数。不对称信息下的市场微观结构数学9备注2。过程的定义存在问题（E[f（Xt）|FYt]）0≤t型≤T条件期望E[f（Xt）| FYt]仅定义为a.s.，并且在0和T之间有无数的T！然而，存在一个过程，让我们用fo表示它，称为f（X）的FYoptional投影，它满足每t（及更多）的fot=E[f（Xt）| FYt]。此外，对FOI进行了统一定义。对于我们来说，每当我们通过（E[Ht | FYt]）0定义流程时≤t型≤T、 我们应始终测量并使用H的FY可选投影。H的FY可选投影将用BH表示。有关更多详细信息，请参阅罗杰斯和威廉姆斯的第二卷。我们还支持过滤支持两个布朗运动，W和B，对于某些可预测过程ρ，D[W，B]t=ρtdt。4.1. 非线性滤波的创新方法。

让我们补充一下，观测过程的形式是（4.18）Yt=Zthsds+Wt，其中W是标准布朗运动，h是一个适应过程，使得（4.19）EZThsds< ∞.非线性滤波理论的主要结果如下：定理2。（Fujisaki、Kallianpur和Kunita）（1）工艺定义为（4.20）Nt=Yt-Ztbhsds，每t∈ [0，T]是FY布朗运动。（2） 如果M i是一个M=0的L-Bounded FY鞅，则存在一个FY可预测过程C，使得EZTCDS公司< ∞,这zt=ztcdns。FY布朗运动在过滤文献中被称为创新过程。证据让我们做一个FYstopping time。由于我们只在有限的时间间隔[0，T]内观察到Y，S≤ T，因此有界。让N*T=支持≤T | Nt |。否te that N*由随机变量控制*T+ZTn | hs |+| bhs | ods，10 UMUT C,etin，因（4.19）可平方积。因此，NSis也是可积的andE（NS）=EWS+ZS（hs-行李处理系统）ds=ZTEh（hs-bhs）1[秒≤S] ids=0，其中我们使用了E[WS]的可选停止定理，以获得第一个等式，即bhs=E[hs | FYs]和[S≤ S]∈ FYST得出最后一个等式。这表明N是FY鞅。因为[N，N]t=t，f或每t∈ [0，T]，这表明N是由L'evy描述的FY布朗运动。第二部分的证明见罗杰斯和威廉姆斯[27]第VI.8章。让信号过程X具有以下差异：（4.21）dXt=αtdt+ηtdBt，其中α是自适应的，η是可预测的。我们相信她ZTαsds< ∞,和支持∈[0，T]分机<∞.定理3。设X和Y如上所述。然后我们得到以下方程：bXt=bX+Ztbαsds+Ztn[Xshs-bXsbhs+dηsρsodNs。证据

首先不需要说明，如果C是一个适应的过程，那么EZT | Cs | ds<∞,如果Vt=RtCsds，则（4.22）bVt-ZtbCsds是FY鞅。不对称信息下市场微观结构的数学11为了证明这一点，必须证明任何FY停止时间S≤ T，EbVS=ERSbCsds。事实上，EbVS=EVS=EZSCsds=中兴通讯[s]≤S] Cs公司ds=ZTEh[秒≤S] BCSID=EZSBCDS。这又意味着mt：=bXt-bX公司-Ztbαsds是M=0的Fy鞅。此外，由于α和X上的假定积分条件，它是一个L有界鞅。因此，根据定理2，存在一个可预测过程φ，使得mt=ZtφsdNs。接下来，我们将显式地计算鞅M。为此，我们将以两种不同的方式计算XY的可选投影。使用partsXtYt=ZtXsdYs+ZtYsdXs+[X，Y]t=Zt{Xshs+Ysαs+ηsρs}ds+F-鞅进行积分。因此，使用（4.22）（4.23）[XtYt=cXtYt=Ztn[Xshs+Ysbαs+dηsρsods+FY-鞅。另一种方法是：bXtYt=ZtbXtdYs+ZtYsdbXs+[^X，Y]t=ZtbXtndNs+bhsdso+ZtYs{dMs+bαsds}+[M，N]t=ZtnbXsbhs+Ysbαs+φsods+FY-鞅（4.24）（4.23）和（4.24）共同实现BXSBHS+Ysbαs+φsods-Ztn[Xshs+Ysbαs+dηsρsods12 UMUT C,etin是一个FY鞅，因此必须为零，具有有限的变化。这意味着φs=[Xshs-bXsbhs+dηsρs，对于每个s。这证明了所需的过滤方程。4.2. 马尔可夫案例。请注意，我们没有对X o y作出任何马尔可夫假设。现在我们来看看这个特例，并获得确定X的条件分布的方程。假设X是与生成器L的微分：L=σ（X）ddx+b（X）ddx。为了简单起见，我们还假设B和W是独立的，hs=h（Xs）和ZThsds< ∞.然后，利用已经得到的公式，我们得到了下面的定理4。让f∈ Ck和定义πtf=E[f（Xt）| FYt]。

那么，πtf=πf+ZtπsLf ds+Zt{πshf- πshπsf}dNs。上述定理中的方程称为Kushner-Stratonovic方程或简单的滤波方程。练习1。假设W和B不是独立的B，但对于某个可测函数ρ（x，y），当x属于有界区间时，该函数ρ（x，y）是有界的。在此设置中获取过滤方程。练习2。将过滤方程扩展到多维设置。4.3. Kalman Bucy过滤器。Kalman-Bucy滤波器是一种著名的滤波方法，在现实问题中得到了广泛的应用。特别是，这对于Kyle模型中equilibirum的解决至关重要。我们假设信号过程满足Ornstein-Uhlenbeck SDE：Xt=X+Bt+ZtaXsds，其中Xis是一个标准随机变量，观察过程由YT=Wt+ZtaXsds给出。我们假设W和B是独立的，所以ρ≡ 由于双变量过程（X，Y）是高斯分布，因此给定Y的X的条件分布也是高斯分布。平均值由Bx给出，Bx=EX+ZtabXsds+cZtncXs- （bXs）ODN不对称信息下的市场微观结构数学13由定理3得出。设vt：=E[（Xt-bXt）| FYt]是给定FYt的条件方差。一、 e.vt=cXt- （bXt）。接下来，让我们找出CxT的过滤方程。再次使用It^o公式和定理3cXt=EX+Zt（1+2acXs）ds+cZtncXs-CXSBXSODN。回想一下Z~ N（u，σ），EZ=u（u+3σ）。因此，由于Xtis条件高斯，cXs-cXsbXs=bXscXs+3V-cXs= 2vsbXs。因此，dvt=d（cXt-bXt）=2cvtbXtdNt+（1+2acXt）dt- 2bXt（cvtdNt+abXtdt）- cvtdt=（1+2avt- cvt）dt，所以v解一个普通的微分方程。这个微分方程有一个解。如果β>0和-γ<0是二次1+2ax的两个根- cx，如果λ=c（β+γ），则vt=Δβeλt- γδeλt+1，其中δ=σ+γβ- σ、 σ=var（X）。请注意，v(∞) = β.练习3。

设X为xt=X+Ztσ（s）dWs给出的未观测信号，t型∈ [0，1]，其中Xis是均值为零且方差为s（0）的正态随机变量，σ是一个连续且确定的函数，使得zσ（s）ds<∞.还存在一个观测过程Y，由yt=Bt+ZtXs给出- Ysf（s）ds，其中f是确定性连续函数。假设B和W是独立的布朗运动。a） 求出给定观测过程Y的方程f或^X。b） 设v（t）：=E[（Xt-bXt）| FYt]，其中FYt是由Y生成的过滤，bXt=E[Xt | FYt]。证明v解微分方程f（t）v′（t）+v（t）=σ（t）f（t）。（提示：如果Z~ N（u，σ），然后EZ=u（u+3σ）。）14 UMUT C,etic）设s（t）：=s（0）+Rtσ（s）ds。假设f（t）=s（t）- t和s（t）- t型≥ 使用上述微分方程表明，给定FYt，Xt是一个均值为Xt、方差为s（t）的正态随机变量- t、 还表明BX是布朗运动。最后，Liptser和Shiryaev【22】是随机过滤基础的极好来源。它包括以上结果和更多！5、扩散桥通过扩散桥，我们通常理解对给定扩散过程的调节，以在未来某个时间获得固定的给定值。这种桥中最著名的是布朗桥。更准确地说，如果B是标准布朗运动，x∈ R、 我们可以构造一个过程xxx，这样xxi的分布就是B的分布，条件是B=x。注意，由于P（B=x）=0，布朗桥定律与B的定律不是绝对连续的。

然而，我们将看到这条定律≤ t）~ 法律（Bs；s≤ t） ，则，t<1。构建此类br idg e的一种方法是定义（5.25）Xxt：=Bt+（x- B） t.上述公式构造了一个高斯过程，其中E[Xxt]=xt，在[0.1]上连续，s<tCov（Xxs，Xxt）=E[（Bt- tB）（Bs- sB）]=s（1- t） 。为了证明上述构造确实是所需的布朗桥，让我们验证B=x条件下的Btconditioned具有上述协方差结构，并且具有相同的平均值。实际上，（5.26）P（Bs∈ dy，英国电信∈ dz | B=x）=p（s，x）p（t- s、 z- y） p（1- t、 x个- z） p（1，x）dydz，其中p（·，·）是B的跃迁密度，即p（s，y- z） dy=P（Bt+s∈ dy | Bt=z）=√2πsexp-（y）- z） 2秒.练习4。使用（5.26）表明E[Bt | B=x]=tx，Cov（Bs，Bt）=s（1- t） 对于<t<1。然而，上述构造不适用于（Bt）的过滤比n，需要了解B。因此，这对于在Kyle模型中构造Bridge e是没有帮助的，因为尽管内部人员持续观察B，但她不知道时间t<1的值。布朗桥的第二个构造使用SDEs。考虑（5.27）Xxt=Bt+Ztx- Xxs1- sds。其唯一解由（5.28）Xxt=xt+（1）给出- t） Zt1- 不对称信息下市场微观结构的sdBsMATHEMATICS 15练习5。使用部件集成验证上述内容。从（5.28）中可以清楚地看出，E【Xxt】=xt。此外，Cov（Xxs，Xxt）=（1-s） （1）-t） E类Zs1- rdBrZt1- rdBr公司= (1-s） （1）-t） Zs（1- r） dr=s（1-t） 。仍然需要证明Xxis在[0，1]上是连续的。[0，1]上的连续性很清楚。剩下要显示的是Xxt→ x为t→ 1、练习6。显示P（极限→xxt=x）=1，其中xxi由obs e rvingthatZt1（5.28）定义- sdBsd=Wt1-t、 其中W是某种布朗运动。也可以使用limt→∞Wtt=0，对于任何布朗运动，概率为1。练习7。证明了（5.27）的解是一个半鞅。

（提示：计算E[| x-Xxt]。）我们对布朗桥进行了两种不同的构造。除了分布相同外，它们之间是否存在差异或联系。为了回答这个问题，让我们回顾一下，第一个结构并不是根据B的知识进行调整的。现在让我们看看如果我们扩大B的过滤，B会发生什么。Let（Ft）t→1b B和GT的自然过滤表示Ft∨σ（B）遵循Mansuy和Yor的方法[24]。要计算Gt下B的分解，请使用文本函数G和集合a∈ Fsand considerMt：=E[g（B）| Ft]=Zg（y）p（1-t、 y型- Bt）dy。如果我们将Ito公式应用于p，并注意到t pt=pxx，我们得到mt=Ms-ZtsZg（y）px（1- t、 y型- Br）dydr。因此，E[（Bt- Bs）g（B）1A]=E[（Bt- Bs）MA]=E[（Bt- Bs）MtA]=E[（[M，B]t- [M，B]s）1A]=-EAZtsZg（y）px（1- t、 y型- Br）dydr= -EAZtsZg（y）px（1- t、 y型- Br）p（1- t、 y型- Br）p（1- t、 y型- Br）dydr= -EAZtsg（B）px（1- t、 B类- Br）p（1- t、 B类- Br）dr= -EAg（B）Ztspx（1- t、 B类- Br）p（1- t、 B类- Br）dr.16 UMUT C,etin然而，上述表示βt：=Bt+Ztpx（1- t、 B类- Br）p（1- t、 B类- Br）dris是Gt鞅。根据L’evy对布朗运动的描述，β一定是aGt布朗运动。此外，px（t，y）p（t，y）=-年初至今。因此，Bt=βt+ZtB- Br1型- rdr，其中β是G-布朗运动。现在，如果我们将其插入（5.25），我们得到xxt=βt+Ztx个- B+B- Br1型- rdr=βt+Ztx- xr+rB- Br1型- rdr=βt+Ztx- （Br+r（x- B） ）1- rdr=βt+Ztx- Xxr1- rdr是（5.27）的弱解。5.1. 法律的绝对连续性和普遍分歧的桥梁。显然，当我们考虑从0到1的整个轨迹时，布朗桥的概率定律相对于布朗运动的概率定律不是绝对连续的。

然而，这并不意味着当T<1时，当T系数被限定为[0，T]形式的区间时，定律的奇异性。事实上，如果我们考虑（5.26）并将其与相应的布朗运动定律进行比较，我们可以推测该定律P0→x0→由连续函数空间上的布朗桥导出→x0→1dPFT=p（1- T、 x个- XT），T<1，其中，从0和X开始的布朗运动所诱导的定律是坐标过程。这种猜测可以通过Girsanov变换进行验证。为此，观察Mt：=p（1- t、 x个- Bt）是T<1的[0，T]上的有界鞅。因此，如果在FTbydQdP=MT上定义概率度量Q，则Girsanov定理意味着B在Q下遵循以下动力学：Bt=βt+Ztx- Bs1- 一些Q-布朗运动β在不对称信息17下市场微观结构的SDS数学模型。也就是说，Q下的B是（5.27）的弱解。由于强唯一性在[0，T]上成立，所以弱唯一性也成立。这尤其意味着上述绝对连续性。上述程序还提示我们如何继续建造一座融合的桥梁。为了使构造更精确，假设对于某些函数σ和b，X是xt=y+Ztσ（Xs）dBs+Ztb（Xs）ds的唯一解。假设SDE的系数足够精确，因此该解允许相对于Lebesgue测度的跃迁密度。设p（t，y，z）表示该密度。也就是说，p（t，y，z）dz=p（Xs+t∈ dz | Xs=y）。如果我们对SDE施加更多的条件，我们可以确保对于任何z，映射（t，y）7→p（t，y，z）足够光滑，可以应用伊藤公式。假设情况是这样的，mt：=p（1- t、 Xt，x）=M+Ztpy（1- s、 对于任何T<1的情况，Xs，x）σ（Xs）dbs是[0，T]上的马氏体。

因此，Girsanov定理产生了一个由dqtdp=MTMunder定义的QTon F，其中X followsXt=y+Ztσ（Xs）dβs+Ztb（Xs）+σ（Xs）py（1- s、 Xs，x）p（1- s、 Xs，x）ds，t<t。可以很容易地证明，qt收敛到某个度量Q，我们想用X定律来确定，条件是在时间1等于X。这需要一定的测量理论技术性，超出了这些注释的范围。然而，在相当温和的条件下，这是可以做到的（见[11]），因此，上述SDE的配方可以使Xconditioned在时间1时（连续）到达x。上述结构的一个著名例子是三维贝塞尔桥。也就是说，对于x≥ 0，Xt=x+ZtXsds。上述SDE的解在启动后从未达到0，并收敛到∞ 作为t→ ∞.但是我们可以使用上面的公式来调节X，使其在时间1收敛到0。这里有一点困难，因为p（1- t、 y，0）=0（见Revuz和Yor[？]第XI.1节）对于该密度的准确描述）。为了避免这种情况，定义=h（t，Xt），其中h（t，y）=limz→0p（1- t、 y，z）p（1，x，z）。18 UMUT C,etin在这种情况下，limx→0hy（t，y）h（t，y）=-y1级- t、 因此，从x到0的三维贝塞尔电桥的相应SDE由（5.29）Xt=x+Bt+Zt确定Xs型-Xs1- sds。备注3。在一般差异的情况下，也存在着与过滤理论扩大的类似联系。在一定的积分条件下，通过重复我们用于布朗运动的相同公式，我们可以证明dxt=σ（Xt）dβt+b（Xt）+σ（Xt）py（1- t、 Xt，X）p（1- t、 Xt，X）dt，其中β是G-布朗运动，而l e Gt=FXt∨ σ（X）。定理1的证明证明证明我们有了所需的机制，现在我们可以回到凯尔模型并找到其平衡点。我们的首要任务是证明定理1。使用Ito的一般半鞅公式（参见，例如。

定理二。32 in[26]）我们得到了dh（t，Yt）=Ht（t，Yt-)dt+Hy（t，Yt-)dYt+Hy y（t，Yt-)d[Y，Y]ct+{H（t，Yt）-H（t，Yt-) -Hy（t，Yt-)Yt}=Hx（t，Yt-)w（t，Yt-)dYct+dF Vt，其中F V为有限变化。因此，（6.30）[θ，S]ct=ZtHy（S，Ys-)d[Yc，θ]s=ZtHy（s，Ys-) {d[B，θ]s+d[θ，θ]cs}。此外，通过分段积分（2.6）（参见[26]中定理II.22的推论2），我们得到（6.31）Wθ=f（Z）θ1--Z1级-H（t，Yt-))dθt- [θ，H（·，Y）]1-因为θ的跳跃是可加的。考虑函数（6.32）ψa（t，x）：=Zxξ（t，a）（H（t，u）- a） du+ZtHy（s，ξ（s，a）），其中ξ（t，a）是H（t，ξ（t，a））=a的唯一解。

与x的直接微分得到（6.33）ψax（t，x）=H（t，x）- a、 上述对x的区分给出（6.34）ψaxx（t，x）=Hx（t，x）。不对称信息下市场微观结构的数学19ψa（t，x）与t的直接差异给出ψat（t，x）=Zxξ（t，a）Ht（t，u）w（t，u）du-Hx（t，ξ（t，a））w（t，ξ（t，a））=-Hx（t，x）。将上述与（6.34）相结合，得出（6.35）ψat+w（t，x）ψaxx=0。应用伊藤公式，我们推导出ψa（t，Yt）=ψt（t，Yt-)dt+（H（t，Yt-) -a） dYct+ψxx（t，Yt-)d[Y，Y]ct+ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-)= （H（t，Yt-) - a） dYct+ψxx（t，Yt-) （d[Y，Y]ct- dt）+ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-)= （H（t，Yt-) - a） dYct+Hy（t，Yt-)（d[Y，Y]ct- dt）+ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-)其中，从（6.35）到最后一个等式，最后一个等式是（6.34）。以上表示ψa（1-, Y1级-) = ψa（0，0）+Z1-H（t，Yt-)（dBt+dθt）- a（B+θ1-)+Z1级-Hy（t，Yt-)（d[Y，Y]ct- dt）+X0<t<1{ψa（t，Yt）-ψa（t，Yt-) -（H（t，Yt-) - （a）θt}20 UMUT C,etin结合上述和（6.31）yieldsE0，zWθ= E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, X1-) -f（Z）B+Z1-H（t，Xt-)dBt+Z1-w（t，Xt-)Hx（t，Xt-)（2d[B，θ]t+d[θ，θ]ct）+X0<t<1ψf（Z）（t，Yt）- ψf（Z）（t，Yt-) -（H（t，Yt-) -f（Z））θt-ZHy（s，Ys-)w（s，Ys）-) {d[B，θ]s+d[θ，θ]cs}-X0<t<1（H（t，Yt）- H（t，Yt-))θt#=E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, Y1级-) -Z1级-Hy（t，Yt-)d[θ，θ]ct+X0<t<1ψf（Z）（t，Yt）- ψf（Z）（t，Yt）-) -（H（t，Yt）-f（Z））θt#≤ E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, Y1级-)因为H在增加，ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-) - （H（t，Yt）- （a）θt=ZYtYt-（H（t，u）- a） 杜邦- （H（t，Yt）-（a）θt≤ （H（t，Yt）-（a）年初至今- （H（t，Yt）- （a）θt=0。注：当且仅当θt=0，因为H的严格单调性。

此外，ψf（Z）（1-, Y1级-) ≥ 0具有等式当且仅当H（1-, Y1级-) = f（Z）。因此，E0，zWθ≤ E0，zψf（Z）（0，0）对于所有可容许的θs端等式，当且仅当满足以下两个条件时才达到。i） θ是连续的，变化有限。ii）H（1-, Y1级-) = f（Z），P0，Z-a.s。。因此，如果能找到一系列绝对连续的容许策略，（θn）n，证明将是完整的≥1如此限制→∞E0，zWθn= E0，zψf（Z）（0，0）. 然而，请注意，只要θ是半鞅，可容许性就会立即出现，因为H被假定为有界的。定义：=Bt+ZtH-1（1，f（z））- Ys1型- sds。回想一下，上面的SDE有一个半鞅解，它是一个将a.s.t收敛到H的布朗桥-1（1，f（z））。设定值θt=H-1（f（z））- Yt1年- t并观察到，由于θ是绝对连续的，我们有E0，z[Wθ]=E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1，Y））.不对称信息下市场微观结构的数学21另一方面，ψf（Z）（1，Y））=0，因为H（1，Y）=f（Z）。因此，θ是最优的。平衡我们在资产价值有界的情况下建立平衡。定理5。假设f是有界的。通过设置θ=和Dθt=Z确定θ- Yt1年- tdt。设H为ht+Hy y=0，H（1，y）=f（y）的唯一解。那么，（H，θ）是一个平衡。证据首先要注意的是，由于f是有界的，H由于其feynman-Kac表示而由相同的常数有界。因此，为了证明θ是可容许的，必须证明它是一个半鞅。实际上，给定Z=zYt=Bt+θ是一个收敛于Z的布朗桥。因此，Y是每个Z的P0，Z-半鞅。因此，θ是每个Z的P0，Z-半鞅。此外，H（1，Y）=f（Z），P0，Z-a.s。。因此，给定H，θ是最优的。因此，仍需证明H是一个合理的定价规则。

请注意，如果Y在其自身的滤波中是布朗运动，则H（t，Y）=E[f（Y）| FYt]，这是由于H的费曼-卡茨表示，这反过来意味着H是一个合理的优先级。接下来，让我们证明Y在其自身的过滤中是一个布朗运动。这需要确定给定Y的Z的条件分布。请注意，我们实际上在练习3的设置中，σ（s）=0，s（0）=1。练习3显示，给定的Z的条件分布为FYtis Gaussian，平均值bxt：=E[Z | FYt]和v（t），其中（1- t） v′（t）+v（t）=0，Bxt=Ztv（s）1- sdNs，其中N是创新过程。v（0）=1的常微分方程的唯一解由v（t）=1给出- t、 因此，bX=N，即bX是Fy布朗运动。现在让我们看看bx=Y。实际上，dbXt=dNt=dYt-bXt公司- Yt1年- tdt。换句话说，bX解给定Y的SDE。因为这是一个线性SDE，所以它有一个唯一的解，由Y本身给出。因此Y是FY布朗运动。22 UMUT C,ETIN中有一些备注。凯尔的lambda或交易的市场影响由λ（t，y）：=Hy（t，y）给出。因此，流动性越高，市场流动性越强。换言之，市场的流动性主要取决于内幕人士的估值对Z变化的敏感性（只要Z在开始时确定为标准正常值）。还要注意的是，内幕人士在时间1将市场价格带到f（Z）的所有桥牌策略中是不同的。其中一座桥是whendYt=dBt+kZ- Yt1年- 当H仍然如定理5所示时，某些k的tdt。虽然这对内部人士来说是最优的，但当与H结合时，它无法达到平衡，因为当Y如上所述时，H（t，Yt）不会是一个污点。8、动态私人信号到目前为止，我们已经考虑了这样一种情况，即知情交易人有一个静态信号，为未来资产价值提供无偏预测。

然而，最常见的情况是，知情的贸易商是拥有研究部门的投资银行。对于这样的交易，假设他们没有及时更新研究是不现实的。作为前一模型的简单扩展，假设知情交易者接收到高斯信号Z，使得zt=Z+σBZt，其中σ<1和Z~ N（0，1-σ). 因此，Zi是一个标准正态随机变量。我们将再次假设一个严格递增的f，使得f（Z）将是知情交易者在时间1时对在时间1时披露的资产价值V的无偏估计。内幕人士的目的与（2.5）相同。如果我们通过定理1，我们会意识到它的证明并不取决于探测器的信号是静态的还是动态的。因此，同样的证明可以用来证明，如果一个可容许的绝对连续交易策略将市场价格带到f（Z），它将是最优的。因此，如果H是理性定价规则，θ是桥梁策略，则（H，θ）将是均衡。为了实现这一点，内部人员需要选择θ，使Y在其自身过滤中是布朗运动，使Y=Z。因此，如果H如定理5所示，（H，θ）将是一个平衡。定理6。设s（t）：=（1- σ)(1 - t） 且考虑YT=Bt+ZtZr- Yrs（r）dr.然后，Zt的条件分布为FYtis高斯分布，平均y和方差s（t）。尤其是，Y本身就是一个布朗运动。证据该证明类似于定理5的证明和练习3中的定理。不对称信息下市场微观结构的数学23因此，如果选择θ，则dθt=Zt- Yts（t）-t和H如定理5所示，对（H，θ）是一个平衡。θ是半鞅的证明类似于静态桥的情况，并留作练习。备注4。观察做市商的定价规则在静态和动态私人信号情况下都是相同的。

因此，我们无法以市场价格推断出鲁金的私人信息类型。当私人信息为动态信息时，知情交易者有一个收敛于Z值的信号。同样，我们可以将总订单过程Y视为做市商的信号，再次收敛于Z。信息交易者在t时的剩余不确定性为Z- Z当它是Z时- Yt=Y- YT面向做市商。Z的方差- Ztiss（t）和Y的方差- Yt=1- t、 因为s（t）<1- t、 对于知情的交易方来说，剩余的不确定性较低，因此sh e具有竞争优势。9、风险规避做市商当做市商如上所述为风险中性时，均衡价格在做市商过滤中演变为阿马丁格尔。在[10]中，做市商被允许规避风险。更准确地说，有N个做市商具有指数效用和相同的风险厌恶参数ρ。伯特兰竞争被解释为每个市场制造商在均衡状态下获得或失去任何预期效用，总订单被平均分配给他们。也就是说，每个做市商持有-许多股票及其效用作为一种主要形式发展。假设dθt=αtdt是内幕人士可接受的交易策略，因此Y在其自身的过滤满足度dyt=σdBYt+αtdt，其中bye是FM布朗运动，α是α的FM可选投影。做市商的最佳反应是选择一个能满足零效用收益条件的价格S。对于一些可预测的工艺Z和由市场制造商确定的可选工艺u，让价格S跟随dSt=ZtdBYt+utdt。由于Sand V之间存在潜在的差异，做市商的财富有可能在第1次上涨。

更准确地说，G=YN（S- V）。然而，零效用增益条件意味着1=E经验值-ρYN（S- 五）FM公司,相当于（9.36）E经验值ρYNVFM公司= 经验值ρYNS.24 UMUT C,etin另一方面，如果我们用伊藤公式计算t<1的U（G）动力学，我们得到du（Gt）=U（Gt）ρNYtnσtdBYt+ut+ρ2NYtσtdto。重申t<1的零效用增益条件表明我们必须有ut=-ρ2NYtZt。因此，零效用收益条件规定价格S遵循（9.37）dSt=ZtdBYt-ρ2NYtZtdt，做市商的问题是在给定总需求过程Y的终端条件（9.36）下，找到（Z，S）来解决（9.37）。（9.37）中的BSDE让人想起了二次BSDE，二次BSDE已经得到了深入的研究，并且与数学金融中出现的问题的联系已经很好地建立起来。（9.37）与数学金融文献中考虑的BSDE的本质偏差是Ztin（9.37）的系数为ρ2NYt，这通常是无边界的。这使得目前文献中关于二次BSDE的结果不可能直接应用于（9.37）。更重要的是，上述BSDE的边界值是高度非标准的，并且取决于解。然而，如果我们转向马尔可夫平衡，即考虑St=H（t，Yt），那么对于某些确定性函数，自然会期望在平衡时t=αt（t，Yt，St，Zt），因此（9.38）dYt=σdBYt+α（t，Yt，St，Zt）dt。因此，如果可以达到马尔可夫平衡，它将为（9.36）-（9.38）定义的偏差提供马尔可夫解，其中α是内部人员选择的最佳漂移。现在，我们转向内幕人士的优化问题，当St=H（t，Yt）表示允许的定价规则H。

基本上重复我们在前面几节中所做的，我们看到H必须满足反向热方程HT+Hy y=0，因此Ito的公式将得出s应该满足hydst=Hy（t，Yt）dYt。将其与（9.37）和（9.38）相结合意味着z^α（t，y，s，z）=-ρ2Nyz，即（9.39）^α（t，y，s，z）=-ρ2nyz只要我们注意到z=Hy（t，y）由S选择。此外，与之前一样，内部人员的唯一最优性标准是，策略确定桥梁条件H（1，y）=V。因此，如果存在马尔可夫平衡，（9.40）dYt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，Yt），不对称信息下的市场微观结构数学25和H解决了上述反向热方程，并满足H（1，Y）=V。文献[10]表明，在适当的条件下，平衡存在，并由以下方程组描述：Ht+Hy y=0（9.41）dYt=dβt-ρ2NYtHy（t，Yt）dt（9.42）Vd=H（1，Y），（9.43），Y=0，其中β是某个给定概率空间上的布朗运动，Y被理解为前向SDE的强解。请注意，DE的终端条件由Y的分布给出，其本身取决于H。因此，解决方案通常需要固定点参数。证明基于Schauder的不动点理论，该理论适用于一类合适的度量。这反过来又给出了上述反向SDE的解决方案。备注5。从上述体系可以看出，做市商的复仇，-Y，是平衡状态下的平均值Hy>0。这与市场营销的实证研究更为一致。10、注释和一些相关文献]将内幕人士的最佳策略描述为一个绝对连续的过程，将市场价格推高至其基本价值，这是一个连续的过程[2]。

定理1使用[30]和[15]中的技术，在本章更一般的环境中证明了这一特征。[4]首次连续考虑了知情投资者的动态私人信号。最近，Campi、C,etin和Danilova【8】发展了一种动态马尔可夫桥理论，以研究当内部人的信号是一个一般的扩散过程时的均衡。然而，一般均衡的存在——即使是在马尔可夫f r a模型中——仍然是一个悬而未决的问题。关于这一点，请参见[8]中的讨论。Campi和C,etin于年首次将违约风险纳入Kyle模型[7]。在【9】中，使用动态信号对该框架进行了通用化。Holden和Subrahmanyam首先在离散时间内研究了具有指数效用的风险厌恶内幕人士的情况。作者将平衡描述为方程组的解，他们能够用数值方法求解。巴鲁克（Baruch）[5]将该模型引入了连续时间，他将内幕人士的策略限制为绝对连续的策略，交易速度是均衡价格的一个重要函数。Holden和Subrahmanyam[1 9]允许多种内部人员在市场上拥有相同的信息。他们通过数值分析发现，投资者之间的竞争导致他们的私人信息被大量披露。事实上，在他们模型的持续时间限制下，内部人员会立即透露他们的信息。这一观察结果导致了对内幕人士的私人信号不完全相关的情况的研究。

Foster和Viswanathan首先在离散时间内完成了这项工作，随后Back、Cao和Willard将其扩展到连续时间。26 UMUT C,etin虽然噪声交易者需求过程的一般化在文献中引起了相对较少的关注，但仍有一些工作解决了这个问题。Colin Dufresne和Fos最近的研究考虑了噪声交易者随时间的波动性[1 3]。Biagini等人[6]研究了当噪声需求遵循分数布朗运动时的Kyle模型。Corcuera等人[14]在噪声需求过程是一个L'evy过程的背景下得出结论，当存在跳跃分量时，平衡不可能存在。实际上，C,etin和Xing【12】已经表明，当噪音买卖订单遵循泊松过程时，内部人员必须遵循混合策略，即在均衡中应用额外的随机性。实证研究表明，具有风险厌恶型做市商的模型更为现实。然而，文献中只有两篇论文对此问题进行了研究。Subrahmanyam[29]允许做市商在单周期Kyle模型中规避风险。C,etin和Danilova【10】已经证明，在具有风险厌恶的做市商的连续时间版本的theKyle模型中存在均衡。动态内部信息和规避风险的做市商之间是否存在均衡仍然是一个悬而未决的问题。参考文献[1]Amihud，Y.和Mendelson，H.（1980）：经销商市场。J、 《金融经济学》，第8期，第31-275页。[2] B ack，K.（1992）：连续时间内幕交易。《金融研究评论》，5（3），第387-409页。[3] B ack，K.、Cao，C.H.和Willard，G.A.（2000年）。知情交易者之间的不完全竞争。《金融杂志》，55（5），第21 17-2155页。[4] B ack，K.和H.Pedersen（1998）：长期信息和日内模式。