我们得出结论，对于所有n∈ NQn（τn≤ T）经验值-ZTζ（s）ds（V（ln）∧ V（rn））≤ EQnUnτn{τn≤T}≤ EQnUnT公司≤ 五（S）。18 D.CRIENSBy（5.3）存在序列（nk）k∈N N带nk→ ∞ 作为k→ ∞ 使得V（lnk）∧对于所有k，V（rnk）>0∈ N和limk→∞V（lnk）∧ V（rnk）=∞. 我们从0推断≤ Qnk（τnk≤ T）≤ V（S）expZTζ（s）dsV（lnk）∧ V（rnk）thatlimk→∞Qnk（τnk≤ T）=0。因为{τn≤ T}c={τn=∞}, 我们得到1=limk→∞Qnk（τnk=∞) ≤ lim支持→∞Qn（τn=∞) ≤ 1，这意味着（5.2）。证明是完整的。5.1.2. 整体测试。乐塔：我→ (0, ∞) 安·杜，你：我→ R是Borel函数，因此A+| u |+| u |∈ Lloc（一）。回想第2节，如果（f，g）是（u，a），（u，a）对之一，我们设置v（f，g）（x）=Zxxexp-Zyx2f（z）dzZyx2 exp（Rux2f（z）dz）g（u）dudy，x∈ 一、 （5.5）对于固定x∈ 一、 本节的主要结果如下：定理5.2。假设limxrv（u，a）（x）=limxlv（u，a）（x）=∞.（5.6）此外，对于所有n∈ N假设λ\\ Qn-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohmσt（ω）≤ ζ（t）a（St（ω）），bt（ω）≤ σt（ω）u（St（ω）），bt（ω）≥ σt（ω）u（St（ω））。（5.7）然后，（5.2）保持不变。证明：由于[36，引理5.5.26]，有不同的函数U：[x，r）→ [1, ∞) 安度：（l，x）→ [1, ∞) 具有局部绝对连续导数和λ\\-空集N′ 例如，对于所有x，ui增大，ui减小，U（x）=U（x）=1，U′（x）=U′（x）=0∈ [x，r）\\N′和所有y∈ （l，x]\\N′a（x）U′（x）+uU′（x）= U（x）和a（y）U′（y）+uU′（y）= U（y），1+v（U，a）≤ u和1+v（u，a）≤ U、 我们定义了（U，on[x，r），U，on（l，x）]，这是一个具有局部绝对连续导数的可微函数。特别是，V′≥ [x，r]上的0，V′≤ 0开（l，x），V′+uV′≥ （l，x）\\N′和v′+uV′上的0≥ [x，r]N′上的0。此外，limxrV（x）=limxlV（x）=∞,根据假设（5.6）。LeteN是所有（t，ω）的集合∈ [0，T]×Ohm 使（5.7）成立。

Forall（t，ω）∈eN:St（ω）∈ [x，r）\\N′LV（t）（ω）=σt（ω）V′（St（ω））+bt（ω）V′（St（ω））≤ σt（ω）V′（St（ω））+u（St（ω））V′（St（ω））≤ ζ（t）a（St（ω））V′（St（ω））+u（St（ω））V′（St（ω））= ζ（t）V（St（ω））。以同样的方式，我们可以看到所有（t，ω）∈eN:St（ω）∈ （l，x]\\N′LV（t）（ω）≤ ζ（t）V（St（ω））。我们得出结论，（5.4）适用于N=N′。该主张源自定理5.1。连续金融市场无套利195.2。不存在的标准。在这一节中，我们给出了定理5.2的逆命题。如第2节所示，设I=（l，r）带-∞ ≤ l<r≤ +∞ 让a：我→ (0, ∞) 而你，你：我→ R是borelfunction，使得a+| u |+| u |∈ Lloc（一）。如果（f，g）是一对（u，a），（u，a）中的一对，我们将v（f，g）设置为（5.5）。设0<T<∞, (Ohm, F） 是一个可测量的空间，具有右连续过滤F=（Ft）t∈[0，T]和s∈ 一、 假设(Ohm, F、 F）支持三个逐步可测量的过程S=（St）t∈[0，T]，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]。我们将I定义为所有p air（Q，B）的集合，包括概率测度Q(Ohm, F） 和an（F，Q）-布朗运动B=（Bt）t∈[0，T]S是Q-a.S.I值，dst=btdt+σtdBt，S=S，其中隐式表示积分定义良好。定理5.3。（i） 假设该对（u，a）满足YW条件（该术语见第2.1节）和limxrv（u，a）（x）<∞.然后，不存在对（Q，B）∈ I使得λ\\ Q-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≤ bt（ω）。（5.8）（ii）假设对（u，a）满足YW条件和limxlv（u，a）（x）<∞.然后，不存在对（Q，B）∈ I使得λ\\ Q-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≥ bt（ω）。（5.9）证明：（i）。我们在证明[11，定理4.1]时使用了比较和矛盾论证。对于矛盾，假设（Q，B）∈ 我是（5.8）所持有的Such。W、 l.o.g.我们假设F isQ完成。

在下面的工作中(Ohm, F、 F，Q）。因为ais是积极的和持续的anda。sλ\\（{t∈ [0，T]：a（St）>σT}）=0，ZTσsds<∞,函数[0，T] t 7→Ztσsa（Ss）dsa是一个有限的、连续且严格递增的函数，这意味着函数φt，inf也是如此s∈ [0，T]：Zsσra（Sr）dr≥ t型, t型∈ [0，T]，见[47，p.179-180]。此外，我们还有a.s.φt≤ t代表所有t∈ [0，T]。我们在前面提到的属性失效的空集上重新定义φtto bezero。因为F是完全的，（φt）t的这个模型∈[0，T]是有限停车时间的连续递增序列。接下来，我们设置Fφ，（Fφt）t∈[0，T]。以下引理来自【47，命题V.1.4，V.1.5】。引理5.4。假设（Ht）t∈[0，T]是逐步可测量的。然后，时间变化过程（Hφt）t∈[0，T]是Fφ-渐进可测，a.s.ZtHφsds=ZφtHsσsa（Ss）ds，T∈ [0，T]，前提是积分定义良好。此外，过程Bφ=（Bφt）t∈[0，T]是连续局部Fφ-鞅，a.s.[Bφ，Bφ]=φ，如果a.s.RTHsds<∞ 然后也是a.s.RTHφsdφs<∞ a.s.ZtHφsdBφs=ZφtHsdBs，t∈ [0，T]。20 D.CRIENSWe根据引理5.4推导出a.s.λ\\t型∈ [0，T]：a（SφT）>σφ或u（SφT）σφT>bφT=ZφT{a（Ss）>σs}∪{u（Ss）σs>bs}σsa（Ss）ds=0。我们将在下文中使用这一观察结果，无需进一步参考。用HT应用引理5.4，a（St）σt{σt>0}，t∈ [0，T]得出a.s.dφT=a（sφT）σφtdt。（5.10）再次使用引理5.4，我们得到了所有t∈ [0，T]SφT=Sφ+Zφtbsds+ZφTσsdBs=S+Ztbφsa（SφS）σφsds+ZtσφsdBφS=S+Ztbφsa（SφS）σφsds+Zta（SφS）dB′，其中b′，Z·∑φsdBφsa（SφS）。根据引理5.4和（5.10），我们得到了所有t∈ [0，T][B′，B′]T=Ztσφsa（SφS）d[Bφ，Bφ]S=Ztσφsa（SφS）dφS=Ztσφsa（SφS）a（SφS）σφsds=T。因此，B′是一个连续的局部Fφ-鞅，a.S[B′，B′]T=T表示T∈ [0，T]，即由于L'evy的特征，anFφ-布朗运动。

我们总结了dsφt=a（Sφt）bφtσφtdt+a（Sφt）dB′t，Sφ=S(Ohm, F、 Fφ，Q）我们可以推广（B′t）t∈[0，T]到布朗运动（B′T）T≥0，例如参见[47，定理V.1.7]的证明。我们将使用以下术语：当我们说（Vt）t≥0是一个连续的[l，r]-值过程。我们的意思是，它的所有路径在[l，r]-拓扑中都是连续的，并且被{l，r}吸收，也就是说，对于所有t≥ τ（V），inf（t∈ R+：Vt6∈ 一） 。本公约符合[36，定义5.5.20]。定义5.5。Letu：I→ R和v：I→ R be Borel函数。我们说一个SDEdVt=u（Vt）dt+v（Yt）dB*t、 （5.11）其中（B*t） t型≥0是一维布朗运动，如果在任何完全概率空间上，则满足爆炸前的强存在唯一性(Ohmo、 Fo，Po），完全正确连续过滤Fo=（Fot）t≥0，它支持布朗运动（B*t） t型≥0和一个I值fo-可测随机变量ψ，存在一个高达不可分辨的唯一自适应连续l，r-值过程（Vt）t≥0以便a.s.Vt∧θn=ψ+Zt∧θnu（Vs）ds+Zt∧θnv（Vs）dB*s、 t型≥ 0，n∈ N、 式中θN，inf（t∈ R+：Vt6∈ （ln，rn）），n∈ N、 连续金融市场中的无套利21综合指数定义良好是一件好事。过程（Vt）t≥0被称为具有驱动程序（B）的解决方案processto（5.11*t） t型≥由于【19，备注4.50（2），定理4.53】，SDEdVt=a（Vt）u（Vt）dt+a（Vt）dB*t（5.12）满足了强大的存在性和爆炸性。因此，存在一个解决方案过程（Yt）t≥0至（5.12），带驱动器（B′t）t≥在定理5.3的证明完成后，证明了以下引理。引理5.6。几乎可以肯定Yt≤ 所有t的Sφt≤ T∧ τ（Y）。因为（Yt）t≥0由于[41，命题2.2]和limxrv（u，a）（x）<∞, 我们从[41，命题2.12]和[4，定理1.1]推导出（Yt）t∈[0，T]以正概率到达r。

因此，由于引理5.6，（St）t∈[0，T]以正概率到达r。这是一个传统。（二）。对于矛盾，假设（Q，B）∈ 我是这样（5.9）成立的。根据第（i）部分中的相同论证，存在一个过程（Yt）t≥0使Dyt=a（Yt）u（Yt）dt+a（Yt）dB′t，Y=s，和a.s.sφt≤ Ytfor all t公司≤ T∧ τ（Y）。因为limxlv（u，a）（x）<∞, 工艺（Yt）t∈[0，T]以正概率到达l，并且路径排序再次给出了矛盾。引理5.6的证明：存在函数hn∈ H和κn∈ 这是所有x，y∈ 【ln，rn】| a（x）- a（y）|≤ hn（| x- y |），a（x）u（x）- a（y）u（y）|≤ κn（| x- y |）。我们设置ρn，inf（t∈ [0，T]：Sφt6∈ （ln、rn）或Yt6∈ （ln，rn））。注意，对于所有t∈ （0，T）我们有∧ρnd[Y- Sφ，Y- Sφ]shn（| Ys- SφS |）=Zt∧ρna（Ys）- a（SφS）hn（| Ys- SφS |）ds≤Ztds=t。因此，[47，引理IX.3.3]意味着Y的当地时间·∧ρn- Sφ·∧ρnin原点为a.s.零。我们从田中的公式推导出a.s.（Yt∧ρn- Sφt∧ρn）+=Zt∧ρn{Ys-SφS>0}d（Ys- SφS），t∈ [0，T]。取期望，利用Y的布朗部分的鞅性质·∧ρn- Sφ·∧ρnandJensen不等式得出了所有t∈ [0，T]等式（年初至今）∧ρn- Sφt∧ρn）+= EQhZt∧ρn{Ys-SφS>0}a（Ys）u（Ys）- a（SφS）bφSσφSdsi公司≤ EQhZt∧ρn{Ys-SφS>0}a（Ys）u（Ys）- a（SφS）u（SφS）dsi公司≤ EQhZt∧ρn{Ys-SφS>0}κn（| Ys- SφS |）dsi≤ZtEQ公司κn（（Ys∧ρn- SφS∧ρn）+）ds公司≤Ztκn均衡器（Ys）∧ρn- SφS∧ρn）+ds。最后，Bihari引理（见[11，引理E.2]）得出了所有t∈ [0，T]等式（年初至今）∧ρn- Sφt∧ρn）+= 因此，根据Y和Sφ的连续路径，权利要求如下。22 D.CRIENS5.3。定理2.1的证明。因为非负局部鞅是超鞅，所以只有当EP[ZT]=1时，zi才是鞅当an d。通过（M1），我们可以通过氡–NikodymderivativedQndP=ZT来确定QnB∧τn.我们注意到假设λ\\ P-a.e.σ6=0表示（5.1）。

根据toGirsanov定理，存在一个Qn布朗运动Bn=（Bnt）t∈[0，T]这样∧τn=（bt+ctσt）1{t≤τn}dt+σt{t≤τn}dBnt。单调收敛定理得出ZT公司= lim支持→∞EP公司ZT{τn=∞}= lim支持→∞Qn（τn=∞).根据（M2）和（M3），定理5.2得出thatlim supn→∞Qn（τn=∞) = 因此，EP[ZT]=1，证明是完整的。5.4. orem 2.3的证明。对于矛盾，假设（Zt）t∈[0，T]是鞅。通过Radon–Nikodym导数QDP，ZT确定的呼吸概率测量值Q。根据Girsanov定理，存在一个Q-布朗运动B=（Bt）t∈[0，T]使得dst=（bt+ctσT）dt+σtdBt。因此，在（SL1）成立的情况下，我们获得了与定理5.3第（i）部分的矛盾，在（SL2）成立的情况下，我们获得了与定理5.3第（ii）部分的矛盾。证明是完整的。定理2.5的证明该部分分为两部分：首先，我们证明了切换微分的存在性、不存在性和局部唯一性；其次，我们推导了定理2.5.6.1。存在和不存在标准。如第2.2节所述，设I=（l，r）与-∞ ≤ l<r≤ +∞ 和J={1，…，N}与1≤ N≤ ∞. 此外，设u:I×J→ R和σ：I×J→ R{0}是Borel函数，使得1+u（·，j）σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、 （6.1）我们∈ I和setv（x，j），Zxxexp-Zyx2u（z，j）σ（z，j）dzZyx2 exp（Rsx2u（z，j）σ（z，j）dz）σ（s，j）dsdyfor（x，j）∈ I×J.Let(Ohm, F、 F，P）是一个具有右连续完全过滤F=（Ft）t的过滤完全概率空间≥0，它支持布朗运动W=（Wt）t≥0，a J值可约连续时间Feller–马尔可夫链ξ=（ξt）t≥0和一个I值F-可测随机变量φ。本节的主要结果如下：定理6.1。

（i） 假设σ满足所有j的es条件∈ J（本术语见第2.2节）和thatlimxlv（x，J）=limxrv（x，J）=∞ 对于所有j∈ J、 （6.2）然后，存在一个自适应的I值连续过程（Yt）t≥0使得y=φ+Z·u（Ys，ξs）ds+Z·σ（Ys，ξs）dWs，（6.3）其中隐含的是积分定义良好。（ii）假设存在j∈ J使得σ满足J和limxlv（x，J）<∞ 或limxrv（x，j）<∞.设0<T≤ ∞ 成为一个暂时的地平线。如果ξ是循环的，则不存在适应的I值连续过程Y=（Yt）t∈[0，T]使得（6.3）成立。连续金融市场中的无套利23证据：N=1的情况涉及所有债权都已知的经典分歧，详情参见[4、19、36]。我们在假设N的情况下证明了该索赔≥ 2.（一）。我们通过γ，0，γn，inf（t）定义ξ的跳跃时间≥ γn-1： ξt6=ξγn-1） ，n∈ N、 因为ξ是不可约的，所以我们有a.s.γN<∞ （见【33，定理10.19】）和a.s.γn- γn-1> 0表示所有n∈ N、 我们遵循[26，定理IV.9.1]的p屋顶的思想，从SDEsdXjt=u（Xjt，j）dt+σ（Xjt，j）dW′t，（6.4）的解显式构造过程Y，其中W′=（W′t）t≥0是布朗运动。对于构造，我们需要一个强存在性和唯一性属性，我们解释了nex t.Fix j∈ J、 根据[19，备注4.50（2），定理4.53]和Feller爆炸测试（见[36，定理5.5.29]），SDE（6.4）具有弱解，并且满足所有确定性初始值的路径唯一性。

我们从[33，定理18.14]得出结论，存在一个Borel函数Fj:I×C（R+，R）→ C（R+，I）使得对于任何一维布朗运动，W′=（W′t）t≥0和任何I值随机变量ψ，与σ（W′t，t）无关∈R+，过程Xj=Fj（ψ，W′）是（6.4）的一个求解过程，Xj=ψ，这适用于完成W′和ψ的自然过滤，请参见[36，定义5.2.1]。函数Fjis独立于ψ定律，并普遍适用（定义见[33，p.346]）。设置Wn，W·+γn- Wγn.由于[47，命题V.1.5]和L'evy的表征，过滤Fn的Wnisa布朗运动，（Ft+γn）t≥特别是，Wn独立于Fγn。通过感应，de finey，Xj∈JFj（φ，W）1{ξ=j}，Yn，Xj∈JFj（Yn-1γn-γn-1，Wn）1{ξγn=j}，n∈ N、 此外，setYt，∞Xn=0Ynt-γn{γn≤t<γn+1}，t∈ R+。过程Y是I值的和连续的，正如我们接下来解释的，它也是F自适应的。定义Ht，Ynt-γn{γn<t}。我们声称（Ht）t≥0是F-逐步可测量的。因为t 7→Ynt公司-γn{γn<t}是左连续的，s7→ Ynt公司-s{s<t}是右连续的，一个近似参数表明这有助于解释（ht）t≥0，（Ynt-ζ{ζ<t}）t≥0表示任何F停止时间ζ的F-adap，该时间取可数集合2中的值-mN表示一些m∈ N和满意度ζ≥ γn.Let G∈ B（R）并设置Nm、t、2-明尼苏达州∩ [0，t）。我们有{hmt∈ G}=[k]∈牛米，吨{hmt∈ G}∩ {ζ=k}∪{0 ∈ G}∩ {ζ ≥ t}∈ 这里，我们使用{Ynt-k∈ G}∈ 英尺-k+γn 英尺-k+ζ和该Ft-k+ζ∩ {ζ=k}∈ 因此，英尺（Ht）t≥0是F-逐步可测量的，因此是（Yt）t≥0为F自适应。我们注意到γn- γn-1=inf（t∈ R+：ξt+γn-16=ξγn-1） ，这是一个Fn-1-停车时间。因此，Yn-1γn-γn-1是Fγn可测量的，因此与σ（Wnt，t）无关∈ R+。这将产生过程Xn，j，Fj（Yn-1γn-γn-1，Wn）满意度dxn，jt=u（Xn，jt，j）dt+σ（Xn，jt，j）dWnt，Xn，j=Yn-1γn-γn-1.24天。

CRIENSThus，由于时变随机积分的经典规则（见[47，命题V.1.4，V.1.5]），a.s.对于t∈ [γn，γn+1]在{ξγn=j}上我们有ynt-γn=Yn-1γn-γn-1+Zt-γnu（Xn，js，j）ds+Zt-γnσ（Xn，js，j）dWns=Yn-1γn-γn-1+Ztγnu（Yns-γn，j）ds+Ztγnσ（Yns-γn，j）dWs=Yn-1γn-γn-1+Ztγnu（Ys，ξs）ds+Ztγnσ（Ys，ξs）dWs。通过感应，a.s.表示t∈ [γn，γn+1]Ynt-γn=φ+Ztu（Ys，ξs）ds+Ztσ（Ys，ξs）dWs。因此，过程Y满足SDEdYt=u（Yt，ξt）dt+σ（Yt，ξt）dWt，S=φ，并且（i）的证明是完整的。（二）。对于矛盾，假设Y满足（6.3）。让j∈ J应使limxlv（x，J）<∞或limxrv（x，j）<∞. 我们定义δ，inf（t∈ R+：ξt=j），ζ，inf（t≥ δ：ξt6=j）。因为ξ是循环的，所以我们有a.s.δ<∞, 参见【44，定理1.5.7】。由于ξ和[33，引理10.18]的强马尔可夫性质，对于所有G∈ B（R+）它保持p（ζ- δ ∈ G） =-ZGqjjeqjjxdx，（6.5），其中qjj<0是ξ的Q矩阵的第j对角元素。回想一下我们的约定，我们称之为进程V=（Vt）t≥当所有路径在[l，r]拓扑中都是连续的，并且在{l，r}中被吸收，即Vt=Vτ（V），对于所有≥ τ（V），inf（t∈ R+：Vt6∈ 一） 。从[19，备注4.50（2），定理4.53]可以看出，SDE（6.4）在定义5.5的意义上满足了强存在性和唯一性，直至爆炸。因此，存在一个连续的[l，r]值过程X=（Xt）t≥0使得dxt=u（Xt，j）dt+σ（Xt，j）dWδt，X=Yδ∧T、 （6.6）式中，Wδ，W·+δ∧T- Wδ∧过滤Fδ是布朗运动，（Ft+δ∧T） T型≥在（ii）的证明完成后，我们证明了以下引理。引理6.2。几乎可以肯定，对于所有0，Yt+δ=XT≤ t型≤ ζ - δ在{ζ≤ T}。因为在{τ（X）<∞} 我们有Xτ（X）6∈ 一、 引理6.2表示th atP（τ（X）≤ ζ - δ, ζ ≤ T）=0。（6.7）在（ii）的证明完成后，给出以下引理的证明。引理6.3。

假设SDE（5.11）满足爆炸前的强存在性和唯一性。设ψ为I值F-可测随机变量，设（Vt）t≥0为（5.11）的求解过程，其中驱动器W和初始值ψ，τ为停止时间。然后，所有适应的I值连续过程（Ut）t≥0带DUT=u（Ut）1{t≤τ}dt+v（Ut）1{t≤τ}dWt，U=ψ，与（Vt）无法区分∧τ） t型≥设lnl，rnr为序列，使得l<ln+1<ln<rn<rn+1<r，并设置为函数α：r+→ [l，r]τn（α），inf（t∈ R+：α（t）6∈ （ln，rn））。我们从引理6.3和Galmarino检验（见[30，引理III.2.43]）得出结论，对于所有n∈ Nsdedxjt=u（Xjt，j）1{t≤τn（Xj）}dt+σ（Xjt，j）1{t≤τn（Xj）}dWt，（6.8）连续金融市场中的无套利25满足通常意义上的弱存在性和路径唯一性，请参见[36，定义5.3.1,5.3.2]。因此，根据【33，定理18.14】，存在一个Borel函数Fn:R×C（R+，R）→C（R+，I）使得当Xjsolves（6.8）时，驱动程序W=（Wt）t≥0和（可能是随机的）初始值Xj，然后a.s.Xj=Fn（Xj，W）。引理6.3和Galmarino的检验场，即a.s.τn（X）=τn（Fn（yδ∧T、 Wδ））。（6.9）因为爆炸前的强存在唯一性对于SDE（6.4）成立，对于a.a.ω∈ Ohm存在一个Fδ适应的连续[l，r]值过程Yω=（Yωt）t≥0使得dyωt=u（Yωt，j）dt+σ（Yωt，j）dWδt，Yω=Yδ（ω）∧T（ω）∈ 一、 我们强调初始值Yδ（ω）∧T（ω）是确定性的。引理6.3和Galmarino的试验结果表明，a.s.τn（Yω）=τn（Fn（Yδ（ω））∧T（ω），Wδ））。（6.10）在（ii）的证明完成后，我们证明了以下引理。引理6.4。

对于所有G∈ B（R+）我们有a.s.P（ζ- δ ∈ G | Fδ∧T、 σ（WδT，T∈ R+）=-ZGqjjeqjjxdx。利用（6.7）、单调收敛定理和（6.9），我们得到了0=limn→∞P（τn（X）≤ ζ - δ, ζ ≤ T）=limn→∞P（τn（Fn（Yδ∧T、 Wδ））≤ ζ - δ, ζ - δ + δ ≤ T），利用[33，定理5.4]和L emma 6.4，我们进一步得到=limn→∞ZTP（τn（Fn（Yδ∧T、 Wδ））≤ s、 s+δ≤ T）(-qjj）eqjjsds=limn→∞ZTEP公司P（τn（Fn（Yδ∧T、 Wδ））≤ s | Fδ∧T） 1{s+δ≤T}(-qjj）eqjjsds，由于[33，定理5.4]和Wδ和Fδ的独立性∧T、 等于=limn→∞ZTZ公司OhmP（τn（Fn）（Yδ（ω））∧T（ω，Wδ））≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-最后，利用（6.10）和单调收敛定理，我们得到=limn→∞ZTZ公司OhmP（τn（Yω）≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-qjj）eqjjsds=ZTZOhmP（τ（Yω）≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-qjj）eqjjsds。由于Feller的爆炸试验（见[36，定理5.5.29]），Yω在有限时间内以正概率达到l或r。事实上，因为Yω是正则的，因为[41，命题2.2]，[4，定理1.1]暗示Yω甚至以正概率达到任意快的l或r，即P（τ（Yω）≤ ε） >0对于所有ε>0。因此，IDENTITYZZOhmP（τ（Yω）≤ s） 1{s+δ（ω）≤T}P（dω）(-qjj）eqjjsds=0表示λ\\-a.a.s∈ （0，T）我们有P（δ≤ T- s） =0。然而，因为ξ是不可约的，所以对于所有t>0的情况，P（ξt=j）>0。这是一个矛盾，（ii）的证明是完整的。引理6.2的证明：定义，ζ∧ T- δ ∧ T注意，对于所有t∈ R+{ι≤ t} ={ζ≤ t+δ∧ T}∈ Ft+δ∧T、 26 D.Criens表明ι是一个Fδ停止时间。此外，我们有所有的s，t∈ R+{s∧ ι + δ ∧ T≤ t}={s+δ∧ T≤ t}∩∈Fs+δ∧Tz}|{{s+δ∧ T≤ ζ ∧ T}∪{ζ ∧ T≤ t}∩ {s+δ∧ T>ζ∧ T}|{z}∈Fζ∧T∈ Ft.因此，随机时间s∧ ι + δ ∧ T是F停止时间。我们从经典规则出发，推导出了a.s。

对于所有t∈ R+Yt∧ι+δ∧T=φ+Zt∧ι+δ∧Tu（Ys，ξs）ds+Zt∧ι+δ∧Tσ（Ys，ξs）dWs=Yδ∧T+Ztu（Ys∧ι+δ∧T、 j）1{s≤ι} ds+Ztσ（Ys∧ι+δ∧T、 j）1{s≤ι} dWδs。由于SDE（6.4）满足爆炸前的强存在性和唯一性，引理6.3意味着a.s.Yt∧ι+δ∧T=Xt∧ι对于所有t∈ R+。关于{ζ≤ T} {δ ≤ T}我们有ι=ζ- δ和定理如下。引理6.3的证明：由于局部化，我们可以假设τ是有限的。根据[47，命题V.1.5]和L'evy的表征，过程Cwt，Wt+τ- Wτ，t∈ R+，是（Ft+τ）t≥0-布朗运动。由于强存在唯一性假设，存在一个解过程O=（Ot）t≥0至SDEdOt=u（Ot）dt+v（Ot）dcWt，O=Uτ。我们设置ZT，（Ut，t≤ τ、 加班费-τ、 t>τ。过程Z具有连续路径和定理6.1（i）证明中使用的类似参数，表明它是F自适应的。设θZn，inf（t∈ R+：Zt6∈ （ln，rn））。关于{τ≥ t型∧ θZn}我们有a.s.Zt∧θZn=ψ+Zt∧θZnu（Zs）ds+Zt∧θZnv（Zs）dWs。接下来，我们讨论集合{τ<t上发生了什么∧ θZn}。设置θOn，inf（t∈ R+：Ot6∈ （ln，rn））。在{τ<θZn}上，我们有a.s.θZn=θOn+τ。此外，请注意∧ （θOn+τ）- τ=（θ开，如果θ开+τ≤ t、 t型- τ、 如果t≤ θOn+τ。因此，t∧ （θOn+τ）- τ ≤ θ打开。时变随机积分的经典规则产生{τ<t∧ θZn}a.s.Zt∧θZn=Zτ+Zt∧θZn-τu（Os）ds+Zt∧θZn-τv（Os）dcWs=Zτ+Zt∧θZnτu（Os-τ） ds+Zt∧θZnτv（Os-τ） dWs=ψ+Zt∧θZnu（Zs）ds+Zt∧θZnv（Zs）dWs。我们得出结论，Z是SDE（5.11）的一个解过程，其驱动因子为W，初始值为ψ。通过强存在唯一性假设，我们得出结论：a.s.Z=V。Z的定义意味着索赔。连续金融市场中的无套利27引理6.4的证明：用初值x表示维纳测度∈ R乘以wx和uj具有与ξ和初值j相同的Q矩阵的费勒-马尔可夫链定律∈ J、 设C为坐标过程生成的C（R+，R）上的σ场。

我们从附录[20，命题4.1.5，定理4.4.2，4.4.6]中的引理A.1推导出（j，x）7→ （uj Wx）（F）是Borel Forever F∈ D 过程（ξ，W）是一个强马尔可夫过程，在以下意义上：∈ D C和每个a.s.最终停止时间θ，我们有a.s.P（（ξ·+θ，W·+θ）∈ F | Fθ）=（uξθ） WWθ）（F）。对于所有A∈ D和F∈ Cξ，W和（ξ，W）的强马尔可夫性质意味着a.s.P（ξ·+δ∧T∈ A、 W·+δ∧T∈ F | Fδ∧T） =uξδ∧T（A）WWδ∧T（F）=P（ξ·+δ∧T∈ A | Fδ∧T） P（W·+δ∧T∈ F | Fδ∧T） 。这意味着σ（ζ- δ） 和σ（Wδt，t∈ R+）独立于给定的Fδ∧T、 现在，[33，命题5.6]得出a.s.P（ζ- δ ∈ G | Fδ∧T、 σ（WδT，T∈ R+）=P（ζ- δ ∈ G | Fδ∧T） 。利用ξ和（6.5）的强马尔可夫性质，我们得到了F∈ FδP（ζ- δ ∈ G、 F）=-ZGqjjeqjjxdx P（F）。证明是完整的。6.2. 本地唯一性。对于从R+到I或R的连续函数空间，我们用C表示坐标过程生成的σ-场。此外，我们用Co，（Cot）t表示≥0由相应坐标过程和C，（Ct）t生成的过滤≥0其右侧连续版本。图像空间将从上下文中清除。设ρ：C（R+，I）×D（R+，J）→ [0, ∞]成为Co 执行停止时间。ρ的一个n示例是τ（α，ω），inf（t∈ R+：α（t）6∈ U或ω（t）6∈ V），其中U I和V J是开放的：引理6.5。τ是Co 执行停止时间。证明：见【47，提案I.4.5】和【20，提案2.1.5】。设u:I×J→ R和σ：I×J→ R{0}是Borel函数，使得（6.1）成立，σ满足（6.2）和所有j∈ J（本术语见第2.2节）。换句话说，我们要求定理6.1第（i）部分的条件成立。对于i=1，2，让(Ohmi、 Fi，Fi，Pi）是具有右连续完全过滤Fi=（拟合）t的过滤概率空间≥0

设Wi=（Wit）t≥0是一维布朗运动，ξi=（ξit）t≥0be是Q矩阵Q且ξi=J的J值不可约Feller–Markov链∈ J、 让Xi=（Xit）t≥0是一个自适应的连续I值过程，这样dxit∧ρ（Yi，ξi）=u（Xit，ξit）1{t≤ρ（Xi，ξi）}dt+σ（Xit，ξit）1{t≤ρ（Xi，ξi）}dWit，Xi=y∈ 一、 这意味着随机积分定义良好。我们强调ξ和ξ具有相同的法律，因为它们具有相同的Q矩阵，参见示例4.2。本节的主要观察内容如下：定理6.6。Po （十）·∧ρ（X，ξ），ξ）-1=Po （十）·∧ρ（X，ξ），ξ）-1、证明：我们遵循[28]中使用的山田-渡边式理念。定义Ohm*, C（R+，I）×C（R+，I）×D（R+，J）×C（R+，R），F*, C C D C、 28 D.CRIENSand对于i=1，2Yi：Ohm*→ C（R+，I），Yi（ω，ω，ω，ω）=ωI，Z：Ohm*→ D（R+，J），Z（ω，ω，ω，ω）=ω，Z：Ohm*→ C（R+，R），Z（ω，ω，ω，ω）=ω。用W表示维纳测度，并表示ξibyu的唯一定律。由于引理A.1在附录中，我们有πo （ξi，Wi）-1= u  W、 当连续函数空间具有局部一致拓扑时，它是一个PolishSpace，相应的Borelσ场由坐标过程生成。因此，存在正则条件概率Qi:D（R+，J）×C（R+，R）×C→ [0，1]使得Pi（Xi∈ dω，ξi∈ dω，Wi∈ dω）=Qi（ω，ω，dω）u（dω）W（dω）。我们定义了一个概率度量Q(Ohm*, F*) byQ（dω×dω×dω×dω），Q（ω，ω，dω）Q（ω，ω，dω）u（dω）W（dω）。滥用符号表示F的Q-完成*再次由F*并用F表示*t完成\\s>t（Cs 铯 Ds公司 Cs），t∈ R+。从现在起，我们考虑(Ohm*, F*, F*= （F）*t） t型≥0，Q）作为基础过滤概率空间。鉴于[28，命题4.6，5.6]，对于所有∈ ctmapω7→ Qi（ω，A）是可测量的w.r.t.u W-完成ofTs>t（Dos Cos）。

换言之，[27，假设10.43]是满足的，我们从[28，引理2.7，2.9]，[27，命题10.46]和L'evy的特征中得出，Zi是一个带有Q矩阵Q的马尔可夫链，Zi是一个布朗运动和Dyit∧ρ（Yi，Z）=u（Yit，Zt）1{t≤ρ（Yi，Z）}dt+σ（Yit，Zt）1{t≤ρ（Yi，Z）}dZt，Yi=y。在定理6.6的证明完成后，给出以下引理的证明。引理6.7。几乎可以肯定是Y·∧ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）=Y·∧ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）。由于Galmarino的测试，这意味着a.s.ρ（Y，Z）=ρ（Y，Z）。因此，a.s.Y·∧ρ（Y，Z）=Y·∧ρ（Y，Z）和权利要求源自Q的定义。引理6.7的证明：步骤1：由于局部化，我们可以假设ρ（Y，Z）∧ ρ（Y，Z）是有限的。回顾以下事实（见[47，命题III.3.5]）：如果（Zt）t≥0是一个Feller–右连续过滤的马尔可夫链G=（Gt）t≥0和γ是有限的G-停止时间，然后（Zt+γ）t≥0是过滤（Gt+γ）t的Feller–马尔可夫链≥0和两条链具有相同的Q矩阵。根据定理4.4（i），对于i=1，2存在一个过程（Oit）≥0定义为doit=u（Oit，Zt+ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z））dt+σ（Oit，Zt+ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z））dWρt，其中wρt，Zt+ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）- Zρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z），t∈ R+，初始值Oi=Yiρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z）。现在，setVit，（是的，是的≤ ρ（Y，Z）∧ ρ（Y，Z），Oit-ρ（Y，Z）∧ρ（Y，Z），t>ρ（Y，Z）∧ ρ（Y，Z）。在引理6.3的证明中，我们从时变随机积分的经典规则中推断出，dvit=u（Vit，Zt）dt+σ（Vit，Zt）dZt，Vi=y，（6.11），即Vand Vare全局解。因此，仍然需要为全局方程（6.11）提供一个路径唯一性的版本。连续金融市场中的无套利29步骤2：我们使用归纳法。Let（ζn）n∈Nbe停止时间ζ，inf（t∈ R+：Zt6=Z），ζn，inf（t≥ ζn-1： Zt6=Zζn-1） ，n≥ 2、我们强调ζn∞ 作为n→ ∞.

几乎肯定是在{t≤ ζ} 我们有vit=y+Ztu（Vis，j）ds+Ztσ（Vis，j）dZs，i=1，2。回顾一下，在定理6.1（i）的假设下，SDE（6.4）满足强存在性和唯一性（直到爆炸），我们从引理6.3中推断出，对于所有≤ ζ.当N=1时，我们的ζ=∞ 证明是完整的。在下面，我们假设n≥ 2在这种情况下，a.s.ζn<∞ 适用于所有n∈ N、 假设N∈ N是指a.s.Vt=所有t的Vt≤ ζn.利用时变随机积分的经典公式，我们得到了{t≤ ζn+1- ζn}∩ {Zζn=j}Vit+ζn=Viζn+Zt+ζnζnu（Vis，j）ds+Zt+ζnζnσ（Vis，j）dZs=Viζn+Ztu（Vis+ζn，j）ds+Ztσ（Vis+ζn，j）dWns，其中wnt，Zt+ζn- Zζn，t∈ R+。我们再次从引理6.3得出结论，对于所有t，a.s.Vt+ζn=Vt+ζ≤ ζn+1- ζn.因此，所有t的a.s.Vt=Vt≤ ζn+1我们的索赔如下。6.3. 定理2.5的证明。（i） 。回想一下，J={1，…，N}与1≤ N≤ ∞. 对于n∈ 未定义τn，inf（t∈ [0，T]：St6∈ （ln，rn）或ξt≥ n∧ N） 。由于假设c在I×J的comp-act子集上有界，Novikov条件意味着（τn）n∈Nis是Z的一个定位序列。我们通过Radon–Nikodym衍生Qndp，ZT定义QnB∧τn.根据Girsanov定理，Bn，W-Z·∧τnc（Ss，ξs）dst是一个Qn布朗运动，使得dst∧τn=（b（St，ξt）+c（St，ξt）σ（St，ξt））1{t≤τn}dt+σ（St，ξt）1{t≤τn}dBnt。我们从引理A.1、例4.2和定理4.3推导出，在qn过程ξremainsa Feller–Markov链下，Q矩阵不变。W、 l.o.g.我们将W、ξ和F扩展到初始时间间隔R+。

将定理6.1应用于u，b+cσ，得到(Ohm, F、 F，P）存在自适应的连续I值过程X=（Xt）t≥0使得dxt=（b（Xt，ξt）+c（Xt，ξt）σ（Xt，ξt））dt+σ（Xt，ξt）dWt，X=S。我们设置ρn，inf（t∈ [0，T]：Xt6∈ （ln，rn）或ξt≥ n∧ N）。根据引理6.5和定理6.6，Po （十）·∧ρn，ξ）-1=Qno （S）·∧τn，ξ）-因此，使用Galmarino的测试，我们得到→∞Qn（τn=∞) = 画→∞P（ρn=∞) = 现在，在定理2.1的证明中，Z是鞅。（二）。这个结果类似于定理2.3，其中必须使用定理6.1代替定理5.3。我们省略了细节。30 D.CRIENS7。定理4.3步骤1的证明。让g∈ A和setMgt，g（ξt）- g（ξ）-ZtLg（ξ，s）ds，t∈ [0，T]。（7.1）由于鞅问题（A，L，T）的定义，过程MG是一个局部鞅，具有局部序列（ρn（ξ））n∈N、 因此，二次变化过程【Mg，W】得到了很好的定义。我们的第一步是证明a.s.【Mg，W】=0。我们解释了对于ξ和W的自然过滤的完全右连续版本，W Mgis是一个局部鞅。让0≤ s<t≤ T，G∈ σ（Wr，r∈ [0，s]）、WSF和F∈ σ（ξr，r∈ [0，s]），Es。独立性假设yieldsthatEPWtMgt公司∧ρm（ξ）G∩F= EP公司风电机组EP公司管理层∧ρm（ξ）F= EP公司WsG公司EP公司Mgs公司∧ρm（ξ）F= EP公司WsMgs公司∧ρm（ξ）G∩F.通过一个单调的类参数，我们得到了WtMgt公司∧ρm（ξ）B= EP公司WsMgs公司∧ρm（ξ）B对于所有B∈ Ws系列∨ 锿。由于向下定理（见[48，定理I I.51.1]），过程·∧ρm（ξ）是完全右连续型G，（Gt）t的鞅∈（重量）的[0，T]∨Et）t∈[0，T]。因此，因为ρm（ξ）∞ 作为m→ ∞, W-Mgis是一个局部G-鞅。根据幂律，W和MG也是局部G鞅。按部件积分意味着[W，Mg]=W Mg-Z·WsdMgs-Z·Mgs-dWs，其中随机积分定义为局部G-鞅。在这里，我们使用可以独立于过滤定义的[W，Mg]。

我们推断过程[W，Mg]是一个有限变化的连续局部G-鞅，因此a.s[W，Mg]=0。第2步。在这一步中，我们确定了Q下B和ξ的定律。很明显，由于Girsanov定理，B是Q-布朗运动。接下来，我们在(Ohm, F、 F，Q）过程ξ是鞅问题（a，L，T）的一个解过程。根据步骤1和Girsanov定理-Ztd[Z，Mg]sZs=Mg-Z·θsd[W，Mg]s=Mgis局部Q-鞅。等价Q~ P表示Q（ξ=e）=1，Mg·∧ρn（ξ）是Q-a.s.有界的。因此，权利要求如下。第3步。借用文献[20，定理4.10.1]的思想，证明了B和ξ的Q-依赖性。我们将Cb（R）定义为所有两次连续可微函数R的集合→ R具有有界的一阶和二阶导数。假设f∈ Cb（R）带infx∈Rf（x）>0且定义为Ft，f（Bt）exp-Ztf′（Bs）f（Bs）ds, t型∈ [0，T]。根据It^o公式，我们得到dkft=exp-Ztf′（Bs）f（Bs）dsdf（Bt）-f′（Bt）dt= 经验值-Ztf′（Bs）f（Bs）dsf′（Bt）dBt。因此，Kfis是一个Q-鞅，因为它是一个有边界的局部Q-鞅。回想一下，二次变化过程不受等效测量变化的影响。通过步骤1，Q-a.s.【B，Mg】=0。由于部分集成，我们得到dkftmgt=KftdMgt+Mgt-dKft+d[Kf，Mg]t=KftdMgt+Mgt-dKft，这意味着KfMg·∧ρm（ξ）是一个Q-鞅，因为它是一个有界局部Q-鞅。连续金融市场中的无套利31设ζ为停止时间，使ζ≤ T和seteQ（G），EQGKfζ均衡器Kfζ, G∈ F、 因为KfMg·∧ρm（ξ），kf和Mf·∧ρm（ξ）是Q-鞅（另请参见步骤2），可选停止定理意味着对于所有停止时间ψ≤ TEeQ公司Mgψ∧ρm（ξ）=均衡器Mgψ∧ρm（ξ）Kfζ均衡器Kfζ= 因此，根据[47，命题II.1.4]，Mg·∧ρm（ξ）是aeQ鞅。因为EQ~ Q、 这意味着(Ohm, F、 F，eQ）过程ξ是马丁格尔问题（a，L，T）的求解过程。

鞅问题（A，L，j，T）的唯一性假设意味着eq（Γ）=Q（Γ）（7.2）对于所有Γ，ξt∈ Gξtn∈ Gn公司,其中G，Gn公司∈ B（J）和0≤ t<···<tn≤ T我们确定Q（Γ）>0时的th，并定义Q（F），公式FΓQ（Γ），F∈ F、 利用Eq的定义（7.2），Kfis是一个Q-鞅的事实和可选的stoppingtheorem，我们得到了EqKfζ=均衡器KfζΓQ（Γ）=eQ（Γ）eQKfζQ（Γ）=等式Kfζ= f（0）。由于ζ是任意的，我们得出结论：Kfis-abQ鞅。此外，bQ（B=0）=1遵循B是Q-布朗运动的事实。最后，due到[20，命题4.3.3]，过程B是abQ布朗运动。我们的结论是BQ学士学位∈ FBsk公司∈ Fk公司= Q学士学位∈ FBsk公司∈ Fk公司,对于所有F，Fk公司∈ B（R）和0≤ s<···<sk≤ T通过BQ的定义，我们已经证明了t hatQ学士学位∈ FBsk公司∈ Fk，ξt∈ Gξtm∈ 克= Q学士学位∈ FBsk公司∈ Fk公司Qξt∈ Gξtm∈ Gn公司,这意味着σ-字段σ（ξt，t∈ [0，T]）和σ（Bt，T∈ [0，T]）与Q无关。证明是完整的。定理4.4的证明，因为σ（ξt，t∈ [0，T]）和σ（Wt，T∈ 假设[0，T]）与P无关，在定理4.3的证明中，a.s.[Z，W]=0。因此，Girsanov的Theorem暗示W是aQ布朗运动。获取0≤ s<···<sm≤ T、 0个≤ t<···<tn≤ T，（Gk）k≤m级 B（J）和（Fk）k≤n B（R）和setΓ，ξs∈ Gξsm∈ 克,Γ,Wt公司∈ FWtn公司∈ Fn公司.σ（ξt，t）的P-ind依赖性∈ [0，T]）和σ（Wt，T∈ [0，T]）和维纳测度产生thatQ（Γ）的唯一性∩ Γ）=EPZTΓ∩Γ= EP公司ZTΓP（Γ）=Q（Γ）Q（Γ）。我们得出的结论是σ（ξt，t∈ [0，T]）和σ（Wt，T∈ [0，T]）与Q无关。32 D.CRIENSFor g∈ A.*we设置mgt，g（ξt）- g（ξ）-ZtL公司*g（ξ，s）ds，t∈ [0，T]，Kft，f（ξT）- f（ξ）-ZtLf（ξ，s）ds，t∈ [0，T]，Kf gt，f（ξT）g（ξT）- f（ξ）g（ξ）-ZtL（fg）（ξ，s）ds，t∈ [0，T]。过程Kf和Kf gare lo cal P-鞅。

我们设置vt，f（ξ）exp-ZtLf（ξ，s）f（ξs）ds, t型∈ [0，T]。部件集成意味着DZT=Vtdf（ξt）- f（ξt）L（ξ，t）f（ξt）dt= VtdKft。再次使用部件集成和标识L*g=f（L（fg）- gLf）产量dztmgt=Zt-dMgt+管理-dZt+d[Z，Mg]t=Vtf（ξt-)dMgt+管理-dKft+d[f（ξ），g（ξ）]t= 及物动词f（ξt-)dg（ξt）- f（ξt-)L*g（ξ，t）dt+g（ξt-)df（ξt）- g（ξt-)Lf（ξ，t）dt-g（ξ）+ZtL*g（ξ，s）dsdKft+d[f（ξ），g（ξ）]t= 及物动词d（fg）（ξt）- L（f g）（ξ，t）dt-g（ξ）+ZtL*g（ξ，s）dsdKft公司= 及物动词dKf燃气轮机-g（ξ）+ZtL*g（ξ，s）dsdKft公司.我们得出结论，ZMgis是一个局部P-鞅，从[30，命题III.3.8]可以看出，MGIS是一个局部Q-鞅。由于等效Q~ P、 我们的结论是(Ohm, F、 F，Q）过程ξ是鞅问题（a）的解过程*, L*, j、 T）。定理4.9Let（Xt）t的证明≥0是D（R+，J）上的坐标过程，表示mft，f（Xt）f（J）exp-ZtLf（X，s）f（Xs）ds, t型∈ [0，T]。按u定义，Po ξ-1a D（R+，J）上的Borel概率测度。我们必须证明这一点MfT公司= 1、从[27，引理2.9]可以看出，Mfis是一个具有局部化序列（ρn）n的局部u-鞅∈N、 适用于所有N∈ N、 通过Radon–Nikody MDerivatedundu=MfT确定Borel概率度量unon D（R+，J）∧ρn。在定理4.9的证明完成后，证明了以下引理。引理9.1。Letu*是鞅问题（a）解过程的唯一律*, L*, j∞).适用于所有n∈ N我们有uN=u*点播∧ρn.回顾{ρn>T}∈ 点∧ρn，引理9.1表示euMfT公司= 画→∞EuMfT公司∧ρn{ρn>T}= 画→∞u*（ρn>T）=1。这就完成了证明。引理9.1的证明：我们采用了[30，定理III.2.40]的证明。为了简化符号，我们设置T∧ ρn，ρ。我们用uj表示鞅问题（a）解过程的唯一律*, L*, j∞).连续金融市场无套利33步骤1。

我们证明了j 7→ uj（G）是所有G的Borel∈ D、 遵循【54，练习6.7.4】中概述的策略。回想一下，我们假设*包含可数确定集a。设P为D（R+，J）上具有分布收敛拓扑的Borel P概率测度空间。注意，Do适应过程是D-鞅当且仅当它是Do鞅。含义=> 遵循向下定理（见[48，TheoremII.51.1]）及其含义<= 遵循塔式规则。对于g∈eA设置，g（Xt）- g（X）-ZtKg（Xs）ds，t∈ R+。定义I为所有ν的集合∈ P使得νo 十、-1=某些j的δJj∈ J、 此外，设M是所有ν的集合∈ P使得eν（千克∧ρm- 千克∧ρm）1G= 0，对于所有g∈eA，所有有理s<t，m∈ 可数判定类Dos中的N和G。根据唯一性假设，{uj，j∈ J} =我∩ M、 因为集合{δj，j∈ J} 是Borel根据[8，定理8.3.7]和ν7得出的→ ν o 十、-1是连续的，我是Borel。由于[1，定理15.13]，集合M是Borel。我们得出结论{uj，j∈ J} 是波雷尔。LetΦ：{uj，j∈ J}→ J定义为Φ（uJ）=所有J的J∈ J、 我们注意到Φ是一个连续注入。因此，逆映射Φ-1这是由于toKuratovski定理（[8，命题8.3.5]）引起的Borel。这意味着j 7→ uj（G）是所有G的Borel∈ D.第2步。因为un~ u，我们有un（X=j）=1。在定理4.4的证明中，我们看到对于所有g∈ A.*工艺Kg·∧ρ是一个un-鞅。第3步。每t∈ R+we表示为θt:D（R+，J）→ D（R+，J）由θtω（s）=ω（t+s）给出的移位算子。回顾ρ是有界的，我们从[30，引理III.2.44]推导出ρ∨ θ-1ρ（D）=D。因此，我们可以关联到每个G∈ D a（不一定唯一）G′∈ Doρ D这样的G=ω ∈ D：（ω，θρ（ω）ω）∈ G′.我们定义了ν（G），Zun（dω）uω（ρ（ω））（dω*)1G′（ω，ω*).从[30，引理III.2.47]可以看出，ν是一种概率度量，即ν是明确定义的。

我们的目标是证明ν解决了鞅问题（A*, L*, j∞). 提供一个参数，ν是（Xt，t<ρ（X），Xt）的定律-ρ（X），t≥ ρ（X），如果Xis根据u采样，而Xis根据ujj采样，j=Xρ（X）。换句话说，我们将u推广到全局鞅问题的解。对于G∈ Dowe canchoose G′=G×D（R+，J）。因此，ν（X=j）=un（X=j）=1。设ψ为有界Do停止时间和fix m∈ N、 对于ω，α∈ D（R+，J）和t∈ R+we设置z（ω，α）（t），（ω（t），t<ρ（ω），α（t- ρ（ω）），t≥ ρ（ω），andV（ω，α）((ψ ∧ ρm）∨ ρ - ρ（z（ω，α）），α（0）=ω（ρ（ω）），否则为0。根据[18，定理IV.103]，映射V是Doρ D-可测量，使得V（ω，·）是所有ω的Do停止时间∈ D（R+，J）。此外，从定义中可以明显看出（ψ∧ ρm）（ω）∨ ρ（ω）=ρ（ω）+V（ω，θρ（ω）ω）34 D.CRIENSforω∈ D（R+，J）。对于所有ω∈ {ρ < ψ ∧ ρm}∈ Doρ和α∈ D（R+，J），α（0）=ω（ρ（ω）），我们有V（ω，α）≤ ρm（α）。进一步注意，对于ω∈ {ρ < ψ ∧ ρm}KgV（ω，θρ（ω）ω）（θρ（ω）ω）=Kg（ψ∧ρm）（ω）-ρ（ω）（θρ（ω）ω）=g（ω（（ψ∧ ρm）（ω）））- g（ω（ρ（ω）））-Z（ψ）∧ρm）（ω）ρ（ω）Kg（ω（s））ds=Kg（ψ∧ρm）（ω）（ω）- Kgρ（ω）（ω）。因为Kg·∧ρ是un-鞅，我们有eνKgρ∧ψ∧ρm= EunKgρ∧ψ∧ρm= 0，由于可选停止定理。因此，我们得到νKgψ∧ρm= EνKgψ∧ρm- Kgρ∧ψ∧ρm= EνKgψ∧ρm- Kgρ{ρ<ψ∧ρm}= EνKgV（·，θρ）（θρ）1{ρ<ψ∧ρm}=Zun（dω）Euω（ρ（ω））KgV（ω，·）∧ρm{ρ(ω)<(ψ∧ρm（ω）}=0，同样是由于可选停止定理（回想一下，V（ω，·）是有界的，Kg·∧ρmisauj-鞅对所有j∈ J） 。我们从[47，命题II.1.4]得出结论，Kg·∧ρmis aν鞅，因此在ν下的坐标过程（Xt）t≥0解决鞅问题（A*, L*, j∞). 唯一性假设意味着ν=u*. 因为同样对于G∈ ρ我们可以选择G′=G×D（R+，J），我们得到u*（G） =ν（G）=un（G）。证明是完整的。附录A。

马氏链与布朗运动的独立性≤ ∞ 成为一个时间范围，让(Ohm, F、 F，P）是右连续且完全过滤F=（Ft）t的完全概率空间∈[0，T]，它支持一维布朗运动W=（Wt）T∈[0，T]和一个Feller–Markov链ξ=（ξT）T∈[0，T]。我们假设ξ的初值ξ是确定的。回想一下我们的约定，W是F的布朗运动，ξ是F引理a.1的马尔可夫链。σ（Wt，t∈ [0，T]）和σ（ξT，T∈ [0，T]）是独立的。证明：让f∈ C（J）应确保Qf∈ C（J），其中Q是ξ的Q矩阵。We setM，f（ξ）- f（ξ）-Z·Qf（ξs）ds。让g∈ Cb（R）使infx∈Rg（x）>0和setK，g（W）exp-Z·g′（Ws）g（Ws）ds.^o公式得出K是鞅。p过程M是Dynk-in公式的鞅。因此，按部分积分得到的结果是Dmtkt=MtdKt+KtdMt+d[M，K]t.（A.1），因为ξ在一个有限的时间间隔内只有有限多个跳跃，过程M在有限的时间间隔内具有有限的变化。因此，由于K具有连续路径，因此它遵循a.s.[M，K]=0的条件。鉴于（A.1），我们得出结论，M K是一个鞅。现在，回顾示例4.2，我们可以在定理4.3证明的步骤3中进行论证，以获得所声称的独立性。参考文献【1】Aliprantis，C.和Border，K【2013年】，《有限维分析：搭便车指南》，Springer。[2] Anderson，W.（2012），《连续时间马尔可夫链：面向应用的方法》，纽约州斯普林格。[3] Blanchet，J.和Ruf，J.（2016），“测量构造变化的弱收敛准则”，随机模型32（2），233–252。连续金融市场中的无套利35【4】Bruggeman，C.和Ruf，J【2016】，“一维差异命中率快速”，《概率论》第21期电子通信，第7页【5】Cheridito，P.、Filipovic，D.和Yor，M。

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克莱恩斯-德国慕尼黑技术大学数学系电子邮件地址：david。criens@tum.de