连续金融市场中的无套利

2022-6-10 19:57:48

无套利、金融泡沫、最小鞅测度、It^o过程、切换扩散、随机指数。D、克莱恩斯-慕尼黑技术大学数学系，德国，大卫。criens@tum.de.Acknowledgment：作者感谢裁判的出色报告，这有助于大幅改进文章。此外，他还感谢副主编提出了许多宝贵的建议。2 D.CRIENSmod el（1.2）了解ELMM的变化如何影响马尔科夫链ξ的动力学很重要。作为第二个贡献，我们从通过鞅问题建模的独立风险源的一般角度来研究这个问题。特别是，我们证明了最小局部鞅测度（MLMM），见[25]，保持了风险源的独立性和规律。据我们所知，文献中尚未报道这种性质。本文的第三个贡献是对由It^o过程或切换微分驱动的某些随机指数的鞅性质进行积分测试。这些特征是我们研究无套利的关键工具。我们对相关文献进行了评述。对于连续半鞅模型，Criens【11】、Delbaen和Shirakawa【17】、Lyaso ff【40】和Mijatovi\'c an dUrusov【43】研究了无套利的情况。Criens、Delbaen和Shirakawa、Mijatovi\'c和Urusov证明了SMD、ELMM和EMM在不同框架中存在的完整测试。我们的结果可以看作是It^o过程或马尔可夫交换框架的推广。对于与（1.1）类似的模型，Lyaso Off证明了ELMM的存在是由p rob能力测度与Wiener测度的等价性决定的。这种表征的结构与我们的结果非常不同。

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2022-6-10 19:57:52

在下面的第3.3节中，我们对[11、17、40、43]中的结果进行了更详细的评论。随机指数的鞅性质正受到频繁的研究。在这一点上，我们提到了布兰切特（Blanchet）和联阵（Ruf）[3]、切里迪托（Cheridito）等人（Cheridito et al）[5]、克莱恩（Criens）[11]和卡尔森（Kallsen）和穆勒（Muhle-Karbe）[34]的文章。Criens使用基于Lyapunov函数和矛盾的参数来验证多维DiffusionSetting中某个随机指数的鞅性质。我们将这些技术转换为通用It^o流程设置。Cheridito等人和Kallsenand Muhle–Karbe通过一种基于【30】中定义的局部唯一性概念的方法，将随机指数的鞅性质与爆炸概率联系起来。这项技术可以追溯到Jacod和M’emin【29】以及Kabanov等人【31，32】的工作。我们对马尔可夫切换设置使用类似的参数。主要困难是爆炸准则和局部唯一性的证明。这两种方法都与Blanchet和Ruf的工作有着密切的关系，后者已经证明了非负局部鞅的鞅性质的紧性准则。例如，李雅普诺夫函数、爆炸和紧密性之间的联系在[12]中进行了解释。让我们也评论一下我们结果的连续问题和扩展：如果贴现价格过程P是一个类型为dpt=btdt+σtdWt的正It^o过程，我们关于随机指数鞅性质的结果可以用来获得与模型（1.2）具有类似结构的无套利的特征。此外，如果Pis是具有马尔可夫切换的离散的随机指数，即dPt=PtdSt，dSt=b（St，ξt）dt+σ（St，ξt）dWt，我们的鞅准则产生了与（1.1）结构类似的无套利条件。询问多维模型也很有趣。

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2022-6-10 19:57:55

在这种情况下，可以通过本文中使用的类似论点来证明[11]的精神。然而，这些条件非常复杂，难以表述，而且占用了大量空间。因此，我们将自己局限于一维情况。本文的结构如下。在第二节中，我们给出了某些随机指数的鞅和严格局部鞅性质的条件。在第3.1节中，我们研究了模型（1.1），在第3.2节中，我们研究了模型（1.2）。在第4节中，我们说明了MLMM保留了风险源的独立性和法律，并解释了如何修改MLMM以影响其他风险源的法律。其余部分收集了证据。2、随机指数固定有限时间范围0<T<∞ AND出租(Ohm, F、 F，P）是一个完全过滤概率空间，具有右连续和完全过滤F=（Ft）t∈[0，T]。此外，将状态空间i（l，r）与-∞ ≤ l<r≤ +∞.在下面两节中，我们给出了某些随机指数的鞅和严格局部鞅性质的条件。连续金融市场无套利32.1。一般情况。假设S=（St）t∈[0，T]是具有确定性初值S的I值It^o过程∈ I和dynamicdst=btdt+σtdWt，其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]是实值渐进可测过程。b和σ的积分定义得很好，即a.s.ZT，这是合法的|bs |+σsds<∞.我们假设λ\\ P-a.e.σ6=0，后者将对应于我们考虑波动率不为零的资产价格过程的假设。设c=（ct）t∈[0，T]是一个实值逐步可测量的过程，因此a.s.ZTCDS<∞,设N=（Nt）t∈[0，T]是局部鞅，使得a.s。

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mingdashike22

2022-6-10 19:57:59

N≥ -1和[N，W]=0。对于非负局部鞅，EN+Z·csdWs,（2.1）是真实的或严格的局部马尔可夫。这里，E表示随机指数。Z的结构在数学金融中非常重要，因为Z是严格局部鞅密度的原型，见下面的引理3.2。让a，a：我→ (0, ∞), u、 u：我→ R和ζ：[0，T]→ R+be Borel函数，使得a+a+| u |+| u |∈ Lloc（I），ζ∈ L（[0，T]）。如果（f，g）是（u，a），（u，a）。我们设定v（f，g）（x），Zxxexp-Zyx2f（z）dzZyx2 expRux2f（z）dzg（u）dudy，x∈ 一、（2.2）其中x∈ 我已经确定了。设lnl，rnr为序列，使得l<ln+1<ln<rn<rn+1<r。本节的第一个主要结果如下：定理2.1。假设如下：（M1）序列τn，inf（t∈ [0，T]：St6∈ （ln，rn）），n∈ N、是Z的本地化序列，即Z·∧τ是每n的鞅∈ N、我们使用inf() , ∞.（M2）对于λ\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohmσt（ω）≤ ζ（t）a（St（ω）），u（St（ω））σt（ω）≤ bt（ω）+ct（ω）σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≥ bt（ω）+ct（ω）σt（ω）。（M3）limxrv（u，a）（x）=limxlv（u，a）（x）=∞.那么，Z是鞅。第5节给出了这个定理的证明。备注2.2。（M3）与x的选择无关，参见[36，问题5.5.28]。接下来，我们提供了定理2.1的对应项。设H是所有Borel函数H:R的集合+→从零开始的R+严格递增，满足zεdzh（z）=∞ 对于所有ε>0，设K为所有Borel函数的集合κ：R+→ 从零开始的R+，严格递增、凹且满足εdzκ（z）=∞ 对于所有ε>0.4 D的情况，克里恩新情况（f，g）是一对（u，a），（u，a）。

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2022-6-10 19:58:02

我们认为（f，g）满足山田-渡边（YW）条件，如果每n∈ N存在hn∈ H和κn∈ K这样，对于所有x，y∈ 【ln，rn】| g（x）- g（y）|≤ hn（| x- y |），g（x）f（x）- g（y）f（y）|≤ κn（| x- y |）。本节的第二个主要结果如下：定理2.3。假设以下条件之一：（SL1）对（u，a）满足λ的YW条件\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≤ bt（ω）+ct（ω）σt（ω），（2.3）和limxrv（u，a）（x）<∞ .（SL2）对（u，a）满足λ的YW条件\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohma（St（ω））≤ σt（ω），u（St（ω））σt（ω）≥ bt（ω）+ct（ω）σt（ω），和limxlv（u，a）（x）<∞ .那么，Z是严格局部鞅。第5节给出了这个定理的证明。在下面的第2.3节中，我们对定理2.1和2.3的假设以及相关文献进行了评论。2.2. 马尔可夫切换情况。在本节中，我们考虑第2.1节中设置的一个特例，并假设S是一个切换差异。在详细介绍设置之前，我们先澄清一下术语：如果一个过程是一个马尔可夫链，则称之为Feller–马尔可夫链，而马尔可夫链是一个Feller过程，因为相应的转移半群是连续函数空间上的自映射，在整体上消失。对于暗示马尔可夫链为Feller–Markov的条件，我们参考[2]。同样重要的是要强调，无论何时我们确定了过滤和马尔可夫链，我们都假设马尔可夫链是给定过滤的马尔可夫链。

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2022-6-10 19:58:05

马尔可夫链的所有未解释终结论，如不可约、循环等，都可以在[44]中找到。我们假设S=（St）t∈[0，T]是一个具有确定性初值的I值It^o过程∈ I和dynamicdst=b（St，ξt）dt+σ（St，ξt）dWt，（2.4），其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，ξ=（ξT）T∈[0，T]是状态空间J，{1，…，N}，1的连续时间不可约Feller-Markov链≤ N≤ ∞, 和确定性初值j∈ J、和b:I×J→ R和σ：I×J→ R{0}是Borel函数，因此1+| b（·，j）|σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、（2.5）暗示（2.4）中的积分定义良好。我们允许N=∞ 在这种情况下，J=N。类型（2.4）的过程称为切换差异，J的元素称为状态。设c:I×J→ R是一个Borel函数，使得C（·，j）σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、（2.6）引理2.4。几乎可以肯定Tc（Ss，ξs）ds<∞.证明：集合F，{ξs:s∈ [0，T]}，m，min∈[0，T]s和M，最大值∈[0，T]Ss。利用ξ仅在有限时间间隔[0，t]内产生无数次跳跃，连续金融市场无套利的占用时间公式5连续半鞅和（2.6），我们得到了a.s.ZTc（Ss，ξs）ds=ZTc（Ss，ξs）σ（Ss，ξs）d[S，S]S≤Xj公司∈FZT公司c（Ss，j）σ（Ss，j）d[S，S]S=Xj∈FZMm公司c（x，j）σ（x，j）2LST（x）dx≤ maxy公司∈[m，m]2LST（y）Xj∈FZMm公司c（x，j）σ（x，j）dx<∞,其中，Ls表示S的本地时间。证明了引理。我们对非负局部鞅的鞅性质感兴趣，EZ·c（Ss，ξs）dWs.对于选择c=c（S，ξ）和N=0，该定义与（3.3）一致。在陈述本节的主要结果之前，我们先确定一些符号。

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2022-6-10 19:58:08

因为Lloc（I） Lloc（I）、（2.5）和（2.6）表示| b（·，j）+c（·，j）σ（·，j）|σ（·，j）∈ 所有j的Lloc（I）∈ J、因此，我们可以设置v（x，J），Zxxexp-Zyx2（b+cσ）（z，j）σ（z，j）dzZyx2 expRsx2（b+cσ）（z，j）σ（z，j）dzσ（s，j）dsdyfor（x，j）∈ I×J和a固定x∈ 一、我们认为σ满足j的Engelbert–Schmidt（es）条件∈ J如果下列条件之一成立：（ES1）对于每个紧集K I有Borel函数f:K→ [0, ∞] 和h:R→ [0, ∞ ]常数c>0，从而满足以下特性：（i）fσ（·，j）∈ L（K）。（ii）对于原始Zudyh（y）=∞.（iii）对于所有x，x+y∈ K、 y型∈ (-c、 c）|σ（x+y，j）- σ（x，j）|≤ f（x）h（y）。（ES2）对于每个紧集K I有Borel函数g:K→ R和h:R→ [0, ∞] 常数c>0表明满足以下特性：（i）g在增加。（ii）对于原始Zudyh（y）=∞.（iii）对于所有x，x+y∈ K、 y型∈ (-c、 c）\\{0}|σ（x+y，j）- σ（x，j）|≤ h（y）| g（x+y）- g（x）| | y |。（四）infx∈Kσ（x，j）>0。我们说，如果马尔可夫链ξ是一个递归马尔可夫链，则当它扩展到有限时间间隔R+时，它是递归的。下面的定理给出了一个几乎完整的答案，当Z是真或严格的局部鞅时。第6.6节D.克里恩定理2.5给出了一个证明。（i）假设c在i×J的紧子集上有界，σ满足所有J的条件∈ J和thatlimxrv（x，J）=limxlv（x，J）=∞ 对于所有j∈ J、（2.7）那么，Z是鞅。（ii）假设ξ是循环的，并且存在j∈ J使得σ满足J和limxrv（x，J）<∞ 或limxlv（x，j）<∞.（2.8）那么，Z是严格局部鞅。备注2.6。定理2.5（ii）的证明基于一个矛盾论点。在（2.8）成立且Z是鞅的情况下，存在具有爆炸区域j的I值切换分歧。

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2022-6-10 19:58:11

ξ的重复出现确保了这种切换差异达到区域j，从而导致矛盾。如果初始状态jis已经爆炸，更准确地说，如果σ满足jand limxrv（x，j）<∞ 或limxlv（x，j）<∞, ξ的重复性是不需要的。注意到ξ在N<∞, 我们得到如下结果：推论2.7。假设c在I×J的紧子集上有界，σ满足所有J的条件∈ J和N<∞. 那么，Z是鞅当且仅当i f（2.7）成立。证明：如果N<∞, ξ的递推源自【44，定理1.5.6，3.4.1】。现在，这个主张是基于定理2.5。在金融应用中，N可以解释为业务周期的状态数，因此N<∞ 是一个合理的假设。2.3. 相关文献评论。非负局部鞅的鞅性质一直是人们研究的热点。我们提到了一些相关的工作：【13、27、30】中考虑了一般半鞅设置，而【5、34、39、43、50、53】中研究了扩散和/或跳跃扩散设置。据我们所知，对于一般It^o过程或马尔可夫切换设置理论，2.1、2.3和2.5是第一个结果，为某些随机指数的鞅性质提供了积分检验。对于微分情形dst=b（St）dt+σ（St）dWt，非负局部鞅z=E的鞅性质的完整表征Z·c（Ss）dWs在局部可积条件下，已在[43]中得到证明。我们强调，在[43]中，差异被允许爆炸，这是我们框架中未包含的一个特性。如果S是非爆炸性的，则[43]的主要定理表明Z是鞅当且仅当Iflixrv（u，σ）=limxlv（u，σ）=∞,其中，u、b+cσσ和v的定义如（2.2）所示。

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kedemingshi

2022-6-10 19:58:14

定理2.1和2.3或推论2.7暗示了相同的条件。对于严格的局部鞅性质，我们要求σ满足ES条件，这在[43]中没有规定。定理2.1、2.3和2.5的核心思想是结合了Lyapunov型参数（在定理2.1的情况下）、与一维效应的比较（在定理2.3的情况下）或局部唯一性属性（在定理2.5的情况下）的局部度量变化。使用局部变更度量的想法并不新鲜。例如，它已在[5、11、13、50、53]中使用。李雅普诺夫和比较论点的灵感来自【11】，其中研究了多维差异。为了在我们的一般设置中使用这些想法，我们证明了It^o过程的newLyapunov条件，并将比较参数从多维差异设置传输到一维It^o过程框架，见下文第5节。将局部唯一性与随机指数的鞅性质联系起来的思想可以追溯到[29，31，32]。最近，该方法在[5、11、34、53]中使用。尽管连续金融市场中的终端女性套利7表明了相反的情况，但地方唯一性是法律唯一性的有力体现。在定理2.5的证明中，我们通过Yamada–Watanab e-typeargument从路径唯一性推导出局部唯一性。3、关于任意集0<T<∞ 成为有限的时间范围，让(Ohm, F、 F，P）是一个完全过滤概率空间，具有右连续和完全过滤F=（Ft）t∈[0，T]。

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2022-6-10 19:58:17

我们考虑由一项风险资产组成的金融市场，其贴现价格过程为P=（Pt）t∈[0，T]，它被假定为具有确定初值的正连续半鞅。回想一下下面的经典术语：如果Q是等价（局部）鞅测度（E（L）MM），则概率测度Q称为等价（局部）鞅测度（E（L）MM~ P和P是（局部）Q-鞅。严格正局部P-鞅Z=（Zt）t∈如果ZP是（局部）P-鞅，则Z=1的[0，T]称为严格（局部）鞅密度（S（L）MD）。在下文中，我们研究了当Pis是It^o过程的随机指数或正开关微分时SMD、ELMMs和EMM的存在与不存在。如果Pis为正It^o过程或实值切换微分的随机指数，则可根据第2.3.1节中的鞅标准推导出类似结果。随机指数m模l。假设P是重新估值It^o过程S=（St）t的随机指数∈[0，T]具有确定性初始值S∈ R和dyn amicsdSt=btdt+σtdWt，（3.1），其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]是实值渐进可测过程，因此（3.1）中的随机积分得到了很好的定义。我们假设λ\\ P-a.e.σ6=0，对应于P具有非消失波动性的假设。3.1.1. 无套利。在下文中，我们将研究SMD、ELMM或EMM何时存在。作为最小条件，我们假设（NUPBR）成立。这相当于存在风险的市场价格θ=（θt）t∈[0，T]，即。

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2022-6-10 19:58:22

一种实值的渐进可测过程，如a。s、 ZTθsds<∞和λ\\ P-a.e.b- θσ = 0.（3.2）我们定义了连续局部鞅，E-Z·θsdWs.（3.3）部分积分和（3.2）产生的dztpt=ZtPt（σt- θt）dWt，（3.4），这表明ZP是一个局部鞅，或者，等价地，Z是一个SLMD。我们观察到如下：（O1）如果ZP是鞅，那么Z是定义的SMD。（O2）如果Z是鞅，我们可以通过Radon–NikodyMyDerivativedQdp定义概率测度Q，Zt和Q是一个ELMM（3.4）和[30，命题III.3.8]。（O3）如果ZP和Z是鞅，则（O2）中定义的Q是[30，命题III.3.8]中的EMM。总之，为了证明SMD、ELMM和EMM的存在性，我们必须确定ZP和Z的鞅性质的条件。以下是本节的主要结果：定理3.1。假设如下：（L1）序列τn，inf（t∈ [0，T]：| St |≥ n），n∈ N、（3.5）是Z.8 D.CRIENS的定位序列（L2）有Borel函数a:R→ (0, ∞) 和ζ：[0，T]→ R+这样A∈ Lloc（R），ζ∈ L（[0，T]），σT（ω）≤ λ的ζ（t）a（St（ω））\\ P-a.a.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.那么，Z是一个鞅，Q由dqdp定义，zt是一个ELMM，b=W+Z·θtdt（3.6）是一个Q-布朗运动，使得S=S+Z·σtdBt。如果添加Z∞dza（z）=∞,（3.7）那么Q是EMM，Z是SMD。证明：我们将定理2.1应用于I，R，ln，-n、 rn、n和c，-θ. 注意，（L1）等于（M1）。此外，设置u（x）≡ u（x），0。然后，（L2）表示（M2），因为（3.2）表示λ\\P-a.e.b+cσ=0。最后，请注意z±∞xexp- 2Zxxu（y）dydx=Z±∞xexp- 2Zxxu（y）dydx=±∞ ,这表明（M3）符合[36，问题5.5.27]。我们得出结论，Z是鞅，Q是（O 2）的ELMM。接下来，我们假设（3.7）成立。我们将定理2.1应用于I，R，ln，-n、 rn、n和C，σ- θ表示局部鞅z′，ZPP=EZ·（σs- θs）dWs是鞅。

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2022-6-10 19:58:25

在这种情况下，Q是EMM，Z是（O1）和（O3）的SMD。通过（L1），集合{Zγ∧τn：γ停止时间}是一致可积的（见[30，命题I.1.47]）。因此，supγEPZ′γ∧τn{Z′γ∧τn≥K}≤ e | S |+nsupγEPZγ∧τn{Zγ∧τn≥e-|S|-nK}→ 0作为K→ ∞,其中supγ是所有stop in g乘以γ的上确界。根据[30，命题I.1.47]，我们得出结论，（M1）适用于Z′。注意，（3.2）表示λ\\ P-a.e.b+cσ=σ。因此，我们设置u（x）≡ u（x），1，注意（L2）表示Z′的（M2）。利用Fubini的theoremand（3.7），我们得到了thatlimx∞v（1，a）（x）=2Z∞xe公司-2yZyxe2ua（u）dudy=2Z∞xe2ua（u）Z∞ue公司-2ydydu=Z∞xdua（u）=∞.因为-∞xexp- 2Zxxdydx=-∞,[36，问题5.5.27]得出limx-∞v（1，a）（x）=∞. 因此，（M3）表示Z′。我们得出Z′是鞅且p屋顶是完备的。在我们的环境中，可能存在多个ELMM，在应用程序中应选择哪个ELMM是一个重要的问题。定理3.1中的ELMM是【25】中定义的连续金融市场中的最小局部m artingaleNO套利9measure（MLMM）。对于MLMM的财务解释，我们参考【25】，对于可能应用的一般概述，我们参考【23】。在下面的定理4.3中，我们发现了MLMM的一个新特性：MLMM保持了风险源的独立性和规律。在下一段中，我们将假设（L1）和（L2）与[37]中介绍的所谓弱等价局部鞅测度（WELMM）联系起来。我们在假设F=FTand（NUPBR）成立的情况下，从一般的角度解释了这种联系。稍微滥用符号，设Z=（Zt）t∈[0，T]是具有局部化序列（τn）n的SLMD∈N、对于everyn∈ N我们可以通过Radon–Nikodym导数qndp，ZT定义概率度量qnb∧τn.很容易看出，对于停止的过程P，Qnis是一个ELMM·∧τn。

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2022-6-10 19:58:28

换句话说，对于每n∈ N概念（NFLVR）适用于在τN之后无风险投资的所有可接受策略。粗略地说，这一观察结果表明，如果我们可以采取限制，则（NFLVR）适用→ ∞. 如【37】第2.4.2节所述，Alaoglu定理得出（Qn）n∈NHA是弱者的聚集点Q*L的对偶上的拓扑∞(Ohm, F、 P），这是一个完全可加性概率，因此对于所有a，Q（a）=0∈ F，P（A）=0，见[14]附录。我们使用无衬线字体来强调Q不一定是一个概率度量，因为它可能不是可数加法。注意，对于每个n，Q=Qnon Fτ∈ N、利用这一事实，可以得出如下结论：∈ 当Q（A）=0时，我们也有P（A）=0，这表明Q和P具有相同的空集。确实，如果∈ F=fti，Q（A）=0，我们有A∩ {τn>T}∈ Fτ与随后的Qn（A∩ {τn>T}）=Q（A∩ {τn>T}）=0表示所有n∈ N、这意味着P（A∩ {τn>T}）=0，因为P-a.s.τn∞ 作为n→ ∞,我们得出结论，P（A）=0。在[37]之后，我们称Q为WELMM。ELMMs和ELMMs之间以及（NUPBR）和（NFLVR）之间的主要区别在于，WELMM不一定是一种度量。条件（L1）的概念是识别一个WELMM，如上所述，它是ELMM的自然条件。假设（τn）n∈（3.5）中给出的Nis表示控制资产规模。从建模的角度来看，这一假设是合理的，因为正如Lyaso fff[40，第488页]所解释的，“风险证券的预期瞬时净回报过大，导致对资金的需求过大（投资此类证券），这反过来意味着利率越来越高，这反过来意味着风险的市场价格越来越低”。在米贾托维奇（Mijatovi\'c）和乌鲁索夫（Urusov）[42]的差异设置中，（L1）相当于局部可获取性条件[42，Eq。

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2022-6-10 19:58:31

3.2]关于MPR，请参见[43，引理6.3]。条件（L2）关注候选WELMM的可数可加性，这对应于当n→ ∞. 实际上，Q是可数加的当且仅当iflim supn→∞Q（τn>T）=lim supn→∞Qn（τn>T）=1，（3.8），这也是我们在定理2.1的证明中检查的条件。如果Q是可数加的，那么（3.8）来自单调收敛定理和P-a.s.τn∞ asn公司→ ∞. 相反，假设（3.8）成立。Let（Ek）k∈N F是与tk递减的序列∈NEk=. 那么，因为Ek∈ F=英尺，我们有Ek∩ {τn>T}∈ Fτn，产生thatlim supk→∞Q（Ek）≤ Q（τn≤ 林素福→∞Q（Ek∩ {τn>T}）=Q（τn≤ T）+lim SUP→∞Qn（Ek∩ {τn>T}）=Q（τn≤ T）→ 0和n→ ∞.因此，Q在零处是连续的，这意味着它是可数相加的。3.1.2. 金融泡沫的存在。在定理3.1中，我们给出了anELMM存在的条件。在本节中，我们推导了（3.7）的对应项，这意味着存在[9]意义上的泡沫。正如我们解释的n ext，当非负局部鞅是严格局部鞅时，SMD存在的问题与qu估计强相关。我们回顾如下：在[25]中，MLMM被称为最小鞅测度。因为我们区分了ELMMS和EMM，所以我们调整了术语。10 D.CRIENSLemma 3.2。如果Z是SLM D，则存在风险θ=（θt）t的市场价格∈[0，T]和局部鞅N=（Nt）T∈[0，T]这样a.s。N>-1，[N，W]=0，Z=EN-Z·θsdWs.（3.9）证明：见【51，定理1】。如果Z是SMD，（3.9）保持不变，ZP=PEN+Z·（σs- θs）dWs（3.10）定义为鞅。如果不是这样，我们就有矛盾，不存在SMD。以下是本节的主要结果：定理3.3。

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2022-6-10 19:58:35

假设存在一个Borel函数a:R→ (0, ∞) 使（1，a）满足条件（本术语见第2.1节），a（St（ω））≤ λ的σt（ω）\\ P-a.a.（t，ω）∈[0，T]×Ohm andZ公司∞dza（z）<∞.（3.11）则不存在SMD。证明：我们使用定理2.3和I、R和u，1证明（3.10）中定义的ZP是严格局部鞅。因为θ是MPR，λ\\ P-a.e.b+（σ- θ） σ=σ=u（S）σ。此外，Fubini定理和（3.11）得出thatlimx∞v（1，a）（x）=Z∞xdza（z）<∞.因此，定理2.3第（ii）部分的条件成立，我们得出结论，ZP是一个严格的局部鞅。因此，如上所述，不存在SMD。条件（3.7）和（3.11）提供了MLMM是否为EMM的测试。在功能设置中，条件可归结为一个单一的有效和必要条件，如【11，命题5.2】所示。3.1.3. 示例：具有变化点的差异模型。Fontana等人[24]研究了具有变化点的模型的y（NUPBR）和（NFLVR）。作者感兴趣的是过滤的影响，它代表了不同层次的信息。在H′假设的弱形式下，该模型可以包含在我们的框架中。更准确地说，在这种情况下，S的形式为dst=utdt+σ（1）（t，St）1{t≤τ}+σ（2）（t，St）1{t>τ}dWt，其中τ是停止时间。假设系数σ（i）在第二个变量中是正的、连续的和Lipschitzcontinuous的，在第一个变量中是一致的，参见【24，条件i】。定理3.1为（NFLVR）提供了局部条件。例如，在【24，第3.3节】中描述的特殊情况下，定理3.1得出（NFLVR）始终成立，因为ut=u（1）（t，St）1{t≤τ}+u（2）（t，St）1{t>τ}，（3.12），其中u（i）是局部有界的。这扩展了文献[24]中的观察结果（NUPBR）在这些案例中的适用性。此外，如果除（3.12）外，i=1，2σ（i）（t，x）≤ 常数。

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2022-6-10 19:58:37

x、（t，x）∈ [0，T]×[1，∞),然后偶数（NFFLVR）成立。[24]中未研究该概念（NFFLVR）。连续金融市场无套利113.2。马尔可夫切换的扩散模型。在这一节中，我们假设P是一个具有d个不确定初值P的正连续半鞅∈ (0, ∞) 和dynamicspt=b（Pt，ξt）dt+σ（Pt，ξt）dWt，其中W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，ξ=（ξT）T∈[0，T]是状态空间J，{1，…，N}，1的连续时间不可约Feller-Markov链≤ N≤ ∞, 和确定性初值j∈ J、和b：（0，∞) ×J→ R和σ：（0，∞) ×J→ R{0}是Borel函数su chthat1+| b（·，j）|σ（·，j）∈ Lloc（（0，∞)) 对于所有j∈ J、我们可以将N解释为商业周期中所有可能状态的数量。不可约性假设意味着我们排除了从初始状态无法达到的商业周期的所有状态。出于技术原因，我们假设ξ为Feller过程。如果N<∞任何值在J中的马尔可夫链都是一个Feller过程，因为Jar上的所有实值函数都是连续的且在单位内消失。由于附录中的引理A.1，风险ξ和W的来源是相互依赖的。引理甚至表明，如果没有它们的独立性，就不可能对ξ和Was马尔可夫过程进行建模。这一观察结果为独立性假设提供了一种新的解释，该假设通常被解释为受商业周期影响的价格过程和驱动布朗运动所代表的额外独立风险源。3.2.1. 没有和存在套利。

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2022-6-10 19:58:41

我们强加了以下两个假设：系数b在（0，∞) ×J，σ在（0，∞) ×J和σ满足所有J的es条件∈ J、该术语见第2.2节。我们定义θ（x，j），b（x，j）σ（x，j），这是一个以（0，∞) ×J.过程θt，θ（Pt，ξt）是aMPR。我们定义了连续局部鞅Z，如（3.3）所示。请注意，第3.1节中的观测值（O1）–（O3）也适用于此设置。我们称E（L）MM Q为Radon–NikodymderivativedQdP=zt最小（局部）鞅测度（M（L）MM）。下面的理论为M（L）MM的存在和Z是SMD提供了条件。定理3.4。（i）假设zzσ（z，j）dz=∞ 对于所有j∈ J、（3.13）那么，Z是一个鞅，概率测度Q由Radon–NikodymderivativedQdP定义，zt是一个ELMM。此外，（3.6）中定义的B是Q-布朗运动，使得P=P+Z·σ（Pt，ξt）dBt。如果添加Z∞zσ（z，j）dz=∞ 对于所有j∈ J、（3.14）那么Q是EMM。（ii）如果（3.14）成立，则Z是SMD。证明：当使用定理2.5代替定理2.1时，该主张类似于定理3.1的证明。定理2.5表明，如果ξ是递归的，则定理3.4中的条件是充分和必要的。下面的定理使这一点更加精确。定理3.5。假设ξi是循环的。12 D.CRIENS（i）如果存在j∈ J使得zzσ（z，J）dz<∞,（3.15）那么Z是严格局部鞅，MLMM不存在。（ii）如果存在j∈ J这样z∞zσ（z，j）dz<∞,（3.16）则Z不是SMD。特别是，MMM不存在。证明：当使用定理2.5代替定理2.3时，该主张类似于定理3.3的证明。回顾在N<∞ 马尔可夫链ξ是递归的，我们得到如下结果：推论3.6。假设N<∞.

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2022-6-10 19:58:44

然后，下列条件是等效的：（a）MLMM存在的充要条件是（3.13）成立。（b）当且仅当（3.13）和（3.14）保持时，MMM存在。（c） Z是SMD当且仅当（3.14）成立时。当N=1时，我们恢复[42，推论3.4，定理3.6和3.11]。推论3.6表示M（L）MM存在的条件是且仅当M（L）MM存在于所有具有固定制度的市场。我们将在下一节中看到，如果其中一个冻结的市场允许套利，就不可能找到一个商业周期具有马尔可夫动态的风险中性市场。3.2.2. 不存在结构保持的ELMM和EMM。设lsp所有ELMMsQ的集合，使得ξ是不可约的递归Feller–Markov链(Ohm, F、 F，Q），并让Mspbe作为Lsp中所有EMM的集合。本节的主要结果如下：定理3.7。（i）假设存在一个j∈ J使得（3.15）保持且σ满足J的条件。然后，Lsp=.（ii）假设存在j∈ J使得（3.16）保持且σ满足J的es条件。那么，Msp=.证明：结果来自定理2.3证明中使用的矛盾论证，其中必须使用定理6.1而不是定理5.3。在第4节中，我们表明MLMM的等效变化不会影响马尔可夫链ξ。因此，定理3.7概括了定理3.5.3.2.3。示例：马尔可夫切换CEV模型。我们考虑一种带有马尔可夫切换的CEV模型（见[10]）。取β：J→ (0, ∞) 假设σ（x，j）=xβ（j），（x，j）∈ (0, ∞) ×J.此外，假设b：（0，∞) ×J→ R是局部有界的，因此z∞Zyexp公司(-Rys2b（z，j）z2β（j）dz）s2β（j）dsdy=ZZyexp(-Rys2b（z，j）z2β（j）dz）s2β（j）dsdy=∞对于所有j∈ J、然后，根据下面的定理6.1，贴现资产价格过程P存在。设Zbe如（3.3）所示，θt=b（St，ξt）σ（St，ξt）。

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2022-6-10 19:58:47

如果N<∞, 推论3.6显示如下：（a）MLMM存在当且仅当β（j）≥ 1代表所有j∈ J、（b）当且仅当所有J的β（J）=1时，MMM存在∈ J、（c）Z是SMD当且仅当β（J）≤ 1代表所有j∈ J、连续金融市场无套利133.3。相关文献评论。对于连续半鞅市场，SMD、ELMMs和EMM的存在性和不存在性已在[11、17、40、43]中进行了研究。我们对这些作品进行了更详细的评论。在[17，43]中，考虑了一维差异框架。我们讨论了【43】中的结果，并参考【43，备注3.2】对【17】和【43】之间关系的评论。在【43】中，假设价格过程P=（Pt）t∈[0，T]是一个[0，∞)-数值微分Such thattdpt=b（Pt）dt+σ（Pt）dWt，P∈ (0, ∞),式中b：（0，∞) → R和σ：（0，∞) → R{0}是满足1+| b |σ的Borel函数∈ Lloc（（0，∞)),另见【36，定义5.5.20】。在下面，我们假设P不能爆炸为零。在【43】中，还研究了P可以爆炸到零的情况下的概念（NFLVR）和（NFFLVR），并进一步研究了有限时间范围内的d（NFLVR），（NFFLVR）和（NRA）。对于非爆炸性情况，【43】的结果如下：（a）（NFLVR）<=>bσ∈ Lloc（（0，∞)) andRxσ（x）dx=∞, 参见【43，推论3.4】。（b）（NFFLVR）<=>bσ∈ Lloc（（0，∞)) andRxσ（x）dx=R∞xσ（x）dx=∞, 参见【43，定理3.6】。（c） Ifbσ∈ Lloc（（0，∞)), 然后（NRA）<=>R∞xσ（x）dx=∞, 参见【43，定理3.11】。在N=1的情况下应用推论3.14显示了（a）–（c）在对b和σ的更严格的规则性假设下的版本。推论3.14或更一般的定理3.4和3.5的新颖之处在于其适用范围。【11】研究了多维扩散环境。

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2022-6-10 19:58:50

我们解释了一维变化：假设价格过程P=（Pt）t∈[0，T]是dst=b（St）dt+σ（St）dWt的随机指数，其中b，σ：R→ R是局部有界的Borel函数，因此σ从零开始是局部有界的。在此设置中，[11，命题5.1]表明（NFLVR）始终成立，[11，命题5.2]暗示（NFFLVR）<=> （NRA）<=>R∞dxσ（x）=∞. 在b和σ的规则性假设略有不同的情况下，定理3.1和3.3得出了相同的观察结果。定理3.1和3.3的新颖之处在于不需要微分结构。特别是，系数b和σ可以取决于S或多个风险源的路径。在【11】中，主要兴趣在于多维环境。我们强调有可能将我们的结果扩展到多维框架。条件类型与[11]中的类似。在[40]中，价格p过程p=（Pt）t∈假设[0，T]是St=-α（t，S，X）θtdt+α（t，S，X）dWt，其中X=（Xt）t∈[0，T]是一个连续过程，α和θ是合适的过程，因此积分定义良好，λ\\ P-a.e.α6=0。流程X称为信息流程。该设置与第3.1节中的设置密切相关。设W为维纳测度，νbethe定律-R·θsds+W。文献[40]的主要结果如下：I f a.s.RTθsds<∞, 然后（NFLVR）<=> W~ ν、见【40，提案2.3】。这一结果与我们的结果非常不同，我们的结果旨在为一大类模型提供易于验证的条件。4、修改最小局部鞅测度在第3.2.1节中，我们在马尔可夫切换框架中证明了最小（局部）鞅测度存在的条件。我们提出以下连续问题：1。MLMM是否会改变马尔可夫链的动力学？2.

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2022-6-10 19:58:53

是否有可能修改MLMM，使马尔可夫链的动力学以可处理的方式发生变化？在本节中，我们将在独立性假设下，从一般的角度回答这些问题，这一假设在我们的马尔可夫切换框架中是成立的。14 D.CRIENS4.1。鞅问题。为了描述金融市场中的其他风险来源，我们引入了鞅问题。设J为波兰空间，定义D（R+，J）为所有c\'adl\'ag函数R的空间+→ Jand D是坐标过程X=（Xt）t生成的σ-场≥0，即Xt（ω）=ω的ω（t）∈ D（R+，J）和t∈ R+。我们为D（R+，J）配备了S korokhod拓扑，这使得它成为一个抛光空间。众所周知，D是D（R+，J）上的Borelσ场。有关更多详细信息，请参阅[20，30]。让我们做，（点）t≥0be由X引起的过滤，即Dot，σ（Xs，s∈ [0，t]），并设D，（Dt）t≥0为其正确的连续版本，即所有t的Dt、Ts>TDOSF∈ R+。Let（Bn）n∈非空开集在J su ch thatSn中的递增序列∈NBn=Jand定义ρn（ω），inft型∈ R+：ω（t）6∈ Bnorω（t-) 6.∈ Bn公司, ω ∈ D（R+，J），n∈ N.（4.1）由于[20，命题2.1.5]，ρnis a Do停止时间，由于[20，问题4.27]，ρN∞作为n→ ∞. 我们将使用序列（ρn）n∈Nas是我们鞅问题的测试鞅的一个局部化序列。我们确定这个序列，因为对于一些参数，我们需要一个由Do停止时间组成的通用本地化序列。我们的鞅问题的输入数据如下：（i）A集合A C（J，R），其中C（J，R）表示连续函数的空间J→ R、（ii）地图L:A→ PM，以便所有f∈ A、 t型∈ R+和ω∈ D（R+，J）ZtLf（ω，s）ds<∞,其中PM表示所有D-逐步可测过程的空间。（iii）初始值j∈ J、（iv）时间范围0<T≤ ∞.我们使用在T=∞ 区间[0，T]用R+表示。定义4.1。

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mingdashike22

2022-6-10 19:58:56

（i）让(Ohmo、 Fo，Fo，Po）是右连续过滤Fo=（Fot）t的过滤概率空间∈[0，T]，支持c\'adl\'ag，适应的J值过程ξ=（ξT）T∈[0，T]。我们说ξ是鞅问题（a，L，j，T）的一个解过程，如果对于allf∈ A和n∈ N过程mf，N，f（ξ·∧ρn（ξ））- f（ξ）-Z·∧ρn（ξ）Lf（ξ，s）ds（4.2）是鞅，Po（ξ=j）=1，对于所有t∈ [0，T]存在一个常数C=C（f，n，T）>0，因此a.s.sups∈[0，t]| Mf，ns |≤ C、（ii）如果存在支持解过程的过滤概率空间，我们说鞅问题有解。（iii）如果任意两个解过程（可能定义在不同的过滤概率空间上）的定律（被视为D（R+，J）上的Borel概率测度）重合，我们说鞅问题满足唯一性。（iv）如果所有j∈ 鞅问题（A，L，J，T）有解且满足唯一性，我们称之为鞅问题（A，L，T）适定。鞅问题是由Stroock和Varadhan在一个不同的背景下引入的。文[27]研究了半鞅的鞅问题，文[20]研究了具有波兰状态空间的马尔可夫鞅问题。我们的定义是统一的，因为它处理非马尔可夫过程和波兰状态空间。[20，27，54]中给出的大多数存在和唯一性条件也适用于我们的设置。示例4.2（马尔可夫链的鞅问题）。假设J={1，…，N}与1≤N≤ ∞. 我们为J配备了离散拓扑。设ξ=（ξt）t≥0be a Feller–初始值为j的马尔可夫链∈ J和Q-矩阵Q。根据[46，定理5]，ξ的生成元（L，D（L））由L=Q和D（L）={f给出∈ C（J）：Qf∈ C（J）}，其中C（J）表示所有连续函数J的空间→ 这些都在消失。

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2022-6-10 19:59:00

根据Dynkin公式（见[47，命题VII.1.6]），过程ξ解决了鞅问题（D（L），L，j，∞) 而且，由于[38，定理3.33]，鞅问题满足唯一性。相反，如果ξ是鞅问题的解过程（L，D（L），j，∞), 其中，如上所述（L，D（L））是费勒过程的生成元，ξ是具有Q矩阵Q的费勒-马尔可夫链，参见【20，定理3.4.2】和【38，定理3.33】。连续金融市场无套利154.2。如何修改MLMM。固定有限时间范围0<T<∞ 然后让(Ohm, F、 F，P）具有右连续和完全过滤的完全过滤概率空间F=（Ft）t∈[0，T]，支持求解过程ξ=（ξT）T∈[0，T]到鞅问题（A，L，j，T）。此外，假设鞅问题（A，L，j，T）满足唯一性。设W=（Wt）t∈[0，T]是一维布朗运动，使得σ（Wt，T∈ [0，T]）和σ（ξT，T∈ [0，T]）是独立的。我们认为W和ξ是影响市场的两个独立风险源。当ξ为Feller–Markov链时，满足独立性假设，见附录引理a.1。在下面的定理中，我们发现了MLMM的一个新特性。也就是说，我们证明了LMM保持了风险源及其法律的独立性。由于M（L）MM等温线用于定价，因此这一观察结果对于分析和数值计算非常重要。我们在第7节中证明了以下定理。定理4.3。设c=（ct）t∈[0，T]是一个实值逐步可测量的过程，因此a.s.ZTCDS<∞和Definez，EZ·csdWs, B、W-Z·csds。进一步假设Z是鞅，鞅问题（a，L，j，T）满足唯一性。通过Radon–Nikodym derivativedQdP，ZT确定Q。

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2022-6-10 19:59:03

那么，σ（Bt，t∈ [0，T]）和σ（ξT，T∈ [0，T]）是Q-独立的，B是Q-布朗运动，ξ是上鞅问题（a，L，j，T）的解过程(Ohm, F、 F，Q）。让我们概括一下定理4.3的一个重要结果：如果MLMM存在，那么它的密度与定理4.3中的Z类型相同，因此，风险源的联合法则保持不变，因为MLMM的等效变化。特别是，在第2.2节的设置中，这意味着ξ在MLMM更改后保持马尔可夫链。我们进一步询问是否有可能修改MLMM，以使ξ定律能够以可处理的方式受到影响。下一个定理给出了这个问题的答案。Aproof可在第8节中找到。定理4.4。让f∈ A是严格正的，假设过程z，f（ξ）f（j）exp-Z·Lf（ξ，s）f（ξs）ds（4.3）是鞅。刚毛*,g级∈ A：f g∈ A.,安德尔*g、L（fg）- gLff。假设每g∈ A.*和n∈ N存在一个常数C=C（g，N）>0，这样a.s.supt∈[0，T]g（ξt∧ρn（ξ））- g（ξ）-Zt公司∧ρn（ξ）L*g（ξ，s）ds≤ C、通过Radon–Nikodym derivativedQdP，ZT确定概率度量Q。那么，σ（ξt，t∈[0，T]）和σ（Wt，T∈ [0，T]）是Q-i独立的，W是Q-Brownian运动，ξ是鞅问题（a）的解过程*, L*, j、 T）打开(Ohm, F、 F，Q）。备注4.5。（i）对于所有ω∈ D（R+，J）和g∈ A.*ZT公司Lf（ω，s）f（ω（s））+L*g（ω，s）ds<∞,因为f和g是连续的，集合{ω（t）：t∈ [0，T]} J相对紧凑，见[20，问题16，第152页]。因此，Z和鞅问题（A*, L*, j、 T）定义明确。（ii）根据[20，推论2.3.3]，过程（4.3）始终是由鞅问题定义的局部鞅。16 D.CRIENSWe解释了定理4.4的一个应用：假设MLMM存在。

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kedemingshi

2022-6-10 19:59:07

然后，利用定理4.4中描述的测度变化，可以进一步改变MLMM，从而使ξ定律受到定理中描述的影响，同时保留价格过程的局部鞅性质。我们强调，通过这种方式，MLMM诱导了一个ELMM家族，该家族通常是有限的。在N<∞ 下面的命题解释了如何改变伐木工人的Q矩阵-马尔可夫链。提案4.6。假设J={1，…，N}，N<∞ andLf（ω，s）=Qf（ω（s）），ω∈ D（R+，J），s∈ R+，对于Q矩阵Q=（qij）i，j∈Jand f公司∈ A，RN。让f∈ (0, ∞)与非A*, L*如定理4.4所示。然后，A*= RNandL公司*f（ω，s）=Q*f（ω（s）），f∈ RN，ω∈ D（R+，J），s∈ R+，表示Q*= （q）*ij）i，j∈Jwithq公司*ij，（qijf（j）f（i），i 6=j，-Pk6=iqikf（k）f（i），i=j。证明：见[45，命题5.1]。下面的定理4.9给出了（4.3）鞅性质的一个有用判据。我们认为这是[5，27，54]结果的延伸。在下面的X=（Xt）t中≥0表示D（R+，J）上的协调过程。定义4.7。刚毛 A称为鞅问题（A，L，∞)如果适用于所有j∈ J D（R+，J）上的Borel概率测度u是马丁格尔问题（a，L，J，∞) 当且仅当对于所有f∈eA和n∈ N过程f（X·∧ρn）- f（X）-Z·∧ρnLf（X，s）ds是一个u-鞅，u（X=j）=1。示例4.8（伐木工人的确定集–马尔可夫链）。设J、A和L如例4.2所示。注意G，（f，Qf）：f∈ A. C（J）×C（J）。由于带有一致度量的C（J）是一个可分度量空间，所以当带有taxicap一致度量时，G是一个可分度量空间。

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2022-6-10 19:59:10

因此，我们找到了一个可数集a a每个（f，g）的值∈ G存在序列（fn）n∈NeA带KFN- fk公司∞+ kQfn公司- gk公司∞→ 0作为n→ ∞.根据[20，命题4.3.1]，eA是鞅问题（a，L，∞).可在第8节中找到以下定理的证明。定理4.9。设f，A*和L*如定理4.4所示。此外，假设鞅问题（a）存在一个可数判定集*, L*, ∞) 然后呢*g（ξ，t）=Kg（ξt），f∈ A.*, t型∈ R+，其中K映射A*进入Borel函数空间J→ R、最后，假设鞅问题（A*, L*, ∞) 是适定的，且（ρn（ξ））n∈Nis局部鞅的局部化序列（4.3），见备注4.5。然后，过程（4.3）是鞅。粗略地说，这个定理表明，在马尔可夫条件下，只要鞅问题（A*, L*, ∞) 姿势良好。备注4.10。鞅问题（a）解的存在性*, L*, j、 T）通常是Z的鞅性质所必需的，见定理4.4.5。定理2.1和2.3的证明下一节分为三部分。在第一部分中，我们证明了It^o过程非爆炸的Lyapunov型条件，在第二部分中，我们证明了It^o过程的不存在条件，在第三部分中，我们推导了定理2.1和2.3。连续金融市场无套利175.1。非爆炸标准。在本节中，我们将自己置于第2.1节设置的一个版本中。设I=（l，r）如第2.1节所示，且(Ohm, F）是支持三个实值过程S=（St）t的可测空间∈[0，T]，b=（bt）T∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]。前向n∈ N我们定义了一个概率测度Qn和一个右连续Qn完全滤波fn=（Fnt）t∈[0，T]打开(Ohm, F）使S、b和σFn逐渐可测量。

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