我们对续期保费（或罚款）Y【i+1】进行回归- Z[i]相反。对于基集X[i]，我们考虑两组变量：（i）与利率相关的6个变量，F2i，Sw2y2i，Sw10y2i，Sw（20-i） y2i（co终端交换率），i[Sw2y2i≤ Sw10y2i]和I[0≤ F2i≤ 0.03 ]); 和（ii）ti处的4个挥发参数a、b、c和d。利用这些项，我们以M的递增顺序构造了4个基集：oM=11：两组的线性项。oM=28：利率组的线性和二次项。oM=32：利率组的线性和二次项以及线性波动率项M=66：两组中所有变量的线性和二次项。在表6中，我们给出了定价结果。与前面的示例类似，LOOLSM价格更接近LSM-2价格，这表明LOOLSM方法可以有效地消除前瞻性偏差。前瞻性偏差，即LSM和LOOLSM价格之间的差异，通常我们可以分别回归Y[i+1]和Z[i]（Piterbarg 2003）。所有基集均包含1个截距。Woo、Liu和Choi：保留一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法表6可取消异国情调掉期的结果（案例4）。价格是100的名义价值。价格是N=10000条路径下nmc=200个模拟结果的平均值。标准偏差为常数0.22。基础掉期的价格为-4.19 ± 0.20. 所有值均四舍五入到小数点后两位。LSM LSM-2 LOOLSM LSM- LOOLSMM=11 9.09 9.04 9.06 0.04±0.01M=28 9.45 9.38 9.38 0.07±0.02M=32 9.48 9.39 9.39 0.09±0.02M=66 9.53 9.40 9.36 0.18±0.03表7在N=10000条路径（LSM-2的2N条路径）和M=65个基函数的情况下，可取消的异国情调掉期定价的平均计算时间（以秒为单位）。

对于较小的基集（M=11、28和32），回归和定价时间与M成比例较小，而路径生成时间不变。LSM LSM-2 LOOLSMPath Generation65.19 130.38 65.19回归和定价0.35 0.64 0.42总计65.54 131.02 65.60随着基数M的增加而成比例增加。特别是，在M=28后，LOOLSM（和LSM-2）价格不再上涨，而LSM价格由于前瞻性偏差而持续上涨。因此，在LOOLSMalgorithm下使用高阶基函数是安全的。在表7中，我们比较了三种方法的计算时间。我们分别测量生成路径的时间，并进行回归和估值。请注意，由于随机LIBOR市场实施的复杂性，路径生成占据了总定价时间的大部分。由于LSM-2需要另一组模拟路径，因此生成路径所需的时间是muchas的两倍。关于回归和估值的时间，从LSM到LOOLSM的增量是微乎其微的，如§2.2所示，但LSM-2比LOOLSM需要更长的时间，因为我们必须在两个模拟集上评估回归。总的来说，与LSM-2方法相比，OLOLSM方法的计算增益是显著的，尽管它们在消除前瞻性偏差方面实现了相同的目标。5、将LOOLSM扩展到其他回归估计器许多研究都旨在使用高级回归方法改进LSM方法，如岭回归（Tompaidis和Yang 2014），最小绝对收缩和选择算子（LASSO）（Tompaidis和Yang 2014，Chen et al.2019），加权最小二乘回归（Fabozziet al.2017，Ib'anez和Velasco 2018），和非参数核回归（Belomestny 2011，Ludkovski 2018）。

LOOLSM方法可以灵活地扩展到LSM方法的这些替代方法，因为它们本质上是通过hat矩阵的线性投影。只要h[i]可用，Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法原始回归的修正值以相同的方式从（8）中获得，因此不需要双遍方法。下面，我们将讨论他们的帽子矩阵。岭回归和LASSO分别是土地L正则化的线性回归（Hastie et al.2009，§3.4）。这些方法在小模拟路径（Tompaidis和Yang 2014）中优于LSM方法，并提供了风险价值的稳定估计（Chen等人，2019年）。岭回归的hat矩阵isH[i]=X（X>X+λIM）-1X>，其中λ是正则化强度。从它的对角线，我们可以看到正则化对于前瞻性偏差的含义。有效自由度，定义为杠杆的总和（见Hastie et al.（2009，（3.50）），小于（7）中的OLS回归：NXn=1h[i]n=MXj=1djdj+λ<M，其中dj是X[i]的第j个奇异值。因此，在第3节之后，我们预计前瞻性偏差会随着λ的增加而减小。然而，仅仅正则化并不能完全消除前瞻性偏差，我们还需要一种额外的方法，如LOOLSM方法。LASSO的帽子矩阵在分析上是不可用的，更不用说该方法不是精确的线性投影。然而，考虑到从收缩率中选择的回归系数，它是一个线性投影。因此，可以相应地获得hat矩阵的近似值。

有效的自由度与在近似条件下选择的回归数相等，这也表明Lasso在一定程度上减少了前瞻性偏差。在加权线性回归中，hat矩阵isH[i]=X（X>W X）-1X>W，其中W是N×N对角权重矩阵。Fabozzi et al.（2017）采用这种方法处理异方差，Ib'a'nez和Velasco（2018）对运动边界附近的路径赋予更高的权重。尽管计算量很大，但非参数核回归是OLSregression的替代方法（Belomestny 2011，Ludkovski 2018）。对于核函数K（x，y），hat矩阵是样本点之间的标准化核值。H[i]isH[i]n的（n，n）元素，n=K（X[i+1]n，X[i+1]n）PNk=1K（X[i+1]n，X[i+1]K）。（8）中调整后的预测值只是自排除核估计值：C[i]n，loo=Pk6=nK（X[i+1]n，X[i+1]k）Y[i+1]kPk6=nK（X[i]n，X[i]k）。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法在核回归中，LOOLSM算法不仅节省了样本外路径生成，而且还节省了昂贵的核计算。结论本研究表明，使用LOOCV无需额外模拟，就可以消除LSM方法（Longstaff和Schwartz 2001）中不必要的前瞻性偏差。通过使用LOOLSM方法测量look aheadbasia，我们还发现偏差大小与回归器与模拟路径的比率成渐近比例。通过数值例子，我们证明了在不进行额外计算的情况下，oolsm方法有效地防止了多资产美式期权可能的高估。附录A：定理1的证明我们首先介绍两个技术引理1和2，然后在第3节中证明主要定理1。为了便于记法，在上下文清楚的情况下，我们省略了Z[i]n、C[i]n、h[i]n和B[i]n中的练习时间上标[i]。

然而，我们在Y[i]和Y[i+1]中保留上标以避免歧义。引理1。设I[·]为指示函数。那么，B[i]n≤ 我|Cn，lsm- 锌|≤ hn | Y[i+1]n- 锌||Y[i+1]n- Zn |+B[i+1]n.引理1的证明。我们首先制定了前瞻性偏差改变执行决策的条件。从（10），B[i]n=Y[i]n- Y[i]n，loo=（i[Zn≤ Cn，lsm]- I[锌]≤ Cn，loo），（Y[i+1]n- 锌）+I[锌≤ Cn，loo]B[i+1]n≤ （I【D+n】- I【D】-n] ）（Y[i+1]n- Zn）+B[i+1]n。其中D+n<==> {C[i]n，loo<Zn≤ C[i]n，lsm}和D-n<==> {C[i]n，lsm<Zn≤ C[i]n，loo}。这里，D+n（D-n） 是指由于前瞻性偏差，LSM算法错误地继续（练习），而LOOLSM算法错误地继续（练习）的情况，以及术语（Y[i+1]n- Zn），是由反向行使决策引起的价格变化。从（8）中，我们得到如下等价：D+n<==> 0≤ Cn，lsm- Zn<Cn，lsm- Cn，loo<==> 0≤ Cn，lsm- Zn<hn1- hn（Y[i+1]n- Cn，lsm）<==> 0≤ Cn，lsm- Zn<hn（Y[i+1]n- 锌）；类似地，D-n<==> hn（Y[i+1]n- 锌）≤ Cn，lsm- 锌<0。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法，因为D+和D-在相互排斥的事件中，我们得到≤ I[D+n∪ D-n] ·| Y[i+1]n- Zn |+B[i+1]n≤ 我|Cn，lsm- 锌|≤ hn | Y[i+1]n- 锌|· |Y[i+1]n- Zn |+B[i+1]n。引理2。在假设1和2下，以下假设成立。（i） Y[i+1]n- 锌~ Op（1）和Eω（Y[i+1]n- 锌）是有限的。（二）hn~ Op（M/N）。（iii）中国，lsm- 锌|-1.~ Op（1）。引理2的证明。（i） 因为对于某些i+1，Y[i+1]n=Z[τ]≤ τ ≤ 一、 我们获得Y[i+1]n- Z【i】n≤IXj=i | Z[j]n |！≤ （一）- i+1）IXj=iZ[j]n对于任何N。然后，根据假设1，对于任何给定的ε>0，Pω，Z[i]（s）在L.（ii）中hn>εMN≤εNMEω[hn]<ε，使用马尔可夫不等式，En[hn]=M/N。（iii）有足够的证据证明，对于任何给定的ε>0，存在c>0，使得pω[| Cn，lsm- 对于任何足够大的N，Zn |<c]<ε。根据假设2，我们可以选择c sothatPω[| Cn，M- Zn |<2c]<ε，来自Cl'Element等人。

（2002，引理3.2），这也是基于假设2，对于一个大的N:Pω[|Cn，lsm，^C[i]lsm（s）几乎肯定收敛到CM（s）- Cn，M |≥ c] <ε。这里，c的选择不取决于M，因为假设2一致地适用于M。那么，Pω[| Cn，lsm- 锌|<c]≤ Pω[{| Cn，lsm- Zn |<c}∩ {| Cn，lsm- Cn，M |<c}）+Pω[| Cn，lsm- Cn，M |≥ c] <Pω[| Cn，M- Zn |<2c）+Pω[| Cn，lsm- Cn，M |≥ c] =ε+ε=ε。定理1。在假设1和2下，以下假设成立。（i） B【i】n~ Op（M/N）。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法（ii）对于任何给定的ε>0，存在rε>0，使得预期的前瞻偏差满足ω[B]≤ ε+rεM/N.（iii）^B在概率上收敛于零。此处，概率渐近表示法定义在所有可能的模拟运行的概率空间中，大小为N。由于MonteCarlo路径是独立绘制的，因此（i）中路径N的下标是虚拟索引。定理1的证明。（i） 我们归纳地证明了这个定理。首先，B[I]n=0，我们假设B[I+1]n~ i<i的Op（M/N）。我们定义了En、FN和GnasEn<==> {hn>kM/N}∪ {| Cn，lsm- Zn |<c}，Fn<==> {| Y[i+1]n- Zn |>l}，Gn<==> {B[i+1]n>sM/n}。对于ε>0，我们选择c、k、l和s，使得Pω[En∪ Fn公司∪ 引理2和诱导假设下的Gn]<ε。如果我∪ Fn公司∪ Gn]=0，然后b[i]n≤ 我|Cn，lsm- 锌|≤ hn | Y[i+1]n- 锌||Y[i+1]n- Zn |+B[i+1]n≤ 我c≤kMN | Y[i+1]n- 锌||Y[i+1]n- Zn |+B[i+1]n≤ （klc+s）MNby引理1和Markov不等式。最后，PωBn>（klc+s）MN≤ Eω[I[En∪ Fn公司∪ Gn]]<ε。因此，B[i]n~ Op（M/N）。（ii）设置ε>0。从引理2中，我们可以选择c和k来确保pω[En]Eω[（Y[i+1]n- Zn）]<ε（I- 1） 对于任何足够大的N。

那么，Eω[B[i]n- B【i+1】n】≤ Eω[|中国，lsm- 锌|≤ hn | Y[i+1]n- Zn |]·| Y[i+1]n- 锌|（引理1）≤ EωI【En】·| Y【I+1】n- 锌|+ EωI[Ecn∩ （| C【i】n，lsm- 锌|≤ hn | Y[i+1]n- Zn |）]·| Y[i+1]n- 锌|≤ EωI【En】·| Y【I+1】n- 锌|+ Eω我c≤kMN | Y[i+1]n- 锌|· |Y[i+1]n- 锌|≤ EωI【En】·| Y【I+1】n- 锌|+kMcNEω（Y[i+1]n- 锌）（根据马尔可夫不等式）≤Pω【En】Eω（Y[i+1]n- 锌）1/2+kMcNEω（Y[i+1]n- 锌）（通过Cauchy-Schwarz不等式）<εI- 1+MNr[i]ε。（对于一些r[i]ε，通过引理2（i））Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法最后，我们可以聚合增量偏差的逐步上界，以获得总体偏差的上界：Eω[^B]=Eω[En[B[1]n]=Eω[B[1]n]=i-1Xi=1Eω[B[i]n- B[i+1]n]<ε+MNI-1Xi=1r【i】ε。这就完成了证明。（iii）对于任何给定的δ和ε，我们可以选择ε和ε，使得Eω[B[1]n]≤ ε+rεM/N<Δε，对于任何M/N<ε的情况。那么，Pω[^B>δ]≤δEω【^B】=δEω【B【1】n】<ε。因此，^B~ op（1）。确认崔杰育的研究得到了Bridge Trust资产管理研究基金（2019）的支持。参考Sandersen L，Broadie M（2004）《多维美国期权定价的原始-对偶模拟算法》。管理科学50（9）：1222–1234，URLhttp://dx.doi.org/10.1287/mnsc.1040.0258.BacinelloAR，Bi ffes E，Millossovich P（2010年），基于回归的算法，适用于有货币担保的人寿保险合同。定量金融10（9）：1077–1090，URLhttp://dx.doi.org/10.1080/14697680902960242.BelomestnyD（2011）《百慕大期权的非参数回归定价：低估计的最优收敛速度》。金融与随机15（4）：655–683，URLhttp://dx.doi.org/10.1007/s00780-010-0132-x.BeveridgeC，Joshi M，Tang R（2013）《实用政策迭代：利用蒙特卡罗模拟获得百慕大外来衍生品快速紧界的通用方法》。

《经济动力学与控制杂志》37（7）：1342–1361，URLhttp://dx.doi.org/10.1016/j.jedc.2013.03.004.BoylePP（1988）具有两个状态变量的期权定价格框架。《金融与定量分析杂志》23（1）：1–12，网址http://dx.doi.org/10.2307/2331019.BoylePP，Evnine J，Gibbs（1989）多元未定权益的数值评估。财务研究回顾2（2）：241-250。Brace A、Gatarek D、Musiela M（1997）《利率动态的市场模型》。数学金融7（2）：127–155，URLhttp://dx.doi.org/10.1111/1467-9965.00028.BrennanMJ，Schwartz ES（1977）《美国看跌期权的估值》。《金融杂志》32（2）：449–462，URLhttp://dx.doi.org/10.2307/2326779.BroadieM，Glasserman P（1997）使用模拟对美式证券进行定价。《经济动力学与控制杂志》21（8-9）：1323–1352，网址http://dx.doi.org/10.1016/S0165-1889(97)00029-8.Woo、Liu和Choi：遗漏一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法Broadie M，Glasserman P（2004）高维美式期权定价的随机网格方法。计算金融杂志7（4）：35–72，网址http://dx.doi.org/10.21314/JCF.2004.117.CarriereJF（1996）使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行评估。保险：数学与经济学19（1）：19–30，URLhttp://dx.doi.org/10.1016/S0167-6687(96)00004-2.Chen J，Sit T，Wong HY（2019）基于模拟的非线性投资组合风险价值。定量财务19（10）：1639–1658，URLhttp://dx.doi.org/10.1080/14697688.2019.1598568.ChoiJ（2018）《所有Black-Scholes-Merton模型之和：利差、篮子和安达西期权的有效定价方法》。

《期货市场杂志》38（6）：627–644，URLhttp://dx.doi.org/10.1002/fut.21909.Cl\'Element E，Lamberton D，Protter P（2002）《美国期权定价的最小二乘回归方法分析》。金融与随机6（4）：449–471，URLhttp://dx.doi.org/10.1007/s007800200071.CoxJC，Ross SA，Rubinstein M（1979）《期权定价：简化方法》。《金融经济学杂志》7（3）：229–263，网址http://dx.doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1.Fabozzi FJ，Paletta T，Tunaru R（2017）基于异方差的改进最小二乘蒙特卡罗估值方法。《欧洲运筹学杂志》263（2）：698–706，URLhttp://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2017.05.048.FengL，Lin X（2013）《列维过程模型中百慕大期权的定价》。暹罗金融数学杂志4（1）：474–493，网址http://dx.doi.org/10.1137/120881063.FriesCP（2005）《早期行使期权蒙特卡罗定价中的预见偏差和次优修正：分类、计算和删除》。可从SSRN URL获取http://christian-fries.de/finmath/foresightbias/.FriesCP（2008）《早期行使期权蒙特卡罗定价中的预见偏差和次优修正》。Bonilla LL，Moscoso M，Platero G，Vega JM，eds.，工业数学进展atECMI 2006，645–649，2008年版，URLhttp://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-71992-2_107.FuMC、Laprise SB、Madan DB、Su Y、Wu R（2001）《美式期权定价：蒙特卡罗模拟方法的比较》。计算金融杂志4（3）：39–88，网址http://dx.doi.org/10.21314/JCF.2001.066.GlassermanP（2003）第8章。美式期权定价。《金融工程中的蒙特卡罗方法》，421–478（纽约），2003年版。Glasserman P，Yu B（2004）《美国期权定价中的路径数与基函数数》。

应用概率年鉴14（4）：2090–2119，URLhttp://dx.doi.org/10.1214/105051604000000846.Woo、Liu和Choi：《漏掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法》Hastie T，Tibshirani R，Friedman J（2009）《统计学习的要素：数据挖掘、推理和预测》，第二版（纽约），第二版，URLhttps://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/。Haugh MB，Kogan L（2004）《美式期权定价：对偶方法》。运筹学52（2）：258–270，URLhttp://dx.doi.org/10.1287/opre.1030.0070.HeH（1990）从离散到连续时间未定权益价格的收敛性。金融研究综述3（4）：523–546。Huang YT，Kwok YK（2016）《随机控制模型基于回归的蒙特卡罗方法：终身保证的变量线性》。定量金融16（6）：905–928，URLhttp://dx.doi.org/10.1080/14697688.2015.1088962.HunterCJ，J¨ackel P，Joshi MS（2001）基于远期利率的伦敦银行同业拆借利率市场模型中的漂移近似10。Ib'anez a，Velasco C（2018）《百慕大期权模拟定价的最佳方法》。MathematicalFinance 28（4）：1143–1180，URLhttp://dx.doi.org/10.1111/mafi.12158.JamshidianF（1997）《伦敦银行同业拆借利率和掉期市场模型和措施》。金融与随机1（4）：293–330，URLhttp://dx.doi.org/10.1007/s007800050026.JoshiM，Tang R（2014）可赎回衍生工具蒙特卡罗定价的有效子模拟自由上界以及对现有方法的各种改进。《经济动力与控制杂志》40:25–45，网址http://dx.doi.org/10.1016/j.jedc.2013.12.001.JoshiMS，Rebonato R（2003年），《替代的离散随机波动LIBOR市场模型：动机、定义和实施》。

定量金融3（6）：458–469，URLhttp://dx.doi.org/10.1088/1469-7688/3/6/305.KolodkoA，Schoenmakers J（2006）最优百慕大停止时间的迭代构造。财务与随机10（1）：27–49，URLhttp://dx.doi.org/10.1007/s00780-005-0168-5.KrekelM，de Kock J，Korn R，Man TK（2004）《一揽子期权定价方法分析》。WilmottMagazine 2004（7）：82–89。L'etourneau P，Stentoft L（2014）通过施加结构重新定义最小二乘蒙特卡罗方法。量化金融14（3）：495–507，URLhttp://dx.doi.org/10.1080/14697688.2013.787543.LongstaFFF FA，Schwartz ES（2001）《通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法》。金融研究回顾14（1）：113–147，网址http://dx.doi.org/10.1093/rfs/14.1.113.LudkovskiM（2018）《百慕大期权定价的克里格元模型和实验设计》。计算金融杂志22（1）：37–77，URLhttp://dx.doi.org/10.21314/JCF.2018.347.MohammadiM（2016）关于线性回归模型中hat矩阵的对角线和反对角线元素的界限。Revstat–统计杂志14（1）：75–87。Woo、Liu和Choi：遗漏一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法Nadarajah S、Margot F、Secomandi N（2017）《最小二乘蒙特卡罗方法与能源实物期权应用的比较》。《欧洲运筹学杂志》256（1）：196–204，URLhttp://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2016.06.020.PiterbargV（2003）《远期伦敦银行同业拆借利率模型中可赎回伦敦银行同业拆借利率定价和套期保值从业者指南》。SSRN电子期刊URLhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.427084.RubinsteinM（1991）在彩虹之上的某处。

风险1991（11）：63–66。Stentoft L（2004）《美式期权估值的最小二乘蒙特卡罗方法的收敛性》。管理科学50（9）：1193–1203，URLhttp://dx.doi.org/10.1287/mnsc.1030.0155.StentoftL（2014）《价值函数近似或停止时间近似：使用模拟和回归对美式期权定价的两种最新数值方法进行比较》。《计算金融杂志》18（1）：65–120，网址http://dx.doi.org/10.21314/JCF.2014.281.TilleyJA（1993）在路径模拟模型中评估美式期权。《实时社会学报》45:499–550。Tompaidis S，Yang C（2014）《蒙特卡罗模拟美式期权定价：普通最小二乘法的替代方法》。计算金融杂志18（1）：121–143，URLhttp://dx.doi.org/10.21314/JCF.2014.279.TsitsiklisJN，Van Roy B（2001）《复杂美式期权定价的回归方法》。IEEETransactions on Neural Networks 12（4）：694–703，URLhttp://dx.doi.org/10.1109/72.935083.ZangerDZ（2018）《独立样本数据美式期权定价的最小二乘蒙特卡罗算法的收敛性》。数学金融28（1）：447–479，URLhttp://dx.doi.org/10.1111/mafi.12125.