该数据包含一组5567个伦敦家庭的数据，这些家庭的消费量是在2011年2月至2014年2月期间每半小时测量一次的。对于动态使用时间（dToU）试验，将人群分为两组。EDF Energy在dToU塔里夫登记了一组约1117户家庭，其余4500户家庭不受这种动态塔里夫的影响。2013年（1月1日至12月31日）实施了dToU。通过家庭显示器或向客户手机发送短信，提前一天向住户发送Tari ff。价格有三个水平：高（67.20便士/千瓦时）、正常（11.76便士/千瓦时）和低（3.99便士/千瓦时）。标准塔里费由14.228 p/kWh的塔里费制成。Tindemans等人（2014）[51，第3章]对2013年进行的dToU试验进行了准确描述。应对供应事件（发电短缺）的事件总数（高事件和低事件）为93起，应对配电网事件的事件总数为21起。在我们的研究中，我们只对高价活动感兴趣。有69起此类高价格事件（45起为供应原因，24起为网络原因）。活动的持续时间可以是3、6、12或24小时。低碳伦敦需求侧响应试验旨在尽可能接近随机试验，同时考虑到与在给定英国公用事业公司（EDF Energy）投资组合中注册大量客户相关的操作限制。这些活动是在试验期间随机安排的，目标是当年的最高需求高峰。2012-2013年低碳伦敦需求侧响应项目（DSR）试验收集的数据可在伦敦数据存储网站免费下载(https://data.london.gov.uk)在“伦敦家庭智能电表能耗数据”一节中。

需求响应量在一系列报告中进行了广泛描述，其中Tindemans等人（2014）和Schofield（2014）[51，46]的报告与我们的研究最为相关。在这个数据集中，我们消除了所有数据不完整或显示出异常值的消费者。结果样本包括对照组的880名消费者和dToU组的250名消费者。如第3.2节所述，最佳合同是一个固定期限加上与消耗成比例的期限之和。因此，最优合同与LCL定价试验合同的形式相同：注册的固定保费加上与消费成比例的期限。这为校准最优合同提供了合理性，而无需对LCL pricingtrial的数据进行响应性控制。因此，我们校准模型的策略是使用Proposition 3.3来回答以下问题：消费者行为模型u的参数值应该是什么，这将导致LCL定价试验中观察到的消费减少？此外，由于我们的模型依赖于对日常消费模式的简化假设，我们将消费的初始条件固定为零（x=0），使x直接成为观察到的消费减少。价格事件的持续时间T。在LCL定价试验中，共有69场高价格活动，共计778个半小时。这些活动可能持续3、6、12或24小时。只有一个例外事件持续了整整一天（24小时）。除去此异常值，我们发现价格事件的平均持续时间为5.44小时。我们设定为5.5小时。能量值参数κ和θ。我们在命题3.2中看到，κ应低于θ，以证明平均消耗量减少的合理性。

因此，我们将消费者的边际电价设置为κ=11.76便士/千瓦时，这是dToU集团注册的消费者在正常情况下支付的价格，我们将发电边际成本设置为θ=67.2便士/千瓦时。这种设置显然是指当生产商有强烈兴趣避免成本发电时的高峰需求情况。名义波动率σ。正如导言中所指出的，在dToU tari fff中登记的消费者减少的观察中，存在着显著的噪音。对于耗电量为1 kW的平均耗电量减少40 W，对响应的估计范围在-200 W和+200 W之间。LCL定价试验报告中未报告对减少的标准偏差的直接估计。因此，我们利用以下事实对对照组在价格事件期间的消费波动性进行了估计：给定我们的模型，VarhTZTXtdti=Tσ，其中方差是在无效应分布P（0,1）下计算的。我们估计的平均波动率σ=85 W.h.生产者的风险规避p。让我们表示给定小时的现货电价和前一天的正向报价，其中E-pS]≈ e-p（E[秒]-pσS），通过将确定性等价于远期价格，我们得到风险-溢价RP：=F- E【S】=pσS。金融经济学文献中已对风险——优质电力公用事业公司准备支付以避免日前现货价格风险进行了广泛的分析和估计。Bessembinder和Lemon（2002）[5]接着是Longstaff和Wang[36]，Benth等人[4]和Viehmann（2011）[55]估计了每小时交货的风险溢价与该小时现货价格差异之间的关系。他们在风险溢价的符号上找到了一致且收敛的估计（高峰时间为负，高峰时间为正）。

如果关注一天中的最高峰时间（通常为晚上7点或8点），前作者发现，对于Viehmann（2011）（表5，小时20），风险溢价与现货价格方差的依赖性为0.31，这使得p=0.62；Benth等人（2008）估计p不低于0.421（第14页）；Longsta off和Wang（2004）发现风险的依赖性——0.29的现货价格方差溢价（第1895页，表六，第20小时），这使得p=0.58。Bessembinder和Lemon（2002）估计的风险溢价不是针对日前现货价格风险，而是针对月度价格，这在我们的上下文中不太相关。因此，我们将生产者的风险规避参数p=0.6每磅作为名义值。消费者风险厌恶r。关于消费者风险厌恶参数的相关估计，有大量且不一定是一致同意的经济文献，尤其是在使用CARA效用函数时（见Gollier（2004）专论[19]）。然而，在LCL定价试验的背景下，消费者面临着电费的微小变化，而电费本身只是其费用的一小部分，这使得财富决策独立性的近似值是可持续的。此外，还可以提供在动态ToU中接受toenrol的人群的风险厌恶参数r的估计值。事实上，在试验开始时，登记的消费者获得了100英镑的报酬，如果他们完成了所有试验，则会多支付50英镑。此外，我们估计了消费者采用动态电价所承担的财务风险。我们计算了控制组每个消费者的电费，其中包括两种可能的电费，即标准电费和动态电费。我们发现，消费者面临着一种风险，在5%的水平上，统计上显著的标准偏差为23%。

利用风险溢价（150%）和风险水平（23）之间的关系，给出指数效用函数已知标准偏差风险的确定等价性，我们估计绝对风险规避率r=0.56每磅，这非常接近生产者的风险规避参数。消耗变化成本h。该参数与生产者发电能力的灵活性有关。发电灵活性越高，消费诱导成本的差异越小。随着间歇性能源的发展，给定电力系统灵活性的量化引起了研究人员的注意。关于这一主题的回顾，我们参考Hirth（2015）[23]。h的值取决于整个电力系统，而不仅仅取决于单个发电厂的容量。挪威电力系统仅依赖水力发电，而电力系统基于风力发电和燃煤发电厂，两者的灵活性有所不同。然而，如果我们关注天然气发电厂提供灵活性的高峰期，我们可以利用发电厂提供的灵活性成本估算（见Kumar et al.（2012）[32]和Oxera（2003）[42]，表3.2 p.8和Van den Bergh and Delarue（2015）[54]，表四）。估计发现一致的数量级值为25至42 e/MW。h对于燃气发电厂，这通常是在一天的高峰期使用的技术。因此，我们选择h=40 e/MW的标称值。hto考虑一个不太灵活的系统，其中可能有灵活交换的空间。平均消费支出成本u。因为我们无法访问使用级别的数据，所以我们考虑单个平均使用情况。

为了确定u的估计值，我们将LCL实验解释为在不控制响应性或波动性的情况下实施我们的需求侧模型（见命题3.3）。Schofield et al.（2014）的结论提供了实现平均消耗减少40 W的估计值。根据命题3.3，平均消耗偏差的绝对值由下式得出：TEhZTXtdti公司=∧u|δ| T。回顾T=5.5，我们得到值u=9.3 10-利用参数u的该值，以ztbc（zt）dt=(R)∧∧∧δT=4.7便士给出的消费者成本为代价，获得40 W的减少。影响消费波动的成本λ。我们还记得，λ值越高，响应性的影响成本越低。由于我们无法在数据上校准该参数的可能值，因此我们观察波动率降低的总成本作为λ的函数，并将其与平均消费降低的总成本进行比较。图2（左）显示了波动率降低的总成本和平均消费降低的总成本的数值估计，作为λ的函数，所有其他参数固定在上述值上。对于λ的低值，相应的消费者福利成本太高，因此，产生的成本为零（无福利）。然后，随着λ的增加，消费者开始标记效果以提高响应能力。当λ变大时，波动率降低的总成本开始降低。我们注意到，在这种情况下，减少挥发性的成本比减少平均消耗的成本低一个数量级。因为我们对会发生什么的问题很感兴趣，如果消费者接受签署以其响应性为指标的合同，我们将λ的值作为参考值，该值对应于服务总成本的最大值。

这一选择对应于消费者在成本方面最糟糕的情况。如图2（右）所示，它并不对应最大波动率降低。我们发现λ=2.8 10-2.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.124.555.566.5700.10.20.30.40.50.60.70 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12404142434445464748495560657075808590图2：（左）平均消耗减少（左轴）和挥发减少（右轴）的总成本。价值单位：便士。（右）总波动率和平均功耗减少（单位：瓦特）。我们在下表1中总结了模型校准的参考案例。4.2响应性激励估计收益在我们研究实施响应性激励机制（如我们的模型所提出的机制）的潜在收益之前，我们在图3中显示了不同的能量和波动性价格hδp rσuλ（h）（p/kWh）（p/kWh）（p-1） （p-1） （W/h1/2）（kWh-1便士-1） （p-1kWh）5.5 4.0 10-4.-55.44 0.6 10-二十点五七一零-285 9.3 10-五十二点八一零-2表1：模型参数的标称值。第2节定义。无响应性激励的第二最佳能源价格与第一最佳能源价格以及能源边际成本有显著差异。对责任感的激励导致能源价格非恒定。它介于能源边际成本和无响应激励的第二最佳价格之间。此外，在价格事件开始时，价格会更高，以触发消费者的快速反应。

波动性价格遵循相同的价值递减模式。请注意，它与波动率的第一个最佳价格有很大不同，即πefb=hpr+p=2 10-3马力/千瓦。0 1 2 3 4 5 63035405065700 1 2 3 4 5 6-10123456图3：能源价格（左）和波动率（右）。表2提供了使用表1中总结的标称参数值和参数λ的变量对我们的模型进行校准时，对消费者的影响成本和对生产者的好处方面的结果。因为在具有响应性激励的次优方案中，支付率zsb（t）也取决于λ，因此平均节能成本从没有响应性激励的4.68便士提高到有响应性激励的5.97便士。这一增长的原因是平均消费减少量的增加。在没有响应性激励的情况下，根据模型校准得出的平均功耗为40瓦。减少波动性的动机导致平均减少45瓦特。这一平均值下降的增加解释了消费者所做工作的大部分增加。削减成本仅占平均消费削减成本的10%。消费者收入的增加几乎全部转化为生产者的利益。在实施响应性控制时，生产者可以将其确定性增加15%，并将消费波动率除以2。First–best表明，社会最优策略是减少波动，增加平均消费。

此外，在这种名义上的情况下，制作人所能希望达到的最佳效果是将其确定性增加25%。First–best Second–best Second–best With With Without Responsibility响应无响应性响应效率成本c5.97 5.97 4.68效率成本c0.40 0.59 0效率成本总成本6.37 6.56 4.68生产者利益6.76 6.21 5.40平均能耗降低52.15 45.17 40.00标准偏差降低46.49 39.61 85.06表2：成本（便士）、能耗和标准偏差（瓦特）。为了评估最后结果对模型校准的敏感性，图4（左和中）给出了响应性控制增益和波动率降低作为T和|δ|=θ函数的敏感性分析- κ. 图片中的红点代表名义上的情况。我们考虑了长达12小时的更短和更长的价格事件，并考虑了能量值差异较小的情况。我们观察到，存在能源价值差异和价格事件持续时间的阈值，在此阈值下，响应性激励不应带来任何好处。能源价值差异越小，价格事件的持续时间就越长，以确保响应性控制的显著效益。波动性的激励需要时间或巨大的能源价值差异来显示其效益。但另一方面，波动性的降低不太容易依赖于能源价值差异。即使是适度的差异也会导致价格事件标准持续时间内波动性的潜在降低。图4（右）强调了这一现象。我们将参数λ从不会触发任何影响的非常低的值更改为非常大的值，并计算生产者确定性当量的增加百分比和响应性激励引起的波动性降低百分比。

由此产生的图片可以通过以下方式解读：消费者的影响力增加40%，生产者的确定性增加15%，消费的波动性减少53%。此外，无论λ增加多少，消费者增加额\'s00001.711.711.711.713.473.473.473.475.235.235.235.236.996.996.996.996.998.758.758.7510.510.510.512.312.312.312.31414141415.815.815.817.517.517.517.519.319.319.319.321.121.121.121.122.822.822.822.824.624.626.326.326.328.128.129.829.829.831.631.633.435.130 40 50 60 7080246810124.084.084.084.088.158.158.158.158.1512.212.212.212.212.216.316.316.316.316.320.420.420.420.420.424.524.524.524.524.528.528.528.528.528.532.632.632.632.632.636.736.736.736.736.740.840.840.840.840.844.844.844.844.844.848.948.948.948.948.9535353535357.157.157.157.157.161.161.161.161.161.165.265.265.265.265.269.369.369.369.373.473.473.473.477.477.477.481.581.530 40 50 60 70 80246810120 10 20 30 40 50 60 70 8001020304050607080图4：（左）生产者从响应性控制和（Midlle）波动性降低中获得的收益，作为价格事件持续时间T和能量值差异δ绝对值的函数；所有百分比。

（右）当λ变化时，生产者从响应性激励和波动性降低中获得的收益，作为消费者总收益增加百分比的函数。总成本稳定在50%，生产商的收益增长也达到30%，而波动率降低限制在75%。0 2 4 6 8 10 12020406080101200 2 4 6 8 10 12-70-60-50-40-30-20-1000 2 4 6 8 10 120204060801001020140160180图5：作为价格事件持续时间T的函数，具有响应性控制（蓝色）和不具有响应性控制（红色）的最优支付的总（左）、固定部分（中）和确定性等效随机部分（右）。我们通过显示固定部分和随机部分之间向消费者支付的款项的分解（如提案3.2所定义）作为价格事件持续时间的函数，来总结这些数字说明。事实上，我们已经看到，在第二好的反应性激励中，能源价格和波动性并不是恒定不变的。因此，随机支付比没有响应性激励的支付增长更快。图5显示了总付款及其在固定部分和随机部分的确定性等价物之间的分解，作为有无响应控制的价格事件T持续时间的函数。在这两种情况下，总付款都是正值，并且在付款期限变长时会增加。正如预期的那样，使用ResponsivesControl的支付比不使用ResponsivesControl的支付更大，因为它需要消费者提供更多的服务。显著的结果来自于其确定性部分和随机部分之间契约的分解。生产者在实施响应性激励时比不实施响应性激励时向消费者收取更多费用，但提供了更高的确定性等价物。

消费者做出合理反应的开始是向他收取更多的费用，但如果结果合适，也会给他更多的奖励。消费者被要求提供服务的时间越长，这种差异应该越大。我们无法抗拒将这一结果作为一般原则的诱惑：如果一个人想从代理人那里获得长期的定期结果，那么他应该首先减少与同行相比的收入，然后在成功的情况下给他更多的报酬。4.3稳健性分析我们在本节中检查能量线性值假设的稳健性。为了简单起见，我们将重点放在消费者的能源边际价值下降的影响上，而将发电方面的能源边际价值（增加边际发电成本）放在一边。我们现在考虑函数f的以下规格：f（x）=κ1- e-kxk，（4.1），因此，对于较小的κ值，我们用f（x）恢复线性情况≈ κx。此外，我们针对单个平均使用量校准了我们的模型。但是，在单次使用的情况下，生产商可以确定对响应性的影响，从而接近最佳。当有更多的用法时，情况就不再如此了。因此，我们还评估了生产者在两种和四种使用情况下的平均付款和合同效益。在这种情况下，我们将表1提供的标称情况的参数u、λ和σ与两种使用情况下的权重向量（1/4 3/4）和四种使用情况下的权重向量（1/8 1/8 1/2 1/4）分开。权重向量的选择是以使用方法之间的对比差异为指导的。我们计算了命题A.4（i）中给出的具有响应激励和非线性能量值和发电量的次优合同的PDE的数值解。

PDE采用标准有限差分法和隐式-欧拉格式进行求解。我们将图6中的生产者确定性等效收益与向消费者发送能量价值函数（4.1）和命题3.2（i）线性近似的次优合同时获得的收益进行比较。在这两种情况下，合同的初始条件由命题A.1给出的消费者保留效用给出，f由关系式（4.1）给出。因此，图6仅测量了能量值函数线性近似产生的收益损失。不出所料，我们发现能量值函数的凹度越大，线性近似对生产者的利益损失就越大。仅在一次使用的情况下，f的凹度乘以五倍会导致四分之一的损失。更多用法的引入有两个影响：与线性化无关的总体效益下降和这种近似引起的影响。凹度的线性近似值可以减少生产者一半的收益。0 1 2 3 4 501234560 1 2 3 4 501234560 1 2 3 4 50123456图6：一（左）、二（中）和四（右）用法的生产者确定性等效效益，线性近似为f（蓝色连续线），非线性近似为f（红色虚线）。图7显示了在第二个最佳合约下观察到的总波动率，f的线性近似值与其真实值相比。我们观察到，convavity增加了非线性能量值函数和其线性近似之间的差距。

尽管如此，线性近似为f的次优合约仍然成功地在收缩前显著降低了波动性，即使有越来越多的智者。图8显示了在实施线性合同的情况下，生产者的确定性等效收益，其中响应性和无响应性是消费者能源价值函数凹度的函数。因此，该图给出的损失不是由合同的线性化引起的，而是由能源价值函数的线性化中缺乏响应性激励引起的。首先，考虑多个用途可以减少两个合同之间的差异，因为响应性激励会降低合同的绩效。其次，随着凹度的增加，利益的差异也会增加，这使得责任激励机制的实施更具可行性。0 1 2 3 4 5607080901001101200 1 2 3 4 5607080901001101200 1 2 3 4 560708090100110120图7：1（左）、2（中）和4（右）使用的挥发率（瓦特）与f（蓝点）的线性近似和非线性f（红星）的线性近似。黑色虚线表示无合同消费的波动性。0 1 2 3 4 5-2-101234560 1 2 3 4 5-2-101234560 1 2 3 4 5-2-10123456图8：具有一（左）、二（中）和四（右）种线性近似合同的生产者收益的确定性等价物，具有响应性激励（红色虚线）和无响应性激励（蓝色连续线）。4.4实际问题我们在前面的章节中已经看到，诱导消费者对价格信号的响应增加的最佳合同应该写在消费的二次变化上。

在离散时间0=t<t···tn=t时，二次变化hxit可近似为hxit≈n-1Xi=0Xti+1- Xti公司.关于能源消耗，家庭清楚地表明，他们减少了房屋供暖，这一事实与他们减少了能源消耗之间存在着联系。但是，不明显的是，domesicconsumers首先会理解为什么要向他们收取与数量成比例的价格，其次，他们白天采取的不同行动与此有何关系。消费者可能无法接受合同的真实形式。有必要进行简化，以提高其潜在的可接受性。人们可以想到的一种方法是对平均消费量的事件-每事件变化进行索引。一个事件k，生产者测量数量“Xk：=RTXtdt”，并向消费者收取与数量Vk：=| Xk成比例的成本- Xc |其中Xc是按照Chao（2011）[11]的精神进行的合同化目标消费。这个合同显然是次优的：我们失去了一个事实，即在价格事件开始时，响应的激励价格应该更高，我们失去了一个事实，即合同应该写在二次变化上，而不是写在L-范数上，等等。但是，我们有一种简单的方法可以向消费者提供兴奋剂，使其尽可能接近给定的消费模式。VKI的数量以kWh为单位，可以理解为以e/kWh为单位的价格收费，就像能源一样。5结论本文运用委托代理框架下的道德风险问题，对需求响应契约提出了新的观点，并说明了如何在提高消费者反应能力的同时，降低平均消费。在边际成本和能源价值不变的情况下，我们为最优合同提供了一个封闭形式的表达式。

我们表明，最优契约有一个回扣形式，能源价格和波动率与其边际成本值不同。我们还展示了最优合约如何允许系统承担更多风险。我们的模型与定价试验数据的校准预测，消费者降低其平均消费的成本将为生产者带来显著的好处，并显著提高消费者的响应能力，从而提高需求响应计划的效率。这些预测是可以检验的。如果我们的说法是正确的，那么根据消费者在价格事件中的消费规律对消费者付款进行索引，应该可以大大提高需求响应计划的效率。我们确实需要实验来验证这一预测。技术证明A。1命题证明2.2无合同消费者行为我们首先提供以下消费者预订效用的特征。提案A.1。假设f是凹的、非递减的和Lipschitz。然后，以下内容成立。（i） 消费者保留实用程序在X中是凹的，由R=-e-rE（0，X），其中相应的确定性当量E是HJB方程的粘度解tE+HvExx公司- 雷克斯+ f=0，在[0，T）×R上，E（T，x）=0，x∈ R、 （A.1）生长受| E（t，x）|控制≤ C（T- t） | x |，对于某些常数C.（ii），假设PDE（A.1）有一个C1,2溶液，其增长由| E（t，x）|控制≤ C（T-t） | x |，对于某些常数C；然后，通过反馈控制S=0和bj=1确定消费者的最佳效果∧λj（Exx- 雷克斯）-, j=1，d、 证明。（i） 由于f在增加，消费者没有理由对消费偏差的漂移进行补偿，因为这一昂贵的补偿不会得到补偿。然而，由于消费者的风险厌恶，这一论点不适用于对波动性的影响。

当消费者具有参数r的恒定风险厌恶效用时，她的保留效用降低toR：=supP（0，β）∈PEP（0，β）h- e-rRT（f（Xt）-c（βt））dti。（A.2）初始数据中的凹度Xis是f的凹度和c的凸度的直接结果。根据标准随机控制理论，可以得出R=R（0，X），其中函数R是保留效用的动态版本，最终值R（T，X）=-1，是对应HJB方程的粘度解：0=tR公司- rfR+supb∈（0,1）d|σ（b）| Rxx+rc（b）R= tR公司- rfR公司- rR高压Rxx-rR（右后）.用Xt表示，xs：=x+xs-t移位正则过程从初始数据（t，x）开始。因为f是Lipschitz，请注意r（t，x）≥ EP0,1h- e-rRTtf（Xt，xs）dsi≥ -EP0,1her | f|∞RTt | Xt，xs | dsi≥ -EP0,1her | f|∞（（T-t） | x |+RTt | Xt，0s | dt）i≥ -Cer | f|∞（T-t） | x |，其中c：=EP0,1her | f|∞RT | Xt，0s | ds）i<∞,自Xt起，0s是所有s的中心高斯随机变量∈ [t，t]。作为c≥ 0，我们还有r（t，x）≤ supP（0，β）∈PEP0，βh- e-rRTtf（Xt，xs）dsi=EP0,1h- e-rRTtf（Xt，xs）dsi≤ -总工程师-r | f|∞（T-t） | x |，其中c：=EP0,1he-r | f|∞RT | Xt，0s | ds）i<∞,使用与前面相同的参数。然后，确定性等效函数E，由R=：-e-满足PDE（A.1），增长由E（t，x）控制≤ （C）∨ C） （T- t） | x]。（ii）我们现在假设PDE（A.1）有一个C1,2溶液，其增长由| E（t，x）|控制≤C（T- t） | x |。那么^R：=-e-rEis也是C1,2（[0，T]×R）。表示Kβt：=e-rRt（f（Xs）-c（βs））ds，and tn：=inf{t>0：| Xt- X |≥ n} ，我们通过It^o的公式计算，对于所有P（0，β）∈ P、 ^R（0，X）=EP0，βKβTn^R（Tn，XTn）-ZTnKβtt^R+|σ（βt）| vxx- rf-c（βt）^R（t，Xt）dt≥ EP0，βhKβTn^R（Tn，XTn）i-→ EP0，βhKβT^R（T，XT）i=EP0，βh- KβTi，其中局部鞅部分验证EP0，βRTnKβt^Rx（t，Xt）σ（βt）dWt= 0，因为^Rxis在[0，Tn]上有界，σ（β）有界。

第二个不等式来自于R满足的PDE，最后一个极限是通过控制R的增长以及最终条件R（T，）=-1、P（0，β）的任意性∈ P、 这意味着^R（0，X）≥ R、 为了证明等式，我们现在从命题2.1中观察到，通过选择b（t，x）：=bb（Exx- Ex）（t，x）如命题2.1所定义，如果随机微分方程dXt=σ（b（t，Xt））为弱解，则将之前计算中的（唯一）不等式转化为等式。函数σo b有界且连续，见Karatzas和Shreve【31，定理5.4.22和备注5.4.23】。因此，^R（0，X）=R和（a，b）是最佳反馈控制。现在我们来证明这个命题。提案A.2。（无契约的消费者行为）设f（x）=κx，x∈ R、 对于某些κ≥ 那么，VA（0）=UA（κXT+E（T）），其中E（T）：=ZTHv- γ（t）dt和γ（t）：=-rκ（T- t） 。消费者对漂移和每次波动率使用的最佳影响分别为a=0和bj（t）：=ε∨ (1 ∧λj |γ（t）|-), j=1，d、 从而得出一个最优分布Punder，其偏差过程遵循动力学dXt=bσb（t）· dWt，对于某些P-布朗运动W。证据值VA（0）在X中是凹的，由VA（0）=-e-rE（0，X），其中对应的确定性当量E是HJB方程的粘度解-tE=f+HvExx公司- 雷克斯在[0，T）×R上，E（T，x）=0，x∈ R、 通过直接在PDE（A.1）中插入猜测E（t，x）=C（t）x+E（t），我们得到了C（t）x+E（t）+Hv- 钢筋混凝土（t）+ κx=0，其中C（T）=E（T）=0。这需要C（t）=κ（t- t） E（t）=RTtHv- 钢筋混凝土ds，0≤ t型≤ T最后，最大值B的表达式遵循命题2.1。

由于PDE的光滑解具有适当的线性增长，我们从命题A.1（ii）得出结论，它确实是诱导VA（0）的值函数。A、 2命题证明3.1第一-最佳合同我们在这里提供了第一-最佳问题（2.6）的解决方案，对应于在消费者满意度高于保留效用的约束条件下，生产者选择合同ξ和消费者的福利水平ν的情况。引入拉格朗日乘数`≥ 0来惩罚参与约束，并应用经典的Karush–Kuhn–Tucker方法，我们可以将生产者的第一个–最佳问题公式化为VFB=inf`≥0- `R+sup（ξ，Pν）EPνU- ξ - KνT+ `UA公司ξ+GνT, （A.3）式中，GνT：=RTg（Xs）ds+hhxit，KνT：=RT（f（Xs）- c（νs））ds。ξ中的一阶条件为-U- ξ`- GνT+ `UA公司ξ\'+KνT= 0、鉴于我们对效用函数的规定，这为给定的范围乘数“ξ”：=p+rln提供了最佳合同付款r`p公司-pp+rGνT-rp+rKνT.（A.4）替换（A.3）中的表达式，我们看到委托人的第一个-最好问题减少到vfb=inf`≥0`- R+1+rpr`p公司-rr+p'V, 带“V”：=supPνEPνh- e-ρRT（（f-g） （Xt）-c（νt））dt-hhXiT公司i、 ρ：=r+p。注意，V不依赖于拉格朗日乘数。然后直接计算得出最佳拉格朗日乘数和第一最佳值函数`？：=公共关系(R)VR1+pr，因此Vfb=R(R)VR1+pr.（A.5）这导致了以下主张。提案A.3。

假设f- g是Lipschitz连续的。然后（i）(R)V=-e-ρ？v（0，X），其中？v有增长？v（t，X）|≤ C（T-t） | x |，对于某些常数C>0，是偏微分方程的粘度解- t'v=（f- g） +Hm（(R)vx）+Hv(R)vxx- ρ？vx- h类, 在[0，T）×R和'v（T，）=0，（A.6），因此，通过（A.5），第一个最佳值函数Vfb=U（(R)v（0，X）- 五十） 。（ii）如果另外v是平滑的，AFB（t，Xt）：=ba给出了减少消费偏差及其波动性的最佳效果zfb（t，Xt）, 和bfb（t，Xt）：=bbγfb（t，Xt）, t型∈ [0，T]，（A.7），其中ZFB（T，x）：=？vx（T，x），γfb（T，x）：=？vxx（T，x）- ρ？vx（t，x）- h、 （t，x）∈ [0，T]×R.（iii）表示νfb：=（afb，bfb），最优第一-最佳合同可以写成ξfb=L-pp+r'v（0，X）-rp+rZTf（Xt）- c（νfb（t，Xt））dt公司-pp+rZTg（Xt）dt+HXIT。证据根据标准随机控制理论，可以通过相应的Jb方程来表征Vt'V- ρ（f- g） ？V+supa∈研发部+- a·1'Vx+ρc（a）'V+supb公司∈[0,1）d|σ（b）|（\'Vxx+ρh'V）+ρc（b）= 0？V（T，）=-1、设置“V（t，x）=-e-ρ'v（t，x），我们通过直接替换得到满足'v的PDE-t'v=（f- g）- infa公司a·1’vx+c（a）-免疫纳米荧光微球c（b）- |σ（b）|(R)vxx- ρ？vx- h类根据消费者哈密顿量（2.8）的定义，v（T，x）=0，（A.8），这与命题陈述中的PDE一致。接下来，我们证明了对v增长的控制。首先，由于成本函数c是非负的，我们得到了v≤ supPνEPνh- e-ρ（RT（f-g） （Xt）dt）i≤ supPνEPνh- e-ρ（（f-g） （X）+f-g级|∞RT | Xt | dt）i<-∞.另一方面，当无效益成本c（0，1）=0时，则得出'V≥ EP0,1h- e-ρ（RT（f-g） （Xt）dt）i≥ supPνEPνh- e-ρ（（f-g） （十）-|f-g级|∞RT | Xt | dt）i>-∞.这表明eCT | X|≤\'\'V≤ eCT | X |，对于某些常数C，C>0，因此| E（0，X）|≤（C）∨ C） | x | T。

根据问题的同质性，我们通过简单地将时间原点移到任何t<t的位置，推导出宣布的增长控制。在平滑度假设下，我们遵循命题A.1证明的验证论点，证明命题2.1中得出的最优消费者响应是问题V的最优反馈控制。使用Vfb=R的事实重新-ρ（(R)v（0，X））p+R和L=-rlog(-R） ，onegetsVfb=-e-p（\'v（0，X）-五十） 。最后，通过直接替换（A.4）中的最佳拉格朗日乘子（A.5），ξfB的表达式如下。在以下情况下（f- g） x=δx，我们猜测v（t，x）=δ（t- t） x+Rt？m（s）ds满足模型（A.11），其中？m（t）=Hm（δ（t- t） ）+高压(-h类- ρδ（T- t） ）。价值函数v满足命题A.3和PDE（A.11）的假设。重新排列提案A.3中第一个最佳合同（iii）的表述中的术语，形成了合同提案3.1。A、 3命题证明3.2第二最佳契约由于响应性效应引起的波动率在零以上一致有界，且水平降低效应有界，我们可以遵循Cvitani'c等人（2018）[15]基于Sannikov（2008）[45]的一般方法。设V是所有成对过程（Z，Γ）和常数y的集合∈ R、 归纳合同子类ξ=Yy，Z，ΓT，其中Yy，Z，ΓT：=y+ZtZsdXs+ZtΓs+rZsdhXis公司-Zt公司H（Zs，Γs）+f（Xs）ds，t∈ [0，T]。（A.9）我们从Cvitani'cet al.（2018）回忆起，UAYy，Z，Γt表示代理的延续实用程序，因此Yy、Z、Γ是代理确定性等价物的时间t值。本合同在消费偏差X和相应的二次变化hXi水平上有效，具有线性系数Z和Γ。

常数partRT（H（Zs，Γs）+f（Xs））ds表示消费者效用收益的确定性等价物，消费者效用收益可以通过对合同的最佳响应来实现，因此从委托人的付款中减去，这与通常的委托-代理道德风险类型的合同一致（见【34，第4章】）。此外，在目前的情况下，代理人的风险规避意味着小额支付ZTDXT必须通过额外支付ZTDHXIT进行补偿，因此，正式而言，支付ZTDXT对代理人预期效用的影响是- 经验值- rZtdXt+rZtdhXit+ 1.~ -1+rZtdXt+rZtdhXit-rZtdhXit+1~ rZtdXt。在消费者的最优响应下，消费者的消费偏差动力学和消费者的确定等价性由xz，Γt：=X给出-Ztba（Zs）·1ds+Ztbσ（Γs）·dWsYY，Z，Γt=Y+Ztcba（Zs），bb（Γs）- f（XZ，Γs）+rZs | bσ（Γs）|ds+ZtZsbσ（Γs）·dWs，因此平均付款率包括偿还消费者的成本减去收益c-f、 以及消费者承担消费偏差波动风险的额外赔偿。请注意，平均付款率可以是正的，也可以是负的。备注A.1。（i） 假设生产商提出的合同ξ由y=-rln公司(-R） ，Z=Γ≡ 0，即ξ=-rln公司(-R）-RTf（Xνt）dt，这里的哈密顿量满足Hv（0）≡ 然后，通过求解效用最大化问题va（ξ）=supPν，获得消费者的最佳响应∈佩华-ZTc（νt）dti、 由于成本函数c在效用上是非递减的，在最佳情况下，消费者既不会对漂移也不会对波动性产生影响。与命题A.1相比，这表明无合同与上述合同ξ不同，付款率为零。（ii）我们还可以研究生产者向消费者支付ξ=0的合同的情况。

这是通过选择Zt=Ex（t，Xt）和Γt=（Exx）实现的- Ex）（t，Xt），其中命题A.1中定义了确定的等价保留E。从消费者的角度来看，这种契约显然等同于无契约设置，从而对消费者最佳反应的波动性产生积极影响。根据Cvitani'c等人（2018）的主要结果，我们可以将委托人的问题归结为对Yy、Z、ΓT类合同的优化，其中y≥ 土地（Z，Γ）∈ 五、 通过y中明显的单调性，这导致了以下标准随机控制问题vsb=supZ，ΓEU- LZ，ΓT, LZ，Γt：=YZ，Γt+ZtgXZ，Γsds+hdhXZ，Γis，t∈ [0，T]，起点y=L。状态变量L表示消费者最佳响应下生产者的损失，由动态Lz，ΓT定义=2（克- f） （XZ，Γt）+bc（Zt）+f（rZt+h，Γt）dt+Ztbσ（Γt）·dWt，t∈ [0，T）。其中f（q，γ）：=qbσ（γ）+ bc（γ）。（A.10）当波动的单位成本为q，波动减少的支付率为γ时，函数f（q，γ）衡量生产者因波动而产生的总成本。术语q | bσ（γ）|是波动的内在成本，而术语bc（γ）是消费者产生的效用成本。这最后的成本将由生产者支付，并因此进入波动性成本的评估。生产者的目标是使术语| bσ（γ）|尽可能小。为了实现这一目标，应支付大量的γ来降低| bσ（γ）|，但这只能以增加成本bc（γ）为代价。引理A.1。设F（q）：=infγ≤0f（q，γ）。那么F（q）=F（q，-q） =-2Hv(-q） 是非递减的。证明：回想一下f（q，γ）=qbσ（γ）+ bc（γ），其中bc（γ）=dXj=1σjλjbbj（γ）-1.- 1.,bσ（γ）=dXj=1σjbbj（γ）和bbj（γ）：=1∧ （λjγ-)-∨ ε.Ifλjγ-≤ 1 thenbj（γ）=1，thusbbj（γ）=0。

类似地，如果λjγ-≥ ε-（1+1），thenbj（γ）=ε，thusbbj（γ）=0。最后，如果ε-（1+1）>λjγ-> 1 thenbbj（γ）=(-λiγ）-thusbbj（γ）=λ-j(-γ)--1= -2γbbj（γ）。定义nowfj（γ）：=σjλjbbj（γ）-1.- 1.+ qσjbbj（γ）。我们有fj（γ）=σjλj-bbj（γ）-2bbj（γ）+ qσjbbj（γ）。如果-ε-（1+1）<λjγ<-1，一个hasbbj（γ）-2= -λjγ和thusfj（γ）=σjγ+q）bbj（γ）=-1+qγσjbbj（γ）1{-ε-2<λjγ<-1}.因此fγ（q，γ）=-1+qγdXi=1σibbi（γ）1{-ε-2<λiγ<-1}.因此，在γ=-q当至少有一个索引i时∈ {1，…，d}这样q∈ [1/λi，ε-2/λi]，否则fde不依赖于q。因此，我们可以认为最小值总是γ=-q、 因此F（q）=F（q，-q） 。直接计算现在显示Fj(-q） =σjλj{λjq≤1} λjq+1{ε-2> λjq>1}2（λjq）- 1.+ 1{ε-2.≤λjq}λjεq+ε-1.- 1.,因此，通过将所有的项SF（q）=dXj=1σjλj相加{λjq≤1} λjq+1{ε-2> λjq>1}2（λjq）- 1.+ 1{ε-2.≤λjq}λjεq+ε-1.- 1.,从中可以清楚地看出，金融机构没有减少。次优问题的值函数可以描述如下。提案A.4（次优合同）。假设f- g是Lipschitz连续的。

然后（i）Vsb=-e-p（v（0，X）-五十） 式中，v有增长| v（t，x）|≤ C（T- t） | x |，对于某些常数C>0，并且是偏微分方程的粘性解-tv=f- g+(R)uvx-infz公司∈RFq（vx，vxx，z）+ u（z）-+ vx）+ηA（vx，z）, 在[0，T）×R，v（T，）=0，（A.11），q（vx，vxx，z）：=h- vxx+rz+p（z- vx）和ηA（vx，z）：=（vx+（z-- A） +）- vx公司-→ 0，作为%∞.（ii）如果另外v是平滑的，则激励代理响应的最佳支付率γsb为γsb（t，Xt）：=-h+vxx（t，Xt）- rzsb（t，Xt）- pzsb（t，Xt）- vx（t，Xt）, t型∈ [0，T]，（A.12），减少消费偏差的最佳支付率是最小化器zsbin（A.11），满足大的A:zsb∈vx、pr+pvx, 当vx≤ 0，当vx时，zsb=pr+pvx≥ 0.（iii）第二个最佳合同由ξsb给出：=- 日志(-R） R+ZTzsb（t，Xt）dXt+（γsb+rzsb）（t，Xt）dhXit-H（zsb，γsb）+f（t，Xt）dt。备注A.2。（i） 考虑风险中性消费者r=0的情况。由于金融机构未按Lemma递减。1，我们看到，在zsb=vx时，PDE（A.11）中的最小值达到，从而将PDE（A.11）减少到-电视- （f）- g）-uv-x个= -F（h- vxx）=高压（vxx- h） ，其中最后一个等式来自引理A.1。请注意，这与命题A.3（i）中给出的第一个最佳特征描述相同，因为在当前设置中ρ=0。特别是，生产者的价值函数独立于其风险规避参数p。漂移效应和波动率的最佳支付率由zsb=vx和γsb=-h+vxx，因此产生的最优合同也独立于生产者的风险规避p。这与h"olmstrom和Milgrom[27]在风险中性代理的情况下的结论一致，其中代理的最优效果独立于主要风险规避参数。证据

根据标准随机控制理论，主体值函数的动态版本，表示为V（t，x，`）：=Vsb（t，x，`），是相应HJB方程的粘度解，在整体上具有适当的增长-tV=（g- f） V`+sup（z，γ）∈注册护士bσ（γ）（h+rz）V`+Vxx+zV`+2zVx`- u2z-Vx公司-（z）-)五`+bc（γ）V`o，终端条件V（T，x，`）=U(-`), 对于（x，`）∈ R、 在生产者效用函数的恒定相对风险规避规定下，如下所示：-ptv=p（f- g）-infz，γnbσ（γ）（h+rz）p- pvxx+p（vx）+zp- 2zpvx+ u2z-pvx+p（z-)+ pbc（γ）o，减少到PDE（A.11）。通过遵循命题A.3证明中相同的论证线，利用差异f的Lipschitz特征，从v的增长控制推导出函数v的增长控制- g、 同样，在平滑条件下，相同的验证参数会导致最佳反馈控制，定义为第二个最佳生产者哈密顿量的最大值，从而确定最佳支付率。我们最终验证了最优支付率的其他属性是否成立。首先，如果vx≥ 0，地图z 7-→ Fh类- vxx+rz+p（z- vx）+ u（z-+ vx）z不增加≤pr+PVX因为Fis anon–递减功能。因此，当zsb=pr+pvx时，q（vx，vxx，z）的最小值达到map的最小值。第二，如果vx≤ 0时，前面的映射在区间（vx，pr+pvx）上是非长单调的。但是，z是不增加的≤ Vx和z非递减≥pr+pvx，使其最大值介于Vx和pr+pvx之间。在这两种情况下，关于γ的优化因子可以从引理A.1中推导出来，并由引理（A.12）给出。A、 4命题3.3第二好的非受控响应命题A.5（第二好的非受控响应）的证明。假设f- g=δx。

那么，Vsbm=Uw（0，X）- L) 式中，w有增长| w（t，x）|≤ C（T-t） | x |，对于某些常数C>0，是偏微分方程的粘度解-tw=（f-g） +uwx-infz公司∈R{q（wx，wxx，z）|σ|+(R)u（z-+wx）, 在[0，T）×R和w（T，）=0，（A.13），q（wx，wxx，z）=h- wxx+rz+p（z- wx），第二个最佳契约由ξsb给出=- 日志(-R） R+∧δX+ZTrzsb（t）|σ| dt-ZTHm（zsb（t））dt-ZT（κ- ∧δ）xtdt，其中zsb=∧δ（T- t） 其中∧：=p |σ|+(R)u1{wx<0}（p+r）|σ|+(R)u1{wx<0}。证据当Γ≡ 0，我们有F（q）=q |σ|，命题A.4（i）的偏微分方程因此减少到（A.13）。通过编写一阶条件直接获得最小值，然后得到最优契约。合同的形式是通过将部分集成应用于合同一般形式（A.9）的RTZSB（t）dXtof术语而获得的。A、 5命题证明3.4信息从命题A.3中，我们得到Vfb=U（(R)v（0，X）+rlog(-R） ）。何时（f- g） （x）=δx，我们有v（0，x）=δT x-ZTF公司(-γfb（t））dt，因为zfb（t）≥ 因此，bc（zfb（t））=0。进一步回顾推论3.1，当δ≥ 0，我们有vsb=U（v（0，X）+rlog(-R） v（0，X）=δT X-ZTF公司(-γsb（t））dt。在这种情况下，我们还有γsb=γfb。因此，第一个最佳值和第二个最佳值函数的确定性等价物相等，且I=0。

此外，第一最佳和第二最佳确定性等价物的相等意味着支付ξfB和ξsb相等，因为消费者的行为在这两种情况下是相同的。当δ<0且h+rδT≤我们知道zsb（t）=∧δ（t- t） ，所以∈RnF公司h+rz+p（z- A（t））+ u（z-+ A（t））o=h+r∧δ（T- t）|σ|，因此ψ（t）=ZTt|δ（t- t） dt公司-ZT公司h+r∧δ（T- t）|σ| dt。因此，在本案例中- Vsb公司p=L- δT X- ψ（0）=π+ZTγsbσγs- 卑诗省γs- ¨uδ（T- s）ds+ZTh+r∧δ（T- t）|σ| dt。此外，在此设置中，c（νfb）=c（afb）和-γfb=h+ρδ（T- t）≤\'λ，因为ρ<r，thusbbj（γfb）=1，我们有c（afb（t））=\'uδ（t- t） 。因此，我们得到i=ZTγfb（t）bσbfb（t）dt+ZTh+r∧δ（T- t）|σ| dt=|σ|r∧- ρZTδ（T- t） dt，我们使用的事实是-γfb=h+ρδ（T- t） 。下面是必需的表达式。参考文献【1】W.Abrahamse、L.Steg、C.Vlek、T.Rothengatter。旨在家庭节能的干预研究综述。《环境心理学杂志》，25（3）：273–2912005年。[2] C.Alasseur、I.Ekeland、R.'Elie、N.Hernández Santibá~nez、D.Possamai。电力定价的逆向选择方法。arXiv预印本arXiv:1706.01934v12017。[3] O.Bandiera，I.Barankay，I.Rasul。社会偏好和对激励的反应：来自人事数据的证据。《经济学季刊》，120（3）：917–9622005。[4] F.E.Benth、A.Cartea、R.Kiesel。用确定性等价原则对电力市场中的远期合约定价：解释市场风险溢价的符号。《银行与金融杂志》，32:2006–2021，2008年。[5] H.L.Bessembinder，M.L.Lemmon。电力期货市场的均衡定价和最优套期保值。《金融杂志》，57（3）：1347–13822002年。[6] P.Bradley，M.Leach，J.Torriti。英国电力需求响应的成本和效益回顾。能源政策，52:312–3272013。[7] D.P.布朗，D.E.M。

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