C面长度和高度的尺寸偏差序列满足以下法律等式【PUB12，Thm 1】：（4.1）（（dn-gn，Cdn- Cgn））n∈Nd=((ln、 YLn公司-1.- YLn））n∈N、 其中，Y是X的副本，与断棒过程无关l = (ln） n个∈基于统一定律U（0，1）的非[0，T]。我们强调，定律（4.1）中的等式在随机过程的意义上是成立的，由N表示。令人惊讶的是，由（4.1）表示，长度序列定律（dn- gn）n∈Ndoes不依赖于X。这一事实是(l, Y）和X，以便（4.1）保持a.s。下面构造的该耦合对于分析上述SB Alg中的误差至关重要，并将在本文中使用。事实上，在这种耦合下，（1.1）保持a.s.，因为X在[0，T]上的上确界的位置（对应时间）等于具有正斜率的ofC面的所有高度（对应长度）之和。（请注意，功能t 7→ CTI呈凹形，因此变化有限，形成高度序列（Cdn- Cgn）n∈N=（YLn-1.- YLn）n∈可绝对求和。）特别是，它简化了YT=XTa。s、 L'EVY极值18的模拟考虑X的凹主C的可数面集。每个面由一对（X，y）组成，其中X>0是长度，y∈ R是面部高度。由于面长度为正且可与和T求和，因此可以基于函数φ：（x，y）7对面进行尺寸偏差采样→ x、 然后生成随机枚举（（dn-gn，Cdn-Cgn））n∈Nof the facesof C.【PUB12，Thm 1】的这种列举满足了分配平等性（4.1）。此外，在这种情况下，尺寸偏差取样具有如下图4.1所示的几何解释，其中（gn）n∈Nand（dn）n∈分别是第n个面的左端点和右端点。请注意，假设2和（4.1）意味着没有水平的C面。

因此，达到最高点的时间是独一无二的。CUGCGDCDTCUGCGDCDTCUGCGDCDT图4.1。选择凹面主要部分的前三个面：横坐标上蓝色粗段的总长度等于棒尺寸T，T- （d）- g） andT公司-（d）-g）-（d）-g） ，分别为。独立随机变量U，U，U分别在集合[0，T]，[0，T]\\（g，d），[0，T]\\Si=1（gi，di）上均匀分布。请注意，n个采样后未采样面的剩余长度为Ln。现在我们来解释如何结合(l, Y）以这样的方式使用X，即（4.1）（因此（1.1））通过回顾（4.1）中的dn- gn，Cdn- Cgn公司n∈Nd公司=l′n、 Y′L′n-1.- Y′L′nn∈N、 其中，Y′是X的拷贝，与断棒过程无关l′= (l′n） n个∈基于uniformlaw U（0，1）和L′n的非[0，T]-1=P∞k=nl′k、 现在回想一下，具有左手极限的[0，T]上的右连续函数的Skorokhod空间D[0，T]（见[Bil99，p.109]）是波兰空间[Bil99，p.112]，因此是aBorel空间[Kal02，Thm A1.2]。通过可能扩展原始概率空间，[Kal02，Thm 6.10]断言D[0，T]中存在随机元素Y，从而（4.2）（dn- gn）n∈NCdn公司- Cgn公司n∈N、 Y型d=(l′n） n个∈NY′L′n-1.- Y′L′nn∈N、 Y′.因此，过程Y具有与Y′d=X相同的规律。如果我们定义序列l = (ln） n个∈n穿过ln=dn-gnand Ln公司-1=P∞k=nlK每个n∈ N、 那么（4.2）意味着Y独立于l. 同样地，通过（4.2），Y在间隔[Ln，Ln]上的增量-1] 等于YLn-1.-YLn=Cdn-Cgna。s、 因此(l, Y）和X是所需的，因为（4.1）保持a.s.耦合（X，l, Y）也可以在没有抽象结果[Kal02，Thm 6.10]的情况下，使用来自[PUB12]的\'3214\'变换获得，这在X的轨迹中是明确的。

由于耦合的细节在本文中并不重要，为了简洁起见，我们使用了抽象结果。L'EVY极值模拟194.2。误差定律和定理1的证明。在本小节中，我们将证明定理1。我们还陈述并证明了命题4，该命题解释了为什么SBAχ的误差δsbno通常小于δn。定理1的证明。通过第4.1小节的耦合，（1.1）中的等式保持a.s.，即我们得到χ=（XT，XT，τT）=P∞k=1（YLk-1.-YLk，（YLk-1.-YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}）。因此，从定义（1.3），我们清楚地获得（YLn，n、 δn）=∞Xk=n+1YLk公司-1.- YLk，（YLk-1.- YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}.特别地，我们有δn≤P∞k=n+1lk=ln，因此|δSBn |≤ 自然对数。我们现在应用（4.1）得出结论，上面显示的尾和具有所需的定律。首先注意，给定Ln(ln+k）k∈Nis是间隔[0，Ln]上的断棒过程。因此，由于Y和l都是独立的，顺序法则((ln+k，YLk+n-1.- YLk+n））k∈N、 给定Ln，与（4.1）右侧应用于区间[0，Ln]的定律相同。不同的是，根据（4.1），该序列与Lévy过程Y中凹主面的序列在区间[0，Ln]上的大小偏差顺序具有相同的规律。因此，恒等式（1.1）应用于区间[0，Ln]（而不是[0，T]），以及Y和l, 产生（1.4）中的第一个等式：（YLn，YLn，τLn（Y））d=∞Xk=n+1YLk公司-1.- YLk，（YLk-1.- YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}.（1.4）中的第二个分配恒等式源自(SBn，δSBn）作为（YLn，n、 δn）。对于任意n∈ N、 （1.4）中的第二个标识表示0≤ SBn。定义nin（1.3）和它们的低质量Y+Ln≤ （YLn- YLn+1）++Y+Ln+1产生以下结果：SBn+1=n+1- Y+Ln+1=n- （YLn- YLn+1）+- Y+Ln+1≤ n- Y+Ln=SBn公司≤ n、 定理的证明到此结束。提案4。

设X满足假设2。那么以下陈述成立。（a） 对于任何t>0，我们有Eτt（X）=RtP（Xs>0）ds。（b） 如果t-1RtP（Xs>0）ds- P（Xt>0）→ 0为t0，则E[δSBn/Ln]→ 0作为n→ ∞.（c） 如果P（Xt>0）→ ρ∈ [0，1]为t0，则（b）保持，E[δn/Ln]→ ρ为n→ ∞ .（d） 如果P（Xt>0）=ρ∈ [0，1]对于所有t∈ （0，T），则E[δSBn | Ln]=E[δn | Ln]- Lnρ=0 a.s.备注1。（i） 注意τT∈ [τT- δn，τT- δn+Ln]和给定Ln，SBAχn通过平均值为P（YLn>0 | Ln）的伯努利随机变量随机选择区间的端点。（ii）（d）中的假设成立，如果X是从属稳定过程或s对称Lévy过程。此外，这意味着χnis中的第三个坐标是无偏的，因为其误差的期望值消失了：E[δSBn]=0。相反，我们有E[δn]=ρT/2n。（iii）χn的第三个坐标的偏差，条件是Ln=t，等于rtp（Xs>0）ds- tP（Xt>0）乘以下面的（4.3）。该量通常表现为t→ 更具体地说，我们没有-1RtP（Xs>0）ds- P（Xt>0）→ 如果t 7，则0为t0（从而满足（b）中的假设）→ P（Xt>0）在0时缓慢变化[BGT89，第1.5.8条]。L'EVY极值20（iv）的模拟注意，（c）中的假设暗示了（b）中的假设。如果例如X在放大程序下弱收敛，则满足称为斯皮策条件的假设【Ber96，Thm VI.3.14】【BI20，第2.2节】。证据对于所有t>0，表示ρ（t）=P（Xt>0）。（a） 将（1.4）应用于n=1的区间[0，t]，得到τt（X）d=U t{XtU>0}+τt（1-U） （Y），其中U~ U（0，1）独立于Y，Y本身是X的副本。因此，Eτt（X）=t-1Zt（sE{Xs>0}+Eτt-s（Y））ds=t-1Zt（sρ（s）+Eτs（X））ds，其中ρ（s）=P（Xs>0）。自t 7起→ τ为右连续且不递减，SO为t 7→ Eτt.上图中的积分方程，ρ（t）在t>0时的连续性和bootstrap参数意味着t 7→ Eτt（X）与导数是绝对连续的，比如h。

换句话说，对于所有t>0的情况，我们有eτt（X）=Rth（s）ds。将显示中的相等值乘以t，并对所有t>0的部分应用integrationby parts yieldsRtsh（s）ds=Rtsρ（s）ds。因此，被积函数必须与Lebesgue测度的a.e.一致。具体而言，Eτt=Rth（s）ds=Rtρ（s）ds，如需要。（b） 根据定理1，在Ln的条件下，我们得到δSBnd=τLn（Y）- Ln·{YLn>0}。因此，by（a），（4.3）E[δSBn | Ln]=ZLnρ（s）ds- Lnρ（Ln）。自Ln0起为n→ ∞, （b）和（4.3）中的假设意味着E[δSBn | Ln]/Ln→ 0 a.s.作为n→ ∞.应用于x 7的Jensen不等式→ |x |和不等式|δSBn/Ln |≤ 定理1中的1意味着| E[δSBn | Ln]/Ln |≤ E[|δSBn |/Ln | Ln]≤ 因此，支配收敛定理[Kal02，Thm 1.21]给出了E[δSBn/Ln]=E[δSBn | Ln]/Ln]→ 0作为n→ ∞.（c） 由于这个假设意味着（b）的假设，所以（b）的结论成立。此外，根据（b），limn→∞E[δn/Ln | Ln]=limn→∞EδSBn/Ln+{YLn>0}自然对数= 画→∞ρ（Ln）=ρa.s。因此，在（b）的证明中应用的支配收敛定理给出了结果。（d） 因为ρ（t）=所有t的ρ∈ （4.3）中的右侧等于0 a.s.，如所述。类似地，我们有E[δn | Ln]=E[δSBn+Ln·{YLn>0}| Ln]=Lnρa.s。推论1的证明。我们假设在正实上存在一个函数a，使得（Xtδ/a（δ））t≥0弱收敛到某个进程（Zt）t≥0asδ0在有限维分布意义上。已知极限过程是自相似的[BGT89，Thm 8.5.2]，因此α稳定，函数a随指数1/α有规律地变化∈ [2, ∞). 此外，收敛性扩展到了Korokhod空间D[0，∞) 【JS03，Cor.VII.3.6】。（有关a和极限标准的详细说明，请参见【Iva18，Thm 2】。）注意Zδ=（Ytδ/a（δ））t∈[0,1]收敛到Z=（Zt）t∈D[0，1]中的[0,1]，且τ（Zδ）=τδ（Z）/δ。

众所周知，上确界映射x 7→ 支持∈[0,1]x和投影x 7→ X是关于Y定律的连续a.s。接下来，自稳定过程的最大时间（Zt∨Zt公司-)t型∈[0,1]是a.s.唯一的，则τ是关于Z定律的a.s.连续的（参见例如[Kal02，Lem.14.12]）。因此，当δ0时，这产生χδ=（Yδ/a（δ），Yδ/a（δ），τδ（Y）/δ）=（Zδ，Zδ，τ（Zδ））d→ （Z，Z，τ（Z））=χ。模拟L'EVY极值21根据（1.4）中给出的等式，我们得到（4.4）（YLn/a（Ln），n/a（Ln），δn/Ln）d=（YLn/a（Ln），YLn/a（Ln），τLn（Y）/Ln）。因此，如果我们证明χLnd→ χ. 回想一下，弱收敛等价于Ef（χδ）→ Ef（χ）为δ0 f或每个有界和连续f。自l Y是独立的，Ln→ 0 a.s.，以序列（Ln）n为条件∈Nwe得到E[f（χLn）| Ln]→ Ef（χ）。随机变量序列（E[f（χLn）| Ln]）n∈Nis有界（因为f是）并收敛到Ef（χ）a.s。因此，根据支配收敛定理，它在L中收敛，这意味着χLnd→ χ. 因此，（4.4）左侧的弱极限成立，从而得出推论1。4.3. lpa的收敛性及定理2的证明。回想一下，（σ，ν，b）是与cuto ff函数X 7相关的X的生成三元组→{| x |<1}（见[Sat13，第2章，定义8.2]）。对于任何t>0的情况，Lévy测度νat单位的力矩与X+和X的力矩相关联，如下所示。通过控制X路径，使Lévy过程Z等于X及其跳跃(-∞, -1] 删除并将[Sat13，Thm 25.3]应用于Z，我们发现，对于任何p>0，条件Ip+<∞ 和Ep+<∞（定义见（2.1）和（2.3））暗示E（X+t）p< ∞ 和E exp（pX+t）<∞, 分别适用于所有t>0的情况。

类似地，通过将[Sat13，Thm 25.18]应用于Z，我们得到Ip+<∞ 和Ep+<∞ implyE[Xpt]<∞ 和E exp（pXt）<∞, 分别地设β为Blumenthal-Getoor指数[BG61]，定义为（4.5）β=inf{p>0:Ip<∞}, 其中Ip=Z(-1,1）| x | pν（dx），对于任何p≥ 0，注意β∈ [0，2]自I<∞. 此外，我<∞ 如果且仅当X的跳跃具有细分，在这种情况下，我们可以确定自然漂移b=b-R(-1,1）xν（dx）。请注意，Ip<∞ 对于任何p>β，但Iβ可以是有限的，也可以是有限的。如果Iβ=∞ 我们必须使β<2，因此可以选择δ∈ (0, 2 - β） ，当β<1时满足β+δ<1，定义（4.6）β+=β+δ·{Iβ=∞}∈ [β, 2].请注意，β+要么等于β，要么任意接近它。无论哪种情况，我们都有Iβ+<∞.本小节的主要目的是证明定理2和命题1、2和3。考虑到这一点，我们首先建立了三个引理和一个推论。引理1。X的Lévy度量ν满足以下所有κ∈ （0，1）]：（4.7）ν（κ）=ν（R\\(-κ, κ)) ≤ κ-β+Iβ++ν（1），σ（κ）=Z(-κ、 κ）xν（dx）≤ κ2-β+Ⅰβ+。此外，以下不等式成立：Z(-1.-κ]∪[κ，1）| x | pν（dx）≤ κ-(β+-p） +Iβ+，用于p∈ R、 （4.8）Z(-κ、 κ）| x | pν（dx）≤ κp-β+Iβ+，用于p≥ β+.（4.9）证明。将被积函数乘以（I）（| x |/κ）β+，（II）（κ/| x |）2-β+，（III）（| x |/κ）β+-pif p≤ β+或| x |β+-potherwise和（IV）（κ/| x |）p-β+，并将积分扩展到(-1，1）屈服于边界。L'EVY EXTREMA 22的模拟回顾（2.1）中Ip+和Ip的定义-对于p≥ 0、表示x个 = inf{m∈ Z:m≥ x} 对于anyx∈ R、 回想一下第二类斯特林数mk公司出现在泊松随机变量H的动量公式中，平均值为u≥ 0：对于任意m∈ N我们有（4.10）E【Hm】=mXk=1mk公司uk，其中mk公司=kkXi=0(-1） 我ki公司（k）- i） m.特别是m级= 所有m为0∈ N、 在整个过程中，我们将使用以下不等式（4.11）mXk=1xi！p≤ m（p-1） +mXk=1xpi，其中m∈ N、 x。

，xm≥ 0和p≥ 这个不等式很容易从x 7的凹度得到→ p＜1时的xp和Jensen不等式≥ 引理2。对于所有t∈ 【0，T】和p>0，条件Ip+<∞ 暗示（4.12）E【Xpt】≤ mpX（t）=4（p-1)+Cp，1tp/β++Cp，2tp/2+Cp，3tp+Cp，4tmin{1，p/β+},其中常数{Cp，i}i=1由Cp给出，1=2（p-1） +Tp-p/β+Iβ+p+T-p/β+pTp/2Iβ+p/2·{p≤2} +2（p/（p- 1） ）pexpT Iβ+- p·{p>2},Cp，2=|σ| pΓp+1p/2√π、 Cp，3=2（p-1)+b+·{I=∞}+ b+·{I<∞}p、 Cp，4=T（1-p/β+）+Ip++I′pXk=1pkTk公司-1.I′+ν（[1，∞))k-1，（4.13），其中I′=R（0,1）xβ+ν（dx）和Γ（·）是伽马函数。此外，如果I+<∞, 然后（4.14）E【Xt】≤ |σ| rπ√t+（b++I++t+2pI）√t、 β+=2，（b++I++t+2T-1/β+qT Iβ++T Iβ+t1/β+，β+∈ (1, 2),b++R（0，∞)xν（dx）t、 β+≤ 1、备注2。（i） （4.14）中的公式基本上遵循了[Che11，Lem.5.2.2&Eq.（5.2）]中关于β的公式+∈（1、2）和f（来自[DL11a，3.4号提案]）的β+≤ 下面给出的（4.14）的一个新证明基于（4.12）中用于建立更一般不等式的方法。此外，在p=1的情况下，两个边界（4.12）和（4.14）中的优势幂oft与（4.14）中稍好的常数一致。（4.12）中的估计值适用于所有p>0的情况，并且是为了以下证明中应用的清晰性，即使在p=1的情况下也是如此。（ii）注意，如果σ=0，则Cp为2=0，如果X为光谱负，则Cp为4=0。（iii）即使假设Ip+<∞ 故障。由于Cp，4=∞.回想一下，Lévy过程X的Lévy It^o分解[Sat13，Thms 19.2&19.3]，在κ级生成三重态（σ，ν，b）∈ （0，1）由Xt=bκt+σBt+J1，κt+J2，κt表示所有t≥ 0，其中bκ=b-R(-1,1)\\(-κ、 κ）xν（dx）和J1，κ=（J1，κt）t≥0（分别为J2，κ=（J2，κt）t≥0）是Lévy与Lévy极值23（0，ν）的三重模拟|(-κ、 κ），0）（分别为。

（0，ν| R\\(-κ、 κ），b-bκ）-回想一下，我们使用的是cuto ff函数x 7→{| x|≤1} ）和B=（Bt）t≥0是标准布朗运动。此外，过程B、J1、κ、J2、κ是独立的，J1、κ是一个L有界鞅，跳跃幅度最大为κ和J2，κ是一个强度为ν（κ）（见上文（4.7））且无漂移的复合泊松过程。证据通过以上讨论，我们得到了≤ b+κt+|σ| Bt+J1，κt+J2，κt。然后（4.11）表示（4.15）EXpt公司≤ 4（p-1)+（b+κ）ptp+|σ| pEBpt公司+ EJ1，κtp+ EJ2，κtp),其中BTD=| Bt |等E英国电信= tp/2Γp+1p/2/√π[Kal02，第13.13号提案]，在所有情况下都是Cp。通过引理1，我们有b+κ≤b++R(-κ、 κ）| x |ν（dx）≤ b++κ1-β+Iβ+，I<∞ （即β+≤ 1） b++κ1-β+Iβ+，I=∞ （即β+>1）。因此，通过（4.11），我们得到（b+κ）p≤κ1-β+Iβ+{I=∞}b++{I<∞}b类+p≤ 2（p-1)+κp-pβ+Iβ+p+{I=∞}（b+）p+{I<∞}（b+）p.（4.16）J2，κ由J2，κ在区间[0，t]上的正跳跃之和控制，对于iid随机变量（Rk）k，其具有相同的规律asPNtk=1rkf∈n定律ν|[κ，∞)/ν([κ, ∞)) 和一个平均值为tν（[κ，∞)). 注意，由于NTI是一个非负整数，因此n（p-1） +1吨≤ Npt、 因此，（Rk）k之间的独立性∈Nand Nt，不等式（PNtk=1Rk）p≤N（p-1） +tPNtk=1Rpk（根据（4.11）得出）和（4.10）yieldEJ2，κtp≤ ENtXk=1Rkp≤ EN（p-1） +tNtXk=1Rpk= E【Rp】EN（p-1） +1吨≤ E【Rp】ENpt型=Z[κ，∞)xpν（dx）ν（[κ，∞))pXk=1pk（tν（[κ，∞)))k.表示I′=R（0,1）xβ+ν（dx）。（4.7）中的第一个不等式和引理1（4.8）中的界适用于ν|（0，∞)以及事实κ≤ 1和t≤ T yieldEJ2，κtp≤ t型Ip++Z[κ，1）xpν（dx）pXk=1pktκ-β+I′+tν（[1，∞))k-1.≤ tκ-(β+-p）+Ip++I′pXk=1pktκ-β+I′+Tν（[1，∞))k-1.（4.17）假设p≤ 2、Jensen不等式应用于函数x 7→ x2/pand Doob鞅不等式[Kal02，Prop。

7.6]应用于J1，κ屈服（4.18）EJ1，κtp≤ EJ1，κtp/2≤ 2pE（J1，κt）p/2=2p（σ（κ））ptp/2，L'EVY极值24的模拟，其中σ（κ）表示σ（κ）的正平方根。因此（4.15）对于p=1，在（4.17）中的第一个不等式和（4.18）中的估计给出了（4.19）EXt≤b+κ+Z[κ，1）xν（dx）+I+t+|σ| rπ+2σ（κ）√t、 如果β+=2，则在（4.19）中取κ=1得到（4.14）中的第一个公式。如果β+≤ 1然后I<∞.出租κ→ 0在（4.19）中，我们得到了（4.14）中的第三个公式。设置κ=（t/t）1/β+，并应用引理1得到tσ（κ）≤ t2/β+T1-2/β+Iβ+。因此tR[κ，1）xν（dx）≤ t1/β+t1-1/β+Iβ+，以及（4.16）&（4.19）在（4.14）中给出了第二个公式，完成了（4.14）的证明。证明（4.12）一般p∈ （0，2），weagain setκ=（t/t）1/β+，并使用不等式t≤ T和（4.16）–（4.18）同上。更具体地说，（I）（4.16），（II）（4.17）和（III）（4.16）&（4.18）分别确定（I）Cp，3，（II）Cp，4和（III）Cp，1的值。这就是案例p的证明≤ 2、假设p＞2。案例p的唯一界限≤ 在这种情况下不适用的是E[（J1，κt）p]上的1。Doob鞅不等式与| x | p的界≤ （p/e）pe | x |适用于所有x∈ R yieldEJ1，κtp≤聚丙烯- 1.体育课|J1，κt | p=κpp- 1.体育课(κ-1 | J1，κt |）p≤κp/ep- 1.体育课eκ-1 | J1，κt|.注释Eeκ-1 | J1，κt|≤ Eeκ-1J1，κt+e-κ-1J1，κt= etψκ（κ-1） +内皮素ψκ(-κ-1） 式中，ψκ是J1，κ的Lévy Khintchine指数，即ψκ（u）=R(-κ、 κ）（eux- 1.- ux）ν（dx）表示u∈ R、 使用基本boundex-1.-x个≤ x对于所有| x |≤ 1和（4.7），我们发现ψκ（u）≤ uσ（κ）≤ uκ2-β+Iβ+表示| u |≤ κ-1、通过设置κ=（t/t）1/β+，我们得到（4.20）EJ1，κtp≤ 2.κp/ep- 1.petκ-β+Iβ+=2tp/β+T-p/β+聚丙烯- 1.peT Iβ+-p、 如前所述，我们获得（4.12）如下：（I）（4.16），（II）（4.17）和（III）（4.16）&（4.20）分别建立（I）Cp，3，（II）Cp，4和（III）Cp，1的值，从而完成证明。回顾上文（4.5）和（4.6）中定义的β、Iandβ+。

描述主导力量（ast↓ 0）在前面的结果中，定义α∈ [β，2]和α+∈ [β+，2]乘以（4.21）α=2·{σ6=0}+{σ=0}1，I<∞ b6=0β，否则，α+=α+（β+-β) ·{α=β}.注意，指数α与[BI20，等式（2.5）]中的指数一致，且α+>0，因为根据假设2，Xis不是泊松与漂移的复合物。定义（4.22）ηp=1+{p>α}+pα+·{p≤α}∈ （1，2），对于任何p>0，注意ηp≥ p为3/2≥ 1、备注3。（i） 在定理2和命题1、2和3中，我们假设p≥ 1为清楚起见。这不是一个必要的假设，对于任何p>0的情况，都可以用较小的修改进行证明。然而，由于ηp→ 1作为p→ 0时，收敛速度可能会变得任意缓慢，如p→ 0（自xp以来应为→ 1作为p→ 0表示任何x>0）。（ii）上述引理2中的常数Cp，2和Cp，3满足以下条件：（a）如果α<2，则σ=0，因此Cp，2=0；（b） 如果α<1，则I<∞ b=0，因此Cp，3=0。L'EVY极值模拟25推论3。选取p>0，让{Cp，i}i=1be，如引理2所示，并定义常数Cp（X）和C*p（X）如下：Cp（X）（p-1)+=Cp，1Tpβ+-pα++Cp，2+Cp，3Tp-pα++Cp，4Tmin{1，pβ+}-pα+，p≤ α、 Cp，1Tpβ+-1+Cp，2Tp-1+Cp，3Tp-1+Cp，4，p>α，C*p（X）=Cp（X）·{Ip+<∞}+ Cp公司(-十） ·{Ip+=∞}.（4.23）然后，如果Ip+<∞ （分别为最小值{Ip+，Ip-} < ∞), 不平等≤ Cp（X）tηp-1（分别为E[（Xt- X+t）p]≤ C*p（X）tηp-1).适用于所有t∈ [0，T]。证据自下一页起- X+t=最小值{Xt，Xt- Xt}由Xtand随机支配(-十） 然后证明下一个结果。（从C的定义可以看出，这一点很关键*p（X）在（4.23）中，α的定义与X和-十、 ）自tq+r≤ t的TQTR∈ [0，T]和r≥ 0，则表明（4.12）的每项中t的指数至少为ηp- 根据备注3（ii），当p≤ α ≤ α+≤ 2、回想一下，α+与α任意接近（或等于）。

因此，在p>α的情况下，我们可以假设p>α+≥ β+并使用备注3（ii）获得结果并总结证明。备注4。如果X是光谱负的（即ν（R+）=0），那么Cp，4=0，因此e[Xpt]=O（tp/max{1，α+}）为t0，这意味着[DL11a，Lem.6.5]中的速率，这是迄今为止文献中光谱负情况下的最佳速率。在某些特定情况下，引理2意味着比推论3中所述的速率更好。例如，如果β<1（因此β+<1），σ=0，Ip+<∞ 自然裂缝满足b<0（因此α=1），那么通过引理2，我们得到E[Xpt]=O（tp/β+），如果p≤ β、 它比推论3所暗示的界E[Xpt]=O（tp）更精确。类似的改进可以表述为- X+t，当（Ip+<∞ & b<0）或（Ip-< ∞ & b> 0）。为了便于演示，在本文中，我们使用推论3中的边界。引理3。设X为满足2的Lévy过程nandSBnbe如定理1所示。如果E【Xpt】≤ Ctq（分别为E[（Xt- X+t）p]≤ Ctq）对于某些C、q、p>0和所有t∈ [0，T]，然后pn编号≤ CTq（1+q）-n（分别为ESBn公司p≤ CTq（1+q）-n） 适用于所有n∈ N、 证明。根据定理1中的假设和（1.4），我们得到了E[pn | Ln]=E[YpLn | Ln]≤ CLqnand thusE公司[pn]≤ E【CLqn】=CTq（1+q）-n、 的结果SBnis经类似证明。定理2的证明。（a） 根据定理1，误差δnand |δSBn |均以Ln为界。由于E[Lpn]=Tp（1+p）n，因此权利要求如下。（b） 通过推论3，我们可以应用引理3来获得定理的（b）部分。的确，（4.24）E[pn]≤ Cp（X）Tηp-1η-np公司响应。ESBn公司p≤ C*p（X）Tηp-1η-np公司,其中Cp（X）（分别为C*p（X））与推论3中的（4.23）相同。对于p≥ 1，设k·kp表示Rd上的p-范数。

分布ux和uyon RDI之间的Lp-Wasserstein距离定义为（4.25）Wp（ux，uy）=infX~ux，Y~uyE【kX-Ykpp]1/p，模拟L'EVY极值26，其中最大值接管（X，Y）的所有耦合，使得X和Y分别遵循uX和uY定律。推论2的证明。回想一下，第4.1小节中（χ，χn）的耦合产生χ-χn=（0，SBn，δSBn）（参见上述定理1）。根据定理2（a）、方程（4.24）和不等式1+p≥ 2.≥ ηp（sincep≥ 1） ，我们有[kχ-χnkpp]=E[|SBn | p+|δSBn | p]≤ C*p（X）Tηp-1η-np+Tp（1+p）-n≤ （C）*p（X）Tηp-1+Tp）η-np。因为对于（χ，χn）的任何耦合，我们有Wp（L（χ），L（χn））≤ E[kχ- χnkpp]1/p，Lp-wassersteinstance以C′η为界-n/pp，其中常数的形式为（4.26）C′=（C*p（X）Tηp-1+Tp）1/p，结束证明。4.4. 命题1、2和3的证明。下面是关于n（在定理1中定义）是下面证明的关键。引理4。设X是满足2的Lévy过程。固定p>0和T>0。设Cp（Z）为Lévy过程Z=X的推论3的康斯坦丁（4.23）-J2,1，其中J2,1是X的Lévy It^o分解中的复合泊松过程（参见引理2证明之前的段落）。使用旋转ν（1）=ν（R \\(-1，1）），对于任何r，p>0，我们有pn≥ r≤ν（1）T 2-n+r-pCp（Z）Tηp-1η-np，（4.27）E最小值{n、 r}p≤ rpν（1）T 2-n+Cp（Z）Tηp-1η-np。（4.28）证明。自P起n≥ r= P最小值{n、 r}p≥ 卢比≤ E最小值{n、 r}p/根据马尔可夫不等式，我们只需证明（4.28）。设Y如定理1所示。选择任何t>0的。设A为J2,1在间隔[0，t]上没有泵的事件。那么P（A）=e-ν（1）t≤ 1.-ν（1）t，或相当于P（Ac）≤ ν（1）t。推论3应用于Z，我们有EZpt公司≤ Cp（Z）tηp-1、因为XT=Zta。s

关于事件A，我们得到min{Xt，r}p≤ rp·Ac+Zpt·A≤ rp·Ac+Zpt，暗示最小{Xt，r}p≤ rpν（1）t+Cp（Z）tηp-这个不等式，定理1，E[Ln]=t2-与定律中的等式Xd=Y意味着（4.28）：E最小值{n、 r}p=EE最小{YLn，r}p | Ln≤ E[rpν（1）Ln+Cp（Z）Lηp-1n]。命题1的证明。假设第一个kgk∞< ∞. 自min{a+b，c}≤ 所有a、b、c的最小值{a，c}+b≥ 0，我们有| g（x，y，t）- g（x，y′，t′）|≤ 最小{K | y- y′|，k2gk∞} + K | t- t′|。回想一下，SB Alg的输出是χn的副本。因为根据定理1，我们a.s.有0≤ SBn公司≤ nand |δSBn |≤ Ln、by（4.11）和（4.28）我们得到[| g（χ）- g（χn）| p]≤ 2（p-1)+E[Kpmin{n、 k2gk∞/K} p]+KpE【Lpn】≤ 2（p-1)+k2gkp∞ν（1）T 2-n+Kp（Cp（Z）Tηp-1η-np+Tp（1+p）-n）,模拟L'EVY极值27，其中Z=X- J2,1。现在假设min{Ip+，Ip-} < ∞. 然后，再次通过定理1和2以及方程（4.24），我们得到【| g（χ）- g（χn）| p]≤ 2（p-1） +Kp（E[pn+E[Lpn]）≤ 2（p-1） +Kp（C*p（X）Tηp-1η-np+Tp（1+p）-n） 。自ηp起≤ 2.≤ 1+p代表p≥ 1，这将产生结果：E[| g（χ）- g（χn）|]≤ C′η-npfor（4.29）C′=2（p-1)+k2gkp∞ν（1）T+Kp（Cp（Z）Tηp-1+Tp），千克∞< ∞,Kp（C*p（X）Tηp-1+Tp），千克∞= ∞.因此，证明是完整的。命题2的证明。回想一下，χn（resp.χ）的第二个分量等于xt-SBn（分别为XT）。回想定理1，δSBn≤ 自然对数。自0起≤ SBn公司≤ n、 gimplies的局部Lipschitz性质：| g（χ）- g（χn）|≤ K级(n+Ln）eλXT。根据q′的定义，我们得到1/q′+1/q=1。因此，霍尔德不等式给出：（4.30）E|g（χ）- g（χn）| p≤ KpE公司n+Lnpq′q′EheλpqXTiq，其中（4.30）右侧的秒期望由假设Eλpq+<∞ 以及上述第4.3小节第一段中的论点。现在，我们在（4.30）的右侧估计这两个期望值。注意Ir+<∞ 对于所有r>0as Eλpq+<∞. 到（4.11），我们有En+Lnpq′≤ 2（pq′）-1） +Epq′n+Lpq′n.

因此，定理2，（4.24）和不等式（x+y）1/q′≤ x，y为x1/q′+y1/q′≥ 0 implyEn+Lnpq′1/q′≤ 2（p-1/q′）+Cpq′（X）Tηpq′-1η-npq′+Tpq′（1+pq′）-n1/q′≤ 2（p-1/q′）+Cpq′（X）1/q′T（ηpq′）-1） /q′η-n/q′pq′+Tp（1+pq′）-n/q′号.仍然需要获得期望E[exp（λpqXT）]的显式界。通过移除所有小于-1从X得到一个三重态（σ，ν）的Lévy过程Z|[-1.∞), b） 这在Xpath方面占主导地位。设置Z*t=辅助∈[0，t]| Zs |和注释Z*T≥ZT公司≥ XT。定义函数h:x 7→ eλpqx- 1月1日。然后，对于任何c>0，根据Fubini定理，我们得到了[h（Z*T- c） ]≤ E[h（Z*T- c） {Z*T> c}]=Z∞cP（Z*T> z）h′（z- c） dz=Z∞P（Z*T> z+c）h′（z）dz≤Z∞P（| ZT |>z）P[z*T≤ c/2]h′（z）dz=E[h（| ZT）]P[z*T≤ c/2]，其中第二个不等式适用于[Sat13，第167页，等式（25.15）]。因此，我们得到（4.31）EheλpqXTi≤ EheλpqZ*Ti=eλpqcE[1+h（Z*T- c） ]≤ eλpqc1+eeλpq | ZT|- 1P[Z*T≤ c/2]！。使用Lévy Khintchine公式[Sat13，Thm 25.17]计算Lévy过程Z，我们得到[eλpq | ZT |]≤ E[EλpqZT]+E[E-λpqZT]=eTψZ（λpq）+eTψZ(-λpq），L'EVY极值28的模拟，其中ψZ（u）=bu+σu/2+R[-1.∞)（欧盟）-1.-ux{x<1}）ν（dx）表示u∈ (-∞, λpq]。马尔可夫不等式隐含P[Z*T≤ c/2]≥ 1.- （2/c）E[Z*T] 。此外，通过引理2，我们得到了e[Z*T]≤ EZT公司- infs公司∈[0，T]Zs≤ m{Z}（T）+m{-Z} （T）。因此，从（4.31）开始，对于任何c>（m{Z}（T）+m{-Z} （T））/2我们得到λpqXTi≤ eλpqc1+eTψZ（λpq）+eTψZ(-λpq）- 11-c（m{Z}（T）+m{-Z} （T））！。因此，使用（4.30）和不等式ηpq′≤ 2.≤ 1+pq′（作为pq′）≥ 1） ，我们得到边界|g（χ）- g（χn）| p≤ C′η-n/q′pq′，其中（4.32）C′=Cpq′（X）1/q′T（ηpq′）-1） /q′+Tp-（p-1/q′）+K-体育课-λpc1+eTψZ（λpq）+eTψZ(-λpq）- 11-c（m{Z}（T）+m{-Z} （T））1/q，常数Cpq′（X）在（4.23）和m{Z}（T）和m中定义{-Z} （T）在引理2中给出。备注5。

速率η-对于命题2中满足指数矩条件的最大q，命题2界中的1/q′pq′最小（作为q的函数）。实际上，让r=pq′，注意，sincep是固定的，将η最小化-q中的1/q′pq′相当于最大化η1/rrin r。通过（4.22），函数r 7→ η1/rris减小，因此在尽可能小的r（即最大的q）处取其最大值。命题3的证明。回想一下定理1，0≤ SBn公司≤ n、 设n=η-n/（γ+q）q和注释E|h（Xt）| pkhkp∞{XT-SBn公司≤x}-{XT≤x}p≤ P（XT- SBn公司≤ x<XT）≤ P（XT- n≤ x<XT）=P（XT- n≤ x<XT- n）+P（XT- n≤ x<XT≤ x+n）≤ P（n<n） +P（x<XT≤ x+n）。通过引理4中的（4.27），我们得到了p（n<n）≤ν（1）T 2-n+-qnCq（Z）Tηq-1η-nq=ν（1）T 2-n+Cq（Z）Tηq-1η-nγ/（γ+q）q。XTin假设1的分布函数的假定H"older连续性意味着P（x<XT≤ x+n）≤ Kγn.G在（4.23）中给出了Cq（Z）的公式，常数（4.33）C′=khkp∞（ν（1）T+Cq（Z）Tηq-1+K），明确且满足E[| g（χ）- g（χn）| p]≤ C′η-nγ/（γ+q）q。备注6。最小化速率η-γ/（γ+q）qas命题3中q的函数在某种程度上涉及。关于区间（α+，∞), 费率q 7→ η-γ/（γ+q）q=2-γ/（γ+q）严格递增，因此最优q总是位于（0，α+）。

在区间（0，α+）上，问题等价于最大化mapr 7→ ef（r）=ηγ/（γ+q）qon区间（0，1），其中r=qα+∈ （0，1）和f:x 7→ 对数（1+x）/1+α+γx.自γα起+1+α+γxddxf（x）=γα+- 11+x- （对数（1+x）- 1） ，L'EVY极值模拟29 f的临界点，通过求解s=log（1+x）获得- 1英寸ses=e-1(γα+- 1） ，由R=eW（e）给出-1(γ/α+-1))+1- 1，其中W是Lambert W函数，定义为x 7的逆函数→ xex。因为f在[0，r]上增加，在（r）上减少，∞), 然后r=min{r，1}使f |（0,1）最大化，这意味着最优q方程q=α+minn1，eW（e-1(γ/α+-1))+1- 1o。特别是，当且仅当γ/α时，选择q=α+是最优的+≥ 2日志（2）- 1 = 0.38629 . . ., 并导致绑定O（2-n/（1+α+/γ））。因此，如果γ=1，命题3中的最佳界是O（2-n/（1+α+）。4.5. 中心极限定理的证明。定理3的证明。召回nN=对数N/log（ηg） 请注意，1≥√Nη-nNg公司≥ η-1克。因此，假设（b）收益率（4.34）√氖gnN，N→ 0作为N→ ∞.定理1中使用的第4.1小节中的耦合意味着对于所有n∈ N以下χ和SBAχnin（1.2）之间的关系保持不变：YT=XT，XT- SBn公司≤ XTandτT- δSBn≤ T假设（a）的第（i）部分和第（ii）部分暗示g（χn）和g（χn）分别由ζ=g（XT，XT，T）和ζ控制。由于ζ和ζ在假设下是可积的，支配收敛定理产生（4.35）V[g（χn）]=E[g（χn）]- [例（χn）]→ E[g（χ）]- [Eg（χ）]=V[g（χ）]作为n→ ∞.回想一下（χin）i∈{1，…，N}是SB Alg使用N个步骤进行N次独立运行所产生的输出。确定归一化中心随机变量ζi，N=g级χ客栈- 如χ客栈/pNV【g（χ）】，其中i∈ {1，…，N}。因此（4.35）意味着pni=1Eζi，N=V[g（χ）]-1（1/N）PNi=1V【g（χinN）】→ 1作为N→ ∞. 此外，wehaveNXi=1ζi，N=pN/V[g（χ）]gnN，N+o（1）为N→ ∞,其中o（1）是一个确定性序列，与（4.34）中的序列成比例。

因此，（2.5）在且仅在Ifpni=1ζi，Nd时成立→ N（0，1）为N→ ∞.为了总结证明，我们将使用Lindeberg的CLT[Kal02，Thm 5.12]，对于该CLT，仍需证明Lindeb-berg的条件成立，即PNi=1E[ζi，N{ζi，N>r}]→ 0作为N→ ∞ 对于所有r>0。通过本证明第二段的耦合，我们发现| g（χin）|≤ |ζi |对于所有i∈ {1，…，N}和N∈ N、 式中（ζi）i∈{1，…，N}是iid，其定律等于G（XT，XT，T）。关键的是，ζi不取决于SB Alg中的步骤数。此外，注意iid随机变量ξi=（|ζi |+E |ζi |）满足Eξi<∞ 和|ζi，N |≤ ξi/pNV【g（χ）】对于任何i∈ {1，…，N}。因此，我们发现[g（χ）]NXi=1E[ζi，N{ζi，N>r}]≤NXi=1NEξi{ξi>rNV（g（χ））}= Eξ{ξ>rNV（g（χ））}→ 0as N→ ∞, 这意味着林德伯格条件和我们的定理。备注7。在定理3中确定适当的G通常很简单。例如，可以在感兴趣的上下文中选择以下G。L'EVY极值30（a）的模拟设g为Lipschitz（如命题1）。那么我们可以取（i）G（x，y，t）=kgk∞, 如果kgk∞< ∞;（ii）G（x，y，t）=G（x，y，t）|+2K（y+t），如果I+<∞.（b） 设g为局部Lipschitz，Lipschitz常数以λ>0的速率指数增长（asin命题2）。那么我们可以取（i）G（x，y，t）=Keλy，如果G（x，y，t）≤ Keλyand E2λ+<∞ （回望和事后诸葛亮选项属于这一类）；（ii）G（x，y，t）=G（x，y，t）|+2K（y+t）eλyif E2λq+<∞ 对于某些q>1。（c） 如果g是屏障选项（如提案3所示），则取g（x，y，t）=kgk∞.备注8。如果我们准备集中，则可以将标准iid CLT应用于基于SB Alg的估计器。实际上，对于固定的n，假设V[Pn]<∞ 其中Pn=g（χn），经典CLT yieldspNV[Pn]NXi=1（引脚- EPn）d→ N（0，1）为N→ ∞.相反，定理3的要点是，不需要将样本置于n的函数中心，而n本身取决于s样本。附录A。

MLMC和debiasingA。1、O和O。本文中使用了以下标准符号：对于函数f，g:N→(0, ∞) 我们把f（n）=O（g（n））（分别f（n）=O（g（n）））写为n→ ∞ 如果lim supn→∞f（n）/g（n）是有限的（分别为0）。换句话说，对于某些常数C>0和所有n，f（n）=O（g（n））等价于f（n）在Cg（n）的上方有界∈ N、 特别地，f（N）=O（g（N））并不意味着f和gdecay的速率相同。我们还将f（）=O（g（））（分别f（）=O（g（）））写为↓ 0，对于函数SF，g：（0，∞) → (0, ∞ ) 如果lim sup↓0f（）/g（）是有限的（分别为0）。A、 2。ML.我们首先回顾了[CGST11，Thm 1]的一个版本。定理4。考虑一组s平方可积随机变量P，P，P。P=0。让{Dik}k，i∈Nbe独立，Dikd=Pk-主键-1对于所有k，i∈ N、 假设对于某些q≥ （q）∧q） /2>0和所有n∈ N我们有（a）| EP-EPn |≤ c-nq，（b）V[Pn+1- Pn]≤ c-nq，（c）构造（Pn，Pn）的单个样本的预期计算成本c（n）-1） 以Cnq为界，其中c，c，care正常量。那么每>0存在n，n，Nn型∈ N（见下文注释9（i）中的明确公式），使得估计量（A.1）^P=nXk=1NkNkXi=1Dikis L-在水平，E精确（^P- EP）< ，L'EVY极值31的模拟，计算复杂度为有序CML（）=O（-2） 如果q>q，O（-2log）如果q=q，O（-2.-（q）-q） /q）如果q<q，则注释9。（i） 在[CGST11]中，级别数等于n=日志(√2c-1） /q 以及k级的样本数∈ {1，…，n}是（A.2）Nk=2c-2.-（q+q）k/2/（1）- 2.-（q）-q） /2） 如果q>q，2c-2n2-qk公司 如果q=q，2c-2n（q-q） /2-（q+q）k/2/（1）- 2.-（q）-q） /2） 如果q<q。显然，水平n的数量是从假设（a）偏差的界限中获得的，而水平k的样本数量（a.2）是∈ {1，…，n}是使用方差和计算成本的界从一个简单的约束优化中获得的。

在实践中，如果无法访问作为总和（a）–（c）的边界中涉及的常数，则可以通过蒙特卡罗模拟对小n进行估计。在本文的设置中，障碍选项就是这种情况，请参见命题3及其后续段落。（ii）联轴器（Pn，Pn-1） 定理4的假设（b）和（c）中隐含的可模拟性，构成了定义MLMC估计器所需的任何MC算法的关键扩展。从（b）中可以清楚地看出，在这种情况下，不需要琐碎的独立耦合。事实上，通常情况下，最佳耦合（其中V[Pn+1-Pn]等于Pn定律之间的L-Wasserstein距离- EPnand Pn+1- EPn+1，参见上面的（4.25）是非常昂贵的（分别是不可能的）模拟，使得（c）中的界限非常大（分别是不可行的）。因此，需要“折衷”耦合。然而，本文分析的问题并非如此，因为成本仅以n为单位线性扩展。相反，假设（a）不需要特定的耦合，因为EPn- EP |仅通过P和Pn的平均值进行比较。因此，即使无法用于模拟，也可以使用最佳耦合计算qm。A、 3。借记。变量{Dkn}n，k的一种随机选择∈Nin定理4得出了EP的无偏估计量（见[McL11，RG15]）。更准确地说，在【Vih18，Thm 7】之后，确定估计器（A.3）^P=∞Xk=1ENkNkXn=1Dnk，其中非负随机整数序列（Nk）k∈N、 独立于{Dkn}N，k∈N、 所有k的满意度ENk>0∈ N和P∞k=1Nk<∞, i、 e.对于所有足够大的指数，Nk=0。序列（Nk）k∈NCA可以构造为正整数（Rj）的有限样本的确定性泛函，Nj=1as如下：（a）单项估计量（STE）：Nk=PNj=1{Rj=k}；和（b）独立和估计量（ISE）：Nk=PNj=1{Rj≥k} （见【Vih18，Thms 3和5】）。

例如，可以将（Rn）Nn=1取为具有公共分布pn=P[R=n]>0，n的IID∈ N、 STE-andISE的计算复杂性与R定律的最佳选择有关【Vih18，第6节】。[Vih18]中分析的选择之一是均匀分层估计（USE），如下面的定理5所述。Let FR：模拟L'EVY极值32x 7→Px个n=1pn，x>0，是R的分布函数（其中我们表示x个 = sup{k∈ Z:k≤ x} ），让F-1R：u 7→ inf{k∈ N：FR（k）≥ u} ，u∈ （0，1），是其广义逆。Putpn=1-FR（n-1） forn公司∈ N并回顾上文定理4中定义的C（N）。定理5（【Vih18，Thm 19】）。对于某些固定N∈ N let（英国）k∈{1，…，N}与英国独立~U（k-1N，kN），并将Rk=F-1R（英国）代表k∈ {1，…，N}。（a） 假设∞n=1E[（Pn-Pn-1） ]/pn<∞ 定义Nj=PNk=1{Rk=j}，其平均值为ENj=N pj。那么^PST，Nin（A.3）是满足E^PST的均匀分层标准，N=EP和limN→∞NV[^PST，N]=P∞n=1V【Pn- Pn-1] /Pn带cos t NP∞n=1pnC（n）。（b） 假设∞n=1E[（P- Pn-1） ]/pn<∞ 定义Nj=PNk=1{Rk≥j} 其平均值为ENj=Npj。那么^PIS，Nin（A.3）是满足E^PIS的均匀分层ISE，N=EP和limN→∞NV【^PIS，N】=P∞n=1（V[P- Pn-1] - V[P- Pn））/Pn带cos t NP∞n=1pnC（n）。备注10。分别以Irest和Irest表示的STEand-ISE的渐近逆相对效率（定义见[Vih18，第6节，第12页]）由Irest给出=∞Xn=1V【Pn- Pn-1] 请注意！∞Xn=1pnC（n）！≥∞Xn=1pVST（n）C（n）IREIS=∞Xn=1V[P-Pn-1] - V[P- Pn]Pn！∞Xn=1pnC（n）！≥∞Xn=1pVIS（n）C（n），其中VST（n）=V[Pn- Pn-1] ，VIS（n）=V[P- Pn-1] - V[P- 请注意]。下界遵循Cauchy-Schwarz不等式，不依赖于定律（pn）n的选择∈通过取（A.4）pSTn=pVST（n）/C（n）P获得Nand∞k=1pVST（k）/C（k）和PISN=pVIS（n）/C（n）P∞k=1pVIS（k）/C（k）。因此，这些选择显然是最优的。附录B。

在本附录中，我们讨论了命题3中假设1的必要性。示例1。对于任何γ∈ （0，1）存在一个具有绝对连续Lévymeasureν的Lévy过程X，使得lim infu↓0uα-对于某些α，2σ（u）>0保持不变∈ （0，1）和假设1对γ在可数个M>0时失败。召回σ（κ）=R(-κ、 κ）xν（dx）表示κ∈ （0，1），并注意到示例1中的X具有[第13条，第28.3款]规定的平滑过渡灵敏度。证据证明的实质是将任何这样的M构造为ν密度的奇点。为了使事物明确，我们将在一个固定的M>0的情况下证明它。为此，设为α稳定过程，正参数ρ=P（S>0）∈ （0，1）满足αρ+α+ρ<γ。设Z是一个独立的Lévy过程，由νZ给出有限的Lévy测度νZ((-∞, x] \\{0}）=最小值{1，（最大值{x，M}- M） ρ}，设X=S+Z。此后，只考虑足够小的>0，即<min{（T/2）1/α，min{M，1}/2}。我们的目标是从低于概率P（XT）的范围∈ [M，M+3））。为此，我们考虑Z只跳一次的事件，S很小，S≤ 跳跃时为M，跳跃后S不会增加太多。L'EVY极值33的模拟由于Sis的密度是正的、连续的和有界的，因此从标度特性来看，存在一些常数K>0（不依赖于），因此对于所有≤ α，P（St∈ [0，），St≤ M） =P（S）∈ [0，t-1/a），S≤ t型-1/αM）≥ K、 根据[Bin73，Thm 4A]，我们还知道P（St≤ ) ≥ Kαρ对于某些常数K>0且所有T>T-α/2. 现在，ZT∈ [M，M+）具有概率e-TTρ，因为它只能发生在Z在[0，T]上有一个单跳时，其时间U是条件分布的U（0，T）。固定时间∈ （0，T），Markovproperty givesPsups公司∈[0，T-t] 不锈钢+t-St公司∈ A、 （St，St）∈ B×C= P【ST】-t型∈ A] P[（St，St）∈ B×C]，对于所有可测量的A、B、C R

H，乘以t处U的密度，积分并利用（U，Z）和S的独立性，我们得到p（XT∈ [米，米+3）≥ P（ZT∈ [米，米+），苏∈ [0，），SU≤ M、 XT公司∈ [米，米+3）≥ e-TTρZTPsups公司∈[0，T-t] 不锈钢+t- St公司≤ ，St∈ [0，），St≤ MZT公司∈ [米，米+），U=tdtT公司≥ e-TρZαP（ST-t型≤ ）P（St∈ [0，），St≤ M） dt公司≥ e-TKKαρ+α+ρ。这意味着x 7→ P（XT≤ x） 在M处不是局部γ-H"older连续的。参考文献【AA10】Soren Asmussen和Hansj"org Albrecher，《破产概率》，第二版，《统计科学与应用概率高级系列》，第14卷，世界科学出版有限公司，新泽西州哈肯萨克，2010年。2766220先生【AGP95】Soren Asmussen、Peter Glynn和Jim Pitman，《一维反射布朗运动模拟误差离散化》，Ann。应用程序。概率。5（1995），第4875–896号。1384357【Asm03】Soren Asmussen先生，《应用概率与队列》，第二版，《数学应用》（纽约），第51卷，Springer Verlag，纽约州北部，2003年，《随机建模与应用概率》。Violetta Bernyk、Robert C.Dalang和Goran Peskir先生（1978607【BDP11】Ann）预测了没有负跳的稳定Lévy过程的最终优势。概率。39（2011），第6号，2385–2423。2932671[1996年10月]Jean Bertoin先生，《Levy过程》，剑桥数学丛书，第121卷，剑桥大学出版社，剑桥，1996年。1406564先生【BG61】R.M.Blumenthal和R.K.Getoor，《具有平稳独立增量的随机过程的样本函数》，J.Math。机械。10 (1961), 493–516. 0123362先生【BGK97】马克·布罗迪（Mark Broadie）、保罗·格拉斯曼（Paul Glasserman）和史蒂文·寇（Steven Kou），离散巴利尔期权的连续性修正，数学。《金融》第7期（1997），第4325-349号。M R 1482707【BGK99】马克·布罗迪（Mark Broadie）、保罗·格拉斯曼（Paul Glasserman）和S.G.寇（S.G.Kou），《连接离散和连续路径依赖期权》，金融斯托赫。3（1999），第1期，第55-82页。MR 1805321 L'EVY极值模拟34【BGT89】N.H.Bingham，C.M。

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