根据推论1和方程式（40），我们得到usud公司=I2n×2n-xg（a，x）-1.diag（ξ）diag（1n- ξ)(93)<=>I2n×2n-xg（a，x）usud公司=diag（ξ）diag（1n- ξ)(94)usud公司=diag（ξ）diag（1n- ξ)+diag（ξ）Msdiag（ξ）Mddiag（1n- ξ） Msdiag（1n- ξ） Md公司usud公司.（95）因此，部分驱动力是固定点的解usud公司= Tξusud公司Tξ表示方程式（95）右侧的地图。我们现在证明，（i）Tξ在usand ud中都是单调递增的，（ii）Tξ是单调递增的。（i） 考虑u0su0d≥usud公司. 然后ξu0su0d-usud公司=diag（ξ）Ms（u0s- us）诊断（ξ）Md（u0d- ud）诊断（1n- ξ） Ms（u0s- 美国）diag（1n- ξ） Md（u0d- ud）≥（96）如果最后一个不等式来自u0s，d- 美国，d≥ 0, ξ ∈ Rnand假设1说明Ms，d≥ 为了证明Tξ是一个收缩，我们计算Tξu0su0d- Tξusud公司=diag（ξ）Msdiag（ξ）Mddiag（1n- ξ） Msdiag（1n- ξ） Md公司u0su0d-usud公司(97)≤diag（ξ）Msdiag（ξ）Mddiag（1n- ξ） Msdiag（1n- ξ） Md公司u0su0d-usud公司(98)≤ λu0su0d-usud公司（99）如果λ<1存在，则假设所有j=1，…，PIMS，di，j<1的要求略强，n、 收缩如下所示：diag（ξ）Msdiag（ξ）Mddiag（1n- ξ） Msdiag（1n- ξ） Md公司求和小于1，并将其k·k也限定在下一个。通过（ii）我们从Banach的不动点定理中知道，迭代un+1=Tξ非收敛到唯一的不动点u*从任何初始条件u进一步，从（i）中，当us，d时，在sus和ud两部分中，收敛严格地从上到下≥ （美国，d）*或美国，d≤ （美国，d）*分别地现在用ξ和uξ表示解，即uξ=Tξuξ，并考虑ξ≥ ξ、 也就是说，有更多的公司是有溶剂的。

那么，Tξusξudξ=diag（ξ）+diag（ξ）Msusξ+diag（ξ）Mdudξdiag（1n- ξ） +诊断（1n- ξ） MSUξ+诊断（1n- ξ） Mdudξ(100)≥≤diag（ξ）+diag（ξ）Msusξ+diag（ξ）Mdudξdiag（1n- ξ） +诊断（1n- ξ） Msusξ+diag（1n- ξ） Mdudξ（101）因此通过单调收敛usξ≥ usξ和udξ≤ udξ，这是期望的结果。B与威胁指数的关系在此，我们仅考虑债务交叉持股，即Ms=0。然后，模型不等式（8）简化为tos=max0，a+Mdr- d, （102）r=最小值d、 a+Mdr（103）由于右侧不依赖于s，因此需要考虑债务r的恢复值。表1提供了我们的符号和Demange（2018）术语之间的翻译。Demange model我们的模型解释注释注释解释总负债l*i=Pjli名义债务清算比率θi∈ [0，1]ridiNARepaymentθil*IRI债务回收价值营运现金流ZIAI外部资产价值总现金流量ai（θ）=zi+Pjθjljivi=ai+Pjmdijjrjfirm价值负债份额∏ij=lijl*IMDJIIInvestment fractionDefault集合i∈ Dξi=0偿付能力向量表1：我们的符号和Demange（2018）术语之间的翻译。Demange（2018）的定义1现在指出，第一个ai（θ）≥ Zi和第二θi=1或ai（θ）=θil*我想。翻译成我们的符号，这意味着vi≥ A债务的回收价值ri=θil*如果公司资不抵债，则ieither等于dior Vi。因此，在我们的模型中，还款率的约束转化为ri=min{di，vi}=min{di，ai+XjMdijrj}（104）。将ai（θ）和viwe identification∏的定义与（Md）T匹配。Demange现在考虑还款的总价值V，即V=Piθil*我认为V=皮里。因此，我们可以将V表示为0Ts+Tr=（0；1）Tx，其中0和1分别是0和1的n维向量。

使用推论1，我们可以计算V相对于外部资产价值的偏导数，如下所示五、a=a（0；1）Tx（a）（105）=（0；1）TI2n×2n-xg（a，x）-1.diag（ξ）diag（1n- ξ)（106）=（0；1）TI2n×2n- diag（ξ；1n- ξ)0 Md0 Md-1.diag（ξ）diag（1n- ξ)(107)=T、 1T（英寸×n- 诊断（1n- ξ） Md）-1.diag（ξ）diag（1n- ξ)（108）=1T（In×n- 诊断（1n- ξ） Md）-1diag（1n- ξ) . （109）因此，用uTwe表示该偏导数行向量，发现u=diag（1n- ξ） T（ITn×n- （Md）Tdiag（1n- ξ） T）-11（110）=诊断（1n- ξ） （ITn×n- ∏诊断（1n- ξ))-11（111）符合Demange（2018）提出的定义。C对称示例的解这里，我们计算对称示例中债务和股权的市场价值，假设单个外部资产遵循几何布朗运动。在这种情况下，At=ae（r-σ） t+σ√tZ（112），其中Z~ N（0，1），即Athas为对数正态分布，参数ua=ln a+（r-σ） t和σA=σt.C.1权益和债务价值根据方程式（26），权益的市场价值为st=EQt[e-rτs*（AT）]（113）=e-rτEQthEQt[s（AT）|ξ]i（114）=e-rτ0PQt[ξ=0]+EQt在- (1 - wd）d1- ws |ξT=1PQt[ξT=1]（115）=e-rτ1.- wsEQt[在|ξT=1时]-1.- wd1- wsd公司PQt[ξT=1]。（116）定义d±如等式（82）中所示，风险中性偿付能力概率可写成asPQt[ξT=1]=PQt[在≥ (1 - wd）d]（117）=1- Φ(-d-) = Φ（d-) . （118）类似地，从对数正态分布得出的条件期望值为aReads asEQt[在|ξT=1]=eln AT+rτΦ（d+）PQt[ξT=1]（119）。类似地，债务的市场价值计算为rt=e-rτ1.- wdEQt[在|ξT=0时]（1- PQt[ξT=1]+d PQt[ξT=1]（120）条件期望Eqt[在|ξT=0时]=eln在+rτΦ时(-d++1- PQt[ξT=1]。（121）最后，结合所有方程，我们得到方程（80）中给出的解。C、 2 Greek为了计算希腊语，在本例中，我们首先计算解x的偏导数*= （s）*, r*)Tby推论1。

此外，由于所有公司都是对称的，因此要么是所有溶剂，要么是所有破产的，从方程式（46）和（47）中，我们得到：s*a=如果ξ=01，则为0-wsifξ=1（122）r*a=1.-wdifξ=00，如果ξ=1。（123）将权益和债务相加，并考虑预期，系统风险指数π表示为π=EQt[s*在+r*位于]- 1 (124)=1 - wsPQt[ξ=1]+1- wd（1- PQt[ξ=1]）- 1.（125）接下来，我们需要at对相关参数θ=（at，σ，r，τ）的偏导数：atat=e（r-σ)τ +σ√τZ=ATat（126）ATσ=AT-στ +√τZ（127）在r=ATτ（128）ATτ=ATr-σ+σ√τZ. （129）从等式（43）中，我们最终得到了希腊人：在strt公司=e-rτat1-wsPQt[ξ=1]EQt[在ξT=1时]1-wdPQt[ξ=0]EQt[在ξ=0时]！(130)σstrt公司= e-rτ1-wsPQt[ξ=1](-στEQt[在|ξT=1时]+√τEQt[ATZ |ξT=1]）1-wdPQt[ξ=0](-στEQt[在|ξT=0时]+√τEQt[ATZ |ξT=0]！(131)rstrt公司= -τe-rτ1.-wsEQt[在|ξT=1时]-1.-wd1-wsd公司PQt[ξ=1]1-wdEQt[在|ξT=0]PQt[ξT=0]+d PQt[ξT=1]！（132）+τe-rτ1-wsPQt[ξ=1]EQt[在ξT=1时]1-wdPQt[ξ=0]EQt[在ξ=0时]！（133）=τe-rτd PQt[ξT=1]1-wd1-ws系列-1.(134)τstrt公司= -重新-rτ1.-wsEQt[在|ξT=1时]-1.-wd1-wsd公司PQt[ξ=1]1-wdEQt[在|ξT=0]PQt[ξT=0]+d PQt[ξT=1]！（135）+e-rτ1-wsPQt[ξ=1]（（r-σ） EQt[在|ξT=1时]-σ√τEQt[ATZ |ξT=1]）1-wdPQt[ξ=0]（（r-σ） EQt[在|ξT=0时]-σ√τEQt[ATZ |ξT=0]！（136）这些公式中的所有术语都是解析的，但条件期望seqt[ATZ |ξT]涉及At和Z，我们将其作为练习留给读者。

相反，作为一种理智的检查，我们比较了两个希腊人，即 ρ不涉及这一项，由BlackScholes公式得到相应的结果。在strt公司=1.-wsΦ（d+）1-wdΦ(-d+）(137)=1.-ws系列atCBS（at，（1- wd）d，r，τ，σ）1-西部数据在e-rτ（1- wd）d- PBS（在，（1- wd）d，r，τ，σ）(138)rstrt公司= τe-rτ（1- wd）dΦ（d-)1.-ws系列-1.-西部数据(139)=1.-ws系列RCB（在，（1- wd）d，r，τ，σ）1-西部数据re-rτ（1- wd）d- PBS（在，（1- wd）d，r，τ，σ）（140）ReferencesAcharya，Viral V.，Lasse Heje Pedersen，Thomas Philippon，Matthew P.Richardson。衡量系统性风险。AFA 2011丹佛会议文件。Adrian、Tobias、Markus K.Brunnermeier。2016年，科瓦尔。《美国经济评论》106（7）1705–41。巴鲁卡、保罗、马尔科·巴多西亚、法比奥·卡西奥利、马尔科·德里科、加布里埃尔·维森丁、斯特凡诺·巴蒂斯顿、圭多·卡尔达雷利。2016年，金融系统网络估值。巴蒂斯顿、斯特凡诺、米开朗基罗·普利加、拉胡尔·考希克、保罗·塔斯卡、圭多·卡尔达雷利。2012年，Debtrank：太核心而不能倒闭？金融网络、美联储和系统性风险。科学报告2541。Brownlees，Christian T.，Robert F.Engle。2016年。SRISK：系统性风险的有条件资本短缺度量。Demange，加布里埃尔。2018年，《金融网络传染：威胁指数》。管理科学64（2）955–970。艾森伯格、拉里、托马斯·H·诺。金融系统中的系统性风险。管理科学47（2）236–249。Elsinger，H.2009年。金融网络、交叉控股和有限责任公司。技术代表，威斯康星州Oestreichische Nationalbank。工作文件156。范斯坦、扎卡里、彭伟杰、伯吉特·鲁德罗夫、埃里克·夏宁、斯蒂芬·斯特姆、麦肯齐·怀德曼。2017年，艾森伯格noe清算向量对单个银行间负债的敏感性。技术代表13，挪威银行工作文件。汤姆·菲舍尔。2014年，系统性风险下的无套利定价：交叉所有权会计。数学金融24（1）97–124。Gai、Prasanna、Sujit Kapadia。2010

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