如果（3.2）和（3.3）保持不变，则V（t）=Z（t，∞)e-Rstr（u）duXk∈SPmXtk（t，s）黑色+Xl∈S、 l6=kmkl（t，S）bkl（S）ds，与（3.4）协商。如果短期利率是随机的，但市场风险独立于生物特征和行为风险，则上述读数为SV（t）=Z（t，∞)e-Rstf（t，u）duXk∈SPmXtk（t，s）黑色+Xl∈S、 l6=kmkl（t，S）bkl（S）ds，（6.1）其中f（t，·）是与短期利率r相关的通常远期利率。因此，只要市场风险独立于生物特征和行为风险，前面章节的结果和讨论将从预期累计现金流立即延伸到预期准备金。如果市场风险与生物特征和行为风险之间存在依赖关系，（6.1）将不再有效，并且之前的结果和讨论无法直接扩展。因此，本文不讨论市场风险与生物特征和行为风险之间依赖关系的远期过渡和利率。据我们所知，只有Buchardt【2】提供了远期利率概念，允许在利率和转移率之间存在依赖关系的多状态模型中成功地进行替换参数。Buchardt[2]只考虑由最多一个单能吸收态组成的简单模型。自然，下一步是扩展远期等式利率的定义和国家层面远期转移率的定义，以考虑市场风险与生物特征和行为风险之间的依赖关系，并将这些概念与Buchardt的概念进行比较[2]。AcknowledgementSchristianFurrer的研究部分由丹麦创新基金会（IFD）资助，文件编号7038-00007B。我们要感谢拉尔斯·弗雷德里克·勃兰特的富有成果的讨论。参考文献【1】D.Bauer、F.E.Benth和R.Kiesel。模拟死亡率的前表面。《暹罗金融数学杂志》，3:639–6662012。

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根据【20】定理2.1.5，fu∞⊥⊥ FXt | Fut，（A.2），其中我们采用了条件独立性的不对称公式（参见[20]定理3.3.7）。特别是，使用还原（参见[20]引理3.3.5）Fut+⊥⊥ FXt | Fut。同样，根据（A.1）和[20]定理3.4.1，FX，ut+⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ Fu∞, （A.3）而根据（A.2）和[20]定理3.4.2，Fu∞⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ Fut.（A.4）组合（A.3）和（A.4），使用与[20]示例3.4.4中相同的参数，我们得到fx，ut+⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ 需要Futas。定理3.2的证明我们首先证明了（3.5）对于任何T∈ （t，∞). 修复T∈ （t，∞). 在下面的内容中，我们以注释方式抑制t，并为TPjk（t，t）。因为对于k<j，Pjk（T）=0，因此mjk（T）=0 fork<j，剩下的方程组采用formA（T）~m（T）=P（T），移除索引k<j后，m为向量m，移除相同索引后，pB为向量pam，m=m、 ，m0J，m，m1J，m（J-1） J>,P=PP0J，P，P1J，P（J-1） J>,其中A是一个带对角元素的上三角矩阵J timesz}{P，…，P，J-1 timesz}{P，…，P，…，P（J-1） （J）-1),其中，其他条目为0或P的元素。因为Pujj（T）=exp-ZTtXk>jujk（s）ds> 0，它认为Pjj（T）>0，因此特别是Rdet A=J-1Yj=0PJ-jjj>0，这意味着A是可逆的。因此，对于固定T∈ （t，∞) 当k<j且m（T）=a时，存在由mjk（T）=0给出的唯一解-1（T）~P（T）。为了完成证明，我们必须证明溶液是Fut可测量的（作为t的函数）。如果A的条目是Fut可测量的，则紧随其后的是Cramer规则。

但是A的条目要么是零，要么是P的元素，这些元素是微不足道的fut-可测量的，从而产生期望的结果。如果假设P（t，·）是连续的，则随后会有类似的参数和应用，例如Cramer规则，即解也是连续的。远期转移率在有投降和自由政策的生存模型中，我们考虑（4.2）给出的状态远期转移率。由于ψ和σ是确定性的，唯一的非平凡导数与m有关。通过设置σ=0并使用对称性，m的导数遵循m的导数。因此，必须导出m。在（Xt=1）上，它认为（XT=1）σ（Xt）∨ Fη，ρt= Ehe公司-R（t，t）（η（s）+ρ（s）+σ（s））dsFη，ρti，E（XT=1）（ρ（T）+σ（T））σ（Xt）∨ Fη，ρt= Ehe公司-R（t，t）（η（s）+ρ（s）+σ（s））ds（ρ（t）+σ（t））Fη，ρti。因此，m（t，t）=σ（t）+Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsρ（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρtion（Xt=1）。现在用C（t，t）=Z（t，t）e来定义C-R（t，s）ψ（u）duψ（s）e-R（s，T）σ（u）duds。注意，on（Xt=0），E（XT=1）σ（Xt）∨ Fη，ρt= E“Z（t，t）E-R（t，s）（η（u）+ρ（u）+ψ（u））duψ（s）e-R（s，T）（η（u）+ρ（u）+σ（u））dudsFη，ρt#=Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρtiC（t，t），E（XT=1）（ρ（T）+σ（T））σ（Xt）∨ Fη，ρt= Ehe公司-R（t，t）（η（s）+ρ（s））ds（ρ（t）+σ（t））Fη，ρtiC（t，t）。因此，每当ψ在具有非零勒贝格测度的（t，t）子集上严格为正时，它保持（Xt=0），即m（t，t）=Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））ds（ρ（t）+σ（t））Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti=σ（T）+Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsρ（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti，因为涉及C（t，t）的项取消。综上所述，这表明m（t，t）=σ（t）+Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsρ（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti是状态正向跃迁率的Fη，ρt-可测量版本。