远期转换率 - 外文文献专区

2022-6-11 02:21:00

远期过渡率克里斯蒂安·布查德（Christian Buchardt）、克里斯蒂安·弗雷尔（Christian Furrer1,2,3）和莫根斯·斯特夫·恩斯潘（Mogens Ste offensefa Pension），丹麦哥本哈根DK-2100 Sundkrogsgade 4号。丹麦哈根5号哥本哈根大学数学科学系，DK-2100Cop en hagenO。通讯作者。电子邮件：furrer@math.ku.dk.AbstractThe远期利率的概念源于利率理论。它对多状态模型中的转移率有着天然的含义。从生存模型中的远期死亡率推广到多状态模型是非常重要的，已经提出了几个定义。我们为远期利率的讨论建立了一个理论框架。此外，我们提供了一个具有自身逻辑和优点的新定义，并将其与文献中的建议进行比较。定义通过将跃迁概率与跃迁强度互换为待计算对象，将Kolmogorov正演方程从内到外转换。关键词：远期利率；双随机马尔可夫模型；人寿保险；Kolmogorov正向方程2010数学学科分类：60J28；60J75；60J27；91B30；91G40JEL分类：G22；G121简介我们在多状态模型中提供了一个新的前向转移率概念，并将其应用于人寿保险和信用风险。这是一个纯粹的概率概念，专门为以特定方式匹配转移概率而定制，即使在非马尔可夫的状态模型中也是如此。虽然简单且具有建设性，但我们的远期过渡费率与文献中建议的不同，主要是考虑到人寿保险的应用。我们的贡献是三倍的。我们提出了一种新的多状态定义，分析了它的特征，并将这些特征和前面提出的其他定义进行了比较。远期利率在债券市场理论中占有重要地位。

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可人4

2022-6-11 02:21:03

它们允许我们在固定的时间点呈现名义支付价格和未来利率价格，就好像“未来利率已知且等于远期利率”。远期利率曲线甚至被视为具有一定一致性约束的随机有限维过程的基本对象，而不是利率。至少从概率的角度来看，金融和保险的两个密切相关的领域是（简化形式的）信用风险理论和人寿保险数学。Kraft和Steffeensen等已经对这些区域之间的关系进行了探索和开发【14】。在这两个学科中，双随机有限状态马尔可夫链是一种基本的随机模型。被保险人的健康和生命状态（或者，在信用风险理论中，是指企业的信用评级和偿付能力状态）被建模为一个有限的状态链。在双随机马尔可夫环境中，该有限状态链假设为马尔可夫链，条件是转移率。这些利率取决于人口中的宏观人口状况（或者，在信贷风险理论中，取决于市场和政治制度中的宏观经济状况）。在研究这些模型中的转移概率和转移密度时，债券市场理论中与远期利率的关系是惊人的——特别是在simplesurvival模型中，其中只有两种状态，其中一种是吸收状态。米列夫斯基（Milevsky）和普罗米斯洛（Promislow）[15]首先服务和利用了这一点，而米勒森（Miltersen）和佩尔松（Persson）[16]讨论了随机利率的扩展，考虑到了重要性和利率之间的相关性。

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可人4

2022-6-11 02:21:06

在这些年里，多位学者讨论并研究了将其推广到多状态模型的想法，但诺伯格（Norberg）[19]对此停止了讨论，他彻底解释了每一种自然推广定义的缺点。事实证明，这还不足以扼杀这个想法本身。最近，Christiansen、Niemeyer【6】和Buchardt【4】提出了具有个人特征的不同概括。我们在此提出另一个具有自身逻辑和优点的广义定义。它基于一个简单的想法，即认为Kolmogorov正演方程组不是计算给定跃迁概率的手段，而是计算给定跃迁概率的手段。Norberg【19】已经考虑过一个版本的theidea，但由于解的一般非唯一性，即前向跃迁率的非唯一性，该版本被拒绝。但诺伯格的版本确定了给定的初始状态。如果方程必须适用于在开始时间点分布在状态空间中的被保险人投资组合（或信用风险版本中的企业投资组合），我们将获得关于存在性和唯一性的更强的结果。然而，这一定义在保险的具体应用中存在缺陷。在“假设为”马尔可夫集中，由我们的前向转移率产生的转移概率实际上是正确的转移概率——这正是它们的构造方式。然而，在“假定为”马尔可夫环境中，跃迁概率和我们的前向跃迁速率并不会同时形成跃迁密度。这限制了它们在计算相关精算量时的应用。

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能者818

2022-6-11 02:21:09

然而，我们指出了如何通过艺术扩展模型部分弥补这一缺陷。我们的贡献之一是我们的具体提案。我们的另一部分贡献是建立了一个理论框架，用于讨论和比较转运费率的定义。这使我们能够清楚地介绍Christiansen和Niemeyer[6]、Buchardt[4]提出的不同建议与本文之间的关系，并重点说明每个想法的利弊。我们的结论不同于Norberg[19]的否定结论。我们认为，在多状态模型中，前向转移率的整个概念与精算实践相关，并提供了一个实证例子。您应该使用哪种版本的正向转换率在很大程度上取决于您想要使用它的目的。这本身并没有削弱这一概念的威力，但它暴露了对其进行深思熟虑的分析的需求。这就是我们在这里提供的。如上所述，人寿保险是一个应用领域，其中有限状态模型通常被视为表示支付流及其预期（现值）价值的基本工具。然而，远期转移利率的概念也可能适用于信用风险理论。许多信用衍生工具规定了企业财务健康状态转变为不同财务健康状态时的名义支付。如果一家公司的财务状况在未来处于特定状态，其他衍生工具会指定名义支付。这些正是人寿保险中评估的付款，另见卡夫和斯特芬森【14】。人寿保险和信用风险理论之间的一个关键区别是，对于人寿保险，通常可以合理地假设转移率独立于利率。

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2022-6-11 02:21:12

各种转型率的不确定性主要由社会人口发展驱动，而社会人口发展可能与经济本身没有联系，至少不是一阶关系。因此，Miltersen和Persson[16]指出，生存模型中利息和死亡率之间的相关性所产生的困难在该领域内几乎没有相关性。在信用风险理论中，转换率的不确定性主要由社会经济发展驱动，而社会经济发展与利率的发展密切相关。在这篇论述中，我们很少关注利率。我们的重点不是处理与利率的相关性，而是在与利率没有相关性的情况下，处理从生存模型推广到多状态模型所带来的挑战。因此，它是多状态模型的目标用户，尤其是人寿保险领域的用户。将与利率的相关性包括在内的概括超出了本文的范围，并且与对远期过渡利率曲线动态的讨论一起推迟到未来的研究。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了概率设置。在第3节中，我们定义了远期过渡率的新概念。在第4节中，我们将我们的定义与文献中的其他建议进行比较，并讨论如何部分“修复”与过渡密度不匹配的情况。在第5节中，我们将工作与精算实践联系起来。第6节结束。2设置和背景(Ohm, F、 P）是一些背景概率空间。让J∈ N且设S={0，1，…，J}为某个有限状态空间。在下面的内容中，我们考虑一个双随机马尔可夫设定，其中被保险人的状态由一个值为S的跳跃过程（链）描述。

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2022-6-11 02:21:15

我们回顾了一个显式的构造，而不是使用满足通常条件的抽象过滤概率空间。详情见Jacobsen【13】。该方法可以被视为具有一定的限制性，但它允许对正向过渡率进行更简单、更简洁的讨论。符号和约定Let（Zt）t≥0是一个随机过程(Ohm, F、 P）在一些可测量空间中的值。我们用FZ表示：=（FZt）t≥0由Z产生并自身适应的自然过滤，即FZt：=σ（Zs:s≤ t），t∈ [0, ∞).此外，我们定义FZ∞:= σ[t≥0FZt,FZt+：=σ（Zs:s>t），t∈ [0, ∞).我们解释FZ∞Z和FZt生成的所有信息+作为Z生成的未来信息（时间t之后）。在下文中，除非明确说明，否则所有恒等式几乎以全方位的方式保持w.r.t.概率测度P.2.1每个可能的转移j，k的双随机马尔可夫集∈ S、 k 6=j，考虑一个随机过程[0，∞) 3t 7→ ujk（t）开(Ohm, F、 P）值在[0，∞) 和连续采样路径。利用2.2 PreliminariesIonescu-Tulcea定理和Jacobsen[13]第3章和第7.2节的方法，我们可以构造一个跳跃过程X：=（Xt）t≥0开(Ohm, F、 P）S中的值，具有确定的初始状态x∈ S和，条件为u，是马尔可夫语，具有transitionintentiesu。我们开始吧(Ohm, F、 P）与构造相关的正则概率空间。X在u上有马尔可夫条件意味着对于所有t∈ [0, ∞),FXt公司+⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ Fu∞,式中σ（Xt）∨ Fu∞表示同时包含σ（Xt）和Fu的最小σ-代数∞.

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mingdashike22

2022-6-11 02:21:18

Byconstruction，用于j，k∈ S、 k 6=j，存在（条件）跃迁概率Pujk，因此对于0≤ t<t<∞,P（XT=k | FXt∨ Fu∞) = PuXtk（t，t）。因此，我们所说的“X在u上有条件地具有跃迁强度u”的意思是，对于所有t∈ [0, ∞), 这是因为每个ujk都有连续的采样路径。此外，条件转移概率Pujk满足Chapman-Kolmogorove方程和前后积分和微分方程（所谓的Eller-Kolmogorov方程）。在下文中，我们假设E[ujk（t）]<∞ 对于所有j，k∈ S、 k 6=j，所有t∈ [0, ∞).2.2初步原则一般来说，X不是无条件的马尔可夫。例外情况是u是确定性的；然后X是具有转移强度u的平凡马尔可夫，我们恢复了经典马尔可夫链人寿保险设置，参见Hoem【12】，Norberg【18】。从现在起，确定时间点t∈ [0, ∞). 对于未来负债和养老金及人寿保险定价，利息取决于预期累计现金流，特别是形式E【Z | FX，ut】的表达式，其中Z是一些FX，ut+/Borel可测量的随机变量，其值为R和有限期望值，E【| Z |】∞. 我们认为Z是未来的付款。在本文中，我们忽略了货币的时间价值和市场风险，只关注预期的累计现金流。如果假设市场风险独立于生物特征和行为风险，则以下结果和讨论将立即扩展到考虑货币时间价值的估值。第6节给出了详细信息，其中还简要讨论了市场风险与生物特征和行为风险之间的依赖关系。因为X是条件马尔可夫的，所以我们得到了以下结果：2.3正向致命性风险2.1。

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2022-6-11 02:21:21

它保持fx，ut+⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ Fut，Fut+⊥⊥ FXt | Fut.证明。参见附录A。作为引理的直接结果，当Z是FX时，ut+/Borel可以用R和E中的值测量[| Z |]<∞, thenE[Z | FX，ut]=E[Z |σ（Xt）∨ Fut]。（2.1）如果Z进一步是Fut+-可测量的，则ne【Z | FX，ut】=E【Z | Fut】。（2.2）因此，我们对形式为E[Z |σ（Xt）的量非常感兴趣∨Fut]或E[Z | Fut]。这些是定义σ（Xt）∨ Fut-可测量或Fut-可测量，因此我们可以将其视为迄今为止观察到的过渡速率的函数，如果Z仅为x，则ut+-可测量，也可以视为被保险人当前状态的函数。2.3远期死亡率我们在下一节中介绍的远期过渡利率的概念是从远期死亡率的概念衍生出来的，远期死亡率的概念同样受到远期利率概念的启发，详情请参阅Norberg【19】第2-4节。为了激发对前向转换率的讨论，我们现在回顾前向死亡率的概念。考虑一个值为{0，1}的跳跃过程X，该过程在u上有条件地是马尔可夫过程，其跃迁强度为u且u=0。该设置对应于具有随机死亡率u的生存模型，另见图1。各种作者，包括Milevskyalivedeadu（·）图1：随机死亡率u的生存模型。Promislow【15】、Dahl【7】和Dahl and Moller【8】现在基本上将正向死亡率定义为Fut可测量的非负溶液（t，∞) 3吨7→ m（t，t）toEhe-R（t，t）u（s）dsFuti=e-R（t，t）m（t，s）ds。（2.3）2.3远期死亡率在下文中，我们称mde为（2.3）边际远期死亡率（率），这是一个术语，随着我们转向远期转换率概念的一般讨论，它将变得清晰。请注意，如果允许我们交换差异w.r.t。

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2022-6-11 02:21:24

T和积分w.r.T.P在（2.3）中，表达式等效于-R（t，t]u（s）dsu（t）Futi=e-R（t，t）m（t，s）dsm（t，t）。（2.4）现在考虑简单累计付款[0，∞) 3秒7→ B（s）由db（s）=1（Xs=0）B（s）ds+B（s）dXs，s给出∈ (0, ∞),B（0）=0，其中带裸露连续和实值确定性函数。对于未来负债的估值以及养老金和人寿保险的定价，利息取决于预期累计现金流，参见Buchardt和Moller【5】。适用于我们设置的一般定义如下：；这里G指的是对(Ohm, F、 P）包含估价人可获得的所有相关信息，B是假定为有限变化的累计付款，cádlág，且适当可积。定义2.2。给定信息G，时间t的预计累计现金流估值∈ [0, ∞) 与累计付款相关的B定义为（t，∞) 3吨7→ A（t，t）：=E[B（t）- B（t）| Gt]。我们发现，在时间t，相关过滤=外汇的预计累计现金流估值∨ Fu由a（t，t）=E给出EB（T）- B（t）FXt公司∨ Fu∞FXt公司∨ Fut= 1（Xt=0）Z（t，t）Ehe-R（t，s]u（τ）dτ（b（s）+u（s）b（s））Futids=1（Xt=0）Z（t，t）e-R（t，s）m（t，τ）dτ（b（s）+m（t，s）b（s））ds，（2.5）其中我们使用了塔的性质，在u上有条件的X是马尔可夫的，具有跃迁强度u和u=0，方程（2.2），以及msatis fies（2.3）和（2.4）。当u确定时，我们恢复经典设置和预期累计现金流量读数（Xt=0）Z（t，t）e-R（t，s）u（τ）dτ（b（s）+u（s）b（s））ds。（2.6）将（2.5）与（2.6）进行比较，准确地揭示了边际远期死亡率的威力：它允许人们以通常的方式计算预期的累计现金流，而不考虑死亡率是随机的，用标准公式中的边际远期死亡率代替随机死亡率。

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2022-6-11 02:21:28

对多州模型的类似结果的期望激发了前向过渡率的概念，我们将在下一节中研究这一概念。3正向方程比率在本节中，我们首先详细阐述了双随机马尔可夫环境下的正向传递率的概念。特别地，我们给出了前向转移率候选对象期望满足的关键属性。受这一论述的启发，我们接下来将介绍正向方程速率的新概念，并在此提供关于将正向死亡率概念推广到多状态模型的可能性的新见解。在下一节中，我们将前向方程速率与文献中先前的前向过渡速率定义进行比较。这是以抽象的方式和残疾保险的详细示例来完成的。3.1前向转移率正如诺伯格（Norberg）[19]所强调的，一个自然问题是，前向死亡率的概念是否能够适应多状态模型，尤其是双随机马尔可夫环境，并在多状态模型中取得成效，或者前一段中调查的结果是否依赖于生存模型的特定结构，在这种情况下，无法进行推广。除了诺伯格（Norberg）[19]的工作外，克里斯汀·安森（Christiansen）、尼迈耶（Niemeyer）[6]和布查德（Buchardt）[4]也对这个问题进行了研究。更具体地说，主要问题是，在估值方面是否可以获得与生存模型类似的替代结果。主要感兴趣的量为（XT=k），（XT-=k） ukl（T），其中T∈ （t，∞) 和k，l∈ S、 l 6=k。为什么这些数量？例如，考虑。

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2022-6-11 02:21:31

简单累计付款[0，∞) 3秒7→ B（s）由DB（s）给定=bXs（s）ds+Xl∈S（Xs-6=l）bXs-l（s）dNXs-l（s），s∈ (0, ∞),B（0）=0,3.1正向过渡速率，其中Nkl、k、l∈ S、 l 6=k，是计算X从k到l的转换次数的计数过程，bk和bklare连续实值确定性函数分别描述逗留付款和转换时付款。省略技术细节，如下所示[0，∞) 3秒7→ M（s）由M（0）=0和M（s）：=B（s）给出-Z（0，s）Xk公司∈S（Xu=k）bk（u）+Xk，l∈S、 l6=k（Xu-=k） ukl（u）bkl（u）duis a鞅w.r.t.过滤外汇∨ Fu∞. 通过定义预期的总现金流，我们（单独，尤其）对数量1（XT=k）和数量1（XT）感兴趣的原因很明显-=k） ukl（T）。Let（t，∞) 3吨7→ mjk（t，t），j，k∈ S、 k 6=j，为σ（Xt）∨ Fut-可测量的候选菌前进过渡率。为了全面推广生存模型中获得的替代论点，需要存在可微分σ（Xt）∨Fut-可测函数[t，∞) 3吨7→ PmXtk（t，t），令人满意TPmXtk（t，t）=Xl6=kPmXtl（t，t）mlk（t，t）- PmXtk（t，t）Xl6=kmkl（t，t），k 6=Xt（3.1）Xk∈SPmXtk（t，t）=1，PmXtk（t，t）=1（Xt=k），k∈ S、与Kolmogorov正演方程相比，pmxtk（t，t）=E（XT=k）|σ（XT）∨ Fut, （3.2）PmXtk（t，t）mkl（t，t）=E（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ Fut, （3.3）保持所有k、l∈ S、 l 6=k。很明显，这归结为两个语句，即（3.1）和（3.2）保持不变，或（3.1）和（3.3）保持不变，或一个更强的组合语句，即（3.1）、（3.2）和（3.3）同时保持不变。当提及第一条声明时，我们通常只会单独提及（3.2）。同样，在提及第二条或合并声明时，我们也没有明确说明（3.1）。身份（3.2）和（3.3）是我们方法的基石，原因如下。

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mingdashike22

2022-6-11 02:21:34

当（3.2）成立时，我们获得了关于跃迁概率的成功替换，而当（3.3）成立时，我们获得了关于跃迁密度的成功替换。因此，当它们同时持有时，预期累计现金流由a（t，t）=E给出B（T）- B（t）FXt公司∨ Fut=Z（t，t）Xk∈SPmXtk（t，s）黑色+Xl∈S、 l6=kmkl（t，S）bkl（S）ds，（3.4）3.2正向方程速率在这里，我们采用了与（2.5）类似的技术，即M是鞅，以及（条件）转移概率的连续性。然后，预期的累计现金流基本上是经典马尔可夫链人寿保险设定中已知的“通常形式”，唯一的区别是随机转移强度已被前向转移率所取代，因此成功地推广了生存模型中获得的置换参数。当m为非负连续时，可以将PmXtk（t，·）视为初始状态为Xt且跃迁强度为m的马尔可夫跳跃过程的跃迁概率，与第2.1小节开头的X构造相比，在所有信息（包括时间t）的条件下。由于远期转换率m通常仅为σ（Xt）∨ Fut-可测量，跃迁强度和跃迁概率取决于当前状态Xt。请注意，我们尚未讨论满足（3.1）、（3.2）和（3.3）的前向转移率候选人的存在性和/或唯一性。这些恒等式仅代表了任何正向转换率定义的理想特性。

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2022-6-11 02:21:37

在下一小节中，我们将介绍一种直接基于（3.1）和（3.2）的新的前向转移率候选。3.2正向方程速率在下文中，我们引入了正向方程速率的一个新概念，并讨论了该正向转移速率定义的存在性、唯一性和其他性质。每个j、k的定义∈ S辅助Fut-可测函数[t，∞) 3吨7→ Pjk（t，t）byPjk（t，t）=EhPujk（t，t）Futi。我们假设Pjk（t，·）对于所有j，k都是可微的∈ S、然后，我们有以下正向转换率定义。定义3.1。Let（t，∞) 3吨7→ mjk（t，t），j，k∈ S、 k 6=j，Fut-可测量。如果满足以下方程组，TPjk（t，t）=Xl6=kPjl（t，t）mlk（t，t）- Pjk（t，t）Xl6=kmkl（t，t），j，k∈ S、 k 6=j，（3.5）我们说m是X的正向方程速率。这个定义类似于Norberg[19]提出的定义，但有一个单一但至关重要的区别。Norberg基本上建议将正向转换速率定义为3.2正向方程速率σ（Xt）∨ 方程组的Fut-可测解TE公司（XT=k）|σ（XT）∨ Fut=Xl6=kE（XT=l）|σ（XT）∨ Futmlk（t，t）- E（XT=k）|σ（XT）∨ FutXl6=kmkl（t，t），k 6=Xt，它只是（3.1）与（3.2）的组合。（3.5）所规定的定义可以看作是涉及所有转移概率的延伸，而不仅仅是与被保险人当前状态相关的转移概率Xt。因此，（3.5）是Norberg定义的约束版本，要求方程适用于涵盖所有州的不同存在状态的被保险人投资组合。正如诺伯格所指出的，他的方程组由J（J- 1）未知但仅限于（J- 1）方程，通常会得到很多解。

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2022-6-11 02:21:40

相比之下，（3.5）由J（J）组成-1）方程，所以我们实际上期望正演方程速率存在且唯一（在适当的正则条件下）。连同（基本满足的）条件xk∈SPjk（t，t）=1，Pjk（t，t）=1（j=k），（3.6）可以表明，正演方程速率的定义精确到（3.1）和（3.2）在为任何j设置PmXtk（t，·）=Pjk（t，·）时保持不变（Xt=j∈ S和所有k∈ S、根据定义，正向方程速率是Fut可测量的：不允许它们偏离当前状态Xt。之后，当我们研究文献中的前向转移率概念时，我们会回到关于该属性的利弊讨论。一般来说，正演方程速率允许为负：在这种情况下，人们不能将Pjk（t，·）视为某些马尔可夫跳跃过程的转移概率，但必须将其视为类似于Kolmogorov正演方程的微分方程系统的解，即（3.5）和条件（3.6）。关于正向方程速率的存在性和唯一性，我们得到了以下结果，这适用于所谓的减量模型，其中一旦离开状态，就不可能返回到状态。例如，无需恢复的残疾模型，有无投保人行为（免费保单和退保）。定理3.2。假设Pjk（t，·）对于所有j，k都是可微的∈ 当k<j时，Pjk（t，·）=0。那么正演方程速率存在且唯一。如果进一步的pjk（t，·）对于所有j，k是连续可微的∈ S、然后，正向方程速率是连续的。证据见附录A。关于正向方程速率的进一步性质，我们注意到以下内容。要得出mjk（t，·）=0的结论，不仅需要从j到k的直接转换是不可能的，而且还需要从j到k的间接转换是不可能的。

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2022-6-11 02:21:44

换句话说，ujk=0并不意味着mjk（t，·）=0，除非更强的要求Pjk（t，·）=0成立。这可以通过考虑无恢复的残疾模型和等于零的活动死亡率来验证。尤其是，（3.3）一般不适用。相反，可获得的最接近的恒等式涉及到分别从每个状态到所有转换的总和之间的差异。严格地说，它遵循可变差异w.r.t.和积分w.r.t.P的假设，即xl6=kPmXtl（t，t）mlk（t，t）-Xl6=kPmXtk（t，t）mkl（t，t）（3.7）=Xl6=kE（XT=l）ulk（T）|σ（XT）∨ Fut-Xl6=kE（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ Fut,对于k∈ S使用正向方程的定义，对m和X的（条件）Kolmogorov正向方程进行评级。这正好表明（3.3）仅适用于分别与状态k之间的转换和之间的差异。对于某些特定类别的模型，这意味着（3.3）。要了解竞争风险模型的这一点，请注意，对于每个死亡状态，只有一个相关的过渡，即从活状态过渡到该状态，因为与该状态相关的剩余过渡强度为零，因此上述身份与（3.3）相同。由于通常只有（3.2）适用于正向方程速率，生存模型的替换参数不能完全推广。但是，如果保险合同不包含过渡期付款，即如果k、l的bkl=0∈ S、 l 6=k，则只需要（3.2），替换参数一般化。

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2022-6-11 02:21:46

因此，如果一个人只对逗留付款的估价感兴趣，那么远期方程式利率是一个富有成果的起点。由于正向方程速率直接由（3.2）定义，上述讨论表明，满足（3.2）和（3.3）的正向过渡速率的任何一般定义都不能是Fut可测量的（因此必须允许依赖于当前状态Xt）。这推动了Buchardt[4]的前向转移率定义，我们将在下一节中讨论。4文献中的正向转移率定义我们现在回顾Christiansen和Niemeyer[6]以及Buchardt[4]与正向方程率的比较，这揭示了文献中4.1替代定义的优缺点，每个个体的正向转移率定义，并导致对正向转移率概念本身的新见解。4.1 Christiansen&Niemeyer（Christiansen&Niemeyer）和Niemeyer（Niemeyer）[6]的文献中的替代定义，远期过渡利率的讨论并不独立于金融市场，但这可以通过在其设置中取零利率轻松实现。Christiansen&Niemeyer简单地定义了远期利率，本质上要求他们考虑到与我们的一系列保险产品相当的替代论据。根据他们考虑的特定多州模型和保险产品，这些要求提出了以下定义：对于每个州，k∈ S、 k 6=j，此转换的正向速率为Fut-可测量和非负解（t，∞) 3吨7→ mjk（t，t）toEhe-R（t，t）ujk（s）dsFuti=e-R（t，t）mjk（t，s）ds。（4.1）我们注意到，MJK不取决于被保险人的当前状态：它只取决于迄今为止观察到的过渡率。此外，mjkdoes的定义不涉及跳转过程X的结构：它们是“通用的”。

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2022-6-11 02:21:50

特别是，（2.3）给出的边际远期死亡率是（4.1）一般定义的特例。要了解这一点，假设X是一个条件马尔可夫跳跃过程，给定u，值为{0，1}，u=0。那么（4.1）只是（2.3）的伪装。因此，我们将（4.1）定义的mjkde称为边际正向转移率，因为它完全依赖于u的概率结构。因此，边际正向过渡率尤其具有限制性和理想性。当边际正向转移率满足（3.2）时，它们与正向方程率一致。要了解这一点，请考虑一个具有transitionactivesurrenderdeadu（·）u（·）的主动投降死亡模型图2：具有转移率u和u的主动投降死亡模型。从现役到投降和现役到死亡的比率如图2所示。然后在（Xt=0）和k=0时，我们可以重述（3.2）ase-R（t，t）（m（t，s）+m（t，s））ds=Ehe-R（t，t）（u（s）+u（s））ds另一方面，通过定义边际正向转移率，即（4.1），即-R（t，t）m（t，s）dse-R（t，t）m（t，s）ds=Ehe-R（t，t）u（s）dsFutiEhe-R（t，t）u（s）dsFuti。4.1替代定义从文献收集中，我们获得了-R（t，t）（u（s）+u（s））dsFuti=Ehe-R（t，t）u（s）dsFutiEhe-R（t，t）u（s）dsFut除非u和u是独立的，否则通常不满足，另见Christiansand Niemeyer[6]第6.2小节，利率为零。这种情况与生物识别风险与金融市场之间存在依赖关系时的远期死亡率和利率的讨论完全相似，参见。

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2022-6-11 02:21:53

Christiansen和Niemeyer【6】第6.1小节，Miltersen和Persson【16】和Buchardt【2】。Christiansen和Niemeyer[6]考虑了过渡率u的一大类差异过程，并展示了一些多状态模型（包括无恢复的残疾模型）的特定依赖结构与其身份（3.2）和（3.3）之间的等效性。因此，它们表明，如果希望“通用”前向转移率仅依赖于u的概率结构，如边际前向转移率，则必须假设转移率之间存在特定且往往不切实际的依赖结构，参见注释5.5后的Christiansen和Niemeyer【6】段。相反，如果一个人只对逗留付款感兴趣，并且愿意指定跳跃过程X的特定结构，则远期方程式利率提供了一种自然的替代方案，不限于过渡内容之间的特定依赖结构。Buchardt Buchardt[4]研究的前向跃迁率的定义适用于所有实际目的，另见Buchardt[4]引理4.3，相当于设置（t，∞) 3吨7→ mkl（t，t）：=E（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ FutE（XT=k）σ（Xt）∨ Fut≥ 所有k、l均为0（4.2）∈ S、 l 6=k，只要右侧定义良好。Norberg【19】第6节最后一段已经提出了这一定义。我们观察到，如果ukl=0，那么mkl（t，·）=0。此外，根据Buchardt[4]定理4.4，可以得出（3.2）成立（在一些较小的正则条件下），因此，也可以满足定义和重排（3.3）。另一方面，与正向方程速率和边际正向转移速率相反，根据定义，（4.2）的正向转换率通常不能被视为Fut可测量，但必须允许其取决于当前状态Xt。

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2022-6-11 02:21:56

因此，我们将MKLD定义为（4.2）状态正向转移率。在竞争风险模型中，国家层面的远期转移率与远期方程利率一致（但通常与边际远期转移率不同，除非假定转移率是独立的）。如果强制实施特定结构4.2残疾保险——“修复”过渡强度的远期方程式费率，则该结果可以扩展到竞争风险模型之外——另请参见第5节末尾的示例）。在下一小节中，在残疾保险的背景下，举例说明了国家层面的前向转移率和前向方程率之间的异同。此外，我们举例说明了适当的状态空间和支付过程“调整”如何允许使用正向方程利率（通过“修复”与转移密度不匹配的情况）对转移支付进行估值。4.2残疾保险–“修复”远期方程式费率将残疾模型考虑在内，无需恢复，如图3所示。保险合同取消了主动死亡u（·）u（·）u（·）图3：无恢复的残疾模型。记住的是o 活跃时的保费支付，融资：–残疾保险，包括：* 从激活状态转换为禁用状态时付款。* 禁用时的逗留付款–过渡到死亡状态时支付的死亡保险。状态速率和正向方程速率考虑（4.2）中的状态正向转换速率。这些取决于被保险人的当前状态，因此我们通过mXt（t，·）来确定。如前所述，（3.2）和（3.3）均满足州层面的正向过渡率。一般来说，m（t，·）和m（t，·）不同。On（Xt=0），即。

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2022-6-11 02:21:59

当被保险人目前处于活跃状态时，可以在马尔可夫模型中，以m（t，·）作为转移率，对未来逗留付款和转移后付款进行估价，见图4（左）。在（Xt=1）上，即当被保险人目前处于残疾状态时，必须在阿马尔科夫模型中使用不同的过渡率m（t，·）进行估价，见图4（右图）。特别地，4.2残疾保险–“修复”正向方程费率DisabledActiveDeadm（t，·）m（t，·）m（t，·）disableddeadm（t，·）图4：两个具有状态正向转移率的马尔可夫模型取代了无恢复的双随机马尔可夫残疾模型：一个用于被保险人当前处于活动状态时（左），另一个用于被保险人当前处于残疾状态时（右）。需要四个而不是三个非零过渡速率。因此，从实践和实施的角度来看，估值仍然比经典的马尔可夫链人寿保险环境稍微复杂一些。此外，远期转移率对被保险人当前状态的依赖性使其难以解释。现在，我们来考虑用m（t，·）表示的正演方程速率。如前所述，（3.3）通常不满足forwardequations比率，无康复的残疾模型也是如此。但是，可以在马尔可夫模型中，以m（t，·）作为转移率，对未来的逗留付款进行估价，见图5。可以看出，m（t，·）=m（t，·）和thatdisabledactivedeadm（t，·）m（t，·）m（t，·）图5：带正向方程的马尔可夫模型取代了无恢复的双随机马尔可夫残疾模型，用于评估逗留付款。（3.3）确实适用于（Xt=1）上的正向方程，与（3.7）一致。

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可人4

2022-6-11 02:22:02

但一般而言，（3.3）不成立（Xt=0），特别是远期方程利率不允许评估从活跃到残疾或活跃到死亡的过渡付款。综上所述，如果坚持使用远期利率公式，我们脑海中只有部分原始残疾保险合同可以进行估价。另一方面，可以在classicMarkov链人寿保险设置的技术和/或数字框架内处理这些部分，包括激活时的保费支付和禁用时的逗留支付。4.2残疾保险–“修复”远期方程费率“修复”远期方程费率我们在本小节结束时，通过描述略微调整原始模型，扩展了远期方程费率的适用范围。考虑一个新的跳跃过程X通过添加单独的死亡状态从X中定义，如图6所示。出于所有实际目的，具有和不具有单独死亡状态的模型禁用了ActiveDeadDead’u（·）u（·）u（·）图6：没有恢复但具有单独死亡状态的残疾模型。只要在两个死亡状态下的逗留费没有差别，就可以互换。严格来说，新的跳跃过程满足了Xt=1（Xt∈{0,1}）Xt+1（N（t）=1）2+1（N（t）=1）3，其中N是与X相关的多变量计数过程。定义|u作为相应的（条件）跃迁强度，例如|u=u，|u=0和|u=u。那么，如第2.1节中最初所述，X也是有条件的马尔可夫给定|u，但包含残疾后死亡的单独死亡状态。可以看出，虽然状态正向跃迁速率保持不变，但X和X的正向方程速率有所不同。用m（t，·）表示后者。

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2022-6-11 02:22:06

一般来说，我们不能得出这样的结论，即前向方程速率m（t，·）为零，因为从状态0到状态2的间接过渡仍然是可能的，这导致了图7的马尔可夫模型。通常，（3.3）不起作用（Xt=0）。虽然当k=0且不可恢复时，激活添加（disabledactivedeaddead）’m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）图7：带正向方程的马尔可夫模型替代了无恢复的双随机马尔可夫残疾模型，用于替代逗留付款的评估。请注意，非零转移率m（t，·），即使|u（·）=0.4.2残疾保险–“修复”远期方程比率l=3，对应于从活跃到死亡转移时的付款估值，（3.3）是令人满意的，参见例如（3.7）。对于被保险人当前处于活动状态时从残疾过渡到死亡的付款估值，我们可以重写（3.7）并获得以下内容（Xt=0）：E（XT=1）u（T）|σ（XT）∨ Fut= Eh（▄XT=1）▄u（T）▄σ（▄XT）∨ F▄uti=▄P▄m▄Xt（t，t）▄m（t，t）+▄P▄m▄Xt（t，t）▄m（t，t）。因此，对于DB（1）（s）=1（Xs）给出的累计付款-=1） b（s）DNX-（s），s∈ (0, ∞),B（1）（0）=0，正好对应于从残疾到死亡的过渡期的付款，预期累计现金流（Xt=0）可以写为A（1）（t，t）=Z（t，t）~P▄m（t，s）▄m（t，s）b（s）+~P▄m（t，s）▄m（t，s）b（s）ds。因此，可以在图7的马尔可夫模型中对B（1）给出的付款进行估值，通过对不同的付款流程进行估值，将▄m（t，·）作为转换率，其中付款bupon从禁用转换为死亡，以及付款bupontransition从激活转换为死亡。类似的论点也适用于从主动向禁用过渡时的付款。

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2022-6-11 02:22:09

此外，还可以在马尔可夫模型中进行评估，通过评估不同的支付流程，将▄m（t，·）作为转移率，支付bupon从主动转移到禁用，以及支付bupon从主动转移到禁用-死亡。因此，我们所想到的原始残疾保险合同的所有部分都可以在马尔可夫模型中进行评估，即图7中的马尔可夫模型，如果（且仅当）有人愿意适当调整设置，则使用正向方程费率。特别是，需要四个而不是三个非零过渡速率。这意味着，从实际和实施的角度来看，过渡期付款的估值仍然比经典的马尔可夫链人寿保险设置稍微复杂一些。此外，由此产生的前向转换速率很难解释。无论是使用状态正向转移率还是使用正向方程率，我们都可以得出结论，对于无恢复的残疾模型，需要四个而不是三个非零转移率。另一方面，上述论点并没有推广到任意（非减量）模型，而是广泛依赖于无恢复的残疾模型的（减量）结构。因此，虽然似乎同样需要在无恢复的残疾模型中实施正向方程比率和状态方面的正向过渡比率（回想图4）进行评估，但只有后者的实施才能自然推广到最先进的模型。4.3总结和模型校准4.3前面小节中讨论的总结和模型校准定义将远期死亡率的概念扩展到了一个多状态框架，并将边际远期死亡率作为特殊情况包含在内。

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2022-6-11 02:22:12

表1总结了各种正向转换率定义的性质。通用Fut-可测量（3.2）（3.3）边际利率3正向方程利率3状态利率3表1：不同正向转换率定义的性质比较。如果定义不依赖于跳跃过程的特定结构，而只依赖于转移率的概率结构，则该定义被称为“通用”。这些扩展都表达了不同的雄心壮志。边际前向跃迁率的定义需要一种“普遍性”，因为这种定义不依赖于状态空间的特定结构或X的分布，而只依赖于u的概率结构。一般来说，这不会导致成功的替代论点，无论是对于逗留付款，咨询（3.2），还是对合同付款，咨询（3.3）。在正向方程费率的定义中，这一条件被放宽，只需要Fut可测量性，因此费率仍然不取决于被保险人的当前状态XT。然后，对于Sojourn付款来说，替换论点是成功的，但对于过渡后的付款来说，通常不是成功的。最后，各州的远期转移率允许取决于被保险人的当前状态，在这种情况下，替代论点适用于逗留付款和付款转移。定义之间的另一个比较点包括比较校准所需的数量，类似于远期死亡率和远期利率。为了校准边际正向转移率，我们需要数量（t，∞) 3吨7→ Ehe公司-R（t，t）ujk（s）dsFut对于j，k∈ S、 k 6=j。

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能者818

2022-6-11 02:22:15

这些数量与市场上的任何保险合同没有直接联系。为了校准正向方程速率，我们需要量（t，∞) 3吨7→ Pjk（t，t）=EhPujk（t，t）Fut对于j，k∈ S、假设利率为零，这些数量与由逗留付款组成的保险合同直接相关。为了校准状态正向转移率，我们需要数量（t，∞) 3吨7→ E（XT=k）|σ（XT）∨ Fut= EPuXtk（t，t）|σ（Xt）∨ Fut,（t，∞) 3吨7→ E（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ Fut= EPuXtk（t，t）ukl（t）|σ（Xt）∨ Fut对于k，l∈ S、 l 6=k。假设利率为零，这些数量与保险合同直接相关，包括逗留付款和过渡付款。5前瞻性思维和精算实践经典精算多国模型的双重随机扩展允许根据Solvency II监管框架纳入系统（不可分散）风险和市场一致性估值，例如，参见Buchardt开头的讨论【2】。就其本身而言，多状态建模会导致计算复杂性，历史上，通过施加适当的马尔可夫结构可以避免这种复杂性，通过求解普通微分方程可以找到转移概率。在经典的马尔可夫链人寿保险环境中，描述被保险人状态的跳跃过程假设为马尔可夫过程，计算任务简化为求解Kolmogorov正演方程组。当考虑双随机扩展时，情况并非如此，因为以前的任何马尔可夫结构通常都会变得无效。换句话说，精算师的老武器对手头的新问题没有威胁。

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2022-6-11 02:22:18

对正向转移率进行数学上合理的定义，是为了再次为精算师提供有利条件。从概念上讲，我们正在处理旧武器的磨石。实际相关性基本上如下所示。（3.1）（3.3）的替换条件允许两步估价程序：首先，校准远期转换率，然后使用经典的数值方案（求解普通微分方程系统）计算现金流。如果第一步要求不太高，精算师可以避免实施新的高级数值方案，而不是依赖现有的平台。这种方法可以成为在从业者当前的估值软件中实施系统性风险的一种有价值的捷径。当然不需要两步程序；一般的替代方法是求解Kolmogorov正演部分积分微分方程组，参见例如Buchardt【4】。但两步法也显示了其在概念上的优势：它将计算复杂性转化为前向转换率的校准问题。我们相信，这种转变有利于精算师等寻找简单基准模型的人。克里斯汀·森（Christiansen）和尼迈耶（Niemeyer）[6]在略有不同的框架中采用了类似的思维方式。我们在本小节末尾提供了一个实证例子。远期过渡利率的概念源自远期死亡率的概念，远期死亡率的概念又一次受到远期利率概念的启发。在后一种情况下，作为短期利率建模的替代方案，Heath等人[10]提出了一个通用框架，即所谓的Heath-Jarrow-Morton框架，其中利率的建模对象是整个远期利率曲线。

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2022-6-11 02:22:22

在长寿风险的背景下，Bauer等人[1]开发了一个类似的框架，其中边际正向死亡率曲线而非随机死亡率是感兴趣的建模对象。对于实践者来说，多状态设置建模范式的类似变化也可能证明是有价值的。这需要对前向转移率（我们在这里提供并讨论）进行合理的数学定义，以及开发一个类似于希思·贾罗·莫顿（Heath Jarrow Morton）的双随机多状态马尔可夫模型框架的框架（我们已推迟到未来的研究）。在下面的示例中，我们从概念和计算的角度说明了如上所述的远期过渡率与精算实践的相关性。带有投降和自由政策的生存模型考虑图8所示的双随机模型。我们假设η、ρ、ψ和σ是非负的和连续的，ψ和σ也是确定性的。因此，我们考虑了（可能依赖的）随机死亡率和随机放弃率。

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2022-6-11 02:22:25

当η和ρ是确定性的，并且是deadactivesurrenderdeadfree policy时，无保单η（·）ρ（·）ψ（·）η（·）ρ（·）+σ（·）图8：具有放弃和转换为自由保单的选项以及随机死亡率和随机基线放弃率的双随机生存模型。σ=0，我们属于Buchardt和Moller[5]所考虑的模型类别，参见其中的第3.2节，其中也详细说明了与精算实践的联系。在某些正则性条件下，直接计算（见附录A）表明，（4.2）给出的状态正向跃迁率的形式为m（t，t）=ψ（t），m（t，t）=m（t，t）=Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsη（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti，（5.1）m（t，t）=Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsρ（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti，（5.2）m（t，t）=m（t，t）+σ（t），其余指数的状态正向转移率为零。以下两步估价程序不言而喻：首先，计算（5.1）和（5.2），然后使用经典方法计算现金流。为了说明本例中两步程序的可能优势，假设（η，ρ）属于一类过程。然后，可以通过求解普通微分方程的简单系统来计算（5.1）和（5.2），参见例如Du ffe等人【9】、Buchardt【3】和Henriksen【11】第5章。相反，一般方法要求要么求解Kolmogorov正演部分积分微分方程组，参见Buchardt【4】，要么应用蒙特卡罗方法。

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