i=1、2、3、4的隐藏尺寸di，1设置为64·d，而输出尺寸d4,2始终为1。惩罚函数βγ设置为βγ（x）=γmax{0，x}。一方面，该选项在所有示例中都是稳定的。另一方面，命题3中的理论正好适用于这类惩罚函数。关于参数γ，我们通常首先用较低的选择来解决问题，如γ=50，这将导致稳定的性能。然后，我们逐渐增加γ，直到进一步增加不再导致（4）的目标值发生重大变化。关于γ设置为大时的不稳定性，见第3.3节。关于取样测量θ，基本选择是使用θprod=(R)u u ...  ud。特别是对于ρ的低值，这是次优的：事实上，对于问题（22）中的ρ=0，我们知道优化器的形式总是πdiag=uK、 其中K是随机核：Rd→ P（Rd）由K（x）=δx给出。由于πdiag相对于θprod是奇异的，因此仅使用θprodas采样度量，可以预期由于ρ的小值惩罚而产生的高误差。因此，使用（除其他可能性外）θhalf：=θprod+πdiag是有意义的。然而，这非常具体，大多数解决方案不会在πdiag表示质量的地方精确地表示质量。因此，我们向πdiag添加了一些噪声，例如，通过协方差矩阵ε：θ三次方：=θprod+πdiag+（πdiag* N（0，ε）），其中* 表示度量值的卷积。第4节中的四个玩具示例都使用了抽样测量θhalf，而在第5.3.2节的最终案例研究中，我们依赖θthird。神经网络参数的优化方法这一小节也可以称为“训练”。

然而，由于我们没有在训练测试类环境中使用neuralnetworks，这可能会产生误导。对于这个主题，试错法尤其有用，因为简单的目标是获得稳定的收敛。对于神经网络的参数，我们使用参数β=0.99和β=0.995的Adam优化器。对于学习率，我们从α=0.0001开始进行第一次训练，然后每50次迭代将其降低0.98，总共再进行N次迭代。我们使用大约2到2的批量大小（每个迭代中生成的样本数量），有关详细信息，请参见第3.3节。与所选问题特定：对于第4节中的简单问题，N=15000，N fine=5000，而对于第5节中的DNB案例研究，N=60000，N fine=30000。参数λ必须与神经网络的参数分开进行优化，因为λ的值显然比网络的任何单个参数都更重要。精确地说，在固定数量的Nλ迭代之后，λ由λ7更新→ λ - αλNλXi∈我iλ，其中i是之前的Nλ多次迭代，αλ是学习速率iλ是迭代i中目标函数相对于λ的样本导数。关于αλ和Nλ的选择，我们通常首先将αλ设置为0.1左右（取决于问题），然后以与α相同的方式递减，而Nλ设置为200。在我们第一次更新λ之前，我们要等到网络参数处于敏感区域，这通常需要大约1000到10000次迭代。如果优化中涉及另一个参数（如计算AVaR的示例中的τ），我们采用与λ相同的方法，但我们更新此参数的次数很少（每1000-2500次迭代一次），并且在开始时等待更长的时间来更新第一次（5000到20000次迭代之间）。3.3.

评估解的质量为了评估得到的解，我们发现主要需要考虑三个方面：（a）神经网络结构是否足够丰富？（b） 处罚的影响有多大？（c） 数值优化程序是否收敛到（接近）最小值？第A.2节展示了如何将其应用于示例案例。第（a）部分似乎是最简单的，因为我们发现第3.1小节中描述的网络结构的选择对于所有问题都是有效的，因为进一步增加网络大小不会改变获得的解决方案。关于（b）部分，最有用的观察结果如下：如命题1所述，通过神经网络的数值解可用于获得近似解u？关于原始问题。如果我们计算积分RFDu？与φθ，γ（f）相比，差值为φ*θ,γ(π?), 这可以看作是惩罚的结果。如果φ*θ,γ(π?)值很小，表示处罚效果很小。第二个观察结果是φθ，γ（f）在γ中增加，并且在命题1和命题2所研究的条件下收敛到φ（f）。因此，从较低的γ值开始并增加它，直到不再发生变化为止，这是一个好的策略。当这样做时，γ值太大当然会对（c）部分有害，因此，当增加γ时，通常需要同时调整训练参数（如学习率或批量）。关于第（c）部分，我们发现大多数不稳定性可以通过增加批量来解决。这种增长自然伴随着更长的运行时间。特别是如果γ必须大量增加以允许较小的惩罚效果，则需要非常大的批量（例如，在DNB案例研究中，我们使用的批量为2）。

为了获得收敛的结构化标准（与仅仅直观地评估收敛相比），我们可以再次使用命题1中的对偶关系。事实上，我们可以利用数字获得的u？（作为命题1（b）中π？的第二个边界）是问题（1）的近似可行解，如果算法已经收敛。因此，作为收敛的必要标准，可以检查u？满足可行性标准。为此，可以比较u？对于|u的那些（我们主要通过视觉评估经验边缘u？）以及估算dc（(R)u，u？）。3.4. 运行时一般来说，使用神经网络的计算可以从并行化中受益匪浅，例如通过使用GPU。然而，对于我们的大多数示例来说，这并不是必需的，即使使用常规CPU（intel i5-7200U；双核，每个CPU 2.5-3.1 GHz），也可以快速执行相应的计算（即在一到五分钟之间）。然而，在DNB案例研究中，一个具有稳定学习参数的单次运行在CPU上大约需要20小时。通过使用单个GPU（Nvidia GeForce RTX 2080 Ti），这将减少到大约30分钟。值得注意的是，在较小的示例中，与CPU相比，使用GPU的速度较慢，原因是问题太小，无法充分利用GPU的并行功能。4、示例本节的目的是说明如何使用上述引入的概念来数值解决给定的问题。特别是，我们证明了神经网络能够（1）对所考虑的所有问题实现令人满意的经验性能，（2）通过命题1（b）自然确定最坏情况分布的结构，（3）处理不能重新表示为LP的问题。

关于后一点，我们很清楚，dc（(R)u，u？）应以ρ为界，且在最佳情况下等于ρ（如果ρ太大以至于没有影响，则尚未处于边缘情况）。考虑函数f（不能写成函数的最大值）和成本函数c（不能相加分离）。此外，我们还考虑了对偶结果的一般性：我们用距离惩罚代替距离约束，并确定了二变量而非一变量边缘的分布。此外，通过考虑无界函数f，我们阐明了定理1中使用增长函数κ的必要性。为了实现所有这些点，我们考虑了三个难度越来越大的示例。关于本节中的符号，c表示成本函数c（x，y）=| | x- y | |=Xi | Xi- 易|。此符号表示DC（(R)u，u）：=infπ∈∏（(R)u，u）ZRd×RddXi=1 | xi- yi |π（dx，dy），是相对于L-度量的一阶Wasserstein距离。另一方面，我们考虑与欧几里德度量DC（(R)，u）相关的一阶Wasserstein距离：=infπ∈π（°u，u）ZRd×RddXi=1（xi- yi）！1/2π（dx，dy）. （23）请注意，成本函数c（x，y）：=| | x- y | |不可加分离。4.1. 预计最多两个comonotone标准Uniforms我们从一个与风险度量无关的玩具示例开始。考虑以下问题φ（f）：=sup（VU）~u∈π（°u，±u），直流（±u，u）≤ρE[最大值（U，V）]=supu∈π（°u，±u），直流（±u，u）≤ρZ[0,1]max（x，x）u（dx），（24），其中u=(R)u=U（[0，1]）是（单变量）标准均匀分布概率测度，u是共单调copula。

换句话说，(R)u是一个双变量概率度量，具有完全相关的标准均匀分布边缘。在第2节的表示法中，我们选择函数f为f（x）=max（x，x），x=x×x=[0，1]×[0，1]。在解释问题（24）时，我们的目的是计算在参考依赖结构不明确的情况下，两个标准一致性的最大值的期望值，这是由共单调耦合给出的。问题（24）具有以下解析解φ（f）=1+min（ρ，0.5）。该解的推导可在附录A.3中找到，并基于推论1中的对偶结果。因此，问题（24）非常适合作为基于神经网络的解决方案方法的基准。相比之下，我们还使用linearprogramming解决了这个问题。准确地说，我们考虑以下两种方法：在文献中，关于欧几里德度量的瓦瑟斯坦距离通常与二阶相关，在这种情况下，基本成本函数是可加分离的。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.40.450.50.550.60.650.70.750.80 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.40.450.50.550.60.650.70.750.8图1：在左面板中，将问题（24）的解析解φ（f）绘制为ρ的函数，并与通过方法1获得的相应数值解进行比较。a） 和方法2。a） ，如第4.1节所述。右侧面板显示了与改进方法1相同的内容。b） 和2。b） 。1、我们将参考copula|||||Μ离散化（从而使边际分布|u和|u），并通过线性规划解决由此产生的对偶问题（见推论3）。有两种不同的方法可以离散化“u”：a）我们使用蒙特卡罗抽样。在推论3的表示法中，这意味着我们对点x，xnin[0，1]来自标准均匀分布。然后，我们为j=1设置xj=xj。

，n.b）我们设置点xj=xj=2j-12J=1，n、 由于共单调copula只存在于单位平方的主对角线上，因此|u的这种确定性离散化在某种意义上最小化了离散化误差。仅由于参考分布的特殊结构，用于确定该离散化的简单几何参数才适用。让我们强调方法1。a） 可应用于任何参考分布'u。另一方面，方法1。b） 只能在这个特定示例中使用，因为“u”是由共单调copula给出的。2、我们使用上述第3节中描述的神经网络方法来解决这个问题。如前所述，需要针对特定问题选择一些超参数。我们特别设置：N=15000，N fine=5000，γ=1280，批量=2，αλ=0.1。关于抽样测度θ，在本例中，我们比较了a）基本选择θ=θprod和b）改进选择θ=θhalf。为了更好地理解这些参数选择和我们的神经网络方法，我们在附录a.2中对此示例进行了详细的收敛性分析。图1比较了上述两种方法，以解决ρ不同值的问题（24）。在图1的左侧面板中，我们观察到方法1。a） 即使n=250被选择得尽可能大，以使生成的LP可由商用计算机求解，也会产生不满意的结果。这个问题是由于离散化的质量差而产生的。我们等待2500次迭代，直到第一次更新λ，其中λ被初始化为λ=0.750 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.40.450.50.550.60.650.70.750.8图2：问题（24）的解析解φ（f），它使用了关于L度量的一阶Wassersteindinance，与问题（25）的数值解|Μ（f）进行了比较，问题（25）使用了关于欧几里德度量的一阶Wasserstein距离，即。

L-度量。由蒙特卡罗模拟得出。如果选择方法1中的离散化。b） ，我们恢复了问题（24）的解析解，如图1的右面板所示。此外，图1表明，方法2，即本文提出的方法，产生了非常好和稳定的结果。然而，左面板显示，对于小ρ方法2。a） 不会重新发现真正的解决方案。其原因是，当从所选的采样度量θprod中提取ndom样本时，我们不太可能从相关区域（即单位平方的主对角线）进行采样。如第3.1节方法2所述。b） 正是为了克服这一弱点而设计的，图1的右侧面板说明了这一点。我们通过考虑Wasserstein距离与欧几里德度量dc的关系，而不是Wasserstein距离与欧几里德度量dc的关系来结束这个例子，如等式（23）所示。因此，我们将问题（24）与∧φ（f）进行比较：=supu∈π（°u，±u），直流（±u，u）≤ρZ[0,1]最大值（x，x）u（dx）。（25）由于成本函数cis不可加分离，因此无法根据推论3（即线性规划）来近似φ（f）以外的φ（f）。然而，我们可以使用神经网络近似|φ（f），这证明了我们方法的灵活性。图2比较了不同ρ的φ（f）和φ（f）。注意，作为c（x，y）≥ c（x，y）表示所有x，y，dc（(R)u，u）≥ dc（\'u，u）1/2对于所有的\'u，u∈ P（X）。因此，φ（f）≤对于固定ρ，为φ（f）。图2与此观察结果一致。4.2. 两个独立标准Uniforms的平均风险值与前一个示例相比，我们略微增加了复杂性，因为我们现在转向稳健的风险聚合。

我们的目标是计算AVaRα（U+V），其中U和V是独立的标准统一体，在关于独立性假设的模糊性下。我们对第2点中给出的超参数使用相同的选择。但对于较小的ρ，增加Nconsiderly以保证λ的收敛性，并使用θhalf作为采样度量。请注意，平均风险值由Avarα（Y）定义：=minτ∈Rτ +1 - αE[最大值（Y- τ, 0)],见Rockafellar和Uryasev（2000）。使用一阶Wasserstein距离围绕参考依赖结构构建模糊集，我们得到以下问题Φ：=sup（VU）~u∈π（°u，±u），直流（±u，u）≤ρAVaRα（U+V）（26）=supu∈π（°u，±u），直流（±u，u）≤ρinfτ∈R（τ+1- αZ[0,1]max（x+x- τ、 0）u（dx））（27）=infτ∈Rφ（fτ），（28），其中u=u=U（[0，1]）是（单变量）标准均匀分布概率测度，u是独立copula。换句话说，(R)u=U（[0，1]）是一个具有独立、标准均匀分布边缘的双变量概率度量。此外，fτ（x）=τ+1-αmax（x+x- τ、 0）和φ（·）的定义如等式（1）所示。注意，在问题的上述公式中，我们可以从（27）到（28），因为问题在τ中是凸的，在u中是凹的，并且Wasserstein球是弱紧的。因此，我们可以应用Sion的极大极小定理来交换（27）中的上确界和内确界。在附录A.4中，我们推导出ΦIn（26）的分析上限和下限。这些边界对于目前的目的来说足够紧，这是为了评估所讨论的两种数值方法的性能。图3支持后一种说法：Φ的解析边界在作为ρ的函数时相当紧。将边界与前一示例中讨论的两种相同的数值方法进行比较。

关于基于蒙特卡罗模拟和线性规划的解决方案，我们现在平均每个固定ρ超过100个模拟。因此，图3中的结果没有我们在图1左面板中看到的结果那么明显。然而，图3显示，通过MC和LP获得的解不在分析范围内，而基于我们的神经网络方法的解除外。可以说，这是由于使用蒙特卡罗离散参考分布u时缺乏对称性。关于运行时，两种数值方法都需要大约相同的时间来计算图3所需的值。我们现在想说明神经网络方法的另一个优点，即我们可以从数值优化器u？问题（26）。通过这样做，我们获得了关于最坏情况分布结构的信息。样本是从命题1（b）给出的密度中通过接受-拒绝抽样获得的，在这里我们用数值优化器替换真正的优化器。图4绘制了这种最坏情况分布的样本u？对于ρ的不同值。为了理解图4所示结果的有趣性质，我们必须更详细地描述问题（26）。应该清楚的是，在所有可能的U和V耦合中，均匀U和V的共单调耦合使AVaRα（U+V）最大化。然而，可以发现许多不同的最大化耦合。值得注意的是，ρ=0.2所示的优化器对应于具有最低相对ρ0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18Φ21.451.51.551.61.651.71.75 MCNN解的解析边界LP解图3：将问题（26）的解析上界和下界与两个不同的数值解进行比较。

第一个数值解通过蒙特卡罗模拟获得，n=100个样本点，以及线性规划和每个固定ρ的平均100次模拟。第二个数值解是通过惩罚和神经网络得到的。将AVaR问题（26）的置信度设置为α=0.7。关于AVaRα（U+V）最大化子之间独立耦合的熵。另一方面，ρ=0.16的中间面板促使我们推导出一个耦合，在AVaRα（U+V）的最大化子中，我们推测到独立耦合的Wasserstein距离最小。该耦合用于推导附录A.4中问题（26）的下界。其他联轴器的一些特征，例如ρ=0.08和ρ=0.12令我们惊讶：例如，在L-Wasserstein问题中，作为支承边界的曲线是不寻常的。4.3. 带距离惩罚的三个正态分布随机变量的方差我们现在离开均匀分布的单变量边缘区域，用距离惩罚代替距离约束。我们分析以下问题χ（f）：=sup（XY）~u∈π（°u，±u）Var（X+X+Y）-rdc（(R)u，u）r=supu∈π（°u，±u）ZR（x+x+y）- m级u（dx，dx，dy）-rd▄c（▄u，u）r，（29），其中成本函数▄c（x，y）=2 | | x-y | |。我们指定参考分布函数如下‘u=N,1 0.8 00.8 1 00 0 1.在这个例子中，有两个新颖之处将在下面进行解释。我们可以认为，成本函数中出现的因子2类似于瓦瑟斯坦球的theradius的ρ的特定选择。ρ=0.00ρ=0.04ρ=0.08ρ=0.12ρ=0.16ρ=0.20图4：优化器u？通过神经网络获得的问题（26）以六个不同层次模糊度的热图形式显示，即。

ρ = 0, 0.04, 0.08, 0.12, 0.16, 0.2.首先，我们设置u∈ π（(R)u，(R)u）意味着我们不仅要筛选标准正态的单变量边缘分布，还要筛选第一个和第二个边缘X和X之间的依赖结构。在这种情况下，我们假设X和X联合正态，相关性为0.8。我们使用|u表示固定的双变量边际。因此，模型模糊性仅涉及第三个边距Y和其他两个边距X和X之间的依赖结构。其次，而不是距离约束dc（(R)u，u）≤ ρ、 现在，我们使用距离惩罚来解释所描述的模型模糊度：我们设置ν（x）=rxrin定理1。该参数说明了惩罚的程度，因此与上述瓦瑟斯坦球的半径ρ不可比。相反，对于r→ ∞ 惩罚越来越接近于我们施加约束dc（(R)u，u）的情况≤ 这两个规范旨在证明定理1在波兰空间选择和歧义建模方面的普遍性价值。尽管第2.2节重点讨论了Wasserstein-ball约束，但基于惩罚和神经网络的求解方法通常适用于（29）等问题。

针对表1中不同的r值，给出问题（29）的最终数值解。为了使这些结果更具体，我们从各自的最坏情况分布u？中抽取了20000个值？并报告相应的经验协方差矩阵^∑u？。值得注意的是，协方差矩阵不能完全表征u？，自u起？不必是联合正态分布。χ（f）RR（x+x+y）du？直流（(R)u，u？）^Σu?无启用4.6 4.6 01 0.8 00.8 1 00 0 1r=1 6.16 8.08 1.920.998 0.801 0.8470.801 1.008 0.8530.847 0.853 1.011r=2 6.50 7.60 1.480.989 0.806 0.7370.806 0.989 0.7360.737 0.736 0.997r=36.57 7.29 1.290.975 0.795 0.6750.795 0.991 0.6820.675 0.682 0.980r=4 6.65 7.19 1.210.976 0.792 0.6520.792 0.970 0.6540.652 0.654 0.986r=∞ 6.76 6.76 1.000.991 0.803 0.5540.803 0.998 0.5510.554 0.551 0.993表1：基于惩罚和神经网络计算的问题（24）不同r值的数值解χ（f）的比较。我们确定了最坏情况分布u？∈ ？（？，？）使得χ（f）=RR（x+x+y）u？（dx，dx，dy）-rd？c（(R)u，u？）兰德公司还报告了经验协方差矩阵∑u？从n=20000u？样本计算得出？。案例r=∞ 对应于约束d？c（(R)u，u）≤1.5. 挪威国家银行案例研究：挪威国家银行（挪威最大的银行）的六个给定风险的聚合SaaS和Puccetti（2014）提供了一个非常说明性的风险聚合案例研究。我们想利用这个例子来展示本文提出的新框架的适用性。DNB面临六种不同类型的风险：信贷、市场、资产、运营、业务和保险风险。让随机变量L，l表示这六种风险的边际风险敞口。根据定义，风险聚合与边际风险分布的计算无关。

因此，我们取相应的边际分布函数F，给出了Fas。在这种特殊情况下，F，Fand Fare经验CDF源自给定样本，而L，Lare假设为具有给定参数的正态分布，见表2。为了进行风险管理，挪威国家银行需要确定所需的资本。根据巴塞尔银行监管委员会（2013年）的规定，这一资本要求应通过这六项损失之和的平均风险价值（AVaR）来计算。在特定置信水平α下，这六项损失之和的AVaR为definedasavarαL+= 最小τ∈Rτ +1 - αE[最大值（L+- τ, 0 )], （30）Aas和Puccetti（2014）专注于风险价值（VaR），而非AVaR。由于巴塞尔银行监管委员会最近将量化风险度量体系从VaR转换为预期短缺（参见Chang、Jim'enez Mart'n、Maasoumi、McAleer和P'erez Amaral，2019），这与AVaR相当，我们在研究中考虑了AVaR。描述250万样本得出的信用风险理论CDF的类型参数/其他详细信息；250万样本得出的市场风险理论CDF的标准偏差|Μσ=644.602Fcdf；250万个样本得出的资产风险理论CDF的标准偏差|Μσ=5562.362Fcdf；操作风险的标准偏差σ=1112.402Fcdf Llonormal cdfmean？m=840.735；业务风险的标准差σ=694.613Fcdf Llognormal cdfmean m=743.345；保险风险的标准差σ=465.064Fcdf Llonormal cdfmean m=438.978；标准偏差|Μσ=111.011参考copulastudent-t copulawith 6 freedomlinking L，土地相关矩阵∑表2：DNB案例研究中参考分布相关信息概述。相关矩阵∑见附录A.5。

Fidenotes边际概率测度的累积分布函数|uifor i=1，6.式中，L+：=Pi=1Li。为了计算表达式（30），L，…，的联合分布，需要Lis。作为L的边际分布，众所周知，DNB依赖于copulas的概念来模拟这些风险之间的依赖结构。从上述描述中可以清楚地看出，L的联合观察，Lare不可用。因此，确定copula的标准技术（例如，通过将copula族和相应参数设置到多变量数据集）不适用。因此，美国国家统计局的一个专家小组选择了一个特定的参考copula c，在这种情况下是一个具有六个自由度和特定相关矩阵的student-t copula。这种方法在实践中很常见，被称为专家意见。从学术角度来看，这种风险聚合方法并不令人满意，因为专家在不同的TRISK类型之间选择参考依赖结构可能非常不准确。因此，我们说依赖结构存在模型模糊性。需要强调的是，根据专家意见选择的该参考copula的规格错误可能会对聚合风险以及所需资本产生重大影响。表3通过比较参考copula Cto隐含的AVaR与其他依赖结构隐含的AVaR来支持这一说法：在没有任何关于六个风险之间依赖结构的信息的情况下，置信水平α=0.95的AVaR的下限（相对上限）为24165.52（相对3641012）百万挪威克朗。Aas和Puccetti（2014）研究了类似的界限。

正如我们在第1.3节的文献综述中所指出的那样，这些界限在文献中已经被量化，因为它们对于实际目的来说相距太远。因此，我们将本文得出的结果应用于计算AVaR的边界，该边界取决于参考copula C的不信任程度ρ。或者，参数ρ可以理解为参考分布|u的模糊程度。infC公司∈CAVaRCα（L+）AVaR∏α（L+）AVaRCα（L+）supC∈CAVaRCα（L+）24165.52 26980.64 30498.94 36410.12表3：注意，我们设置α=0.95。我们使用重排算法（见Aas和Puccetti，2014）来近似infC∈CAVaRCα（L+），而supC∈CAVaRCα（L+）=Pi=1AVaRα（Li）。剩余的两个条目是通过对50次模拟运行进行平均来计算的，其中每次运行都会抽取1000万个样本点。注意∏表示独立copula。因此，AVaR∏α（L+）对应于六个独立损失之和的AVaRof。我们通过以下联合累积分布函数F（x）=C（F（x），F（x），…，定义参考分布的概率度量|||||||||||||||||||||||||||||||||，F（x），对于所有x∈ R、 因此，对于i=1，2，…，Fi（·）给出了边缘的CDF，6、感兴趣的问题可以表示为：ΦC（α，ρ）：=infL+~u∈∏（°u，…，±u），直流（±u，u）≤ρAVaRαL+, （31）ΦC（α，ρ）：=supL+~u∈∏（°u，…，±u），直流（±u，u）≤ρAVaRαL+. （32）确定运输距离dcin问题（31）和（32）的成本函数为settoc（x，y）=dXi=6 | xi- yi |σi，（33），其中σide表示ui的标准偏差，见表2。c定义背后的原因是，我们希望对歧义进行建模，使其仅涉及参考分布的依赖结构。

定义（33）是实现这一目标的简单方法。图5显示了问题（31）和（32）的数值解，它们是根据惩罚和神经网络计算的，作为ρ的函数，α=0.95。作为比较，对于独立耦合∏而不是表2中描述的参考copula cd，同样的问题也得到了解决。阴影区域概述了给定模糊度ρ和两个参考结构的可能风险水平。一方面，ρ中风险水平的演变，结合给定的问题优化器（31）和（32），可以作为一种信息工具，更好地了解DNB面临的风险。另一方面，如果在实践中证明存在一定程度的模糊性，银行可以根据相应的最坏情况值分配其资本。如果确定示例ρ=0.1，则银行必须按照参考结构C的规定，将32490资本分配给30499。应该提到的是，Gao和Kleywegt（2017a）促进定义C（x，y）=Pi=1 | Fi（xi）-Fi（yi）|，这意味着运输距离dcs直接在copulas水平上定义。即使这种方法可以说更加直观，我们仍然坚持定义（33），主要是为了提高计算效率。图5：我们考虑了两种不同的参考依赖结构，表2中定义的student-t copulac和独立copula∏。（31）和（32）中分别定义了相应的鲁棒解ΦC（α，ρ）和ΦC（α，ρ）。将类似定义的Φ∏（α，ρ）和Φ∏（α，ρ）绘制为歧义水平ρ的函数。我们将这些结果与表2中给出的已知AVaRα（L+）值进行了比较，这些结果是根据本文提出的概念计算的。

请注意，我们fixα=0.95。从分析上看，关于Cis的数值解的一个显著特点是：ρ已经达到了绝对上界≈ 0.8，而从参考测量值到科莫诺通关节分布的距离可计算为1.7。这强调了一个事实，即尽管科莫酮分布是最坏情况下AVaR的最大值，但还有几个分布，而且它们在结构上可能比科莫酮分布更合理。总之，本文引入了一个灵活的框架来聚合不同的风险，同时考虑到这些风险之间所选依赖结构的模糊性。所提出的数值方法使我们能够执行这项任务，而无需对聚合函数的特定形式、考虑的分布或解释模型模糊性的特定方式作出限制性假设。A、 附录A。第p阶矩差与p-范数差之间的基本不等式注释2中使用了以下结果。该陈述和证据摘自Norbert（2013）。引理2。让p∈ N和X，Y∈ Lp，然后是KXP- Ypk公司≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0kXkkpkY kp-1.-kp。证据对于p=1，不等式显然成立。让p≥ 2，然后是Kxp- Ypk公司=（十）- Y）p-1Xk=0XkYp-1.-k≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0|X | kq | Y |（p-1.-k） q1/q.（34）它适用于所有k∈ {0，…，p- 1} 那个|X | kq | Y |（p-1.-k） q≤ kXkkqpkY kp-kqp。（35）对于k∈ {0，p- 1} （35）立即生效。对于0<k<p- 1（35）之后是应用r=p/kq的H¨older不等式。把（34）和（35）放在一起，我们得到了xp- Ypk公司≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0kXkkqpkY kp-kqp公司1/季度≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0kXkkpkY kp-1.-KP因此提出索赔。A、 2。收敛分析示例4.1本节旨在演示如何评估获得的数值解的质量。我们考虑图1中ρ=0.25的情况。

我们使用抽样测量θprod并比较以下三个参数设置：（i）γ=100，批量=1024，N=15000和N fine=5000。（ii）γ=2500，批量=1024，N=15000，N fine=5000。（iii）γ=2500，批量=16，N=7500，N fine=2500。图6检查了设置（i）和（ii）之间的对比。可以看出，在这两种设置中，算法似乎以稳定的方式收敛。然而，在设置（i）中，双值φθ、γ（f）和原始值rfdu？之间存在明显差异？，使用最坏情况分布u？计算？。因此，我们可以得出结论，惩罚插入（i）不够充分，即惩罚参数γ选择得太低。这显然不是设置（ii）的情况。图7显示，小批量和少量迭代都会导致不良的数值行为。A、 3。第4.1节的证明我们想导出问题（24）的解析解。为此，copulasturns的概念非常有用。我们参考Nelsen（2007）对该主题的介绍。LetC表示所有copula的集合，并将共单调copula表示为M（u，u）=min（u，u），对于所有u，u∈ [0, 1]. 使用此符号，我们可以重写问题（24）并显示以下内容：φ（f）=supC∈C、 直流（M，C）≤ρZ[0,1]max（u，u）dC（u，u）=1+min（ρ，0.5）。图6：在两种设置下，参数设置（i）与γ=100和（ii）与γ=2500的比较，其中批次大小=1024，N=15000，N fine=5000。左上面板显示了双值φθ、γ（f）以及原始值rfdu？。右上角对应。左下面板显示了λresp的收敛性。直流（°u，u？）。右下面板从第一个边缘u？最坏情况分布u？。请注意，该柱状图也代表第二个边缘u？。在这两种情况下，计算时间均为205秒。证据

首先，我们推导出dc（M，C）的上界，其中C∈ C、 由于M位于单位平方的主对角线上，任意copula C的质量的垂直（或水平）投影∈ C到M是可行的运输计划，成本Sr[0,1]| u-u | dC（u）。后一个表达式出现在一个称为Spearman\'sfootrule的一致性度量的定义中，已知它被反单调copula W（u，u）最大化：=max（u+u- 1，0）表示所有u，u∈ [0，1]引用“见”liebscher2014copula。因此，我们得到了Dc（M，C）≤Z[0,1]| u- u | dC（u）≤Z[0,1]| u- u | dW（u）=Z | 2u- 1 | du=0.5。其次，我们证明了这个上界对于dc（M，W）是有参和的。Kantorovich Rubinstein指出- u |是任何点质量C（u，u）到主对角线M（u，u）的距离（以及运输成本）。图7：参数设置的收敛性分析（iii），其中γ=2500，批量=16，N=7500，N fine=2500。左上面板显示了双值φθ、γ（f）以及原始值rfdu？。右上角分别为。左下图显示了λresp的收敛性。直流（°u，u？）。右下面板绘制了第一个边缘u？最坏情况下的分布u？。请注意，此直方图也代表第二个边缘u？。计算时间为45秒。对偶产生的结果是dc（M，W）=sup | h（u）-h（v）|≤c（u，v）Z[0,1]h（u）dM（u）-Z[0,1]h（v）dW（v）≥Z[0,1]u+udM（u）-Z[0,1]v+vdW（v）=1- 0.5=0.5，其中我们只需设置h（u）=u+u来获得不等式。自dc（M，C）≤ 所有C为0.5∈ C、 我们得到dc（M，W）=0.5。结合这两个观测值，ρ>0.5时，φ（f）=supC∈CZ[0,1]max（u，u）dC（u，u）=Z[0,1]max（u，u）dW（u，u）=。因此，我们可以假设ρ≤ 0.5表示证明的剩余部分。让我们将copula Rα定义如下：Rα（u，u）=（W（u，u）if1-α≤ u、 u型≤1+αM（u，u）其他，对于α∈ [0, 1].

使用与证明开始时相同的投影参数，它遵循dc（M，Rα）≤Z[0,1]| u- u | dRα（u）=Z（1+α）/2（1-α） /2 | 2u- 1 | du=α/2。因此，dc（M，R√2ρ) ≤ ρ、 这意味着φ（f）≥Z[0,1]最大（u，u）dR√2ρ（u，u）=1+ρ。通过推论1，我们得到φ（f）=infλ≥0，您好∈C（[0,1]）（λρ+Xi=1Zhi（ui）dui+Z[0,1]supv∈[0,1]”最大值（v，v）-Xi=1hi（vi）- λXi=1 | ui- vi |#dM（u））。插入值λ=0.5，设置h（u）=h（u）=u/2，得出φ（f）≤ρ++0.A、 4。第4.2节的证明我们现在导出Φ的解析界，即问题（26）的解，如图3所示。让我们从证明以下上界Φ开始≤ 闵1 + α, 2 -√2.- 2α +ρ2(1 - α), （36）其中Φ在（26）中定义。证据由于推论1，Φ=infτ，λ≥0，您好∈C（[0,1]）（λρ+Xi=1支（ui）对（37）+Z[0,1]supv∈[0,1]\"τ +1 - αmax（v+v- τ, 0) -Xi=1hi（vi）- λXi=1 | ui- vi |#d（u，u））。以下等式（37）中优化器的选择产生了（36）中给出的Φ的上界：λ=2（1- α), τ = τ?:= 2.-√2.- 2α和hi（v）=1- αv-ατ?对于i=1，2。我们现在导出以下下界Φ≥ 闵1 + α, 2 -√2.- 2α +2(-3 + 2√2.- 2α + 3α)ρ3(2 - α)(1 - α)α, （38）其中Φ在（26）中定义。证据可以直接看到Φ在所考虑的瓦塞斯坦球半径ρ内围绕|u凹。这是因为我们通过L-度量定义了运输距离dcs的地面度量c（·，·），即c（x，y）=| | x-y | |。

因此，为了确定下限（38），我们只需要证明ρ？=α(1 - α)(1 - α/2）它认为Φ≥ 1 + α.因此，我们通过以下二元copulaCα（u，u）定义概率测度μα=uuif u∈ [0, α/2]∪ [α/2, α]2-ααuuif u∈ ([0, α/2] × [α/2, α]) ∪ ([α/2, α] × [0, α/2])1-αuuif u∈ [α，1]min（u，u）else。繁琐的计算表明dc（°u，μα）≤ α(1 -α)(1 -α/2) = ρ?, 其中，u是问题中定义的具有独立、标准均匀分布边缘的双变量概率测度（26）。此外，对于VU公司~ uα它认为AVaRα（U+V）=1+α。A、 5。相关矩阵本小节的目的是给出相关矩阵∑。回想一下，∑在Aas和Puccetti（2014）的案例研究中定义了六个自由度的Student-t copula cw作为参考依赖结构，我们在第5节中考虑了这一点。由于Aas和Puccetti（2014）在论文中没有给出该矩阵，我们只需选择以下任意相关矩阵∑=1 0.36 0.35 0.44 0.45 0.300.36 1 0.37 0.36 0.41 0.430.35 0.37 1 0.44 0.32 0.420.44 0.36 0.44 1 0.41 0.290.45 0.41 0.32 0.41 1 0.280.30 0.43 0.42 0.29 0.28 1.确认作者确认，Aas和Puccetti（2014）的文章中提供了支持本研究结果的数据。作者感谢Daniel Bartl、Ludovic Tangpi、Ruodu Wang以及众多会议和研讨会的参与者，在这些会议和研讨会上，作者提出了本文，为他们提供了有益的评论和有趣的讨论。此外，Mathias Pohl感谢PhilippSchmocker的帮助，并感谢奥地利科学基金会（FWF）在P28661拨款项下的支持，Stephan Eckstein衷心感谢Jan Ob l’oj的热情款待。最后，我们感谢两位裁判的有益评论。参考AAS，K.，&Puccetti，G.（2014）。

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