赫斯顿模型中短缺风险的近似值在本节中，我们重点关注赫斯顿模型中欧洲看涨期权（对应于（3.1）中给出的U）的短缺风险最小化。我们从以下估计开始。引理7.1。对于初始资本x，设^R（x）为赫斯顿模型中的短缺风险，并设R（x）为（6.1）给出的模型中的短缺风险。那么对于anym∈ N | R（x）-R（x）|≤ O（σ2κθ/σ-1） +O（1/σm），其中O项不依赖于x证明。确定停车时间Θσ，σ：=T∧ inf{t:p^νt/∈ (σ, σ)}.观察事件σ，σ=T时，过程σS和S重合。因此，（7.1）| R（x）-R（x）|≤ EP[（ST+ST）Iσ，σ<T]≤ 2euTEP[e-其中最后一个不等式是由于过程e-ut^St，e-utSt，t∈[0，T]是鞅。引入概率度量P bydPdP | FST：=e-Θσ，σSΘσ，σS。然后，根据Girsanov定理，过程Wt：=Wt- ρRt∧Θσ,σ√^νu，t∈ [0，T]是关于P的布朗运动。设{αT}Tt=0是SDEdαT=（κ（θ）的唯一强解- αt）+σραt）dt+σ√αtdWt，α=^ν。观察（7.2）α[0，Θσ，σ]=^ν[0，Θσ，σ]。显然，对于任何m∈ 我们有sup0≤t型≤T型[√αt]m< ∞.因此，从马尔可夫不等式我们得到（7.3）Psup0≤t型≤T√αt≥ σ= O（1/σm），m级∈ N、 此外，根据[18]中的定理2，可以得出（7.4）Pinf0≤t型≤T√αt≤ σ= O（σ2κθ/σ-1).通过组合（7.1）–（7.4），我们得出结论| R（x）-R（x）|≤ 2SeuTPinf0≤t型≤T√αt≤ σ+ Psup0≤t型≤T√αt≥ σ≤ O（σ2κθ/σ-1） +O（1/σm）按要求。接下来，我们重点关注（6.1）给出的模型中的短缺风险近似值。为了应用定理2.1，我们需要验证所需的假设。遵守假设2.1、假设2.3（ii）（U+≡ 0）和假设2.6基本成立。此外，从备注2.8中，我们得到了假设2.2。

由于漂移和波动率一致有界，我们得到随机变量{S（n）T}n∈Nare一致可积，给出假设2.3（i）。根据第6.1、6.2条建议，我们得出结论，我们的假设是满足的，所以定理2.1是正确的。因此，fix n∈ N并回顾第6.1节中介绍的离散模型。股票价格过程S（n）是分段常数，因此投资者只在跳跃时间ktn，k=0，1…，进行交易。。。，n、 请注意，npkm=1ξm，Pkm=1^ξmonk=0是一个格值马尔可夫链（相对于Pn）。因此，我们引入了函数j（n）k（i，j，λ），k=0，1。。。，n使得J（n）k（i，J，λ）在给定Pkm=1ξm=i，Pkm=1^ξm=J，λ是投资组合价值和股票价格的比率的情况下，测量时间kt/n的短缺风险。股票价格通过s（n）kTn=Seσ恢复√TnPkm=1ξm=Seiσ√Tn.如果λ≥ 那么差额风险为零，因为我们可以购买股票并持有到到期。即，对于λ，J（n）k（i，J，λ）=0≥ 因此，我们假设λ∈ [0, 1].接下来，我们描述了解决离散控制问题的动态规划原理。在kT/n时，投资者决定其投资政策。假设投资者的投资组合价值为λS（n）kTn。我们有一个三项式模型，增长率为-~σ√Tn，1，e￠σ√Tno公司。根据二项式表示理论，我们很容易推断出时间（k+1）T/n的可复制投资组合集的形式为∧（ξk+1）S（n）（k+1）T，其中∧：{-1, 0, 1} → 满足∧（0）=λ和∧(-1） +λ（1）eσ√Tn1+e￠σ√Tn=λ。因此，如果∧(-1） 已知，那么我们设置（7.5）∧（1）：=1∧λ（1+e）-~σ√Tn）- Λ(-1） e类-~σ√田纳西州.我们进行截断以得到∧（1）∈ [0, 1]. 鉴于我们的容许条件，我们用A（λ）表示所有∧的集合(-1) ∈ [0，1]（7.5）的右侧为非负。我们得出以下递归关系。

定义（n）k（i，j，λ）：{-k、 1个-kk} ×{-k、 1个-kk} ×[0，1]→ R+，k=0，1。。。，nbyJ（n）n（i，j，λ）：=UλSexpiσrTn！，Sexpi▄σrTn！！，对于k<n，J（n）k（i，J，λ）：=sup∧(-1)∈A（λ）EPnJ（n）k+1i+ξm+1，j+^ξm+1，∧（ξm+1）kXm=1ξm=i，kXm=1^ξm=j（7.6）式中∧（0）=λ，∧（1）由（7.5）给出。对于k=0，我们有J（n）（x/S）=un（x）。观察函数J（n）k（i，J，λ）在λ中是分段线性和连续的，因此它们可以用一个由斜率值和斜率跳跃点组成的数组来表示。这与条件J（n）k（i，J，1）=0一起，足以恢复函数。当然，数组将取决于时间kT/nand和状态i，j。因此，理论上，（7.6）给出的动态规划可以使用计算机实现。然而，从实用的角度来看，函数J（n）的斜率点的数量以指数形式（n- k） ，因此对于大n，它无法实现。因此，我们还需要为投资组合值引入网格结构。因此，选择M∈ N并考虑网格（7.7）GR：=0，M，M。。。，1..对于给定∧(-1) ∈ GR我们为∧（1）定义了两个网格值。第一个值为（7.8）∧-(1) := 1 ∧jλ（1+e）-~σ√Tn）- Λ(-1） e类-~σ√田纳西州在这里，回想一下b·c是·的整数部分。第二个值为（7.9）∧+（1）：=1∧lλ（1+e）-~σ√Tn）- Λ(-1） e类-~σ√田纳西州Mm+1，其中d·e=最小值{n∈ Z:n≥ ·}. 定义两个值函数（7.10）J（n）k（±，i，J，λ）：{-k、 1个-kk} ×{-k、 1个-kk} ×GR→ R+，k=0，1。。。，nas正在跟进。终端条件为j（n）n（±，i，j，λ）：=UλSexpi▄σrTn！，Sexpi▄σrTn！！。对于k<n，J（n）k（±，i，J，λ）：=最大∧(-1)∈A（λ）TGREPnJ（n）k+1±，i+ξm+1，j+^ξm+1，∧±（ξm+1）kXm=1ξm=i，kXm=1^ξm=j其中∧±(-1) = Λ(-1） ，λ±（0）=λ和∧±（1）由（7.8）–（7.9）给出。对于k=0，我们得到两个值J（n）（+，x/S）和J（n）(-, x/S）。观察到上述动态规划的复杂性是M，n中的多项式。

对于精确值un（x）=J（n）（x/S），我们有以下简单引理。引理7.2。假设X∈ GR.ThenJn（x/S）∈ [J（n）(-, x/S），J（n）（+，x/S）]。证据不等式J（n）(-, x/S）≤ J（n）（x/S）是明显的。让我们证明j（n）（x/S）≤ J（n）（+，x/S）。选择λ∈ GR和∧(-1),~Λ(1) ∈ 满足（7.5）的[0，1]。定义∧(-1) := 1 ∧d▄∧(-1） MeMand让∧+（1）由（7.9）给出。那么很容易检查∧(-1) ≥~Λ(-1） 和∧+（1）≥~Λ(1). 因此，通过应用反向归纳（在k上）和J（n）k（i，J，λ）在λ中不递减的事实，我们得到了任何k，J（n）k（·）≤ J（n）k（+，·），其中我们将J（n）k（·）的限制{-k、 1个- kk} ×{-k、 1个- kk} x g.对于k=0，我们得到j（n）（x/S）≤ J（n）（+，x/S）按要求。备注7.1。通过使用U在第一个变量中是Lipschitz连续的事实，可以表明差异J（n）（+，x/S）- J（n）(-, x/S）为订单号（n/M）。实际上，这种差异归零的速度要快得多（单位：M）。正如我们将在下面的数值结果中看到的，对于M“接近”n的差值j（n）（+，x/S）- J（n）(-, x/S）变得非常小。7.1. 数值结果。在本节中，我们以数字方式实现上述步骤。在表1和相应的图1中，我们计算了（7.10）中定义的函数。作为参考，我们还评估了函数u（x）=-EP[（（ST- K）+- x） +]，一个下限，对应于在减少短缺方面无需额外支出的价值。J（n）(-, x/S）J（n）（+，x/S）u（n）（x）x=0-24.5421-24.0371-24.6095x=5-18.4702-17.7050-21.4086x=10-12.3159-11.6165-18.2077x=15-7.0529-6.3398-16.3018x=20-2.7913-2.2453-14.3959x=25-0.6802-0.4201-12.4901x=30-0.0825-0.0274-10.5842x=35-0.0043-0.0004-8.6783x=40 0 0-7.1540x=45 0-6.4423x=50 0 0-5.7306x=55 0 0-5.0190x=60 0 0-4.3073x=70 0-2.8840x=80 0-2.0045x=90 0-1.6418x=100 0 0-1.2792表1。

看涨期权的短缺风险最小化。计算中使用的参数：K=90，σ=1，￠σ=5，σ=0.0001；σ =0.39, ρ = -0.64，κ=1.15，θ=0.348，u=0.05，S=100，T=1，ν=0.09，n=400，M=400。图1：。表1中报告的值的曲线图。下表中，我们分析了问题对σ的敏感性。此参数越小，算法运行速度越快。虽然引理7.1表示大σ的误差界（通过应用马尔可夫不等式获得），但我们观察到，实际上我们可以将σ=1作为参数。σ=0.4（0.1757）σ=0.6（0.8085）σ=0.8（0.9939）σ=1σ=2x=0-15.3139-23.1077-22.0861-24.5421-24.5421x=10-4.1129-9.6884-10.9334-12.3159-12.3159x=20-0.1435-4.5287-1.9145-2.7913-2.7913表2。σ的变化。参数与表1中的参数相同。括号中的值表示P（σ，σ<T），四舍五入为4个小数点。当概率非常接近1时，我们没有指出这些值。在表3中，我们分析了解决方案对（7.7）中定义的控制变量网格大小的敏感性。我们观察到，如备注7.1所述，我们实际上可以取M=kn，其中k<1。在此表中，我们确定了可以选择的k范围。我们观察到，选择较大的n比选择较大的k能减少更多的误差。我们还检查了k>1的值。M=n/4 M=n/2 M=nn=50-9.2138-6.6971-6.6586n=100-5.4667-5.4282-5.4238n=200-3.7184-3.6541-3.6448n=400-2.9834-2.8392-2.7913n=800-2.6675-2.5299-2.4833表3。相对于M的变化。x=20。其他参数与表1相同。表4和相应的图4展示了关于n的收敛。我们观察到收敛速度是n的幂。

我们将此结果的严格演示留给未来的工作。M=n/4Jn(-,x/S）-约/2(-,x/S）| Jn/2(-,x/S）| n=50-9.2138–n=100-5.4667 0.4067n=200-3.7184 0.3198n=400-2.9834 0.1977n=800-2.6675 0.1059n=1600-2.6171 0.0189表4。x=20。其他参数与表1相同。图2：。表4中的数值曲线图。参考文献【1】Julio Backho ff Veraguas和Francisco J.Silva。不完全布朗市场模型中期望效用最大化的敏感性分析。数学财务部。经济。，12(3):387–411, 2018. ISSN 1862-9679。内政部：10.1007/s11579-017-0209-9。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s11579-017-0209-9.[2] Peter Bank和Dietmar Baum。大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化。数学《金融》，14（1）：1–18，2004年。ISSN 0960-1627。[3] Erhan Bayraktar和Ross Kravitz。关于市场扰动的指数效用最大化的稳定性。随机过程。应用程序。，123(5):1671–1690, 2013. ISSN 0304-4149。内政部：10.1016/j.spa。2012.12.007. 统一资源定位地址https://doi.org/10.1016/j.spa.2012.12.007.[4] Sara Biagini和Marco Frittelli。效用最大化问题的统一框架：Orlicz空间方法。安。应用程序。概率。，18(3):929–966, 2008.ISSN 1050-5164。内政部：10.1214/07-AAP469。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/07-AAP469.[5] 帕特里克·比林斯利。概率测度的收敛性。概率与统计学中的威利级数：概率与统计学。约翰·威利父子公司，纽约，第二版，1999年。ISBN 0-471-19745-9。内政部：10.1002/9780470316962。统一资源定位地址https://doi.org/10.1002/9780470316962.威利的跨学科出版物。[6] Andrea Collevecchio、Kais Hamza和Meng Shi。引导随机游动。随机过程。应用程序。，126(6):1744–1760, 2016. ISSN 0304-4149。内政部：10.1016/j.spa。2015.11.016. 统一资源定位地址https://doi.org/10.1016/j.spa.2015.11.016.[7] J.Cox和C.Huang。

资产价格遵循差异化过程时的最优消费和投资组合政策。《经济理论杂志》，49:33–831989年。[8] J.C.Cox、J.E.Ingersoll和S.A.Ross。利率三级结构理论。《计量经济学》，53:385–4071985。[9] Jaksa Cvitani\'c、Walter Schachermayer和Hui Wang。勘误表：随机捐赠的不完全市场中的效用最大化[MR1841719]。财务Stoch。，21(3):867–872, 2017. ISSN 0949-2984。内政部：10.1007/s00780-017-0331-9。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s00780-017-0331-9.[10] Jakˇsa Cvitani\'c、Huy^en Pham和Nizar Touzi。具有投资组合约束的随机波动率模型中的超级复制。应用概率杂志，36:523–5451999。[11] Jakˇsa Cvitani\'c、Walter Schachermayer和Hui Wang。具有随机禀赋的不完全市场中的效用最大化。财务Stoch。，5(2):259–272,2001. ISSN 0949-2984。内政部：10.1007/PL00013534。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/PL00013534.[12] FreddyDelbaen和WalterSchachermayer。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994. ISSN0025-5831。内政部：10.1007/BF01450498。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/BF01450498.[13] Yan Dolinsky和Ariel Neufeld。完全不完全市场中的超级复制。数学《金融》，28（2）：483–5152018。ISSN 0960-1627。内政部：10.1111/百万。网址：12149https://doi.org/10.1111/mafi.12149.[14] R·M·达德利。概率测度和随机变量的距离。安。数学《统计学家》，39:1563–15721968年。ISSN 0003-4851。内政部：10.1007/978-1-4419-5821-1 4。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/978-1-4419-5821-1_4.[15] 达雷尔·杜菲和菲利普·普洛特。从离散时间融资到连续时间融资：财务收益过程的弱收敛。数学《金融》，1992年2:1-15。[16] Stewart N.Ethier和Thomas G.Kurtz。马尔可夫过程。概率与数理统计：概率与数理统计。

约翰·威利父子公司，纽约，1986年。ISBN 0-471-08186-8。内政部：10.1002/9780470316658。统一资源定位地址https://doi.org/10.1002/9780470316658.Characterization以及融合。[17] 鲁迪格·弗雷和卡洛斯·A·辛。随机波动下欧式期权价格的界。数学《金融》，9（2）：97–116，1999年。ISSN 0960-1627。内政部：10.1111/1467-9965.00064。统一资源定位地址https://doi.org/10.1111/1467-9965.00064.[18] Anja G–oing Jaeschke和Marc Yor。贝塞尔过程的概述和一些推广。伯努利，9（2）：313–3492003。ISSN 1350-7265。内政部：10.3150/bj/1068128980。统一资源定位地址https://doi.org/10.3150/bj/1068128980.[19] 史蒂文·L·赫斯顿。具有随机波动性的期权的闭式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6:327–3431993。[20] H.H。最优消费组合政策：从离散到连续时间模型的收敛。《经济理论杂志》，55:340–3631991年。[21]Ying Hu、Peter Imkeller和Matthias M¨uller。不完全市场中的效用最大化。安。应用程序。概率。，15(3):1691–1712, 2005. ISSN 10505164。内政部：10.1214/105051605000000188。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/105051605000000188.[22]Friedrich Hubalek和Walter Schachermayer。资产定价过程的趋同何时意味着期权价格的趋同？数学《金融》，8（4）：385–4031998年。ISSN 0960-1627。内政部：10.1111/1467-9965.00060。统一资源定位地址https://doi.org/10.1111/1467-9965.00060.【23】J.赫尔和A.怀特。随机波动性资产的期权定价。《金融杂志》，42:281-3001987。【24】J.Jacod、S.Mlard和P.Protter。鞅表示的显式形式和鲁棒性。《概率年鉴》，28:1747–17802000。[25]Ely\'es Jouini和Clotilde Napp。效用函数的收敛性和最优策略的收敛性。财务Stoch。，8(1):133–144, 2004. ISSN 09492984。内政部：10.1007/s00780-003-0106-3。

统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s00780-003-0106-3.[26]Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky、Steven E.Shreve和Gan Lin Xu。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。暹罗J.控制优化。，29(3):702–730, 1991. ISSN 0363-0129。内政部：10.1137/0329039。统一资源定位地址https://doi.org/10.1137/0329039.[27]Constantinos Kardaras和GordanˇZitkovi'c.不完备市场中随机捐赠效用最大化问题的稳定性。数学《金融》，21（2）：313–3332011年。ISSN 0960-1627。内政部：10.1111/j.1467-9965.2010.00433。x、 URL地址https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2010.00433.x.[28]D.Kramkov和W.Schachermayer。效用函数的渐近弹性与不完全市场中的最优投资。安。应用程序。概率。，9(3):904–950, 1999. ISSN 1050-5164。内政部：10.1214/aoap/1029962818。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/aoap/1029962818.[29]D.O.Kramkov。不完全证券市场中超鞅和混合未定权益的可选分解。概率。《理论相关领域》，105（4）：459–4791996年。ISSN 0178-8051。内政部：10.1007/BF01191909。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/BF01191909.[30]卡斯珀·拉森。效用最大化相对于偏好的连续性。数学《金融》，19（2）：237–2502009年。ISSN 0960-1627。内政部：10.1111/j.1467-9965.2009.00365。x、 URL地址https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2009.00365.x.[31]Kasper Larsen和GordanˇZitkovi\'c.不完全市场中效用最大化的稳定性。随机过程。应用程序。，117(11):1642–1662, 2007. ISSN0304-4149。内政部：10.1016/j.spa。2006.10.012. 统一资源定位地址https://doi.org/10.1016/j.spa.2006.10.012.[32]Kasper Larsen和Hang Yu。不完备模型中效用优化器的水平依赖性。财务Stoch。，16(4):779–801, 2012. ISSN 09492984。内政部：10.1007/s00780-012-0171-6。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s00780-012-0171-6.[33]Kasper Larsen、Oleksii Mostovyi和GordanˇZitkovi\'c。

效用最大化背景下模型空间的扩展。财务Stoch。，22(2):297–326, 2018. ISSN 0949-2984。内政部：10.1007/s00780-017-0353-3。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s00780-017-0353-3.【34】R.C.默顿。不确定性下的终身港口选择：连续时间案例。修订版。经济。《统计》，51:247–2571969年。【35】R.C.默顿。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。J、 经济。Th，3:373–4131971年。【36】O.Mostovyi和M.S^irbu。效用最大化问题对模型扰动的敏感性分析。预印本，arXiv:1705.082912018。【37】萨布丽娜·穆利纳奇。美式期权的有效套期保值问题。财务Stoch。，15(2):365–397, 2011. ISSN 0949-2984。内政部：10.1007/s00780-010-0151-7。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/s00780-010-0151-7.[38]Ariel Neufeld。当超级复制马尔可夫索赔时，购买并持有完全不完整市场的房产。《国际理论与应用金融杂志》，21（08）：18500512018。内政部：10.1142/S0219024918500516。统一资源定位地址https://doi.org/10.1142/S0219024918500516.[39]让-吕克·普里金特。金融市场的弱收敛性。斯普林格金融公司。Springer Verlag，柏林，2003年。ISBN 3-540-42333-8。内政部：10.1007/978-3-540-24831-6。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/978-3-540-24831-6.[40]Mikl\'os R\'asonyi和Lukasz Stettner。离散时间金融市场模型中的效用最大化。安。应用程序。概率。，15(2):1367–1395, 2005. ISSN1050-5164。内政部：10.1214/105051605000000089。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/105051605000000089.【41】克里斯蒂安·赖克林。行为投资组合选择：模型序列的渐近性和稳定性。数学《金融》，26（1）：51–852016年。ISSN 0960-1627。内政部：10.1111/百万。12053网址https://doi.org/10.1111/mafi.12053.卡洛斯·A·辛。随机波动率模型的复杂性。应用程序中的高级。概率。，30(1):256–268, 1998. ISSN 0001-8678。

内政部：10.1239/aap/1035228003。统一资源定位地址https://doi.org/10.1239/aap/1035228003.【43】沃德·惠特。鞅FCLT的证明。概率。Surv。，4:268–302, 2007.ISSN 1549-5787。内政部：10.1214/07-PS122。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/07-PS122.DEPARTMENT密歇根大学数学系邮箱：ERHAN@UMICH.EDUDEPARTMENT希伯来大学统计系邮箱：YAN。DOLINSKY@MAIL.HUJI.AC.ILDEPARTMENT密歇根大学数学系邮箱：GUOJIA@UMICH.EDU