然后，我们以三种不同的方式评估Europeancall价格，即第6节的方案、Cont和Voltchkova（2005a）的隐式-显式方案以及Tankov和Voltchkova（2009）的傅立叶变换方法，该方法基于Carr和Madan（1999）提出的定价公式。在下面的合成示例中，假设度量ν是绝对连续的w。r、 t.Lebesgue测度，由ν（dx）=0.1给出√2πe-xdx。（39）我们还考虑了函数局部波动率面，由σ（τ，y）给出=-e-τ/2cos4πy, 如果-2/5 ≤ y≤ 5月2日，否则。（40）并将方案（38）给出的结果与Cont和Voltchkova（2005a）中给出的结果进行比较。为了衡量准确性，我们考虑隐含波动率，而不是价格。让我们用：o∑C表示与使用方程式（38）中的模式评估的价格相对应的隐含波动率集∑CVCont和Voltchkova（2005a）的方案评估的价格对应的隐含波动率集∑F ouriert根据Tankov和Voltchkova（2009）的模式评估的价格对应的隐含波动率集。我们估计归一化`-它们之间的距离如下：k∑CN- ∑CVk/k∑CVk或k∑CN- ∑F ourierk/k∑F ourierk，我们还估计绝对相对误差（绝对相对误差）的平均值和标准偏差，其在每个节点处的评估如下：∑CN（τi，yj）-∑CV（τi，yj）|/|∑CV（τi，yj）|或∑CN（τi，yj）-∑F ourier（τi，yj）|/∑F ourier（τi，yj）|。这些结果见表1。图1和图2分别显示了具有恒定和非恒定局部挥发性表面的隐含挥发性之间的比较。N.距离。相关信息。误差平均标准。

开发a≡ 0.0113CV 0.0064 0.0070 0.0072Fourier 0.0862 0.0923 0.0699非常数a CV 0.0064 0.0064 0.0038表1：归一化距离和绝对相对误差。如我们所见，CN隐含波动率与CV波动率相匹配，具有恒定和非恒定的局部波动率表面。当与对应于傅立叶价格的隐含波动率进行比较时，CN波动率的依从性并不准确，但结果令人满意，因为相对误差和归一化距离都低于标准值∑F ourier的10%。这些结果说明了本方案的准确性。图1：局部波动率面为常数时的隐含波动率。图2：局部波动率表面不恒定时的隐含波动率。7数值示例我们现在应执行一组说明性数值示例。7.1局部挥发性校准本示例旨在说明，如果已知ν，则可以校准局部挥发性表面，如Andersen和Andreasen（2000）所述。欧洲看涨期权价格由差异方案（38）生成，在节点（τi，yj）=（i·0.1，j·0.05），局部波动率面（40）和跳跃大小密度（39），i=1。。，10和j=-10, -9, ..., 0, 1, ..., 与解决直接问题的网格相比，这是一个稀疏网格，参见第6.1节的开头。在离散设置下，将函数（24）中的参数设置为α=0，α=10-定义惩罚函数fA（a）=ka- ak+kτ,ak+100kyak，（41），其中k·k表示`-范数和运算符τ,和y分别表示一阶导数w.r.t.τ和y的正向微分近似值。惩罚函数中权重的选择是启发式的，Albani et al。

(2018).极小化问题用梯度下降法解决，步长由最速下降法启发的规则选择，迭代在归一化的`-剩余LKf（a）后停止- uδk/kuδk，小于0.01。有关更多详细信息，请参见Albani等人（2018年）。用于评估局部波动率a的网格步长与用于生成数据的网格步长相同。因此，我们使用以下规则来评估整个区域中的局部波动率曲面（τ，y）=a（τ，-0.5）如果τ>0.1，y≤ -0.5，（深陷金钱）a（τ，0.5），如果τ>0.1，y≥ 0.5，（资金不足）a（0.1，y）如果τ≤ 0.1，结合双线性插值。数据隐含波动率与校准局部波动率得出的价格之间的归一化距离为0.0065，每个节点相关绝对相对误差的平均值和标准偏差分别为0.0043和0.0036。对于原始和校准的局部挥发性表面，归一化的距离为0.0701。每个节点对应绝对相对误差的平均值和标准偏差分别为0.0583和0.0399。我们的方法学的准确性也可以在图3-4中观察到，其中模型的隐含波动率与数据相符，并且重建的局部波动率与原始波动率非常相似。在这两个图中，“Calib”代表校准的本地波动率，“数据”代表原始波动率。请注意，校准并不完美，因为数据是在稀疏网格中收集的。7.2跳跃大小分布的校准假设给出了局部波动率面，则从观察价格校准双指数尾和跳跃大小分布。

在本例中，使用了第7.1节中给出的相同综合数据和参数。图3：数据的隐含波动率和校准的局部波动率。图4：原始和校准的局部挥发性表面。定义νj=Zyj+yyj公司-yν（dy）。首先，我们校准ν，然后，通过最小化函数：MXj，从ν重建ν=-M（Иj- ν（ν）j）+αMXj=-M[νjlog（νj/νj，0）- （νj，0- νj）]，（42），其中ν（ν）jis由ν（ν）j给出=jXl型=-M（eyj- eyl）νl，yj<0MXl=j（eyl- eyj）νl，yj>0。正则化参数设置为α=1×10-图5：左：真（带十字线）和重建（带平方线）双指数尾函数。右：真（带十字线）和重建（带正方形线）跳跃大小分布。如图5所示，重建的双指数尾Д与真实尾相匹配。校准的跳跃大小分布ν也与原始分布一致，除了在零附近，这可能是由于在零处的不连续性。真实和重建的双指数尾函数之间的归一化距离为2.14×10-4，每个节点相关绝对相对误差的平均值和标准偏差分别为0.002和0.0059。真实和校准jumpsize分布之间的归一化距离为0.59，每个节点相关绝对相对误差的平均值和标准偏差分别为0.0946和0.2369。如果我们排除点SY=0，0.05，则归一化距离、平均值和标准偏差的值为2.73×10-5、0.0022和0.0061。因此，排除这两个点，校准是完美的。归一化残差为1.34×10-10

这可能是由于零处的不连续性，这在重建中引入了一些噪声。因此，如果给出了局部波动率曲面，即使数据稀少，ν和ν的校准也非常令人满意。这些结果与Cont和Tankov（2004；2006）中获得的结果具有可比性。7.3测试分割算法本例的目的是说明分割算法能够同时校准局部波动率函数和双指数尾。认购价格在节点（τi，yj）=（i·0.1，j·0.05）处给出，其中i=1。。。，10和J=-90, -89, ..., 0, ..., 10、这代表了解决直接问题的网格的2.5%。该算法通过最小化Tikhonov函数w.r.t.波动率参数初始化。将局部挥发性表面和双指数altail的初始状态以及惩罚函数中的aandν设置为a（τ，x）=0.08和ν（dx）=0.5经验值(-0.5倍- 0.5x）X【0,5】+0.5经验值(-0.5倍- 0.5 | x |）x[-5,0)分别为dx。这里，X[0,5]是集合[0,5]的特征或指示函数。如第7.1节所述，对局部挥发性表面进行最小化w.r.t。然而，为了继续进行双指数尾的最小化，我们首先改变变量Γ=log（φ），并考虑分解Γ（y）=Γ（y）X(-5,0）+Γ（y）X（0,5）。由于y域现在是有界的，所以Γ-（y） =Γ（y）X(-5,0）和Γ+（y）=Γ（y）X（0，+5）可以用傅立叶级数表示。因此，我们在第三项截断其级数，并最小化Tikhonov泛函w.r.t。

傅里叶系数。在本例中，第5.1节中定义惩罚函数的Kullback-Leibler分歧被`-范数的平方所取代。经过两步分割算法后，归一化的`-残差为0.0017，低于设定为0.002的公差。重建参数和真实参数之间的归一化距离为，局部波动率面为0.165，双指数尾为0.641。图6显示了分割算法第一步和第二步的真实和重建的局部波动率曲面。图7显示了双指数tails之间的比较。图6：局部波动率曲面的重建：原始（左）、一步后（中）和两步后（右）。如果分别分析每个参数的重构，结果似乎不如前面的示例那样准确。然而，这是意料之中的，因为该测试中的未知量比以前大得多。此外，众所周知，小跳跃规模的分布与波动性密切相关。见Cont和Tankov（2003）。这意味着在同步重建中，很难将两者分开。因此，根据这些观察结果，结果是令人满意的准确，因为这两个参数的主要特征都被纳入重建中，如图6-7所示。图7：双指数尾的重建：一步后（左）和两步后（右）。连续线：true。

虚线：重建。7.4奇异期权定价为了进一步说明分割算法的准确性，我们评估了所谓的回望看涨期权和看跌期权，它们具有以下支付函数：LBcall（τi）=max0，Sτi- 最小0≤k≤NStk公司和LBput（τi）=最大值0，最大值0≤k≤NStk公司,当期权到期时间分别为τi=0.1、0.2、0.3、0.5时，当前时间由tk=k给出t、 k=0，1。。。，Nt=τi/N，N是时间步数，设置为N=100。期权价格通过蒙特卡罗积分近似为inLBcall（0）=e-rτiELBcall（τi）≈ e-rτiNrNrXl=1LBcall（τi）（l），其中LBcall（τi）（l）是随机变量LBcall（τi）的第l次实现，Nr是实现的总量，设置为Nr=10000。LBcall（τi）和LBPUT（τi）的实现由Dupire模型和（1）中的跳跃扩散模型生成。Dupire模型采用Euler-Naruyama方法求解，局部波动率由第7.3节的欧洲买入价格数据集校准。局部波动率校准中的归一化残差与第7.3节中跳跃扩散校准的结果大致相同。跳跃扩散模型采用Giesecke等人（2017）的方法进行求解，局部波动率和跳跃大小分布在第7.3节中进行了校准。跳跃大小的样本通过逆变换采样给出，其中跳跃大小的累积分布的倒数通过最小二乘法进行评估。地面真实价格由跳差模型给出，该模型具有第7.3节中的真实局部波动率和真实跳大小分布。表2和表3分别给出了回望看涨期权和看跌期权的价格。价格误差见表4和表5。

在这些表格中，跳跃一词代表跳跃差异模型，而杜皮尔一词代表杜皮尔模型，真实标准代表基本真实价格。基于这些结果，我们可以看到，使用分割算法校准参数的跳跃扩散模型比使用校准局部波动率的杜皮尔模型更精确。τ0.1 0.2 0.3 0.4跳跃0.0509 0.0692 0.0855 0.1059杜皮尔0.0728 0.1019 0.1270 0 0.1620真0.0577 0.0828 0.1040 0 0.1363表2：回溯买入价格τ0.1 0.2 0.3 0.4跳跃0.0690 0.1060 0 0.1357 0.1907杜皮尔0.0776 0.1112 0.1368 0.1821真0.0662 0.0993 0.1269 0.1780表3：回溯卖出价格7.5带DAX选项的拆分算法本实验旨在说明拆分算法可用于marketdata。测试采用2017年6月20日交易、2017年6月21日、2017年8月18日、2017年9月15日、2017年12月15日和2018年11月16日到期的DAX欧洲看涨期权价格。此处使用的网格步长为y=0.05和τ ≈ 0.003. Tikhonov泛函的惩罚项与第7.3节中使用的相同，α=10-我们对局部波动率面和双指数使用了相同的初始状态，以及第7.3节中的优先参数。利率取0，S=12814.79美元。该数据在稀疏网格中给出，通过将市场罢工转化为对数货币，并考虑到到期时间（以年为单位）。

只需对分割算法进行三次迭代，直到数据误差函数低于公差（设置为tol=0.0069）。为了重建跳跃大小分布和局部波动率曲面，我们使用了第7.3节中的相同参数。图8：从局部波动率曲面（左）、双指数尾（中）和跳跃大小密度函数（右）的Dax期权重建。τ0.1 0.2 0.3 0.4跳跃0.1185 0.1494 0.1640 0.1919杜皮尔0.2618 0.2409 0.2309 0.2112表4：回望看涨期权价格的归一化误差τ0.1 0.2 0.3 0.4跳跃0.0425 0.0596 0.0648 0.0680杜皮尔0.1725 0.1360.1053 0.0630表5：回望看跌期权价格的归一化误差图9：6月20日交易的DAX Europeancall价格的市场（平方）和模型（连续线）隐含波动率2017年，2017年6月21日、2017年8月18日、2017年9月15日、2017年12月15日和2018年3月16日到期（从左到右）。图8显示了校准的局部波动率面、双指数尾和跳跃大小密度函数。市场数据和模型的相应隐含波动率见图9。从这些图中可以看出，局部波动率表面表现出良好的微笑依附性，尤其是接近于资金冲击时（y=0）。8结论在本论文中，我们探讨了当股票价格被建模为跳跃扩散过程时，从欧洲香草期权报价中同时校准局部波动率表面和跳跃大小分布的反问题。这是一项艰巨的任务，因为复杂性高于涉及纯粹不同价格的校准问题的复杂性，正如Cr'epey（2003a）、Cr'epey（2003b）、爱格和恩格尔（2005）、Albani et al.（2017）等研究的局部波动性校准。采用Tikhonov型正则化结合分裂策略求解该反问题。

我们提供的理论结果表明，该方法适用于理论问题，并且可以用于正在考虑的特定问题。数值示例说明了该技术的有效性，并使用合成和真实数据提供了真实局部波动率和跳跃大小分布的稳定近似值。参考资料。亚当斯和福尼尔。Sobolev空间。Elsevier，第二版，2003年。五、 Albani和J.P.Zubelli。凸正则化在线局部波动率校正。应用程序。肛门。离散数学。，8, 2014. 内政部：10.2298/AADM140811012A。五、 Albani、U.Ascher、X.Yang和J.Zubelli。数据驱动的局部挥发性表面恢复。《反问题与成像》，11（5）：799–8232017。内政部：10.3934/ipi。2017038.URLhttp://arxiv.org/abs/1512.07660.V.Albani、U.Ascher和J.Zubelli。商品市场的局部波动模型和在线校准。《计算金融杂志》，2018年21:1–33。内政部：10.21314/JCF。2018.345. 统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1602.04372.L.Andersen和J.Andreasen。跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。《衍生品研究回顾》，4（3）：231–2622000。内政部：10.1023/A：1011354913068。统一资源定位地址http://link.springer.com/article/10.1023/A:1011354913068.G.Barles和C.Imbert。二阶椭圆型积分微分方程：粘度解理论重温。安。Inst.H.Poincar\'e-分析。《非林厄尔》，25（3）：567–5852008。内政部：10.1016/j.anihpc。2007.02.007. 统一资源定位地址http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIHPC/AIHPC_2008__25_3/AIHPC_2008__25_3_567_0/AIHPC_2008__25_3_567_0.pdf.A.Bentata和R.Cont.半鞅模型中期权价格的正向方程。《金融Stoch》，19:617–6512015。doi:10.1007/s00780-015-0265-z。URLhttp://link.springer.com/article/10.1007/s00780-015-0265-z.P.卡尔和D.马丹。使用快速傅立叶变换进行期权估值。

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