实际上，It^o公式对dxi=1等量的应用Hε，t，w，s，H，irSirWε，t，w，s，hr- πi或Hε，t，w，s，H，irSirWε，t，w，s，hr- πi对于一些人来说，我没有提供任何表达式，允许我们声称这些量对于ε>0很小是很小的。第二个原因是如果我们不乘（1+）（Xε，t，w，s，hu））乘以（wε，t，w，s，hu）（m+2）m*mwe必须研究过程对随机障碍物的命中时间。似乎（Wε，t，W，s，hu）（m+2）m*m（1+）（Xε，t，w，s，hu））是最简单的表达式，允许我们通过均值回复过程将清算时间定义为恒定屏障的击中时间。现在，我们考虑一位投资者遵循Jt、τε、t、w、s、hK上给出的控制权cθε，并清算其在Jτε、t、w、s、h、τε、t、w、s、h+ε2m上的投资头寸*K、 并消耗Jτε、t、W、s、h、t K上剩余的现金酸c（t、Wε、t、W、s、ht、St）。控制Wε、t、W、s、hε、t、W、s、hε、hε、t、W、s、hε、h=θεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr关于Jt，τε，t，w，s，hK-ε-2米*Hε，t，w，s，Hτε，t，w，s，hon Jτε，t，w，s，H，τε，t，w，s，H+ε2m*Jτε、t、w、s、h+ε2m上的K0*, T K，（7.9），消耗过程cε，T，w，s，hr=cr、 Wε，t，W，s，hr，Sr关于Jt，τε，t，w，s，hKCε，t，w，s，hr，关于Jτε，t，w，s，h，τε，t，w，s，h+ε2m*Kc公司r、 Wε，t，W，s，hr，Sr关于Jτε，t，w，s，h+ε2m*, T K，（7.10），其中Jτε，T，w，s，h，τε，T，w，s，h+ε2m的消耗量的选择*K保持为εWε，t，W，s，hr（4cW）2m*∧ 1.∧ 2εWron该间隔。它也被选择得足够大，以便如果τε，t，w，s，h<t- ε2m*然后Wε，t，W，s，hτε，t，W，s，h+ε2m*6 1 ∧ε（4cW）2m*, （7.11）且足够小，以便wε，t，w，s，hr>π*Wτε，t，W，s，hfor r∈ Jτε，t，w，s，h，τε，t，w，s，h+ε2m*K、 后两个不等式中的第一个特别是引理7.1暗示，它所持有的所有可容许投资组合都是g（t）w-R6级wψε（t，w，s，h）6g（t）w-R、 （7.12）关于Jτε，t，w，s，h+ε2m*, T K，Wε，T，W，s，hs表示SDE dWε，T，W，s，hz=（r- g（z）-R） Wε，t，W，s，hzdz。

因此，它的上确界在这个区间上有所有正序和负序的矩。这确保了财富在最终前的绝对正性，以及最终一次性消费的绝对正性。此外，WRC6 Wε，t，W，s，hr6 CWron Jt，τε，t，W，s，hK。最后，请注意，正如引理7.2所证明的，这个策略确实是可以接受的。还定义了[t，t]过程ψ，t，w，s，hr：=ψε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr），（7.13）πε，t，w，s，Hξ，r：=ξr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr- h（r，Wε，t，W，s，hr，Sr）εm*= g（r）（Wε，t，W，s，hr）-R+3m*s×s▄x个Xε，t，w，s，hr. （7.14）以下引理提供了在T- ε2m*使用我们刚刚定义的控件时。在研究了第7.2节中的ge-ne-ratorofψε、t、w、s、hin以及第7.3节中所述和批准的必要辅助引理之后，将在第7.4节中给出其证明。引理7.2。

上述控制是可接受的，并且存在C∈ Fcomp使所有（t、w、s）∈ D、 存在δ>0，因此对于所有h∈ Rd满足| hisiw- πi | 6δ我们有p（τε，t，w，s，h<t- ε2m*)6ε2m*C（t，w，s）。7.2（7.13）的半鞅分解定义了以下过程，~Gε，t，w，s，hr=ε2m*wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr-m级-Vw（r，Wε，t，W，s，hr，Sr）-m级× wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hrΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，rfSr，ΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，r+ ε2m*wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr1.-m级-Vw（r，Wε，t，W，s，hr，Sr）1.-m级×πε，t，w，s，hξ，r·ΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，r.关于Jτε，τε+ε2m*K、 ~Gε，t，w，s，his由~Gε，t，w，s给出，hr=ε2m*wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr1.-mΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，rfSr，ΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，r- εm*（m）-2） m级-1.wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hrHε，t，w，s，Hτε·fSr，Hε，t，w，s，Hτε+ ε2m*wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr1.-m∏ε，t，w，s，hξ，r·Φxs-ε，t，w，s，hξ，r+ εm*ε、t、w、s、hξ、rHε、t、w、s、hτε和o n Jτε+ε2m*, T K我们定义了Gε，T，w，s，hr=ε2m*wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr1.-mΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，r·fSr，ΦxSr，-ε∏，t，w，s，hξ，r+ ε∏，t，w，s，hξ，r= -ε2m*wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr1.-mΦSr，-ε∏，t，w，s，hξ，r6 0.Gε，t，w，s，htakes考虑到ψε，t，w，s，hif漂移的差异，它已由c（消耗的samecontrol）和函数Gε（ψε）中h的哈密顿量的优化器控制。这使我们能够将第5节（方程式（5.11））的剩余估计值与ψε、t、w、s、hbelow的漂移（se e方程式（7.15））联系起来。我们现在给出了▄Gε，t，w，s，h.Lemma 7.3的以下估计。它能保持| Gε，t，w，s，hr | 6 C（εwε，t，w，s，hr）2m*（Wε，t，W，s，hr）1-Ron Jt，τεK，| Gε，t，w，s，hr | 6 C（Wε，t，W，s，hr）1-R+（Wε，t，W，s，hr）-R（Wτε，t，W，s，h）mm-1+（Wε，t，W，s，hr）m-R（Wτε，t，W，s，h）关于Jτε，τε+ε2m*K、 | Gε，t，w，s，hr | 6 C（wε，t，w，s，hr）1-Jτε+ε2m上的R6 C*, T K.证明。

首先注意，通过引理7.1，以及g在[0，T]上远离0的事实，我们对所选控制Hε，T，w，s，手Cε，T，w，s，htt有以下关于Jt，τε，T，w，s，hK的不等式wψεr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr-Vw（r，Wε，t，W，s，hr，Sr）6 C（Wε，t，W，s，hr）-R（（Wε，t，W，s，hrε）2m*+ （Wε，t，W，s，hrε）m），通过泰勒展开式得出和（7.12）wψε-m级-大众汽车-m级r、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr6摄氏度（Wε，t，W，s，hr）-R-1.-m级|wψε- Vw | 6 CWε，t，W，s，hrRm（（εWε，t，W，s，hr）2m*+ （εWε，t，W，s，hr）m），wψε1.-m级-大众汽车1.-m级r、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr6摄氏度Wε，t，W，s，hrR（米-1） （（εWε，t，W，s，hr）2m*+ （εWε，t，W，s，hr）m）。秒，通过定义f in（4.1）和Φxin（4.3），它适用于某些常数C>0，ΦSr，-ε，t，w，s，hξ，r6C级ε∏，t，w，s，hξ，rSrm、 0 6∏ε，t，w，s，hξ，r·ΦxSr，-ε，t，w，s，hξ，r6C级ε∏，t，w，s，hξ，rSrm、 0.6华氏度Sr，ΦxSr，-ε，t，w，s，hξ，r· ΦxSr，-ε，t，w，s，hξ，r6C级ε∏，t，w，s，hξ，rSrm、 最后，对∏ε、t、w、s、hin（7.14）的定义，对∧的估计（7.4）x和hε，t，w，s，h，iSiWε，t，w，s的因子t，his一致有界为容许的str策略和1 6 i 6 d提供了界ε∏，t，w，s，hξ，rSr6 C（Wε，t，W，s，hr）-R+3m*|（εWε，t，W，s，hr）m*|m6 Cε-2米*m（Wε，t，W，s，hr）-R+m。现在，结果来自于将Gε、t、w、s的定义与三个随机区间相结合，我们刚才所述的e估计，G从0有界且有界的事实（见备注2.3），f、πε、t、w、s、hξ和τε、t、w、s、h的定义（在（4.1）、（7.14）和（7.8）），hε、t、w、s、h、iSiWε、t、w、s、，Hisbo一致支持容许策略和不等式（7.4）和（7.12）。表示uψε扩散的漂移ψε，t，w，s，hu=ψεu、 Wε，t，W，s，hu，Su，Hε，t，W，s，hu. 在（5.7）中，我们计算了应用于不同策略控制的过程的ψε漂移。在（5.7）中，控件出现在三条不同的行中。

因此，uψεz=°uψεz+wψε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）hcε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）- Cε，t，w，s，hzi+~Gε，t，w，s，hz。这里，第二项对应于（5.7）和（7.10）中使用的对照品之间的消耗差异，最后一项对应于（5.7）和（7.9）之间策略yθ的差异。因此，使用（5.8）我们得到了ψε，t，w，s，hz=-Gε（ψε）（z，Wε，t，W，s，hz，Sz，Hε，t，W，s，hz）+Ucεz、 Wε，t，W，s，hz，Sz，Hε，t，W，s，hzdz+wψε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）hcε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）- Cε，t，w，s，hzdz+~Gε，t，w，s，hzdz+dMz，on[t，t]，（7.15），其中M是鞅。第一条t线对应于第5节中计算的生成器，第二条线和过程Gε、t、w、s，由于消耗量（分别为候选策略θε）不是（2.24）中哈密顿量的最大化子，因此贡献是相等的。7.3重整化效用损失的局部有界性我们还需要确定W0，t，w，s，h，当投资者不消费（c≡ 财富动态中为0），并遵循θε。L etL是扩散的成因（·、~W0、t、w、s、h、s、ε-m级*（h）-h（·，~W0，t，w，s，h·，s·）））。现在，我们提供了与控制Hε、t、w、s、hand Cε、t、w、s、H相关的重整化效用损失的主要分解。在继续之前，让我们定义（7.1）中定义的函数ψε和ε>0的剩余函数ε（ψε）（t、w、s、H）：=（m- 1） Φ（s，ξ） （大众汽车）-m级wψε- 大众汽车(7.16)-U′（Vw）wψε- Vw+ε2m*uwε2m*.引理7.4。

适用于所有（t、w、s）∈ D、 和h∈ Rdit保持SV（t、w、s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*- u（t，w，s）（7.17）6EhZTtT（r，wε，t，w，s，hr，Sr，uw，uww，uws；Hε，t，w，s，hr）- T（r，Wε，T，W，s，hr，Sr，uw，uww，uws；h（r，Wε，T，W，s，hr，Sr））dri+ε2m*ET、 ~WT、ST、h- h（T，~WT，ST）εm*- 呃T、 Wε，T，W，s，hT，ST，-ε-m级*h（T，Wε，T，W，s，hT，ST）我+ EZTt公司Rε（R，Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr）- ε-2米*Gε，t，w，s，hrdr- ε-2米*EZTt公司wψε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr）×cε（r，Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr）- Cε，t，w，s，hr博士+ ε-2米*EZTt公司Ucε（r，Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr）- U（Cε，t，w，s，hr）博士.证据由于（7.15）和Hε，t，w，s，hT=0这一事实，我们得到了ψε（t，w，s，H）=Ehψε，t，w，s，hTi+EZTt公司Gε（ψε）（z，Wε，t，W，s，hz，Sz，Hε，t，W，s，hz）-Gε，t，w，s，hz- wψε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）hcε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）- Cε，t，w，s，hzi+U（Cε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz））dz公司.通过定义ψε和Vand u的基本条件（见方程式（2.6）和（3.6）），它保持了εψ，t，w，s，hTi=超高压（t，wε，t，w，s，hT，ST）i- ε2m*Ehu（T，Wε，T，W，s，hT，ST）i- ε4m*E“T、 Wε，T，W，s，hT，ST，Hε，T，W，s，hT- h类T、 Wε，T，W，s，hT，STεm*!#= EhUWε，t，W，s，hT我- ε4m*呃T、 Wε，T，W，s，hT，ST，-ε-m级*h类T、 Wε，T，W，s，hT，STi、 请注意，条件Hε，t，w，s，hT=0意味着最终现金头寸为指数wε，t，w，s，hT。

考虑到策略的可容许性和Vε的终端条件（2.25），我们有EhUWε，t，W，s，hT+RTtU（Cε，t，w，s，hz）dzi6 Vε（t，w，s，h），并获得ψε（t，w，s，h）6E“ZTtGε（ψε）（z，Wε，t，W，s，hz，Sz，Hε，t，W，s，hz）-Gε，t，w，s，hzdz#+EZTt公司- wψε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）hcε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）- Cε，t，w，s，hzi+U（Cε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz））- U（Cε、t、w、s、hz）dz公司+ Vε（t，w，s，h）- ε4m*呃T、 Wε，T，W，s，hT，ST，-ε-m级*h类T、 Wε，T，W，s，hT，STi、 这意味着V（t，w，s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*ε2m*E“ZTtGε（ψε）（z，Wε，t，W，s，hz，Sz，Hε，t，W，s，hz）-Gε，t，w，s，hzdr#+u（t，w，s）+ε2m*t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*+ ε-2米*EZTt公司-wψε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）hcε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz）- Cε，t，w，s，hzi+U（Cε（z，wε，t，w，s，hz，Sz，Hε，t，w，s，hz））- U（Cε，t，w，s，hz）dz- ε2m*呃T、 Wε，T，W，s，hT，ST，-ε-m级*h类T、 Wε，T，W，s，hT，STi、 （7.18）如果左侧的构造为非负。我们注意到，第5节中选择ψε的剩余估计给出ε-2米*Gε（ψε）（t，w，s，h）=t（t，w，s，uw，uww，uws；h）- T（T，w，s，uw，uww，uws；h（T，w，s））+ε2m*L() -Tr公司中国ξξ+（大众）1-m级- (wψε）1-m级Φ（s，-ξ） +~U（Vw）-U(wψε）- ε2m*U′（Vw）uwε2m*.这实际上是根据（5.8）和（5.11）得出的，对于解决方案u和 在修正方程（3.6）和（3.7）中，它保持（t，w，s，ξ，ξ, ξξ）+E（t，w，s，u，ut，uw，us，uww，uws，uss）=0，方程（通过直接计算（5.10）和定义（5.13），（5.15）和（5.16））Iε，1+Iε，3+Iε，4=ε2m*L() -Tr公司中国ξξ.回想一下，Φ（s，·）对于（4.1）中f的选择是偶数。

由于x的凸性→ x1-mandU以下两个不等式适用于所有（t、w、s、h），（大众）1-m级- (wψε）1-m级Φ（s，-ξ） 6（米- 1） Φ（s，ξ） （大众汽车）-m级wψε- 大众汽车,U（Vw）-U(wψε）- ε2m*U′（Vw）uwε2m*6.-U′（Vw）wψε- Vw+ε2m*uwε2m*.因此，通过ξ7的凸性→ （t，w，s，ξ）和chis非负（对称非负矩阵乘积的迹是非负的）这一事实，我们得到ε-2米*Gε（ψε）（t，w，s，h）6T（t，w，s，uw，uww，uws；h）- T（T，w，s，uw，uww，uws；h（T，w，s））+ε2m*L() + （m）- 1） Φ（s，ξ） （大众汽车）-m级wψε- 大众汽车-U′（Vw）wψε- Vw+ε2m*uwε2m*.通过（7.16）中Rε的定义，我们得到ε2m*E“ZTtGε（ψε）（Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr）dr#6E”ZTt（t（·；Hε，t，W，s，hr）- T（·；h（r，Wε，T，W，s，hr，Sr））（r，Wε，T，W，s，hr，St，uw，uw，uws）dr#+Ehε2m*T、 WT，ST，ε-m级*（h）- h（T，~WT，ST））我- ε2m*t、 w，s，ε-m级*（h）- h（t、w、s））+ E“ZTtRε（r，Wεr，Sr，Hεr）dr#。将此不等式与（7.18）相结合，我们得出结论。以下引理允许我们局部约束效用的renormaliz E d los s s o。引理7.5。设u为（3.22）中定义的函数，T为（3.4）。然后，对于（T，W，s，H）∈ A（在（7.2）中定义）我们有T（T，w，s，uw，uw，uws；h）- T（T，w，s，uw，uww，uws；h（T，w，s））+Rε（T，w，s，h）| 6 C1+w1+2m*-R+w1+m-R6摄氏度1周以上保持一些k>0。证据注意，由于str-ategies的可接受性，我们得到了thath×sw-h（t，w，s）×swis一致有界。因此| T（T，w，s，uw，uww，uws；h）| 6 Cw1-R+2m*可接受的策略。类似地，对于引理7.3的证明，我们有Φsξt、 w、s、h- h（t，w，s）ε-m级*6 Cε-2米*w1级-Rm |（大众）-m | 6 CwRm|wψε- Vw | 6 C（（wε）2m*+ （wε）m）w-RU′（Vw）wψε- Vw+ε2m*uwε2m*6 Cεmw1-因此，| Rε（ψε）（t，w，s，h）| 6 C1+w1+2m*-R+w1+m-R.引理7.6。

确定流程KR：=- wψε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr）hcε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr）- Cε，t，w，s，hri+U（Cε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr））- r的U（Cε，t，w，s，hr）∈ [t，t]。（7.19）那么，策略的可接受性意味着t | Kr | 6C（Wε，t，W，s，hrε）2m*|Wε，t，W，s，hr | 1-Ron Jt，τε，t，w，s，hK，| Kr | 6C（wε，t，w，s，hr）1-Ron Jτε，t，w，s，h，t K.证明。首先，关于Jt，τε，t，w，s，hK和Jτε，t，w，s，h+ε2m*, T K，它保持cε，T，w，s，hr：=c（r，wε，T，w，s，hr，Sr）=-~U′（Vw（t，w，s））。对于R<1，U（Cε，t，w，s，hr）>0。因此，利用（7.12）、cεin（5.5）和Uin（2.9）的定义以及g有界且远离0的事实，以下不等式适用于jτε，T K | Kr | 6|wψε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr）||U′型wψε（r，wε，t，w，s，hr，Sr，Hε，t，w，s，hr）|+ |~U′（Vw（t，w，s））|+ U（cε（r，Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr））6 c（Wε，t，W，s，hr）1-R、 对于某些C>0。现在使用引理7.1，类似于引理7.3的证明，我们得到了不等式wψε-R-大众汽车-Rr、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr6摄氏度Wε，t，W，s，hr（（εWε，t，W，s，hr）2m*+ （εWε，t，W，s，hr）m），wψε-1.-RR（右后）-大众汽车-1.-RR（右后）r、 Wε，t，W，s，hr，Sr，Hε，t，W，s，hr6摄氏度Wε，t，W，s，hr1.-R（（εWε，t，W，s，hr）2m*+ （εWε，t，W，s，hr）m）。然后，在区间Jt，τε，t，w，s，hK上，通过定义（7.8）τε，t，w，s，手动使用（7.12），我们得到| Kr | 6 C（wε，t，w，s，hrε）2m*|Wε，t，W，s，hr | 1-R、 引理7.2的证明需要Wε的矩存在性，我们首先需要W引理7.7的以下结果。在Black-Scholes环境中，Wover[t，t]的上确界具有所有序集的矩supu公司∈[t，t]Wε，t，W，s，huη+ Et公司ZTt公司Wε，t，W，s，huηdu+ Et公司supu公司∈[t，t]吴η= Ct，ηwη<∞,式中，Et表示以Ftandη>0为条件的期望值。证据

结果是一个几何布朗运动的直接结果，事实上，通过定义我们的策略，我们在某些C>0到τε，t，W，s，h的情况下，我们得到了Wε，t，W，s，hon Jτε，t，W，s，h，τε，t，W，s，h+ε2m满足的SDE*K和Jτε，t，w，s，h+ε2m*, T K，Hε，T，w，s，hris在Jτε，T，w，s，H，τε，T，w，s，H+ε2m上严格递减的事实*K和themm-1θ7的均匀性→ θ·f（s，θ）。7.4命题4.1的证明和命题4.1的引理7.2证明。将引理7.4的不等式（7.17）与引理7.3、7.5和7.6相结合，得到不等式v（t、w、s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*- u（t，w，s）6EhZTtC1+（Wε，t，W，s，hr）kdri+EZτε，t，w，s，htCε-2米*（εWε，t，W，s，hr）2m*（Wε，t，W，s，hr）1-Rdr公司+ EZτε，t，w，s，h+ε2m*τε，t，w，s，hCε-2米*（Wε，t，W，s，hr）1-R+（Wε，t，W，s，hr）-R（Wτε，t，W，s，h）mm-1+（Wε，t，W，s，hr）m-R（Wτε，t，W，s，h）博士+ EZTτε，t，w，s，h+ε2m*Cε-2米*（Wε，t，W，s，hr）1-Rdr公司+ ε2m*ET、 ~WT、ST、h- h（T，~WT，ST）εm*- ε2m*ET、 Wε，T，W，s，hT，ST，h- h（T，Wε，T，W，s，hT，ST）εm*,其中k>0是引理7.5的常数。现在财富的有界性为（τε，t，w，s，h+ε2m*, T）（实际上在τε、T、w、s、h+ε2m之后*, Wε，t，W，s，hs是一个线性的、确定性的常微分方程，其起始值满足（7.11）和L emma 7.2，W的矩（所有正、负阶），Wε，t，W，s，hin引理7.7，定义 在引理4.2中，以及 在ξ中，我们得到了一些常数C>0和wV（t，w，s）的一些正函数C- Vε（t，w，s，h）ε2m*- u（t，w，s）6C（w）+Cε-2米*P（τε，t，w，s，h<t- ε2m*)+ ε2m*-m级*2+mmE|重量| 1-R+m.请注意，投资于无摩擦市场且利率为r+sup{g（t）| t的投资者的财富占主导地位∈ [0，T]}并遵循示例2.1中给出的策略，因此通过引理7.7对其进行了定义。注意，右手边是Fcompdue引理7.2（事实上，最后一项变为0ε→ 0，因为m>2）。

这也证明了你*∈ Fcomp公司。引理7.2的证明。第1部分：由Xε，t，w，s，h满足的SDE漂移和波动的界限：Let（t，w，s，h）∈ D×Rd和ε∈ （0，1）。再回忆一下常数C▄:= supx | x | 1+▄2mm+2（x）<∞ （itexists，见引理4.2）和停止时间τε，t，w，s，hin（7.8）。写入C2，▄:= supx▄（x） | x | 1+2/米<∞ （见引理4.2），假设（ε，t，w，s，h）∈ （0，1）×D×Rdis使得（εw）（m+2）m*m+C2，~dXi=1hisiw公司- πi-m（π*)12C▄, （7.20）且只要（7.20）成立，所有估计值在这些质量上都是一致的。通过定义（7.8）τε，t，w，s，C的手, 我们在Jt，τεK上有两个不等式（λminπ*)16C2mm+2°dm+22m>（εWε，t，W，s，hu）（m+2）m*m级1 + ~Xε，t，w，s，hu>（εWε，t，W，s，hu）（m+2）m*m | Xε，t，w，s，hu | 1+mC |, （7.21）εWε，t，W，s，h>8cW∧ 1.2米*和| Wε，t，W，s，hu- Wu | 6π*吴。（7.22）这意味着在Jt，τεK上，我们有wε，t，w，s，h>0和（λminπ*)16dC2mm+2°>λminC2mm+2°dXi=1Hε，t，w，s，H，irSirWε，t，w，s，hu- πi. （7.23）这提供了一个有用的不等式λminC2mm+2°dXi=1Hε，t，w，s，H，irSirWε，t，w，s，hu- πi6（εWε，t，W，s，hu）（m+2）m*m级1 + ~Xε，t，w，s，hu. （7.24）这些估计还意味着，对于所有1 6 i 6 d，投资于资产的财富比例-π*4dHε，t，w，s，h，iuSiuWε，t，w，s，hu- πiπ*4d。（7.25）在Jt、τε、t、w、s、hK上。最后一个不等式，结合π*都小于πi，表示每项资产中的财富比例为正，Hε，t，w，s，H，i>0。i中求和（7.25），π的定义*也意味着财富在现金中的比例为正，且大于或等于3π*.