请注意，从示例2.1中获得的闭式解和定理的假设来看，假设2.1已满足。（4.1）中冰冲击函数的定义符合假设2.2。通过引理4.2，假设3.2（i）得到满足。通过[10，推论5.6]的弱动态规划结果，假设2.3得到满足。现在，考虑到上述计算，为了使用我们的主要定理和建议3.1，我们需要证明假设3.1和假设3.2的最后三项得到满足，即：（i）定义包含（3.22）中定义的函数的s et f，并证明其具有假设3.2的性质，（ii）证明界限（3.8）。这是引理4.3和命题4.1的目标。备注4.2。（i） 与【25】和【14】类似，ut能力损失与相关ODE溶液中的一个常数成比例（这些文章中分别为cα或cα）。（ii）我们选择（4.1）的主要计算简化是，我们可以计算（4.7）中的λ，并获得（3.17）中的二阶导数估计，这是由于▄的一维因式分解 引理4.2中证明。在这种情况下λ，因此效用损失与κ2（m）成正比-1） m级*表示（4.1）中价格影响的大小。（iii）限制0<R<1是一个技术条件，需要获得附录中的界限（3.8）。在这种情况下，我们最终可以通过增加消费来轻松控制效用。（iv）在选择影响函数（4.1）的情况下，我们可以证明通过猜想渐近最优控制控制的状态具有特定的行为。事实上，我们可以证明，通过这种控制，向量SHεt的每个分量-htεm*表示与目标位置的偏差乘以S，在前导顺序上具有一维行为。

函数的因式分解 引理4.2中给出的结果也就不足为奇了。对于m=2的情况，在前导阶，每个分量的平均反转速度相等。因此，我们得到了在[25]意义下，任何方向都是主组合，并且渐近最优策略指向目标位置。然而，在m>2的情况下，一个简单的计算表明，尽管SHεt的每个分量-htεm*对于R>1，需要进行繁琐的估算，我们省略了这些估算，以免将已经复杂的分析淹没在更多的技术细节中。以前导顺序求解一维ODE，每个分量的局部平均反转速度可能会不同。因此，推测的渐近最优投资组合可能不会局部指向目标头寸。（v） 与[25，14]的一维框架不同，在一维框架中，展开的特征是唯一ODE（4.6）的解，该解不依赖于冲击函数，而仅依赖于α，在每个冲击函数的一般多维情况下，可能需要求解PDE。看看PDE（3.16）是否会允许对相当大类别的影响函数进行进一步简化，这将是一个有趣的问题。4.1.2验证主要示例MA 4.3的假设3.1和3.2。函数fcomp的类=（φ：D 7→ R:k>0：sup（t、w、s）∈D |φ（t，w，s）| 1+wk+w-k+Pdi=1（ski+s-ki）<∞)（4.14）在假设3.2中定义了比较性质。注意，如果函数φ∈ F满足了k>0的有界性假设，也满足了所有k′>k的有界性假设。这是因为supw>01+wk1+wk1+supw>01+w-k1+w-k′<∞.证据我们现在展示了Fcomp中粘度溶液的比较。

让你，你∈ f分别比较（3.7）的粘度下解和上解，使得R++×Rd++上的u（T，·）6u（T，·）。取k>0，使SUPj=1,2sup（t，w，s）∈D | uj（t，w，s）| 1+周+周-k+Pdi=1（ski+s-ki）<∞.直接计算表明l > 0足够大函数Γ：（t，w，s）7→ e-lt型1+w2k+w-2k+dXi=1s2ki+s-2ki是（3.7）的粘度上解。证明D上比较性质的论点是标准的变量双精度技术，如[37]中定理4.4.4和定理4.4.3的证明。根据Γ的定义，我们得到了所有δ>0，limw→0，w>0u（t，w，s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞,林西→0，si>0u（t，w，s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞, 对于1 6 i 6 d，limw→+∞u（t、w、s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞,林西→+∞u（t、w、s）- u（t、w、s）- ΔΓ（t，w，s）=-∞, 对于1 6 i 6 d.因此定义Φδ（t，t′，w，w′，s，s′）=u（t，w，s）- u（t′，w′，s′）- ΔΓ（t′，w′，s′）-2δ|t型- t′|+| w- w′|+| s- s′|,当δ＞0时，Φδ的最大值（tδ、t′δ、wδ、w′δ、sδ、s′δ）均存在。我们现在可以得出类似于定理4.4.4的结论。在[37]中。定理4.1证明的其余部分是检查假设3.1，并显示u*（6.1）中的定义由（4.14）中的定义构成，这在下面的命题4.1中得到了证明。4号提案。假设定理4.1的假设成立。然后，对于所有（t、w、s）∈ 存在ε>0和r>0这样的t hatsupV（t、w、s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*: （4.15）| t- t |+| w- w |+| s- s |+| h- h（t，w，s）| 6r，ε∈ (0, ε)< ∞,和u*（6.1）中定义的是Fcomp。附录中提供了非常技术性的（4.15）证明。4.2冲击功能的其他示例示例示例4.1。另一个可能的价格影响是fj（s，θ）=κjsmm-1jθj |θj | 2-毫米-1每项资产价格的影响取决于该资产的交易。

在这种情况下，Φ仅取决于比率的向量xs。。。，xdsd公司,Φ（s，x）=dXi=1（m- 1） m级-1mmκm-1i西四m=：￠Φxs型.与Black-Scholes市场中价格影响函数（4.1）的主要示例类似，在s中的标定允许使用命题3.1。如果S不是对角线，则该对（）, λ） 仍然有一个类似于（3.16）的方程，但它们不能表示为一维函数的和。我们无法显式计算λ。备注4.3。我们不能完全处理这个例子。实际上，目前，文献中没有关于▄二阶导数增长的估计 在（3.17）中。这些估算对于检查假设3.2和继续验证第7节的估算是必要的。然而，在适当的假设下，可以使用所谓的adjointmethod的重新定义版本来显示示例4.1，即 满足约束条件|ξξ（ξ）|（1+|ξ|）+m6K。然后，可以使用这里介绍的方法来获得效用损失的表达式。示例4.2。fj（s，θ）=κjθj |θj | 2给出的fjare的最简单选择-毫米-1和fj（s，θ）=κjsjθj |θj | 2-毫米-对于一些分别导致加法和乘法的κj>0和m>2，Marco Cirant已经向我们指出了这一点，这是他正在进行的工作的主题。价格影响独立于股票价格。

然而，在这些情况下，第一修正方程（3.6）对t、w和s有复杂的依赖关系，命题3.1的因式分解是不可能的。因此，与前两个需要求解唯一的第一修正方程的示例不同，这里需要为每个（t、w、s）求解第一修正方程∈ D（并证明解的光滑依赖关系（t，w，s），见第3.2节）。5剩余估计在本节中，我们收集了一些对命题4.1（特别是引理7.4）和命题6.1和6.2的预测有用的结果。L et us将ε>0的r e标度位移函数ξε定义为ξε：=ξε（t，w，s，h）=h- h（t，w，s）εm*. （5.1）让我们用（νε）ε>0表示C1,2,2中的函数族，（χε）ε>0表示Cm中的函数族（回忆定义3.1），并定义ψε（t，w，s，h）：=V（t，w，s）- ε2m*νε（t，w，s，h）+ε2m*χεt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*. （5.2）第5.1条的提案。对于ε∈ （0，1），设νε∈ C1,2,2,2和χε∈ Cmbe实值函数和ψε用νε和χε定义，如（5.2）所示。我们假设νε及其两个导数在ε>0时允许有界，即supε>0 |νεa（t，w，s，h）|+|νεbc（t，w，s，h）| 6 D（t，w，s，h），其中∈ {t，w，s，h}，b，c∈ {w，s，h}，D是一个局部有界函数。ThenGε（ψε）（t，w，s，h）=Rε（t，w，s，h，ψε）+ε2m*Et、 w，s，νεt，νεw，νεs，νεww，νεws，νεss+ Et、 w，s，ξε，χεξ（t，w，s，ξε），χεξ（t，w，s，ξε）+ (wψε）1-m（Φ（s，χεξ）- Φ（s，χεξ+ε-m级*νεh））, （5.3）其中Gε在（2.24）中定义，Rε满足集合的以下性质{wψε>ζ}∩大众汽车- wψεVw<ζ对于某些ζ>0和ζ<1。（5.4）（i）Let（\'t，\'w，\'s）∈ D和r>0。假设νε和χε依赖于ε>0，但νε不依赖于h，并且χε的导数到二阶一致有界于br（\'t，\'w，\'s）×Rd。

然后它保持Br（\'t，\'w，\'s）×rdrε（t，w，s，h，ψε）|ε2m*6C（1+| h- h（t，w，s）|），对于一些C>0的情况，与t，w，s，h无关，但取决于χ和（\'t，\'w，\'s，r）的二阶导数界限。（ii）Let（\'t，\'w，\'s，\'h）∈ D×Rd，r＞0。假设χε不依赖于ε（并写入χ）。然后它保持Br（\'t，\'w，\'s，\'h），即Rε（t，w，s，h，ψε）ε2m*6C级1+|ξε（t，w，s）|+m、 对于某些C>0仅取决于r、\'t、\'w、\'s和\'h.（iii）假设χε不取决于ε（并将其写入χ）。如果setK=tε，wε，sε，hε- h（tε，wε，sε）εm*: ε > 0 D×Rdis有界，则Rε（tε，wε，sε，hε，ψε）ε2m*6Cεm*,对于某些C>0，仅取决于集合K的界。备注5.1。因为FIRS t校正方程的解 ξ不是齐次的（unlikein[36]），我们必须在第6节使用的结果中包含ν对ε的依赖关系。证据我们去掉了ε中νε和χε的依赖关系，以简化符号。首先考虑（5.2）中的函数ψε，并定义以下反馈控制函数Cε（t，w，s，h）=-U′型(wψε（t，w，s，h）），（5.5）～θε（t，w，s，h）：=ε-1Φxs-hψε（t，w，s，h）wψε（t，w，s，h）= ε-m级*(wψε（t，w，s，h））1-mΦxs、 χξt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*+ ε-m级*νh（t，w，s，h）. （5.6）注意，交易率|θε和消费cε是t、w、s和h的函数，这些函数是HJB方程（2.23）中哈密顿量的最大值，在ψε处进行计算。使用这些控制获得的财富过程和策略，并以（t、w、s、h）为起点∈ D×rd表示为▄Wε，t，W，s，hand▄Hε，t，W，s，H。我们有▄Hε，t，W，s，hu=▄θε（u，▄Wε，t，W，s，hu，Su，▄Hε，t，W，s，hu）du。我们表示扩散的漂移函数|ψε，t，w，s，hu=ψεu、 ~Wε，t，W，s，hu，Su，~Hε，t，W，s，hu通过|uψε。

Itholds|uψε（t，w，s，h）=Vt- ε2m*νt- ε4m*χt+ε3m*ht公司χξ（5.7）+（Vw- ε2m*νw- ε4m*χw+ε3m*（硬件）χξ）rw- cεwψε+（Vw- ε2m*νw- ε4m*χw+ε3m*（硬件）χξ）dXj=1hjsj（uj- r）- (wψε）dXj=1|θε，jfj（s，ε|θε）+（Vww- ε2m*νww- ε4m*χww）dXi，j=1hihjsisjσi·σj+ε3m*（（硬件）χwξ+（hww）χξ) -ε2m*（硬件）χξhwdXi，j=1hihjsisjσi·σj+Ls（V- ε2m*ν - ε4m*χ） +ε3m*dXi=1（hsi）χξsiui+dXi，j=1（ε3m*（（hsj）χξsi+（hsi）χξsj+（hsisj）χξ) - ε2m*（恒生指数）χξhsj）sisjσi·σj+dXi，j=1Vwsi公司- ε2m*νwsi- ε4m*χwsi+ε3m*（（恒生指数）χξw+（hw）χξsi+（hwsi）χξ)- ε2m*（硬件）χξhsisihjsjσi·σj- （ε3m*χξ+ε2m*νh）~θε.注意，应用于ψε的函数Gε给出了sgε（ψε）（t，w，s，h）=-Иuψε（t，w，s，h）+U（cε）, （5.8）由于对|θε和cε的选择提供了等式|U(wψε）=U（cε）-wψεcε和（￠θε）hψε-wψεPdj=1|θε，jfj（s，ε|θε）=ε-1(wψε）1-mΦ（s，hψε）。现在，我们将这些项重新排序为|uψε，并将它们分组，以便于分析。通过（省略参数（t，w，s））得到的他的二次变差中国l、 m=nXi=1dXj=1h0，lwh0，j+h0，lsjsjσjidXk=1h0，mwh0，k+h0，mskskσki. （5.9）用tr（chχξ）=（hw）给出了χ的Hessian乘的hm的二次变化对ξ的迹的公式χξhwdXi，j=1hihjsijσi·σj+2dXi，j=1（hsi）χξhwhjsijσi·σj+dXi，j=1（hsi）χξhsjsisjσi·σj.（5.10）方程（3.2）、（3.3）和（3.4）给出了E、ean和T的定义。我们将|uψεt（w，s，h）=Vt+|U（Vw）+LsV+Vwrw+VwdXj=1hjsj（uj- r） +dXi，j=1Vwsisihjsjσj·σi+VwwdXi，j=1hihjsijσiσj+VwdXj=1（hj- hj）sj（uj- r） +dXi，j=1Vwsi（hj- hj）sisjσi·σj+VwwdXi，j=1hihj公司- hihj公司sisjσi·σj+ε2m*（大众）1-mΦ（s，χξ）-Tr（chχξξ）j+ ε2m*- νt- Lsν- νwrw-eU′（Vw）νw- νwdXj=1hjsj（uj- r）-dXi，j=1νwsisihjsjσi·σj-νwwdXi，j=1hihjsisjσi·σj- Rε- U（cε）- (wψε）1-m（Φ（s，χξ）- Φ（s，χξ+ε-m级*νh））= -ε2m*E（t，w，s，ε-m级*（h）- h） ，χξ，χξξ）+E（t，w，s，νt，νw，νs，νww，νws，νss）- (wψε）1-m（Φ（s，χξ）- Φ（s，χξ+ε-m级*νh））- Rε- U（cε）。

（5.11）使用c 7的逐点最大化器（w和s）获得FIRS t线→ U（c）- Vwc，即U（c）- Vwc=~U（Vw）。回想一下，G（V）=0（参见（2.5）），因此上述等式右侧的前两行相互抵消。由于一阶条件（2.8），右侧的第三条线（和第四条线的一部分）可以重写为vwwpdi，j=1（hihj-2hihj+hihj）sisjσi·σj=Vww | Pdi=1（hi- hi）siσi |。这一术语添加到第四行-E（t，w，s，ε-m级*（h）-h） ，χξ，χξξ）。第四行和第五行给出-E（t，w，s，ν，νt，νw，νs，νww，νws，νss）。上述e质量中剩余或强制引入的术语收集在函数rε中，该函数可进一步分解为rε=Iε、~U+ε2m*T（T，w，s，νw，νww，νws；h）- T（T，w，s，νw，νww，νws；h）+Iε，1+Iε，2+Iε，3+Iε，4,其中，Iε是（5.12）、（5.13）、（5.14）、（5.15）和（5.16）中定义的函数。现在我们对构成Rε的每一项进行了约束。请注意，项目（i）、（ii）a和（iii）的集合（t、w、s）是紧凑的。T在h中为四分之一，不在χ上终止，因此三种情况下的界限都很明显。类似地，尽管▄U的导数在其ar gument中具有负幂，但假设（5.4），（t，w，s）在所考虑的集合上的有界性以及▄U，ν，χ，Vandψε是连续的这一事实允许我们将这些函数视为三变量s的Lipschitz连续函数。

因此，定义Iε，~u并使用泰勒展开式两次，存在η，η∈ （0，1）依赖于（t，w，s，h），iε，~U（t，w，s，h，ν，χ）=~U（Vw）-Uwψε- ε2m*~U′（Vw）νw（5.12）=ε2m*U′型大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车-U′（Vw）νw+ε4m*U′型大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车wχ=ε2m*νwηwψε- 大众汽车U′\'大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车+ ε4m*U′型大众汽车1 + ηwψε- 大众汽车wχ。那么，考虑到χ∈ 对于0<ε<1，在（5.4）中定义的集合上获得以下界限。ε-2米*|Iε，~U（t，w，s，h，ν，χ）| 6 C（ε2m*|χw |+εm*|χξ|）（t，w，s，ξε）6 C（εm*+ ε2m*|ξε| 1+m+εm*|ξε| m）。Iε，1isIε，1（t，w，s，h，χ）=ε2m的表达式*χt+Lsχ+χwrw+χwdXj=1hjsj（uj- r） （5.13）+dXi，j=1χwsisisjhjσi·σj+χwwdXi，j=1hihjsijσi·σj.如果（t，w，s，h）在有界集中，则事实χ∈ Cm表示| Iε，1（t，w，s，h，χ）| 6 Cε2m*（1+|ξε| 1+m），如果χ有有界导数（项目（i）中的a s），| iε，1（t，w，s，h，χ）| 6 Cε2m*（1+| h- h（t，w，s）|）。Iε，2isIε，2的表达式（t，w，s，h，ν，χ）=（（Vw）1-m级- (wψε）1-m） Φ（s，χξ）。（5.14）类似于（5.12），（5.4）允许我们处理wψε作为Lipschitz函数。如果（t，w，s，h）取有界s et上的值，（（Vw）1-m级- (wψε）1-m） 可以一致有界于h- h（t，w，s）小enoug h，我们得到| Iε，2（t，w，s，h，ν，χ）| 6 Cε2m*Φ（s，χξ）6 Cε2m*（1+|ξε|）6 C（1+|ξε| 1+m）。如果χ的导数不存在，则不等式变为| Iε，2（t，w，s，h，ν，χ）| 6 C |（（Vw）1-m级- (wψε）1-m） | 6 Cε2m*.Iε，3和Iε，4areIε，3的定义（t，w，s，h，χ）=- εm*（ht）χξ+（hw）χξ（rw+dXi=1hisi（ui- r） ）+dXi=1（hsi）χξsiui+（硬件）χwξ+（hww）χξdXi，j=1hihjsisjσi·σj（5.15）+dXi，j=1（（hsj）χξsi+（hsi）χξsj+（hsisj）χξ）sisjσi·σj+dXi，j=1（恒生指数）χξw+（hw）χξsi+（hwsi）χξhisisjσi·σjandIε，4（t，w，s，h，χ）=（hw）χξhwdXi，j=1（hihj- hihj）sisjσi·σj（5.16）+dXi，j=1（hsi）χξhw（hj- hj）sisjσi·σj。如果（t，w，s，h）在有界域上，h∈ C1,2,2（参见。

假设2.1）和χ∈ Cm表示界限| Iε，3（t，w，s，h，χ）| 6 Cεm*（1+|ξε| m）6 C和| Iε，4（t，w，s，h，χ）| 6 C（1+|ξε| 1+m），如果χ的导数有界| Iε，3（t，w，s，h，χ）| 6Cεm*（1+| h- h（t，w，s）|）Iε，4（t，w，s，h，χ）| 6C（1+| h- h（t，w，s）|）。然后，结果（i）和（ii）是上述估计的结果。注意，如果另外ξε如（iii）中所示有界，则除Iε、4外的所有ter ms均以Cεm为界*. 对于Iε，4h- h=εm*ξε.因此，我们还得到了界| Iε，4（t，w，s，h，χ）| 6 Cεm*由于ξε和0<ε<1的有界性。这就是剩余估计的证明。6主要定理的证明在本节中，我们证明定理3.1.6.1半极限Vε*（分别为Vε，*) 是函数Vε的下半连续包络（分别为上半连续包络）。假设3.1允许我们确定（t、w、s）的以下半限值∈ 杜邦*（t，w，s）：=lim supε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （6.1）u*（t，w，s）：=lim infε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε，*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （6.2）其中m*=3米-2、定义u*是上半连续的，u*下半连续且符合FY06U*6u*.定义ε>0uε的附加值*（t，w，s，h）=V（t，w，s）- Vε*（t，w，s，h）ε2m*> 0，（6.3）uε*（t，w，s，h）=V（t，w，s）- Vε，*（t，w，s，h）ε2m*> 0.（6.4）如果市场存在次线性价格影响（即。

次二次交易成本），任何固定头寸都可以足够快地清算，以便在领先顺序（O（ε2m））下可以忽略效用损失*)) 由于持有“错误”数量的股份（Hεt6=Ht，或H 6=H（t，w，s））而受到的惩罚严格高于2m*, 与[36]中的不同，作者必须引入调整后的半极限。最后回顾函数ξε的定义：（t，w，s，h）∈ D×Rd7→h类-h（t，w，s）εm*, 给出了无摩擦最优策略y.6.2的重整化位移，以及6.1上的上解性质Propositi。在定理3.1的假设下，函数u*是第二修正方程（3.7）的下半连续粘度上解。证据该证明基于[36，命题6.4的证明]。函数的定义决定了函数的下半连续性。现在我们展示粘度特性。Let（t、w、s）∈ Dandφ∈ C1,2,2（D），使得（t，w，s）是u的stric t极小值*- D上的φ和u*（t、w、s）-φ（t，w，s）=0。然后，对于所有（t、w、s）∈ D \\{（t，w，s）}以下保持s0=u*（t、w、s）- φ（t，w，s）<u*（t、w、s）- φ（t，w，s）。（6.5）我们想证明φ是第二修正方程（3.7）在点（t，w，s）的上解，换句话说-E（t，w，s，φt，φw，φs，φww，φws，φss）>a（t，w，s）。由u定义*（见（6.1）），存在一个family（tε，wε，sε，hε）∈ D×Rd使得（tε，wε，sε，hε）→ （t，w，s，h（t，w，s）），uε*（tε，wε，sε，hε）→ u*（t，w，s）和pε：=uε*（tε，wε，sε，hε）- φ（tε，wε，sε）→ 0为ε→ 0。（6.6）根据假设2。1（hon D的连续性）和3.2（hon D的连续性 在D×Rd）上，存在ε，r>0，使得'Br（t，w，s） D和所有ε∈ （0，ε）我们有|（tε，wε，sε）- （t，w，s）| 6r，| pε| 61，（6.7）设M=sup{φ（t，w，s）|（t，w，s）∈\'Br（t，w，s）}+4，注意（6.7）表示|（t，w，s）-（tε，wε，sε）|>（r/2）开Br（t，w，s），对于0<ε6ε。

现在，我们可以选择c>0，这样c（r/2）>M，并通过Дε（t，w，s）=φ（t，w，s）+pε定义Дε和Дon Rd+2b- c |（t、w、s）- （tε，wε，sε）|，（6.8）Д（t，w，s）=φ（t，w，s）- c |（t、w、s）- （t、w、s）|。如果选择这些常数，（6.7）给出了Дε（t，w，s）6- 3开Br（t，w，s）表示所有ε∈ （0，ε），（6.9），通过对pε的定义（见（6.6）），我们得到- uε*（tε，wε，sε，hε）+Дε（tε，wε，sε）=0。（6.10）声称：在Rd中存在一个0附近的邻域，并且C>0常数，在这个邻域上SUP（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）（t，w，s，ξ）6 C |ξ|和sup（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）（t，w，s，ξ）ξ6 C |ξ|。这源于第一个校正方程和以下事实：（t，w，s，0）=ξ（t，w，s，0）=0表示任何（t，w，s）。 是第一个校正方程（3.6）的解。然后它适用于所有（t、w、s）∈\'Br（t，w，s）thatTr（ch（t，w，s）ξξ（t，w，s，0））=a（t，w，s）。对称非n-负矩阵的不等式| X | 6Tr（X），事实是 是凸的、chis正定义和连续的（参见假设2.1），以及收益率的连续性和正性|ξξ（t，w，s，ξ）| 6C在Rd中0的邻域上，对于某些C>0常数。

那么，在Br（t，w，s）×N上我们有|ξ（t，w，s，ξ）| 6C |ξ|和|（t，w，s，ξ）| 6C |ξ|，该权利要求被证明。对于固定（t，w，s）和r，E，ch，a，Φx和σ的连续性，φ和,（m- 1） -Φx的均匀性，事实上 ∈ Cmby假设3.2和最后一个声明允许我们定义以下正有限常数：K：=1+sup|E（t，w，s，Дt，Дw，Дs，Дww，Дws，Дss）|：（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）, （6.11）K∑：=1+supnch（t、w、s）: （t、w、s）∈\'Br（t，w，s）o，（6.12）K:=1+sup|ξ（·，ξ）| |ξ| m+|ξξ(·, ξ)| + |（·，ξ）| |ξ| 1+m（t，w，s）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），|ξ|>1+ supn公司|（t，w，s，ξ）| |ξ| 1+m+|ξξ（t，w，s，ξ）|：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），|ξ| 61o，（6.13）K\':= 1+sup|ξ(·, ξ)||ξ|+|ξξ(·, ξ)| + |(·, ξ)||ξ|（t，w，s）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），|ξ|>1+ 啜饮|(·, ξ)||ξ|+|ξ(·, ξ)||ξ|+ |ξξ(·, ξ)|（t，w，s）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s）|ξ| 61, （6.14）Ka：=1+sup|a（t，w，s）；：（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）, （6.15）KΦx：=1+sup|Φx（s，x）| 1∨ |x | m-1： | s- s | 6 r，x∈ 研发部, （6.16）γv：=inf-wwV（t、w、s）dXj=1ξjsjσj（s）: （t、w、s）∈\'Br（t，w，s），|ξ|=1. （6.17）此外，通过假设2.1，它认为D上的Vw>0，因此存在ι>0，使得ι6Vw（t，w，s）6ι对于所有（t，w，s）∈\'Br（t、w、s）。（6.18）与[38，引理A.2]和[36，命题6.4的证明]类似，存在C*> 0使得对于所有η>0，我们可以找到函数hη∈ C∞（Rd，[0，1]），且aη>1，满足“B（0）”上的hη=1，在“Bcaη（0）”上的hη=0，| hηx（x）|∧ |xhηx（x）| 6η和| x | hηxx | 6C*. （6.19）将δ和η固定在（0，1）中。注意，由于不等式1+m<2，存在ξ*,δ> 0，（ξ）的唯一正解*,δ)=2(ξ*,δ） 1+mdK∑K+ 2（Ka+K）+dK∑K′（C）*+ 2)(1 - (1 - δ） m）γv。

（6.20）同时定义函数shη，δ：ξ∈ Rd7→ (1 - δ） hηξξ*,δ, （6.21）ψε，η，δ（t，w，s，h）：=V（t，w，s）- ε2m*Дε（t，w，s）- ε4m*(Hη，δ）（t，w，s，ξε），Iε，η，δ（t，w，s，H）：=Vε，*（t、w、s、h）- ψε，η，δ（t，w，s，h）ε2m*,为了写作的简洁，我们稍微滥用了no-tation(Hη，δ）（t，w，s，ξε）对于Hη，δ（ξε（t，w，s，H））（t，w，s，ξε（t，w，s，h））对于（t，w，s，h）∈ D×Rd.我们想在这里使用ψε，η，δ作为vε粘性次固结特性的测试函数，*（见假设2.3和方程式（2.24））。为此，我们需要函数Vε的内部最大化子，*-ψε，η，δ（或相当于Iε，η，δ）在‘（t，w，s）×Rd中。然而，Iε，η，δ的上确界可能不存在或不存在因此，我们需要修改ψε，η，δ。首先，请注意，对于族元素（tε，wε，sε，hε）0<ε6ε，我们有（6.10）和 （见假设3.2）Iε、η、δ（tε、wε、sε、hε）>0。（6.22）定义εη，δ：=ε∧ 1.∧ （K）（aηξ*,δ） 1+米）-1/（2米）*), 与[36，命题6.4的证明]类似，对于所有0<ε6εη，δIε，η，δ（t，w，s，h）6Дε（t，w，s）+ε2m，我们在“Br（t，w，s）×rd上获得以下不等式*|ξε（t，w，s，h）| 1+m （t，w，s，ξε（t，w，s，h））|ξε（t，w，s，h）| 1+m{|ξε（t，w，s，h）| 6aηξ*,δ} 6Дε（t，w，s）+ε2m*（aηξ*,δ） 1+mK6Дε（t，w，s）+1，（6.23），其中第一个不等式由（6.4）和估计值06Hη、δ（ξ）6{|ξ| 6aηξ确定*,δ} 第二个是K的定义（6.13）以及εη，δ的选择。由于（6.23）的右侧在0<ε6εη，δ的情况下均匀地围绕在Br（t，w，s）上，我们可以选择（^tε，η，δ，^wε，η，δ，^sε，η，δ，^hε，η，δ）∈ Br（t，w，s）×Rd使得iε，η，δ（^tε，η，δ，^wε，η，δ，^sε，η，δ，^hε，η，δ）>supBr（t，w，s）×RdIε，η，δ（t，w，s，h）-ε2m*. （6.24）我们现在在h方向上对ψε，η，δ进行惩罚∈ C（R+，[0，1]）是满足某些C>0f（0）=1，f（x）=0的函数，对于| x |>106F61和| f′（x）| 6c | x |，在0的邻域中。

（6.25）然后，定义η的函数∈ (0, 1], δ ∈ （0，1）和ε∈ （0，εη，δ）(R)ψε，η，δ（t，w，s，h）=ψε，η，δ（t，w，s，h）- ε4m*f（| h-^hε，η，δ|），Iε，η，δ（t，w，s，h）=Vε，*（t、w、s、h）-ψε，η，δ（t，w，s，h）ε2m*=Iε，η，δ（t，w，s，h）+ε2m*f（| h-^hε，η，δ|），紧集qε，η，δ：={（t，w，s，h）：（t，w，s）∈\'Br（t，w，s），| h-^hε，η，δ| 61}。索赔：存在（▄tε，η，δ，▄wε，η，δ，▄sε，η，δ，▄hε，η，δ）∈ Int（Qε，η，δ）V的最大值*,ε-ψε，η，δonBr（t，w，s）×Rd。该权利要求的证明类似于[36，命题6.4的证明]（步骤3）。由于f（0）=1，“Iε，η，δ”的定义导致“Iε，η，δ（^tε，η，δ，^wε，η，δ，^sε，η，δ，^hε，η，δ）=Iε，η，δ（^tε，η，δ，δ，^wε，η，δ，δ，^sε，η，δ，ε）+2m*.此外，在（\'Br（t，w，s）×Rd）\\Qε，η，δ上，它保持\'Iε，η，δ（t，w，s，h）=Iε，η，δ（t，w，s，h）。这与（6.24）一起给出了ssup'Br（t，w，s）×Rd\'Iε，η，δ（t，w，s，h）= supQε，η，δ\'Iε，η，δ（t，w，s，h）. （6.26）函数Iε，η，δ是半连续的，Qε，η，δ是紧致的，因此存在一个V的最大值（▄tε，η，δ，▄wε，η，δ，▄sε，η，δ，▄hε，η，δ）*,ε-Qε，η，δ上的ψε，η，δ。它也是“Br（t，w，s）×Rd上的最大值。现在，let（t，w，s，h）∈ \'Br（t，w，s）×Rd.然后，根据界限06f61，以及0<εη，δ6 1和两个不等式（6.9）和（6.23），我们得到了\'Iε，η，δ（t，w，s，h）6Iε，η，δ（t，w，s，h）+ε2m*6.- 2+ε2m*6.- 1.另一方面，在“Br（t，w，s）×Rd”的内部，对于族（tε，wε，sε，hε）0<ε6εη，δ，I的定义为（6.22），“Iε，η，δIε，η，δ（tε，wε，sε，hε）>Iε，η，δ（tε，wε，sε，hε）>0，因此最大值为e Br点。（t，w，s）×Rd，证明了该权利要求。因此，对于ε∈ （0，εη，δ），我们有一个C1,2,2,2（D×Rd，R）函数ψε，η，δ和一个Vε的局部严格极大值，*-ψε，η，δ表示（▄tε，η，δ，▄wε，η，δ，▄sε，η，δ，▄hε，η，δ）。由于Vε，*是（2.24）的一个子解，它保持sgε（|ψε，η，δ）（|tε，η，δ，|wε，η，δ，|sε，η，δ，|hε，η，δ）60。

（6.27）表示ε、 η，δ（t，w，s，ξ）=(Hη，δ）（t，w，s，ξ）+f（|εm*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）和￠ξε，η，δ：=ξε（￠tε，η，δ，￠wε，η，δ，￠sε，η，δ，￠hε，η，δ）ε，η，δ（在这种情况下，命题5.1i的函数ν为Дε，且不依赖于h）具有（6.27）屈服强度（|tε，η，δ，|wε，η，δ，δ，|sε，η，δ，Дεt，Дεs，Дεw，Дεsw，Дεww，Дεss）（6.28）+E（|tε，η，δ，δ，|wε，η，δ，|sε，η，ξ，εδ，~ε,η,δξ, ~ε、 η，Δξ）+Rε（|tε，η，δ，|wε，η，δ，|sε，η，δ，|hε，η，δ，|ψε，η，δ）ε2m*60、家庭tε，η，δ，~wε，η，δ，~sε，η，δ| ε ∈ (0, εη,δ], η ∈ (0, 1), δ ∈ (0 , 1)是有界的。对于固定η∈(0, 1), δ ∈ （0，1），由于选择了f和Hη，δ，命题5.1中权利要求（i）的假设成立（直到将ε>0减少为（tε，η，δ，wε，η，δ，sε，η，δ，Hε，η，δ）在（5.4）中定义的集合中），并且我们获得了C>0的存在，这可能取决于η，δ∈ （0，1），但不在ε>0上，以便| Rε（| tε，η，δ，| wε，η，δ，| sε，η，δ，| hε，η，δ，|ε2m*6C（1+|εm*~ξε,η,δ|). （6.29）索赔：Fixη∈ （0，1）和δ∈ （0，1），族{ξε，η，δ：ε∈ （0，εη，δ）}以Cξ为界。为了证实这一点，我们假设存在一个序列（εn）n∈确认limn→∞Иξεn，η，δ=∞ 带εn∈ （0，εη，δ）对于所有n∈ N和εN→ 0作为n→ ∞ （事实上，函数ξε是连续的tε，η，δ，~wε，η，δ，~sε，η，δ| ε ∈ (0, εη,δ], η ∈ (0, 1), δ ∈ (0, 1)有界且εn从0开始有界意味着{ξε，η，δ：ε∈ （0，εη，δ）}有界）。如果没有普遍性，我们可以假设序列（εn）正在减少。根据Hη的定义（6.21），δ认为对于（t，w，s），Hη，δ及其导数在（t，w，s，|ξεn，η，δ）处消失∈ Br（t，w，s）和n足够大（sayn>n）。

那么对于n>n，我们有εn，η，Δξ=ξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|），Дεn，η，Δξξ=ξξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）。此外，它适用于η∈ (0, 1), δ ∈ （0，1）和ε∈ (0 , εη,δ),ξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）=εm*f′（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|）Dεn，η，δ，ξξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）=ε2m*f′（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|）Dεn，η，δ（Dεn，η，δ）+ ε2m*f′（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|）Dεn，η，δ，其中εm*Dεn、η、δ和ε2m*Dε、η、δ是函数ξ的梯度和海森函数∈ Rd7→ |εm*ξ+h（t，w，s）-^hεn，η，δ|（在上式中省略的点（t，w，s，ξ））。通过对f′的假设（见（6.25）），我们得到了（t，w，s，ξ）∈\'Br（t、w、s）×Rdξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）6εm*C和ξξf（|εm）*ξ+h（t，w，s）-^hε，η，δ|）6ε2m*Cf，（6.30），其中Cf是一个正常数，可独立于η、δ和ε进行选择。然后，根据Φ的m-均匀性（记住m>2）和曲线的线性，存在C′f>0这样的曲线-Vw（t、w、s）1.-mΦs、 εn，η，Δξ（t，w，s，ξ）+Tr公司ch（t，w，s）~εn，η，Δξξ（t，w，s，ξ6ε2m*C’fon’Br（t，w，s）×Rd.t这最终提供了E的估计值（见（3.2））E~tεn，η，δ，~wεn，η，δ，~sεn，η，δ，~ξεn，η，δ，~εn，η，Δξ，~εn，η，Δξξ(6.31)> -C′fε2m*-Vww（▄tεn，η，δ，▄wεn，η，δ，▄sεn，η，δ）dXj=1？ξεn，η，δj？sεn，η，δjσj（？sεn，η，δ）> -C′fε2m*+ γvИξεn，η，δ.注意，E（t，w，s，Дεt，Дεw，Дεs，Дεww，Дεws，Дεss）不依赖于ξ（或h），且ε的界值为？Br（t，w，s）∈ (0, 1).

因此，将（6.28）、（6.29）和（6.31）放在一起，我们得到了一些正常数Cγv~ξε,η,δ6C（1+|εm*Иξε，η，δ|），这与ξεn，η，δ到单位的收敛性相矛盾，而当n到∞.因此，该权利要求被证明是d，并且ε>0中存在一个子序列，使得tε，η，δ→~tη，δ，~wε，η，δ→ ~wη，δ，~sε，η，δ→ ~sη，δ，~hε，η，δ→~hη，δ=h（~tη，δ，~wη，δ，~sη，δ）和ξε（~tε，η，δ，~wε，η，δ，~sε，η，δ，~hε，η，δ）→~ξη,δ.利用这种收敛性，函数φ，（Дε）ε的连续性大于0，, Hη，δ，Vww，Vw，Φ，ch，Rε，ean，在其域上，（Дε）ε>0均匀收敛于？Br（t，w，s）到？asε→ 0，建议5.1的权利要求（iii）（请注意，（~tη，δ，~wη，δ，~sη，δ，~hη，δ）也在（5.4）中定义的集合中，因为我们取了ε→ （5.4）中集合元素序列的0，并将（6.28）的极限取为ε→ 0我们得到了不等式e（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ，▄ξη，δ，ξ(Hη，δ），ξξ(Hη，δ））（6.32）6- E（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ，Д，Дs，Дw，Дww，Дws，Дss）。我们还使用了估计值（6.30），得出如下结论：在Br（t，w，s）×BCξ（0），~εn，η，Δξ和εn，η，Δξξ一致收敛于ξ(Hη，δ）和ξξ(Hη，δ）分别为ε→ 0（式中，C|ξ限制族{ξε，η，δ：ε∈ （0，εη，δ）}之前的权利要求）。注意（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）∈\'Br（t、w、s）。直接计算ξξ（Hη，δ), hη导数的性质（6.19），K，K的定义, K′, （6.11）-（6.14）中的K∑，元素方程Tr（A）6 d | A |，不等式0<δ<1和（6.32）在点pη，δ处产生以下不等式：=（|tη，δ，|wη，δ，|sη，δ，|ξη，δ）-Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δ）- |Vw（￠tη，δ，￠wη，δ，￠sη，δ）| 1-mΦsη，δ，ξ(Hη，δ）（Pη，δ）6- E（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ，Дt，Дw，Дs，Дww，Дws，Дss）-Tr公司中国ξξ(Hη，δ）Pη，δ6K+dK∑K′C*+ 2ηK′+ K~ξη,δ1+米∨ 1..

（6.33）我们还将这一术语写成-Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δ）- （大众）1-mΦsη，δ，ξHη，δ+Hη，ΔξPη，δ= -Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δ）- （大众）1-mΦsη，δ，ξHη，δPη，δ+ （大众）1-m级Φsη，δ，ξHη，δ- Φsη，δ，ξHη，δ+Hη，ΔξPη，δ=: Iη，δ+Iη，δ。（6.34）我们的初界Iη，δ，Iη，δ>-Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（？sη，δj）- （大众）1-m（1- δ） mΦ（·，ξ） （Pη，δ）=-(1 - (1 - δ） m）Vww（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）dXj=1？ξη，δj？sη，δjσj（sη，δj）- (1 - δ） m级Tr公司中国ξξ（Pη，δ）- a（▄tη，δ，▄wη，δ，▄sη，δ）> (1 - (1 - δ） m）γv~ξη,δ- (1 - δ） m级dK∑K~ξη,δ1+米∨ 1.+ 灵魂. （6.35）我们使用（Vw）1获得了第一个不等式-假设2.1中的mis为非负，假设2.2中的Φ为非负，均次于m，然后我们使用了满足以下条件的第一个校正方程（3.6）： 获得第二个等式和常数的定义（6.12）-（6.17），获得最后一个不等式。根据Φ的凸性和估计值（6.18），我们有（为了清楚起见，我们在接下来的两组共同计算中给出了函数的参数，它们取在点（~tη，δ，~wη，δ，~sη，δ，~ξη，δ））；Iη，δ| 6ιm-1.ΦxsξHη，δ+ΦxsξHη，δ+Hη，ΔξHη，Δξ6ιm-1(1 - δ） mKΦx1∨ |ξ| m-1+ 1 ∨ξhηИξη，Δξ*,δ!+|ξ*,δ| hηξИξη，δξ*,δ!m级-1.η|ξη，δ| 6ιm-1(1 - δ） m2CmKΦx1.∨ |ξ| m-1+ 1 ∨|ξ*,δ| hξИξη，δξ*,δ!m级-1.η|ξη，δ|，（6.36），其中第二个不等式由（6.19）、KΦx的定义（6.16）和m- 1Φx的均匀性。

对于第三个不等式，我们将Cm>1设为常数，使（a+b）m-16Cm（am-1+bm-1） 对于所有a，b>0，使用估计值06Hη，δ61。现在假设|Иξη，δ| 2/m>1，回忆一下K> 1，则| Iη，δ| 62ιm-1(1 - δ） mCmKΦx1∨ |ξ| m-1+ 1 ∨η|~ξη,δ|m级-1.η|ξη，δ| 62ιm-1(1 - δ） mCmKΦx1.∨K|ξη，δ| mm级-1+ 1 ∨K|ξη，δ| mm级-1.ηK|ξη，δ| m64ιm-1(1 - δ） mCmKΦxKmη|ξη，δ|，（6.37），其中第一个不等式源自hη的性质（见（6.19）），第二个不等式源自K的定义（6.13以及由|ξη，δ的假设得出的第三个d。因此，如果|Иξη，δ|>1，结合在一起（6.33），（6.34），（6.3 5）和（6.37），我们得到(1 - (1 - δ） m）γv- 4ιm-1(1 - δ） mCmKΦxKmη|~ξη,δ|(6.38)6(1 - δ） m级dK∑K~ξη,δ1+m+Ka+ K+dK∑K′C*+ 2ηK′+ K~ξη,δ1+米.设ηδ=（1-(1-δ） m）γv8ιm-1(1-δ） mCmKΦxKm, 对于η∈ (0, ηδ∧ 1） 我们有（1- (1 - δ） m）γvξη,δ(1 - (1 - δ） m）γv- 4ιm-1(1 - δ） mCmKΦxKmη|~ξη,δ|.因此，在假设|ξη，δ|>1和η的情况下∈ (0 , ηδ∧ 1） ，（6.38）导致~ξη,δ~ξη,δ1+mdK∑K+ 2（Ka+K）+dK∑K′（C）*+ 2)(1 - (1 - δ） m）γv。这表明，由于ξ的定义（6.20）*,δ表示所有η∈ (0, ηδ∨ 1),~ξη,δ以1为边界∨ξ*,δ.

因此，取一个子序列，作为η→ 0，对于每个δ∈ （0，1），存在（▄tδ，▄wδ，▄sδ，▄ξδ）∈\'Br（t，w，s）×rd这样我们就有如下收敛性η→ 0，~tη，δ→~tδ，~wη，δ→ ~wδ，~sη，δ→ ~sδ，~ξη，δ→~ξδ.由于hη一致收敛于1的紧集上，并且通过所涉及函数的连续性，我们可以在（6.32）中将η的极限取为0来获得- E（△tδ，△wδ，△sδ，Дt，Дw，Дs，Дww，Дws，Дss）>E（△tδ，△wδ，△sδ，△ξδ，（1- δ)ξ, (1 - δ)ξξ)= -Vww（▄tδ，▄wδ，▄sδ）dXj=1？ξδj？sδjσj（？sδ）+1.- δTrch（~tδ，~wδ，~sδ）ξξ（▄tδ，▄wδ，▄sδ，▄ξδ）- （Vw（￠tδ，￠wδ，￠sδ））1-m（1- δ） mΦsδ，ξ（▄tδ，▄wδ，▄sδ，▄ξδ）= (1 - δ） ma（~tδ，~wδ，~sδ）+（1- δ） m级- 1） Vww（▄tδ，▄wδ，▄sδ）dXj=1？ξδj？sδjσj（？sδ）+ ((1 - δ) - (1 - δ） m）Trch（~tδ，~wδ，~sδ）ξξ（▄tδ，▄wδ，▄sδ，▄ξδ）> (1 - δ） ma（~tδ，~wδ，~sδ），（6.39），其中我们使用了第一个校正方程（3.6），Vww的符号（~tδ，~wδ，~sδ），（（1- δ) - (1 - δ） m），（（1- δ） m级- 1） ，的凸性, chand的正不确定性以及对称正半定义矩阵的乘积的迹是非负的这一事实。由于Br（t，w，s）的紧性，在一个子序列上，我们可以取族的极限（~tδ，~wδ，~sδ）δ∈（0,1）asδ→ 0和o B获得tδ→~t，~wδ→ ~w，~sδ→ ~s.使用（6.5），可以通过粘度溶液理论的经典参数（例如参见[1 7]）表明（~t，~w，~s）=（t，w，s）。此外，通过a、E和（t、w、s）的连续性7→ c |（t、w、s）- （t，w，s）|我们有以下限制为δ→ 0-E（▄tδ、▄wδ、▄sδ、Дt、Дw、Дs、Дww、Дws、Дss）→ -E（t，w，s，φt，φw，φs，φww，φws，φss），（1- δ） ma（~tδ，~wδ，~sδ）→ a（t，w，s），它给出了u的s超解性质*via（6.39）。6.3 6.2中的底泥性质建议。在定理3.1的假设下，函数u*是第二个校正方程（3.7）的上半连续粘性子解。证据

该证明基于[36，命题6.3的证明]。Let（t、w、s）∈ D和φ∈ C1,2,2（D，R），使得（t，w，s）是u的stric t最大化子*- φ在D上。然后，对于所有（t、w、s）∈ D \\{（t，w，s）}itholds0=u*（t、w、s）- φ（t，w，s）>u*（t、w、s）- φ（t，w，s）。（6.40）由u定义*（见（6.3））存在一个族（tε，wε，sε，hε）ε>0，使得（tε，wε，sε，hε）→ （t，w，s，h（t，w，s）），uε，*（tε，wε，sε，hε）→ u*（t，w，s）和pε：=uε，*（tε，wε，sε，hε）- φ（tε，wε，sε）→ 0。（6.41）根据假设3.1和h的正则性，存在ε，r>0，α∈ （0，r），ε<1，使得'Br（t，w，s） D，以及所有ε的that∈ （0，ε）我们有b*:= 啜饮uε*（t、w、s、h）：（t、w、s、h）- （t，w，s，h（t，w，s））6r，ε∈ (0, ε)< ∞,和| h（t、w、s）- h（t，w，s）| 6rif |（t，w，s）- （t，w，s）| 6α。对于（t、w、s）∈ （\'Bα（t，w，s）\\Bα/2（t，w，s））和（t′，w′，s′）∈\'Bα/4（t，w，s）我们有|（t，w，s）- （t′，w′，s′）>α.表示M：=2+b*+ sup公司{-φ（t，w，s）：（t，w，s）∈ Bα（t，w，s）}<∞. 由于假设3.2，我们可以确定δ：=inf{（t，w，s）∈\'Br，|ξ|>r}（t，w，s，ξ）|ξ| 1+2/m>0且c：=m（α）∧ δ（r）1+m 在假设3.2中假设的最后一个变量中tε，wε，sε，hε- h（tε，wε，sε）εm*6 C（tε，wε，se）| hε- h（tε，wε，sε）| 2+4/mεm*（2+4/米）。然后，h的连续性（假设2.1）和（tε，wε，sε，hε）到点（t，w，s，h）的收敛性允许我们选择ε>0较小，也可以选择0<ε6ε，ε2m*（1+米）t、 ε，wε，sε，hε- h（tε，wε，sε）εm*3c。（6.42）由于m>2，我们也可以取εsmall e nough，因此ε2m*tε，wε，sε，hε- h（tε，wε，sε）εm*, (6.43)（tε，wε，sε）- （t、w、s）α、 和| pε| 6 1，对于ε∈ (0, ε).我们现在确定ε（t，w，s，h）：=cε2m*（1+米）t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*,φε（t，w，s，h）：=c（t- tε）+（w- wε）+（s- sε）+ ~ε（t，w，s，h）。由（6.42）我们得到|φε（tε，wε，sε，hε）| 6 1/3。

δ、cand和M的定义设定为φε>Mif | h- h（t，w，s）|>ror if（t，w，s）∈\'Bα（t，w，s）\\Bα/2（t，w，s），用于ε∈ (0, ε). 现在确定η∈ （0，1）φε：=pε+φ，Дε：=φε+φε，ψε，η（t，w，s，h）：=V（t，w，s）- ε2m*（(R)φε+φε）（t、w、s、h）- ε4m*(1 + η)t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*.索赔：Vε*- ψε，η是一个下半连续函数，当0<ε6ε时，该函数在内点（| tε，η，wε，η，sε，η，| hε，η）处达到其最小值Bα（t，w，s）×Br（h（t，w，s））-h（~tε，η，~wε，η，~sε，η）|+| hε，η- h（t，w，s）| 6 rf对于一些r>0，与ε，η无关。实际上，通过（6.42），（6.43）和不等式0<η<1，它认为ε-m级*（Vε*- ψε，η）（tε，wε，sε，hε）<1，而if（t，w，s）∈\'Bα（t，w，s）\\Bα/2（t，w，s）或if（t，w，s）∈\'Bα/2（t、w、s）和| h- h（t，w，s）|>r，b的副定义*, pε的界，M，c的定义，事实是（tε，wε，sε）∈\'Bα/4（t，w，s）和, 不等式ε-m级*（Vε*- ψε，η）（tε，wε，sε，hε）>1保持不变。此外，通过三角不等式，我们可以选择r=5r/4。表示？ξε，η=ε-m级*（￠hε，η）- h（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η））。现在使用Vε的粘度特性*对于试验函数ψε，η，在（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~hε，η），我们得到ε（ψε，η）（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~hε，η）>0。将命题5.1中的等式（5.3）应用于ψε，η，ν=Дε，χ=（1+η）, 我们得到06gε（ψε，η）（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~hε，η）=ε2m*E（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，Дεt，Дεw，Дεs，Дεww，Дεws，Дεss）+ε2m*E（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η，（1+η）ξ（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η），（1+η）ξ（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~ξε，η））+Rε（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~hε，η，ψε，η）（6.44）+ε2m*(wψε）1-m（Φ（s，（1+η）ξ) - Φ（s，（1+η）ξ+ ε-m级*~εh））（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄hε，η），其中我们稍微滥用了符号ξ，因为该函数不依赖于h，而是依赖于ξ。请注意，这最后一项实际上是非正的。确实，（1+η）ξ+ ε-m级*~εh=（1+η）ξ1+2cε4m*m1+η和 > 0

因此，（1+2cε4m*/m1+η) > 1和通过Φε2m的m-均匀性*(wψε）1-m（Φ（s，（1+η）ξ) - Φ（s，（1+η）ξ+ ε-m级*~εh））= ε2m*(wψε）1-mΦ（s，（1+η）ξ)1.-1+2cε4m*m1+η2cm级6 0. （6.45）权利要求：对于0<ε6ε，在减少ε之前，~Pε，η：=（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~hε，η）在（5.4）中定义的集合中。我们需要绑定|（Vw- wψε）（￠Pε，η）|。我们有大众汽车- wψε，η（￠Pε，η）=ε2m*φw（￠Pε，η）+4c￠wε，η- wε|+2cε2m*（1+米）(w)（￠Pε，η）+ ε4m*(1 + η)w（￠Pε，η）。自从 ∈ CMB假设3.2，我们有关于Bα（t，w，s）×Br（h（t，w，s）），其中C=sup{C（t，w，s）|（t，w，s）∈\'Bα（t，w，s）}εm*（1+米）t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*6 C | h- h（t，w，s）| 1+m，εm*（1+米）w- ε-m级*hw（t、w、s）ξt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*6 C | h- h（t，w，s）| 1+m。自|以来，hε，η- h（~tε，η，~wε，η，~sε，η）|有界，我们得到|ε-2米*（大众汽车- wψε，η）（~Pε，η）|也是。然后，如果必要的话，取ε较小，并且在Br（t，w，s）上Vw有界于0之外，则得出结论。类似地 及其衍生物，产生ε及其导数实际上是ε的异定界。然后，我们可以应用命题5.1的第（ii）项，我们在有界集{（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄hε，η）▄ε∈ (0, ε), η ∈ （0，1）}| Rε（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄hε，η，ψε，η）|ε2m*6C（1+|Иξε，η|）+m，对于不依赖于ε或η的C。然后，由于h，E的连续性，Дε的正则性，以及（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄hε，η）{ε的有界性∈(0,ε], η∈（0,1）}我们得到了不相等（~tε，η，~wε，η，~sε，η，Дεt，Дεw，Дεs，Дεww，Дεws，Дεss）+Rε（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~hε，η，ψε，η）2m*6C（1+|Иξε，η|）+m，对于一些C>0的情况，与ε和η无关。由于（6.44）和（6.45），这种不平等意味着以下估计- E（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η，（1+η）ξ（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η），（1+η）ξξ（～tε，η，～wε，η，～sε，η，～ξε，η））6 C（1+～ξε，η）+m。

（6.46）此外，使用Efrom的定义（3.2），我们有- E（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η，（1+η）ξ（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η），（1+η）ξξ（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η））=Vww（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η）dXj=1？ξε，ηj？sε，ησj（？sε，η）+ （Vw（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η））1-mΦsε，η，（1+η）ξ（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η）-1+ηTrch（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η）ξξ（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η）.我们现在使用That 求解第一个校正方程（3.6），以获得V及其导数的方程（为了清晰起见，我们放弃函数的参数：（~tε，η，~wε，η，~sε，η）和a，（~tε，η，~wε，η，~sε，η，~ξε，η） 及其衍生物）- E（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄ξε，η，（1+η）ξ, (1 + η)ξξ) = -ηVwwdXj=1？ξε，ηj？sε，ησj（？sε，η）- （1+η）a+（Vw）1-m（Φ（￠sε，η，（1+η）ξ) - （1+η）Φ（￠sε，η，ξ)) . （6.47）我们注意到，由于（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η）{ε∈(0,ε], η∈（0,1）}，且a的连续性项（1+η）a（~tε，η，~wε，η，~sε，η）一致有界于ε>0和η∈ (0, 1). 此外，对于η，我们有m-均匀性和Φ的非负性∈ （0，1）Φ（￠sε，η，（1+η）ξ) - （1+η）Φ（￠sε，η，ξ） =（（1+η）m- （1+η））Φ（￠sε，η，ξ) > 0.将这一不平等与（6.46）和（6.47）相加，最终得出-ηVww（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η）dXj=1？ξε，ηj？sε，ησj（？sε，η）6C（1+|Иξε，η|）+m，对于C>0，与ε>0和η无关∈ (0, 1). 由于σσ的非简并性, 以及（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η）{ε∈(0,ε], η∈(0,1)} Br（t、w、s） D、 我们可以发现c>0，这样-ηVww（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η）dXj=1？ξε，ηj？sε，ησj（？sε，η）> ηc |ξε，η|。因此，由于m>2，我们推断所有η∈ （0，1），族{ξε，η：ε∈ （0，ε）}有界。现在，对于每个η∈ （0，1），我们提取{（▄tε，η，▄wε，η，▄sε，η，▄hε，η，▄ξε，η）|ε的子序列∈ （0，ε）}收敛到（▄tη，▄wη，▄sη，▄hη，▄ξη）。

此外，{ξε，η：ε的有界性∈ （0，ε）}允许我们使用命题5.1的最后一点来通过（6.44）中的极限，并获得所有η的极限∈ （0，1），（注意，在紧致上，Дε均匀收敛于φ，并且（tη，wη，sη，hη）作为（tε，η，wε，η，sε，φww，φss）+E（tη，wη，φs，φww，φws，φss）的极限在（5.4）的集合中wη、~sη、~ξη、（1+η）ξ（▄tη，▄wη，▄sη，▄ξη），（1+η）ξξ（▄tη，▄wη，▄sη，▄ξη））。我们再使用（6.47）一次，得到了：（~tη，~wη，~sη，φt，φw，φs，φww，φws，φss）>-（1+η）a.注意，ξη不存在于该不等式中，η的值为（~tη，~wη，~sη）∈ (0, 1 ). 现在可以取极限η→ 通过（6.40）（使用粘度解理论的经典参数，见[17]），得到（~tη，~wη，~sη）的子序列收敛于（t，w，s）。然后通过上述等式中的极限，我们得到-E（t，w，s，φt，φw，φs，φww，φws，φss）6a（t，w，s），它给出了v粘性次固结特性。6.4 6上的终端条件建议。3、在定理3.1的假设下，u*满意度支持（t、w′、s′）→（T、w、s）u*（t，w′，s′）=0表示所有（w，s）∈ R++×Rd++。因此，u的上半连续扩张*to-dt与u的下半连续扩张*toDTsatisfyu公司*（T，w，s）=u*（T，w，s）=0。证据由于不等式0 6 u*6个*有足够的证据表明*（T、w、s）6 0。假设相反，u*（T，w，s）>5δ>0，对于某些（w，s）∈ Rd+1++。

与命题6.2的证明类似，通过定义u*（见（6.3））存在一个序列（tε，wε，sε，hε）ε>0，使得（tε，wε，sε，hε）→ （T，w，s，h（T，w，s）），uε，*（tε，wε，sε，hε）→ u*（T、w、s）。注意，功能u*和u*仅在D上定义，然后通过半连续性扩展到{T}×Rd+1++，因此，我们可以取Tε<T表示所有ε>0。与命题6.2的证明类似，存在足够大的ε>0，r>α>0，c>0，对于所有ε∈ （0，ε）我们有以下估计值| h（t，w，s）- h（T，w，s）| 6r，（t、w、s）∈ D使得|（t，w，s）- （T，w，s）| 6α，|（Tε，wε，sε）- （T，w，s）| 6α，uε，*（tε，wε，sε，hε）>4δ，| hε- h（tε，wε，sε）|δcand uε，*（t、w、s、h）-βα上的φε（t，w，s，h）<0\\B0，α，其中φε（t，w，s，h）：=c|（t、w、s）- （tε，wε，sε）|+| h- h（t、w、s）|,Bα：=（T- α、 T）×Bα（w，s）×Br（h（T，w，s）），B0，α：=n（T，w，s，h）∈ Bα：（t，w，s）∈ （T-α、 T）×Bα/2（w，s）和h∈ Br/2（h（T，w，s））定义函数φε（T，w，s，h）：=δT-tT-tε+(R)φε（t，w，s，h）和ψε：=V-ε2m*φε. 然后，类似于[36，命题6.5]的证明，函数Vε*- ψε允许一个局部极小值（~tε，~wε，~sε，~hε）∈\'Bα满足uε，*（▄tε，▄wε，▄sε，▄hε）>δ，tε<t。实际上，我们有ε-2米*（Vε*- ψε）（tε，wε，sε，hε）6-2δ和o n Bα，α它认为（Vε*- ψε）（t，w，s，h）>0。现在，使用Vε*是假设2.3下的（2.25）上解，并将命题5.1（ii）应用于ψε，其中ν=φε和 = 0，等式（5.3）屈服强度06gε（ψε）（△tε，△wε，△sε，△hε）=ε2m*E（▄tε，▄wε，▄sε，φεt，φεw，φεs，φεww，φεws，φεss）+ε2m*E（～tε，～wε，～sε，～ξε，0，0）+Rε（～tε，～wε，～sε，～hε，ψε）|+ε2m*(wψε（~tε，~wε，~sε，~hε））1-m（Φ（￠sε，0）- Φ（￠sε，ε-m级*φh（～tε，～wε，～sε，～hε）），（6.48），带| Rε（～tε，～wε，～sε，～hε，ψε）|ε2m*6C（1+| |ξε|）+m。注意，如果ε小于0，并且对于足够小的δε，取0<δ6δε，则点（~tε，~wε，~sε）在（5.4）中定义的集合中。

（6.48）中的最后一项是-（Vw（▄tε，▄wε，▄sε）- ε2m*？φεw（￠tε，￠wε，￠sε，￠hε））1-mΦ（￠sε，2c￠ξε）=-Cε|Иξε| m，其中Cε从下到下以0为界作为ε→ 0和￠ξε=ε-m级*（￠hε- h（▄tε，▄wε，▄sε））。集合{（▄tε，▄wε，▄sε）▄ε∈ （0，ε）}有界，Eis连续，φε及其在w和s中的一阶和二阶导数在（tε，wε，sε，hε）处为0。根据Eand Ein（3.2）和（3.3）的定义，y字段δT- tε+Vww（▄tε，▄wε，▄sε）dXj=1？ξεj？sεjσj6 C（1+|Дξε|）+m- 因此，使用σσ是正定义，即s在{（tε，wε，sε）|ε上远离0∈ （0，ε）}且Vwwis为负值，且从上方以-C<0，在{（▄tε，▄wε，▄sε）|ε上∈ （0，ε）}，我们得到δT- tε- C |ξε| 6 C（1+|ξε|）+m- Cε|ξε| m。现在，m>2意味着bo th |ξε和δT-tε有界。这与tε相矛盾→ 并批准结果。定理3.1的证明。命题6.1、6.2和6.3的组合允许我们声称*和u*分别是第二修正方程（3.7）在0最终条件下的粘度亚解和上解。他们还满足u*> u*由于其定义为limsup和liminf。感谢假设3.2（ii），我们还有*6个*. 表示u=u*= u*这是（3.7）的唯一粘度解。我们现在有以下不等式lim infε↓0V（t、w、s）- Vε（t，w，s，h（t，w，s））ε2m*> lim infε↓0V（t、w、s）- Vε，*（t，w，s，h（t，w，s））ε2m*> u*（t，w，s）=u（t，w，s）=u*（t，w，s）>lim supε↓0V（t、w、s）- Vε*（t，w，s，h（t，w，s））ε2m*> lim supε↓0V（t、w、s）- Vε（t，w，s，h（t，w，s））ε2m*.上确界和内确界之间的逆不等式很小，我们有thatlimε↓0V（t、w、s）- Vε（t，w，s，h（t，w，s））ε2m*= u（t、w、s）。附录附录专用于证明第4.1条提案。首先，在第7.1节中，我们定义了用于获得界限的策略（4.15）。

然后在第7.2节中，我们研究了（7.1-3）中定义的过程ψε、t、w、s、hde的漂移。在第7.3节中，我们限制了因价格影响而导致的重整化效用损失；参见引理7.4、7.5、7.6和7.7。最后，我们在第7.4.7.1节中提供了命题4.1和引理7.2的证明，候选渐近最优策略集0<ε6 1。考虑以下函数（注意，它是第5节中研究的函数形式，它对应于OREM 4.1中获得的候选值函数展开式）ψε（t，w，s，h）：=V（t，w，s）- ε2m*u（t，w，s）+ε2m*t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*（7.1）=g（t）U（w）- （wε）2m*λw1-R'g（t）- （wε）4m*λg（t）w1-R▄S（wε）m*h×sw- π.还表示容许状态集a：=（t、w、s、h）∈ D×Rd：所有1 6 i 6 D的hi>0，且DXI=1 SIHIW<1. （7.2）我们需要以下财产wψε。引理7.1。存在cW>0这样的t，如果（t，w，s，h）∈ A我们有1+cW（wε）m>wψε（t，w，s，h）+ε2m*wu（t，w，s）g（t）w-R> 1个- cW（wε）和1+cW（wε）2m*+ （wε）m）>wψε（t，w，s，h）g（t）w-R> 1个- cW（（wε）2m*+ （wε）m），（7.3）表示所有（t、w、s、h）∈ D×Rd证明。通过微分，我们得到wψε（t，w，s，h）=g（t）w-R- (1 - R+2m*)\'g（t）λw-R（wε）2m*- (1 - R+4m*)（wε）4m*λg（t）w-R▄S（wε）m*h×sw- π+ （wε）3m*λg（t）w-RS（1+米*)h×sw- m级*π· ~x个S（wε）m*h×sw- π.注意，s二阶导数的连续性xxx以及(0) = 0 = ~x（0）表示|ξ| 6 1，~（ξ） 6 Cξ和x（ξ）| 6 C |ξ|。结合引理4.2中的边界，这些不等式产生°（ξ） 6 C |ξ| 1+指令x（ξ）| 6 C |ξ| mforξ∈ Rd。

（7.4）现在，考虑到g的上有界性和远离z ero的有界性，以及Sihiwis对所有1 6i 6d一致地赋于A上的事实，我们得到|（1- R+2m*)\'g（t）g（t）（wε）2m*| 6 cW（wε）2m*,(1 - R+4m*)（wε）4m*λ ~S（wε）m*h×sw- πcW（wε）m，（wε）3m*λS（1+米*)h×sw- m级*π· ~x个S（wε）m*h×sw- πcW（wε）3m*-（m） m级*=cW（wε）m，对于某些cW>0。定义反馈控制功能C（t、w、s）：=-~U′（Vw（t，w，s））=g（t）-Rw，（7.5）θεj（t，w，s，h）：=ε-1Φxjs-ε3m*Vw（t、w、s）ξt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*(7.6)=ε-m级*Vw（t、w、s）1-mΦxjs-ξt、 w、s、h- h（t，w，s）εm*= - （wε）-m级*dXi=1wκm-1sj |xi（X（t，w，s，h））| m-2~xi（X（t，w，s，h））（S）-1） 注意，在本例中，（4.3）中定义的函数Φxde为奇数，函数u和 是修正方程（3.6）和（3.7）的解，其性质在引理4.2中列出。We fixan初始条件（t、w、s、h）∈ D×Rd并考虑ε∈ （0，（T- t） 1/2米*). 我们用Wε，t，W，s，hand Hε，t，W，s，H表示由上述cθε控制的状态变量，从（t，W，s，H）开始直到停止时间（7.8）。此外，我们确定了重新调整的投资组合权重置换xε、t、w、s、hu=sHε，t，w，s，H，1uSuWε，t，w，s，hu- π（εWε，t，W，su）m*, . . . ,Hε，t，w，s，H，duSduWε，t，w，s，hu- πd（εWε，t，W，s，hu）m*, （7.7）τε，t，w，s，h=infu∈ [t，t]|Wε，t，W，s，hu- Wu |>π*Wuor Wu6εm*或εW>2+π*4cW∧ 1.2米*或（Wε，t，W，s，hu）（m+2）m*m级1 + ~Xε，t，w，s，hu>（λminπ*)16C2mm+2°dε2m*米+22米∧ （T- ε2m*), （7.8）式中π*和C▄由π给出*:= inf16i6dπi∧ (1 -Pdi=1πi）>0和C▄:= supx | x | 1+2/m1+|（x） <∞（参见（7.4）），cWis是L emma（7.1）中定义的常数。τε，t，w，s，his的这种复杂形式是由两个原因造成的。首先，我们只能通过将It^o公式应用于^来表示无摩擦位置的强平均回复（Xε、t、w、s、hu）（见（7.35））。