小非线性价格影响的渐近性：对

2022-6-11 03:49:21

小非线性价格影响的渐近性：多维情形的偏微分方程方法*Erhan Bayraktar+Thomas Cay'eIbrahim Ekren§2020年6月25日摘要我们提供了一个多维效用最大化问题的价值函数的渐近展开式，该问题来自具有小非线性价格影响的消费。在我们的模型中，允许资产之间的交叉影响。在小价格影响的极限下，我们确定了价值函数围绕其无摩擦版本的渐近展开。超前阶校正由一个与遍历控制问题相关的非线性二阶偏微分方程和一个线性抛物型偏微分方程来实现。我们在一个多元几何布朗运动价格模型上给出了我们的结果。数学学科分类（2010）：91G10、91G80、35K55。关键词：渐近展开，粘性解，何齐化，投资组合选择，非线性价格影响。内容1引言21.1符号。52模型62.1无摩擦默顿问题。62.2具有价格影响的默顿问题。8.*我们想感谢L.C.G。剑桥大学的罗杰斯挑战我们使用粘性解理论推导非线性交易成本的渐近展开式。我们还要感谢帕多瓦大学的Marco Cirantof Universit\'a di Padova进行了富有成效的讨论并提出了有益的意见。+密歇根大学数学系，530 Church Street，Ann Arbor，MI 48109。emailerhan@umich.edu.部分由美国国家科学基金会（NSF）和苏珊M。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:24

史密斯教授职位都柏林城市大学数学科学学院，爱尔兰都柏林9号格拉斯文，电子邮件：thomas。caye@dcu.ie.Supported部分由瑞士国家科学基金会（SNF）资助175133。§佛罗里达州立大学数学系，1017 Academic Way Tallahassee，FL 32306，emailiekren@fsu.edu3主要结果103.1校正方程。103.2主要结果。133.3 Black-Scholes市场校正方程的因式分解。1 54影响功能示例174.1影响功能的主要示例。174.1.1主要示例的校正方程。184.1.2验证主要示例的假设3.1和3.2。214.2 Impac t函数的其他示例。225余数估计主要定理的236个证明286.1半极限。286.2上解性质。296.3地下处置财产。376.4终端条件。417附录437.1候选渐近最优策略。437.2（7.13）的半鞅分解。467.3效用重整化L oss的局部有界性。487.4命题4.1和引理7.2的证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-11 03:49:26

. 531简介选择最佳资产以拥有并重新平衡投资组合是投资组合管理者的主要任务。一流的金融首先提供了一种系统的方式，在没有摩擦的市场中做到这一点——在下文中，我们将其称为默顿问题（没有摩擦），诺贝尔奖获得者罗伯特默顿（RobertMerton）是第一个给出系统解决方案的人。虽然这些模型得出的结果很好，但对现实世界的投资者几乎没有帮助，因为规定的最优策略会在出现最小摩擦的情况下立即导致破产。事实上，金融市场的行为并没有按照这些早期模型的假设所描述的理想化方式进行。积极交易会带来成本，当投资组合再平衡的规模和速度增加时，成本更高。本文中我们感兴趣的交易成本类型源于缺乏市场深度和资产交易的流动性不足。要进行交易，投资者需要交易对手，即场外交易或有限订单。吸引足够多的交易对手进行大宗交易，需要价格朝着对投资者不利的方向移动。人们普遍认为，这种转变的规模随着交易规模和交易速度的增加而增加。Bertsimas和Lo【8】以及ofAlmgren和Chris s【3，2】的开创性著作建立了目前在文学中广泛使用的模型：假设价格影响与交易率的幂α>0成正比。对于可跟踪性，价格影响首先被认为是线性的（α=1），许多有趣的结果出现在曲线中（参见[26]、[16]、[6]、[36]和其中的参考文献）。然而，如[33]和[4]等实证研究表明，请注意，在这些研究和我们的研究中，价格影响只是暂时的：资产价格在交易后立即恢复到其“基础价值”。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:29

有关瞬时（和临时）价格影响的不同模型的回顾，请参见Gatherel和Schied的调查【23】以及Roch和Soner的工作【39】。最近的发展包括【40、22、28、19、5】。交易速度的幂α在区间（0，1）内，这导致超线性但次平方的交易成本。具有这些类型摩擦的投资组合选择问题只是最近才被研究过。瓜索尼（Guasoni）和韦伯（Weber）[25]提出了分析这些摩擦的第一步，即投资者在斯科尔斯黑市中最大化最终财富的效用。交易引起的价格影响与交易率“量重整化”的功率α成正比。他们描述了优化器的特征，确定了一系列渐近最优策略，并在小价格影响的限制下，发现了领先订单的效用相对损失。这些ar表示为依赖于α的有序微分方程的解。最近，constantabsolute risk Reverse（CARA）投资者和一般一维市场的问题在[14]中得到了解决，在这些市场中，价格不必遵循马尔可夫It^o差异。[25]中的ODE仍然是解决方案的关键组成部分。在平行的文献链中，Cai、Rosenbaum和Tankov【12，13】将这些问题嵌入到跟踪概率的研究中。虽然之前的工作很好地理解了一维市场的行为，但它们没有考虑到通过相关性和交叉价格影响在多资产市场中相互依赖的重要影响。事实上，认为资产价格相互关联，一项资产的流动性紧张很可能会对另一项资产产生流动性影响，这并非没有道理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:33

对于比例交易成本和线性价格影响，资产流动性对投资组合优化问题的相互依赖性的后果相对来说已经得到了很好的理解，例如参见[38、9、27、22、36]。研究发现，与一维情况相反，直接向目标策略进行交易不再是最优的，目标策略是无摩擦优化器，除非当前位移是逆价格影响矩阵乘以波动矩阵的特征向量。一般来说，最优策略是根据价格影响和波动矩阵，按照s对称矩阵给出的方向进行交易。这个方向不需要指向当前最优的投资组合。在本文中，我们研究了交易成本为超线性和次二次型的多维市场中的投资组合选择问题。我们考虑一个具有持续相对风险厌恶（CRRA）的投资者，该投资者在有限的时间范围内最大化其共同消费的效用。我们的模型考虑了c-ross-impac-ts的一般模式，我们考虑了一般的马尔可夫It^oprice过程设置。超线性成本的存在使得这个问题很难明确解决，正如Shreve和Soner在【41】中首次在交易成本的背景下所做的那样，我们转向Crandall、Ishii和Lions【17】开发的粘性解决方案的强大机制来描述其解决方案。特别是，我们所考虑的成本结构的一个挑战性特征是，相关的Hamilton-Ja-cobi-Bellman方程退化为一阶导数中的哈密顿增长超Q，幂m=1+α>2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-11 03:49:36

考虑到实际交易成本很小，很自然会使用Soner和Touzi开发的比例交易成本技术对小价格影响问题进行简单的分析[42]。受周期项偏微分方程均匀化理论的启发，这些技术与粘度解的一般稳定性结果以及两个以上的校正方程的识别相结合，然后由Possamai、Soner和Touzi[38]和Moreau将其推广到具有比例交易成本的多维市场，Muhle Karbe和Soner【36】研究线性价格影响。基于【42、38、36】中开发的方法，并使用同质化理论中的工具。注意，要使用这种方法，问题的设置必须是马尔可夫的。通过使用凸对偶（见[24]）和一维微分的遍历理论（见[32]、[1]、[14][34、20、21、43]），可以在一维市场中放松该约束。我们描述了所谓校正方程解之间的问题的值函数的渐近展开。第一个校正方程是一个遍历型Hamilton-Jacobi-B ellman方程，具有超二次Hamilton量，类似于[30，15]中研究的方程。这种偏微分方程的结构既不依赖于价格动态，也不依赖于效用函数，在非线性价格影响问题中似乎无处不在。它推广了Guasoni和Weber在[25]中推导出的theODE，这也是在没有非线性价格影响的一维市场环境中[14]中解决方案的关键元素。第一个校正方程无法显式求解，我们必须依赖于[30，15]的存在性结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:38

特别是，为了证明辛展开式，我们需要这个方程的解的条件估计，目前它们仅适用于价格影响函数的特定选择（见（4.1））。对于更一般的影响，我们预计，在一些技术假设下，仍然可以使用伴随法获得此类二阶导数的界限，但这超出了本文的范围。超前阶效用损失由第二修正方程表征，该方程为线性偏微分方程。与文献中先前的结果类似，第二个修正方程是由无摩擦问题的值函数求解的偏微分方程的线性化。其源项由第一修正方程提供，反映了遍历控制问题中快速变量的最优控制产生的局部效用损失。第二修正方程的解也可以表示为在交易水平面上积分的状态变量函数的期望值，如[4 2，38，36，14]所示。由于通常无法明确求解Firs t corrector方程，因此需要依赖该方程的数值解来获得效用损失的近似值。或者，一些特定的影响函数和模型选择允许分解其解，并以闭合形式表示效用损失（直至一维ODE的解）。我们在Propo position 3.1中针对Merton问题的特殊情况提供了这样一种分解，并且成本函数满足缩放特性。在这种情况下，解决方案对投资者价格、时间和财富的最正确方程式的依赖性消失。该偏微分方程的唯一状态变量是与默顿投资组合的重标度偏差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:42

这个方程的解是一对, λ). 然后，效用损失可以直接写为λ和（t，w）的线性函数，其中状态变量tuple表示时间和当前财富（按市值计价）。虽然我们在这里没有证明它们是最优的，但我们也提供了一系列推测为最优的策略。这些策略也可以使用以及双摩擦函数Φ。因此，关于价格影响下的por tfolio优化问题的自然问题的答案包含在（）, λ). 例如，了解渐近最优策略是否包括向默顿比例转移可以通过研究函数Φx和▄来回答x、除了这一关于默顿问题的一般性陈述外，我们还提供了一个冲击函数的示例，其中第一个修正方程可以简化为一维PDE和（）, λ）可以进行明确的计算。因此，对于该冲击函数，类似于[27，36]，λ可以显式计算，效用损失可以显式获得。我们还提到了其他可以考虑的冲击函数的例子。膨胀的证明依赖于粘度解的基因ral稳定性结果以及无摩擦和摩擦值函数之间差异的局部一致界限。鉴于对有摩擦的投资组合问题的研究与ergo-dic控制问题密切相关，正如在[42]、[1]、[14]中已经明确的那样。有关遍历控制理论的最新发展以及如何近似其解，请参见[15]和[11]以及其中的参考文献。粘度解方面，与[36，19]中不同，第一个校正方程的解不是无摩擦目标偏差的简单二次函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:45

因此，生成测试函数以使用摩擦值的粘度特性更具挑战性。与之前的文献相比，我们的测试函数具有额外的依赖性，并且不总是作为幂函数进行扩展。此外，这些特征必须包含在Proposition 5.1的剩余估计中，这使得这些估计更具挑战性。第一个校正方程解的复杂性也决定了检验应用我们的主要定理所需假设的难度。特别是，需要一种新的方法来获得无摩擦和摩擦值函数之间差异的局部一致边界。实际上，在我们的例子中，我们不能简单地将It^o公式应用于当前位置和目标位置之间的平方差，以获得这些边界。此外，我们无法找到[38]中所述的磨擦偏微分方程的牙齿亚解来获得它们。为了利用无摩擦目标位置的强均值回归特性，需要找到合适的李亚普诺夫函数。事实上，在我们的多维框架中，第一个修正方程的解就是这个李雅普诺夫函数。然而，It^o公式在Lyapunov函数中的应用非常技术化，我们在附录中给出了指南，以获得具有几何布朗运动的模型的两个值函数之间的极大差异的局部一致界限。重新定义这些技术估计值将证明候选策略系列的最优性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:48

我们相信这些计算会成功，但它们的篇幅和冗长不会给一篇已经相当技术性的文章带来更多的见解，而这些都留给勇敢的读者。最后，我们的结果，加上对初始财富的额外假设和对可用策略的限制，可用于通过效用差异确定衍生产品价格，并通过从投资者的最终消费中减去其最终收益（同时确保该数量保持非负）来确定相应的最优部分对冲策略。例如，参见【14】，其中考虑了具有最终财富预期效用的平滑和对流看跌期权的情况。本文的组织结构如下。我们在第2节中陈述了利益问题。然后，我们在第3节中陈述我们的主要结果。特别是在第3.3节中，我们对多维默顿问题的特殊情况进行了扩展，并提供了一个相当一般的影响函数类别。在第4节中，我们还提供了影响函数的明确表达式，该表达式满足了我们主要结果的假设，并且我们给出了本例中价值函数的扩展。在第5节中，我们陈述了余数估计，这是进行第6节粘度理论证明的主要估计。在附录中，我们证明了一个关于渐近最优控制状态变量和无摩擦目标之间距离的技术引理，该引理是检验我们示例的主要定理3.1的假设所必需的。在本节的其余部分，为了方便读者，我们将列出经常使用的符号。1.1符号对于光滑函数φ，φyde注意φ在y中的导数（我们保留符号yφ表示y）中任意组合的导数，φxy表示x和y的二阶导数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-11 03:49:50

我们用|·|表示向量或矩阵的欧几里德范数，sd表示对称矩阵集。对于确定性向量x，xidenotes表示其第i个分量，对于向量值过程（Xt），xit表示其第i个分量。我们还定义了集合D：{（t，w，s）∈ [0，T）×R++×Rd++}和DT：{（T，w，s）∈ {T}×R++×Rd++}其中我们写R++：=（0，∞). 在这篇文章中，我们研究了D上具有多项式增长的一般正常数或正连续函数，它可能从一条直线变化到下一条直线。对于向量x，y∈ Rd和α>0时，我们用x·y的循环积表示，x（α）=（符号（x）| x |α，符号（xd）| xd |α）, x |α|=（| x |α，…，| xd |α）andx×y=（xy，…，xdyd）.2模型2.1无摩擦的默顿问题Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P是一个过滤的概率空间。金融市场由利率为r（S）的amoney市场账户和股票组成。资产的动态如下所示：对于16j6d，Dsjt=Sjt（uj（St）dt+σj（St）·dBt），Sj=Sj，（2.1）dSt=Str（St）dt，S=S，其中B是d维布朗运动，r，ujare连续实值函数，σja连续向量值函数。我们还假设s 7→ sjuj（s）和s 7→ sjσj（s）areLipschitz连续，对于所有j=1。d、我们用σ表示第j行为σj的d×d矩阵。此外，我们假设σσ是正定义。我们分别为r（St）、utforu（St）和σtforσ（St）写RTF。投资者在时间t选择消耗率ct>0和兔子数量Ht=（Ht，…，Hdt）持有股票。她的财富根据以下动态变化：dWt=（rtWt- ct）dt+dXj=1HjtSjt（ujt- rt）dt+dXi，j=1HjtSjtσji（St）dBit，（2.2）在向量表示法中，dWt=（rtWt- ct）dt+（Ht×St）·（ut- rt）dt+（Ht×St）TσtdBt，（2.3），其中为Rd的向量，每个成分nt为1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-11 03:49:54

目标是使消费的预期效用最大化。（t，w，s）的值函数∈ D∪ DTI，V（t，w，s）=sup（c，H）∈A（w）EZTtU（cr）dr+U（cT）Wt=w，St=s, （2.4）U（x）=x1-R/（1）- R），R>0，R 6=1是效用函数，Ai是一组可接受的策略（即每项资产的份额和消费），这些策略保证财富过程的SDE有一个连续的解决方案，并且对于所有t>0和cT6 Wt，Wt>0和ct>0。备注2.1。（i）请注意，虽然财富动态中出现了STA，但我们可以通过将投资于HtSt股票的num'ERAIR单位金额作为控制来轻松消除它。在这里，我们将股份数量视为控制权，以便与下一节介绍的摩擦案例更为相似。（ii）还请注意，与经典问题不同，最终的消费是受控的。作出这种选择是为了使无摩擦问题和摩擦问题（2.22）具有相同的结构。请注意，利率以及价格的漂移和波动可能取决于时间和多维因素过程。这篇文章的所有分析都经过了。为了便于阅读和简化符号，我们选择省略它们。然而，我们显然具有与经典默顿问题相同的值，因为这里的最优控制是cT=WT，就像经典默顿问题一样。在某些假设下（例如。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:56

Hamilton-Jacobi-Bellman方程正则解的存在性和（2.4）的最优策略可以证明，无摩擦值函数V满足所有（t，w，s）的Hamilton-Jacobi-Bellman方程∈ DG（V）（t、w、s）：=- 电视- supc{U（c）- Vwc}- LsV公司- Vwrw（2.5）- suph（VwdXj=1hjsj（uj（s））- r） +dXi，j=1Vwsisihjsjσi（s）·σj（s）+VwwdXj=1hjsjσj（s）)= 0，V（T，w，s）=U（w），（2.6），其中LSI是与s相关的最小生成器，且上述上确界由h（T，w，s）逐点获得：=arg maxh∈Rd（Vw（t，w，s）dXj=1hjsj（uj（s）- r（s））+dXi，j=1Vwsi（t，w，s）sihjsjσi（s）·σj（s）+Vww（t，w，s）dXj=1hjsjσj（s）). （2.7）然后hs满足所有（t、w、s）的一阶条件∈ DVwsj公司uj- r+dXi=1VWSISJσi（s）·σj（s）+VwwdXi=1hisisjσi（s）·σj（s）=0，对于所有16j6d。（2.8）对于t>0，我们另外定义了Ht=h（t，Wt，St）。表示byeU（y）：=supx{U（x）- xy}=R1- Ry公司-1.-RR，当y＞0（2.9）时，U的凸对偶和最优消费率c（t，w，s）：=-~U′（Vw（t，w，s））。（2.10）最后，定义（t、w、s）7→ ch（t，w，s）函数t、 Wt，St=dh类t、 Wt，Stdt公司∈ Sd（2.11）是Ht公司t型∈[0，T]。假设2.1。我们对无摩擦问题作如下假设。（i） V、c、兔子C1、2、2（D∪ DT）函数，且chis连续且在D上为正∪ DT。（ii）该策略不允许卖空、借贷或任何资产的零头寸：h×sw∈ （0，1）dandxi=1sihiw<1。（2.12）（iii）我们在D上的Vw>0和Vww<0∪ DT。备注2.2。（i）如【25】所述，禁止卖空和借贷进行投资，以避免在市场冲击面前破产。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:49:59

事实上，在存在价格影响的情况下，投资者可能无法在市场下跌的情况下足够快地清算其空头头寸或过度投资的投资组合，并可能面临破产，这是幂效用函数所不允许的。（ii）然而，与[25]不同，在（2.12）中，由于技术原因，我们假设该策略严格属于单纯形的内部：有必要确保我们的候选人策略在所处理的示例中的可接受性；详见第7.1节和第7.3节。通过这些假设和符号，我们可以将方程（2.5）改写为0=-电视-U（Vw）- LsV公司- Vwrw（2.13）- Vw（h×s）·（u- r）-dXi，j=1Vwsisihj（t，w，s）sjσj·σi-VwwdXj=1hj（t，w，s）sjσj= 0.示例2.1。在整篇文章中，我们将说明几何布朗运动作为多维价格过程和具有风险厌恶的投资者的结果∈ (0, 1). 这意味着我们取u，σ和r常数，这样σσ为正定义，表示=σσT1/2. （2.14）在这种情况下，可以通过验证（使用以下ansatz方程（2.8）和（2.13））表明，值函数的形式为v（t，w，s）=g（t）U（w），（2.15）c（t，w，s）=g（t）-Rw，（2.16）高（t、w、s）=πws。。。，πdwsd, π=R时-1.σσ-1(u - r），（2.17），其中g（t）=1 + (ν - 1） e类-ν（T-t） νR（2.18）满意度g（T）=1且ν=（R- 1)rR+（u-r）(σσ)-1(u-r） 2R级6= 0.假设2.1意味着我们需要πi（t）=πi>0，对于所有i=1。d和Pdi=1πi<1。备注2.3。注意，函数g在[0，T]上有界且远离0。2.2具有价格影响的默顿问题使金融市场与无摩擦情况下的市场相同，但执行价格可能不同于基本价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:02

更准确地说，我们考虑一个临时价格影响模型，eSjt=Sjt+fj（St，εθt），（2.19），其中θt=˙hT是交易率，ε是一个小参数，（fj）是一系列满足以下假设2.2的函数。我们还定义了凸共轭Φ（s，.）在存在价格影响的情况下，只有勒贝格测度绝对连续的策略才是最优的：内部变化导致立即破产。函数θ7→ θ·f（s，θ）in RdbyΦ（s，x）：=supθ∈研发部x·θ-dXj=1θjfj（s，θ）, （2.20）在此基础上，f c的假设2.2可以等效公式化。假设2.2。函数f在其两个变量中都是连续的，在θ中连续可微，且α度为正齐次∈ （0，1）和θ中的奇数。此外，我们假设∈ （R++）d，函数θ7→ θ·f（s，θ）是严格凸的（然后也是α+1次齐次的）。Φ在两个变量中都是连续的，在x中是连续可微的。Φ是x中m＞2次的凸正齐次函数，Φx是x中的导数，是m次齐次的奇函数- 1，其中m=1+α>2。在第3.3节中，我们提供了满足此假设的影响函数的示例。备注2.4。（i）常数α∈ （0，1）（或对于后来的偏微分方程结果，等效且更方便的是，常数m=1+α>2）在我们的研究中至关重要。它将市场影响的规模表示为交易率的函数。We fixα∈ （0，1）（因此m>2）和定义*=αα+3=3m-2.（ii）注意，函数f是瞬时交易成本函数θ→ θ·f（s，θ）是n，在α+1=mm阶的负、凸和正齐次上-1.∈ （1，2）：这是次二次交易成本的D维版本，如【25】和【14】所示，其中市场由单个风险资产和银行账户组成。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:05

Dolinsky和Soner在[18]中已经在离散时间摩擦市场中确定了双摩擦Φ的重要性，Guasoni和R'asonyi在[24]中使用了双摩擦Φ来描述使用凸对偶的一维设置中非线性摩擦解决方案的优化器。有了这些摩擦，投资者的财富从t=0开始，按市值计算的财富为w，满足以下SDE（初始条件为wε=w），即[0，t]dWεt=（rtWεt- ct）dt+dXj=1HjtSjt[（ujt- rt）dt+σjt·dBt]- θjtfj（St，εθt）dt. （2.21）对应于这个新控制问题的值函数是vε：（t，w，s，h）∈ D×Rd7→ sup（c，θ）∈Aε（w）EZTtU（cr）dr+U（cT）Wt=w，Ht=h，St=s, （2.22）式中（c，θ）∈ Aεif Wεs-对于所有s，Pdi=1HisSis>0、His>0和cs>0∈ [t，t）和if cTWεt-Pdi=1 Hitsit。备注2.5。我们注意到，在我们的框架中，总财富w代表投资组合的无摩擦清算价值，其中h是每项资产所持股份数量的向量，w-Pdi=1代表代理人持有的现金。换句话说，Wε代表投资者的“按市值计价”财富。这是交易速度中交易成本的同质化程度，在【14】中称为p的参数，关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为- tVε- supc{U（c）- Vεwc}- LsVε- Vεwrw- supθVεhθ- VεwdXj=1θjtfj（s，εθt）(2.23)- VεwdXj=1hjsj（uj- r）-dXi，j=1Vεwsisihjsjσj·σi-VεwwdXj=1hjsjσj= 优化r c和θ，并利用f和Φ的均匀性，我们重写Hamilton-JacobiBellman方程（2.23）为0=Gε（Vε）（t，w，s，h）：=-tVε-U（Vεw）- LsVε- Vεwrw-（Vεw）1-mεΦ（s，Vεh）（2.24）- VεwdXj=1hjsj（uj- r）-dXi，j=1Vεwsisihjsjσj·σi-VεwwdXj=1hjsjσj.我们对摩擦值函数作出以下假设。假设2.3（摩擦值函数的特征）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:08

对于ε>0，值函数Vε是局部有界的，并且是Hamilton-Jacobi-Bellman方程的（可能不连续）粘度解Gε（Vε）（t，w，s，h）=0（t，w，s，h）∈ D×RdVε（T，w，s，h）=U（w-Pdi=1hjsj）（w、s、h）∈ R++×Rd++×Rd，（2.25），其中Gε在（2.24）中定义。3主要结果3.1质量的校正方程动机。我们假设Vε（t，w，s，h）=V（t，w，s）形式的摩擦问题的值函数的渐近展开- ε2m*u（t、w、s）- ε4m*t、 w、s、h- h（t，w，s）εm*,对于某些函数u和满足要确定的可积性和增长条件，其中是“快速变量”ξε（t，w，s，h）=h- h（t，w，s）εm*. （3.1）在HJB方程（2.24）中引入该ansatz，我们得到（回想一下，Vsaties（2.13）和Φ是m阶齐次的）Gε（Vε）（t，w，s，h）=ε2m*Et、 w，s，ξε，ε3m*-1+2m*m级ξ（t，w，s，ξε），ξξ（t，w，s，ξε）+ Et、 w、s、ut、uw、us、uww、uws、uss+ Rε（t，w，s，h，Vε），其中函数E和E定义如下（t，w，s，ξ，p，X）：=-VwwdXj=1ξjsjσj- |Vw | 1-mΦ（s，p）+TrchX公司, （3.2）E（t，w，s，x，p，q，Xww，Xws，Xss）：=t（t，w，s，p，Xww，Xws；h（t，s，w））+x+（q×s）·u（s）+rwp+dXi，j=1（σσσ)i、 jsisj（Xss）i，j+~U′（Vw）p，（3.3），我们表示t（t，w，s，p，Xww，Xws；h）：=p（h×s）·（u）- r） +（Xws×s×h）TσσTs（3.4）+Xww（h×s）TσσT（h×s）和ch（T，w，s）是（2.11）中定义的无摩擦策略的二次变化。比例因子m的值*=3米-事实上，这是唯一允许我们索赔ε3m的选择*-1+2m*m=1，膨胀率sgε（Vε）（t，w，s，h）=ε2m*Et、 w，s，ξε，ξ（t，w，s，ξε），ξξ（t，w，s，ξε）+ Et、 w、s、ut、uw、us、uww、uws、uss+ Rε（t，w，s，h，Vε），（3.5）在u和收敛到0为ε↓ 在h（t，w，s）的高边界中，h为0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:11

详见第5节，尤其是Pro位置5.1。因此，对于正确的扩展，我们期望求出所谓的第一和第二修正方程，E（t，w，s，ξ，ξ（t，w，s，ξ），ξξ（t，w，s，ξ））=a（t，w，s）on（D）∪ DT）×Rd，（3.6）（t，w，s，0）=D上的0-E（t，w，s，ut，uw，us，uww，uws，uss）=a（t，w，s）o n（D∪ DT），（3.7）u（T，w，s）=R上的0*+×R*+d、备注3.1。（i）对于第一个校正方程（3.6），三元组（t、w、s）∈ D实际上只是方程的一个参数。方程的变量为ξ∈ [7、15、30]中的RDA。第一个校正方程的解是一对(, a）。第一修正方程解的项a是第二修正方程中的源项。（ii）第一修正方程（3.6）是小交易成本渐近理论研究中最重要的对象。实际上，当事务参数ε变为0时，与无摩擦位置的偏差ξεt：=Hεt-Htεm*在0左右振荡更快。第一个修正方程表示代理需要在将该数量保持在接近0和她必须支付的交易成本之间进行权衡。在FIRS t校正方程中，位移ξε引起的效用损失来自以下项-Vww（t、w、s）Pdj=1ξjsjσj> 0，交易成本来自术语（Vw（t，w，s））1-mΦ（s，p）。代理解决的局部控制问题是一个有限的地平线问题，类似于[30，方程（2.2）]。这源于不同变量演变的时间尺度的不同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:14

实际上，当ε变为0时，变量ξε（均匀化理论中所谓的快速变量）的振荡速度越来越快，可以看到任何微小的间隔（在右标度下），而变量（t，w，s）在如此小的间隔上几乎保持不变。（iii）我们还注意到，在系统（3.6）-（3.7）中，唯一的非线性是对偶摩擦函数Φ，它被认为是m>2次的凸正齐次函数。Φ也是该系统中唯一依赖于价格影响函数f的术语。我们现在陈述了主要结果所需的不同假设。假设3.1（重整化效用损失的局部边界）。适用于所有（t、w、s）∈ D存在ε>0和r>0这样的t hatsupV（t、w、s）- Vε（t，w，s，h）ε2m*:（t、w、s、h）- （t，w，s，h（t，w，s））6r，ε∈ (0, ε)< ∞,（3.8）其中m*=3米-2见备注2.4。假设3.1，足以确定半极限*（t，w，s）：=lim supε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （3.9）u*（t，w，s）：=lim infε↓0，（t′，w′，s′，h′）→（t，w，s，h（t，w，s））V（t′，w′，s′）- Vε，*（t′，w′，s′，h′）ε2m*, （3.10）用于第6节，其中Vε*和Vε，*分别是Vε的下半连续包络和上半连续包络。它们使我们能够描述与无摩擦值的偏差，并证明下面所述的主要定理。备注3.2。该假设是摩擦值Vε的一个性质，事实上是最难检验的假设。有两种方法可以检验假设。与[38]类似，可以尝试展示摩擦PDE（2.23）的光滑亚解，该亚解接近无摩擦值函数V。然而，在[38]中，由于无摩擦值与第二修正方程u的解之间的比例关系，该方法有效。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:17

在我们的框架中，这种相称性不成立，我们不能采用这种方法。第二种方法是展示一个可容许控制，其性能给出了所需的界。这是我们在第3.3节中处理的示例中使用的。然而，我们的任务在技术上是由控制容许条件和电力公用事业仅为积极消费定义的事实所决定的。在对校正方程的解进行假设之前，我们定义了以下类别的函数。定义3.1。我们称Cm为C1，2，2，2的子集[0，T]×R++（R++）d×Rd，R+包含函数χ，在初始值ξ处具有以下增长率∈研发部1 + |ξ|-（+m）（|χ|+|χw |+|χs |+|χww |+|χws |+|χss |+|χξξ|）（t、w、s、ξ）+supξ∈研发部1 + |ξ|-m（|χξ|+|χwξ|+|χsξ|）（t，w，s，ξ）6C（t，w，s），（3.11），其中C是一个连续函数，使得（w，s）7→ 支持∈[0，T]C（T，w，s）是局部有界的。假设3。2（关于修正方程的假设）。（i）第一个校正方程（3.6）允许一个解（a，)a：（t、w、s）∈ [0，T]×R++×Rd++7→ R+， : （t，w，s，ξ）∈ [0，T]×R++×Rd++×Rd7→ R+。这两个函数分别在C（[0，T]×R++×Rd++，R+）和CMC中。功能真是这样（t，w，s，ξ）>0，在[0，t]×R++×Rd++×（Rd \\{0}）和（t，w，s，0）=ξ（t，w，s，0）=0（t，w，s）∈ [0，T]×R++×Rd++。（ii）存在一类函数f comp，使得对于所有u∈ Fcomp（分别为u∈ Fcomp）粘度（3.7）的亚溶液（分别为上溶液），U（T，w，s）6u（T，w，s）表示所有（w，s）∈ R*+×R*+d、一个hasu（t，w，s）6u（t，w，s）用于所有（t，w，s）∈ D、（iii）u*和u*（3.9）和（3.10）中的定义属于Fcomp。备注3.3。（i）请注意，功能u*和u*实际上，仅在域D内定义，然后扩展到DTby上半连续和下半连续。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:20

我们在命题6.3中证明了这个扩张是0。（ii）还要注意，我们仅假设第二个修正方程的比较，我们的主要定理3.1通过Perron方法提供了该偏微分方程解的存在性。（iii）[30]的结果表明，第一个校正方程确实具有唯一的解决方案（t，w，s，0）=ξ（t，w，s，0）=0，当ξ6=0时，（t，w，s，ξ）>0。此外和ξ可使用[30，命题4.2]和[7，命题3.4]获得。我们在第3.3节详细研究了校正方程，并给出了ξξ需要索赔 ∈ CMF为我们的主要示例。我们还提供了在一些自然模型中。3.2主要结果见表3.1。在假设2.1、2.2、2.3、3.1和3.2下，存在唯一的粘度溶液U∈ F第二修正方程（3.7）和所有（t、w、s）的比较∈ 我们对值函数Vε进行了如下展开：Vε（t，w，s，h（t，w，s））=V（t，w，s）- ε2m*u（t，w，s）+o（ε2m*), （3.12）其中m*=3米-在证明了必要的中间结果之后，第6节给出了该定理的证明。备注3.4。（i）事实上，对我们的证明进行更详细的分析表明，对于所有（t，w，s）∈ D，存在h（t，w，s）的邻域（取决于ε），使得Vε（t，w，s，h）的展开式与定理3.1中的Vε（t，w，s，h）的展开式相同，适用于该邻域中的任何h。（ii）项a是第二修正方程（3.7）的源项。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:23

该方程为线性方程，其解为（3.12）中的一阶效用损失，函数a控制摩擦引起的一阶效用损失，我们有Feynman-Kac表示u（t，w，s）=EZTta（r、Wr、Sr）drWt=w，St=s.（iii）在Guasoni和Weber在[25]和Cay\'e、Herdegen和Muhle Karbe在[14]中研究的一维情况下，其校正方程简化为普通微分方程。I tssolution是一个由函数和常数组成的耦合，它同样给出了作为无摩擦优化器位移函数的交易速度和由摩擦引起的领先阶效用损失。（iv）由于我们模型中的小参数ε出现在方程（2.19）中的函数f内，它对应于[25]和[14]中的λα。然后，我们的扩展订单2m*等于这两篇文章中找到的扩展顺序p+2，其中参数p对应于交易成本函数同质性程度（在我们的模型中为α+1）。（v）在极限情况下α→ 1（或相当于m→ 2）我们正式恢复了[36]中发现的效用损失的顺序。此外，请注意，目标位置的位移按εm重新缩放*in（3.1）和as m→ 2这收敛到ε1/4，这是[36]中位移的重标度。我们可以通过进一步的研究表明，一系列渐近最优投资策略是由˙Hεt：=ε给出的-1Φx圣，-ε3m*Vw（t，Wεt，St）ξt、 Wεt，St，Hεt- htεm*= -Vw（t，Wεt，St）1.-mεm*Φx圣，ξt、 Wεt，St，Hεt- htεm*（3.13）和消耗率cεt：=-~U′（Vw（t，Wεt，St））=c（t，Wεt，St）。（3.14）为了陈述的简洁，我们不会证明这一说法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:26

事实上，尽管在适当的假设下，这一主张的证明可以类似于[14]，但在我们的案例中，由于允许性条件，需要在适当的打击时间修改候选策略，以避免卖空（类似于（7.8））。这又需要证明解的性质超出本工作范围的第一个校正方程。当证明在交易区间结束之前停止策略的概率是渐进的很小时，技术难度也很大。这需要根据模型的原语另外停止其他过程，并获得重整化位移ξε（·，Wε·，S·，Hε·）的统一力矩存在性。这些技术问题与比例成本（见【1】、【29】）或非线性价格影响（见【14】）中出现的问题类似。3.3 Black-Scholes市场校正方程的因式分解考虑了具有常数系数的示例2.1中的默顿问题。让我们计算hπiWtSit，πjWtSjtidt=πiπjSitSjtdXk，l=1H0，ktSktH0，ltSltσk·σl- WtdXk=1SktH0，ktσk·σi+σj+Wt公司σi·σj=Wt公司πiπjSitSjtπσσπ - πσσ（ei+ej）+eiσσej公司=Wt公司πiπjSitSjt（u- r- Rσσei）Rσσ-1(u - r- Rσσej），其中{ei}i=1，。。。，dis Rd.T henchi的正则基，j（T，w，s）=wπiπjrsij（u- r- Rσσei）σσ-1(u - r- Rσσej）是出现在第一个主方程（3.6）中的函数（回忆（3.2））。表示为∑矩阵，其第i列为向量π-1(u - r- Rσσei）=πiRS（π- ei），对于1 6 i 6 d。我们现在陈述了关于g e计量布朗运动的校正方程因式分解的一个性质。3.1上的提案。假设无摩擦问题是示例2.1中描述的具有常数系数的默顿问题，并且定理3.1的假设成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:29

还假设Φ（s，x）=￠Φxs型（3.15）和椭圆方程r | Sx|-~Φ( ~x（x））+2RTr~xx（x）∑Σ= λ、对于x∈ Rd，（3.16）允许一种独特的解决方案, λ） s在Isifying▄（0）=0和supx∈Rd |（x） |+|xx（x）|（1+| x |）（+m）+| |x（x）|（1+| x |）m！<∞. （3.17）然后，第一个校正方程的解具有以下形式（t，w，s，ξ）=g（t）w1-R+4m*~ξ×sw1+m*, （3.18）a（t，w，s）=λg（t）w3mm*-R全部（t、w、s）∈ [0，T]×R++×Rd++。值函数的展开式是vε（t，w，s，h（t，w，s））=U（w）g（t）- λ(1 - R）（wε）2m*\'g（t）+ o（ε2m*), （3.19）其中函数g求解线性常微分方程g′（t）+g（t）-βg（t）-R+βR+βR+β（β- 1） 2R级(u - r）σσ-1(u - r）= -g（t），\'g（t）=0，（3.20）β=3mm*- R和具有显式表达式“g（t）=ZTtg（s）expZsth公司- βg（u）-R+βR+βR+β（β- 1） 2R级(u - r）σσ-1(u - r） iduds。（3.21）备注3.5。（i）函数g在[0，T]上从上方和远离0的方向有界，因此，\'g.（ii）与[25，36，14]类似，效用损失与常数T成正比，我们表示λ，λ是展开式中唯一依赖于f表达式的项（\'g依赖于假定为固定的m>0）。为了理解相关函数和影响函数对λ的联合影响（以及因此的扩展），我们需要研究遍历型Hamilton-Jacobi-Bellman方程（3.16）。[15，30]研究了该方程。虽然我们无法显式计算, 方程式（3.16）充分描述了S和Φ如何影响膨胀的机理。我们在下面提供了一个|Φ选项，该选项允许将该偏微分方程的解进一步简化为一维函数之和。然而，一般来说，我们不期望该偏微分方程的显式解。（iii）（3.13）中渐近最优策略的交易方向由两个函数Φx和Φx的组合确定ξ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-11 03:50:32

向哪个方向ξ点由一个xdue到因式分解（3.18）。例如，如果向量场的构成x和Φx将指向原点。因此，要理解最优投资组合的方向如何取决于问题的各种数据，需要计算使用【11】中的方法进行数值计算。证据利用无摩擦值的表达式（2.15）和Φ的因子化，FirstCorrector方程得出函数° 由（3.18）定义，这可能最终取决于ont，w，s解出PDERg（t）w1-R+2m*Sξ×sw1+m*- g（t）w-R+3mm*~Φ~x个ξ×sw1+m*+g（t）w-R+3mm*2RTr公司~xx号ξ×sw1+m*ΣΣ= a（t、w、s）。考虑到（3.16）的唯一性假设，我们有不依赖于t，w，s和a（t，w，s）=λg（t）w-R+3mm*其中（▄, λ）由（3.16）的解给出。对于第二个校正方程，考虑到a不依赖于s，我们得出以下Ansazi（t，w，s）=λw3mm*-R'g（t）=U（w）（1- R） λw2m*\'g（t）。（3.22）然后，将其插入（3.3），利用hin（2.17）获得的最佳值，我们获得了‘’g的线性化曲线（3.20）。此Riccati方程的解为（3.21）。4影响函数示例4.1影响函数的主要示例我们充分处理的主要示例是价格影响函数fj（s，θ）=κm- 1msjS（S（θ×S））（m-1)对于某些κ>0，（4.1）冲击函数（4.1）是否适用于给定市场是一个实证问题，超出了本文的范围。为了鼓励选择pric e impact函数，让我们看看m=2的情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:35

对于这一参数的选择，我们可以回收Garleanu和Pedersen【22】（假设影响矩阵和市场的协方差成比例）和Guasoni和Weber【27】：θ·f（s，θ）=κ| s（θ×s）|=κ（θ×s）S（θ×S）=κdXj=1 |（S（θ×S））j |。（4.2）在Gar leanu&Pedersen[22]中，这种成本函数的基本原理源于我们投资者的对手所承担的风险：要接受持有这些资产直到他们找到最终买家，市场制造商必须得到风险补偿。这些做市商进入交易所需的（瞬时）成本函数数量。在[22]中，这个奖励是交易速度的二次方。我们在本节中介绍的价格影响函数为成本θ·f（s，θ）=κm选择α+1同质性- 1mdXj=1 |（S（θ×S））j | mm-1=κm- 1mdXj=1 |（S（θ×S））j | 1+α。选择（4.1）的第二个也是最重要的原因是，对于冲击函数的选择，第一个修正方程的解可以写成一维函数的和。我们利用解的这个性质，得到了并表明这是假设3.2所需的Cmas。实际上，对于f的选择，Φ是Φ（s，x）：=supθ∈Rd（x·θ- κm- 1mdXj=1 |（S（θ×S））j | mm-1） =mκm-1dXj=1S-1.xs型jm、（4.3）其中xs型代表xs。。。，xdsd公司Φ的形式与（3.15）相同。因此，定义Φ（x）=mκm-1dXj=1S-1.x个jm（4.4）我们可以使用命题3.1来获得第一个校正方程的第一个因式分解。然后，我们展示了（4.4）允许我们编写定义为解（3.16）为一维函数之和。（4.1）中f的形式也符合[38，示例3.1]，其中直接为FirstCorrector方程假设了一种形式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 03:50:38

我们在第4.2小节中提供了影响函数的其他示例，并提到了这些问题需要何种类型的估计。对于一般设置，对假设3.2的必要性被认为是正确的，但他们的证明远远超出了本文的范围，需要自己的证明。因此，我们选择仅为（4.1）o演示主要结果。4.1.1主要示例的校正方程对于示例（4.1），为了简化（3.16）中的术语r | Sx |中的相关关系结构的影响，我们将ansatz（3.18）略微更改为（t，w，s，ξ）=g（t）w1-R+4m*~S（ξ×S）w1+m*.然后，（3.1 6）变为dxj=1Rxj公司-mκ1-m |xj（x）| m+2RTr公司~xx（x）（∑S）∑S= λ（4.5）我们将用, 这是ODE的解决方案)′′（x） =-x+λm+m-m（m- 1)1-m |（)′（x） | m，用于x∈ R、和▄（0）=0，（4.6），其中λm>0是唯一常数，使得limx→±∞( ~)′（x） | x | 2/m=±m（m-1） m级-这种溶液的存在可以通过两种不同的方法来提供。我们可以注意到，该方程实际上（4.5）被简化为一维，并使用[30]、[7]和[15]中发展的理论，或者，注意-( ~)′实际上等于[25，定理6]中定义的函数，λmis等于同一定理中定义的常数cα。我们现在提供▄的其他属性.引理4.1。函数√由ODE（4.6）定义的是凸的，具有有界的二阶导数。证据根据对称性，我们只显示+∞. 因为它是一个奇数递增函数的反导数（参见[14，引理3.1]），~是凸面的。因此，我们只需要（▄的上界)′′. 二阶导数是一阶导数的函数，m>2，我们得到是连续可区分的四倍。~次二次方的极限（)′′at-in-finity不能是in-finity。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-11 03:50:41

因此，存在M>0和yn↑ ∞ 如此（）)′′（yn）6 M.假设)′′isnot bounded，意思是存在xn→ ∞ 这样（)′′（xn）↑ ∞ 和（）)′′（xn）>M。因此，对于所有xn，存在ym（n）和ym（n），使得ym（n）6 xn6 ym（n）。请注意（）)′′在[ym（n），ym（n）]上有一个loc almaximum。表示此局部最大值，并注意ym（n）<xn<ym（n）和′′′（￠xn）=0。我们对（4.6）进行两次微分，以获得局部最大值xnof（）)′′, 我们有0>（）)′′′′（x） =-2+C |（)′（xn）| m-2|( ~)′′（xn）|，对于仅依赖于m的常数C。因此，|（|)′（xn）| m-2|( ~)′′（xn）C)′对于一些足够大的n，m>2给出了假设)′′（xn）>未纠正。我们的结论是)′′是有界的。请注意，重复该过程，用▄xn▄替换yn▄，我们可以证明（▄)′′在单位收敛到0。备注4.1。引理4.1的结果实际上比本文其余部分的分析所需的结果更强。为了证明定理3.1，Cm类（参见定义3.1）中定义的生长条件已经足够，即（4.9）中所述的生长条件。现在，我们给出了简化的第一修正方程（4.5）的适定性的以下引理。引理4.2。前提是（∑S）（∑S）都是正的，存在唯一解，表示为（λ，）), 满足（4.5）的要求(0) = 0, ~ > 0和lim inf | x|→∞（x） >0。此解决方案由▄给出（x） =Pdj=1βj▄（γjxj），其中▄是（4.6）和γj的解=mκ（m- 1)m级-1R3m-1（∑S）（S）mjj！m级*,βj=2-4米*（∑S）（∑S）4毫米*-1jjR公司-1.-4米*κ（m- 1） m级4（米-1） m级*,λ=λmdXj=1R2γj.（4.7），此处λmis也在（4.6）中确定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝