最后一组参数（VG1）是在最后一次数值试验（表5）中选择的，因为Lord等人（2008年）报告的针对极短成熟度的CONV方法收敛速度相对较慢。这是由于该过程的DF急剧达到峰值，出现了一个困难的对数奇点xsing（见图2）。在我们用切比雪夫级数近似（27）中定义的闭合形式VG PDF之前，我们应用傅立叶-帕德方法（参见附录B）定位PDF中的奇点。我们使用xsingasa断点并在两个不同的区域[c，xsing]和[xsing，d]近似PDF来解决Gibbs现象。由于我们使用Fourier–Padé方法来近似PDF，Fouier–Padé近似中的Fourier项数被设置为1024。在表5中，同上（71），在类似的CPU时间内，在80和90范围内测量30个选项，Conleg方法产生的精度与COS和filter COS方法几乎相同，但相对而言，精度高于Lewis FRFT、QUAD-CONV和CONV方法。备注3。Fang和Oosterlee（2009a）认为，具有VG1的VG过程会产生一个不在C中的概率密度函数∞（R） 因此，具有这些参数集的VG下的期权定价仅表现出代数收敛性。尽管如此，Chan（2018）最近提出了SFP方法来回避这个问题，并用VG1的输入参数来近似VG PDF。通过这种方法，我们可以从奇异点恢复全局谱收敛。欲了解更多详情，请读者参考Chan（2018）。作者：达隆（Ron）Chan24文章提交给《管理科学》；手稿编号（请提供手稿编号！）表5:VG模型下pricingvanilla看涨期权的Lewis-FRFT、CONV、QUAD-CONV、COS、Filter-COS和CONLeg方法与VG1参数的比较。

30买入价的计算范围为Kf80至90。Lewis FRFT CONV QUAD–CONVN R∞RTime R∞RTime R∞RTIME1029.921e-03 1.121e-02 0.092 1.217e-04 8.817e-03 0.110 2.411e-04 7.827e-03 0.121COS过滤器COS连接R∞RTime R∞RTime R∞RTime1024 2.271e-06 7.579e-05 0.089 6.596e-07 3.596e-06 0.0912 5.596e-07 4.511e-06 0.1026.2。American、Barrier和Bermuda选项在本节中，我们再次关注基于以下PDF和其他参数的三个测试用例：NIG1:S=100，K=80-120, α = 1 5, β = -5，δ=0.5，T=1，r=0.05，q=0.02。（75）CGMY1：S=0.5-1.5，K=1，C=1，G=5，M=5，Y=0.5，T=1，r=0.1，q=0.0。（76）CGMY2:S=90-100，K=100，C=4，G=50，M=60，Y=0.7，T=1，r=0.05，q=0.02。（77）在本节中，正如Fang和Oosterlee（2009b）所建议的，我们首先在（70）中设置Ln=8，以创建一个计算区间[c，d]，用于近似NIG和CGMY过程的PDF。在我们的第一次测试中，我们对百慕大看跌期权进行了定价，其中10个交易日的参数为NIG1。在该测试中（表6），COS和CONV方法共生成170个期权价格，从80到120之间的K。CPU时间以秒为单位报告，所有参考值均通过CONV方法获得，N=2。Fang和Oosterlee（2009b）报告说，NIGPDF（26）在参数为NIG1的平均值处更为峰值。然后，我们使用平均值作为临界点，在两个区域[c，xsing]和[xsing，d]近似PDF。从表6的结果来看，当N从256增加到512时，COS方法的精度保持不变。在相同的CPU时间内，我们可以看到CONLeg比COS方法具有更好的精度。在接下来的两个测试中，参数为CGMY1和CGMY2的CGMY过程没有封闭形式的PDF，并且具有奇点。

因此，再次使用上述技术，我们使用傅里叶-帕德方法来近似CGMY PDF并定位其奇点。在测试中，Fouier–Padé近似中的傅立叶项数设置为1024。美式期权的价格可以使用（55）获得，这是一种4点Richardson外推方法，对一些百慕大期权的价格进行小L。我们比较了表7中美式期权定价的CONV、COS和CONLEG方法。所有参考值都是通过傅里叶时间步进法（Jackson等人，2008）获得的，傅里叶项的数量为2。在类似的CPU时间内，CONLeg方法与COS方法达到相同的精度，并且略优于CONV方法。作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）25Ta表6：NIG1模型下百慕大（L=10）看跌期权定价的COS和CONLeg方法比较，参数取自NIG1。这两种方法都生成了170个期权价格，范围为K fr om 80到120，S等于100。COS CONLegN R公司∞RTime R∞RTime256 2.411e-07 5.411e-06 2.89 1.812e-13 8.576e-12 2.93N R∞RTime R∞RTime512 2.411e-07 5.411e-06 3.323 1.812e-13 8.576e-12 2.93Ta表7根据CGMY1中的参数对GMY模型下美式看跌期权定价的CONV、COS和CONLeg方法进行比较。58和88期权价格分别为CONV法和COS法计算，范围为S从0.5到1.5，K等于1。公式（55）中的L CONLegN R∞RTime（秒）R∞RTime（秒）等式中的32768 1.052e-04 8.051e-03 19.291 7.123e-05 6.113e-04 19.311L。

（55）COS CONLegN R∞RTime（秒）R∞RTime（秒）2 32768 9.234e-05 4.012e-04 19.298 7.123e-05 6.113e-04 19.311表8 CGMY模型下每日监控（L=12）UO调用和UO PUT定价的SWIFT和CONLeg方法比较，参数取自CGMY2。725期权价格的计算范围为S从90到110，K等于100。屏障水平H等于120。SWIFT CONLegscale R∞RTime（秒）R∞RTime（秒）UO调用6 3.181e-10 7.641e-09 7.100 5.186e-09 6.886e-08 7.201UO放入6 1.901e-11 8.621e-10 6.901 4.330e-10 6.131e-09 6.891对于最后两个表，所有参考值均通过N=2的CONV方法获得。在表8中，我们考虑了CGMY流程下的月度监控（L=12）向上和向外看涨期权和看跌期权、（UO看涨期权）和（UO看跌期权），参数为CGMY2。向上和向外选项的安全栅级别H设置为120。从表中可以看出，CONLeg方法在准确性方面与SWIFT方法非常相似。最后，在表9中，我们重点讨论了参数为NIG1的NIGprocess，S=90–110和K=100除外。考虑到每月监控的（L=252）买入卖出期权（DO call）和卖出期权（DO put），我们将期权的H设置为80。由于L=252非常大，导致tl+1和tl之间的时间间隔差异非常小。因此，NIG PDF非常峰值，COS方法需要更大的N等于8192，以补偿表9中更好的收敛性。在CPU时间相似的情况下，比较CONLeg和Cos方法，这两种方法可以达到相似的精度。作者：达隆（Ron）Chan26文章提交给《管理科学》；手稿编号（请提供手稿编号！）表9:NIG模型下每日监测（L=252）DO Ca ll和DO PUT定价的COS和CONLeg方法比较，参数取自NIG1。

38期权价格的计算范围为S从90到110，K等于100。屏障水平H等于80。COS CONLegN R公司∞RTime（秒）R∞RTime（秒）请拨打8192 6.701e-08 4.641e-07 94.231 4.167e-09 8.651e-08 93.812，然后拨打8192 7.232e-09 3.231e-08 92.532 1.619e-09 6.886e-08 92.6347。结论在本文中，我们提出了一种基于多项式（特别是Legendre级数）逼近概率密度函数并通过对给定支付函数进行适当卷积来计算价格的对冲和各种期权定价算法。我们将此方法称为CONLeg。CONLeg方法的主要优点是，它能够将价格和希腊语作为一个函数返回到规定的区间，而不仅仅是点值，它能够在有/无封闭式PDF的过程中近似不同类型的选项，以及它使用Chebfun实现的简单和方便。我们提出了一个用Chebfun编写的概念实现pro，证明了该方法的正确性。由于Chebfun使用自适应近似，目前很难讨论CONLeg方法的收敛速度，也很难将其与文献中的其他方法（使用固定的离散化大小）进行比较，但初步结果很有希望。为了进行公平比较，需要实现一个非自适应版本的CONLeg，这将非常耗时，在实际环境中通常不可取。我们的最终目标是将该方法推广到（时变）Lévy过程下具有路径依赖特征的期权定价或具有和不具有奇异性的随机波动性。

这方面的研究已经在进行中，并将在即将出版的手稿中介绍。附录A：复傅立叶级数到切比雪夫级数的闭式变换为了将复傅立叶级数（CFS）转换为切比雪夫级数，我们应用Townsend（2014，Lemma A.3）的结果，即-1exp（ixyπ）Tq（x）√1.-xdx=πiqJq（yπ）。（78）这里，带参数q的第一类贝塞尔函数和Tq（x）是阶q的切比雪夫多项式。我们首先注意到，由于g（PDF）是实函数，g的CFS表示形式为g（x）≈ gN（x）=Re“NXk=1х-2πd-ck公司ei2πd-ckx+Д（0）#。（79）可在NXk中互换=-N^1-2πd-ck公司ei2πd-ckx#。（80）作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）27使用（78）和（80），我们可以在相同的区间[c，d]上定义切比雪夫级数，从而得到“NXk=-N^1-2πd-ck公司ei2πd-ckx#=NXn=0αchebnTnoψ[c，d]（x），其中，αcheb=ReNXk公司=-Nk6=0Γ√πφ-2πd-ck公司ei（d+c）d-ckJ公司(-kπ）+Д（0）, n=0，αchebn=ReNXk公司=-Nk6=0х-2πd-ck公司ei（d+c）d-ckinJn公司(-kπ）, n>0。（81）附录B：在概率密度函数中定位奇点许多感兴趣的PDF不是smo oth而是分段平滑的。例如，请参见图2。如果事先不知道所有奇点的位置，我们可以使用Fourier-Padé思想（参见Driscoll和Fornberg 2011年，Chan2018年）来估计奇点的位置，以便能够在几乎所有的时间间隔内进行良好的重建[c，d]。本文提出的Fourier–Padé算法实现起来非常简单。

如果我们考虑一个具有幂级数表示的函数，例如g（x）=∞Xk=0bkxk，以及由RN定义的一个函数，M=PN/QM，其中PN和QM分别是PN（x）=NXn=0pnxn和QM（x）=MXm=0qmxm，（82）的多项式，那么我们说，RN，M=PN/QM是满足条件NXn=0pnxn的形式级数（N，M）的（线性）Padé近似值！-MXm=0qmxm！M+NXk=0bkxk！=O（xN+M+1）。（83）这里，g用pm+Nk=0bkxk来近似，为了获得近似值R（N，M），我们只需通过求解线性方程组来计算多项式pn和qm的系数。为了获得{qm}Mm=0，我们首先将q=1标准化，以确保系统得到很好的确定，并在（83）中具有唯一的解决方案。然后，我们考虑xN+1的系数，xM+N，我们可以得到一个Toeplitz*线性系统：10亿+10亿-1···bN+1-百万+20亿+10亿。。。bN+2-M亿+百万···亿+20亿+10亿qq。。。qM公司= 0。（84）Toeplitz矩阵或对角常数矩阵是可逆矩阵，其中从左到右的每个降序对角线都是常数。作者：达隆（Ron）Chan28文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）-1-0.5 0 0.5 1X VG模型的密度-1-0.5 0.5 1X1VG模型密度的第一次微分×10图2 VG模型的密度函数（左）及其带参数的第一次导数（右）取自VG1。一旦知道{qm}Mm=0，{pn}Nn=0通过（83）中的N阶和更小阶项找到。该yieldsp=Bq，其中bij=bi-j、 例如，如果N=M，则得到pp。。。pN编号=bbb。。。。。。。。。bN···bbqq。。。qM公司. （85）现在，假设g是PDF，为了在g中找到奇点并在Fourier–Padé系列中表示g，我们用CFS表示法对g进行了排序：Re“∞Xk=1х-2πd-ck公司ei2πd-ckx+Д（0）#。（86）然后，我们可以将（86）与x进行微分，得到“∞Xk=1i2πd-ck公司φ-2πd-ck公司ei2πd-ckx#。

（87）最后，我们让z=expi2πd-cx公司在上面的两个方程中，它们已经准备好进行傅里叶-帕德近似。一般来说，当PDF具有奇点时，经过微分后，尖锐的奇点将具有非常大的值。换言之，图2是傅里叶-帕德近似后的PDF（左）和VG模型的一阶导数（右）展望的图示。在图中，我们可以看到，带有跳跃的非平滑PDF可以在第一个导数后的奇异点产生10×10的值。请参阅Chebfun中的pad eapprox。附录C：MATLAB代码%使用CONLEG方法计算G BM欧洲期权价格和希腊期权价格。%Tat Lung（Ron）Chan&Nick Hale，2019年1月k=100；%罢工价格窗口=[80120]；%当前股价窗口x=log（linspace（窗口（1）、窗口（2）、5）/K）；%例如，股票价格Sr=0.035；t=0.5；q=0；西格玛=0.2；%输入参数：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）29调用=true；%（call=false==>put）mu=（r-q-0.5*sigma^2）*t；L=10；c1=亩；c2=si gma^2*t；c 4=0；%累积量（见第5节）d=abs（c1+L*sqrt（c2+sqrt（c4））；%x-变量域（见第5节）c=-d；dom=[c，0，d]；%函数的回报：if（call）Payoff=@（x）K*max（exp（x）-1，0）；%调用payoffelsepayoff=@（x）K*max（1-exp（x），0）；%Put PAYFENDPAYFF=c hebfun（支付，dom）；%Chebfun表示：%Guassian密度函数：mypdf=@（u）1/sqrt（2*pi*sigma^2*t）*exp（-0.5*u-mu）^2/（sigma^2*t））；mypdf=chebfun（mypdf，dom）；%Chebfun表示：%Continuous stock pr ice：stock=Chebfun（@（x）K*exp（x），dom）；%计算欧洲操作价格vi a conv解决方案：价格=经验（-r*t）*conv（回报，我的pdf，“相同”）；价格=简化（价格）；%计算希腊语：dP=差异（价格）；%1s t导数delta=dP/股票dP2T=差异（价格，2）；%二阶导数gamma=（dP2T dP）/（库存^2）；%显示数字：子地块（1,3,1），绘图（股票，收益，股票，价格，\'线宽\'，2）；标题（‘价格’）图例（‘Payoff’、‘Price’、‘Location’、‘NW’）、x标签（‘S’）、轴（[窗口，0，价格（x（end））]）子地块（1,3,2）、绘图（存量，增量，‘线宽’，2）；标题（“Delta”）；xlabel（\'S\'）、xlim（窗口）子图（1,3,3）、绘图（stock，gamma，\'LineWidth\'，2）；标题（“Gamma”）xlabel（“S”），xlim（窗口），shg%显示表：结果=[K+0*x；库存（x）；价格（x）；delta（x）；Gamma（x）]；disp（表（结果，\'行名\'，{\'strike\'，\'股票\'，\'p rice\'，delta\'，gamma\'））C.1。输出结果\\uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu1637 6.4983 13.5068 22.2810delta 0.0833 0.2910 0.5771 0.8074 0.9311gamma 0.0135 0.0269 0.0277 0.0176 0.0078参考Sandricopoulos AD、Widdicks M、Duck PW、Newton DP（2003）使用求积法的通用期权估值。J、 财务部。经济。

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