欧洲类型、早期行使和离散壁垒的套期保值和定价

2022-6-11 04:35:30

提交管理科学手稿（请提供手稿编号！）使用Legendre SeriesTat Lung（Ron）ChanSchool of Business，University of East London，Water Lane，Stratford，UK，E15 4LZ，t.l.的卷积算法对冲和定价欧洲型、早期行使和离散障碍期权。chan@uel.ac.ukNicholas南非斯泰伦博世斯泰伦博世大学数学科学系，nickhale@sun.ac.zaThis本文将紧支撑Legendre级数的卷积算法（CONLegmethod）（参见Hale和Townsend 2014a）应用于Lévy过程下的欧式期权、提前行权和离散监控b载波期权的定价/对冲。本文采用了Chebfun（参见Trefethen et al.2014）不完全金融，并通过在金融建模中应用切比雪夫级数提供了一种无需求积的方法。使用CONLeg方法的一个显著优势是制定期权定价和期权曲线，而不是单独的价格/价值。此外，当无风险平滑概率密度函数（PDF）为光滑/非光滑时，CONLeg方法可以在期权定价和套期保值中产生高精度。最后，我们证明了我们的方法能够准确地定价/对冲资金中/外、期限很长/很短的期权。与现有方法相比，CONLeg方法在数值实验中的表现更为优越或相似。关键词：卷积、勒让德系列、欧式期权、早期行使期权、离散监控载体期权、利维过程历史：本文于2018年11月12日首次提交。1。简介在期权定价/对冲和模型校准中应用稳健的数值技术，为金融市场提供了有趣的研究问题。

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2022-6-11 04:35:34

这些技术不仅必须高度准确，而且必须高效。此外，我们考虑了由随机股票价格过程（St）驱动的著名欧洲香草期权定价公式≥0:V（x，K，t）=e-r（T-t） E（U（ST，K）| ST=ex）=E-r（T-t） Z+∞-∞U（ex+χ，K）g（χ）dχ，（1）其中V表示初始日期t的期权价值，执行价格为K，U表示t到期时的apayo ff函数，E是风险中性度量下的期望算子，作者：Tat Lung（Ron）Chan2提交给Management Science的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）x和χ分别是对数价格和状态变量，St可以分解为St=exandeχ，g是过程的概率密度函数，最后r是风险中性利率。在上述公式中，V可以被视为卷积积分，更精确地说是交叉相关积分，以及快速傅立叶变换方法（FFT方法），一种基于数值积分的方法（例如，Carr和Madan 1999，Lewis 2001，Lipton 2002，Chourdakis 2004，Jackson et al.2008，Lord et al.2008），是一种流行的定价方法，适用于欧式普通期权以及更具异国情调的期权，如莱维过程中的美式期权。这是因为基本动力学的特征函数可以通过FFT方法轻松转换为无风险概率密度函数（PDF）。这些论文的开创性工作导致了FFT与其他变换方法（如希尔伯特变换或高斯变换）的结合，在（时变）Lévy过程或随机波动率模型下对奇异期权进行定价（如Broadie和Yamamoto 2003、2005、Feng和Linetsky 2008、Cai和Kou2011、Wong和Guan 2011、Zeng和Kwok 2014）。

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2022-6-11 04:35:37

在相同的基于数值积分的框架内，数值求积方法，如高斯求积，主要由Andricopoulos et al.（2003）、O\'Sullivan（2005）、Andricopoulos et al.（2007）、Chen et al.（2014）和Su et al.（2017）提出。这些论文的作者将他们的求积技术缩写为四元法。Andricopoulos等人（2003、2007）引入了最初的四元法，并要求以闭合形式知道过渡密度，例如BlackScholes模型和Merton跳跃扩散模型。Chen等人（2014年）放宽了这一要求，提出了QUAD-FFT或QUAD-CONV方法。其主要思想是，通过FFT方法反演特征函数，可以恢复PDF。这有助于将Quad方法推广到更广泛的模型中。该方法的最新发展（Su et al.2017）是提高计算速度、预计算和缓存PDF，然后将extrapolation和平滑技术应用于该方法。在QUADmethod的一般框架下，只有Delta（一种希腊选项）通过一阶有限差分法（FD）制定（Andricopoulos et al.2003）。然而，一阶F D的准确性在上下文中是有争议的。此外，其他种类的希腊语，如伽马或θ，在这篇文献中并没有提及或发展。除了四元方法外，近年来，Pachón（2018）还引入了CHEB方法，即基于切比雪夫多项式被积函数展开的Clenshaw-Curtis求积，用于具有任意支付的近似欧式期权。该方法是Chebfun的自然应用之一（Trefethen et al。

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2022-6-11 04:35:40

2014），一款开放源码软件sy STEM，用于数值计算，功能齐全。除了FFT方法和QUAD方法之外，Oosterlee及其合作者也吸引了大量的关注（Leentvaar和Oosterlee 2008，Fang和Oosterlee 2009a，b，2011，Zhang和Oosterlee 2013，Ruijter et al.2015）。在他们的工作中，他们采用了傅立叶余弦序列作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）3（COS）对具有不同意外索赔且具有路径依赖性和/或早期行使特征的期权或衍生品进行定价。这些方法的实现相对简单但优雅，只要特征函数存在，就能够对不同随机过程下的期权进行定价。这些方法的主要成就是，在许多情况下（如欧式期权），它们可以在优先选择时保持指数收敛速度。此外，这些方法还能够在有限变量过程下准确地为期权定价。COS方法需要一个足够的先验计算域，并且，由于时间的限制，域传播不充分导致的错误，导致COS方法中的期权价格不正确。此外，基于COS方法的框架，Oosterlee和他的合作者进一步应用称为香农小波逆傅立叶技术（SWIFT）的小波方法对指数Lévy动态下的欧式、价差、路径相关和离散障碍期权进行定价（例如，Ortiz Gracia和Oosterlee，2013年，2016年，Colldeforns-Papiol等人，2017年）。SWIFT方法用于规避使用COS方法对早期锻炼选项定价的不利影响。

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2022-6-11 04:35:43

然而，与COS方法相比，SWIFT方法仍然缺乏指数收敛的理论证明，因为用于调整方法精度的小波尺度m仍然是启发式选择的，以实现指数收敛。此外，有关SWIFT方法的文献未考虑气体的计算。在本手稿中，我们提出了CONLeg方法，该方法使用Cheby shev和Legendre seriesto近似卷积，以提高使用上述方法的效率。首先，如Fang和Oosterlee（2009a，b）和Chan（2018）所述，FFT驱动的方法，如CONV方法（Lord et al.2008），对于定价期权价格或近似PDF而言，计算成本很高，因为需要相对大量的傅立叶项才能获得足够的精度（见第6节表5）。其次，当期权/套期保值定价公式被视为卷积积分时，我们质疑任何一种求积方法是否是近似期权价格/套期保值值的有效方法。H ale和Townsend（第2节和第62014b节）建议，由于卷积积分显示为梯形（参见图2），因此需要更多的正交权重和横坐标来近似梯形左右顶点的面积。第三，我们想提供一种可以处理任何随机过程的方法，无论是否有封闭形式的PDF。例如，COS和SWIFT方法只有在过程具有特征函数时才能很好地工作，并且在不应用FFT的情况下，QUAD方法仅适用于封闭形式的PDF。第四，与CONV、COS、QUAD和swift方法相比，CONLeg方法提供了一条期权定价/对冲曲线，而不是一个单独的点值。

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2022-6-11 04:35:47

第五，与COS方法不同，当我们将CONLeg方法应用于早期行使期权的定价时，我们可以在CONLeg方法中要求一个适当的计算域先验。因此，本文作者：Tat Lung（Ron）Chan4提交给管理科学的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）当我们在时间上递归向后计算期权价格时，该方法不会产生错误的期权价格，因为我们允许一个有效的计算域进行计算。第六，通过一小时的数值实验，我们表明，当无风险平滑概率密度函数（PDF）为非光滑函数时，CONLeg方法在期权定价和套期保值方面可以达到较高的精度，并且可以成为长短期期权定价/套期保值的有效方法。第七，为了适应切布冯框架，我们在没有闭式PDF时，将平滑PDF的复傅立叶表达式的闭式转换为切比雪夫级数（参见附录a）。以类似的方式，我们还提供了一种近似非光滑PDF的解决方案，即Fourier–Padé方法（参见附录B）。第八，通过本文，我们渴望促进Chebfun（Trefethen et al.2014）在财务建模方面的便利性。Chebfun是一个健壮的开源MATLAB包，用于计算精度高达15位的函数。它包含切比雪夫和其他正交多项式的几种最新算法。最后，currentCONLeg方法不同于以往文献中提出的切比雪夫级数和插值期权定价/对冲（参见Gasset al.2018，Pachón 2018）。如前一点所述，与CHEB方法（Pachón 2018）相比，CONLeg方法是无二次方且不限于定价/对冲欧式期权。此外，与Gass等人不同。

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2022-6-11 04:35:50

（2018）将切比雪夫插值简化为计算参数期权价格（POP），我们的方法没有近似的期权定价曲线，对于某些固定参数配置，必须首先通过任何数值方法（如蒙特卡罗和FFT方法）预计算，然后再计算任意参数星座的其他期权价格。相反，对于一组固定参数，CONLeg方法直接生成近似卷积积分的期权定价/套期保值曲线，而无需应用其他数值方法首先计算积分。本文的其余部分结构如下。第2节描述了勒让德级数的卷积算法，以及如何利用与切比雪夫级数的关系和FFT有效地计算勒让德级数。第3节介绍了本文研究的财务随机模型。第4节描述了不同风格的欧洲期权以及百慕大、美国和离散监控障碍期权的CONLeg期权定价/GreekFormulate公式的制定。第5节描述了截断积分区间的选择。第6节讨论、分析并比较CONLeg方法与上述其他数值方法的数值结果。最后，我们总结并讨论了第7.2节中可能的未来发展。Legendre序列的卷积卷积是许多领域中出现的一种基本操作，尤其是在金融衍生品研究中（参见Carr and Madan 1999、Lewis 2001、Lipton 2002、Jackson et al.2008、Lord et al.作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给Management Science；手稿编号（请提供手稿编号！）52008），计量经济学（Bondarenko 2003，Liu et al.2016）和统计学（Hogg et al.2004）。

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2022-6-11 04:35:53

给定两个可积函数f和g，它们的卷积是第三个函数h，由积分h（x）=（f）正式定义*g）（x）=Z+∞-∞f（y）g（x-y） dy.（2）一般来说，如果f和g都是解析函数（光滑）和周期函数，则使用卷积定理和快速傅立叶变换（FFT）的FFT方法是逼近h的最佳选择，因为f和g的FFT近似不支持吉布斯现象。如果我们现在考虑f和g：[c，d]→ R为[c，d]外紧支撑的两个，则前述的演化h=f*g通过积分由h（x）=（f）给出*g）（x）=Zmax（c，x-d）最小值（d，x-c） f（y）g（x-y） dy，x∈[2c，2d]，（3）和h（x）=0表示x/∈ [2c，2d]。在不失去任何概括性的情况下，我们可以通过图2中的图表来可视化x的每个值，并且我们将h分为图中建议的两部分：h（x）=hL（x）=Rx-ccf（y）g（y-x） dy x公司∈[2c，c+d]，hR（x）=Rdx-df（y）g（y-x） dy x公司∈[c+d，2d]。（4）这里，我们一次性地将L和R分别表示为卷积的左侧和右侧。图1[c，d]上两个勒让德级数的卷积域。根据（3），f或g都可以是非周期连续函数，f和g的FFT近似值支持吉布斯现象，因此在端点c和d的八个边界处存在永久振荡超调。因此，为了避免吉布斯现象，我们采用Hale和Townsend（2014a）提出的算法来近似h。该算法的关键思想是用有限的Legendre级数近似f和g，然后卷积近似值。由于卷积是一种交换运算，我们认为只有f和g在相同的区间内。作者：达隆（Ron）Chan6文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）使用卷积定理f对其进行。

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2022-6-11 04:35:56

结果是一个分段多项式表示，可以在h域中的任意x处进行计算，以得到h（x）的近似值。如果用来近似f和g的多项式的阶数最多为N，则他们的算法会在O（N）运算中产生近似于h的结果。我们总结了以下方法。为了说明Hale和Townsends的两个Legendre级数卷积算法，我们首先在[-然后推广到区间[c，d]。Adrien Marie Legendre发明的Legendre多项式是Legendre微分方程Ddx的多项式解Pn（x）1.-x个dPn（x）dx+ n（n+1），x∈[-1，1]，（5），其中P（x）=0，P（x）=0和整数参数n≥ 0 . Pn（x）形成n次正交多项式的多项式序列，可以通过罗德里格斯公式表示：Pn（x）=nn！dndxnx个-1.n、（6）支持我们在[-M和N的1，1]，系数为α，α和β。βN，那么我们可以写fm和gNasfM（x）=MXm=0αmPm（x），gN（x）=NXn=0βnPN（x）。（7） [c，d]等于[-（3）中的卷积变为（x）=（fM*gN）（x）=Zmin（1，x+1）最大值(-1，x-1） fM（y）gN（x-y） dy，x∈[-2, 2]. （8）从（4）开始，h由两部分组成，h在左侧，带有[-2，0]，右侧为hRon，带[0，2]，每度N+M+1。我们通过计算hLand-Hr的Legendre系数来构建hLand-Hr。由于hRis的计算方法相似，因此我们将重点放在HL的计算上。用{γLk}M+N+1k表示hL的勒让德系数的向量，使得hL（x）=Zx+1-1fM（y）gN（x-y） dy=M+N+1Xk=0γLkPk（x+1），x∈[-2, 0]. （9）通过勒让德多项式的正交性和正交化常数（k+1/2）-1/2对于k=0时的Pk（x），M+N+1，对于k=0，…，我们有Pk（x）。。。，M+N+1，γLk=2k+1Z-2件（x+1）Z-2Pk（x+1）Zx+1-1fM（y）gN（x）-y） dydx（10）=NXn=0βn“2k+1MXm=0αmZ-2Pk（x+1）Zx+1-下午1点（y）Pn（x-y） dydx#|{z}=黑色，n。

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2022-6-11 04:35:58

（11）作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）7Hale和Townsend（2014a）证明上述关系可以用矩阵形式表示为γ=BLβ。重要的是（Hale和Townsend 2014a，定理4.1），BLk存在三项复发关系，n=-2n+12k+3BLk，n+1+2n+12k-1BLk，n+1+BLk，n-1，n，k≥ 1，（12）黑色，1=（黑色-1,0/（2k）-1) -黑色，0-BLk+1,0/（2k+3），k 6=0，-BL1,0/3，k=0，（13）BLk，0=（αk-12千-1.-αk+12k+3，k 6=0，α-α/3 k=0，（14），其中0≤ k≤ M+N+1和0≤ n≤ N、 BL：、0和BL：、1都可以在O（M+N）运算中计算，整个（M+N）×N矩阵BL可以在O（（M+N）N）运算中计算。矩阵向量积BLβ可以用相同的成本计算，相应地，系数γLofhLin O（（M+N）N）运算。HRF的系数γ可由BRβ计算得出，由于HRI的计算相似，因此可得出几乎相同的递推关系。现在，我们将注意力集中在同一区间[c，d]上定义的两个有限勒让德级数的卷积上。我们可以确定Pk的组成oψ[c，d]，其中ψ[c，d]（x）=（2x- （d+c））/（d-c）是从[c，d]到[-1, 1]. 除此之外，fm和gNon[c，d]的Legendre级数分别由fm（x）=MXm=0αmPm表示oψ[c，d]（x），gN（x）=NXn=0αnPnoψ[c，d]（x）（15）（Hale和Townsend 2014a，引理4.2）。（f）的卷积*g） [c，d]中定义的两个连续函数f和g的（x）可计算为（f*g）（x）=Zmax（c，x-d）最小值（d，x-c） f（y）g（x-y） dy=d-c（f）oψ-1[c，d]）*（g）oψ-1[c，d]）（y），（16）其中x∈[2c，2d]和y=2ψ[2c，2d]（x）∈[-2, 2].上述方法不限于相同间隔上的f和g。相比之下，该算法允许f和g分别是在[a，b]和[c，d]之外具有零支持度的有限次多项式。

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nandehutu2022

2022-6-11 04:36:01

在这种情况下（3）变为（x）=（f*g）（x）=Zmax（a，x-d）最小值（b，x-c） f（y）g（x-y） dy，x∈[a+c，b+d]。（17）根据【a，b】和【c，d】的长度差异，这是三种不同的想法，可在【a+c，b+d】的子区间上计算（17）。关于这些子区间上计算h的全部细节，我们请感兴趣的读者参考Hale和Townsend（2014a，第5节）。在相同/一般区间上支持的Legendre级数卷积算法完全实现为convin-Chebfun。conv中的算法实际上通过使用cheb2leg中实现的快速切比雪夫列根变换（Townsend et al.2018）计算两个切比雪夫级数之间的卷积。作者：达隆（Ron）Chan8文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）3.Lévy过程在本节中，我们简要介绍一维Lévy过程的重要性质。随机过程的标准参考文献可在Schoutens（2003）和Cont及Tankov（2004）中找到。由于市场无摩擦且无套利，我们假设市场选择了等价鞅测度（EMM）Q。此外，还有一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 {F}t≥0，Q），假设所有进程都在其上运行。3.1. Lévy processes with r≥0和q≥0分别作为不变的无风险利率和不变的股息收益率，我们描述了一个股票过程（St）t≥0由指数Lévy过程（Xt）t驱动≥0使得ST=SeXt，其中X=0，X具有完全可分的边际分布。给定一个随机变量Xt，我们可以将其定义为相应的特征函数，如下所示：Д（u）=E[eiuXt]=etφ（u），u∈ R

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2022-6-11 04:36:04

（18）如果我们定义截断函数h（χ）=χ1 |χ|≤1这是一个可测量的函数∈ R、 R | 1- eiuχ+iuh（χ）|ν（dχ）<∞, Xt的特征函数可以用theLévy–Khinchine表示来描述，使得φ（u）=iu（r-q+ω）t-σu+Z+∞-∞eiuχ-1.-iuh（χ）ν（dχ），χ∈XT公司-t、（19）这里，σ≥0和ν是Lévy度量值[-∞, ∞] 这不取决于h的选择（但请注意r-q+ω取决于它的选择）。条件是（Ste-（r）-q） t）t≥只要适当选择平均校正补偿器ω，则可以保证0是鞅，计算公式如下：ω=tlogД(-（一）-（r）-q）。（20）财务建模中有大量的利维过程示例。本文主要研究几何布朗运动（GBM）、方差伽马（VG）、正态逆高斯（NIG）和卡尔-杰曼-马丹-约尔过程（CGMY）。其特征函数Д（u）可定义如下：ДGBM（u）：=expt型iu（r-q+ω）-σu, （21）ДNIG（u）：=膨胀t型iu（r-q+ω）-σu+δpα-β-pα-（β+iu）, （22）作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）9хVG（u）：=膨胀iu（r-q+ω）t1.-iθνu+σνu！tИ，（23）ДCGMY（u）：=表达式（r-q+ω）+CΓ(-Y）GY1+izGY-1.-izYG！+CΓ(-Y）我的1.-izM公司Y-1+izYM！！！。（24）备注1。大多数Lévy过程没有风险自然概率密度函数（PDF）g的封闭形式表示；然而，一些过程，例如GBM、NIG和VG，有一个封闭格式的PDF，由：g（x）给出=√2πtσe-（十）-（r）-q+ωGBM））σt，（25）g（x）=αδtKαpδt+（x-（r）-q+ωNIG）t）πpδt+（x-（r）-q+ωNIG）t）eδt√α-β+β（x-（r）-q+ωNIG）t），（26）g（x）=2eθZ（x）/σνtν√2πσΓ（t/ν）Z（x）2σ/ν+θ。）t2ν-×Ktν-σsZ（x）2σν+ θ!（27）分别。

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2022-6-11 04:36:07

这里，ωGBM=-1/2σ，ωNIG=δpα-(β + 1)-√α-β, K（·）是第二类修正贝塞尔函数，Γ（·）是伽马函数，Z（x）=x-（r）-q+ωV G）t和ωV G=-1/v对数1.-θν -σν.4、Legendre级数的卷积定价和套期保值期权在本节中，我们应用Legendre级数的卷积算法来制定期权定价/套期保值公式。4.1. 欧式期权的定价公式给定当前对数价格x：=对数S、履约价格K和到期日T≥ t、而s-tochastic过程的概率密度函数（PDF）g，我们可以表示期权价格V（x，K，t），从时间t开始，其未定权益支付U（ST，K），如下所示：V（x，K，t）=e-r（T-t） E（U（ST，K）| ST=ex）=E-r（T-t） E（U（SteXT-Xt，K））=e-r（T-t） Z+∞-∞U（ex+χ-对数K，K）g（χ）dχ，χ∈XT公司-Xt=Xt-t、（28）替换x+χ-用y记录K，我们得到v（x，K，t）=e-r（T-t） Z+∞-∞U（ey，K）g（y-x+对数K）dy=e-r（T-t） KZ公司+∞-∞f（y）gR（￠x-y） dy，（29）作者：Tat Lung（Ron）Chan10提交给《管理科学》的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）式中▄x=x-log K，Kf（y）：=U（ey，K）是对数价格坐标中的支付函数，gR（~x）：=g(-x）是反映的PDF函数。如果f（y）是一个分段连续函数，这是大多数选项的标准值，例如vanilla put and Call，则对卷积函数应用FFT方法，（f*gR）（￠x）：=R+∞-∞f（y）gR（￠x-y） dy，英寸[-∞, ∞] 将导致吉布斯现象，并因此影响近似V的精度。为了避免吉布斯现象并允许V的良好近似，我们将[-∞, ∞] 使用区间[c，d]并使用CONLeg方法。[c，d]的选择满足ZDCG（χ）eiuχdχ的条件≈Z+∞-∞g（χ）eiuχdχ=E[eiu（XT-Xt）]：=Д（u），（30），其中Д（u）是Xt的特征函数-Xt。

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2022-6-11 04:36:10

然后，我们可以在[c，d]上近似得出定价公式V，即V（x，K，t）≈e-r（T-t） KZdcf（y）gR（▄x-y） dy.=e-r（T-t） KZmax（c，x-d）最小值（d，~x-c） f（y）gR（￠x-y） dy，~x∈[2c，2d]=e-r（T-t） Kh（￠x）。（31）式中，h（￠x）在[2c，2d]外有紧密支撑。（31）的最终形式可通过CONLeg方法进行近似。g的大多数闭式表达式在随机过程中都不存在。如果没有，我们采用Chan（2016，2018）中提出的想法，用复傅立叶级数（CFS）表示来表示g，这样g可以近似为：gN（y）：=Re“NXk=1bkei2πd-cky+b#，，（32），其中i是复数，Re是复数的实部，给定条件（30），bk=Zdcg（y）e-i2πd-ckydy公司≈φ-2πd-ck公司b=Zdcg（y）dy≈ φ(0) = 1. （33）对于gR的表达式，我们只需在基函数ei2πd中加一个负号-cky，即gR（y）≈gRN（y）：=Re“NXk=1bke-i2πd-cky+b#。（34）表达+∞R-∞U（ey，K）g（y- （28）中的x+log K）dy确实是一个互相关积分；然而，由于Weintroduced提出了反射函数gR（x）的概念：=g(-~x），我们可以将（28）转化为卷积积分。作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）11如果gRis在[c，d]上是光滑的，我们可以使用Chebfun（参见Trefethen等人2014）直接用切比雪夫级数近似CFS表示，或者使用附录a中所示的技术将其转换为切比雪夫级数。如果gRis是一个包含奇异性的分段连续函数，然后，我们使用傅里叶-帕德思想在大形式精确近似下定位奇点。详情见附录B。了解奇点x。~xK+1在[c，d]中，我们将f和grin划分为一组分段连续函数，然后使用chebfun（cf。

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2022-6-11 04:36:13

Trefethen等人，2014年，第1.4章）。因此，我们有一组K多项式fM和gN，每个多项式的阶数分别为mostM和N，在子区间【~xk，~xk+1】，即fM=KXk=1fk，M[~xk，~xk+1]，gRN=KXk=1gRk，N[~xk，~xk+1]。（35）这里，1[~xk，~xk+1]作为区间[~xk，~xk+1]和fk中的指示器函数，M（~x）=MXm=0αchebk，mTmoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x），gRk，N（x）=NXn=0βchebk，nTnoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）。（36）然后，使用cheb2leg中实施的技术（参见Townsend et al.2018），我们将FN和gRMinto Legendre系列转换为FK定义的，M（~x）=MXm=0αlegk，mPmoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x），gRk，N（￠x）=NXn=0βlegk，nPnoψ[￠xk，￠xk+1]。（37）我们使用第2节中描述的Legendre级数d的卷积算法来近似它们的卷积h（￠x）=（fM*gN）（￠x）在子间隔上[￠xk，￠xk+1]。最后，使用leg2cheb，V将h（~x）转换回切比雪夫级数，可以通过-r（T-t） Kh（￠x）=e-r（T-t） K（fM*gN）（x）（38）=e-r（T-t） KMkXk=1VNk[~xk，~xk+1]（39），其中，VNk=NkXk=1γkTkoψ[￠xk，xk+1]（￠x）（40）使用（38），我们可以生成一组K值和St范围的期权价格。然而，在金融市场中，期权价格报价总是以K值的范围出现。对于其中一个奇点，指的是一个未定义的点，或者是一个在差异化之后表现不佳的观点作者：Tat Lung（Ron）Chan12提交给《管理科学》的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）在这种金融现象中，我们使用K=Se这一事实来修改（38）-x=ex-~xso我们得到了新的定价公式v（x，K，t）=e-r（T-t） +x个-xh（▄x）。（41）备注2。在Chebfun中，有一个内置算法可以自动检测apiecewise连续函数中的奇点（参见Pachón等人，2010）。然而，由于PDF可以很容易地表示为复数傅立叶级数，然后扩展到傅立叶-帕代斯级数（参见。

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2022-6-11 04:36:16

Chan 2016、2018），weinstead us e Fourier–Padéideas定位奇点或近似PDF。4.1.1. 欧洲普通看涨期权作为例证，我们现在考虑为欧洲普通看涨期权定价，该看涨期权只能在到期时行使，在（28）中定义，支付函数为u（ST，K）=max（ST-K）。（42）我们首先将Payoff转换为Maxex+χ-K、 0个= K最大值ex+χ-日志K-1, 0. （43）替换x+χ-用y记录K，我们有一种新形式的V（x，K，t），表示为asV（x，K，t）=e-r（T-t） KZ公司∞-∞最大值（ey-1，0）克（y-x+对数K）dy=e-r（T-t） KZ公司∞-∞最大值（ey-1，0）gR（￠x-y） dy，（44），其中▄x=x-对数K和gR（￠x）：=g(-x）是一个反射函数。为了使CONLeg更有效，我们定义了一个满足条件（30）的截断计算区间[c，d]（参见第5节），以代替[-∞, ∞]. 然后，V（x，K，t）被重新表示为V（x，K，t）≈e-r（T-t） KZdcmax（ey-1，0）gR（￠x-y） dy=e-r（T-t） KZmax（c，x-d）最小值（d，x-c） f（y）gR（￠x-y） dy，~x∈[2c，2d]=e-r（T-t） Kh（￠x），（45），其中f（y）：=最大值（ey- 1, 0). 为了很容易理解CONLeg方法是如何逼近h（~x）的，我们假设GRI是一个分段光滑函数，只包含一个跳跃y=0，出现在[c，d]上的f，即Payoff函数中。我们可以用chebfun来近似f和gRon[c，0，d]和[c，d]，应该注意，当y≤ 0，最大值（ey- 1, 0) = 0.作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）13表1各种财务或有索赔的支付函数及其转换。1表示指示函数，n<∞ 是任何正整数。

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mingdashike22

2022-6-11 04:36:19

当y=x+χ时，变换后的payoff函数中的y=0处总是存在奇点- log K.财务应急索赔支付函数转换后的支付函数U（ST，K）U（ex+χ-日志K，K）调用最大值（ST-K、 0）K最大值（ex+χ-日志K-1，0）放置最大值（K-ST，0）K最大值（1-ex+χ-记录K，0）覆盖呼叫min（ST，K）K min（ex+χ-日志K-1，0）+KCash或Nothing第一次呼叫≥Kex+χ-日志K≥1现金或无现金放在第一位≤Kex+χ-日志K≤1设置或不设置调用STST≥Kex+χex+χ-日志K≥1资产或无资产投入测试≤Kex+χex+χ-日志K≤1Asymmetric调用（SnT-Kn）1档≥KKn（en（x+χ-日志K）-1） 1ex+χ-日志K≥1Asymmetric Put（Kn-SnT）第1个≤KKn（1-en（x+χ-对数K）1ex+χ-日志K≤1分别。使用第4.1节中描述的技术，欧洲看涨期权定价公式如下：V（x，K，t）≈e-r（T-t） K（fM*gN）（￠x）=e-r（T-t） KXk=1VNk[xk，xk+1]x∈[2c，2d]，（46）式中，VNk=NkPk=1γkTkoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x），和￠x=2c，￠x=c，￠x=0，￠x=d，￠x=2d。此外，如果我们只关注[c，d]，我们就有v（x，K，t）=e-r（T-t） K级VN[c，0]+VN[0，d]x∈【c，d】，（47）式中，x=c，~x=0，~x=d。示例见第6.1节。CONLeg方法不限于欧洲普通看涨期权的定价（45）；它可以扩展为看跌期权或其他具有不同支付结构的期权，例如现金或其他期权。在表4.1.1中，我们列出了本文中考虑的所有财务或有索赔及其支付函数和转换后的支付函数。作者：Tat Lung（Ron）Chan14提交给《管理科学》的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）4.2. 百慕大期权的定价公式现在考虑log St：=XT，由Levy过程和具有行使权K和到期日T的百慕大期权驱动，该期权只能在给定的行使日期T=T<T行使≤t型≤. . . tl公司≤tl+1≤. . . ≤tL=T。

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2022-6-11 04:36:21

我们可以为这种期权asV（xtl、K、tl）编写百慕大定价公式=U（extl，K，tl）l=l，tl=TmaxC（xtl，K，tl），U（extl，K，tl）l=1，2，3，L-1C（xtl，K，tl）l=0，（48），其中，U（extl，K，tl）是tl处的payoff函数。也就是说，如果payoff函数是调用，则U（extl，K，tl）转换为max（extl-K、 0）。在（48）中，每个Tjc处的C（xtl，K，tl）可以定义为asC（xtj，K，tj）=e-r（tj+1-tj）EV（xtj+1，K，tj+1）| xtj. （49）为了将CONLeg方法应用于近似C（xtl，K，tl），我们首先理解STL=e-r（tl+1-tl）EStl+1 | Stl=extl= e-r（tl+1-tl）Eextl+Xtl+1-Xtl公司= extl（50）是一个鞅过程。我们还表示▄xtlas xtl- 记录K并遵循第4.1节，将C（xtl，K，tl）近似为tl的欧式期权价格。然后我们可以将C（xtl，K，tl）转换为=e-r（tl+1-tl）EV（xtl+1，K，tl+1）| xtl= e-r（tl+1-tl）Z+∞-∞V（xtl+χ-对数K，tl+1）g（χ）dχ，χ∈Xtl+1-Xtl=e-r（tl+1-tl）KZmax（c，x-d）最小值（d，x-c） f（y）gR（▄xtl-y） dy=e-r（tl+1-tl）Kh（￠xtl）。（51）由于我们用CONLeg方法近似h（~xtl），并使用切比雪夫级数来表示百慕大期权价格C（xtl，K，tl），因此，我们可以用新形式的V（xtl，K，tl）进一步修改（48）=K▄f（▄xtl）l=l，tL=TK最大值e-r（tl+1-tl）h（▄xtl），▄f（▄xtl）l=1，2，3，L-1Ke-r（tl+1-tl）h（▄xtl）l=0，（52），其中K▄f（▄xtl）：=U（extl，K，tl）。由于无套利假设导致要求五/x是连续的，V（xtl，K，tl）=U（extl，K，tl）在早期运动曲线上，我们必须确定运动点x*t出现在V（xtl，K，tl）=U（extl，K，tl）中。一种方法是使用Fang和Oosterlee（2009b）中提出的Newtonmethod来查找xtl。然而，由于V和U用分段s光滑多项式（chebfun）表示，我们可以在ChebFunator中应用内置函数根：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给Management Science；手稿编号：。

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2022-6-11 04:36:24

（请提供手稿编号！）15有效地查找这些零。为此，我们首先将▄f（▄xtl）近似为切比雪夫级数，然后将根函数应用于▄x*t在以下等式中：e-r（tl+1-tl）h（▄xtl）-~f（~xtl）=0。一旦我们有了▄x*tland将其用作断点，我们近似为maxe-r（tl+1-tl）h（▄xtl），f（▄xtl）（53）具有两个不同的切比雪夫级数。考虑x*TLA是一个奇点，结合了其他奇点，~xtl，1。xtl，K+1∈ ~xtl，例如，在非光滑PDF和/或Payoff函数中的奇点，inV（xtl，K，tl），我们用一组切比雪夫级数近似V（xtl，K，tl），由KMKxk=0VNk[~xtl，K，~xtl，K+1]和VNk=NkXk=1γkTk给出oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）。（54）最后，总结上述方法，我们给出了算法1中计算百慕大期权价格的算法伪代码。第6.2节还提供了一个数值示例。结果：细化时百慕大期权价格V（xt、K、t）；将[t，t]离散为时间步t=t，t，tl，tL=T；tl=tl-1.而tl6=t使用CONLeg方法计算C（xtl，K，tl）；C（xtl，K，tl）=e-r（tl+1-tl）h（￠xtl）in（52）；发现▄x*特林e-r（tl+1-tl）h（▄xtl）-~f（~xtl）=0；计算最大值e-r（tl+1-tl）h（▄xtl），▄f（▄xtl）带有两个切比雪夫系列（54）；V（xtl，K，tl）=KMkPk=0VNk[￠xtl，K，￠xtl，K+1]；下一个tl；endreturn V（xt，K，t）等于e-r（t-t） Kh（￠xt），其中t=t；算法1：基于（48）计算时间t的百慕大期权价格V（xt，K，t）的算法。4.3. 美式期权定价公式基于我们的百慕大期权方法，有两种基本的美式期权评估方法。正如Fang和Oosterlee（2009b）所建议的那样，一种简单的方法是通过有许多锻炼机会的百慕大选项来近似美国选项。换句话说，增加作者：达隆（Ron）Chan16文章提交给管理科学；手稿编号：。

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2022-6-11 04:36:27

（请提供手稿编号！）锻炼机会的数量是一个非常大的值。另一种方法是对一系列百慕大期权进行useRichardson外推，其中L的数量不断增加（参见Geske和Johnson 1984，Chang et al.2007）。我们采用后一种方法（Fang和Oosterlee（2009b））来为美式期权定价。因此，实施4点Richardson外推方案（参见Fang和Oosterlee 2009b），我们得到了Vamer（L）给出的Americanoption价格=64V（2L+3）-56V（2L+2）+14V（2L+1）-V（2L）, （55）式中，VAmer（L）表示美式期权的近似值，V（·）是（52）中百慕大期权的定价公式。4.4. 离散监控障碍期权的定价公式障碍期权是一种早期行权期权，其收益取决于期权有效期内股票价格是否超过设定的障碍水平。当期权的存在在越过障碍水平后逐渐消失时，我们将其称为向上和向外、击出或向下和向外期权。就像欧洲的普通期权一样，这些期权都可以写成在到期日有预定履约价格的看跌期权或看涨期权。在本文中，我们只研究了两种基本的势垒期权。1、跌出障碍（DO）期权：跌出障碍期权是一种可以在到期日以预设履约价格行使的期权，只要驱动该期权的股价在期权有效期内不低于预设障碍水平。举例来说，如果s股票价格跌破这一关口，期权就“被取消”，立即没有价值。2.

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nandehutu2022

2022-6-11 04:36:30

向上走出障碍（UO）期权：与向下走出障碍期权类似，当股票价格在期权有效期内上涨超过障碍水平时，向上走出障碍期权将被取消。一旦期权被取消，期权就不能在到期日按预定的行权价格行使。离散监控屏障选项的结构与百慕大选项的结构相同。barrieroptions没有预先设定的行使日期和早期行使点（如百慕大期权），而是有预先设定的监控日期和障碍水平。在百慕大期权的情况下，当股票价格超过早期行使点时，会发生支付，期权立即到期。以同样的方式，当越过障碍级别时，障碍选项将立即取消。屏障级别的作用与百慕大选项中的练习点完全相同。然而，如果是没有回扣的障碍期权，当达到障碍水平时，不会发生支付；否则，当障碍期权被取消时，就会出现回扣。我们使用回扣DO期权来说明CONLeg方法，以近似离散监控的承运商期权价格。假设我们有一个由STB驱动的回扣DO选项，作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给Management Science；手稿编号（请提供手稿编号！）17返利Rb、罢工K和一系列监控日期L：t=t<…<tl<…<tL=T；期权公式可描述为V（xtl、K、tl）=U（extl、K、tl）1log B>xtl+Rblog B≤xtll=L，tL=TC（xtl，K，tL）1日志B>xtl+e-r（T-tl）Rblog B≤xtll=1，L-1C（xtl，K，tl）l=0，（56），其中1是一个指示函数，而U（extl，K，tl）又是一个调用或put payoff。我们遵循第4.2节中的（51）和（52）的思想来近似C（xtl，K，tl），这样e-r（tl+1-tl）EV（xtl+1，K，tl+1）| xtl= e-r（tl+1-tl）Kh（￠xtl）。

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2022-6-11 04:36:33

（57）应用CONLeg方法后，（56）可以转换为V（xtl，K，tl）=Kf（▄xtl）1log（B/K）>▄xtl+RbKlog（B/K）≤xtl公司l=l，tL=TKe-r（tl+1-tl）h（▄xtl）1log（BK）>▄xtl+e-r（T-tl）RbKlog（黑色）≤xtl公司l=1，L-1Ke-r（tl+1-tl）h（▄xtl）l=0。（58）在（58）中，由于在log（B/K）处存在跳跃，因此在tl处，我们使用log（B/K）作为断点和近似值-r（tl+1-tl）h（▄xtl）1log（BK）>▄xtl+e-r（T-tl）RbKlog（黑色）≤xtl（59）带有两个切比雪夫系列。此外，结合其他奇点xtl，1。xtl，K+1∈ ~xtlinV（xtl，K，tl），我们可以用（54）中给出的一组切比雪夫级数来表示V（xtl，K，tl）。最后，我们的算法计算离散监控DO障碍期权价格的伪代码可以在算法2中找到。对于UO障碍期权，我们可以使用（58）和算法2计算其价格，但我们考虑当股票价格上涨到B以上时，即V（xtl，K，tl）时期权被取消的条件=U（extl，K，tl）1log B<xtl+Rblog B≥xtll=L，tL=TC（xtl，K，tL）1日志B<xtl+e-r（T-tl）Rblog B≥xtll=1，L-1C（xtl，K，tl）l=0。(60)4.5. 对冲公式和截断区间的选择我们现在将注意力转向推导期权G reek值。特别是，我们着重于推导三个选项的希腊值Delta(), Gamma（Γ）和Vega。Delta定义为期权价值相对于标的资产价格变化的变化率；Gamma是Delta相对于基础价格变化的变化率；最后，Vega是对期权对基础资产价格波动性变化的敏感性的衡量。一般来说，波动性衡量价格上下波动的数量和速度，通常基于交易工具最近历史价格的变化。

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2022-6-11 04:36:36

其他希腊价值观，如Theta，canAuthor:Tat Lung（Ron）Chan18文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）结果：在Tinitialization时，离散监控障碍期权价格V（xt、K、t）；将[t，t]离散为时间步t=t，t，tl，tL=T；tl=tl-1.而tl6=t使用CONLeg方法计算C（xtl，K，tl）；C（xtl，K，tl）=e-r（tl+1-tl）h（￠xtl）in（58）；计算（e-r（tl+1-tl）如果日志（B/K）>xtle，则为h（▄xtl）-r（T-tl）Rb/K如果记录（B/K）≤ XTL，带有两个切比雪夫系列（54）；V（xtl，K，tl）=KMkPk=0VNk[￠xtl，K，￠xtl，K+1]；下一个tl；endreturn V（xt，K，t）等于e-r（t-t） Kh（￠xt），其中t=t；算法2：基于（56）计算离散监控障碍期权价格V（xt，K，t）的算法。以类似方式派生；然而，根据特征函数，派生表达式可能相当长。我们在这里省略了它们，因为许多术语都重复了。如上所述，Delta是期权价值V相对于基础工具价格S的一阶导数。因此，区分了欧洲期权（38）、百慕大期权（54）、美国期权（55）和障碍期权（54）中V相对于toS的卷积形式，我们有t型=V（x，K，t）S=e-r（T-t） K级h（￠x）xxx个x个S、 x=x-日志K.（61）自x个/ x=1和x个/S=经验值(-x），则，t暗示变为现实-r（T-t）-xK公司h（￠x）x=e-r（T-t）-xKMkXk=1VNk公司~x[~xk，~xk+1]，（62）带VNk公司x=NkXk=1γkTk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）~x.（63）为了表示（63）中切比雪夫级数的一阶导数，我们采用了dxtn（x）=nTn的f法-1（x）-Tn+1（x）1-x（参见Mason和Handscomb 2002，（2.4.5））和dψ[c，d]（￠x）=（2/（d-c））dx，因此Tk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）x=2kd-cTk+1oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）-Tk公司-1.oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）1- ~x.（64）作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号：。

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2022-6-11 04:36:39

（请提供手稿编号！）19同样，我们可以通过差异化t关于S，使得=V（x，K，t）S=t型S=t型x个x个S=e-r（T-t）-2xKh（￠x）x-h（￠x）x= e-r（T-t）-2xKMkXk=1VNk公司~x[~xk，~xk+1]-MkXk=1VNk公司~x[~xk，~xk+1]. （65）结束VNk公司/~x，我们可以使用dDxtn（x）=n（n+1）Tn-2（x）-2nTn（x）+（n-1）Tn+2（x）（1）-x）（参见Mason和Handscomb 2002，问题2.5.17），从而得出结论VNk公司x=NkXk=1γkTk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）x（66）和Tk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）x=k（d-c）（1）-x）（k+1）Tk-2.oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）-2kTk型oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）+（k-1） Tk+2oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）！。（67）同样，我们可以得到织女星的配方，五、σt，其中σ是时间t内波动性的初始值。例如，对于σtas为波动性初始值的GBM模型，我们得出Vega如下：V（x，K，σt，t）σt=e-r（T-t） KZmax（c，x-d）最小值（d，~x-c） f（y）gR（▄x-y）σtdy，￠x∈ [2c，2d]。（68）在我们将V与σ进行微分以获得（68）后，我们可以用康莱法近似（68）。如前所述，如果随机过程的闭合形式PDF g不存在，请使用CFS表达式表示GR，以便gR（▄x-y）σt=Re“NXk=1黑色σte-i2πd-ck（▄x-y） #，和黑色σt=φ(-2πd-ck，σt）σt，（69），其中Д包含参数σt。作者：Tat Lung（Ron）Chan20提交给管理科学的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）5、截短区间的选择在本节中，我们采用Fang和Oosterlee（2009a）以及Chan（2018）的观点来选择区间[c，d]。区间[c，d]的选择对CONLegmethod的准确性起着至关重要的作用。如果[c，d]的选择太大，CONLeg方法可以有效地执行。相反，如果[c，d]太小，CONLeg方法可能会产生不准确的期权价格/期权价值。

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2022-6-11 04:36:42

因此，可以选择一个最小且实质性的间隔[c，d]来捕获PDF的大部分质量，这样我们的算法就可以获得最高的精度。在这个区间中，我们展示了如何构造一个与随机过程累积量的闭式公式相关的区间。Fang和Oosterlee（2009a）首先提出了使用累积量的想法，以构建（30）中的定义区间[c，d]。根据他们的想法，我们对[c，d]有如下表达式：=c+Lnqc+√cc=-d、（70）式中，c、c和care分别为随机过程的第一、第二和第四累积量和Ln∈[8, 12]. 对于简单、不太复杂的财务模型，我们还获得了c、c和c的封闭式公式，如表2所示。表2各种模型的第一、第二和第四累积量。Lévy模型累积量sbs c=（r-q+ω）t c=σt，c=0，ω=-0.5σNIG c=（r-q+ω）t+δtβ/√α-βc=δtα（α-β)-3/2c=δtα（α+4β）-3/2(α-β)-7/2ω = -0.5σ-δ(√α-β-pα-（β+1））VG c=（r-q+θ+ω）tc=（σ+Дθ）tc=3（σД+2θД+4σθД）tω=1/Дlog（1-θυ -σν/2）CGMY c=（r-q+ω）tc=（CΓ（2-Y）（我的-2+戈瑞-2） tc=（CΓ（4-Y）（我的-4+GY-4） tω=CΓ(-Y）GY1+克Y-1.-YG公司+ CΓ(-Y）我的1.-MY-1+YM通常，（70）中的截断区间适用于具有/不具有奇点的光滑/非光滑PDF。然而，由于表2中每个过程中的累积量都包含t，我们注意到，如果t太小，累积量就会收缩，使[c，d]太小，无法产生准确的期权价格/对冲价值。为了启发式地解决这个问题，只要t小于或等于0.2，我们就应该在（70）中的d上加上额外的0.5，以便为CONLegmethod生成一个实质性的区间[c，d]。作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）216

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mingdashike22

2022-6-11 04:36:45

数值结果本节的主要目的是通过各种数值试验来检验CONLeg方法的准确性和效率。这涉及到该方法对任何资金充裕/短缺且到期时间长/短的期权进行定价的能力。最重要的是，我们表明，即使PDF是平滑/非平滑的，该算法也具有良好的精度。为了比较该算法的误差收敛性和计算时间，采用了一些流行的数值方法。这些方法包括COS方法（Fourier-COS-seriesmethod，Fang和Oosterlee 2009a）、滤波COS方法（一种用指数滤波器解决吉布斯现象的COS方法；见Ruijter等人2015）、CONV方法（FFT方法，Lord等人2008）、Lewis-FRFT（分数FFT方法，Lewis 2001，Chourdakis 2004），theQUAD-CONV（正交和CON方法的组合；见O\'Sullivan 2005，Chen et al.2014）和SWIFT方法（基于小波的方法；见Ortiz Gracia和Oosterlee 2013，Maree 2015，Ortiz Gracia和Oosterlee 2016，Maree et al.2017）。在实现CONVand-Lewis-FRFT方法时，我们对傅里叶积分使用辛普森规则，以达到四阶精度。在filter-COS方法中，我们使用指数滤波器，并将精度参数设置为10，因为Ruijter等人（2015）报告称，该滤波器比其他选项提供更好的代数收敛性。我们还将CONV的阻尼系数设置为0，以便为欧式期权定价。所有实验都使用了带有2.8 GHz Intel Core i7 CPU和两个8 G B DDR SDRAM（高速缓存）的AMacBook Pro。最后，代码在MATLAB中编写，实现COS方法和FFT方法（如CONV方法等）的代码也从von Sydow等人（2015）处检索。因为我们使用内置的Chebfun（Trefethen等人。

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2022-6-11 04:36:48

2014）命令，主要是chebfun、conv、diff、roots和simplify，以定价和对冲本报告中的期权，chebfun(http://www.chebfun.org/download/)是我们的期权定价算法所必需的。为了便于演示，我们在附录C中给出了计算欧式选项的MATLAB代码。AsChebfun使用自适应程序，旨在自动找到正确数量的点，以表示每个函数的大致机器精度，即大约15位相对精度，我们允许Chebfun自动近似f和图形。由于Chebfun是在MATLAB中实现的，我们应该指出，由于Chebfun大量调用f函数、嵌套函数和子函数，因此会产生开销，从而降低CONLeg方法的计算速度。因此，作为CONLeg方法的介绍，我们更看重该方法的便利性，而不是其在开发阶段的效率。在所有数值实验中，我们测量的期权价格范围都是基于S或K的输入范围。为了使我们的方法能够精确地近似于货币内/货币外期权价格，S或K的范围位于区间[K- 20，K+20或- 分别为20，S+20]。作者：达隆（Ron）Chan22文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）此外，当我们看到[K]的间隔时-20，K+20或-20，S+20），我们为近似期权价格及其期权希腊值设置了[c，d]，而不是[2c，2d]。我们使用N来确定我们与Conleg方法比较的方法的术语/网格点的数量。在测量数值方法的近似误差时，我们使用绝对误差、Lnorm误差和内模误差R∞作为测量单位。

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2022-6-11 04:36:51

此外，为了提高我们对欧式期权定价/套期保值方法的准确性，我们使用了众所周知的看跌期权平价关系Vcall（x，K，t）=Vput（x，K，t）+Se-q（T-t）-Ke公司-r（T-t），（71）一旦我们准备好了价格，就可以估算出买入价。6.1. 欧洲类型选项我们根据以下PDF和其他参数考虑三种不同的测试用例：GBM1：S=100，K=80-120，σ=0.15，T=1.0，r=0.03，q=0.01。（72）GBM2：S=100，K=80-120，σ=0.25，T=50或100，r=0.1，q=0。（73）VG1：S=10 0，K=80-90, σ = 0.12, θ = -0.14，ν=0.2，T=0.1，r=0.1，q=0。（74）在所有三个数值试验中，GBM过程和VG过程的参考值通过MATLAB金融工具箱生成TM–blsprice、blsdelta和b lsgamma以及奇异傅立叶-帕德（SFP）方法（参见Chan 2018）。当我们在这两个过程下为欧式期权定价/套期保值创建计算区间[c，d]时，我们还将Ln=10设置为（70）。在第一次数值测试（GBM1）-表3中，我们首先检查了针对深度买入/卖出和货币普通看跌期权的从80到120的一系列行权K的收敛行为。除q=0.01外，参数取自von Sydow等人（2015）。我们宣布1000个不同的期权价格在K范围内。在该测试中，即使不应用看跌期权平价（71），CONLeg也可以达到非常高的精度（约为R∞= 10-14）当它被应用于近似期权价格及其增量时和GammaΓ。此外，由于我们的方法旨在建模期权价格/希腊曲线，而不是其值，因此我们的方法在测试中绘制曲线只需不到0.1秒。

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