非备兑期权和备兑期权的瞬时价格影响套期保值

nandehutu2022

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《Hedging with transient price impact for non-covered and covered options》
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作者：
Dirk Becherer and Todor Bilarev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
We solve the superhedging problem for European options in a market with finite liquidity where trading has transient impact on prices, and possibly a permanent one in addition. Impact is multiplicative to ensure positive asset prices. Hedges and option prices depend on the physical and cash delivery specifications of the option settlement. For non-covered options, where impact at the inception and maturity dates matters, we characterize the superhedging price as a viscosity solution of a degenerate semilinear pde that can have gradient constraints. The non-linearity of the pde is governed by the transient nature of impact through a resilience function. For covered options, the pricing pde involves gamma constraints but is not affected by transience of impact. We use stochastic target techniques and geometric dynamic programming in reduced coordinates.
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中文摘要：
我们解决了流动性有限的市场中欧式期权的超边缘问题，其中交易对价格有短暂的影响，并且可能是永久的影响。影响是倍增的，以确保积极的资产价格。对冲和期权价格取决于期权结算的实物和现金交付规范。对于初始和到期日的影响很重要的非覆盖期权，我们将超边缘价格描述为退化半线性偏微分方程的粘性解，该解可能具有梯度约束。pde的非线性由通过弹性函数的冲击瞬态特性决定。对于涵盖期权，定价pde涉及伽马约束，但不受影响的暂时性影响。我们在简化坐标系中使用随机目标技术和几何动态规划。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Hedging_with_transient_price_impact_for_non-covered_and_covered_options.pdf
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大多数88

2022-6-10 07:12:38

对非覆盖和覆盖期权具有暂时价格影响的套期保值Dirk Becher，Todor Bilarev*+洪堡大学数学研究所，地址：zu BerlinJuly 172018期权结算规范。对于初始和到期日的影响很重要的非覆盖期权，我们将超边际价格描述为退化半线性偏微分方程的粘度解，该偏微分方程可以具有梯度解gamma约束，但不受影响瞬态的影响。我们使用坐标。关键词风险影响，期权结算，非覆盖期权，覆盖期权，套期保值，粘性解，随机目标问题，几何动态规划。MSC2010标的分类：49L20、49L25、60H30、91G20、93E20JEL标的分类：C61、G12、G131引入衍生工具，通过在基础上进行动态交易复制期权的支付来消除风险，而这样做所需的最低资本产生独特的无套利定价。在本文中，我们研究了具有有限流动性的市场模型中的超边际问题，其中动态套期保值对衍生工具的基础风险资产的价格具有乘性和暂时性影响。

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kedemingshi

2022-6-10 07:12:41

这放松了无摩擦Black-Scholes模型中完美流动性（或交易者规模较小）的假设，该模型假设PSS11根据反映alimit订单中暂时性交易量不平衡的交易量影响过程进行解释，如果确保资产价格保持正值，并且非流动市场模型中的临时BBF18过度边缘化问题导致非线性反馈效应，则*感谢德国科学基金会DFG通过柏林数学学校BMS和研究培训集团RTG1845提供的支持。+电子邮件地址：Becherr，bilarev（at）math。胡柏林。dearXiv:1807.05917v1【q-fin.PR】2018年7月16日意识到对冲策略直接影响期权到期支付确定的基础风险资产的价格，参见【SW00】。我们研究了非覆盖（和覆盖）期权的混合和定价，其对冲策略是（通过弹性函数分别为非涵盖期权。期权结算的规范。很明显，此类期权的价格，至少在到期时，可能取决于当前的市场影响水平，因为交付资产可能需要终端交易，其成本可能取决于当前减少的坐标，DPP提供了一种在以下方面进行比较的方法：停止时间乘以瞬时超边际价格，作为非线性定价pde的粘度解决方案，这是一个没有弹性影响的半线性时间，见第6节。实际交付。上述分析是针对一般（非参数）影响而得出的。在可接受的对冲策略上，会出现delta约束，以确保良好的支付仅由基础价格的函数给出，减少到Black-scholes函数，这在【BLZ17，第4节】中也有类似的观察。

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何人来此

2022-6-10 07:12:44

我们在第8节中解释了如何将类似分析延续到我们的设置中，并推导出一个单一的定价pde，未受影响价格的分析成为描述解决方案的相关状态变量。最密切相关的文章是[BLZ16，BLZ17]；他们研究了具有永久冲击的加性模型中的超边缘问题，参见备注2.2，并启发了我们的分析。参考98BB04C,JP04C,ST10GP17BSV16，它影响欧洲期权的最低超边际价格和对冲策略。第2节，而在第3节中，我们讨论了非承保期权的概念。第5节定价偏微分方程的超边缘推导，见定理5.5和5.9。在第6节中，我们解释了在考虑其他永久性影响时，分析是如何扩展的。第7节陈述可以解决。关于粘度溶液特性和比较的技术证明，请参见第9.2节瞬态价格影响模型。本节介绍了本文的乘法市场影响模型。扩展空间(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P），在满足通常条件的情况下，支持单一风险资产根据随机微分方程d'St='St（utdt+σdWt），'S演变∈ R+，（2.1）σ>uBBF17bYYΘ路径，viadYΘt=-h（YΘt）dt+dΘt，Y0-= y∈ R、（2.2）h:R→ Rsgnxhx≥交易者遵循一种策略，即在市场上观察到的风险资产价格，即可以交易额外的最小数量的边际价格，isSΘt=St=f（YΘt）(R)St，t≥ 0，（2.3）f:R→ R+c特别是，λ：=f/f是一个非负且局部可积的c函数，满足f（x）=expZxλ（u）du, x个∈ R、（2.4）fYS/SfY下一步，我们指定大型交易员的收益（负支出）L，这是以该计价资产的单位计算的变量。

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能者818

2022-6-10 07:12:47

对于有限变化的连续策略，L（Θ）=-Z·SΘdΘ（2.5）7→ L（2.5）到一般（有界）半鞅策略，即由L（Θ）给出：=Z·F（YΘt）d'St-Z·'St（fh）（YΘt）dt- （\'SF（YΘ）-平方英尺（YΘ0-)), （2.6）如[BBF17b，定理3.8]所示，反导数f（x）：=Zxf（u）du，x∈ R、（2.7）通过有限变化的连续过程序列，以及ifnP-→D、 T，MLnP-→ LD，T，ML（2.6）lf从（2.5）到所有半鞅。大宗规模交易的收益Θtat timetaregiven by-“”StZΘtf（YΘt-+ x） dx，（2.8）（分别出售）订单介于交易前价格之间（YΘt-)从潜在限额订单簿的角度来看，“在交易结束后保持价格”，其中大宗交易是针对可用价格执行的-\'StfYΘt-t“STBBF17A第2.1节]。从这个意义上讲，Y是【PSS11】精神中的体积效应过程。对于自融资投资组合（β，Θ），其中现金（无风险资产集）和股票（风险资产）的动态持有量随着β和Θ的变化而变化，自融资条件为β=β0-+ L（Θ）。瞬时清算财富VliqtisVliqt=Vliqt（Θ）：=βt+？StZΘtf（YΘt- x） dx。（2.9）财富这一概念的动力学在数学上是可处理的和连续的，令人满意的Dvliqt=（F（Yt-) - F（Yt-- Θt-)) d'St-\'St（f（Yt-) - f（Yt-- Θt-))h（Yt）dt。（2.10）从（2.10）以下一组可接受的策略A中不存在套利：=（Θt）t≥0 |有界半鞅，带Θ0-= 0和Θt=0在t上∈ [T，∞) 对于某些T<∞.提案2.1。市场在任何特定时间范围内都没有套利∈[0, ∞)∈ 阿纳特∈T∞β0的自我融资策略（β，Θ）-= 0我们有P[VliqT≥ 0]=1，且P[VliqT>0]>0。【BBF17b】中的结果在更一般的设置中说明，其中“可能有跳跃和交易策略半鞅策略”。证据该权利要求如【BBF17b，第4节】所述得到证明。

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何人来此

2022-6-10 07:12:50

我们注意到，在当前的有界控件设置中，可以省略额外的VLIQ。要看到这一点，请注意∈ 存在一个等价鞅测度≈ P（onFT），构造于[BBF17b，pf.of Thm.4.3]，其中过程vliq是真鞅。与无摩擦情况不同，在一个具有价格影响的非流动市场中，有不止一种合理的方式来定义财富。在第8节的分析中，我们还将使用其他关于账面财富的概念。对于在风险和无风险资产中动态持有Θ和β的策略，账面财富过程由Vbook给出：=β+ΘS，（2.11）Smarkets，如果大交易者立即持有其风险资产，则可实现的清算财富（2.9）通常与账面财富（2.11）不同。备注2.2。为了进行比较，请注意【BLZ16，参见方程式（2.1）】研究了一个模型，其中HYY0-0-:δsθδ≈ sθδfsθf:R→, ∞sθθddθsθfsθfx：λxx？s：ssθexp（Rθλ（x）dx）第5.2节研究了“sλsθexpλθ”。然而，λ>0的选择likef（x）=λxin线性（乘法）形式不符合[BLZ16]中的假设（H1）和（H2）：也不符合isx 7→ λx（严格）Rx 7→ expλxR→ [BLZ16]中的r价格取值sinr（而不是（0，∞)) 关于fx的指导性基本示例：λ>sθ'sλθ，以及未受影响的资产价格，如Bachelier模型所示，请参见【BLZ16，第3.4节】。3【BLZ17】中提出的非流动性市场中的非覆盖期权对冲。对于后者，部分溢价（初始“delta”）将按自然度支付。支付将作为无风险资产和风险资产的混合物进行交付，并按当前（边际）市场价格进行评估。从而影响期权的支付效果。我们考虑以下类型的未定权益。定义3.1。

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mingdashike22

2022-6-10 07:12:53

到期日为T的欧式期权≥ 0由可测量图（g，g）：（s，y）指定∈ R+×R 7→ （g（s，y），g（s，y））∈ R×R表示付款，其中为现金结算部分，为实物交割GST、YTGS、YT风险资产，其中（ST、YT）为风险资产价格和到期时的市场影响水平。t带付息（g，g）的非承保欧洲期权的卖方或发行人需要对冲其到期交付付息义务可能造成的损失。在期权影响基础价格的情况下，另一方面，基础价格决定了期权在到期时的有效期。因此，这可能会激励大型贸易商准确交付实物部分。因此，不允许在到期前不久进行交割后立即解约的交易，从而影响期权的支付，从而有利于大交易者。以下意义。定义3.2（非承保期权的对冲）。超级边缘策略是一种自我融资策略（β，Θ），带有Θ∈ Γ, Θ0-= 0和βT≥ g（ST，YT）和ΘT=g（ST，YT）。g（ST，YT），并且在期权结算至最终价格影响水平YT之前，必须解除基础的任何进一步（多头或空头）头寸。特别是，纯现金交付部分支付的套期保值策略是一个往返过程，即以零基础股份开始和结束，而实物交付的欧洲未定权益支付的套期保值策略可能不同于纯现金交付部分的套期保值策略，并且其各自的价格也可能有所不同。g、 gwe将表示byp（g，g），是初始资本β0的最小值（最大值）-存在这种超常对冲策略（β，Θ）。GoOption可以通过纯现金结算的支付来表示。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:12:56

事实上，如果Γ在终端时间加上一个额外的跳跃时是稳定的，这意味着Θ∈Γ表示Θ+{T}∈Γ对于所有可测量的, 那么，任何欧式期权都可以用纯现金结算的期权来表示。要查看带有payoff（g，g）的选项，请使用（s，y）∈ R+×RH（s，y）：=infgsf（y+θ）f（y），y+θ+ sF（y+θ）-F（y）F（y）|θ=gsf（y+θ）f（y），y+θ. （3.1）价值h（s，y）是对冲收益g，gT所需的最小现金量（无风险资产）-ysθssfyθ/fyyyθsFyθ- Fy/Fy（g，g）如果θ=g（~s，~y），我们有足够的资本支付大宗交易，并支付大宗交易后等于g的现金交付部分s，▄y），见定义3.2。我们得到以下结果。引理3.3。g、 gH（3.1）可测量。那么我们有p（g，g）=p（H，0）。在λ为常数的情况下，如果和gdo不依赖于y.Proof，则函数hdo不依赖于y。β、 g，gT=g（ST，YT）和β0-+LT（Θ）≥ g（ST，YT）。考虑策略eΘ：=Θ-ΘT{T}。TheTeΘeSTSTfYT测试-财政年度-T分别地，和产生的收益，这里等于Vliqt（eΘ），因为eΘT=0，areVliqT（eΘ）=β0-+ LT（Θ）+ST（F（YT）- F（YT- ΘT））。因此，VliqT（eΘ）≥ g（ST，YT）+ST（F（YT）- F（YT- ΘT））=克eSTf（eYT+ΘT）f（eYT），eYT+ΘT+eSTF（eYT+ΘT）-F（eYT）F（eYT）≥ H（eST，eYT）。eΘβ0-带payoff（H，0）的欧洲索赔策略，意味着p（g，g）≥ p（H，0）。为了显示反向不等式，设（β，Θ）为（H，0）的超边缘策略，意味着ΘT=0和vliqt（Θ）≥ H（ST，YT）。一个可测量的选择参数得出，对于任何ε>0的情况，都存在一个可测量的随机变量，即εT=gsf（YT+εT）f（YT），YT+εTandH（ST，YT）+ε≥ gSTf（YT+εT）f（YT），YT+εT+ STF（YT+εT）-F（YT）F（YT）。ε：εT{T}β0-ε带payoff（g，g）的索赔；事实上，Eε产生的收益为Eε+ε- STf（YT）（F（YT+εT）- F（YT）），其中最后一项是获取εTassets的成本。

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可人4

2022-6-10 07:12:59

因此，根据前面的不平等，从eΘε产生的收益足以支付现金部分，也可以通过选择θε来支付物理部分。由于ε>0是任意的，我们得出（H，0）≥ p（g，g），因此是索赔。λfxexpλx（F（y+θ）- F（y））/F（y）=F（θ）fyθ/fyfθhygge示例3.4。1、以现金结算的欧洲看涨期权，其行使方式由付款人（g（s，y），g（s，y））=（（s）指定- K） +，0）。2.K-K1{s≥K} ，1{s≥K} g，gyHLemma 3.3仍然可以依赖于它，如果函数λ不是常数。实际上，大宗交易θ对相对价格变化f（y+θ）/f（y）的影响通常取决于交易前的影响程度，除非f（x）=exp（λx）表示常数λ。备注3.5。我们讨论了一个例子，以说明大型贸易商的套期保值问题如何与具有完美流动性但具有投资组合约束的市场中的套期保值相关，F（2.7）r在并非所有或有权益都可以完全复制的意义上是不完整的。典型的例子是纯永久性碰撞的特殊情况，即≡0，常数λ，即f（x）=exp（λx），以及带payoff（H，0）的索赔，即仅现金结算。因此，我们是BB04px，t:expλx'StY0-= 0和λ=1，（2.10）取形式Dvliqt=（exp（Θt）- 1） d.根据定义3.2中的条件，任何套期保值策略ΘsatisΘT=0，以及henceST类型0-VliqT（Θ）≥ H（(R)ST，0）。这意味着，在重新参数化之后→ exp（Θ）-1在策略中，这个大投资者模型中的超级复制问题相当于小投资者价格过程中的相应无摩擦模型中的问题，并且在delta上有约束（大于-1），即对冲策略可能拥有的风险资产数量。特别是，在这种情况下（金融机构不可逆），定价方程应该包含梯度约束。

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可人4

2022-6-10 07:13:02

请注意，这与[BB04]fffrom[BLZ16]不同，因为他们的假设（H2）在这种情况下不成立。h 6≡复杂，因为价格和影响过程的演变取决于第5.2节的完整历史，在f=exp（λ·）的情况下，为了理解定价方程，也会自然出现delta的下界。4几何动态规划的超边在本节中，我们将非覆盖期权的超边问题描述为随机目标问题。我们证明了控制问题的几何动态规划原理（DPP），其值函数随后将被刻画。值得注意的是，关于这些新的有效坐标，我们将描述（PDE）（PDEδ）方程的值函数。4.1随机目标公式k RK=[-K+∞) 对于某些K>0，或（4.1）K=R.（4.2）（4.1）FRfxexpλxλ>KRf∞（相对）大宗交易的价格变化不能任意大。在我们的分析中，我们需要考虑orderk中允许的交易策略的跳跃∈ NUk{，…，k}νk∩-k、 k×，TA∈ B（K），过程t 7→ ν（A，[0，t]）适用于基础过滤。注意，Uk的元素具有表示形式ν（A，[0，t]）=kXi=0{（δi，τi）∈A×[0，t]}，≤ τ<···<τk≤ TδiFτi（也可以取0）。还要考虑U：=Sk≥1好的。我们将考虑的可容许交易策略Θ是有界的，取值为ink，表示为Θt=Θ0-+Ztasds+ZtbsdWs+ZtZRδν（dδ，ds），（4.3），其中Θ0-∈ K、 ν∈ U和（a，b）∈ A、地址：=（a，b）| a和b是预测的。用一个∈ L（dt dP）和b∈ L（dt dP）.从这个意义上讲，我们通过三元组（a、b、ν）来确定交易策略∈ A×U。

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mingdashike22

2022-6-10 07:13:06

对于k∈ N集合Γk：={（a，b，ν）∈ A×Uk：来自（4.3）的Θ取K值∩ [-k、 k]}并设Γ：=Sk≥1Γk.t，zt，s，y，θ，v∈, T×R+×R×K×Rγ∈（动态版本）状态过程（Zt，z，γu）u∈[t，t]=（St，z，γu，Yt，z，γu，Θt，z，γu，Vliq，t，z，γu）u∈【t，t】，其中，当在时间t开始时，过程St、z、γ、Yt、z、γ、Θt、z、γ和Vliq、t、z、γ对应于【t，t】上的价格、影响、风险设定头寸和与γ相关的控制Θt、z、γ的瞬时清算财富过程（来自【t，t】上的分解（4.3））-分别在s、y、θ和v处。s、 y型∈ R+×R 7→gs，y，gs，yγ∈如果时间T的状态过程在setG中为（a.s.），则为超边缘：=（s，y，θ，v）∈ R+×R×K×R：θ=g（s，y），v-sF（y）-F（y-θ)/f（y）≥ g（s，y）θ资产areG（t，s，y，θ，v）：=[k≥1Gk（t，s，y，θ，v），其中gk（t，s，y，θ，v）：={γ∈ Γk:Zt，s，y，θ，v，γT∈ G} 。最初，即w（t，s，y）：=infk≥1wk（t，s，y），其中wk（t，s，y）：=inf{v:Gk（t，s，y，0，v）6=}. （4.4）千克）。还要注意的是，引理3.3中允许的超边缘策略集（由g（t，s，y，v）确定）和（g，g）的HCash交付当量严格为正。4.2有效坐标和动态规划原理，在推导描述值函数（在粘滞感中）的偏微分方程时起着至关重要的作用。本节的目的是提供合适的DPP。首先，我们要注意的是，上述超边缘问题的公式看起来不是时间（4.4）。风险资产的初始头寸为零，而在以后的时间里通常不会为零。为了获得一个时间一致的公式，第一个简单的想法可能是使风险资产头寸变为新的变量，这意味着使用在[0，T]×R+×R×K上定义的函数w（T，s，y，θ）：=infk≥1'wk（t，s，y，θ），其中'wk（t，s，y，θ）：=inf{v:Gk（t，s，y，θ，v）6=}.

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何人来此

2022-6-10 07:13:09

（4.5）但由于方程式（2.3）和（2.8），函数“w（t，·，·，·，·，·，·）必须在任何时间t沿坐标（s，y，θ）的适当轨道遵守函数关系，即“w（t，s，y，θ）=”wt、 sf（y- )/f（y），y-, θ - + （s/f（y））Zf（y- x） dx， ∈ R、根据【BLZ16】中的想法，可以显示函数w的粘度特性。为了推导出W的动态规划原理，我们想在不同的点进行比较，立即清算她在风险资产中的头寸（大宗交易）。为此，letS（St，YΘt，YΘt）：=“Stf（YΘt- Θt）=Stf（YΘt- Θt）/f（YΘt），Y（YΘt，Θt）：=YΘt- 当分别表示风险资产的价格和市场影响yy、θSSt、yΘt、tYYΘt、tand impact过程时，为自我融资交易策略清算了Θt.Ss、y、θθ资产。观察两个过程都是连续的，即使交易策略Θ可能有跳跃。价值函数为（S，YΘ，Θ），Y（YΘ，Θ）的清算财富。虽然为了证明DPP，我们可以遵循[BLZ16，命题3.3]，但我们要提到的是，这些论点在技术方面简化了，并且在我们选择Vliq而不是Vbook时，变得更加透明。定理4.1（几何DPP）。

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可人4

2022-6-10 07:13:12

固定（t、s、y、v）∈ [0，T]×R+×R×R.（i）如果v>w（T，s，y），则存在γ∈ Γ和θ∈ K使得Vliq，t，z，γτ≥ w（τ，S（St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ），Yt，z，γτ- Θt，z，γτ）对于所有停止时间τ≥ t、其中z=（S（S，y，-θ），y+θ，θ，v）。（ii）k≥v<w2k+2t，s，yγ∈kθ∈ K∩-k、 k时间τ≥ 我们有吗Vliq，t，z，γτ>wk（τ，S（St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ），Yt，z，γτ- Θt，z，γτ）< 其中z=（S，y，-θ），y+θ，θ，v）。证据我们遵循[BLZ16，3.3号提案的证明]的思想，但为完整性提供了详细信息。很容易看出这一点≥ 2和（t，s，y，θ）∈ [0，T]×R+×R×（K∩ [-k、 k]）wk（t，s，y，θ）≥ wk+1（t，S（S，y，θ），y（y，θ）），（4.6）wk-1（t，S（S，y，θ），y（y，θ））≥ \'wk（t，s，y，θ）。（4.7）v>wt，s，ywθ∈ Kγ∈ G（t，z）for z=（S（S，y，-θ），y+θ，θ，v）。如[ST02，Thm.3.1的证明，步骤1]所示，我们有所有停止时间τ≥ “w”的DPP的t（第一部分）：Vliq、t、z、γτ≥ \'w（τ，St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ）。然后（i）根据（4.6）取k→ ∞.v<w2k+2t，s，yγ∈k∈ K∩-k、 Kanda停止时间τ≥ tsuch thatVliq，t，z，γτ>wk（τ，S（St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ），Yt，z，γτ-Θt，z，γτ）zSs，y，-θ、 yθ，θ，v（4.7）Vliq，t，z，γτ>wk+1St，z，γτ，Yt，z，γτ，t，z，γτ因此，通过[ST02，Thm.3.1的证明，步骤2]，我们得到v≥ ？w2k+1（t，S（S，y，-θ），y+θ，θ）。特别是，通过（4.6），我们得出结论，v≥ w2k+2（t，s，y），因此存在矛盾。备注4.2。证明中使用的WKW可测量选择参数，参见【BLZ16，备注3.2】。需要连续过程的动态测试7→ Vliqt公司- 当将值函数描述为粘度溶液时，则为（t，S（St，YΘt，Θt），Y（YΘt，Θt））（4.8）Д：，t×R+×rw。引理4.3。

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何人来此

2022-6-10 07:13:15

对于每个Θ=（a，b，γ）∈ Γ和每Γ∈ C1,2,1（[0，T]×R+×R），我们有（Vliqt- ^1（t，St，Yt））=StF（Yt+Θt）- F（Yt）F（Yt）- ^1S{（（ut- λ（Yt）h（Yt+Θt））dt+σdWt}+-^1t- 1/2σStИSS+h（Yt+Θt）ДY+F（St，Yt，Θt）dt，其中f（s，y，θ）=s h（y+θ）λ（y）F（y+θ）- F（y）F（y）-f（y+θ）- f（y）f（y）,其中，St=S（St，YΘt，Θt），Yt=Y（YΘt，Θt）和Д的导数在（t，St，Yt）处进行评估。证据因为St=S（St，YΘt，YΘt）等于Stf（YΘt- Θt），乘积规则和f=λf implydSt=St（ut- λ（YΘt- Θt）h（YΘt））dt+σdWt. （4.9）通过It^o公式，我们得到了Д（t，St，YΘt- Θt）=Θtdt+ΘSdSt+ΘYd（YΘt- Θt）+1/2ΘSSd[S]t=^1t- λ（YΘt- Θt）h（YΘt）StΘS- h（YΘt）ДY+1/2σStΘSSdt+utStИSdt+σStДSdWt。（4.10）参考（2.10），我们有DVLIQT=-h（YΘt）Stf（YΘt）- f（YΘt- Θt）f（YΘt- Θt）dt+utStF（YΘt）- F（YΘt- Θt）f（YΘt- Θt）dt+σStF（YΘt）- F（YΘt- Θt）f（YΘt- Θt）载重吨。（4.11）合并（4.10）和（4.11）并重新排列条款完成证明。备注4.4。考虑λ为常数的情况，即f=exp（λ·）。然后我们就有了≡ 0和VLIQ的动态可以以一种令人惊讶的简化形式表述，即DVLIQT=F（Θt）dSt、StSSt、YΘt、t（4.9）价格（对于大型投资者）到期的期权和纯现金结算（ST）H'SvP'≈ PFTSS0-EσfWPΘPΘfWVliqPΘv≥ EPΘ[H（ST）]=EPΘ[H（ST）]（回想一下，ΘT=0，意味着ST=ST）。另一方面，费曼-科航（Feynman-Kac）的论点表明，EPΘ[H（ST）]只是小投资者在具有风险资产过程的无摩擦市场中的经典Black-Scholes价格。因为Θ是一种初始资本为v的任意超边际策略，以最小的收益率进行索赔。上述观察结果表明，与[BB04，Thm]中的模型存在显著差异。

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mingdashike22

2022-6-10 07:13:18

5.3]，其中规定了超边际策略，根据该策略，大型交易者可以通过利用其对订单的价格影响，在较少约束的情况下，尽量减少支付，从而在更大程度上降低期权的到期日，然后立即可以在不增加额外成本的情况下（由于没有买卖价差）大量剩余。相比之下，我们的设置对此类操纵行为的限制更大，因为我们对策略λ施加了约束，从而揭示了对于大型交易者来说，超边缘可能更便宜的情况，参见示例7.1.5定价pde和主要结果接下来，我们确定函数WAT到期日的终值，这将作为定价pde的边界条件。回想一下thatKis（约束）集，其中交易策略取值并设置Kn=K∩[-n、 n]表示n∈ N、引理5.1（边界条件）。对于n∈ N、 letHn（s，y）：=infgsf（y+θ）f（y），y+θ+ sF（y+θ）-F（y）F（y）|θ∈ Kn，θ=gsf（y+θ）f（y），y+θ.然后我们有wn（T，·）=Hn（·）和w（T，·）=H（·），其中函数H由H给出：=infn≥0Hn。（BC）证明。在到期时间t，期权的套期保值者必须进行θ大小的大宗交易，以满足G规定的实物交付部分，从而将基础价格从y+θf（y）移动到y+θ，影响水平从y移动到y+θ。

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大多数88

2022-6-10 07:13:22

这种大宗交易产生的成本为sizesF（y+θ）-F（y）F（y），因此，如果套期保值者能够支付该成本和所需的现金交付部分，则它会超级复制支付F（g，g），在大宗交易后，该部分是gsf（y+θ）f（y），y+θ.备注5.2。Hs，y∞θgsf（y+θ）f（y），yθ在K中没有解θ。因为此时我们不知道值函数是否是连续的，我们需要处理不连续的粘度解，因此需要考虑松弛的半极限*（t，s，y）：=lim inf（t，s，y，k）→（t、s、y、，∞)wk（t、s、y），（5.1）w*（t，s，y）：=lim sup（t，s，y，k）→（t、s、y、，∞)周（t，s，y），（5.2）t<Tww*w*（分别为次分辨率）。为了证明粘度特性，我们作出以下假设。假设5.3。（有界值函数）：函数w*和w*在[0，T]×R+×R上有界；（正则payoff）：Hfrom（BC）是连续的、有界的和hn↓ Huniformly在压实上。wT，·他有义务立即出售期权，只要他有足够的资本，他可以在任何情况下（在（s，y）的任何状态下）以可接受的交易这样做。5.1一般有界价格影响函数的案例研究在本节中，假设以下假设成立。假设5.4。高频∞infRf>supRf<∞λ且连续可微分，有界导数，K=R（无delta约束）。在假设5.4下，反导数F（2.7）及其逆F-1是双射r→ RsupRf<∞/ 意外地。在这种情况下，为了正式（首先）推导定价pde，让（t，s，y）∈[0，T）×R+×Rvwt，s，yin在定义时达到最大值）和τ=T+，以及用于ν=w的引理4.3，假设w足够光滑。

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能者818

2022-6-10 07:13:25

因此我们得到θ的存在性*这样0≤sF（y+θ*)-F（y）F（y）- wS（t、s、y）（ut- λ（y）h（y+θ）*)) dt+σdWt+- wt（t、s、y）-σswSS（t，s，y）+h（y+θ*)wY（t，s，y）+F（s，y，θ*)dt。仍然只是在形式层面上争论，这不能成立，除非是f（y+θ*) = f（y）wS（t，s，y）+f（y）和-wt（t、s、y）-1/2σswSS（t，s，y）+h（y+θ*)wY（t，s，y）+F（s，y，θ*) ≥ 0。（5.3）特别是θ*=θ*（t，y，s）=F-1.f（y）wS（t，s，y）+f（y）-y、 OREM 4.1中DPP的第二部分实际上会给出漂移项必须为0，即（5.3）中的等式。这正式促使w的定价pde形式应为- wt公司-σswSS+～h（t，s，y）（wY+sλ（y）wS）+s～h（t，s，y）（1-f（t，s，y）f（y））=0，（PDE），其中（t，s，y）∈ [0，T）×R+×Rh（T，s，y）：=ho F-1.f（y）wS（t，s，y）+f（y）,~f（t，s，y）：=fo F-1.f（y）wS（t，s，y）+f（y）.涉及y变量的导数）。我们的主要结果如下。定理5.5。WSuperhedgeting问题是连续的，是（PDE）的唯一有界粘性解，边界条件为w（T，·）=H（·），其中H在（BC）中定义。证据w*w*与引理4.3一起。第9节详细介绍了需要额外调整的情况λ（PDEδ）（包括梯度约束）的关键参数。定理9.5的比较结果证明了唯一性和连续性，参见备注9.7。对于超高价格和存在各自的对冲策略。第7节给出了一个数字示例。备注5.6。从一开始就在's的等价鞅测度下。另一方面，超级对冲价格取决于初始影响水平和弹性函数，甚至对于形式（g（s），0）的期权支付也可以这样做。i、 e.不取决于影响程度。因此，对于定价和套期保值（参见。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:13:28

备注5.8）“未受影响”值对市场价格的扰动是一个相关的状态变量。备注5.7（永久影响）。注意，对于永久性碰撞，这意味着≡（PDE）因此，大型交易员的超边际价格等于期权的布莱克-斯科尔斯价格，并支付。备注5.8（复制期权支付）。在有效的规律性下，事实证明，可以构建一个从（最小）超边际价格完美复制期权支付的策略。这意味着，我们有复制意义上的动态对冲，就像在无摩擦的完全Black-Scholes模型中一样。w∈ C1,3,1b，T×R+×R（PDE）wT，·H·ε>w，s，yε自融资策略（β，Θ），β0-=w（0，s，y）+ε，Θ=F-1（f（y）wS（0，s，y）+f（y））-y、意味着大宗交易的规模Θ=Θ在时间0执行，且Θt=F-1.f（YΘt）wS（t，S（St，YΘt，YΘt），YΘt）+f（YΘt）- t的YΘt∈ [0，T），（5.4）ΘT=0，即。ΘT=ΘT-, （5.5）其中YΘ=YΘ-Θ. 然后通过引理4.3，结合（5.4）和（PDE），我们得出ε=Vliq（Θ）- w（0，s，y）=VliqT（Θ）- w（T，S（ST，YΘT，YΘT），YΘT）=VliqT（Θ）- H（S（ST，YΘT，YΘT），YΘT）=VliqT（Θ）- H（ST，YΘT），ΘT=0，（5.5）HHεTwill足以通过做一个可能的εVliqTHence，策略Θ+{T}来用payoff（g，g）超级复制欧洲的主张ε将是欧洲索赔的超级复制品。请注意，如果构建的策略有界，且Hnis定义达到上限（参见引理5.1），则可以取ε=0，即。

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mingdashike22

2022-6-10 07:13:31

在这种情况下，我们有一个复制策略。It^o公式的应用表明，在适当的规律下，通过求解以下SDEsdSt=St[（ut）系统，可以获得满足定点问题（5.4）的策略- λ（YΘt）h（YΘt+YΘt））dt+σdWt]，dΘt=a（t，St，YΘt，Θt）dt+b（t，St，YΘt）dWt，dYΘt=-h（YΘt+YΘt）dt，（5.6），初始条件为S=S，YΘ=Y和F-1（f（y）wS（0，s，y）+f（y））- y、式中（t，s，y，θ）：=h（y+θ）1.-λfwS- f- wSY公司- λswSSf（F-1（fwS+F））+wtS+sutwSS+1/2σswSSSf（F-1（fwS+F）），b（t，s，y）：=σswSSf（F）-1（fwS+F）），ffy，λλy价格影响的瞬态性质。让我们在这里对假设5.4进行评论，假设5.4暗示了onr的双射性。观察其反转-1用于描述最优控制θ*. 对于[BB04]和[BLZ16]中的结果，类似的条件也是至关重要的：参见[BB04]和[BLZ16]中的满射性假设（A5）。该假设自然会导致定价pde相对于梯度的奇异性。事实上，缺乏可逆性需要wss上的条件，以便θ*可以派生。风险资产，在pde术语中转化为对空间梯度wS的约束。5.2指数形式的价格影响案例研究函数为指数形式f（x）=exp（λx），λ为常数，这意味着λf/f>tSt知道即时大宗交易的影响，因为在规模的大宗交易之后价格“StfYtStexpλfYΘ基本价格”对于确定大宗交易的价格影响并不重要，与第5.1节的情况不同。

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可人4

2022-6-10 07:13:34

出于备注3.5的动机，我们考虑卖空K-K∞K>0。vwt，s，yt，s，y，τtwθ*∈ 这样，使用引理4.3，我们得到了lθ*w（t，s，y）dt-s（wS（t，s，y）- eλθ*/λ+1/λ）（σdWt+ηtdt）≥ 0，（5.7），其中ηt=ut- λh（y+θ）*) andLθ*w（t，s，y）：=-wt（t，s，y）+h（y+θ*)wY（t、s、y）-σswSS（t，s，y）。如第5.1节所述，（5.7）中的扩散部分应消失，从而得到最佳控制θ*=λ对数λwS（t，s，y）+1,从漂移部分，我们确定了定价pdeLθ*w（t，s，y）=0。约束θ*∈ Kis现在相当于HKw（t、s、y）≥ 0，其中对于光滑函数，我们设置HKД（t，s，y）：=λДs（t，s，y）+1- e-λK。因此，我们正式得出结论，w应该是变分不等式fk[w]：=min{Lθ[w]w，HKw}=0，在[0，T）×R+×R，（PDEδ），其中θ[w]（T，s，y）：=1/λ·logλwS（t，s，y）+1. （5.8）通常，梯度约束会传播到边界，这意味着（PDEδ）的边界条件应为min{w（T，·）- H、 HKw}=0。（BCδ）在这一动机之后，我们陈述了指数价格影响f=exp（λ·）的主要结果。定理5.9。假设弹性函数h是Lipschitz连续的，并假设w（PDEδ）条件（BCδ）。证据证明推迟到第9节。粘度超/子溶液性质如下于定理9.6的比较结果，参见备注9.7。推论5.10。在定理5.9的设置中，进一步假设Payoff函数G、gysThen超边际价格仅为（t，s）中的函数，定价pde（pdeδ）简化为具有梯度约束的Black-Scholes pde。

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可人4

2022-6-10 07:13:37

在这种情况下，如果正面提升的payoff FK[H]与有界导数连续可微，其中FK[H]（s）：=supx≤0H（s+x）+1- e-λKλx, s∈ R+，HH-∞,（交易员）与无摩擦的布莱克-斯科尔斯价格相一致，该价格为面值上调的付息FK【H】。证据g、 gsyeasy也看到了这一点，并且可以通过省略影响过程来降低状态过程的维度。在这种情况下，第4节中的随机目标问题可以表示为新的状态过程，因此值函数将是一个函数，即值函数的粘性解性质。这种情况下的定价pde将是具有梯度约束的Black-Scholes pde，因为termh（Y）ИYin引理4.3不存在。因此，我们的大投资者模型中的超边际价格将与H一致（因为它解决了相同的pde）。在这种一维设置中，该价格与Black-Scholes价格相一致，该价格适用于面部抬高的Payoff FK【H】，参见【CEK15，提案3.1】。6暂时性和永久性价格影响的组合在这里，我们展示了如何将我们的分析扩展到更一般形式的持续性η间，ηΘu构成从累积交易到未来所有时间价格的永久（非衰减）影响≥ u、为此，我们将模型概括如下。对于η≥ 0，风险资产的边际价格（用于交易最小数量）isSt：=f（ηΘt+YΘt）St，（6.1）在公式（2.3）的修正中，YΘ由（2.2）给出。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:13:40

根据[BBF17b，第5.4节]中的论点，（稳定）来自一般半鞅策略Θ为ΘL（Θ）：=1+ηZ·F（ηΘt+YΘt）d'St-Z·'Stf（ηΘt+YΘt）h（YΘt）dt-\'SF（ηΘ+YΘ）·0-.尤其是大宗交易Θtyields收益-\'St1+ηR（1+η）Θtf（ηΘt-+YΘt-+x） dx。因此，根据第2节中的讨论，瞬时清算价值过程的体积效应过程（本着[PSS11]的精神）ηYΘ动力学▄Vliqnow满足（1+η）d▄Vliqt=（F（ηt+YΘt）-F（YΘt-Θt））d'St-h（YΘt）（f（ηΘt+YΘt）-f（YΘt-Θt））dt。值得注意的是，附加永久性影响的一般化并没有改变，YΘ，YYΘ，之前的分析延续到附加永久性影响，并进行如下调整：o引理5.1中的边界条件需要通过将预因子1+η添加到θ来修改，此时θ显示为函数的参数；o在引理4.3中，F（YΘ）应该被F（η+YΘ）代替，所有分数应该被1+η除，F现在将变成Fη，Fη（s，Y，θ）：=sh（Y+θ）λ（y）F（y+（1+η）θ）-F（y）（1+η）F（y）-f（y+（1+η）θ）-f（y）（1+η）f（y）.F（PDE）修改▄h=▄hη▄和▄F=▄Fη▄替换前两个▄h和▄F，即▄hη（t，s，y）=h1+ηF-1（（1+η）f（y）ДS（t，S，y）+f（y））+η1+ηy,fη（t，s，y）=fo F-1（（1+η）f（y）ДS（t，S，y）+f（y））。最优套期保值策略*, 如果存在，则满足（如备注5.8中η=0）（1+η）Θ*t=F-1（（1+η）f（Y*t） ^1S（t，S*t、 Y型*t） +F（Y*t） )- Y*t、 S*SS，YΘ*,*Y*YYΘ*,*除了YΘ跟踪的基本价格过程的位移外，还反映了永久性组件。在第5.2节的设置中，我们再次考虑投资组合约束θ∈ K=[-K+∞)以推导定价pde。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:13:43

由于Fη=0，这里的定价pde简化了{-wt公司-σswSS+h（y+θ）*)wY，λ（1+η）ДS+1-e-λ（1+η）K}=0，（t、s、y）∈ [0，T）×R+×R，其中θ*=λ（1+η）对数λ（1+η）wS+1, 带边界条件min{w（T，·）- H、 λ（1+η）ДS+1- e-λ（1+η）K}=0，特别是，具有永久影响的定价pde与具有纯瞬时影响但具有适当修改λ的定价pde一致，在这种情况下变为λ（1+η）。7数值示例本节讨论由（PDE）表征的超边缘价格的数值结果，参见定理5.5。对于计算，我们考虑影响函数f（x）=1+arctan（x）/10，x∈ R、（7.1）满足假设5.4。注意，λ（x）=1/（10（1+x）f（x））在大约(-,4); 在这里，影响的变化是显著的，见图1a。除了满足我们的假设和f（x）=x+（x arctan（x）-/log（1+x））/10显式形式，在相关传播子模型与真实数据的校准中观察到，见【BL12，附录】。hyβyβT.Kfσ。H（s，y）=sF（y+1）-F（y）F（y）- K{s≥K} 我们通过在K之间线性插值0和1来逼近指示函数来“平滑”- 0.5和K.y，s∈-,×，t<tws（F（y+1）- F（y））/财年[-,20]×{},wy=0开{-,}×[0,200]∪[-,20]×{}. 事实上，对于初始影响的重大变化，见图1a；因此，我们可以预期，Black-Scholes价格与大型交易商价格之间的价格不会有差异（作为therisky资产价格和影响力水平的函数），如图1b所示。

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可人4

2022-6-10 07:13:46

让我们指出，Black-Scholes价格不取决于影响水平y。数值示例表明，大型交易者的超级复制价格主导了实物交割看涨期权的无摩擦Black-Scholes价格，见图1c。示例可以表明，对于大型投资者来说，价格也可能更小，通常是在初期的影响水平远离零的情况下，参见示例7.1。另一方面，当大型交易员必须在到期时实物交付资产时，超边际成本会变得更高，因为如果期权以货币结算，她必须在到期时购买实物资产，这意味着她需要在对她不利的方向上进行最终阻塞，因为这会增加看涨期权的支付。y负（y<0）。综上所述，期权价格的依赖性是复杂的：受中间交易和最终交易的影响（由结算规则强制执行）。和缺乏弹性的大型投资者-6-4-2 0 2 4 60.91.1.10.0150.050.085yfλ（a）玻璃微商衍生物λ（紫色）（b）pBS- 有实物交割的欧洲看涨期权，弹性率为β=1（c）有实物交割的看涨期权的大交易者价格，弹性率β=1，初始影响水平y=0（d）pβ=1大β=0大ββ水平y=0图1：f（7.1）σ。T、走向K=50，弹性函数h（y）=β，例如7.1。模型（针对s小投资者）确实可能高于largeT>vBSH的超高价格上海≥看涨期权价差的平滑近似。

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kedemingshi

2022-6-10 07:13:49

请注意，特别是SvBS公司≥0和VBSVBS，·v，·YYVWHYY0->交易员方向。设Θ为Θ0-= 0应确保ΘT=0（仅对应于到期时的现金交付），且对于T∈ [0，T-]Θt=F-1(SvBS（t，St）f（YΘt）+f（YΘt））- YΘt，（7.2）YΘYΘ-SfYΘSvBSSvBS公司≥, Tβ，β0-vBS，S0-（4.9）（4.11）和（7.2）（回想一下S0-= S） VliqT=vBS（0，S）+ZTSvBS（t、St）dSt-ZTSH（YΘt）f（YΘt）- f（YΘt- Θt）F（YΘt）- F（YΘt- Θt）- λ（YΘt- Θt）dt=H（ST）-ZTSH（YΘt）f（YΘt）- f（YΘt- Θt）F（YΘt）- F（YΘt- Θt）- λ（YΘt- Θt）dt。（7.3）特别是，如果（7.3）中的被积函数在[0，T]上为负，那么（β，Θ）将是初始资本为β0的大型交易员的超边缘策略-= vBS（0，S0-) 和hencev（0，S0-, Y0-) ≤ vBS（0，S0-). （7.4）YΘ≥, TλYΘYΘ-Y0-如果instanceYΘ在[0，T]上为负，则也可能出现被积函数，例如If0-对于0的所有值，通常为小λ（7.4）-, Y0-, 因为这意味着V不取决于初始影响水平Y0-, 一般支付功能H并非如此，如图1b所示。8涵盖期权的定价和对冲【BLZ16，BLZ17】得出的一个关键结论是，对冲者形成以退化半线性偏微分方程为特征的混合的方式。相比之下，本节现在研究了备兑期权的问题，为此，可要求期权买方（由套期保值者自由决定）提供所需的初始（delta）套期保值头寸，并接受备兑期权的套期保值头寸组合。相应的定价方程在二阶项中是完全非线性和奇异的。这导致伽马约束，而对于非覆盖期权，奇异性出现在一阶导数中，并导致LTA约束，请参见第5.2节。

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mingdashike22

2022-6-10 07:13:52

我们仅对定价pde的推导进行概述，并解释如何通过调整【BLZ17】中的分析来获得它。让我们考虑连续套期保值策略，即It^o processesdΘt=a（t）dt+b（t）dWt，Θ=θ∈ R、（8.1）whereandbare连续过程具有一些可积性条件。对于此类控制措施，市场影响过程和扰动价格过程的形式为：dYt=(-h（Yt）+a（t））dt+b（t）dWt，Y=Y，dSt=d（f（Yt）(R)St=Stξ（t）dt+（σ+λ（Yt）b（t））dWt= St公司(u - λ（Yt）h（Yt）+λ（Yt）a（t）+0.5（λ（Yt）+λ（Yt））b（t）+λ（Yt）σb（t））dt+（σ+λ（Yt）b（t））dWt, （8.2）S=f（y）(R)S（忽略在t=0时收购θ股份的初始影响）和ξ（t）：=u- λ（Yt）h（Yt）+λ（Yt）a（t）+0.5（λ（Yt）+λ（Yt））b（t）+λ（Yt）σb（t）（8.3）注意，对于（超级）复制策略，必须确定θ、a和b。使用（2.6）中的部件集成，连续策略的收益Θrewrite asLT（Θ）=-ZTStdΘt-[S，Θ]T-ZTσStd[Θ，W]t.（8.4）对于自我融资策略（β，Θ），t时的账面财富（回忆（2.11））为vbookt（Θ）=β+LT（Θ）+TST。考虑风险资产价格上的H=g（ST）形式的或有权益。对于具有初始资本的套期保值策略，套期保值者需要在产生成本的风险资产中设置初始头寸。因此，在到期时，我们有P+LT（Θ）+TST- ΘS≥ g（ST）。（8.5）使用（8.4），账面财富满意度的变化t+d（StΘt）=tdSt+d[S，Θ]t-σStd[Θ，W]t=ΘtdSt+Stλ（Yt）b（t）dt。（8.6）因此，初始资本为p的复制策略应满足yp+ZTΘtdSt+ZTStλ（Yt）b（t）dt=g（ST）。a、 bGt：GRtuSuRtSuλYubuuGT=g（ST）。为了找到这样一个过程，我们尝试以下方法：对于平滑函数v，Gt=v（t，St）：（0，∞) ×R→ R

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大多数88

2022-6-10 07:13:55

应用It^o公式，我们得到dv（t，St）=vt（t，St）dt+vs（t，St）dSt+vss（t，St）d[s]t=[vt+St（σ+λ（Yt）b（t））vss+Stξ（t）vs]dt+St（σ+λ（Yt）b（t））vs（t，St）dWt。比较漂移项和扩散项，我们需要vt+1/2St（σ+λ（Yt）b（t））vss+vsStξ（t）=Stλ（Yt）b（t）+ΘtStξ（t），（8.7）（σ+λ（Yt）b（t））Stvs（t，St）=ΘtSt（σ+λ（Yt）b（t））。（8.8）现在（8.8）满足了Θt=vs（t，St），对于Θ的选择，（8.7）减少到VT（t，St）+St（σ+λ（Yt）b（t））vss（t，St）-Stλ（Yt）b（t）=0。（8.9）为了得到b的形式，我们使用It^o的公式a（t）dt+b（t）dWt=dΘt=dvs（t，St）==vstdt+vssdSt+1/2vsssd[s]，并比较差异系数，我们得到b（t）=vssSt（σ+λ（Yt）b（t）），即b（t）=σstvsss（t，St）1- λ（Yt）Stvss（t，St）。（8.10）类似地，我们得到a（t）=vst+vssStξ（t）+vsssSt（σ+λ（Yt）b（t））。利用（8.2）中ξ的定义，我们得到（λ和λ在Yt处计算）a（t）=vst+vssSt[u- λh（Yt）+0.5（λ+λ）b（t）+λσb（t）]+1/2vsssSt（σ+λb（t））1- λStvss。注意σ+λ（Yt）b（t）=σ/（1- λ（Yt）Stvss（t，St））。因此，（8.9）得出PDEvt（t，s）+σsvss（t，s）1- λ（y）svss（t，s）=0。（8.11）注意，该定价pde在结构上类似于[LY05，FP11，BLZ17λysvss（8.11）svssγ：R+→ R）为了有一个良好的姿势pde，需要施加。根据【BLZ17】中的分析，结果表明（8.11）描述了适当伽马约束下的超边际价格。实际上，让我们写出（8.1）asdΘt=σa，bΘ（St）dSt+ua，bΘ（St）dt，其中Stσa，bΘ（St）=btσ+λ（Yt）bt，ua，bΘ（St）=at- ξtStσa，bΘ（St）。与[BLZ17]一样，我们将允许的交易策略Θ=（a，b）限制为Lipschitz连续且有界的交易策略a，b，对于这些策略，我们使用Lipschitz连续且有界的漂移和扩散过程进行It^o扩散，使得Stσa，bΘ（St）从上到下由一些γ（St）限定。在γ和λ（cf。

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kedemingshi

2022-6-10 07:13:58

下面的备注8.1），则【BLZ17】中的参数将延续到我们的设置中，并给出超级对冲价格vγ（t，y，s）=inf{p | 可容许的Θ使得（8.5）保持}满足Vγ（t，y，s）=vyγ（t，s），其中vyγ（t，s）是定价pdeFy[Θ]（t，s）的唯一粘度解：=min-^1t（t，s）-σsИss（t，s）1- λ（y）sИss（t，s），γ（s）- s^1ss= [0，T）×R+，（8.12）^g^g支配g，这是方程γ的粘度上解-s^1ss≥ 0.我们在本节结束时强调了覆盖期权的超边际价格的一些特点，并指出了与非覆盖期权的不同之处。备注8.1。[BLZ17]中的参数可适用于满足有界连续γ的当前设置∈R，s∈R+σsγ（s）1- λ（y）γ（s）∈ R+，和连续有界支付。主要原因是每年∈ 兰兹∈ R+，MAPM∈(-∞, γ（s）]7→σsM1-λ（y）Mis非递减且凸，如【BLZ17，备注3.1】中所述，确保【BLZ17，第3.1节】中的平滑技术也可以应用于此处。备注8.2。h（8.12），这与第5.1节中的结果不同，其中弹性函数以非平凡的方式进入定价方程。然而，覆盖期权的衍生超边缘价格将取决于初始影响水平y到λ。λλ ≥∧vλγ≥ v∧γvλγ≥ vBSvBSgvBS-TVB-/σsssvBS，T×R+vBS（T，·）=g（·），见【BLZ17，备注2.9】。9证明xEXPλxλ>Ss，y，θse-λθ≡ 给定交易前的价格，确定大宗交易的价格变化。我们考虑-K∞K>由于偏微分方程中的奇异性，需要的偏微分方程，用于精确定义最优策略形式的表达式（5.8）。首先，我们在第9.1节中验证，如果定价pde（pdeδ）允许有效光滑的经典解，那么可以构建反馈形式的复制策略。

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能者818

2022-6-10 07:14:02

对于第9.2节中证明亚解性质的矛盾论点，也需要这样的构造，其中，使用平滑测试函数，可以构造局部策略，粗略地说，其行为类似于复制策略。第9.2节和第9.3节收集了粘度特性证明，我们证明了包含唯一性超边缘问题的比较结果。9.1指数影响函数的验证参数假设w∈ C1,2,1（[0，T]×R+×R）对于每个（T，s，y）∈ [0，T]×R+×R1。θ[w]（t，s，y）∈ K、回顾（5.8）和（2）中的定义。当t<t和3时，Lθ[w]（t，s，y）w（t，s，y）=0。w（T，s，y）=H（s，y）。进一步假设这是非常规则的（见后面的备注），因此存在一个可接受的策略Θ∈ Γ的形式为Θt=1/λlog（λwS（t，S（St，Θt），Yt- Θt）+1）对于t∈ [0，T），ΘT=0，即。ΘT=ΘT-.（9.1）/λlogλwS，s，yT∈ 带β0的Kportfolio（β，Θ）-= w（0，s，y）。

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kedemingshi

2022-6-10 07:14:04

然后，如备注5.8所示，我们得到Vliqt（Θ）=H（ST，YΘT），ΘT=0。HVliqTTg、gHβ、g、gw（0，s，y），这意味着其价格正好是w（0，s，y）。备注9.1。（9.1）w∈ 注释5.8中的C1,3,1，T×R+×Ras，得到T<TdΘT=λλwS+1d（λwS+1）-2（λwS+1）d[λwS+1]t= a（t，St，YΘt，Θt）dt+b（t，St，YΘt）dWt，其中对于St：=S（St，Θt），YΘt=YΘt- Θtwe seta（t，St，YΘt，Θt）：=λwS+1wtS+wSSSt（ut- λh（YΘt））- wSYh（YΘt）++wSSSσSt-λσStwSS2（λwS+1）,b（t，St，YΘt）：=σStwSSλwS+1；wt、SSt、t、Yt-ttt公司∈[0，T）dSt=St[（uT- λh（YΘt+YΘt））dt+σdWt]，dΘt=a（t，St，YΘt，Θt）dt+b（t，St，YΘt）dWt，dYΘt=-h（YΘt+Θt）dt（9.2）表示t∈ [0，T]，初始条件S=S，YΘ=Y，且Θ=1/λlog（λwS（0，S，Y）+1）。9.2指数冲击函数w的粘度溶液性质现在，我们证明了第5.2节结果的粘度性质。定理9.2。w*（5.1）（PDEδ）[0，T）×R+×R，边界条件（BCδ）在{T}×R+×R.证明。T，s，y∈, T×R+×RД∈ C∞b、 T×R+×R函数，使（严格）min[0，T]×R+×R（w*- ^1）=（w*- ^1）（t，s，y）=0。案例1:HK~nt，s，y<HK存在一个开放的邻域OOF（t，s，y），其封闭性包含在[0，t）×R+×R，HK~nt，s，y<-εOε>邻域O，存在常数kε>0，使得S |ДS（t，S，y）+1/λ- eλθ/λ|≥ kε表示所有θ∈ K、（t、s、y）∈ O、（9.3）Let（tn，sn，yn）n Obe与W（tn、sn、yn）收敛到（t、s、y）的序列→ w*（t、s、y）w*wvn:wtn，sn，yn/nSincevn>w（tn，sn，yn），定理4.1暗示θn的存在∈ Kand策略γn∈Γ使得对于停止时间τn≥ tn（稍后适当选择）我们有P-a.s.Vliq、tn、zn、γnt∧τn≥ w（·，S（Stn，zn，γn，Θtn，zn，γn），Ytn，zn，γn- Θtn，zn，γn）t∧τn，t∈ 【tn，T】，（9.4），其中zn=（sneλθn，yn+θn，θn，vn）。简而言之，在续集中，我们用上标代替（tn，zn，γn），Sn：=S（Stn，zn，γn，Θtn，zn，γn），Yn：=Ytn，zn，γn- Θtn，zn，γn.τninf{t≥ tnt、Snt、Ynt6∈ O} 开放区域的边界。尤其是τn<T。

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