我们知道，如果且当他/她达到κ=110的年龄时，死亡率将稳定在λ=1；这些参数是我们大多数数值例子的基础。在时间t=5、t=10、t=20、t=30时，年代学年龄（显然）将分别为κ=65、κ=70、κ=80、κ=90，但生物年龄（a）是一个随机变量，其概率密度函数由g（t，a）表示。在某种意义上，密度是本文所基于的概念核心。（次密度）函数g（t，a）将满足所谓的正演方程，附录中包含了g（t，a）满足的偏微分方程的推导，可以写成：gt（t，a）+一1+ξκt- 在- t型g（t，a）-σgaa（t，a）+λ（a）g（t，a）=0。（8） 这个方程，就像最优消费和支出率的偏微分方程一样，可以用数值技术来求解。现在，让α（t，q）表示生物年龄在t时的第q个百分位数，以活着为条件，即Pr[at≤ α（t，q）|生存]=q。例如，表达式α（15，0.95）=75意味着如果你活到75岁，那么届时你的生物学年龄将低于75岁的概率为95%（有条件）；假设你目前的生理和年龄是60岁。同样，从α（15，0.05）到α（15，0.95）的范围将为t=15等时间点的幸存者的生物年龄提供90%的置信区间，这是我们（试图）在图2中绘制的，对于α（t，q）是如何定义的以及它代表什么，现在我们来讨论它是如何实际计算的。通过对q作为概率的形式化定义和概率次密度函数g（t，a）的性质，我们知道：q=S（t）Zα（t，q）-∞g（t，a）da（9），其中S（t）=R∞-∞g（t，a）da是一个比例因子。然后，将方程（9）的两侧相对于q进行微分，得到等式：1=S（t）g（t，α（t，q））α（t，q）q

偏导数（即以生存为条件的生物年龄的概率密度函数）可计算为：α（t，q）q=S（t）/g（t，α（t，q））。最后，由于支出随年龄单调变化，将α（t，q）代入最优支出率函数，即f（t，α（t，q））-1/γ，将为我们提供时间t的第q百分位数。范围f（t，α（t，0.95））-1/γ至f（t，α（t，0.05））-1/γ是时间t（按年代排列的年龄κt）时支出率离散度的90%置信区间，有生存条件。换言之，上述内容使我们能够将观察到的生物年龄的不确定性或离散度（在任何给定和固定的年代）映射或转换为一系列合理的退出率和支出率值。表3：最佳退休支出率（通过f计算-1/γ）作为生物和年代学年龄的函数，假设γ=8，ρ=r=2.5%。

基本死亡率在60岁时为λ=0.005，在110岁时为λ=1.0，ξ=1，σ=30%。最佳支出率：长寿风险规避按年龄顺序排列的κB年龄60 65 70 75 80 85 90 9545 3.638%3.800%3.998%4.246%4.563%4.980%5.551%6.374%50 3.688%3.852%4.051%4.301%4.620%5.038%5.611%6.435%55 3.752%3.917%4.118%4.369%4.690%5.110%5.684%6.509%60 3.834%4000%4.203%4.456%4.778%5.200%5.775%6.601%65 3.942%4.110%4.314%4.568%4.892%5.316%5.892%6.717%704.087%4.256%4.461%4.717%5.042%5.466%6.042%6.865%75 4.285%4.455%4.662%4.918%5.243%5.667%6.242%7.061%80 4.565%4.735%4.941%5.197%5.521%5.943%6.513%7.323%85 4.969%5.137%5.342%5.595%5.915%6.330%6.891%7.684%90 5.571%5.735%5.934%6.180%6.490%6.892%7.433%8.195%95 6.502%6.655%6.841%7.070%7.359%7.735%8.239%8.945%4可测试含义4.1支出率稳定3和表4提供了各种按年代和生物年龄排列的支出率的各种数值。例如，让我们从一个（按时间顺序）κ=60岁的人开始，他的生物学年龄也是（也）以a=60来衡量的。假设我们处于anr=2.5%的利率环境中，这与该个人的主观贴现率ρ=2.5%相同。相关死亡率参数为λ=0.005和λ=1.0。以下是如何解释结果：在这些参数条件下，长期风险厌恶程度很高（即γ=8）的消费者将以财富的3.834%的比率消费或支出。相反，在相同的参数条件下，寿命风险厌恶程度相对适中（即γ=2）的消费者将以4.798%的高不稳定率消费。

到目前为止，没有任何意外，这正是我们在第3节前面描述的经典（确定性老化）模型中所期望的。现在让我们提前10年，届时我们的消费者（退休人员）将按时间顺序年满70岁。在我们的生命周期模型中，他们的最佳支出率也取决于生物表4：与表3相同的参数，但γ=2。最佳支出率：低寿命风险厌恶按年龄顺序排列的年龄κB年龄60 65 70 75 80 85 90 9545 4.242%4.465%4.743%5.096%5.560%6.195%7.116%8.572%50 4.379%4.607%4.889%5.247%5.717%6.359%7.289%8.757%55 4.559%4.791%5.078%5.442%5.918%6.569%7.509%8.989%60 4.798%5.035%5.328%5.698%6.182%6.841%7.792%9.286%65 5.123%5.366%5.665%6.043%6.535%7.203%8.166%9.675%70 5.579%5.827%6.133%6.518%7.019%7.697%8.672%10.196%75 6.233%6.487%6.800%7.192%7.701%8.389%9.374%10.912%80 7.203%7.462%7.779%8.177%8.691%9.386%10.379%11.923%85 8.691%8.951%9.268%9.666%10.180%10.873%11.863%13.400%90 11.054%11.306%11.614%12000%12.500%13.175%14.138%15.635%95 14.937%15.166%15.447%15.800%16.258%16.878%17.768%19.159%足够长的信息（也称为有效统计）如果他们的年龄坐标恰好是：[C=70，B=70]，那么他们的支出率是表3中的4.461%，这就是高风险厌恶的情况。但是，如果他们“老化良好”，并且他们的生物学年龄只有a=65，那么他们在矩阵中的年龄坐标现在是[C=70，B=65]，最佳支出率是（相对较低的）4.314%。平均70岁和70岁年轻人之间15个基点的差异似乎不大，但请记住，这些值取决于主观偏好参数γ、ρ以及死亡率参数λ、λ和利率r。根据具体值，老年人和年轻人之间的差异可能（很大）更大。

例如，在同一张表中，按年龄顺序排列的80岁时，最低支出率为5.56%，最高支出率为16.25%，是原来的三倍多。生物年龄徘徊到这些水平的可能性很小，但问题仍然存在。图5从另一个角度说明了最佳支出率函数中年龄协调的影响和重要性。水平面表示生物和年代，垂直面表示这些坐标对应的消费率。请注意，在个人相对年轻的附近角落，作为财富函数的支出率在4%的范围内。随着个人年龄的增长，无论是按时间顺序（向右）还是按生物顺序（向左），作为财富函数的支出率都会增加。然而，我们可以看到，随着年龄的增长，梯度或斜率会越来越高，这与时间顺序相反，当然，所有其他因素都是相等的。最后，当我们到达图表的最顶端或后上角时，年表图5：支出曲面：作为两个年龄函数的最佳生命周期支出。年龄为100岁，生物年龄为95岁，消费率函数f-1/γ达到约9%的峰值，对应于表3或表4右下角的数字。我们再次提醒读者，这些数字和图表对参数值非常敏感，因此，我们不应该过多地解读这些数字和图表在所谓的4%规则附近的事实，该规则已被媒体和财务顾问广泛倡导。

总之，如果真的要在厌食的情况下实施这样一个模型，并提供财务建议，那么用户必须非常小心地估计（寿命）风险规避γ的适当消费者特定值，主观贴现率ρ和适当的长期实际回报率r.4.2比较模型表明，我们是否可以校准生物年龄模型的参数并测试其拟合优度？事实上，测试在不久的将来应该变得更可行，因为目前关于生物年龄的信息是有限的和主观的，这也限制了根据生物年龄控制消费的能力。随着高质量的生物年龄测量和测试的普及，这种情况将会改变。关于个人的纵向数据最终成为金标准——要么直接衡量个人生物年龄的演变，要么利用消费演变的经济数据间接衡量这一点。目前，探索基于人口支出率统计证据检验我们模型的可能性似乎更为现实。例如，考虑两种不同的解释，说明在给定的按时间顺序排列的年龄段，支出率的分散性。一是生物年龄随时间随机演变，正如我们所建模的（随机老化）。另一种模型（确定性成人老化）可以设想生物年龄的确定性演变（或相当于危险率），但从随机值开始。例如，生物年龄的分散是否完全是由于生命早期的影响，因此两个生物年龄在50岁时匹配的个体也将在随后的年龄匹配？我们还没有数据来进行比较。但我们可以说明如何实施。固定r、ρ、γ、ξ、aT、m和b的值，只留下σ变化。

为了比较随机老化模型（例如σ=0.3）和确定性老化模型（σ=0），我们需要两个消费置信区间（例如，一个在60岁左右，另一个在85岁左右）。利用方程（7）的解，我们将其中的第一个转化为每个模型中B年龄的置信区间。在每个模型中，我们都可以对方程（8）中的初始条件进行适当的插值选择。现在向前求解（8），以确定稍后的B年龄置信区间，并由此确定相应的消费置信区间。我们现在应该能够看到哪个模型适合databetter。另一种说法是，观察到的消耗率的两个置信区间应允许我们校准σ（假设其他参数的给定值）。原则上，同样的方法应该允许我们校准多个参数，或者比较随机老化的不同模型。例如，同时校准σ和ξ可能需要三个这样的间隔（例如，对于60岁、75岁和85岁的消费），尽管消费对σ的敏感性相对较低，可能使其更难从消费本身获得稳健的估计。生物数据和指标显然更可取。5结论在本文中，我们朝着构建生命周期效用最大化模型迈出了第一步，该模型是退休文献中的工作马，在该模型中，代理人的年龄不会与日历时间同步移动。我们与以往经济学文献的主要突破在于，我们假设一个世界中（真实的）生物年龄可以（i.）精确测量，（ii。）以随机非线性速率增长，甚至可能在超过时间周期的情况下下降。在我们最初的（介绍性）模型中，我们假设生物年龄是外生的，不能受到影响、修改或控制。

坦率地说，你不能做任何事情来改善或损害你的健康。此外，在未来的生物年龄可能会用一个单一的衰老生物标志物来衡量，比如我们在导言中提到的端粒，或者可能使用更全面的缺陷清单，比如Mitinski、Bao andRockwood（2006）记录的缺陷。我们的目的不是提倡一种特定的方法来衡量生物年龄，而是（i.）让经济学家认识到它不同于按时间顺序排列的年龄，（ii）讨论其独特的随机特性，并最终（iii.）提供可用于重新制定的经济生命周期模型的不稳定随机过程。我们专门关注退休阶段（即人力资本耗尽时），以隔离和检查老龄化的影响，这是死亡率对最佳行为产生显著影响的时期。事实上，预期寿命的不确定性将推动消费率，远高于工作年限。我们再次重申，在某种程度上，我们的工作也是关于相对健康状况如何影响退休支出和消费率。然而，在本文中，我们对这个问题的框架非常不同。我们认为每个人都有一个明确的可识别和已知的生物年龄，这个数字可能很快就会随着技术进步、可穿戴设备等变得容易获得。作为与先前文献的链接，我们修改了生命周期最优性条件，并展示了如何在阿亚里（1965）随机老化模型中推导出适当的消费、退出或支出率函数。这在（偏微分）方程中引入了另一个状态变量，即生物年龄。

如果退休人员真的很快就能实时访问（一个具有其生物年龄的设备），那么我们的模型将告诉他们如何以与rational lifecyclemodel一致的方式提取（花费、消费）他们的资产。正如我们所展示的，他们需要他们的生物学年龄和年代来做出这些经济决策。我们认为，除了对规范理论的贡献外，我们的模型还通过表明这种分散是由于（感知到的）生物年龄差异造成的，从而有助于解释任何特定年龄段退休支出率的横截面异质性——这一现象已在多个国家得到记录。例如，在一组参数下，我们表明，当实际长期（无风险）投资率ρ=r=2.5%时，对于寿命风险厌恶（γ）和无遗赠动机的固定值，最优支出率可以在5%-15%的范围内变化。准确的数字对通常的财政和经济投入很敏感，并不是我们分析的重点。5.1下一步这是一个研究议程的开始，旨在调查在理性生命周期框架中扮演你的年龄所带来的影响。未来的研究可能涉及在选择集中引入风险资产以及（适当）定价的终身年金。这将使我们能够研究B年龄与C年龄对投资组合选择、长寿保险需求以及最佳消费的影响。除了规范性影响之外，这种扩展还有助于揭示所谓的年金之谜，即对（自愿）年金的需求较低。

这是一个富饶的研究领域，参见Feigenbaum、Gahramanovand Tang（2013年）等一篇讨论该谜题各个方面和维度的论文。同样，通过引入风险资产，如金斯顿（2000）对默顿模型的扩展，我们可以研究灵活与固定退休日期之间的影响，或劳动与休闲之间的选择。最后，我们思考在社会层面上，将退休政策本身置于生物年龄和按时间顺序排列的年龄之下是否有意义。请注意，这可能在不同的退休计划中有所不同，留下的强制性国家养老金（如果可能实现真正的风险池）仅基于实际年龄，但允许基于就业的养老金同时使用这两个年龄。例如，作为延长或增加养老金领取年龄的一种替代方案——这有其自身的政治问题和对再分配的担忧——或许应该允许人们（仅）在65岁的生物年龄领取养老金。B年龄退休政策是否比基于C年龄的退休政策更公平？我们将前往未来的研究。。。参考文献[1]Banks，J.、R.Blundell，P.Levell和J.P.Smith（2015），《美国和英国老年人的生命周期消费模式：医疗支出能解释这种差异吗？加利福尼亚州圣莫尼卡：兰德公司[2]Berkowitz，M.K.和J.Qiu（2006），《家庭投资组合选择和健康状况的进一步观察》，《银行与金融杂志》，第30卷，第1201-1217页[3]Bi ffis，E.（2005），《动态死亡率和精算估值的有效过程》，《保险：数学与经济学》，第37卷，第443-468页。[4] Blackburn，C.和M.Sherris（2013），《长寿风险应用的一致动态有效死亡率模型》，《保险：数学与经济》，第53卷，第64-73页。bibitem Bommier，A。

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换言之，对于t<ζ和最佳Ct，我们有：中兴通讯-ρsc1-γs1- γds+e-ρtv（t，At，Wt）=E[ZζE-ρsc1-γs1- γds | Ft]。（10） 方程（10）的RHS是一个鞅，有一个跳跃-e-t=ζ时的ρtv（t，At，Wt）。这个跳跃和它的补偿器之间的差异也是一个鞅，所以从方程（10）的RHS中减去它就得到了一个连续鞅（类似的参数见第2.4节）。因此，中兴通讯-ρsc1-γs1- γds+e-ρtv（t，At，Wt）-Ztλse-ρsv（s，As，Ws）ds在ζ处停止时是一个鞅。应用It^o引理现在表明，对于t<t，c1-γt1- γ+vt+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+（rw- ct）大众- （ρ+λ（a））v=0（11）。对于次优的ct选择，类似的论证表明我们得到的是asupermartingale，因此方程（11）的LHS为≤ 因此，Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程为：supcc1-γ1 - γ+vt+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+（rw- c） 大众汽车- （ρ+λ（a））v=0因此c-γ- vw=0，和往常一样，这变成了+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+rwvw+γ1- γv1-γw- （ρ+λ（a））v=0。自然标度关系为v（t，a，kw）=k1-γv（t，a，w）。这意味着v（t，a，w）=f（t，a）w1-γ1 - γ（12）对于一些f，我们从中得到+1+ξκt- 在- t型fa+σfaa+r（1- γ） f级- （ρ+λ（a））f+γf1-γ=0，对于t<t，边界条件f（t，a）=fT，f（t，∞) = 换句话说，我们得到了（7）。

最佳消耗量为c=w·f（t，a）-γ.为了消除存在最优控制的假设，我们调用了一个标准的验证定理参数，该参数从方程（7）的解的存在性开始，并得出结论，方程（12）给出的v解决了原始优化问题，并且上述得到的c实际上是最优的。6.2对数效用的特例在对数效用的特例中，它是极限情况γ→ 1对于CRRA实用程序，本文正文（第3节）中使用的相同参数导致：vt+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+rwvw- 1.- 日志vw- （ρ+λ（a））v=0。（13） 在这种情况下，自然标度关系为v（t，a，kw）=v（t，a，w）+（log k）E[Rζ-te公司-ρsds | Ft]，这意味着v（t，a，w）=f（t，a）log w+h（t，a）形式的解。替换为我们获得的（13）+1+ξκt- 在- t型fa+σfaa+1- （ρ+λ（a））f=0（14）ht+1+ξκt- 在- t型ha+σhaa- （ρ+λ（a））h+rf- 日志f- t<t时，1=0（15）。边界条件为f（T，a）=Ft和h（T，a）=hT。对于t≥ T、f和h是常数，因此fT=ρ+λ，hT=ρ+λT（rfT- 对数英尺- 1). 最佳消耗isc=w·f（t，a）。最后，在对数γ=1的情况下，f（t）的常微分方程≥ T为英尺+1- ρf=0，其解f（t）=e-ρ（T-t） （f（t）-ρ) +ρ. h（t）也有类似的颂歌，叫做HT- ρh+rf- 日志f- 1=0，可以求解该值以获得福利计算所需的效用最大化值。6.3近似解析解考虑降维后消费或支出率的主要HJB方程（7）。请注意，PDE内的差异效应发生在O（σ）处，其大小比漂移中的影响小，尤其是在（T-t） 很小。

因此，我们可以采用以下渐近展开式来近似偏微分方程的解：f~ f（0）（t，a）+σf（1）（t，a）+··在前导阶，我们得到了f（0）的以下一阶偏微分方程，通过代换得到：f（0）t+1+ξκt- 在- t型f（0）a+r（1- γ） f（0）- （ρ+λ（a））f（0）+γ（f（0））1-γ= 0.在t=t时具有相同的（与之前一样）边界条件。该方程明显比方程（7）更简单，可以使用所谓的特征法来求解，即通过将一级以下的生物年龄视为时间t的确定函数a（t），由dadt=1+ξκt给出- 在- t（16），a（t）=κt，因为两个年龄在时间t时彼此收敛。然后，我们可以使用以下普通微分方程（ODE）表示法（而不是原始PDE）求解（修改后的）方程F（t）=F（0）（t，a（t））。dFdt+r（1- γ） F级- （ρ+λ（a（t）））F+γF1-γ=0，终端条件F（T）=fT。当然，与我们在本文正文中报告的偏微分方程的（数值）解相比，这种分析近似的效果还有待观察。请注意，事实上，现在可以显式求解a（t）的方程式（16），其封闭形式为：a（t）=κt+（a（0）- κ)T- tTξ式中，a（0）是时间0时的生物年龄。通过引入G=Fγ，可以进一步简化F的方程，其中G的方程实际上是线性的，导致：dGdt+1+γ[r（1- γ) - （ρ+λ（a（t）））]G=0。原则上，现在这个方程可以显式求解。

请注意，当两个年龄都匹配anda（0）=κ时，我们得到了a（t）=κt，这是Gompertz的情况，F可以通过使用不完全伽马函数来表示，例如Milevsky和Huang（2010）中所报告的。另一种特殊情况是当ξ=1（σ=0）时，我们有一个线性关系：a（t）=κt+（a（0）- κ)T- tT= a（0）+kt，k=κ- a（0）T+1。在这种（简化的）情况下，潜在死亡率风险率由λ（a（t））=bexp给出a（t）- 兆字节=bexpa（0）+kt- 兆字节,它恢复了Gompertz形式λGx，从而得到了f（0）的闭式解。然后，我们可以通过进行高阶修正f（1）来提高精度，该修正与之前一样符合以下PDE：f（1）t+1+ξκt- 在- t型f（1）a+r（1- γ） f（1）- （ρ+λ（a））f（1）+γ（f（1））1-γ= -f（0）aa。而且，由于（在第一个近似值中）我们已经得到了f（0），因此右侧是已知的。左侧与f（0）完全相同，同样可以使用上述特征线方法求解。6.4未来生物年龄分布在本节中，我们得出（亚）密度g（t，a）da=P（At∈ da，ζ>t），表示生物年龄在任何给定“范围”da内的概率，以及（当然）个体在时间t（即按时间顺序的年龄κt）时仍然活着的概率。子密度g（t，a）可用于计算所有相关期望值和分位数，因为对于任何函数φ，E[φ（At）| t<ζ]=Rφ（a）g（t，a）daRg（t，a）da。特别是，我们可以计算生物年龄在时间t的条件平均值E[在| t<ζ]，条件二阶矩E[在| t<ζ]和条件方差（其中称为E[在| t<ζ]- E[A | t<ζ]）。

当然，条件方差不同于之前计算出的无条件表达式。回想一下，通过定义，老化在T（例如，110）时停止，也就是说，对于T≥ T条件平均值=κ，条件方差为零。因此，在这一点上，我们只关注并使用t<t。φ应光滑，支撑紧密。由It^o引理φ（At）=φ（κ）+Ztφ（As）1+ξκs- AsT公司- sds+Ztφ（As）dBs+Ztσφ（As）ds。因此，结合跳跃，φ（At）1{t<ζ}=φ（κ）+Ztφ（As）1+ξκs- AsT公司- s{s<ζ}ds+Ztφ（As）1{s<ζ}dBs+Ztσφ（As）1{s<ζ}ds- φ（Aζ）1{s≥ζ}.减去补偿跳跃得到一个连续鞅，然后取期望值，我们得到e[φ（At）1{t<ζ}]=φ（κ）+ZtE[φ（As）1+ξκs- AsT公司- s{s<ζ}]ds+ZtσE[φ（As）1{s<ζ}]ds-中兴通讯[φ（As）1{s<ζ}λs]ds。换句话说，Zφ（a）g（t，a）da=φ（κ）+ZtZφ（a）1+ξκs- 在- sg（s，a）da ds+ZtZσφ（a）g（s，a）da ds-ZtZφ（a）λ（a）g（s，a）da ds。拿t、 我们得到Zφ（a）gt（t，a）da=Zφ（a）1+ξκt- 在- t型g（t，a）da+Zσφ（a）g（t，a）da-Zφ（a）λ（a）g（t，a）da。使用分部积分，这将变成Zφ（a）gt（t，a）da=Zφ（a）h-一1+ξκt- 在- t型g（t，a）+σgaa（t，a）- λ（a）g（t，a）ida。由于φ是任意的，gt（t，a）=-一1+ξκt- 在- t型g（t，a）+σgaa（t，a）- λ（a）g（t，a），初始条件为δ函数。当a=±时，边界条件为g=0∞. 我们将方程（8）恢复为（亚）密度g（t，a）所满足的偏微分方程，这被称为正向方程。这是我们在第4节中求解的偏微分方程（使用数值方法），以获得任何时间t（或年龄κt）的支出率分布（和分位数）。一个特例给出了种群生存概率tppopκ=P（ζ>t）=Z∞-∞g（t，a）da。因此，人口危害率λpopt=-tppopκddttppopκ=-R∞-∞gt（t，a）daR∞-∞g（t，a）da。Q、 E.D。