最后，我们选择参数a ProhibitevelyHigh，这样相应的传输就没有吸引力，更精确地说，我们设置a：=5>4。市场实际上是无摩擦的，有特殊的卖空和卖空限制。资产2产生随机回报1/4+j，j∈ {-1/2, 1/2}. 通过在时间2和时间3之间收回资产3，可以大致对冲收益，即-j/m.另一方面，资产3必须在时间0时购买，这导致之前的随机回报i，i∈ {-1/2, 1/2}. 后一种回报可通过资产4进行大致对冲。这意味着存在一系列近似对冲——资产2对冲资产3，资产3对冲资产4——导致近似套利。第1步。让我们证明，（πt）t=0允许近似套利，即∩L（R+）{0}。因此，我们定义了固定k∈ N以下策略。对于t=0，我们设置ξk=e- e+k（e- e） +k（e- e）∈ -K、 对于t=1，我们定义ξK（n，m，i，j）=k- （k）∧ n） k级e- e∈ -K（n，m，i，j）。对于t=2，我们定义ξk（n，m，i，j）=（k）∧ n） k级1.-在里面e-1.-伊恩+k-m1+i∧ k（1+1）e-1+ie∈ -K（n，m，i，j）。最后，在t=3时，我们清算资产2和3中的剩余头寸。因此，我们定义ξk（n，m，i，j）=1++je-1++je+m1+i∧ k（1+1）1.-jm公司e-1+i1-jme！，属于-K（n，m，i，j）。因此，vk=ξk+ξk+ξk+ξk，等于At，我们有vk（n，m，i，j）=+ ik1.-n∧ 千牛+ j1.-1+imm1+i∧ ke、 最后，让k→ ∞, 我们获得v∈ATV（n，m，i，j）=limk→∞vk（n，m，i，j）=e，这是期望的渐近套利。因此，该模型不能接受CPS（见[KS09]中的命题3.2.6）。接下来，我们介绍bid-ask过程（e∏t）t=0，给定bye∏=2，e∏=2，e∏=2，ande∏≡1 a 1 a 1··a·1·1··1,满足以下条件≤ ∏t对于所有t=0、1、2、3。我们想证明（e∏t）t=0具有以下（NA）性质和满意度：∩ -eATt公司t=0、1、2、3时的Eattf。第2步。

我们从（NA）性质f或（e∏t）Tt=0开始。让ev∈当i=2、3、4和ev时，evi=0的ea≥ 0 a.s.我们必须证明这已经意味着ev=0 a.s.我们可以传递到v∈对于i=2、3、4 a.s.和v，带vi=0的Ea≥ 电动汽车。t、 v可以仅通过转移λ1jt（π1jt<a）和λj1t（πj1t<a）表示。（4.2）实际上，购买资产i∈ {2，3，4}以a=5的价格卖空或以1/a=1/5的价格卖空（资产1的中间部分）导致liqui在之后确定该头寸的日期后出现一定的损失。因此，我们只需要考虑v=ξ+ξ+ξ+ξ+ξ∈eA，其中ξ∈ 锥体（e- e） ，ξ∈ L（锥体（e- e、 e类-e） ，F），ξ∈ L（锥体（e- eπ3,1e，e- eπ4,1e），F）和ξ∈ L（锥体（e- eπ2,1e，e- eπ3,1e），F），具有附加限制ξ+ξ≥ 0 a.s.和ξ+ξ=0 a.s.在假设下，我们g et0≤ v（n，m，i，j）≤ ξ·（j+1/4）+i·ξ（n）-ξ（n）n+ξ（n）+ξ（n，m，i）-jm（1+i）（4.3）对于每个状态（n，m，i，j）∈ Ohm 带ξ≥ 0，ξ（n）≥ 0，ξ（n，m，i）≤ 0和ξ（n）≥ 此处，符号强调了随机变量所需的可测量性。我们有ξ（n）+ξ（n，m，i）≤ ξ（n），即t=2和t=3之间的资产3投资由F-可测随机变量ξ从上方限定。因此，方程（4.3）中的第三个求和对于较大的m变得任意小∈ N、 但是，这意味着前两项之和，即：。，ξ·（j+1/4）+i·ξ（n）-ξ（n）n,这不依赖于m，几乎肯定是非负的，只有当ξ=0且ξ（n）=ξ（n）时，对于每n∈ N、 （4.4）但随后（4.3）降至0≤ v（n，m，i，j）≤ξ（n）+ξ（n，m，i）-jm（1+i）。取j=1/2，这意味着ξ（n）=-ξ（n，m，i），因此，v≡ 因此（e∏t）t=0满意度（NA）。第3步。现在让我们在∩ -eATt公司对于t=1、2、3、4（对于t=0，无需显示）。这类似于步骤2中的证明。如（4.2）所示，我们可以限制通过不以a=5的价格进行交易的转让来呈现的投资组合。

事实上，由于我们只考虑可以确定清算的头寸，以a价取消转让（稍后再转让给资产1）将导致严格的改善，从而导致套利。由于这与步骤2中所示的（e∏t）t=0的（NA）性质相矛盾，我们可以在以下考虑中排除此类愚蠢的交易。根据（4.4）的论点，可以得出e- e6级∈ -eA。因此，我们有一个∩ -eA=锥体（e- e、 e类- e） +L（锥体（e- e） ，F）eA。现在考虑t=2的情况。让w∈ A.∩-eA，即我们可以写w=ξ+ξ+ξ=-eξ-eξ表示ξ∈ 锥体（e-e、 e类-e、 e类-e） ，ξ∈ L（锥体（e-e） ，F），ξ，eξ∈ L（锥体（e-πe，e-πe）、F）和ξ∈ L（锥体（e- πe，e- πe），F）带限制ξ+ξ+eξ≥ 0,ξ+ ξ≥ 0和ξ+ξ+ξ+eξ=0。事实上，这是（NA）和避免愚蠢交易的结果。但是，我们可以考虑v：=w- w=ξ+ξ+ξ- (-eξ-eξ）。注意，对于i=2，3，4，我们有vi=0，这唯一地确定了vasv（n，m，i，j）=ξ·（j+1/4）+i·ξ-ξ+ξ（n）n+ξ+ξ（n，m，i）+eξ（n，m，i）-jm（1+i）。另一方面，我们也有v=0。因为前两个术语不依赖于m∈ N、 我们必须有ξ·（j+1/4）+i·ξ-ξ+ξ（n）n= 0、考虑j=-1/2和i=±1/2，ξ≥ 0表示ξ=0和ξ-ξ+ξ（n）/n=0表示所有n∈ N、 因此，ξ=-ξ（n）表示所有n∈ N和ξ=0。因此，我们还有ξ（n，m，i）=eξ（n，m，i）=0。但是，我们已经显示了w=0，这等于∩ -eA={0}eA。相同的参数适用于t=3，因此A∩ -eA={0}eA。备注4.4。示例4.3还允许我们讨论以下相关问题：是否存在投标-询价流程（b∏t）Tt=0和b∏t≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，T使得（b∏T）Tt=0满足度（NA），txt=0ξT=0 a.s.，其中ξT∈ L(-Kt，Ft）=> ξt∈ L（bKt，Ft）表示所有t=0。

，T（4.5）已经暗示不存在近似套利，即∩ L（Rd+）={0}？因此（4.5）表示原始模型中涉及空策略的每笔交易在调整后的市场中以无摩擦价格进行。事实证明，这个问题的答案是否定的。事实上，在例4.3的设置中，我们定义了调整后的买卖过程（b∏t）t=0byb∏=1 1 1a 1··a·1·1··1,b∏=1 a a 1a 1··a·1·1··1,b∏=和b∏=。那么，我们有b∏t≤ ∏ta。s、 对于所有t=0、1、2、3。此外，之前考虑的调整后的招投标过程（e∏t）t=0满足（NA），并产生比（b∏t）t=0更好的贸易条件，即bAT吃因此，（b∏t）t=0继承（NA）属性。此外，原始市场中唯一的（直到与非负标量相乘）零策略是（θt- θt-1） t=0=（e- e、 e类- e、 0，0）。因此，条件（4.5）是满足的，但正如我们所示∩ L（Rd+）{0}。关键观察结果是，由于市场从（t）t=0扩展到（b∏t）t=0，新的零策略occ ur，买卖过程（b∏t）t=0满足（4.5），但不是（3.1）。事实上，Jacka、Berkaoui和Warren【JBW08】（见其中定义3.2之前的段落）发现，原始市场中的零策略在其“调整后的交易价格”延伸的市场中没有摩擦是不够的，即（4.5）是不够的。然而，在他们的示例3.3中，t=1，价格调整b∏，使得（4.5）保持真正的收益率，以便能够获得一组封闭的可实现投资组合价值（实际上，在[JBW 08]的示例3.3中，价格调整基本上包括添加L（锥（e- e） ，F），这是制定空策略（e）所必需的- e、 e类- e） =（e- e、 e/ω- e+e/ω-e/ω+e-e/ω）的原始市场，在扩展市场中无摩擦）。

另一方面，示例4.3强调了为什么在[JBW08]的方法中，无法确保原始市场中的零策略在扩展市场中是无摩擦的。参考文献【AB06】C.Aliprantis和K.Border。有限维分析：搭便车指南。Springer Verlag，2006年。【Bou06】B.Bouchard。具有比例交易成本和一般信息结构的离散时间市场中的无套利。《金融与随机》，10（2）：276–2972006。【DMW90】R.Dalang、A.Morton和W.Willinger。随机证券市场模型中的等价martin-gale测度和noarbitrage。《随机：概率与随机过程国际杂志》，29（2）：185–2011990。【DS94】F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本理论的一般版本。Mathematische annalen，300（1）：463–5201994年。【DS06】F.Delbaen和W.Schachermayer。套利的数学。Springer Verlag，2006年。[DVKS07]D.De Valli\'ere、Y.Kabanov和C.Stricker。具有交易成本和信息不完整的金融市场无套利标准。《金融与随机》，11（2）：237–251，2007年。[格里戈里耶夫]P.格里戈里耶夫。关于具有交易成本的基本资产定价定理中的低密度情形。《统计与决策》，23（1）：33–482005年。【HP81】J.Harrison和S.Pliska。连续交易理论中的鞅和随机积分。Stoc-hastic过程及其应用，11（3）：215–260，1981。【JBW08】S.Jacka、A.Berkaoui和J.Warren。具有交易成本的交易锥无套利和交割结果。《金融与随机》，12（4）：583–600，2008年。【KRS02】Y.Kabanov、M.R'asonyi和C.Stricker。摩擦充分的金融市场无套利标准。《金融与随机》，6（3）：371–3822002。【KRS03】Y.Kabanov、M.R'asonyi和C.Stricker。

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