预期严格无套利与资产基本定理

2022-6-11 05:23:42

预期严格无套利与交易成本下资产定价的基本定理*Christoph K¨uhn+Alexander Molitor+Abstracts在具有比例交易成本的离散时间市场中，Schachermayer[Sch04]表明，稳健无套利等价于存在严格一致的价格体系。在本文中，我们引入了预期严格无套利的概念，这是Kabanov、R'asonyi和Stricker[KRS02]提出的严格无套利性质的变量。前瞻性严格无套利条件略弱于稳健无套利条件，这意味着从零初始禀赋获得的投资组合集在概率上是封闭的。预期严格无套利的弱版本被证明等同于一致价格体系的存在。与Schachermayer（Sch04）的集合定价基本定理相反，一致的无摩擦价格可能位于买卖价差的边界上。在技术层面上，与Schachermayer【Sch04】和KabanovR\'asonyi Stricker【KRS03】的一个关键区别在于，我们证明了紧密性，而没有现成的零策略形成线性s节奏。关键词：比例交易成本、套利、资产定价基本定理分类：G11、G12数学主题分类（2010）：60G42、91G101无摩擦有限离散时间金融市场模型简介，没有套利机会等价于存在一个等价的概率测度，在此概率测度下折扣价格过程是鞅。这一结果被称为资产定价基本定理（FTAP）。在有限概率空间的情况下，可以追溯到Harrison an dPliska的工作【HP81】。

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2022-6-11 05:23:45

对任意概率空间的扩展称为Dalang-MortonWillinger定理[DMW90]，其原始证明随后由几位作者重新定义，参见，例如，[Sch92]，[KS01a]。在后面的证明中，关键引理被确定为：在无摩擦市场中，没有套利机会意味着可以从零禀赋获得的可套利债权集在概率上是封闭的。对于有限概率空间，Kabanov和Stricker[KS01b]将Harrisonand Pliska的FTAP扩展到具有比例交易成本的模型。他们考虑了一个通用的“货币模型”（currencymodel），包含很多货币（资产），我们在本文中也遵循了这一点。它允许通过使用任何其他资产付款来购买任何资产。在这个总体框架中，不需要*我们要感谢编辑Martin Schweizer教授（匿名副编辑）和两位匿名审稿人的宝贵意见和建议，使手稿受益匪浅。+德国法兰克福歌德大学数学研究所，法兰克福上午D-60054，电子邮件：{ckueh n，molitor}@math。法兰克福大学。deexist是一种可以扮演银行账户角色的资产，即可以以最低成本参与每次交易的资产。Kabanov和Stricker介绍了无套利（NA）如何等价于所谓的一致价格系统（CPS）的存在，该系统是在客观概率测度下的多维鞅，在每个时间点的偿付能力投资组合的对偶内取值。对于有限概率空间，这种等价性是失败的：Schachermayer【Sch04】提供了一个无套利市场的例子，该市场允许近似套利，因此不存在CPS（见其中的E x示例3.1）。

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2022-6-11 05:23:48

这就产生了一个明显的问题，在这种情况下，更强的无套利条件可以保证CPS的存在。S chachermayer【Sch04】引入了稳健无套利（NAr）的概念，这是一种无套利条件，对于买卖价差的微小变化而言是稳健的。粗略地说，如果（一对资产的）买卖价差没有消失，就必须存在更多有利的买卖价格，从而导致价差更小，这样修改后的市场仍然令人满意（NA）。Schachermayer证明，（NAr）表示从零捐赠中获得的可对冲债权集（以下用A表示）在概率上是封闭的，并且（NAr）等价于严格一致价格体系（SCPS）的存在，这是一个鞅，在每个时间点的偿付能力投资组合锥的对偶的相对内部取值。另一个条件是卡巴诺夫、拉桑尼和斯特里克引入的严格无套利（NAs）资产【KRS02】。粗略地说，市场模型满足（NAs）提供了从零捐赠到某个中间时间t可以实现的任何索赔，并且可以确定在t中进行清算，也可以通过仅在时间t进行交易从零捐赠获得。（NAs）本身并不意味着CPS的存在（关于（NAs）下近似套利的存在性，参见[Sch04]中的示例le 3.3），但该蕴涵与Penner条件一起成立（参见Penner[Pen01]和Kaban ov-R'asonyi Stricker[KRS03]的定理2））。宽松地说，彭纳条件假设，任何可以在下一个时期进行的“自由往返”资产交换——鉴于当前时期的信息——肯定可以在当前时期进行。

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2022-6-11 05:23:51

与（NAs）一起，它可以表明所谓的零策略，即具有Vanishing终值的自我融资投资组合过程的增量，形成了一个线性空间。这也是[Sch04]中展示a的封闭性的一个关键论点，这是证明CPS存在的主要步骤。实际上，byRokhlin[Rok08]证明了空策略的向量空间性质等价于（NAr）。Jacka、Berkaoui和Warren采用了不同的方法来研究近似套利的发生【J BW08】。它们为a的概率封闭提供了必要且充分的条件，并构建了调整后的交易价格，从而使相应的可从零捐赠中获得的可对冲债权锥要么包含套利，要么对应于a的封闭。不同的是，他们为调整后的交易模型假设了（弱）无套利条件，而不是为原始模型假设了更强的无套利条件（参见下面的备注4.4）。此外，需要注意的是，CPS的存在并不需要A的封闭性。在仅有两项资产（例如，一个银行账户和一支风险y股票）的情况下，Grigoriev[Gri05]表明，（NA）已经暗示存在CP S–尽管无需关闭CP S（参见[Gri05]中的示例1.3以及L’epinette和Zhao[LZ]中的提案3.5，以了解可实现清算价值集的非封闭性）。这意味着在维度2中，需要附加条件来保证可获得的清算值集是闭合的。为此，伊皮内特和赵【LZ】提供了一种直观且易于验证的条件（条件E），其中考虑了交易延期。在具有两项资产的无障碍模型的情况下，Theirproof使用Grigoriev[Gri05]保证的CPS的存在。

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2022-6-11 05:23:54

另一方面，对于三项资产，已有一个计数示例表明（NA）并不意味着存在CPS（参见[K–uh18]中的示例4.6）。本论文的目标有两个：o我们希望提供一个（易于解释的）无套利条件，该条件尽可能弱，并且在该条件下，可以从零捐赠中获得的终端投资组合集合是封闭的我们希望与CPS建立FTAP，而CPS不一定像Schachermayer[Sch04]FTAPof中那样严格。为此，我们引入了（NAs）的一个变体，我们称之为预期严格无套利（NAps），这足以保证a在概率上是闭合的（见定理2.5）。我们认为，市场模型满足（NAps）的任何索赔，从零结束时起，通过交易到某个时间t即可实现，并且随后可以肯定地进行清算，也可以在随后的期间从零捐赠中获得（这里，“后续”在严格意义上并不理解）。这意味着，与（NAs）标准相比，我们不区分可在时间t实现的交易和我们在时间t知道可在未来实现的交易。在有效摩擦的特殊情况下，（NAps）和（NAs）是等效的（见命题2.18）。在我们的证明中，我们不能依赖于零策略的向量空间属性，这是Schachermayer和Kabanov-R'asonyi Stricker争论的核心。事实上，Rokhlin【Rok08】表明，这种性质相当于（NAr），严格地说，NAr比NAps强。我们的证明依赖于在每个时间点对“可逆”和“完全不可逆”交易的交易可能性进行分解，如果最终的投资组合可以在以后的时间段内进行清算，我们将交易称为“可逆”。

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2022-6-11 05:23:57

这种分解可以看作是零策略集上投影的非线性、唯一正齐次推广，在零策略形成向量空间的情况下使用零策略集。在给定交易策略的情况下，我们在每个时间点只考虑“完全不可逆”部分，并将“可逆”部分推迟到以后的时间点，以便获得更多信息。这可以通过（NAps）实现，并且，事实证明，可以断言A在概率上是闭合的。因此，（NAps）意味着CPS的存在。另一方面，如上所述，尽管集合a未闭合，但CPS可以存在。因此，CPS的存在不能等同于（NAps）。但是，对于（NAps）的弱版本，称为弱预期严格无套利（NAwps），我们与CPS的存在性等价（见定理2.10）。市场满意度（NAwps）存在一个至少与NAps同样有利的市场。由于第二个市场不必严格地比第一个市场更有利，（NAps）意味着（NAwps）。因此，我们建立了一个FTAP，它补充了Schachermayer[Sch04]和K ab an ov-R\'asonyi Stricker[KRS02，KRS03]的观点。主要区别在于，产生的CP可能位于买卖价差的相对边界上。在第4节中，图1演示了一个非常简单的示例。或者，人们可能会想到一个实际无价格的市场，它被写成一个具有以下方式的有效摩擦的模型。时间上的每个点都分为两个点。根据相同的信息，在第一点，投资者只能购买股票，在第二点，她只能出售股票。如果无摩擦市场满足（NA），则有摩擦的艺术市场有CP，但没有SCP。

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2022-6-11 05:24:00

因此，至少从概念的角度来看，有一个带有任意CP的FTAP也是可取的。在有限概率空间的情况下，（NAwps）相当于（NA），这意味着我们的FTAP版本可以看作是Kab an ovand Stricker[KS 01b]（见其中定理1第2部分）对上述FTAP的推广，适用于任意概率空间的情况。最后，我们通过一个示例来激发（NAwps）条件，该示例表明（NAwps）不能被（NAps）条件的进一步减弱所取代（见示例4.3）。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了金融建模的框架、前瞻性严格无套利条件和弱前瞻性严格无套利条件。我们将这些性质与robus t无套利和严格无套利条件联系起来，并陈述了本文的主要结果（定理2.5和定理2.10）。证明见第3节。在第4节中，有两个非常简单的示例说明了上述无套利条件之间的差异，还有一个更复杂的示例（示例4.3）说明了近似边的可能“级联”的影响。2未来严格无套利和一致价格体系我们现在引入市场模型和相关符号。我们研究概率空间(Ohm, F、 P）配备离散时间过滤（Ft）Tt=0，T∈ N、使得FT=F。FT可测d维随机向量的空间（等价类）用L（Rd，FT）表示。对于集值映射ω7→ N（ω） Rd，我们用L（N，Ft）表示：={v∈ L（Rd，Ft）| v（ω）∈N（ω）f或a.e.ω∈ Ohm } N的Ft可测量选择器集。

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2022-6-11 05:24:03

通常，这些空间都具有概率收敛的拓扑，我们写L（N）：=L（N，FT）。我们使用Schachermayer[Sch04]的按比例交易成本的市场模型，在该模型中，领导者可以讨论其经济意义及其与[KRS02]和[KS01b]模型的关系。有d个∈ N交易资产，d×d矩阵∏=（πij）1≤i、 j≤如果（i）0<πij<∞, 对于1≤ i、 j≤ d、（ii）πii=1，对于1≤ 我≤ d、（iii）πij≤ πikπkj，对于1≤ i、 j，k≤ d、 d资产的交易条件由买卖过程（t∏）Tt=0确定，即，一个适应的d×d矩阵值过程，使得每个ω∈ Ohm 和t∈ {0，…，T}，∏T（ω）是一个bid-ask矩阵。对于每个t∈ {0，…，T}，随机矩阵∏T=（πijt）1≤i、 j≤D指定投资者在t时可获得的交易所。更准确地说，条目πijt表示代理人在t时可购买一单位资产j的资产i的数量。因此，在t时零捐赠可获得的投资组合集，在这种情况下，由Ft可测量的Rd值ran DOM变量组成，由凸锥建模X1≤i、 j≤dλij（ej- πijtei）- r（λij）1≤i、 j≤d∈ L（Rd×d+，Ft），r∈ L（Rd+，英尺）, （2.1）式中，eidenotes表示Rd的第i个单位向量。这意味着每个投资组合是λ=（λij）1阶的结果≤i、 j≤d∈ L（Rd×d+，Ft），其中λij表示资产i的按变动顺序排列的资产j的单位，以及一些非负金额r∈ L（Rd+，Ft），对应于投资者“丢弃”每项资产的一些非负数量的决定。接下来，我们确定每个ω∈ Ohm 多面体圆锥体-K（πt（ω））：=圆锥nej公司- πijt（ω）eio1≤i、 j≤d-工程安装1.≤我≤d,我们缩写为-Kt（ω）：=-K（πt（ω））。

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2022-6-11 05:24:06

在下面的引理3.1中，我们简要地验证了（2.1）中给出的s et与集合L一致这一非常明显的事实(-集值映射ω7的可测选择器的Kt，Ft）→ -Kt（ω）。我们在本文中使用这个等式，并参考L(-Kt，Ft）作为一组可从零捐赠时间t.definition 2.1中获得的投资组合。Rd值的适应过程θ=（θt）Tt=0称为投标-询价过程的自融资组合过程（θt）Tt=0如果θt- θt-1.∈ L(-Kt，Ft）对于所有t=0，T、（2.2）其中-1:= 0. 因此，对于具有s，t的每对（s，t）∈ {0，…，T}和s≤ t、 s和t之间的零禀赋可实现的可对冲债权的凸性由Atsandis表示，定义为beAts：=tXk=sL(-Kk，Fk）。对于备选的买卖过程（e∏t）Tt=0，相应的集合用EATS表示，其中-eKt（ω）：=-K（e∏t（ω））表示所有ω∈ Ohm t=0，T本文关注的主要对象是从0到T之间的零债务可获得的可对冲债权锥。然而，我们仍然需要以下辅助概念。设Kt（ω）：=-(-每个ω的Kt（ω））∈ Ohm, 然后将凸锥L（Kt，Ft）称为时间t的溶剂组合集，（多面体）锥Kt（ω）称为与买卖矩阵∏t（ω）对应的溶剂组合集。实际上，对于每个投资组合v∈ L（Kt，Ft）投资组合-v∈ L(-Kt，Ft）可在零价格下实现，因此投资组合v可清算至零，因此具有偿付能力。类似地，设Kt（ω）：=Kt（ω）∩-每个ω的Kt（ω）∈ Ohm, 然后，L（Kt，Ft）表示投资组合的空间，在零支付时可以实现，反之亦然，则表示溶剂。在介绍新的无套利条件之前，我们先回顾一下文献中的无套利概念。定义2.2（与[Sch04]和[KRS03]相比）。（i）买卖过程ss（t）Tt=0满足无套利性（NA）ifAT∩ L（Rd+）={0}。

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2022-6-11 05:24:09

（2.3）（ii）买卖过程（t）Tt=0满足严格的无套利性质（NAs）i fAt∩ L（Kt，Ft） L（Kt，Ft）对于所有t=0，T、（2.4）（iii）如果存在阿比德ask过程（e∏T）Tt=0，且所有1的买卖价差较小，则买卖过程（e∏T）Tt=0满足稳健无套利条件（NAr），即πjit（ω）、eπijt（ω）II的相对内部包含的价差πjit（ω）、πtij（ω）i（2.5）≤ i、 j≤ d、 t型∈ {0，…，T}和几乎所有ω∈ Ohm, 使得（e∏t）Tt=0满足无套利条件（NA）。我们只注意到，在买卖双方均为零的情况下，条件（2.5）通过选择∏=来满足，即不排除无摩擦市场。众所周知，尽管每个锥体(-Kt，Ft）在概率收敛方面是闭合的，圆锥可能会闭合。如前所述，（NA）和（NAs）都不足以保证ATis关闭（见[Sch04]中的示例3.1和3.3]）。这与无摩擦情况相反，无摩擦情况下（NA）有效（参见[DS06]中的定理6.9.2）。在目前的情况下，Schacherm ayer【Sch04】表明，稳健的无轨道条件（NAr）足够强，可以确保ATis关闭。现在，我们引入了一种称为“预期严格无套利”（NAps）的（NAr）轻度减弱，这仍然能够保证ATis关闭。定义2.3。bi d-ask过程（πt）Tt=0满足预期严格无套利性质（NAps）i fAt∩ (-收件人） ATT对于所有t=0，T、备注2.4。（NAps）属性具有以下解释：任何c laim v∈ A通过交易时间t之前的资产组合，该资产组合在t或后续期间可减少至零，即。，-v∈ ATt只能通过t和t之间的交易来实现，即v∈ 收件人：。

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2022-6-11 05:24:12

这是（NAs）条件的一种变化，它假设任何索赔∈ 可在时间t清算，即：。，-v∈ Att，也必须在时间t达到，即v∈ 注：唯一的区别是，我们无法区分时间t的交易和时间t确定未来可以实现的交易。不同的是，对于每一个t，我们都会对t之前的交易进行审查。要么没有从交易中获得优势，因为可以通过在t开始交易来确定相同的终端头寸。要么，在t之前的交易中承担一些风险，因为头寸在未来无法确定。在充分摩擦的情况下，条件（NAP）和（NAs）一致（见命题2.18）。我们已经可以表述论文的第一个主要结果：定理2.5。如果买卖过程（πt）Tt=0具有预期严格无套利性质（NAps），则凸锥ATis在概率收敛方面是闭合的。上述定理对对偶变量的存在有明显的影响。对于给定的ask矩阵∏，（正）对偶锥K偿付能力锥的K=K（π）由K定义:= {w∈ Rd：高压，wi≥ 所有v为0∈ K} 。对于bid-ask过程（πt）Tt=0，这将导致集值过程（Kt） Tt=双锥的0。我们现在可以定义一致价格系统的概念，它与自我融资投资组合过程的概念是双重的，并且与无摩擦理论中的等效martin gale测度的通知起着类似的作用。关于经济解释的详细讨论，我们再次参考【Sch04】。定义2.6。如果Z是P和Zt下的鞅，则适应的Rd+-值过程Z=（Zt）Tt=0称为买卖过程（t∏）Tt=0的一致价格系统（CPS）∈ L（Kt{0}，Ft），即Zt（ω）∈ Ka.e.ω的t（ω）\\{0}∈ Ohm 每个t∈ {0, . . .

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2022-6-11 05:24:15

，T}。定理2.5的结果如下。推论2.7。如果买卖过程（t∏t）Tt=0满足预期的严格无套利条件（NAps），则它接受一致的价格体系（CPS）。更一般地，对于任何给定的严格正FT可测量函数Д：Ohm → （0，1），有一个CPS Z=（Zt）Tt=0和KZTK≤ MИa.s.f或一些M∈ R+\\{0}，其中k·k表示Rd上的欧几里德范数。备注2.8。（NAps）的一个抽象版本是这样写的：如果一个时间t之前的策略可以扩展到一个在t时没有损失的策略，那么任何其他扩展都可以在t时由在t之前没有交易的astrategy主导。这个方案可以在不同的市场模型中以非常规范的方式正式化，包括资本金税、限制订单执行的不确定性、，或股息支付资产，Schachermayer[Sch04]中示例3.1中的基本问题也可能出现（例如，参见[K¨uh18]中的示例4.5）。我们证明的论点可以适用于这些模型，以表明可达到的终端投资组合集是封闭的。例如，在效用函数位于正实数线上的最优投资问题中，这大致意味着，由可实现投资组合（初始禀赋为给定n）的清算值支配的非负随机变量集C在概率上也是闭合的。因此，将对偶变量D的集合定义为C的极集合，Kramkov和Schachermayer[KS99，定理3.1和3.2]中对偶结果的抽象版本也可以应用于这些模型。推论2.7的反面不成立。更一般地说，根据[KS09]第3.2.4节中的示例1，不存在既能保证交易数据的接近性，又能保证交易价格存在的无套利标准，参见备注2.13中的讨论。

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2022-6-11 05:24:18

然而，如果我们从（NAP）转移到预期严格无套利的较弱概念，我们可以建立一个等价关系。定义2.9。如果存在买卖过程（e∏t）Tt=0且e∏t为0，则b id ask过程（t∏t）Tt=0满足弱预期严格无套利性（NAwps）≤ ∏ta。s、对于所有t=0，T，因此（e∏T）Tt=0满足预期严格无套利条件（NAps）。（NAwps）条件显然是（NAps）条件的弱化，因为定义2.9中的bid-ASK过程（e∏t）Tt=0不必比（t∏）Tt=0更有利。下面的示例4.2说明了这两种情况之间的差异，另请参见备注2.13。我们的第二个主要结果是资产定价的以下基本定理。定理2.10。只有在允许一致价格体系（CPS）的情况下，买卖过程（πt）Tt=0才能满足弱预期严格无套利条件（NAwps）。备注2.11。定理2.10将Kabanov和Stricker[KS01b]中定理1的第2部分扩展到有限概率空间的情况。将这两个定理结合起来，可以看出（NAwps）具有与（NA）等价的优良性质，如果|Ohm| < ∞.备注2.12。此外，在轨道概率空间上只有两个资产的情况下，（NA）和（NAwps）重合，这是由Grigoriev推导的（NA）的等价性和ACP的存在性得出的【Gri05】。备注2.13。在下面的讨论中，我们确定了一个“无套利”准则C，该准则是一组满足该准则的买卖过程，如果所有买卖过程都满足该准则，则称其为单调的≤ π，e∏∈ C表示∏∈ C、简单（NA）条件明显满足单调性。如果不考虑没有充分摩擦的买卖矩阵，即πijπji，则更复杂的标准（N As），（NAr）和（NAps）通常是唯一的≥ 对于所有i 6=j，eπijeπji>1。

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2022-6-11 05:24:21

一方面，CPS的存在性等价于单调准则。另一方面，可实现投资组合集的封闭性不会转移到具有较不有利的买卖过程的市场（参见示例【KS09，第3.2.4节，示例1】和【JBW 08，示例2.1】）。因此，为了保证紧密性，例如在最优投资问题的背景下，对单调标准的限制将是不必要的限制。（NAwps）标准可以描述为“弱于（NAps）的最强单调标准”，即它直接遵循定义2.9，即（NAwps）=\\（NAps）C、 C是单调的。（2.6）在无摩擦市场的特殊情况下，标准（NAP）和（NAwps）一致（见提案2.16）。我们强调，情况不能像无摩擦情况那样清晰。在不受时间限制的市场中，（NA）已经暗示了封闭性（见Schachermayer[Sch92]）。在连续时间无摩擦市场中，Delbaen和Schachermayer[DS94]在“无免费午餐且风险为零”（NFLVR）的经济意义假设下，导出了适当拓扑中的封闭性，这对于等价鞅测度的存在也是必要的。根据交易成本，Delbaen和Schachermayer的FTAP【DS94】无法维持。即，Schachermayer[Sch04]satis（NFLVR）中为多元投资组合过程定义的示例3.1，即不存在任何资产中空头头寸一致收敛为零的近似套利，但CPS仍然不适用于xi st。（NAwps）属性不足以确保ATis在概率上关闭。然而，我们对定理2.10有以下明显的推论。推论2.14。

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2022-6-11 05:24:23

如果买卖过程（t∏t）Tt=0满足弱预期严格无套利条件（NAwps），那么我们有∩ L（Rd+）={0}。简短的证明也推迟到第3节。备注2.15。（NAwps）假设存在一个买卖过程（e∏t）Tt=0，使得e∏t≤ ∏ta。s、对于所有t=0，安第斯山脉∩-eATt公司t对于所有t=0，T、（2.7）有人可能会问，是否可以用以下稍微弱一点的条件来代替该条件：存在一个投标-询价过程（e∏T）Tt=0满足（NA），这样e∏T≤ ∏ta。s、对于所有t=0，T和T∩-eATt公司t对于所有t=0，T（2.8）事实上，根据命题2.16，（2.7）意味着E∏满足（NA），这意味着第二个条件是第一个条件的减弱。在条件（2.8）中，通过在原始市场中进行交易而获得的头寸，只有在更有利的市场模型∏中进行“评估”。但是，可能令人惊讶的是，（2.8）并没有排除近似套利的存在，因此CPS不需要存在（见下面的示例4.3）。提案2.16。我们有以下含义（NAr）=> （N Aps）=> （N Awps）=> （无）。（2.9）备注2.17。（2.9）中的所有含义都是严格的（参见下面的示例4.1和4.2；对于（NA）6=> （NAwps），考虑具有近似套利的无套利模型，如[Sch04]中的示例3.1，并应用推论2.14）。命题2.16的证明。Ad（NAr）=> （小睡）。假设买卖过程（t）Tt=0满足度（NAr），让v∈ 在这样的情况下-v∈ 收件人：我们必须显示v∈ 注意：根据我们的假设，我们有v=Pts=0eξswithξs∈ L(-Ks，Fs），对于s=0，t和-v=PTs=tbξswithbξs∈ L(-Ks，Fs），对于s=t，T因此，我们定义ξs∈ L(-Ks，Fs）通过ξs：=eξs，s<t，eξs+bξs，s=t，bξs，s>t，注意pts=0ξs=v- v=0。根据[KS09]中的引理3.2.12，可以得出ξs∈L（Ks，Fs）表示所有s=0，T

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大多数88

2022-6-11 05:24:26

特别是，我们有bξs∈ L（Ks，Fs）表示s>t。此外，wehavebξt=-eξt+ξt∈ L（Kt，Ft）+L（Kt，Ft）=L（Kt，Ft）。这意味着v=PTs=t(-bξs）∈ ATt，其中总结了第一个含义的证明。Ad（小睡）=> （NAwps）。明显的Ad（NAwps）=> （不适用）。假设投标-询价过程（e∏t）Tt=0满足（NAwps），即存在一个投标-询价过程（e∏t）Tt=0且e∏t≤ ∏ta。s、对于所有t=0，T和（e∏T）Tt=0满意度（NAps）。让v∈ 在∩ L（Rd+）吃∩ L（Rd+）。这显然意味着-v∈ L(-eKT，FT），因此，通过（NAps）of e∏，v∈ L(-eKT，FT）。连同(-eKT（ω））∩ 对于每个ω，Rd+={0}∈ Ohm, 根据买卖矩阵的性质，该影响为v=0 a.s。因此，买卖过程（t）Tt=0满意度（NA）。提案2.18。让有效摩擦力（EF）条件保持不变，即Kt（ω）：=Kt（ω）∩ (-Kt（ω））={0}对于所有t=0，T和ω∈ Ohm, （EF）或等效地，对于所有1，πijt（ω）πjit（ω）>1≤ i 6=j≤ d、 t=0，T和ω∈ Ohm. 然后，我们有了等价物（NAps）<=> （N As）。（2.10）备注2.19。通常，（NAs）对于（NAP）既不是必要的，也不是有效的。的确，（小睡）6=> （NAs）简单明了，（NAs）6=> （NAps）遵循【Sch04】中的示例3.3。但是，众所周知，有效摩擦力（NAr）和（NAs）是等效的（参见[KRS02]中的定理1和[Sch04]中的定理1.7）。因此，在这种情况下，（NAr），（NAs）和（NAP）是一致的。命题2.18的证明。鉴于位置2.16和前面的备注，有必要显示（NAps）=>（NAs）。因此，我们认为（小睡）是正确的。让我们通过t=t，t上的后向导引来显示-1.0，位于∩L（Kt，Ft）={0}。设t=t和d v∈ 在∩L（KT，FT），则（NAps）表示v∈ L(-KT，FT），即v∈ L（KT∩ (-KT），FT），在（EF）下，i等于v=0 a.s。对于感应步骤t+1 t，我们让t<t，并假设为∩ L（Ks，Fs）={0}对于s=t+1，T

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2022-6-11 05:24:29

给定v∈ 在∩ L（Kt，Ft），我们可以写v=PTs=tξsforξs∈ L(-Ks，Fs）通过（NAps）。自从-v∈ L(-Kt，Ft）和-v+PT-1s=tξs=-ξT，我们得到-v+PT-1s=tξs∈ 在∩L（KT，FT）。因此，根据归纳假设，-v+PT-2s=tξs=-ξT-1、因此，-v+PT-2s=tξs∈ 在-1.∩L（KT-1，英尺-1）同样，根据归纳假设，-v+PT-3s=tξs=-ξT-2、持续不断地-v+ξt=0，但这表示v∈ L（Kt∩ (-Kt），Ft），因此v=0 a.s.×（EF）。备注2.20（超边缘）。根据定理2.5，Schachermayer[Sch04]中的超边缘结果（见其中的定理4.1）及其证明在（t）Tt=0satifies（NAps）而不是（NAr）的较弱假设下一一成立——只有在括号中没有“严格一致的价格体系”的陈述。主要结果的3个证明本节致力于定理2.5的证明。第2节的其他结果是交易结束的标准后果，因此我们主要参考文献中的已知结果，并强调了细微的调整。后者推迟到本节末尾。定理2.5证明中的主要障碍是，我们手头没有零策略，即（ξ，…，ξT）的元素∈ L(-K、 F）×···×L(-KT，FT），其中ptt=0ξt=0a。s、，形成线性空间。也就是说，Rokhlin【Rok08】表明，应用txt=0ξt=0 a.s.，ξt∈ L(-Kt，Ft）=> ξt∈ L（Kt，Ft）对于所有t=0，T、（3.1）相当于（NAr），其严格强于（NAps）。因此，在下文中，我们提出了一种新的证明方法，克服了这一障碍。在开始主要证明之前，我们先证明(-Kt，Ft）与s et givenin（2.1）一致。稍后，这允许我们直接与λ阶进行争论∈ L（Rd×d+，Ft）和向量r∈L（Rd+，Ft）而不是L的结果元素(-Kt，Ft）。为了便于记法，我们定义了所有t=0。

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2022-6-11 05:24:32

，地图平：L（Rd×d+，Ft）→ L（Rd，Ft）byLt（λt）=X1≤i、 j≤dλijt（ej- πijtei）对于所有λt=（λijt）1≤i、 j≤d∈ L（Rd×d+，英尺）。引理3.1。设∏=（t）Tt=0表示一个买卖过程。那么，我们有(-Kt，Ft）=nLt（λt）- rt |λt∈ L（Rd×d+，Ft），rt∈ L（Rd+，Ft）o（3.2），对于所有t=0，因此，我们有ats=（tXk=sLk（λk）- r |λk∈ L（Rd×d+，Fk），k=s，t、 r∈ L（Rd+，Ft））（3.3）表示所有0≤ s≤ t型≤ T证据对于每个λt∈ L（Rd×d+，Ft）和rt∈ L（Rd+，Ft）随机向量Lt（λt）- rtis是L元素(-Kt，Ft）。因此，我们只需证明对于每个v∈ L(-Kt，Ft），我们可以找到λt∈ L（Rd×d+，Ft）和rt∈ L（Rd+，Ft），使得v=Lt（λt）- rta。s、为此，让v∈ L(-Kt，Ft），即v（ω）∈ -每个ω的Kt（ω）∈ Ohm \\ N、 WHER e N公司∈ Ftis是测量零点的ETO。然后ev：=Ohm\\内华达州∈ L(-Kt，Ft）满足ev=v a.s.和ev（ω）∈ -所有ω的Kt（ω）∈ Ohm. 接下来，我们定义了集值映射ω7→ P（ω） Rd×d×RdbyP（ω）：=（λ，r）∈ Rd×d×Rd |λ，r≥ 0，X1≤i、 j≤dλijej公司- πijt（ω）ei- r=ev（ω）.我们有P（ω）6= 对于每个ω∈ Ohm 根据ev（ω）∈ -每个ω的Kt（ω）∈ Ohm. 此外，映射ω7→P1级≤i、 j≤dλijej公司- πijt（ω）ei- r是可测量的Ft（λ，r）∈ Rd×d+×Rd+，以及映射（λ，r）7→P1级≤i、 j≤dλijej公司- πijt（ω）ei- r对于每个ω都是连续的∈ Ohm. 因此，我们可以应用【RW09】中的eorem 14.36来确定λt∈ L（Rd×d+，Ft）和rt∈ L（Rd+，Ft），使得（λt（ω），rt（ω））∈ P（ω）表示所有ω∈ Ohm. 这将产生ev（ω）=P1≤i、 j≤dλijt（ω）ej公司- πijt（ω）ei- 每个ω的r（ω）∈ Ohm 因此，我们有v=Lt（λt）- rta。s、最后，（3.3）直接遵循（3.2）。定义3.2。对于任何t∈ {0，…，T- 1} ，我们定义了可逆序的（凸）锥在t byRt：={λ∈ L（Rd×d+，Ft）|- Lt（λ）∈ 收件人+1}。下面的引理将L（Rd×d+，Ft）的元素适当分解为可逆和“纯不可逆”阶。对于分解，需要在概率上进行Rtisclosed。

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2022-6-11 05:24:35

为了实现这一点，引理假设ATt+1在概率上是闭合的，这一性质在这里还没有显示出来。引理3.3。让t∈ {0，…，T- 1} 并假设ATt+1在概率上是闭合的。那么对于任何λ∈ L（Rd×d+，Ft）存在唯一对（最多空集）λ∈ Rtandλ∈ L（Rd×d+，Ft），λ=λ+λ，对于任何分解λ=eλ+eλ，eλ∈ Rt，eλ∈ L（Rd×d+，Ft），wehavekλk≤ keλkP-a.s.，（3.4）其中不等式对{λ6=eλ}P-a.s.严格，k·kdenotes是Rd×d上的欧氏范数。此外，映射pt:L（Rd×d+，Ft）→ Rt和qt:L（Rd×d+，Ft）→ 由pt（λ）=λ和qt（λ）=λ定义的L（Rd×d+，Ft）具有以下特性：（i）对于所有λ∈ L（Rd×d+，Ft）和所有非负Ft可测量标量u我们有pt（uλ）=upt（λ），（ii）图像（qt）={λ∈ L（Rd×d+，Ft）| qt（λ）=λ}，（iii）图像（pt）∩ 图像（qt）={0}。我们将pt（λ）和dqt（λ）称为λ阶的可逆和纯不可逆部分∈ L（Rd×d+，Ft），分别为。以下分解的连续性是定理2.5证明的最后一个要素。引理3.4。让t∈ {0，…，T-1} 并假设ATt+1在概率上是闭合的。Let（λn）n∈NL（Rd×d+，Ft）将P-a.s.收敛到某个λ∈ L（Rd×d+，英尺）。然后，pt（λn）→ pt（λ）和qt（λn）→n的qt（λ）P-a.s→ ∞. 特别是，图像（qt）在概率上是封闭的。我们推迟了这两个引理的讨论，以便对它们的使用发表一些评论。通过前瞻性严格无套利（NAps）特性，可逆订单可以推迟到以后的周期∈ {t+1，…，t}。因此，时间t上的任何序都可以被其在时间t上的纯不可逆部分所取代。另一方面，如果att中的序列收敛，则时间t上纯不可逆序的爆炸可能会导致矛盾。

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2022-6-11 05:24:38

映射Pt在[Sch04]中扮演着将任意自我融资策略投影到空策略集的角色。在那里，零策略形成了一个线性子空间，这意味着正交部分是自动自融资的。这个属性在这里是不可用的，因此我们不能反对投影，而是更复杂的分解。或者，引理3.3中的分解也可以在portfoliochangesθt的水平上定义- θt-1.∈ L（Rd，Ft）。但是，在引理3.4的证明中，我们必须直接用λ阶论证d。为方便读者，我们回顾了一个关于可测子序列存在性的引理，该引理在以下证明中多次应用（参见，例如[Sch04]和[KS01a]）。引理3.5（引理A.2 of[Sch04]）。让t∈ {0，…，T}。对于序列（fn）n∈N L（Rd×d+，Ft），有一个

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2022-6-11 05:24:41

因此，请注意随机变量集{kλ-eλk | eλ∈ Xλ}向下。实际上，对于每个λ，λ∈ Xλ，一个有kλ- λk=kλ- λk∧kλ- λk，其中xλ λ： ={kλ-λk≤kλ-λk}λ+{kλ-λk>kλ-λk}λ。因此，存在一系列随机变量（λn）n Xλ使得kλ- λnk→ x P-a.s.forn公司→ ∞. 根据欧几里德范数Rd×的平行四边形定律（例如，参见[AB06]中的引理6.51）和Xλ的凸性，我们得到kλn- λmk=2kλ- λnk+2kλ- λmk- 4kλ-λn+λmk≤ 2kλ- λnk+2kλ- λmk- 4x P-a.s.（3.5）（3.5）表示（λn）n∈n将P-a.s.收敛到L的某个元素（Rd×d+，Ft）。通过xλ的闭度，我们导出了存在性。假设意义上的唯一性也来自估计（3.5）。这意味着映射pta和qt已得到很好的定义，仍需证明它们符合属性。Ad（i）：Letu≥ 0是Ft可测量的随机变量。由于RtandL（Rd×d+，Ft）在与非负Ft可测随机变量相乘的情况下是闭合的，因此我们得到Xuλ={ueλ| eλ∈ Xλ}。然后，断言来自于ptfrom的构造。Ad（ii）：Letλ∈ L（Rd×d+，英尺）。我们有pt（λ）+pt（qt（λ））∈ Rt+Rt Rtandλ-（pt（λ）+pt（qt（λ））=qt（λ）- pt（qt（λ））∈ L（Rd×d+，Ft），通过定义pt，尤其是Rpt（λ）+pt（qt（λ））∈ Xλ。（3.6）在另一个han d上，一个haskλ- （pt（λ）+pt（qt（λ））k=kqt（λ）- pt（qt（λ））k≤ kqt（λ）k=kλ- pt（λ）kP-a.s.（3.7），其中不等式成立，因为pt（qt（λ））是qt（λ）的最佳可逆部分。根据（3.7），（3.6），以及λ分解中最优可逆部分的唯一性，得出pt（λ）+pt（qt（λ））=pt（λ）P-a.s.和thusImage（pto qt）={0}。（3.8）断言紧随（3.8）之后。Ad（iii）：紧跟在（ii）之后。引理3.4的证明。我们必须证明λn→ λP-a.s==> pt（λn）→ pt（λ）P-a.s。

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2022-6-11 05:24:45

（3.9）通过传递到几乎肯定收敛的子序列，图像（qt）在概率上闭合的性质立即遵循Lemm a 3.3（ii）和（3.9）。为了显示（3.9），我们定义了每个n∈ N Ft可测实值随机变量uN（ω）：=1∧ inf1≤i、 j≤dpt（λ）ij（ω）>0λijn（ω）pt（λ）ij（ω）。（3.10）一个具有unpt（λ）∈ Rtandλn- unpt（λ）∈ L（Rd×d+，Ft），即unpt（λ）∈ Xλn。这意味着我们压缩传递矩阵pt（λ），以将λn分解为可逆部分和不可逆部分（通常不是最优的）。注意，在pt（λ）ij（ω）=0的普通情况下，对于所有（i，j），压缩是无关的，这里e的un（ω）=1。由于pt（λn）是λn的最佳可逆部分，因此kλn- pt（λn）k≤ kλn- unpt（λ）kP-a.s。n∈ N、（3.11）此外，通过λij≥ pt（λ）ij≥ 所有i为0，j=1，d和λn→ λ、我们有un→ 1 P-a.s.结合这一点和欧几里德范数的三角不等式，我们得到了atlim supn→∞kλ- pt（λn）k=lim supn→∞kλn- pt（λn）k≤ lim支持→∞kλn- unpt（λ）k=kλ- pt（λ）kP-a.s.，其中不等式遵循fr om（3.11）。因为pt（λ）是λ的最佳r可逆部分，这意味着- pt（λn）k→ kλ- pt（λ）k，n→ ∞, P-a.s.（3.12）为了完成证明，我们定义了Ft可测随机变量ε（ω）：=sup{1/k | k∈N、 kpt（λN）- pt（λ）k（ω）≥ 1/k，对于集合A上严格正的整数n}：={pt（λn）6→ pt（λ）}∈ 然后，我们构造了随机子序列（τk）k∈n通过τ：=0和τk：=inf{n∈ N | N>τk-1，kpt（λn）- pt（λ）k≥ ε} 在A和τk上：=k在Ohm \\ A、通过构造，我们得到了thatP（kpt（λτk）- pt（λ）k≥ ε, k∈ N | A）=1。（3.13）乘以λn→ λ和0≤ pt（λn）ij≤ λijn，一个有supn∈Nkpt（λn）k≤ supn公司∈NkλNk<∞ 因此，根据引理3.5，存在一个随机子序列（eτk）k∈Nof（τk）k∈Nand和f∈ L（Rd×d+，Ft）s.t.pt（λeτk）→ f P-a.s。

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2022-6-11 05:24:48

与（3.12）一起，这意味着th在kλ处- fk=kλ- pt（λ）kP-a.s。。此外，我们还有f∈ Xλ。另一方面，通过（3.13），P-A.s上的f 6=pt（λ）。由于pt（λ）是引理3.3意义下λ的唯一最佳可逆部分，如果P（A）=0，并且我们完成了，则这两个性质可以同时保持。备注3.6。我们注意到，为了证明定理2.5，我们只需要一个较弱的断言，即image（qt）在概率上是封闭的。为了证明这一断言，可以将自己限制为λn=qt（λn）的序列，即。，pt（λn）=0，对于所有n∈ N、上述证明已经用（3.12）完成。我们现在可以证明定理2.5了。正如在《卡巴诺夫·拉索尼·斯特里克》（Kabanov-R'asonyi Stricker）[KRS03]中，我们通过对周期的引导进行论证。关键区别在于，可逆订单被推迟到后期，而不是在同一时期执行和补偿。后者是不可能的，因为空策略不形成线性空间。定理2.5的证明。假设买卖过程（t∏）Tt=0满意度（NAps）。让我们通过t=t，t上的反向归纳来证明- 1.0表示阿提斯以概率闭合。由于ATT与L一致，因此归纳基础t=t微不足道(-KT，FT），其概率是闭合的。归纳步骤t+1 t：我们假设ATt+1在某些t的概率上是闭合的≤ T-我必须证明阿提斯也关门了。因此，设（ξn）n∈Nbe在ATT中收敛到某些ξ的序列∈ 概率L（Rd）。显然，我们可以假设ξn→ ξ几乎肯定会绕过一个子序列。我们必须证明ξ∈ 附件步骤1。根据引理3.1，我们可以写出ξn=TXs=tLs（λns）- rn，n∈ N、（3.14）式中（λns）N∈N L（Rd×d+，Fs），对于每个s=t，T和（rn）n∈N L（Rd+）。

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2022-6-11 05:24:51

在ATt+1概率闭合的归纳假设下，我们应用引理3.3将λntinto分解为pt（λnt）+qt（λnt）和thusLt（λnt）=Lt（pt（λnt））+Lt（qt（λnt）），其中pt（λnt）是可逆的，qt（λnt）是纯不可逆的。这意味着Lt（pt（λnt））∈在∩(-收件人+1）。预期严格无套利（NAps）属性意味着∩-收件人+1在+1处∩-收件人+1 ATt+1，因此Lt（pt（λnt））∈ 收件人+1。这允许我们将（3.14）重写为ξn=Lt（qt（λnt））+Lt（pt（λnt））+TXs=t+1Ls（λns）- rn=：Lt（qt（λnt））+xn带xn∈ 收件人+1。因此，从现在起，我们可以假设w.l.o.g.（λnt）n∈N 图像（qt）。第2步。我们的下一个目标是证明p（A）=0，其中A：={lim supn→∞kλntk=∞}. （3.15）通过引理3.5，我们可以传递到一个可测的子序列（τk）k∈对于a.e.ω∈ 对于所有k，Awe的λτk（ω）t（ω）6=0∈ N和limk→∞kλτk（ω）t（ω）k=∞. 然后，通过图像（qt）在与非负Ft可测量标量相乘下的稳定性（见引理3.3（i）），我们发现λnt：=λτntkλτntkAbelongs to Image（qt），此外，我们还需要λns：=λτnskλτntkA∈ 对于s=t+1，…，L（Rd×d+，Fs），T和ern：=rnkλτntkA∈ L（Rd+）。我们有pts=tLs（eλns）- ern=Aξτn/kλτntk→ 现在，我们可以再次应用引理3.5来找到一个可测量的子序列（σk）k∈Nsuch thateλt：=limk→∞eλσkt（3.16）存在，且keλtk=limk→∞keλσktk。依次为Lt（eλσkt）→ Lt（eλt），因此序列txs=t+1Ls（eλσks）- erσk！k∈N 收件人+1接近-Lt（eλt）。由于引理3.1的作用，ATt+1是闭合的，而d是闭合的，因此极限可以写为asPTs=t+1Ls（eλs）- 呃，也就是说，我们有lt（eλt）+TXs=t+1Ls（eλs）- er=0 P-a.s.带Eλs∈ L（Rd×d+，Fs）和er∈ L（Rd+，Fs）。因此，我们得到λ是可逆的，即λt∈ Rt=图像（pt）。然而，另一方面，序列（eλσkt）k∈Nbelong to Image（qt），因此，byLemma 3.4，eλt∈ 图像（qt）。因此λt∈ 图像（pt）∩ 根据引理3.3（iii），图像（qt），henceeλt=0 a.s。

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2022-6-11 05:24:53

由于P（A）=P（eλt6=0），只有当P（A）=0，即（3.15）保持不变时，这才可能。第3步。根据步骤2，我们可以应用引理3.5来找到可测量的子序列（τk）k∈确保λτkt→ λt∈ L（Rd×d+，Ft）P-a.s.用于k→ ∞ 因此，Lt（λτkt）→ Lt（λt）a.s.因此，PTs=t+1Ls（λτks）-rτkcs向ξ收敛-Lt（λt），根据归纳假设，它属于ATt+1。这意味着ξ∈ 最后，我们完成了剩余的证明。请注意，每个结果都是集合在（NAps）条件下概率闭合的标准结果，因此我们只给出了相应的参考，并指出了需要进行某些更改的地方。推论2.7的证明。有必要重复第29页的论证，在[Sch04]中定理2.1的第5-33行之间，用AT（而不是AT）表示，其中ich由定理2.5闭合。定理2.10的证明。（NAwps）=> CPS：根据（NAwps）条件，有一个bidask过程（e∏t）Tt=0，其中e∏t≤ ∏ta。s、对于所有t=0，T令人满意（小睡）。推论2.7意味着（e∏t）Tt=0允许CPS，这显然也是（t∏）Tt=0的CPS。 CPS公司=> （NAwps）：再次有必要在[Sch04]中第2.1条证明的第1-12行之间重复第30页的参数，以确定无摩擦的买卖过程（e∏t）Tt=0，即e∏ijt=1/e∏jit，其中e∏t≤ ∏ta。s、对于所有t=0，T满足（NA），在无摩擦情况下与命题2.16中的（NAps）一致。因此，（t）Tt=0满意度（NAwps）。推论2.14的证明。这是一致价格体系存在的一个众所周知的结果。例如，我们可以使用[KS09]中的第3.2.6条命题来了解一致价格体系的存在意味着∩ L（KT，FT） L(KT，FT）。为了完成证明，我们注意到千吨级∩ Rd+={0}。

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2022-6-11 05:24:56

实际上，通过πij<∞, v的存在性∈ Rd+\\{0}和序列（vn）n∈N Rd\\KT（ω）），带vn→ v很容易导致矛盾。备注3.7。我们的结果可以扩展到[KS09]第3.2小节中定义的卡巴诺夫模型，该模型除了此处考虑的易货市场外，还涵盖了更广泛的模型，例如，银行账户收取交易成本的易货市场模型和交换一揽子资产的模型。为了看到这一点，我们简要地强调了minoradjustments。另一方面，引理3.3和3.4的证明在很大程度上是基于偿付能力锥的多面体结构。（3.10）converg esto 1中定义的关键论点不适用于一般封闭偿付能力锥。卡巴诺夫模型定义如下。Let（（Xit）Tt=0）i∈Nbe一系列经过调整的Rd值处理，使得对于所有t和ω，集合{i∈ N | Xit（ω）6=0}是非空且有限的，并且设置-Kt（ω）：=圆锥（Xit（ω）| i∈ N）。在这种情况下，K=（Kt）Tt=0由Kt（ω）定义：=-(-Kt（ω））称为锥值过程。此外，我们假设Rd+\\{0} intKT（ω）表示所有ω（对应于自由处置资产的可能性和πijT<∞ 对于基本模型中的所有i、j）和-KT（ω）∩ Rd+={0}（对应于πijT≤ 对于所有i、j、k），πikTπkjt和πiiT=1）。通过s和t之间的交易从零捐赠中获得的可对冲债权锥由Ats=Ptk=sL给出(-Kk，Fk），s≤ t、相应地定义了（NA）和（NAps）条件。我们现在概述如何在这个更一般的环境中应用前面证明的参数。Le t It（ω）：=sup{n∈ ω的N | Xnt（ω）6=0}∈ Ohm t=0，T上述假设保证它是一个N值Ft可测随机变量。通过Ohm =硅∈N{It=I}，引理3.1、3.3和3.4中的参数可以分别应用于I的集合{It=I}∈ N

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2022-6-11 05:24:59

特别是，投资组合变化可以用Lt（λt）：=PIti=1λitXit表示，其中λit∈ L（R+，英尺）。Rd×dt上的欧几里德范数用于将一阶分解为可逆部分和纯不可逆部分，用{It=i}上的kλk：=vuutIXi=1（λi）代替。通过这些调整，定理2.5沿着原始证明的路线进行论证，从而扩展到卡巴诺夫模型。我们再次注意到，对于固定ω，只需考虑来自无数Xit（ω）的线性组合，这一点至关重要。最后，我们说，如果存在一个锥值，K=（Kt）Tt=0满足（NAwps）性质，则K=（Kt）Tt=0满足（NAwps）性质，Kt（ω）eKt（ω）表示所有ω和t。然后，定理2.10在卡巴诺夫模型中也成立。事实上，（NAwps）意味着K=（Kt）Tt=0存在一个一致的价格体系，另一方面，给定CPS Z=（Zt）Tt=0，由eKt（ω）定义的锥值过程ek=（eKt）Tt=0：=（R+Zt（ω））满意度（NAps）和KT（ω）所有t和ω的eKt（ω），即K满足度（NAwps）。此外，我们证明At接近性的推理也可以应用于具有不完全信息的模型，如[Bou06，DVKS07]中所考虑的模型，其中关于订单水平的争论是很自然的。4（反例）我们从两个非常简单的例子开始，说明（NAr）、（NAps）和（NAwps）之间的差异，以及考虑不在买卖价差相对内部的CP的必要性。示例4.1（（NAps）6=> （NAr））。我们考虑一个双资产单期模型，其中银行账户不支付利息，一只股票的买入价（St）t=0,1，卖出价（St）t=0,1。确定的价格如下图1所示。在这种特殊情况下，一个（严格的）一致价格系统对应于一对（eS，Q）由一个度量Q组成~ P和a的Q-鞅取其值（S，S的相对互操作）。

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nandehutu2022

2022-6-11 05:25:02

有关使用abank帐户的模型的更多详细信息，请参见[Rok08]中的第3节。t=0 t=1价格=1/2价格=1图1：确定性模型满足（NAps）和（NAs），但不满足（NAr）。t=0时，投标价格序列1/2和询价价格序列1；当t=1时，市场是无价格的，价格=S=1。显然，市场承认u ni que一致的价格过程≡ 1.eS不是一个严格一致的价格过程，因为1/∈ (1/2, 1). 因此，模型不能满足（NAr）。也就是宾纳条件，即L（Kt，Ft-1) L（Kt-1，英尺-1）尽管如此，t并不令人满意。另一方面，我们有一个∩ (-A） =圆锥体e- e 圆锥e- e、 e类- e-e-e= A、也就是说，只有在时间0建立起来的多头股票头寸才能在时间1清算而不亏损，但股票（资产2）的购买也可以推迟到时间1。因此，模型满足（NAP）。示例4.2（（NAwps）6=> （小睡）。我们考虑示例4.1的以下变量：t=0 t=1价格=1/2价格=1价格=2图2：确定性模型满足（NAwps），但不满足（NAps）。一个有S=1/2，S=1，S=1，andS=2。市场仍然承认独特的一致价格过程≡ 1，但现在失败（NAps）sinceA∩ (-A） =圆锥体e- e6. 圆锥e- 2e，e- e-e-e= A、另一方面，模型满意度（NAwps）自图1满意度（NAps）中更有利的买卖过程以来。最后，我们提供了一个示例，表明（NAwps）不能被存在更有利市场的“nextweaker”条件所取代，即买卖过程（e∏t）Tt=0，而e∏t≤ ∏t对于每个t=0，T，使得（e∏T）Tt=0满足度（NA）和∩-eATt公司t对于所有t=0，T（4.1）（参见备注2.15）。我们证明了在四个资产满足条件（4.1）的情况下，存在一个允许近似套利的买卖过程（πt）t=0。

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