非凹最优投资与无套利：一个理论测度

2022-5-10 20:52:48

非集中最优投资和无风险：一种测量理论方法劳伦斯·卡拉苏斯勒，法国兰斯香槟大学阿登分校。carassus@univ-兰斯。弗朗西罗曼兰斯香槟大学阿登分校的frRomain BlanchardLMR。blanchard@etudiant.univ-reims。弗米克尔·奥斯·阿桑尼姆塔·阿尔弗·雷恩伊数学研究所，Hungaryrasonyi@renyi.mta.huNovember10，2021摘要我们考虑定义域等于非负半线的非凹和非光滑随机效用函数。我们使用一个动态规划框架和可测量的选择参数，在一个具有有限时间Horizon的（一般不完全）离散时间金融市场模型中，建立无套利条件特征和最优投资组合的存在性。关键工作：无套利条件；非凹效用函数；最佳投资AMS 2000主题分类：初始93E2 0、91B70、91B16；次级91G10、28B201简介我们考虑在多资产和离散时间金融市场交易的投资者。我们重新审视了两个经典问题：无套利的特征和投资者终端财富预期效用的最大化。我们考虑非负半线上定义的一般随机、可能是非凹和非光滑的效用函数U（可以是“S”形的，但我们的结果适用于更广泛的一类效用函数，例如分段凹函数），我们提供了充分的条件来保证最优策略的存在。类似的优化问题构成了近年来的一个重点研究领域，如Bensoussan等人（2015年）、何和周（2011年）、金和周（2008年）、Carlier和Dana（2011年）。我们正在Carassus et al.（2015）的背景下工作，并移除Carassus et al.（2015）的某些限制性假设。

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2022-5-10 20:52:52

此外，我们使用的方法不同于R\'asonyi和Stettner（2005年）、R\'asonyi和Stettner（2006年）、Carassus和R\'asonyi（2015年）以及Ca ra ssus等人（2015年），在这些方法中，类似的多步骤问题得到了处理。与现有文献相比，我们建议考虑一个不一定完全的概率空间。我们从几个方面扩展了Carassus等人（2015）的论文。首先，我们提出了一个替代的可积条件（见假设4.8和命题6.1），以替代Carassus等人（2015）中规定的相当严格的可积条件，即-U（·，0）<∞. 性质U（0）=-∞ 适用于许多重要的（非随机和凹）效用函数（对数，-xα表示α<0）。这是一个相当自然的要求，因为它表达了投资者对违约的恐惧（即达到0）。我们还引入了新的（较弱的）弹性假设（见假设4.10）。特别是，假设4.10适用于凹函数（见备注4.15），因此我们的结果将R\'asonyi和Stettner（2006）中获得的结果扩展到随机效用函数和不完全概率空间。其次，我们不要求所有初始财富的价值函数都是有限的，正如Carassu s等人（2015）所假设的那样；相反，我们只假设了限制性更小、更容易处理的假设4.7。最后，我们没有像Carassus等人（2015）那样使用一些Carath’eodory效用函数U（即在ω中可测量且在x中连续的函数），而是考虑在ω中可测量且在x中上半连续（在本文其余部分中为usc）的函数。由于U也是非递减的，我们指出这意味着U在（ω，x）中是联合可测量的。

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2022-5-10 20:52:55

注意，在完全西格玛代数的情况下，U是一个正规被积函数（参见Rockafellar and Wets（1998）中的定义14.27或Molchanov（2005）中第5章的第3节，以及Rockafellar and Wets（1998）中的推论14.34）。这将在动态规划部分发挥重要作用，以获得某些可测性性质。允许非连续U在金融数学文献中并不常见（尽管它在优化中很常见）。我们强调，这种普遍化有可能模拟维斯特的行为，在达到理想的财富水平后，这种行为可能会突然改变。这种变化可以用给定水平上U的跳跃来表示。为了解决我们的优化问题，我们使用了动态规划，如R\'asonyi和Stettner（2005）、R\'asonyi和Stettner（2006）、Carassus和R\'asonyi（2015）以及Carassus等人（2015）所述，但在此我们提出了一种不同的方法，提供了更简单的证明。如Nutz（2014）所述，我们考虑了Rd中策略的一个周期情况。然后我们使用动态规划和可测量的选择函数，即Aumann定理（例如，参见Sainte Beuve（1974）中的推论1）来解决多周期问题。我们的模型化(Ohm, F、 F，P）比Nutz（2014）更一般，因为只有一个概率测度，我们不必假设Borel空间或解析集。我们还使用同样的方法在可能不完全的Sigma代数的背景下，对无套利特征的经典结果（seeR’asonyi和Stettner（2005）以及Jacod和Shiryaev（1998））进行了重新验证。我们不处理在整个实线上定义效用的情况（使用一组类似的假设），因为这会使论文负担过重。

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2022-5-10 20:52:58

这有待进一步研究。本文的结构如下：第二部分介绍我们的设置；第三部分是关于无套利的主要结果；第4节介绍了终端财富预期效用最大化的主要定理；第5节确定了单周期情况下最优策略的存在性；我们在第6节证明了效用最大化的主要定理。最后，第7节收集了一些技术结果和证明，以及关于随机可测性的元素。2设置固定时间范围T∈ 让我们(Ohmt）一,≤T≤空间序列a和（Gt）1≤T≤T是一个西格玛代数序列，其中GT是上的西格玛代数Ohmt对于所有t=1，T对于t=1，T，我们用Ohmt次笛卡尔积Ohmt=Ohm× . . . × Ohmt、元素Ohm斜纹可以用ωt=（ω，…，ωt）表示（ω，…，ωt）∈ Ohm× . . . × Ohmt、我们还用乘积sigma代数来表示OhmtFt=G . . . Gt。为了简单起见，我们认为状态t=0是确定性的，并且Ohm:= {ω} andF=G={, Ohm}. 为了避免繁重的符号，我们将在本文的其余部分省略ω中的依赖关系。我们用过滤系数（Ft）0表示≤T≤T.设Pbe为Fan上的概率测度，qt+1为Gt+1×上的随机核Ohmt对于t=1，T-1.也就是说，我们假设所有ωt∈ Ohmt、 B∈ Gt+1→ qt+1（B |ωt）是对Gt+1和所有B的概率度量∈ Gt+1，ωt∈ OhmT→ qt+1（B |ωt）是Ft可测的。这里，我们不假设Gt包含Pand的空集，而Gt+1包含所有ωt的qt+1（.|ωt）的空集∈ Ohmt、然后我们定义∈ Ft随机核的Fubini定理（见引理7.1）给出的概率。Pt（A）=ZOhmZOhm· · ·ZOhmtA（ω，…，ωt）qt（dωt |ωt）-1） ·q（dω|ω）P（dω）。（1）终于(Ohm, F、 F，P）：=(OhmT、 FT，F，PT）将是我们的基本测量空间。

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mingdashike22

2022-5-10 20:53:01

PTT下的预期将用EPt表示；当t=t时，我们只需写E。如果我们选择Ohm 在波兰空间中，任何概率测度P都可以分解为（1）的形式（参见Dellacherie and Meyer（1979）III.70-7中的测度分解定理）。从现在起，一些数字或随机变量X的正（负）部分用X+表示（负）-). 我们还将为任意随机变量X和（可能的随机）函数f的（f（X））写f±（X）。在本文的其余部分，我们将使用广义积分：对于某些ft：OhmT→ R∪ {±∞}, 可测量的，这样的Ohmtf+t（ωt）Pt（dωt）<∞ 奥尔Ohmtf-t（ωt）Pt（dωt）<∞, 我们去尼兹Ohmtft（ωt）Pt（dωt）：=ZOhmtf+t（ωt）Pt（dωt）-ZOhmtf-t（ωt）Pt（dωt），其中等式在R中成立∪ {±∞}. 我们参考附录引理7.1、定义7.2和命题7.4了解更多细节和属性。特别是，如果ftis是非负的，或者ftis是非负的Ohmtf+t（ωt）Pt（dωt）<∞ （这将是本文中感兴趣的两个案例）我们可以应用Fubini的OremandOhmtft（ωt）Pt（dωt）=ZOhmZOhm· · ·ZOhmtft（ω，…，ωt）qt（dωt |ωt-1） q（dω|ω）P（dω），其中等式在[0]中成立，∞] 如果FTI为非负且处于[-∞, ∞) ifROhmtf+t（ωt）Pt（dωt）<∞.最后，我们给出了概率空间完成的一些符号(Ohmt、对于一些t∈{1，…，T}。我们将用npt表示ptt的集合Ohmti。e NPt={N OhmTM∈ 纽约时报M和Pt（M）=0}。LetFt={A∪ N、 A∈ 纽约时报∈ NPt}和PT（A）∪ N） =Pt（A）表示A∪ N∈ 那么众所周知，PTI是一种与Pton Ft一致的FTA测量方法(Ohmt、 Ft，Pt）是一个完全概率空间，且p限制为npt等于零。对于t=0，T- 1，设Ξt为Ft可测随机变量映射集Ohm下面的引理建立了条件期望和内核之间的联系。

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2022-5-10 20:53:05

为此，我们引入了FTt，即Ohmt与Ft相关，定义为ftt=G . . . 燃气轮机 {, Ohmt+1}。 {, OhmT} 。设Ξttt是来自OhmTto路，让我们来看看：OhmT→ Ohmt、 Xt（ω，…，ωt）=ωt对应于t的坐标映射。然后FTt=σ（X，…，Xt）。所以∈ ΞTtif且仅当存在一些g时∈ Ξtsuch认为h=g（X，…，Xt）。这意味着h（ωT）=g（ωT）。为了便于旋转，我们将识别h和g，以及Ft、FTt、Ξ和ΞTt。引理2.2Let0≤ s≤ T≤ 莱思∈ Ξtsuch thatROhmth+dPt<∞thenE（h | Fs）=~n（X，…，Xs）Psa。s、 ν（ω，…，ωs）=ZOhms+1×。。。×Ohmth（ω，…，ωs，ωs+1，…，ωt）qt（ωt |ωt-1) . . . qs+1（ωs+1 |ωs）。从现在起，我们将Fub-ini定理称为随机核的Fu-bini定理（参见引理7.1，命题7.4）。证据为完整起见，附录第7.3节报告了证据。让{St，0≤ T≤ T}b e是一个d维适应过程，代表考虑中的金融市场中d风险证券的价格。为了简单起见，还存在一种无风险资产，我们假设其固定价格等于1。如果没有这个假设，下面的所有开发都可以使用折扣价格进行。符号St:=St- 圣-1将经常使用。如果x，y∈ 然后连接xy代表它们的标量积。符号|·|表示Rd（或R）上的欧几里德范数。交易策略由d维可预测过程（φt）1表示≤T≤T、式中，φit表示投资者在时间T时持有的资产i；可预测性意味着φt∈ Ξt-1.所有可预测的交易策略家族用Φ表示。我们假设交易是自我融资的。

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2022-5-10 20:53:08

当无风险资产的价格为常数1时，投资组合的价值tφ从初始资本x开始∈ R由vx给出，φt=x+tXi=1φi硅。3无套利条件以下无套利条件或NA条件为标准，相当于具有有限期限的离散时间市场中存在风险中性措施，见Da lang等人（1990）。（NA）如果V0，φT≥ 0 P-a.s.对于某些情况∈ Φ那么V0，φT=0 P-a.s.备注3.1在R\'asonyi和Stettner（2006）的命题1.1中证明，（NA）等同于无套利假设，该假设规定，任何投资者都不应被允许在没有任何成本和风险的情况下进行投资，即使有预算约束：≥ 0如果φ∈ Φ等于vx，φT≥ xa。s、，那么Vx，φT=xa。s、我们现在提供关于（NA）条件及其“具体”局部特征的经典工具和结果，见命题3.7，我们将在本文的其余部分使用。我们从集合Dt+1（种子定义3.2）开始，其中Dt+1（ωt）是包含支持St+1（ωt，）在qt+1（.|ωt）下。如果Dt+1（ωt）=rdt，那么直观地说，不存在冗余资产。否则，对于φt+1∈ Ξt，可以用正交投影φ来代替φt+1（ωt，·）⊥Dt+1（ωt）上的t+1（ωt，·），而不改变自φt+1（ωt）以来的投资组合值St+1（ωt，·）=φ⊥t+1（ωt）St+1（ωt，·），qt+1（·|ωt）a.s.，见下面的备注5.3和引理7.18，以及F¨ollmer和Schied（2002）的备注9.1。定义3.2(Ohm, F）是一个可测空间和（T，T）一个拓扑空间。随机集R是一个集值函数，它分配给每个ω∈ Ohm T的子集R（ω）。我们写道：Ohm T。我们说，如果对于任何开集O∈ T{ω∈ Ohm, R（ω）∩ O 6=} ∈ F.定义3.3让0≤ T≤ 我不能确定。

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2022-5-10 20:53:12

我们定义了eDt+1的随机集（见定义3.2）：OhmtRdbyeDt+1（ωt）：=\\nA Rd，闭合，qt+1St+1（ωt，）∈ A |ωt）=1o、（2）对于ωt∈ Ohmt、 eDt+1（ωt） RDI是对分销的支持qt+1（·|ωt）下的St+1（ωt，·）。我们还定义了Random集合Dt+1：OhmtRdbyDt+1（ωt）：=AffeDt+1（ωt）, （3）式中，Aff表示集合的af fi外壳。下面的引理建立了Dt+1和Dt+1的一些重要性质，特别是图（Dt+1）∈英尺 B（路）。这个结果将是证明我们大多数结果的核心。引理3.4Let0≤ T≤ Tbe固定。LeteDt+1：OhmtRdandDt+1：OhmtRdbe定义3.3的（2）和（3）中定义的随机集。EDT+1和DT+1都是非空、闭值和FT可测量的随机集（见定义3.2）。特别是图（Dt+1）∈ 英尺 B（路）。证据附录第7.3节报告了证据。在引理3.5中，我们得到了一个众所周知的结果：对于ωt∈ Ohmt固定且在（NA）的局部版本下，Dt+1（ωt）是Rd的一个向量子空间（例如，参见F¨ollmer and Schied（2002））的定理1.48）。然后在引理3.6中，我们证明了在（NA）假设下，对于Ptalmost allωt，Dt+1（ωt）是Rd的一个向量子空间。我们还提供了（NA）条件的局部版本（见（5））。注意引理3.6是R\'asonyi和Stettner（2005）中命题3.3与引理2.2结合的直接结果（见备注3.10）。我们提出了与我们的框架和方法一致的引理3.5和3.6的交替证明。引理3.5Let0≤ T≤ Tandωt∈ Ohmtbe固定。假设∈ Dt+1（ωt）\\{0}qt+1（h）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）<1。然后呢∈ Dt+1（ωt）和setDt+1（ωt）实际上是一个向量曲面。证据附录第7.3节报告了证据。引理3.6假设（NA）条件成立。

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2022-5-10 20:53:17

那么就一切而言≤ T≤ T- 1.存在完整的度量集Ohmtna1这是所有ωt的结果∈ OhmtNA1,0∈ Dt+1（ωt），即Dt+1（ωt）是rd的向量空间。此外，对于所有ωt∈ Ohm等等∈ 我们得到qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1=> qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1。（4）特别是，如果ωt∈ OhmtNA1andh∈ Dt+1（ωt）我们得到了th-atqt+1（h）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1=> h=0。（5）证据。让0≤ T≤ 我不能确定。回想一下，FTI是FTA的Pt完成，PTI是PTSoft的（唯一）扩展。我们引入以下随机集∏t∏t：=ωt∈ OhmTH∈ Dt+1（ωt），h6=0，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1.假设∏t∈Ftand that Pt（πt）=0（这将在下面得到证明）。L etωt∈ Ohmt∏t.假装0∈ Dt+1（ωt）是引理3.5∏tand定义的直接结果。我们现在证明（4）。让h∈ Rd应固定为qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。我们证明了qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1。如果h=0，这很简单。如果h∈ Dt+1（ωt）\\{0}，ωt∈ 是不可能的。现在如果/∈ Dt+1（ωt）和h6=0，设h′是h在Dt+1（ωt）上的正交投影（回想一下，因为ωt/∈ πtDt+1（ωt）是一个向量子空间）。我们首先证明qt+1（h′）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。事实上，如果不是这样的话，集合B:={ωt+1∈ Ohmt+1，h′St+1（ωt，ωt+1）<0}将验证qt+1（B|ωt）>0。SetLt+1（ωt）：=Dt+1（ωt）⊥. （6） As（h）- h′）∈ Lt+1（ωt）（回想一下，Dt+1（ωt）是一个向量子空间），通过引理7.18，集合a:={ωt+1∈Ohmt+1，（h- h′）St+1（ωt，ωt+1）=0}验证qt+1（A |ωt）=1。因此我们可以得到qt+1（A∩B |ωt）>0，这意味着qt+1（hSt+1（ωt，）≥ 0 |ωt）<1，矛盾。因此qt+1（h′）St+1（ωt，·）≥0 |ωt）=1。如果h′6=0，则表示为h′∈ Dt+1（ωt），ωt∈ 是矛盾的。

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2022-5-10 20:53:23

因此h′=0和asA∩ {h\'\'St+1（ωt，·）=0} {hSt+1（ωt，·）=0}，qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1。像Ohmt\\n∏t∈ 确实存在OhmtNA1∈ Ftand Nt∈ NPt（一组可忽略不计的(Ohmt、等等Ohmt\\t∏t=OhmtNA1∪ 恩坦德角(OhmtNA1）=Pt(Ohmt∏t=1。自从OhmtNA1 Ohmt∏t，对于所有ωt∈ OhmtNA1，0∈ Dt+1（ωt）和所有h∈ 第（4）条是正确的。我们证明（5）。假设ωt∈ OhmTNA1和h∈ Dt+1（ωt）等于qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。利用（4）和引理7.18我们得到h∈ Lt+1（ωt）。所以∈ Dt+1（ωt）∩ Lt+1（ωt）={0}和（5）保持不变。还有待证明∏t∈Ftand Pt（πt）=0。为此，我们引入以下随机设置：OhmtRdHt（ωt）：=H∈ Dt+1（ωt），h6=0，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1.那么∏t=ωt∈ Ohmt、 Ht（ωt）6== 项目|OhmtGraph（Ht）自图（Ht）={（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，h∈ Ht（ωt）}。我们现在证明了图（Ht）∈ 英尺 B（路）。实际上，我们可以重写tGraph（Ht）=Graph（Dt+1）\\n（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1o\\Ohmt×Rd\\{0}.从引理7.9开始，（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1∈ 英尺 B（Rd）和fromma 3.4，图（Dt+1）∈ 英尺 B（Rd），我们得到图（Ht）∈ 英尺 B（路）。ProjectionTheorem（参见Castain g和Valadier（1977）中的定理3.23）适用且∏t={Ht6=} = 项目|OhmtGraph（Ht）∈Ft.根据A-umann定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1），存在可测选择器ht+1:πt→ rdht+1（ωt）∈ 每ωt的Ht（ωt）∈ πt.我们现在将dht+1扩展到Ohmt通过设置ht+1（ωt）=0表示ωt∈ Ohm很明显，ht+1受体是可测量的。应用引理7.10，存在ht+1：OhmT→ RDFT是可测量的，并且几乎可以肯定满足+1=ht+1Pt。那么，如果我们设置φ（ωt）=qt+1（ht+1（ωt）St+1（ωt，）≥ 0 |ωt），ν（ωt）=qt+1（ht+1（ωt）St+1（ωt，）≥ 0 |ωt），我们从P位置7.9得出，|是可测的，从命题7.6 iii）得出，|是可测的。

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2022-5-10 20:53:28

此外，作为{ωt∈ Ohmt、 ~n（ωt）6=~n（ωt）} {ωt∈ Ohmt、 ht（ωt）6=ht+1（ωt）}，几乎可以肯定。这就是我所说的Ohmt~ndPt=ROhmtdPt。现在我们定义了可预测过程（φt）1≤T≤Tbyφt+1=ht+1，对于i6=t+1，φi=0。ThenP（V0，φT）≥ 0）=P（ht+1St+1≥ 0）=Pt+1（ht+1St+1≥ 0）=ZOhmt~n（ωt）Pt（dωt）=ZOhmt~n（ωt）Pt（dωt）=Z∏tqt+1ht（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωtPt（dωt）+ZOhmt\\t∏tqt+10 × St+1（ωt，·）≥ 0 |ωtPt（dωt）=Pt（πt）+Pt(Ohmt∏t）=1，这里我们使用了，如果ωt∈ πt，ht+1（ωt）∈ Ht（ωt），否则Ht+1（ωt）=0。在相同的条件下，我们得到p（V0，φT>0）=Pt（ht+1St+1>0）=Z∏tqt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）>0 |ωtPt（dωt）+ZOhmt\\t∏tqt+10>0 |ωtPt（dωt）=Z∏tqt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）>0 |ωtPt（dωt）。设ωt∈ 当qt+1时∏tht+1（ωt）St+1（ωt，·）>0 |ωt> 事实上，如果不是这样的话，那么qt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）≤ 0 |ωt= 1.作为ωt∈ πt，ht+1（ωt）∈ Dt+1（ωt）和qt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt=引理7.18和ht+1（ωt）∈ Lt+1（ωt）。因此我们得到ht+1（ωt）∈ Lt+1（ωt）∩ Dt+1（ωt）={0}，一个矛盾。如果pt（πt）>0，我们得到P（V0，φt>0）>0。这与（NA）条件相矛盾，我们得到了pt（πt）=0，所需的结果。与R\'asonyi和Stettner（2005年）以及Jacod和Shiryaev（1998年）类似，我们证明了（NA）的“定量”特征。建议3.7假设（NA）条件为真且为0≤ T≤ 然后就存在了Ohm特娜∈ FtwithPt(OhmtNA）=1和Ohm特娜 OhmtNA1（参见引理3.6了解OhmtNA1）使所有ωt∈ OhmtNA，存在αt（ωt）∈ （0，1）这样的话∈ Dt+1（ωt）qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -αt（ωt）|h | |ωt≥ αt（ωt）。（7）此外ωt→ αt（ωt）是可测的。证据设ωt∈ Ohm必须固定(Ohmtna1在引理3.6）中定义。第一步：证明（7）。为n引入以下集合≥ 1An（ωt）：=H∈ Dt+1（ωt），|h |=1，qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -n |ωt<N. （8）设n（ωt）：=inf{n≥ 1，An（ωt）=} 按照当时的惯例 = +∞. 注意，如果Dt+1（ωt）={0}，那么n（ωt）=1<∞.

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mingdashike22

2022-5-10 20:53:31

现在我们假设Dt+1（ωt）6={0}，并用矛盾证明th atn（ωt）<∞. 假设n（ωt）=∞ i、 e代表所有人n≥ 1，An（ωt）6=. 因此我们得到hn（ωt）∈ Dt+1（ωt），其中|hn（ωt）|=1，这样qt+1hn（ωt）St+1（ωt，·）≤ -n |ωt<n、通过传递到一个子序列，我们可以假设hn（ωt）趋向于某个h*（ωt）∈ Dt+1（ωt）（回想一下集合Dt+1（ωt）是通过定义闭合的）与| h*（ωt）|=1。引言b（ωt）：={ωt+1∈ Ohmt+1，h*（ωt）St+1（ωt，ωt+1）<0}Bn（ωt）：={ωt+1∈ Ohmt+1，hn（ωt）St+1（ωt，ωt+1）≤ -1/n}。然后B（ωt） lim infnBn（ωt）。此外，当1lim infnBn（ωt）=lim infnBn（ωt）时，Fatou引理表示qt+1H*（ωt）St+1（ωt，·）<0 |ωt≤ZOhmt+1lim infnBn（ωt）（ωt+1）qt+1（ωt+1 |ωt）≤ lim infnZOhmt+1Bn（ωt）（ωt+1）qt+1（ωt+1 |ωt）=0。这就是qt+1H*（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt= 因此从引理3.6中的（5）我们得到了*（ωt）=0，这与| h相矛盾*（ωt）|=1。Thusn（ωt）<∞ 我们可以设定ωt∈ OhmtNA1αt（ωt）=n（ωt）。显然αt∈ （0，1）。那么对于所有ωt∈ OhmtNA1，尽管如此∈ Dt+1（ωt）|h |=1，通过定义a（ωt）（ωt），我们得到qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -αt（ωt）|ωt≥αt（ωt）。（9）第2步：可测量性问题。我们现在构造了一个函数αt，它是Ft可测量的，并且满足（7）。为了做到这一点，我们再次使用奥曼定理，就像在L emma 3.6的证明中一样，但这一次a适用于随机集：Ohmtrdan（ωt）在（8）ifωt中定义∈ Ohmtna1和An（ωt）= 否则我们证明了图（An）∈ 英尺B（路）。根据引理7.9，函数（ωt，h）→ qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -n |ωt是《金融时报》 B（Rd）-可测量。引理3.4中的图（Dt+1）∈ 英尺 B（Rd）的结果如下：图（An）=图（Dt+1）\\OhmtNA1×{h∈ Rd，|h |=1}\\（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -n |ωt<N.利用投影定理（参见Castaing和Valadier（1977）中的定理3.23），我们得到{ωt∈ Ohmt、 An（ωt）6=} ∈Ft.我们现在扩展到Ohmt如果ωt，则设置n（ωt）=1/∈ OhmtNA1。

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2022-5-10 20:53:34

然后{n≥ 1} = OhmT∈ 英尺 k>1{n的Ftand≥ k} =OhmtNA1∩\\1.≤N≤K-1{An6=} ∈这意味着α是可测量的。利用引理7.10，我们得到了一些Ft可测函数αtsuch，αt=αtptal，即存在Mt∈ Ftsuch，Pt（Mt）=0和{αt6=αt} 我们出发了OhmtNA:=OhmtNA1TOhmt\\Mt. 然后Pt(OhmtNA）=1和asα是检验（7）h是否为真的关键。对于ωt∈ OhmtNA，αt（ωt）=αt（ωt）（回想一下ωt∈ Ohmt\\Mt）和自ωt∈ OhmtNA1（9）是正确的，因此（7）很好。同样清楚的是αt（ωt）∈ （0,1]且证明已完成。备注3.8在定义3.3、引理3.4、3.5、3.6和命题3.7中，我们已包含案例t=0。然而，请注意Ohm= {ω} 注释3.9（7）给出的（NA）特征仅适用于h∈ Dt+1（ωt）。这就是为什么我们必须规划φt+1战略的原因∈ Ξtonto Dt+1（ωt）在我们的证明中。备注3.10为了获得命题3.7，我们可以直接应用命题3.3。ofR\'asonyi和Stettner（2005）（注意，他们的证明没有使用可测量的选择参数，直接提供了αt的可测量性）并使用引理2.2.4效用问题和主要结果现在通过一个可能非凹的随机效用函数来描述投资者的风险偏好。定义4.1随机效用是任何函数U：Ohm ×R→ R∪ {±∞} 满足以下条件o每x∈ R、函数U（·，x）：Ohm → R∪ {±∞} 是F-可测的，o对于所有ω∈ Ohm, 函数U（ω，·）：R→ R∪ {±∞} 是R，oU（·x）=-∞, 对于所有x<0。我们介绍以下符号。定义4.2适用于所有x≥ 0，我们用Φ（x）表示所有策略的集合φ∈ Φ使得PT（Vx，φT（·）≥0）=1和d乘以Φ（U，x）所有策略的集合φ∈ Φ（x）使得EU（·，Vx，φT）在广义上存在，即。

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2022-5-10 20:53:38

EU+（·，Vx，φT（·））<∞ 还是欧盟-（·，Vx，φT（·））<∞.（NA）项下的备注4.3，如果φ∈ Φ（x）那么我们有Pt（Vx，φt（·）≥ 0）=1代表所有1≤ T≤ 我看不见外稃。19.我们现在制定出我们在续集中主要关注的问题。定义4.4让x≥ 0.初始财富x isu（x）：=supφ的有限水平T上的非凹投资组合问题∈Φ（U，x）EU（·，Vx，φT（·））。（10）备注4.5假设存在一些P-完全测量集Ohm ∈ F使得所有ω∈EOhm, 十、→U（ω，x）是非递减的，usc在[0+∞), i、 e.x→ U（ω，x）是（0，∞) 对于y（xn）n≥1.[0, +∞) 收敛到0，U（ω，0）≥ lim-su-pnU（ω，xn）。我们setU：Ohm ×R→ R∪ {±∞}U（ω，x）：=U（ω，x）1eOhm×[0,+∞)（ω，x）+(-∞)1.Ohm×(-∞,0）（ω，x）。满足定义4.1，第二项见引理7.11。此外，值函数不改变u（x）=supφ∈Φ（U，x）EU（·，Vx，φT（·）），如果存在一些φ*∈ Φ（U，x）使得U（x）=EU（·Vx，φ*T（·）），然后φ*是（10）的最佳解决方案。备注4.6设U为仅在（0，∞) 并验证每x∈ (0, ∞),U（·，x）：Ohm → R∪ {±∞} allω的F-可测与d∈ Ohm, U（ω，·）：（0，∞) → R∪ {±∞} 非减损和usc开启（0，∞). 我们可以在rby设置上扩展U，对于所有ω∈ Ohm,U（ω，0）=limx→0U（ω，x）对于x<0，U（ω，x）=-∞. 然后，与之前一样，验证4.1的定义，价值函数没有改变。注意，我们可以考虑一个闭合区间F=[a，∞ ) 而不是[0，∞), 我们本可以调整我们的上半连续性概念，所有的续集都将适用。我们现在给出U上的条件，它允许断言如果φ∈ Φ（x）然后EU（·，Vx，φT（·））得到了很好的定义，并且（10）存在一些最优解。假设4.7适用于所有φ∈ Φ（U，1），欧盟+·, V1，φT（·）< ∞.假设4.8Φ（U，1）=Φ（1）。备注4.9假设4.7和4.8相互关联，但作用不同。

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2022-5-10 20:53:41

假设4.8保证欧盟·, V1，φT（·）对所有人来说都很明确∈ Φ（1），并允许我们放松Carassus et al.（2015）关于U在0左右的行为的假设2.7，即EU-(·, 0) < ∞. 然后是假设。7（连同假设4.10）用于表明u（x）<∞ 对于所有x>0。注意假设4。7更容易验证经典假设u（x）<∞ （对于全部或部分x>0），这通常是在终端财富效用最大化理论中提出的。在命题6.1中，我们将证明，在假设4.7、4.8和4.10下+·, Vx，φT（·）< ∞为了所有的x≥ 0和φ∈ Φ（x）。因此Φ（U，x）=Φ（x）。请注意，如果存在一些问题∈ Φ（U，x）等于+·, Vx，φT（·）= ∞ 和欧盟-·, Vx，φT（·）< ∞ th en u（x）=∞ 问题是不适定的。我们提出了一些假设4.7或4.8成立的例子。示例ii）说明了假设4.7和4.8之间的区别，以及我们不合并假设和假设EU+·, V1，φT（·）< ∞, 无论如何∈ Φ(1).i）如果U在上面有界，那么这两个假设在三个方面都是正确的。我们直接得到Φ（U，x）=Φ（x）对于所有x≥ 0.ii）假设欧盟-(·, 0) < ∞ 这是真的。让x≥ 0和φ∈ Φ（x）是固定的。用这个U-对于所有ω都是非递减的∈ Ohm 我们明白了-（·，Vx，φT（·））≤ 欧盟-(·, 0) < +∞,因此，EU（·，Vx，φT（·））得到了很好的定义，Φ（U，x）=Φ（x），假设4.8成立。iii）假设存在一些^x≥ 1使U（·，^x）- 1) ≥ 0p-几乎可以肯定的是andbu（^x）：=supφ∈Φ（^x）EU（·，V^x，φT（·））<∞,我们出发的地方∈ Φ（^x）\\Φ（U，^x），EU（·，V^x，φT（·））=-∞. 让φ∈ Φ（1）应固定。那么使用thatU对所有ω都是非递减的∈ Ohm, 我们有P-a lm几乎确定的u（·，V1，φT（·）+^x- 1) ≥ U（·，^x）- 1) ≥ 因此U（·，V1，φT（·）+^x- 1） =U+（·，V1，φT（·）+^x- 1） P-几乎可以肯定。

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2022-5-10 20:53:45

现在用U+表示所有ω都是非递减的∈ Ohm 我们都得到了∈ Φ（1）EU+（·，V1，φT（·））≤ EU+（·，V1，φT（·）+^x- 1） =EU（·，V1，φT（·）+^x- 1) ≤ bu（^x）<+∞假设4.7和4.8得到满足，而不是规定bu（^x）<∞ 假设EU（·，V^x，φT（·））<∞ 无论如何∈ Φ（^x）。iv）我们将在定理4.17中证明，在（NA）条件和假设4.10下，假设4。如果EU+（·，1）<+∞ 如果一切都是零≤ T≤ T|St |，αt∈ Wt（有关Wt的定义，请参见（16））。假设4.10我们假设存在一些常数γ≥ 0，K>0，以及满足C（ω）的随机变量C≥ 0表示所有ω∈ Ohm 和E（C）<∞ 这样对于所有ω∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ R、我们有u（ω，λx）≤ KλγUω、 x++ C（ω）. （11）备注4.11首先请注意，君士坦丁（1）是任意选择的，以简化演示。这可以在不丧失一般性的情况下完成。事实上，假设存在一些问题≥ 0使得所有ω∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ RU（ω，λx）≤ Kλγ（U（ω，x+x）+C（ω））。（12）利用U的单调性，我们可以假设x>0。设置为所有ω∈ Ohm 还有x∈ R、 U（ω，x）=U（ω，2xx）。那么ω呢∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ R、我们有U（ω，λx）=U（ω，2λxx）≤ Kλγ（U（ω，2xx+x）+C（ω））=KλγUω、 x++ C（ω）,和美国（11）。很明显，如果*是问题u（x）：=supφ的最优解∈Φ（U，x2x）EU（·，Vx2x，φT（·））然后2xφ*是（10）的最佳解决方案。还要注意，因为k>0和C≥ 0，很快就能看到ω∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ RU+（ω，λx）≤ KλγU+ω、 x++ C（ω）. （13）备注4.12我们现在就假设4.10提供一些见解。由于不等式（11）用于控制U+（·，x）在大x值下的行为，非凹情况下的通常假设（见Ca-ra-ssus等人的假设2.10）。

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2022-5-10 20:53:49

（2015））是存在一些^x≥ 0使EU+（·，^x）<∞以及一个满足E（C）的随机变量∞ 和C（ω）≥ 对于所有ω为0，因此对于所有x≥ ^x，λ≥ 1和ω∈ OhmU（ω，λx）≤ λγ（U（ω，x）+C（ω））。（14）我们现在证明，如果（14）成立，那么（12）用x=^x、K=1和C=C进行验证。事实上，假设（14）对x进行了验证≥ 0，利用U的单调性，我们得到了所有ω∈ Ohm λ≥ 1thatU（ω，λx）≤ U（ω，λ（x+^x））≤ λγ（U（ω，x+^x）+C（ω））。对于x<0，这是正确的，因为U（ω，x）=-∞.因此（12）是比（14）弱的假设。还要注意，如果我们假设（14）对所有x>0都成立，那么如果0<x<1和ω∈ Ohm 我们有（ω，1）≤十、γ（U（ω，x）+C（ω）），和U（ω，0）：=limx→0，x>0U（ω，x）≥ -C（ω）。例如，这就排除了你是法律顾问的情况。此外，这也意味着欧盟-(·, 0) ≤ 欧共体∞ 我们回到假设2。Carassus et al.（2015）的第7条，或者，回顾凹面情况的处理方式（见R\'asonyi和Stettner（2005）中的引理2），我们可以引入一个随机变量，使E（C）满足∞ andC≥ 0这样对于所有x∈ R、 ω∈ OhmU+（ω，λx）≤ λγU+（ω，x）+C（ω）. （15）我们没有这样做，因为在考虑非凹函数时，很难通过动态编程程序证明这种不平等性是保持的，除非我们假设-(·, 0) <∞ 正如Carassus等人（2015年）所述。备注4.13如果存在某些设置OhmAE∈ F和P(OhmAE）=1，这样（11）只对ω成立∈ OhmAE，然后设置如备注4.5所示，U（ω，x）：=U（ω，x）1OhmAE×R（ω，x）、U满足度（11）和（10）中的值函数不变。在不损失一般性的情况下，我们还假设C（ω）≥ 0表示（11）中的所有ω。的确，如果C≥ 我们可以考虑C:=CIC≥0

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2022-5-10 20:53:52

如果（14）成立，我们参考Carassus和R\'asonyi（2015）的备注2.5和Carassus等人（2015）的备注2.10来解释γ：对于C=0，可以将其视为U在+∞ （见Kramkov和Schachermayer（1999））。所以（14）要求（广义的）渐近弹性+∞ 现在是最后一天。在这种情况下，如果U是可微的，那么“渐近弹性”作为“边际效用”：U′（x）和“平均效用”：U（x）x的比率有一个很好的经济解释，请再次参阅Kramkov和SchachermayerIn引用的论文C第6节≥ 0 a.s.但这不是一个问题，更多讨论请参见下面的备注4.13（1999年）。C>0的情况允许有界的实用程序。Carassus等人（2015年）证明，与凹形情况不同，U从上方有界（因此满足（12））并不意味着渐近弹性是有基础的。我们现在给出一个n无界效用函数满足（12）的例子→∞xU′（x）U（x）=+∞. 这表明（作为Carassus等人（2015）的反例），假设4.10不如通常的“渐进弹性”强。让你：R→ R由u（x）定义=-∞1(-∞,0）（x）+Xp≥0p1[p，p+1-p+1）（x）+fp（x）1[p+1]-p+1，p+1）（x），其中fp（x）=2p+1x+（p+1）1.- 2p+1为了p∈ N.然后，美国满足定义4.1，我们有U′（x）=Xp≥0p+1[p+1]-p+1，p+1）（x）。我们证明（12）是正确的。请注意，对于所有x≥ 我们有x- 1.≤ U（x）≤ x+1。让x≥ 0和λ≥ 1.固定。然后我们得到u（λx）≤ λx+1≤ λ（U（x+1）+1）+1≤ λ（U（x+1）+2）和（12）在K=x=1和C=2时为真。现在轮到k了≥ 0，设xk=k+1-k+2。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:53:56

我们有U（xk）=fk（xk）=k+和xku′（xk）U（xk）=2k+1k+1-k+2k+→K→∞+∞.备注4.15我们提出了假设4.10成立的进一步例子。i）假设U从上面被某个可积随机常数C所限定≥ 0和欧盟-(·,) < ∞. 那么对于所有x≥ 0, λ ≥ 1, ω ∈ Ohm 我们有u（ω，λx）≤ C（ω）≤ λUω、 x++ λC（ω）- Uω、 x+≤ λUω、 x++ λC（ω）+U-ω,,和（11）适用于x≥ 0，K=1，γ=1，C（·）=C（·）+U-(·,). 作为U（·，x）=-∞ 当x<0时，（11）适用于所有x∈ R.ii）假设U满足定义4.1，且U限制为[0，∞) 是凹形的，不减损的，在欧盟-(·, 1) < ∞. 我们使用了类似于R\'asonyi和Stettner（2006）中引理2的论点。事实上，让x≥ 2, λ ≥ 1确定我们有（ω，λx）≤ U（ω，x）+U′（ω，x）（λx）- 十）≤ U（ω，x）+U（ω，x）- U（ω，1）x- 1(λ - 1） x≤ U（ω，x）+2（λ）- 1）（U（ω，x）- U（ω，1））≤ U（ω，x）+3（λ）-) （U（ω，x）- U（ω，1））≤ 3λU（ω，x）+U-(ω, 1),在这里，我们用U的凹度表示前两个不等式，用th表示x≥ 2对于其他的，andU是不递减的。因此，通过证明（14）意味着（12），我们得到（12）在K=3，γ=1，x=2和C（·）=U时成立-(·, 1).现在我们可以陈述我们的主要结果。定理4.16假设（NA）条件，假设4.7、4.8和4.10成立。莱克斯≥ 0.那么，u（x）<∞并且存在一些最优策略*∈ Φ（U，x）使得U（x）=EU（·Vx，φ*T（·））。此外φ*t（·）∈ Dt（·）a.s.适用于所有0≤ T≤ 我们将使用动态规划来证明我们的主要结果。我们将结合R\'asonyi和Stettner（2005）、R\'asonyi和Stettner（2006）、Carassus和R\'asonyi（20 15）、Carassus等人（2015）和Nutz（2014）的方法。

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2022-5-10 20:53:59

如Nutz（2014）所述，我们将考虑一个单周期的情况，其中初始过滤是微不足道的（因此策略在Rd中），因此证明比R\'asonyi和Stettner（2005）、R\'asonyi和Stettner（2006）、Carassus和R\'asonyi（2015）以及Carassus等人（2015）的证明要简单得多。要付出的代价是，在多阶段的情况下，我们使用强可测选择参数（如Nutz（2014））来获得定理4.16。在我们的模型中，只有一个概率测度，所以我们不需要引入Borel空间和分析集。因此，我们将(Ohm, F、 F，P）比Nutz（2014）限定为一种概率度量的方法更为普遍。由于我们处于非凹面环境中，我们使用了类似于Carassus和R\'asonyi（2015）以及C arassus等人（2015）的观点。最后，正如R\'asonyi和Stettner（2005年）、R\'asonyi和Stettner（2006年）、Carassus和R\'asonyi（2015年）以及Carassus等人（2015年）所述，我们提出了以下结果，作为定理4.16 a适用的更简单但仍然是一般的设置。我们为大家介绍0≤ T≤ 行波管：=X:OhmT→ R∪ {±∞}, Ft可测量，E|X|p<∞ 所有p>0（16）定理4.17假设（NA）条件和假设4.10成立。进一步假设EU+（·，1）<+∞而这一切≤ T≤ T|St |，αt∈ Wt.莱克斯≥ 0.那么，无论如何∈ Φ（x）和ALL0≤ T≤ T、 Vx，φT∈ 此外，还存在一些最优策略φ*∈ Φ（U，x）使得U（x）=EU（·Vx，φ*T（·））<∞5.一期案件(Ohm, H、 Q）是一个概率空间（我们用E表示Q下的期望），Y（·）是一个H-可测二值随机变量。Y（·）可以代表价格过程的价值变化。让D Rdbe是Rdbe的最小一个子空间，包含Y（·）分布的支持。我们假设D包含0，所以D实际上是Rd的非空向量子空间。

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2022-5-10 20:54:03

在当前设置中，与（NA）相对应的条件是假设5.1存在一些常数0<α≤ 1.为了所有人∈ DQ（hY（·）≤ -α| h |）≥ α. （17）备注5.2如果D={0}，那么（17）是非常正确的。下面的备注5.3正是Carassus和R\'asonyi（2015）的备注8（另见Nutz（2014）的引理2.6）。备注5.3让h∈ 然后让h′∈ Rdbe是h在D上的正交投影- h′⊥ D{Y（·）∈ D} {（h）- h′）Y（·）=0}。因此Q（hY（·）=h′Y（·））=Q（（h- h′）Y（·）=0）≥ Q（Y（·）∈ D） =1由D定义。因此Q（hY（·）=h′Y（·））=1。假设5.4我们考虑随机效用V：Ohm ×R→ R满足以下两个条件o每x∈ R、函数V（·，x）：Ohm → R是H-可测的，o对于每个ω∈Ohm, 函数V（ω，·）：R→ R是非递减的，usc在R上，oV（·x）=-∞, 对于所有x<0。让x≥ 0是固定的。我们定义为：∈ Rd，Q（x+hY（·）≥ 0=1o，（18）Dx:=Hx∩ D.（19）很明显，HX和DX是Rd的封闭子集。我们现在定义了我们在单周期情况下主要关注的函数v（x）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x）嘘∈HxEV（·，x+hY（·））。（20）备注5.5首先注意，从备注5.3中，v（x）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x）嘘∈DxEV（·，x+hY（·））。（21）备注5.6引理5.11将显示，在假设5.1、5.4、5.7和5.9下，对于所有∈ Hx，E（V（·，x+hY（·））定义明确，更准确地说，EV+（·，x+hY（·））<+∞. 在这组假设下，Φ（V，x），h的集合∈ Hx例如EV（·，x+hY（·））定义明确，等于Hx。我们现在给出了一些假设，这些假设允许断言（20）存在一些最优解。

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mingdashike22

2022-5-10 20:54:07

首先，我们引入“渐近弹性”假设。假设5.7存在一些常数γ≥ 0，K>0，以及一些H-可测C（ω）≥ 0表示所有ω∈Ohm 和E（C）<∞, 这样对于所有ω∈ Ohm, 对于al lλ≥ 1，x∈ R我们有v（ω，λx）≤ Kλγ五、ω、 x++ C（ω）. （22）注释5.8与注释4.13 a中的注释相同。此外，请注意，由于K>0和c≥ 对于llω，我们也有∈Ohm, 全部λ≥ 1和x∈ RV+（ω，λx）≤ Kλγ五+ω、 x++ C（ω）. （23）我们现在介绍一些关于V+的可积性假设。假设每小时5.9次∈ H、 EV+（·，1+hY（·））<∞. （24）以下引理对应于决定论情况下R’asonyi和Stettner（2006）的引理2.1。引理5.10假设假设假设5.1成立。莱克斯≥ 0固定。然后 B（0，xα）（参见（19）中x的定义），其中B（0，xα）={h∈ Rd，| h |≤xα}和dx是一个凸的紧致子空间。注意，如果x=0，那么Dx={0}。证据让h∈ Dx。假设| h |>xα，让ω∈ {hY（·）≤ - α| h |}。那么x+hY（ω）<x- α| h |<0，根据假设5.1 Q（x+hY（·）<0）≥ Q（hY（·）≤ -α| h |）≥ α>0，这是一个矛盾。dx的凸性和闭性是明确的，紧致性来源于有界性。在确定性情况下，该引理对应于Carassus等人（2015）的引理4.8（参见R\'asonyi和Stettner（2006）的引理2.3和Nutz（2014）的引理2.8）。引理5.11假设假设假设5.1、5.4、5.7和5.9成立。还有艾哈迈苏拉布尔≥ 0令人满意的（L）<∞对allx来说也是如此≥ 0andh∈ HxV+（·，x+hY（·））≤（2x）γK+1L（·）Q- a、 s.（25）证据。附录第7.3节报告了证据引理5.12假设假设假设5.1、5.4、5.7和5.9成立。让我们使用设置值函数，将其分配给每个≥ 0设置dx。然后图（D）：={（x，h）∈ [0, +∞) ×路，h∈ Dx}是r×Rd的封闭子集。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:54:11

设ψ：R×Rd→ R∪ {±∞}定义为ψ（x，h）：=（EV（·x+hY（·）），如果（x，h）∈ 图（D）-∞,否则（26）那么ψ是usc onR×rdr，ψ<+∞图（D）。证据设（xn，hn）n≥1.∈ 图（D）是一个收敛到某个（x）的序列*, H*) ∈ R×Rd.我们首先证明（x*, H*) ∈ 图（D），即图（D）是一个闭集。很明显，x*≥ 0.设置为n≥ 1En:={ω∈ Ohm, xn+hnY（ω）≥ 0}和E*:= {ω ∈ Ohm, 十、*+ H*Y（ω）≥ 0}. 很明显，林素芬 E*应用Fatou引理（limsup版本）我们得到q（x）*+ H*Y（·）≥ 0）=E1E*(·) ≥ E lim supnEn（·）≥ lim supnE1En（·）=1和h*∈ Hx*. 因为D是由定义封闭的，所以我们有h*∈ Dx*和（x）*, H*) ∈ 图（D）。我们现在证明了ψ在图（D）上是usc。R×Rd上的上半连续性将紧随引理7.11。假设为5.4 x∈ R→ V（x，ω）是R上所有ω的usc∈Ohm 和thusim supnV（ω，xn+hnY（ω））≤ V（ω，x）*+ H*Y（ω））。用引理5.11表示所有ω∈OhmV（ω，xn+hnY（·））≤ V+（ω，xn+hnY（·））≤ （|2xn |γK+1）L（ω）≤ （| 2x*|γK+2）L（ω）对于nbig足够了。我们可以应用Fatou引理（limsup版本），ψ是图（D）上的usc。从引理5.11也可以清楚地看出，ψ<+∞ 在图（D）上。我们现在可以陈述我们的主要结果。定理5.13假设假设假设5.1、5.4、5.7和5.9成立。那么对allx来说≥ 0，v（x）<∞存在一些最优策略bh∈ dx使得V（x）=E（V（·，x+bhY（·）））。此外，v:R→ [-∞, ∞)是非递减和usc onR。证据让x≥ 0是固定的。我们首先证明v（x）<∞. 实际上，使用引理5.11，E（V（·，x+hY（·））≤ E（V+（·，x+hY（·）））≤（2x）γK+1EL（·），对于所有h∈ Dx。因此，回顾（21），v（x）≤（2x）γ+1EL（·）<∞.引理5.12，h∈ 研发部→ E（V（·，x+hY（·））在rds上是usc，因此在Dx上是usc（回想一下Dx是闭合的，请参见引理7.11）。

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2022-5-10 20:54:15

因为由（21），v（x）=suph∈DxE（·，V（x+hY（·）））和Dxis紧（见L emma5.10），应用Ali prantis和Border（2006）的定理2.43，存在一些bh∈ dx使得V（x）=E（V（·，x+bhY（·）））。（27）我们证明v是[0]上的usc+∞). 如前所述，R上的上半连续性将立即从引理7.11开始。让（xn）n≥0是一个收敛到某个x的非负数序列*∈[0, +∞). 莱布恩∈ Dxnbe与xnin（27）相关的最佳策略。让（nk）k≥1b是lim supnv（xn）=limkv（xnk）的子序列。引理5.10 | bhnk |≤ xnk/β≤ （十）*+ 1） /β足够大的k。所以我们可以提取一个子序列（我们仍然用（nk）k表示）≥1）因此存在一些h*用bhnk→ H*. 作为序列（xnk，^hnk）k≥1.∈ 图（D）收敛到（x）*, H*) 图（D）是封闭的（见引理5.12），我们得到h*∈ Dx*. 使用引理5.12lim supnv（xn）=limkv（xnk）=limkEV（·，xnk+bhnkY（·））≤ EV（·，x）*+ H*Y（·））≤ v（x）*),最后一个不等式成立，因为h*∈ Dx*因此v是[0]上的usc+∞). 假设5.4，V（ω，·）对于所有ω都是非递减的∈Ohm, v也是n，在[0]上递减+∞) 自V（x）=-∞ 在(-∞, 0），v在R上不递减。6多期案例我们首先证明了以下命题。提议6.1假设4.7、4.8和4.10成立。然后呢+·, Vx，φT（·）< ∞为了所有人≥ 0和φ∈ Φ（x）。这意味着Φ（U，x）=Φ（x）。证据修正0≤ 十、≤ 1，让φ∈ Φ（x）。那么Vx，φT≤ V1，φTandφ∈ Φ（1）=Φ（1，U）（召回假设4.8）。对于任何ω∈ Ohm, 函数y→ U（ω，y）在R上不递减，所以+·, Vx，φT（·）≤欧盟+·, V1，φT（·）< ∞ 根据假设4.7。现在，如果x≥ 1.让我来∈ Φ（x）是固定的。从假设4.10我们得到所有ω∈ OhmU（ω，Vx，φT（ω））=Uω，2x+TXt=1φT（ωT-1） 2xSt（ωt）！！≤ （2x）γKU（ω，V1，φ2xT（ω））+C（ω）.根据假设4.8，φ2x∈ Φ() Φ（1）=Φ（1，U）。

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2022-5-10 20:54:18

修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修+·, Vx，φT（·）≤ （2x）γK欧盟+·, V1，φ2xT（·）+ E（C）< ∞使用假设4.7和C是可积的事实（见假设4.10）。在这两种情况下，我们的结论是Φ（x）=Φ（U，x）。我们现在介绍动态规划过程。首先我们准备好所有的t∈ {0，…，T- 1} ，ωt∈ Ohm坦德x≥ 0Ht+1x（ωt）：=nh∈ Rd，qt+1（x+hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1o，（28）Dt+1x（ωt）：=Ht+1x（ωt）∩ Dt+1（ωt），（29），其中定义3.3中引入了Dt+1。对于x<0，我们设置Ht+1x（ωt）=.我们为所有人定义∈ {0，…，T}以下函数来自Ohmt×R→ R.从t=t开始，我们设置所有x∈ R、全ωT∈ OhmUT（ωT）：=U（ωT）。（30）回想一下U（ωT，x）=-∞ 对于所有（ωT，x）∈ Ohm × (-∞, 0).用于t≥ 1.全尺寸seteOhmT∈ 这将通过第6.9和6条中的归纳来定义。10.我们准备好了∈ R和ωt∈ OhmtUt（ωt，x）：=(-∞)1(-∞,0）（x）+1eOhmt×[0+∞)（ωt，x）suph∈Ht+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。（31）t=0U（x）的最终结果：(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x）嘘∈HxZOhmU（ω，x+h）S（ω））P（dω）。（32）备注6.2我们将通过归纳证明UTI定义良好（见（34）），即（31）和（32）中的积分在广义上定义良好。备注6.3在继续之前，我们将对Ut的选择进行一些解释。UT的自然定义应该是（ωt，x）：=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x）嘘∈Ht+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。介绍Ptfull measure seteOhmtin（31）与将在第6.11节中解决的可测量性问题有关。这并不奇怪，因为这与条件预期的使用有关，而条件预期几乎在所有地方都有定义。引理6.4Let0≤ T≤ T- 1和HBE是一个绝对值和可测量的随机变量。

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2022-5-10 20:54:21

考虑以下随机设置ht+1H：ωt∈ OhmtHt+1H（ωt）（ωt），Dt+1H:ωt∈ OhmtDt+1H（ωt）（ωt）。然后这些随机集都是闭值的，并且具有图值inFt B（路）。证据首先，很明显，Ht+1His是封闭的。由于Dt+1是闭值的（见引理3.4），因此Dt+1也是闭值的。事实图（Ht+1H）∈ 英尺 B（Rd）紧跟在图（Ht+1H）=n（ωt，h）之后∈ Ohmt×Rd，H（ωt）≥ 0，qt+1H（ωt）+HSt+1（ωt，）≥ 0= 1 |ωto、引理7.9（记住H是可测量的）。我们从引理3.4知道这个图（Dt+1）∈英尺 B（Rd），它跟在图（Dt+1H）=图（Dt+1）后面∩ 图表（Ht+1H）∈ 英尺 B（路）。最后我们为ωT引入了C（ωT）：=C（ωT）∈ OhmT、假设4.10Ct（ωT）中定义的C=ZOhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）∈ {0，…，T- 1} ，ωt∈ Ohmt、（33）引理6.5函数ωt∈ OhmT→ Ct（ωt）定义明确，非负（对于所有ωt），可测量且满足（Ct）=E（Ct）<∞. 此外，无论如何∈ {1，…，T}，存在OhmtC∈ Ftand withPt(OhmtC）=1，并且∞在…上OhmtC。Fort=0我们有∞.证据我们采用归纳法。假设t=t时，4.1 0 CT=C是可测量的，CT≥ 0安第斯山脉（CT）<∞. 假设Ct+1是可测量的，Ct+1≥ 0和E（Ct+1）=E（Ct）<∞. 从命题7.6 i）应用到f=Ct+1，我们得到ωt→ Ct（ωt）=ROhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）是可测的。作为Ct+1（ωt+1）≥ 对于所有ωt+1，很明显Ct（ωt）≥ 所有ωt都为0。应用Fubinitheorem（见引理7.1），我们得到th（Ct）=ZOhmtZOhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmt+1Ct+1（ωt+1）Pt+1（dωt+1）=E（Ct+1）=E（Ct）<∞.诱导步骤已经完成。对于l-emma的第二部分，我们将引理7.7应用于f=Ct+1，得到OhmtC:={ωt∈ Ohmt、 Ct（ωt）<∞} ∈ Ftand Pt(OhmtC=1。下面的命题6.7到6.11解决了动态规划过程，并在以下条件下成立。

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2022-5-10 20:54:24

让我≤ T≤ 我不能确定。美国犹他州ωt·: R→ 对于所有ωt，R i定义良好、非递减且在R上usc∈ Ohmt、（34）Ut（·，·）：Ohmt×R→ R{±∞} 是《金融时报》 B（R）-可测，（35）ZOhmtU+t（ωt，H（ωt-1） +ξ（ωt）-1)St（ωt））Pt（dωt）<∞, （36）对于所有ξ∈ Ξt-1和H=x+Pt-1s=1φsSSX在哪里≥ 0, φ∈ Ξ, . . . , φt-1.∈ Ξt-2和Pt（H（·）+ξ（·）圣（·）≥ 0）=1，Ut（ωt，λx）≤ λγK美国犹他州ωt，x++ Ct（ωt）, 总而言之ωt∈ Ohmt、 λ≥ 1，x∈ R.（37）备注6.6注意，从（34）和（35）中，我们得到了-Utis后正规被积函数（见Rockafellar and Wets（1998）中的定义14.27或Molchanov（2005）和推论14第5章第3节）。Rockafellar and Wets（1998）第34页）。然而，为了证明这个性质在动态规划过程中被保留，我们需要分别证明（34）和（35）是真的。此外，由于我们的sigma代数不被认为是完备的，因此从-这将带来另一层差异。由于这些原因，我们选择证明（34）和（35），而不是一些正规的被积函数性质。然而，在引理6.11的证明中，我们将再次使用正规被积函数的性质。下一个命题是构建ofe的第一步Ohmt、提案6.7Let0≤ T≤ T- 1固定。假设（NA）条件成立，而（34）、（35）、（36）和（37）条件成立。然后就有了OhmT∈ Ftsuch thatPt（e）Ohmt） =1，对于所有ωt∈EOhmt函数（ωt+1，x）→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）满足t heorem5的假设。13岁Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q（·）=qt+1（·|ωt），Y（·）=St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y）定义在哪里Ohmt+1×R。备注6.8注意，引理5.11、5.12和定理5.13在同一组假设下成立。

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2022-5-10 20:54:28

因此，我们可以用上述命题中的引理5.11或5.12代替定理5.13。证据为了证明这个命题，我们将逐一回顾应用理论所需的假设。13在上下文中Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q（·）=qt+1（·|ωt），Y（·）=St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y），其中V定义在Ohmt+1×R。在续集中，我们很快将其称为上下文t+1。对于所有ωt，从（34）到t+1∈ Ohmtandωt+1∈ Ohmt+1，函数x∈ R→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）是非减量的，并且在R上是usc。对于所有固定的ωt，在t+1处从（35）开始∈ Ohm坦德x∈ R、函数ωt+1∈ Ohmt+1→Ut+1（ωt，ωt+1，x）是Gt+1-可测量的，因此假设5.4在t+1的上下文中是满足的（重新定义Ut+1（ωt，ωt+1，x）=-∞ 假设所有x<0）。现在，我们将讨论在某些特定的全测度集中验证ωtchosen的假设。首先是引理3.6中的所有ωt∈ Ohm我们有10个∈ Dt+1（ωt）（回想一下，在第5节中，我们假设D包含0）。从命题3.7来看，假设5.1适用于所有ωt∈ Ohmt在上下文中t+1。我们现在处理假设5.7关于t+1下的渐近弹性。设ωt∈ OhmtCbe固定在哪里Ohm引理6.5定义了TCI。从（37）到t+1，我们得到了所有ωt+1的t∈ Ohmt+1，λ≥ 1和x∈ 车辙+1（ωt，ωt+1，λx）≤ λγKUt+1ωt，ωt+1，x++ Ct+1（ωt，ωt+1）.现在从引理6.5开始，从ωt开始∈ OhmtC，我们明白了Ohmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（ωt+1|dωt）=Ct（ωt）<∞因此，假设5.7在t+1的情况下对所有ωt进行了验证∈ OhmtC。想要证明对于ωtin，一些完整的测量集是确定的，对于所有的h∈ Ht+1（ωt）我们有这个zOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞.我们引入以下随机集I：OhmtRdI（ωt）：=（h∈ Ht+1（ωt），ZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=∞). （38）通过矛盾论证和使用可测选择论证，我们将证明I（ωt）=对于Pt几乎所有ωt∈ OhmT

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