这意味着Ohmt~ndPt=ROhmtdp并使用Fubini定理（见引理7.1）得到Ohmt+1U+t+1（ωt+1，x+h（ωt）St+1（ωt+1）Pt+1（dωt+1）=ZOhmtZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmtZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）≥Z{I6=}(+∞)Pt（dωt）=+∞ .因此我们必须有pt（{I6=}) = 0 i.e Pt（{i=}) = 1.自从{I=} ∈ 确实存在Ohm色调 {I=} 以至于Ohm色调∈ Ftand Pt(Ohm色调）=Pt（{I=}) = 1.对于al lωt∈ Ohmtint，假设5.9在t+1的情况下是正确的，我们现在可以定义OhmT OhmteOhmt:=Ohm特娜∩ Ohm色调∩ OhmtC。（39）很明显OhmT∈ Ft，Pt（e）Ohmt） =1，证明完整。下一个命题使我们能够简化将在第6.1条中进行的归纳论证。提案6.9假设（NA）条件和假设4.7、4.8和4.10成立。第（34），（35），（36）和（37）个堡垒=TOhmT=Ohm.证据我们从（34）开始表示t=t。当UT=U（见（30））时，使用定义4.1，x∈ R→ UT（ωT，x）定义良好，不递减，且usc在R上，T=T的（34）为真。我们现在证明（35）对于t=ti.ethat=U是FT B（R）-可测量。为了做到这一点，我们证明了对于所有ωT∈ OhmT、 x∈ R→ UT（ωT，x）是右连续的，并且对于所有x∈ R、 ωT∈ OhmT→ UT（x，ωT）是FT可测量的（这只是定义4.1的第二点），因此我们可以使用引理7.16并建立T=T的（35）。设ωT∈ OhmTbe固定。从（34）到T，我们刚刚证明了，x∈ R→ UT（ωT，x）是非递减的，在R上是usc，因此应用引理7.12我们得到了that x∈ R→ UT（ωT，x）在R上是右连续的。我们现在证明（36）对T=T是真的。让ξ∈ ΞT-1和H=x+PT-1t=1φtSTX在哪里≥ 0, φ∈ Ξ,. . . ,φT-1.∈ ΞT-2和PT（H（·）+ξ（·）圣（·）≥ 0) = 1. 设（φξi）1≤我≤T∈ Φ由φξT=ξ和φξi=φifor 1定义≤ 我≤ T- 那么Vx，φξT=H+ξ就这样站着∈ Φ（x）。

利用命题6.1，我们得到EU+（·，Vx，φξT（·））=EU+T（·，H（·）+ξ（·）ST（·））<∞ （回想一下U=UT）。因此（36）被验证为fort=T。最后，根据假设4.10，（37）对于t=t是正确的。下一个命题证明，如果（34），（35），（36）和（37）在t+1时成立，那么它们在某些选择井也成立Ohmt、 提案6.10Let0≤ T≤ T- 1固定。假设（NA）条件成立，且（34）、（35）、（36）和（37）为真att+1（其中UT+1是从给定值定义的）Ohmt+1参见（31））。然后就有了OhmT∈ FtwithPt（e）Ohmt） 例如：（34）、（35）、（36）和（37）是真的。此外，对于所有H=x+Pts=1φsSs，withx≥ 0和φ∈ Ξ, . . . , φt∈ Ξt-1，这样的pt（H≥ 这里有一些OhmtH∈ Ftsuch THAP（e）OhmtH=1，eOhmtHEOhm和某个+1∈ Ξt对于所有ωt∈EOhmtH，bhHt+1（ωt）∈ Dt+1H（ωt）（ωt）和ut（ωt，H（ωt））=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。（40）证据。首先，我们定义Ohm证明（34）和（35）对Ut是正确的。应用命题6.7，我们得到所有ωt∈EOhmt、 函数（ωt+1，x）→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）满足引理5.11和定理5.13的假设Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q=qt+1（·|ωt），Y（·）= St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y），其中V定义在Ohmt+1×R。特别是ωt∈EOhmT所有h∈ Ht+1x（ωt），回忆（25）我们有Ohmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞. （41）现在，我们介绍一下：Ohmt×R定义的字节（ωt，x）：=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0，∞)（x） 1eOhmt（ωt）suph∈Dt+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。从（41）开始，UTI得到了很好的定义（广义上）。首先，我们证明Utis Ft R-可测量的，然后我们将证明这意味着Utis Ft R-可测的井选线Ohmt、 为了证明这一点 B（R）-可测量，在证明它是扩展的Carath’eodory函数（见定义7.15）后，我们使用引理7.16（和备注7.17）。

应用定理5.13，我们得到所有ωt∈EOhmt、 函数x∈ R→Ut（ωt，x）是非递减的，usc在R上。实际上，这对所有ωt都是正确的∈ Ohm青岛市郊Ohmt、 x∈ R→ Ut（ωt，x）在[0]上是等于零的常数，∞) 以及-∞ 在(-∞, 0).现在让我们来看ωt∈ Ohmtbe固定。作为x∈ R→Ut（ωt，x）是非递减的，在R上usc我们可以应用引理7。我们得到了x∈ R→Ut（ωt，x）在R上是右连续的≥ 0固定，应用外稃6。11，H=x（此处OhmtH=eOhmt） 我们得到ωt∈ OhmT→ 苏菲∈Rdux（ωt，h）是可测的。最后，根据对ux的定义，我们得到了UT（ωt，x）=(-∞)1(-∞,0)+ 1[0,∞)（x） 1eOhmt（ωt）suph∈Rdux（ωt，h），这意味着ωt∈ OhmT→Ut（ωt，x）对于所有x都是Ft可测量的∈ 最后，我们证明了Ft B（R）——Ut的可测量性。为此，我们应用引理7.13，得到了一些Ohmtmes∈ 太好了(Ohmtmes）=1和一些英尺 R-可测量EUT：Ohmt×R→ R∪ {±∞} 对所有x来说都是这样∈ R、 {ωt∈ Ohmt、 Ut（ωt，x）6=eUt（ωt，x）} Ohmt\\Ohmtmes。我们现在可以进行设计Ohm坦德塞特Ohmt:=eOhmT∩ Ohmtmes。（42）回想一下，右边的积分是广义定义的。很明显OhmT∈ F和Pt（e）Ohmt） =1此外，回顾（31）、备注5.5（见（21））以及我们对所有x的定义∈ R、 ωt∈ OhmtUt（ωt，x）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0，∞)（x） 一,Ohmtmes（ωt）1eOhmt（ωt）suph∈Ht+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0，∞)（x） 一,Ohmtmes（ωt）1eOhmt（ωt）suph∈Dt+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=1Ohmtmes（ωt）Ut（ωt，x）+(-∞)1.Ohmt\\Ohmtmes（ωt）1(-∞,0）（x）=1Ohmtmes（ωt）eUt（ωt，x）+(-∞)1.Ohmt\\Ohmtmes（ωt）1(-∞,0）（x）和英国《金融时报》 B（R）-UT的可测性立即出现，即（35）在t时为真。

从第三个等式也可以清楚地看出，（34）对于t是正确的，因为我们已经证明了对于所有ωt∈ Ohmt、 x∈ R→Ut（ωt，x）是定义良好的，非递减的，在R上为usc。我们现在转向关于渐近弹性的假设，即t的（37）。如果ωt/∈EOhmt、 那么（37）是真的，因为（ωt）≥ 0表示所有ωt。让ωt∈EOhmtbe固定。让x≥ 0, λ ≥ 1，h∈ rdqt+1（λx+hSt+1（ωt，）≥0 |ωt）=1是固定的。对于所有ωt+1，对于t+1乘以（37）∈ Ohmt+1，我们有t+1ωt，ωt+1，λx+hSt+1（ωt，ωt+1）≤ λγKUt+1ωt，ωt+1，x++hλSt+1（ωt，ωt+1）+λγCt+1（ωt，ωt+1）。通过整合双方（回忆（41））我们得到了Ohmt+1Ut+1ωt，ωt+1，λx+hSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）≤λγKZOhmt+1Ut+1ωt，ωt+1，x++hλSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）+λγKZOhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）。因为Ct（ωt）=ROhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）（见引理6.5）和h∈ Ht+1λx（ωt）意味着hλ∈Ht+1x（ωt） Ht+1x+（ωt），我们通过定义Ut（见（31））得到Ohmt+1Ut+1ωt，ωt+1，λx+hSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）≤ λγ库特ωt，x++ λγKCt（ωt）。夺取最高荣誉∈ Ht+1λx（ωt）我们得出结论（37）对于t对于x是正确的≥ 0.如果x<0，则（37）通过Ut的定义为真。注意，我们可能有ωt∈ Ohmt\\Ohmt和Ct（ωt）=+∞ 因为（37）不要求Ct（ωt）<+∞ .我们现在证明（40）为Ut。首先，从命题6.7和定理5.13开始OhmTEOhmt、 我们总共有ωt∈EOhm坦德x≥ 0表示存在一些ξ*∈ Dt+1x（ωt）使得ut（ωt，x）=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+ξ）*St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt），（43），其中右侧的积分定义为广义（回忆（41）和引理5）。11). 设H=x+Pt-1s=1φsSs和x≥ 0和φs∈ Ξsfor s∈ {1，…，t- 1} ，固定为P（H≥ 0) = 1. 删除OhmtH:=eOhmT∩ {ωt∈ Ohmt、 H（ω）≥ 0}. TheneOhmtH∈ F和P（e）OhmtH=1。

我们引入以下随机集ψ：OhmtRdψH（ωt）：=H∈ Dt+1H（ωt）（ωt），Ut（ωt，H（ωt））=ZOhmt+1Ut+1ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）,对于ωt∈EOhmtHandψH（ωt）= 否则为了证明（40），为ψH定义一个Ft可测量的选择器就足够了。从ψHand-uH的定义（见（45））中，我们得到（回想一下OhmtHEOhm坦德OhmtH Ohm参见（42）和Ohm薄引理6.11）。图（ψH）=n（ωt，H）∈EOhmtH×Rd∩ 图（Dt+1H），Ut（ωt，H（ωt））=uH（ωt，H）o。从Lemma 6.4我们得到了该图（Dt+1H）∈ 英尺 B（路）。我们已经证明了（ωt，y）→Ut（ωt，y）是Ft B（R）-可测，当H是Ft可测时，我们得到ωt→ Ut（ωt，H（ωt））是可测的。现在应用引理6.11，我们得到了uHis Ft B（Rd）-可测量。图（ψH）的事实∈ 英尺 B（Rd）紧随其后。所以我们可以应用投影定理（参见Castaing and Valadier（1977）中的定理3.23），我们得到{ψH6=} ∈f并使用奥姆-安定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1），证明存在一些可测的hHt+1:{ψH6=} → 所以对于所有ωt∈ {ψH6=},hHt+1（ωt）∈ ψH（ωt）。然后我们将hHt+1全部扩展Ohmt通过设置hHt+1=0开启Ohmt\\{ψH6=}. 现在应用引理7.10，我们得到一些Ft可测量的bHht+1：OhmT→ 还有一些OhmtH∈ 太好了(OhmtH）=1和OhmtH {hHt+1=bhHt+1}。我们现在证明了集合{ψH6=} 是全面的。的确，让ωt∈EOhm这是固定的。用（43）表示x=H（ωt）≥ 0，存在h*（ωt）∈ ψH（ωt）。因此OhmtH {ψH6=} andPt（{ψH6=}) = 1.所以对于ωt∈ OhmtH∩EOhmhaveUt（ωt，H（ωt））=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+hHt+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。那么布汀OhmtH=eOhmtH∩OhmtHEOhmt（44）（40）被证明为t。我们现在剩下（36）的证明为Ut。让ξ∈ Ξt-1和H=x+Pt-1s=1φsSSX在哪里≥ 0和φ∈ Ξ, . . . , φt-1.∈ Ξt-使Pt（H（·）+ξ（·）圣（·）≥ 0) = 1.

我们得到了一些ωt∈EOhmt、 LetX（ωt）=H（ωt-1） +ξ（ωt）-1)St（ωt）th en X是Ft可测的。我们将（40）应用于X（ωt）（和Dt+1X（ωt）（ωt）），得到了一些ωt∈ OhmT→bht+1（ωt），它是Ft可测量的和Ohm德克萨斯州∈ Ftsuch该Pt（e）OhmtX）=1，并且对于所有ωt∈EOhmtX，qt+1X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt= 1和ut（ωt，X（ωt））=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。利用詹森不等式u+t（ωt，X（ωt））≤ZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。因此作为Pt（e）OhmtX）=1ZeOhmtXU+t（ωt，X（ωt））Pt（dωt）=ZOhmtU+t（ωt，X（ωt））Pt（dωt）≤ZOhmt+1U+t+1（ωt+1，X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt+1））Pt+1（dωt+1）<∞,因为t+1的（36）适用于X=X+Pt-1s=1φsSs+ξSTX在哪里≥ 0, φ∈ Ξ, . . . , φt-1.∈Ξt-2, ξ ∈ Ξt-1和BHT+1∈ Ξt：（36）对于t是证明的。在引理6.10的证明中，下列引理对于解决可测性问题至关重要。引理6.11修正一些≤ T≤ T- 1和X≥ 0.LetH:=x+Pt-1s=1φsSs，在哪里∈ Ξ, . . . , φt-1.∈Ξt-2和pt（H）≥ 0) = 1. 假设（NA）条件成立，且（34）、（35）、（36）和（37）在att+1时为真。勒图：Ohmt×Rd→ R∪ {±∞}定义为（ωt，h）：=ROhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt），if（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩ 图（Dt+1H），-∞if（ωt，h）/∈ 图（Dt+1H），否则。（45）其中Dt+1His定义在引理6.4中，以及OhmtH:=eOhmtT{ωt∈ Ohmt、 H（ωt）≥ 0}（定义见（39）Ohmt） 。英国《金融时报》对此进行了定义 B（Rd）-可测且适用于所有ωt∈ Ohmt、 h∈ 研发部→ uH（ωt，h）是usc。Morevover，ωt∈ OhmT→ 嘘∈RduH（ωt，h）是可测的。备注6.12在下面的证明中，我们将证明对于（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩ 积分（45）的图（Dt+1H）定义良好。注意，并非所有情况都是如此（ωt，h）∈ Ohm确实，让（ωt，h）固定，使得qt+1（h（ωt）+hSt+1（ωt，·）<0 |ωt）>0。

那么很明显Ohmt+1U-t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=∞ 没有进一步的假设，我们无法证明Ohmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞ （很容易找到一些反例），（45）中的积分可能无法很好地定义。我们本可以通过使用公约来规避这个问题∞ - ∞ = -∞ 但我们宁愿避免这样做。证据从t+1处的（35）开始，Ut+1为英尺 Gt+1 B（Rd）-可测量且自H和St+1分别是fta和Ft+1-可测的，我们得到（ωt，ωt+1，h）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））也是Ft Gt+1 B（Rd）-可测量。为了证明（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩图（Dt+1H）（45）中的积分定义良好，我们引入Euh:（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩ 图（Dt+1H）→ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。首先，我们展示了广义上的尤希斯。的确，让（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩图表（Dt+1H）是固定的。固定在Ohm如命题6.10所示，我们可以证明（41）成立（这里H（ωt）是一个固定数，ωtis fixed）和thu sZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞,因此，euHis的定义很明确（但可能有一定的价值）。我们现在证明uHis Ft B（Rd）-可测量。我们可以将命题7.6（iv）应用于S=OhmtH×Rd∩图（Dt+1H），其中f（ωt，h，ωt+1）等于U±t+1（ωt，ωt+1，h（ωt）+hSt+1（ωt，ωt+1）），因为OhmtH×Rd∩图（Dt+1H）∈ 英尺B（Rd）（见引理6.4）和两者（ωt，h，ωt+1）∈ Ohmt×Rd×Ohmt+1→ U±t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））是FtB（道路）Gt+1-可测量。所以我们得到了euHis英尺 B（道路）S-可测量，在哪里英尺 B（道路）关于Ft的迹sigma代数 B（Rd）在S上。现在我们扩展euHtoOhm通过设置euH（ωt，h）=-∞ if（ωt，h）/∈ 图（Dt+1H）和euH（ωt，h）=0如果（ωt，h）∈ 图（Dt+1H）和ωt/∈ Ohm第。

自从英尺 B（道路）s 英尺 B（道路），OhmtH∈ Ftand图（Dt+1H）∈ Ft×B（Rd），这个euHis的延伸又是Ft B（Rd）-可测量。很明显，euHand Uh的这种扩展是一致的，证明了Uh的可测性。现在我们来看看南加州大学的房产。设ωt∈ OhmtHEOhmtbe固定。我们将P位置6.7应用于Ut+1，得到ωt∈EOhmt、 函数（ωt+1，x）→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）满足引理5.12的假设（见备注6.8）Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q=qt+1（·|ωt），Y（·）=St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y），其中V定义在Ohm因此，函数φωt（·，·）由φωt（x，h）=（R）定义在R×rdy上Ohmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）如果x≥ 0和h∈ Dt+1x（ωt）-∞ 否则/。南加州大学位于R×Rd（见（26））。特别是，对于x=H（ωt）≥ 0固定，有趣的活动h∈ 研发部→ uH（ωt，h）=φωt（h（ωt），h）是Rd上的usc。现在是ωt/∈ Ohm如果h，则tH等于0∈ Dt+1H（ωt）（ωt）和to-∞ 否则，引理7.11适用（回想一下，随机集Dt+1His闭值）和h∈ 研发部→ uH（ωt，h）是uscon al l Rd。最后，我们应用Rockafellar and Wets（1998）中的推论14.34，并发现-uHis aFt-normal被积函数。现在根据Rockafellar和Wets（1998）的定理14.37，我们得到ωt∈ OhmT→嘘∈RduH（ωt，h）是可测的，这就是证明。证据定理4.16。我们分三步进行。首先，我们处理一些对证明至关重要的可积性问题。然后，我们通过诱导建立最优策略的候选，并最终确定其最优性。可积性问题∈ Φ（x）=Φ（U，x）（回顾命题6.1）。既然命题6.9成立，我们可以对t=t应用命题6.10- 1，通过反向归纳，我们可以将命题6.10应用于所有t=t- 2.特别是，我们得到（36）对所有0都成立≤ T≤ T

所以选择H=Vx，φt-1和ξ=φt我们得到了（回忆一下注释4.3，来自φ∈ Φ（x）我们得到Pt（Vx，φt（·）≥ 0）=1）ZOhm图+tωt，Vx，φt（ωt）Pt（dωt）<∞. （46）这意味着Ohm啧啧ωt，Vx，φt（ωt）Pt（dωt）是在广义意义上定义的，我们可以应用Fubini定理进行广义积分（见命题7.4）ZOhm啧啧ωt，Vx，φt（ωt）Pt（dωt）=ZOhmT-1ZOhm啧啧ωt-1，ωt，Vx，φt（ωt-1，ωt）qt-1（dωt |ωt）-1） Pt-1（dωt）-1). （47）φ*我们做了一些x≥ 0，并通过归纳法为最优策略构建我们的候选者。我们从t=0开始，用命题6.10中的（40）表示H=x≥ 0.我们设定φ*:=我们得到了（回忆一下）=, Ohm)P（x+φ）*S（.）≥ 0) = 1.U（x）=ZOhmU（ω，x+φ）*S（ω）P（dω）。回想一下（46），上述积分在一般意义上定义得很好。假设直到≥ 1.我们找到了一些线索*∈ Ξ, . . . , φ*T∈ Ξt-还有一些Ohm∈ FOhmT-1.∈ 英尺-因此，对于所有i=1，T- 1.Ohm我EOhmi、 圆周率(Ohmi） =1，对于所有i=0，T- 1，φ*i+1（ωi）∈ Di+1（ωi）和ptx+φ*S（ω）+··+φ*t（ωt）-1)St（ωt）-1，ωt）≥ 0= 最后，对于所有ωt∈Ohm啧啧-1.ωt-1，Vx，φ*T-1（ωt）-1)=ZOhm啧啧ωt-1，ωt，Vx，φ*T-1（ωt）-1) + φ*t（ωt）-1)St（ωt）-1, ·)qt（dωt |ωt）-1） ，其中，积分在广义上得到了很好的定义（见（46））。我们将命题6.10应用于H（·）=Vx，φ*t（·）=Vx，φ*T-1(·) + φ*t（·）St（·）（回忆Pt（Vx，φ）处的th*T≥ 0=1）并且存在Ohmt:=eOhmtVx，φ*T∈ 太好了OhmTEOhmt、 Pt(Ohmt） =1和一些Ft可测ωt→ φ*t+1（ωt）：=bhVx，φ*tt+1（ωt）使得对于所有ωt∈Ohmt、 φ*t+1（ωt）∈ Dt+1（ωt）qt+1（Vx，φ*t（ωt）+φ*t+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1，Rockafellar和Wets（1998）的推论14.34仅适用于完整的σ-代数。这就是为什么-uHis是aFt-正规被积函数，而不是Ft-正规被积函数。美国犹他州ωt，Vx，φ*t（ωt）=ZOhmt+1Ut+1ωt，ωt+1，Vx，φ*t（ωt）+φ*t+1（ωt）St+1（ωt，·）qt+1（dωt+1 |ωt）。

（48）自Pt以来(Ohmt） =1，我们通过Fubini定理得到pt+1（Vx，φ*t+1≥ 0）=ZOhmtqt+1（Vx，φ*t（ωt）+φ*t+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）Pt（dωt）=1，我们可以继续递归。因此，我们找到了φ*= (φ*t） 一,≤T≤Tsch表示对于所有t=0，T，Pt（Vx，φ*T≥ 0）=1，即φ*∈ Φ（x）。我们也发现了一些OhmT∈ 英国《金融时报》，以至于OhmTEOhmt、 Pt(Ohmt） =1，对于所有ωt∈ Ohmt、 （48）适用于allt=0，T- 1.此外，根据命题6.1，φ*∈ Φ（U，x）我们有E（U（Vx，φ*T） ）<∞.φ的最优性*我们证明了φ*分两步进行优化。步骤1：使用φ=φ的（47）*而fact that PT-1(OhmT-1） =1，我们得到e（U（Vx，φ*T） ）=ZOhmT-1ZOhm屠ωT-1，ωT，Vx，φ*T-1（ωT）-1) + φ*T（ωT）-1)ST（ωT）-1，ωT）qT（dωT |ωT）-1） PT-1（dωT）-1） =ZOhmT-1ZOhm啧啧ωT-1，ωT，Vx，φ*T-1（ωT）-1) + φ*T（ωT）-1)ST（ωT）-1，ωT）qT（dωT |ωT）-1） PT-1（dωT）-1).使用（48）表示t=t- 一次又一次的事实是-1(OhmT-1） =1，我们有e（U（Vx，φ*T） ）=ZOhmT-1UT-1.ωT-1，Vx，φ*T-1（ωT）-1)PT-1（dωT）-1).我们迭代T的过程- 1：使用富比尼定理（见（47）），第-2(OhmT-2） =1和（48），我们得到e（U（Vx，φ*T） ）=ZOhmT-2UT-2.ωT-2，Vx，φ*T-2（ωT）-2)PT-2（dωT）-2).因此，通过反向归纳，我们可以得到that（回忆）Ohm:= {ω} E（U（Vx，φ）*T） ）=U（x）。Asφ*∈ Φ（U，x），我们得到U（x）≤ u（x）。那么φ*如果U（x）为最佳值≥ u（x）。第二步：我们再做一次∈ Φ（U，x）（回顾命题6.1）。我们得到了Vx，φt≥ 0 Pt-a.s.表示所有t=1，T（回忆Rema rk 4.3）。Asφ∈ hx我们得到了u（x）≥ZOhmU（ω，x+φ）S（ω））P（dω）。作为P（Vx，φ+φs≥ 0）=1，存在一些P-完全测量挫折Ohm∈ F所有ω都是这样∈BOhm,QVx，φ（ω）+φ（ω）S（ω，·））≥ 0|ω= 1即qφ(ω) ∈ HVx，φ（ω）（ω）|ω= 1（见引理7.9）。那么ω呢∈BOhm, 我们有u（ω，Vx，φ（ω））≥ZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φ（ω）S（ω，ω）q（dω|ω）。

（49）自（46）起，ROhmU+ω、 Vx，φ（ω）P（dω）<∞ 我们可以应用Fubini定理（见（47））和zOhmUω、 Vx，φ（ω）P（dω）=ZOhmZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φS（ω，ω）q（dω|ω）P（dω）=ZbOhmZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φS（ω，ω）q（dω|ω）P（dω）。再次使用（46），ROhmU+ω、 Vx，φ（ω）P（dω）<∞ 并（在广义上）整合（49）的两边OhmU（ω，Vx，φ（ω））P（dω）=ZbOhmU（ω，Vx，φ（ω））P（dω）≥ZbOhmZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φS（ω，ω）q（dω|ω）P（dω）=ZOhmUω、 Vx，φ（ω）P（dω）。因此（x）≥ZOhmUω、 Vx，φ（ω）P（dω）。我们可以继续，因为对于P-几乎所有ω，我们有qφ(ω) ∈ HVx，φ（ω）（ω）|ω= 1.对于PT-1几乎所有ωT-1我们有那个qTφT（ωT）-1) ∈ HTVx，φT-1（ωT）-1） （ωT）-1） |ωT-1.= 1，我们使用增益（46）和富比尼定理（见（47））得出≥ZOhmZOhm· · ·ZOhm屠ωT，Vx，φT（ωT）qT（dωT |ωT）-1） ·q（dω|ω）P（dω）。（50）所以我们有U（x）≥ E（U（·，Vx，φT（·）），对于任何φ∈ Φ（U，x），证明是完整的，因为U（x）=E（U（·，Vx，φ*T（·））<∞. 证据定理4.17。为了证明定理4.17，我们想应用定理4.16，因此我们需要确定假设4.7和d 4.8是正确的。为此，我们将在下面证明（53）。首先，我们要展示一个ll x≥ 0, φ ∈ Φ（x）和0≤ T≤ 几乎所有的ωT∈ Ohmt | Vx，φt（ωt）|≤ xtYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1). （51）为此，我们首先≥ 0，一些φ=（φt）t=1，。。。T∈ Φ（x）和1≤ T≤ T对于ωt-1.∈ OhmT-1固定，我们用φ表示⊥t（ωt）-1） φt（ωt）的正交投影-1） 关于Dt（ωt）。回顾第5.3条，我们已经φ⊥t（ωt）-1)St（ωt）-1，·）=φt（ωt-1)St（ωt）-1，·）|ωt-1.= 1，因此φ⊥t（ωt）-1) ∈ DtVx，φt-1（ωt）-1） （ωt）-1） （有关Dtx的定义，请参见（29）。当NA条件保持不变时，引理3.6适用，引理0∈ Dt（ωt+1）。然后我们可以应用L emma 5.10，得到|φ处的th⊥t（ωt）-1)| ≤Vx，φt-1（ωt）-1） αt-1（ωt）-1).

（52）此外，众所周知-1.∈ OhmT-1.→ φ⊥t（ωt）-1） 是《金融时报》-1-应用富比尼定理（见引理7.1），我们得到：φ⊥TSt=φt圣= 我们用Ohmt验证此等式的Pt fullmeasure集合。我们需要稍微修改集合Ohm他们可以在不同时期使用它。我们采用归纳法。我们从t=1开始（回想一下Ohm:= {ω} ）与Ohm公式Fort=2我们重新设置，滥用符号，Ohm等式=Ohm情商∩Ohm等式×Ohm我们重申这个过程直到结束。证明我们通过归纳法进行。在t=0时是清晰的。修好一些t≥ 假设（51）在t处成立，设ωt+1∈ Ohmt+1EQ，在t和（52）处使用（51），我们得到| Vx，φt+1（ωt+1）|=Vx，φt（ωt）+φt+1（ωt）St+1（ωt+1）=Vx，φt（ωt）+φ⊥t+1（ωt）St+1（ωt+1）≤Vx，φt（ωt）1 +|St+1（ωt+1）|αt（ωt）≤ xt+1Ys=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)（51）被证明适用于t+1。从那以后，所有的0≤ s≤ t| Ss|∈ wss和αs∈ Wsthat Vx，φt∈ 我们将证明这一点∈ Φ（x）和ωTin a全量测setU+（ωT，Vx，φT（ωT））≤ 2γK max（x，1）γTYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)!γU+（ωT，1）+CT（ωT）. （53）由于假设EU+（·，1）<∞, ECT<∞ 从那以后≤ T≤ T|圣|∈ wt与αt∈ Wt，我们得到EU+（·，Vx，φT（·））<∞ 无论如何∈ Φ（x）和假设4.7和4.8都成立。我们现在证明（53）。我们做了一些x≥ 0和dφ∈ Φ（x）。然后根据U+（51）的单调性，假设4。10，qts=1的事实1 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)≥ 1，我们有ωT∈ Ohm特克特Ohm塔图+ωT，Vx，φT（ωT）≤ U+ωT，max（x，1）TYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)!≤ K2最大（x，1）TYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)!γU+（ωT，1）+CT（ωT）.7附录在本附录中，我们报告了有关测度理论、可测选择定理和随机集的基本事实。

我们还提供了一些技术结果的证明。7.1广义积分和富比尼理论为了便于读者阅读，我们提供了一些关于测度理论、随机核和积分的众所周知的结果。第一个引理为非负函数提供了Fubini定理的一个版本（例如，参见Bogachev（2007）中的定理10.7.2）。然后，我们介绍了广义积分的定义，并提供了广义积分的Fubini定理的另一个版本（见命题7.4），这在本文中至关重要。设（H，H）和（K，K）是两个可测空间，p是（H，H）上的概率测度，q是给定（H，H）的（K，K）上的随机核，即对于任何H∈ H、 C∈ K→ q（C | h）是（K，K）和任何C的概率测度∈ K、 h∈ H→ q（C | h）是h-可测的。此外，对于安雅来说∈ H K和任何h∈ H、 A沿H的截面由（A）H:={k定义∈ K、 （h，K）∈ A} 。（54）引理7.1LetA∈ H Kbe固定。对安∈ 我们有∈ 我们定义ePbyP（A）：=ZHZKA（h，k）q（dk | h）p（dh）=ZHq（（A）h | h）p（dh）。（55）然后是（H×K，H）上的概率测度 H） 。此外，iff:H×K→ R+∪ {+∞}是非负的 K-然后∈ H→RKf（h，k）q（dk | h）是可测量的，其值为inR+∪ {∞}我们有ZH×KfdP:=ZH×Kf（h，k）P（dh，dk）=ZHZKf（h，k）q（dk | h）P（dh）。（56）证据。让h∈ H固定。设T={A∈ H K |（A）h∈ K} 。很容易看出，T是H×K上的sigma代数，包含在H中 K.设A=B×C∈ H×K然后（A）H= 如果h/∈ B和（a）h=C如果h∈ B.因此（A）h∈ K和H×K T因为T是一个西格玛代数，H K T和d T=H K紧随其后。我们现在展示→ZKA（h，k）q（dk | h）=ZK（A）h（k）q（dk | h）=q（（A）h | h）对于任何一个∈ H K.设E={A∈ H K | h∈ H→ q（（A）h | h）是h-可测的}。很容易看出，E是H×K上的sigma代数，包含在H中 K

设A=B×C∈ H×K那么q（（A）H）| H）等于0，如果H/∈ B和toq（C | h）如果h∈ B.因此，通过定义q（·|·），H×K E是一个西格玛代数，H K E和E=H Kfollows。因此（55）中的最后一个是明确的。我们验证了P定义了一个概率度量（H×K，H H）。很明显，P() = 0和P（H×K）=1。sigm a-可加性性质源自单调收敛定理。我们现在证明了对于f:H×K→ R+∪ {+∞} 非负和H K-可测，h∈ H→RKf（h，k）q（dk | h）是h-可测的，（56）成立。如果A的f=1a∈ H 这一主张得到了证实。通过采用线性组合，证明了H K-可测阶跃函数。那么如果f:H×K→R∪ {+∞} 是非负的，H K-可测，存在一些递增序列（fn）n≥1这样fn:H×K→ R是H K-可测阶跃函数与（fn）n≥1接近f。利用阶跃函数的单调收敛定理a和（56），我们得出（56）对f成立的结论。定义7.2设f:H×K→ R∪ {±∞} 做一个H K-可测量的功能。IfRH×Kf+dP<∞ RhR×Kf-dP<∞, 我们定义了f byZH×KfdP的广义积分：=ZH×Kf+dP-ZH×Kf-数据处理备注7.3注意，如果H×Kf+dP=∞ andRH×Kf-dP=∞, 上述积分未定义。然而，我们本可以引入一些惯例来处理这种情况，因为在大多数情况下，我们有rh×Kf+dP∞, 我们不这样做。提案n 7.4Letf:H×K→ R∪ {±∞}是啊 K-可测函数，使得rh×Kf+dP<∞. 然后，我们得到了zh×KfdP=ZHZKf（h，k）q（dk | h）p（dh）。（57）注释7.5注：我们可以假设Rh×Kf-dP<∞ 结果很好地证明了这一点。

我们将在A ppendix后面的引理2.2的证明中使用这个。证据使用定义7.2并将引理7.1应用于f+和f-我们得到了ZH×KfdP=ZH×Kf+dP-ZH×Kf-dP=ZHZKf+q（dk | h）p（dh）+ZHZKf-q（dk | h）p（dh）。为了建立（57），假设以下线性结果已被证明：设gi:H×K→ R∪ {±∞} 做点什么 K-可测函数，如tha-tRH×Kg+idP<∞ 对于i=1，2。然后zh（g+g）dp=ZHgdp+ZHgdp。（58）我们用g（h）=RKf+（h，k）q（dh | k）和g=-RKf-（h，k）q（dh | k）因为引理7.1，ZHg+dp=ZHZKf+（h，k）q（dh | k）p（dh）=ZH×Kf+（h，k）q（dh|k）p（dh）=ZH×Kf+dP<∞而clearlyRHg+dp=0<∞. 所以我们得到了zhzkf+（h，k）q（dk | h）p（dh）-ZHZKf-（h，k）q（dk | h）p（dh）=ZHZKf+（h，k）q（dk | h）-ZKf-（h，k）q（dk | h）p（dh）=ZHZKf（h，k）q（dk | h）p（dh），其中第二个等式来自于f（h，·）相对于q（·| h）和（57）的广义积分的定义。我们现在证明（58）。IfRHg-国内流离失所者∞ 对于i=1，2，这是微不足道的。FromRHg+idp<∞ 我们得到了g+i<∞对于i=1，2，几乎可以肯定的是，因此g+g之和p几乎可以确定得很好，取其值[-∞, ∞). As（g+g）+≤ g++g+，利用非负函数积分的线性，我们得到了zh（g+g）+（h）p（dh）≤ZHg+dp+ZHg+dp<∞.现在从g++g开始+- G-- G-= g+g=（g+g）+- （g+g）-,利用非负函数积分的线性度，我们得到了zh（g+g）+dp+ZHg-dp+ZHg-dp=ZH（g+g）-dp+ZHg+dp+ZHg+dp。检查不同的案子，呃-dp=∞ 安德烈-dp<∞ （和相反的情况）以及RHG-idp=∞ 对于i=1，2，我们得到（58）是真的。7.2进一步的测量理论问题我们现在展示了本文中使用的具体应用或结果。我们从前面介绍的Fubini结果的四个扩展开始。

如备注6.12所述，引入跟踪sig ma代数是为了避免使用约定而付出的代价∞ - ∞ = -∞ .建议7.6解决一些问题∈ {1，…，T}。i） 乐视网：OhmT→ R+∪ {+∞}是一个非负的可测函数。那么ωt-1.∈ OhmT-1.→ROhmtf（ωt）-1，ωt）qt（dωt |ωt）-1） isFt-1-可测量inR值+∪ {+∞}.ii）Letf：Ohmt×Rd→ R+∪{+∞}做一个不消极的人B（Rd）-可测函数。然后（ωt）-1，h）∈OhmT-1×路→ROhmtf（ωt）-1，ωt，h）qt（dωt |ωt）-1） isFt-1. B（Rd）-可通过inR值测量+∪ {+∞}iii）乐透基金：OhmT→ R+∪ {+∞}做一个不消极的人-1. Gt可测量函数。那么ωt-1.∈ OhmT-1.→ROhmtf（ωt）-1，ωt）qt（dωt |ωt）-1） isFt-1-可测量的inR值+∪ {+∞}.iv）让∈ 英尺-1. B（路）。介绍英尺-1. B（道路）S:=A.∩ S、 A∈ 英尺-1. B（道路）痕迹符号代数-1.B（Rd）onS。乐视网：OhmT-1×Rd×OhmT→ R+∪{+∞}做一个不消极的人-1.B（道路）Gt可测量函数。然后（ωt）-1，h）∈ s→ROhmtf（ωt）-1，h，ωt）qt（dωt |ωt）-1） 是吗英尺-1. B（道路）可测量的数值inR+∪ {+∞}.证据语句i）是引理7.1对H=OhmT-1，H=Ft-1，K=Ohmt、 K=Gtandq（·|·）=qt（·|·）。为了证明语句ii），让“qt”定义为“qt:（G，ωt-1，h）∈ Gt×OhmT-1×路→ qt（G |ωt）-1，h）：=qt（G |ωt-1). （59）我们首先证明了“qt”是给定的随机核OhmT-1×Rd，其中可测量性与Ft有关-1. B（路）。设（ωt）-1，h）∈ OhmT-1×Rdbe固定，B∈ 燃气轮机→ qt（B |ωt-1，h）=qt（B |ωt-1） 是一种概率测量吗(Ohmt、 Gt）通过qt的定义。让B∈ Gt是固定的，那么（ωt-1，h）∈ OhmT-1×R→ qt（B |ωt-1，h）=qt（B |ωt-1） 是《金融时报》-1. B（Rd）-对于任何B′都是可测量的∈ B（R），通过定义qt，n（ωt）-1，h）∈ OhmT-1×Rd，`qt（B|ωt）-1，h）∈ B\'o=ωt-1.∈ OhmT-1，qt（B |ωt）-1) ∈ B′X路∈ 英尺-1. B（路）。声明ii）之后是引理7.1对H的应用=OhmT-1×Rd，H=Ft-1. B（Rd），K=Ohmt、 K=Gt，q（·|·）=qt（·|·）。

为了证明声明iii）请注意，自-1.英尺-很明显，QT是一个随机核(Ohmt、 Gt）给定(OhmT-1英尺-1） （也就是说，可测量性与英尺有关-1). Andstatement iii）紧随着引理7.1对H=OhmT-1，H=Ft-1，K=Ohmt、 K=Gt，q（·|·）=qt（·|·）。我们现在证明la st陈述。众所周知，英尺-1. B（道路）S） 是一个可测量的空间。设qt由qt：（G，ωt）定义-1，h）∈ Gt×S→ qt（G |ωt）-1，h）：=qt（G |ωt-1). （60）证明了qt是一个随机核(Ohmt、 Gt）给定s英尺-1. B（道路）s. 的确，让（ωt）-1，h）∈ Sbe固定，B∈ 燃气轮机→ qt（B |ωt）-1，h）=qt（B |ωt-1） 是一种概率度量吗(Ohmt、 Gt），通过qt的定义。让B∈ Gt是固定的，那么（ωt-1，h）∈ s→ qt（B |ωt）-1，h）=qt（B |ωt-1） 我知道英尺-1. B（道路）对于任意B′的S-可测自∈ B（R），我们有，通过qt的定义（ωt）-1，h）∈ S、 qt（B |ωt）-1，h）∈ B′=ωt-1.∈ OhmT-1，qt（B |ωt）-1) ∈ B′X路\\s∈hFt-1. B（Rd）是。现在让我们把f限制为S×Ohmt、 使用类似的论点和事实-1. B（道路） GtiS×Ohmt=hFt-1. B（Rd）是 Gt，（61）我们得到了FSI英尺-1. B（道路）s 这是可以测量的。最后，陈述iv）来自于L emma 7.1对H=S，H的另一个应用=英尺-1. B（道路）S、 K=Ohmt、 K=Gt，q（·|·）=qt（·|·）。引理7.7Letf：Ohmt+1→ R+∪ {∞}beFt+1-可测量、非负等Ohmt+1f（ωt+1）Pt+1（dωt+1）<∞. Th enωt∈ OhmT→ROhmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）是可测的。此外，letNt:={ωt∈ Ohmt、 ZOhmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）=∞}.然后呢∈ FtandPt（Nt）=0证明。引理的第一个断言是命题7.6中i）的直接应用。所以很明显∈ 此外，应用富比尼定理（见引理7.1）我们可以得到它OhmtZOhmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmt+1f（ωt+1）Pt+1（dωt+1）<∞.假设Pt（Nt）>0。然后Ohmt+1f（ωt+1）Pt+1（dωt+1）≥兹茨Ohmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=∞.我们得到一个矛盾：Pt（Nt）=0。

粗略地说，下一个引理允许获得“nice”部分（即一个特定概率度量的完整度量集）。我们用它来证明定理4.17和引理7.9。引理7.8修正somet∈ {1，…，T}。删除OhmT∈ Ftsuch thatPt（e）Ohmt） =1和OhmT-1.∈ 英尺-1就这样-1（e）OhmT-1） =1并设置OhmT-1:=nωt-1.∈EOhmT-1，qtEOhmTωt-1 |ωt-1.= 1参见引理7.1，了解EOhmTωt-1.那么OhmT-1.∈ 英尺-1和(OhmT-1) = 1.证据从引理7.1我们知道ωt-1.→ qtEOhmTωt-1 |ωt-1.是《金融时报》-1-可测量的事实OhmT-1.∈ 英尺-1立即跟进。此外，利用富比尼定理（见引理7.1），我们得到了1=Pt（e）Ohmt） =ZOhmT-1ZOhmteOhmt（ωt）-1，ωt）qt（dωt |ωt）-1） Pt-1（dωt）-1） =ZOhmT-1ZOhmt（e）Ohmt） ωt-1（ωt）qt（dωt |ωt-1） Pt-1（dωt）-1） =泽OhmT-1ZOhmt（e）Ohmt） ωt-1（ωt）qt（dωt |ωt-1） Pt-1（dωt）-1） =泽OhmT-1qtEOhmTωt-1 |ωt-1.Pt-1（dωt）-1） =ZOhmT-11×Pt-1（dωt）-1） +ZeOhmT-1\\OhmT-1qtEOhmTωt-1 |ωt-1.Pt-1（dωt）-1） ，我们在第三行中使用了P（eOhmT-1) = 1.但是如果P（e）OhmT-1\\OhmT-1） >0，那么我们通过定义OhmT-1thatZeOhmT-1\\OhmT-1qtEOhmTωt-1 |ωt-1.Pt-1（dωt）-1） <Pt-1（e）OhmT-1\\OhmT-1） ，然后thus1<Pt-1(OhmT-1） +Pt-1（e）OhmT-1\\OhmT-1） =1，这是荒谬的，因此-1（e）OhmT-1\\OhmT-1) = 0. 我们得出结论，使用ag-ain，Pt-1（e）OhmT-1) = 1. 以下引理贯穿全文。特别是，Last语句用于主定理引理7.9Let0的开头≤ T≤ T- 1，B∈ B（R），H：OhmT→ 兰特：OhmT→ RDBEF无法确定。然后是函数（ωt，h）∈ Ohmt×Rd→ qt+1（H（ωt）+HSt+1（ωt，·）∈ B |ωt），（62）ωt∈ OhmT→ qt+1（H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，·）∈ B |ωt），（63）分别为ft B（Rd）-可测量和FT可测量。

此外，假设pt+1（H（·）+ht（·）St+1（·）∈ B） =1，则存在某个完整度量集Ohmtsuch这一切ωt∈ Ohmt、 qt+1（H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，·）∈ B |ωt）=1。证据作为h∈ 研发部→ HSt+1（ωt，ωt+1）对所有（ωt，ωt+1）是连续的∈ Ohmt×Ohmt+1和（ωt，ωt+1）∈Ohmt×Ohmt+1→ HSt+1（ωt，ωt+1）是Ft+1=Ft Gt+1-可测量所有h∈ Rd（回想一下，根据假设，站姿St+1分别为Ft和Ft+1），（ωt，ωt+1，h）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ HSt+1（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1 B（Rd）-可测量为Carath’eodory函数。当H是Ft可测时，我们得到ψ：（ωt，ωt+1，H）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1）也是Ft Gt+1 B（Rd）-可测量。因此，对于y B∈ B（R），fB：（ωt，ωt+1，h）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ 1ψ(·,·,·)∈B（ωt，ωt+1，h）i s FtGt+1B（路）。最后，我们使用命题7.6中的陈述i）来总结，并证明了命题（62）的正确性。我们用类似的论点证明（63）。由于htft是可测的，很明显ψht:（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1→H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1-可测量。因此，对于ny B∈ B（R），fB，ht：（ωt，ωt+1）∈Ohmt×Ohmt+1→ 1ψht（·，·）∈B（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1-可测量。我们总结应用命题7.6中的i）toff，ht。在最后一句话中，我们设定Ohmt+1：=ωt+1=（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1，H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，ωt+1）∈ B.很明显Ohmt+1∈ Ft+1和Pt+1（eOhmt+1）=1。然后我们可以应用引理7.8，得到一些Pt全测度集Ohmtsuch这一切ωt∈ Ohmt、 qt+1（H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，·）∈ B |ωt）=1。引理7.10通常与奥曼定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1）结合使用，以获得Ft可测量选择器。引理7.10Letf：OhmT→ RbeFt是可测量的。然后就有了：OhmT→ R是可测量的，因此F=Gpt几乎可以确定，即E是存在的Ohmtfg∈ FtwithPtOhmtfg= 1和Ohmtfg {f=g}。证据设f=1bb∈ 然后B=A∪ N，带着∈ Ftand N∈ 《不扩散条约》。设g=1A。那么g是可测量的。

Cl-early，{f6=g}=N∈ NPt，因此f=g Pta。s、 通过采用线性组合，证明了该引理适用于阶跃函数，并对每个指标函数使用相同的论证。然后，通常可以通过一系列阶跃函数（fn）n来逼近某个Ft可测函数f≥1.从上一步开始，所有n≥ 1，我们得到了一些Ft可测的阶跃函数gnfn=gnptalm。设g=lim sup gn，g是Ft可测的，我们得出结论，因为{f6=g} ∪N≥1{fn6=gn}在NPt中是aga。接下来，我们提供一些关于usc函数的简单但有用的结果。引理7.11LetCbe是somem的闭子集≥ 1.出租：Rm→ R∪ {±∞}就是这样-∞onRm\\C.Thengis usc onRmif，仅ifgis usc onC。证据我们证明了，如果g在C上是usc，那么它在Rmas上是usc，反之亦然。让α∈ R固定。我们证明了Sα：={x∈ Rm，g（x）≥ α} 在Rm关闭。让（xn）n≥1. Sα收敛于x∈ Rm。然后xn∈ C代表全体n≥ 因为C是一个闭集，所以x∈ C.asg是C上的usc（即集合{x∈ C、 g（x）≥ α} 对于Rmon C的诱导拓扑是闭合的，我们得到了g（x）≥ α、 即x∈ Sα和gis usc在Rm上。引理7.12 Rbe是R的闭子集。Letf:R→ R∪ {±∞}这样一来，我们就不用担心了。然后是正确的。证据让（xn）n≥1. S是一个收敛到某个x的序列*从上面。然后x*∈ 自从S被关闭以来。作为x∈ s→ f（x）对于所有n都是非递减的≥ 1我们有f（xn）≥ f（x）*) 和thuslim infnf（xn）≥ f（x）*). 现在当f是S上的usc时，我们得到lim supnf（xn）≤ f（x）*). S上的右连续性立即关闭。我们现在建立了一个有用的emma 7.10扩展。引理7.13Letf：Ohmt×R→ R∪{±∞}心安理得B（R）-可测函数，使得对于所有ωt∈ Ohmt、 x∈ R→ f（ωt，x）是usc且不递减。

然后，就有了 B（R）-从Ohmt×r∪ {±∞}还有一些Ohmtmes∈ Ftsuch thatPt(Ohmtmes）=1和f（ωt，x）=g（ωt，x）表示所有（ωt，x）∈ Ohmtmes×R.特别是注释7.14，对于所有ωt∈ Ohmtmes，x∈ R→ g（ωt，x）是usc且不递减。证据让n≥ 1和k∈ Z固定。我们将引理7.10应用于f（·）=f（·，kn），假设f是可测量的，我们得到了一些可测量的gn，k：OhmT→ R∪ {±∞} 还有一些Ohmtn，k∈ Ftsuch thatPt(Ohmtn，k）=1和Ohmtn，kωt∈ Ohmt、 f（ωt，kn）=gn，k（ωt）. 我们开始Ohmtmes:=\\n≥1，k∈ZOhmtn，k.（64）很明显Ohmtmes∈ F和那个Pt(Ohmtmes）=1。现在，我们为所有人定义≥ 1，gn：Ohmt×R→ R∪ {±∞} bygn（ωt，x）：=Xk∈ZK-1n，千牛（x） gn，k（ωt）。很明显，gnis Ft B（R）-可测量所有n≥ 1.最后，我们定义：Ohmt×R→ R∪ {±∞} byg（ωt，x）：=limngn（ωt，x）。（65）那么g又是Ft B（R）-可测，还有待证明f（ωt，x）=g（ωt，x）对于所有（ωt，x）∈Ohmtmes×R.Let（ωt，x）∈ OhmTME×R是固定的。为了所有人≥ 1.存在kn∈ Z以至于KN-1n<x≤使gn（ωt，x）=gn，kn（ωt）=f（ωt，knn）。将引理7.12应用于f（·）=f（ωt，·）（和S=R），我们得到x处的th∈ R→ f（ωt，x）在R上是右连续的knnN≥1从上面收敛到x，接下来是g（ωt，x）=limnf（ωt，knn）=f（ωt，x），这就是证明。最后，我们介绍以下定义。定义7.15设R为闭合区间。函数f：Ohmt×S→ 对于所有ωt，R是扩展的Carath’eodoryfunction（ifi）∈ Ohmt、 x∈ s→ f（ωt，x）是右连续的，ii）对于所有x∈ S、 ωt∈ OhmT→ f（ωt，x）是Ft可测的。我们证明了下面的引理，它是关于Carath’eodory函数的一个众所周知的结果的扩展（参见Alipran tis And Border（2006）中的例子4.10）引理7.16let Rbe一个封闭的随机区间：Ohmt×S→ Rbe是一个扩展的Carath’eodoryfunction。

然后呢 B（R）-可测量。证据我们为所有人定义≥ 1，fn：Ohmt×R→ R byfn（ωt，x）：=Xk∈ZK-1n，千牛（x） 1S（kn）f（ωt，kn）。很明显，FNI是英国《金融时报》 B（R）-可测量。从f的右连续性，我们可以在引理7.13的证明中证明，对于所有（ωt，x），f（ωt，x）=limnfn（ωt，x）∈ Ohmt×S，证明是完整的Ohm ×S∈ 英尺 B（R）as S是R）的闭子集。备注7.17请注意，如果我们用FT替换FTF，结果相同。7.3 P技术结果的屋顶最后，我们提供论文的缺失结果和证明。我们从第2节的以下结果开始。引理2.2的证明。关于广义条件期望的定义和各种性质，我们参考Carassus和R\'asonyi（2015）第6.1节。特别是因为E（h+）=ROhmth+dPt<∞,E（h | Fs）对于所有0≤ s≤ t（参见Ca ra ssus和R\'asonyi（2015）的引理6.2）。同样，从提案7.4中，我们得出如下结论：Ohms→ R∪ {±∞} 定义明确（广义上）且可测量。由于ψ（X，…，Xs）是Fs可测量的，因此仍需证明E（gh）=E（g~n（X，…，Xs））对于所有g：Ohms→R+非负，Fs可测量，因此E（gh）在一般意义上定义良好，即E（gh）+∞ 或E（gh）-< ∞. 回顾第2节开头的符号，并使用第三和第四等式的富宾i定理（见命题7.4和备注7.5），我们得到E（gh）=E（g（X，…，Xs）h（X，…，Xt））=ZOhmTg（ω，…，ωs）h（ω，…，ωt）P（dωt）=ZOhmtg（ω，…，ωs）h（ω，…，ωt）qt（ωt |ωt）-1) . . . qs+1（ωs+1 |ωs）Ps（dωs）=ZOhmsg（ω，…，ωs）ZOhms+1×。。。×Ohmth（ω，…，ωs，ωs+1，…，ωt）qt（ωt |ωt-1) . . . qs+1（ωs+1 |ωs）！Ps（dωs）=ZOhmsg（ω，…，ωs）~n（ω，…，ωs）Ps（dωs）=E（g（X，…，Xs）~n（X，…，Xt）），这是证明的结论。

我们现在给出第3节结果的证明。引理3.4的证明。我们首先证明了EDT+1是一个非空、闭值且Ft可测的随机集。从其定义（见（2））可以清楚地看出∈ Ohmt、 eDt+1（ωt）是Rd的一个非空闭子集。我们现在证明了eDt+1是可测的。设O是Rd中的固定开集，并引入uO:ωt∈ OhmT→ uO（ωt）：=qt+1St+1（ωt，）∈ O |ωt=ZOhmt+1St+1（·，·）∈O（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）。我们证明了μOis是可测量的。As（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1→ St+1（ωt，ωt+1）是FtGt+1-可测量和O∈ B（Rd），（ωt，ωt+1）→ 1.St+1（·，·）∈O（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1-可测量，结果来自命题7.9。通过定义dt+1（ωt），我们得到{ωt∈ Ohmt、 eDt+1（ωt）∩ O 6=} = {ωt∈ Ohmt、 uO（ωt）>0}∈ 接下来我们证明了Dt+1是一个非空的、闭值的、Ft可测的随机集。使用（3），Dt+1是一个非空的闭值随机集。还有待证明Dt+1是可测量的。AseDt+1是Ft可测的，应用Castaing表示（见Molchanov（2005）第一章定理2.3或Rockafellar和Wets（1998）定理14.5），我们得到了一个可数族的Ft可测函数（fn）n≥1: OhmT→ 所以对于所有ωt∈ Ohmt、 eDt+1（ωt）={fn（ωt），n≥ 1} （根据通常的拓扑结构进行闭合）。设ωt∈ Ohmtbe固定。可以很容易地看出dt+1（ωt）=Aff（eDt+1（ωt））=（f（ωt）+pXi=2λi（fi（ωt）- f（ωt）），（λ，…，λp）∈ Qp-1，p≥ 2). （66）因此，再次使用Castaing表示（参见Rockafellar and Wets（1998）的定理14.5），我们得到Dt+1（ωt）是Ft可测的。根据Rockafellar和Wets（1998）的定理14.8，图（Dt+1）∈英尺 B（Rd）（回想一下Dt+1是闭值的）。引理3.5的证明。引入Ct+1（ωt）：=Conv（eDt+1（ωt））由eDt+1（ωt）生成的闭凸壳。As Ct+1（ωt） Dt+1（ωt）我们将证明∈ Ct+1（ωt）。

自Ct+1（ωt） 假设Dt+1（ωt），对于所有h∈ Ct+1（ωt）\\{0}qt+1（h）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）<1。（67）因此，如果我们找到一些h∈ Ct+1（ωt），比如qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt=1，那么h=0。我们区分两种情况。首先假设∈ Rd，h6=0，qt+1（hSt+1（ωt，）≥ 0 |ωt）<1。然后是Ct+1（ωt）的极性，即集合Ct+1（ωt）o:= {y∈ Rd，yx≤ 0,  十、∈ Ct+1（ωt）}被简化为{0}。事实上，如果不是这样的话，就存在y∈ 因此-yx≥ 0代表所有x∈Ct+1（ωt）。作为A:={ωt+1∈ Ohmt+1，St+1（ωt，ωt+1）∈eDt+1（ωt）} {ωt+1∈ Ohmt+1，-YSt+1（ωt，ωt+1）≥ 0}和qt+1（A |ωt）=1，我们得到qt+1(-YSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1是矛盾。像Ct+1（ωt）oo=圆锥Ct+1（ωt）圆锥体在哪里Ct+1（ωt）表示由Ct+1（ωt）生成的锥，我们得到这个锥Ct+1（ωt）=让u 6=0∈ 圆锥Ct+1（ωt）然后-U∈ 圆锥Ct+1（ωt）存在λ>0，λ>0和v，v∈ Ct+1（ωt）使得u=λvand-u=λv。因此0=λ+λv+λ+λv∈ 通过Ct+1（ωt）的凸性得到Ct+1（ωt）。现在我们假设存在一些h∈ Rd，h6=0，使得qt+1（hSt+1（ωt，）≥ 0 |ωt）=1。注意，自从h∈ 我们不能使用（67）。介绍Ct+1（ωt）上的正交投影（回想一下Ct+1（ωt）是Rd的一个闭凸子集）p:h∈ 研发部→ p（h）∈ Ct+1（ωt）。那么p是连续的，我们有（h）- p（h））（x- p（h））≤ 0代表所有x∈ Ct+1（ωt）。固定ωt+1∈ {ωt+1∈Ohmt+1，St+1（ωt，ωt+1）∈eDt+1（ωt）}∩ {ωt+1∈ Ohmt+1，hSt+1（ωt，ωt+1）≥ 0}和λ≥ 0

设h=λhandx=St+1（ωt，ωt+1）∈ Ct+1（ωt）在前面的等式中，我们得到（回忆一下edt+1（ωt） Ct+1（ωt））0≤ λhSt+1（ωt，ωt+1）=（λh- p（λh））St+1（ωt，ωt+1）+p（λh）St+1（ωt，ωt+1）≤ （λh）- p（λh））p（λh）+p（λh）St+1（ωt，ωt+1）。因为所有λ都是这样≥ 当λ为零时，我们可以取极限，并使用pp（0）的连续性St+1（ωt，ωt+1）≥ |p（0）|≥ 0As qt+1nωt+1∈ Ohmt+1，St+1（ωt，ωt+1）∈eDt+1（ωt）o|ωt= 1通过定义ODT+1（ωt）和asqt+1（hSt+1（ωt，）≥ 我们也得到了qt+1（p（0）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。事实上p（0）∈ Ct+1（ωt）与th（67）一起表示p（0）=0和0∈ Ct+1（ωt）如下。在引理3.6的证明中使用了以下引理。它对应于Nutz（2014）引理7.18Letωt的L emma 2.5∈ Ohmtbe固定。回想一下tLt+1（ωt）：=Dt+1（ωt）⊥是正交空间ofDt+1（ωt）（见（6））。那么∈ 我们有qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1<==> H∈ Lt+1（ωt）。证据假设h∈ Lt+1（ωt）。然后{ω∈ OhmTSt+1（ωt，ω）∈ Dt+1（ωt）} {ω ∈ Ohmt、 hSt+1（ωt，ω）=0}。根据Dt+1（ωt）的定义，qt+1(St+1（ωt，）∈ Dt+1（ωt）|ωt）=1，我们得出结论qt+1（hSt+1（ωt，）=0 |ωt）=1。相反，我们假设h/∈ 我们证明了qt+1（hSt+1（ωt，）=0 |ωt）<1。我们首先证明存在v∈eDt+1（ωt），使得hv6=0。如果不是的话∈eDt+1（ωt），hv=0，对于任何w∈ Dt+1（ωt），w=Pmi=1λivi，其中λi∈ R、 Pmi=1λi=1和vi∈eDt+1（ωt），我们得到hw=0，这是一个矛盾。此外，还存在一个以v为中心的开放球，半径ε>0，B（v，ε），使得所有v′的hv′6=0∈ B（v，ε）。假设qt+1(St+1（ωt，）∈ B（v，ε）|ωt）=0或等于qt+1(St+1（ωt，）∈ Rd\\B（v，ε）|ωt）=1。根据支架的定义，eDt+1（ωt） Rd\\B（v，ε）：这与v相矛盾∈eDt+1（ωt）。因此qt+1(St+1（ωt，）∈ B（v，ε）|ωt）>0。让ω∈ {St+1（ωt，）∈ B（v，ε）}，然后是hSt+1（ωt，ω）6=0，即qt+1（hSt+1（ωt，）=0 |ωt）<1。

我们现在证明第5节的以下结果。命题5.11的证明。我们从（25）的证明开始∈ Dx。因为D是Rd0的向量子空间∈ Hx，Dx的af fi外壳也是一个向量空间，我们用Aff（Dx）表示。如果x≤ 假设5.4，对于所有ω∈ Ohm, H∈ Dx，V+（ω，x+hY（ω））≤ V+（ω，1+hY（ω））。（68）如果x>1，使用假设5.7（见备注5.8中的（23））我们得到所有ω∈ Ohm, H∈ DxV+（ω，x+hY（ω））=V+2x+h2xY（ω）≤ （2x）γK五+ω、 1+h2xY（ω）+ C（ω）. （69）首先我们处理Dim（Aff（Dx））=0的情况，即Dx={0}。总而言之ω∈Ohm, H∈ Dx={0}，使用（68）和（69），我们得到thatV+（ω，x+hY（ω））≤ V+（ω，1）+（2x）γKV+（ω，1）+C（ω）≤ （（2x）γK+1）（V+（ω，1）+C（ω））。（70）我们假设（Aff（Dx））大于0。如果x=0，那么Y=0q-a.s.如果不是这样，那么我们应该有D={0}一个矛盾。的确，如果存在一些h∈ h 6=0时，则Qh | h | Y（·）<0> 0根据与h相矛盾的假设5.1∈ 对于x=0，Y=0q-a.s，通过假设5.4，我们得到了llω∈Ohm, H∈ D、 V+（ω，0+hY（ω））≤ V+（ω，1）。从现在开始，我们假设x>0。那么g呢∈ Rd，g∈ Dxif和仅ifgx∈ D、 我们有Aff（Dx）=Aff（D）。我们设置d′：=Dim（Aff（d））。设（e，…，ed′）是Aff（D）（这是Rd的子向量空间）和φ：（λ，…，λD′）的正交基∈ Rd′→ ∑d′i=1λiei∈ Aff（D）。然后是各向异性（回想一下，（e，…，ed′）是Aff（D）的基础）。由于φ是线性的，且空间被认为是有限维的，因此它也是Rd′和Aff（D）之间的同胚。由于不可压缩引理5.10-1（D）是Rd′的一个紧曲面。所以存在一些c≥ 0，使得对于所有h=∑d′i=1λiei∈ D、 |λi |≤ 对于所有i=1，d′。我们完成向量族（e，…，ed′）以获得Rd的正交基，用（e，…，ed′，ed′+1，…）ed表示。

总而言之ω∈ Ohm , 设（yi（ω））i=1，。。。，在此基础上Y（ω）的坐标。现在让h∈ 这是固定的。然后是H2X∈ D 对于某些（λ，…λd′）的情况，Dandh2x=∑d′i=1λi∈ 带|λi |的Rd′≤ C对于所有i=1，d′。注意ash2x∈ D、 λi=0表示i≥ d′+1。由于（e，…，ed）是Rd的正交基，我们得到了所有ω∈Ohm1+h2xY（ω）=1+d′i=1λiyi（ω）≤ 1+∑d′i=1 |λi | yi（ω）|≤ 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|。因此，从所有ω的假设5.4∈Ohm 我们明白了+ω、 1+h2xY（ω）≤ 五+ω、 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|.我们设定（·）：=V+ω、 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|d′>0+V+（·，1）+C（·）。当d′=Dim（Aff（d））时，很明显L不依赖于x。同样清楚的是L是H-可测的。然后使用（68），（69）和（70）我们得到所有ω∈OhmV+（ω，x+hY（ω））≤ （（2x）γK+1）L（ω）。请注意，如果x 6=0且Dim（Aff（Dx））>0，则在上述不等式中使用L中的第一项。对于Dim（Aff（Dx））=0和x=0且Dim（Aff（Dx））>0的情况，第二个和第三个都存在。根据假设5.7和5.9，E（V+（·，1）+C（·））<∞, 还有待证明d′>0意味着E五+·, 1+c∑d′i=1 | yi（·）|< ∞.引入W，其在（e，…，ed′）上的坐标为1或-（ed′+1，…ed）上的1和0。然后W Aff（D）和W的向量用θjj表示∈ {1，…，2d′}。设θω为向量，其（e，…，ed′）上的坐标为（符号（yi（ω）））i=1。。。（ed′+1，…ed）上的d′和0。那么θω∈ 我们明白了+ω、 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|= V+（ω，1+cθωY（ω））≤d′Xj=1V+（ω，1+cθjY（ω））。为了证明这一点∞ 这足以证明如果所有1的d′>0≤ J≤ 2d′，EV+（·，1+cθjY（·））<∞.还记得θj吗∈ Aff（D）。设ri（D）={y∈ Dα>0 s.t Aff（D）∩ B（y，α） D} 表示D的相对内部。作为非凸和非空（回忆一下D′>0），ri（D）也是非空和凸的，我们将一些*∈ ri（D）。我们证明了这一点*∈ ri（D）。

设α>0为Aff（D）∩ B（e）*, α)  丹格∈ Aff（D）∩ B（e）*,α). 然后是2g∈ Aff（D）∩ B（e）*, α） （回想一下，Aff（D）实际上是一个v形空间）和th us 2g∈ D.为非凸和0∈ D、 我们得到了g∈ Dand Aff（D）∩ B（e）*,α)  这有什么好处*∈ ri（D）。现在让εjbe使得εj（cθj-E*) ∈ B（0，α）。很容易看出，这里的B（y，α）是以y为中心，半径为α的Rd球。选择εj∈ (0, 1). 然后作为“ej:=e*+εj（cθj）- E*) ∈ Aff（D）∩ B（e）*,α） （还记得θj吗∈ W Aff（D）），我们得出∈ D.使用（23）我们得到了对于Q-几乎所有ωV+（ω，1+cθjY（ω））=V+（ω，1+e*Y（ω）+（cθj）- E*)Y（ω））≤εjγK五+ω、 εj（1+e）*Y（ω））+εj（cθj- E*)Y（ω）++ C（ω）≤εjγK五+ω、 +e*Y（ω）+εj（cθj）- E*)Y（ω）++ C（ω）≤εjγKV+（ω，1+\'ejY（ω））+C（ω））,其中第二个不等式来自于1+e*Y（·）≥ 0 Q-a.s（回想一下e*∈ ri（D））和假设4.1中V的单调性。请注意，即使1+cθjY（ω）<0 si nce（23）（见备注5.8）且V的单调性对所有x都成立，上述不等式仍然成立∈ R.根据假设5.9，我们得到EV+（·，1+）-ejY（·））<∞ （回想一下“ej”∈ D） 假设5.7意味着EC<∞, 因此EV+（·，1+cθjY（·））<∞ （25）被证明适用于h∈ Dx。现在让h∈ Hxandh′在D上的正交投影，然后hY（·）=h′Y（·）Q-a.s（见备注5.3）。很明显，h′∈ 因此V+（·，x+hY（·））=V+（·，x+h′Y（·））Q-a.s和（25）也适用于h∈ Hx。最后，在定理4.16的证明中使用了以下引理。引理7.19假设（NA）成立。让φ∈ Φvx，φT≥ 0 P-a.s，然后vx，φt≥ 0 Pt-a.s.证明。假设有一些t，使得Pt（Vx，φt≥ 0）<1或相当于Pt（Vx，φt<0）>0，且设n=sup{t|Pt（Vx，φt<0）>0}。然后Pn（Vx，φn<0）>0，对于所有s≥ n+1，Ps（Vx，φs≥ 0) = 1. L etψs（ω）=0如果s≤ n和ψs（ω）=1Aφs（ω）如果s≥ n+1与A={VΦn<0}。

然后v0，ψs=sXk=1ψsSs=sXk=n+1ψsSs=1AVx，φs- Vx，φn如果是≥ n+1ps（Vx，φs）≥ 0）=1，并且在，-VΦn>0因此PT（V0，ψT≥ 0=1和V0，ψT>0在A上。根据（通常的）富比尼定理PT（A）=Pn（Vx，φn<0）>0，我们得到了一个套利机会。因此，无论如何≤ T，Pt（Vx，φT≥ 0) = 1. 致谢。L.Carassus感谢LPMA（UMR 7 599）的支持。M.R\'asonyi得到了亨加里安科学院“Lend–ulet”项目LP2015-6的资助。参考资料c。D.阿利普兰蒂斯和K.C.边境。有限维分析：搭便车指南。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]。施普林格·维拉格，柏林，第三版，2006年。Alain Bensoussan、Ab el Cadenillas和Hyeng Keun-Koo。创业者在努力和项目上的决策具有一个不可超越的目标函数。数学奥普。第40（4）号决议：2015年第902–914页。内政部：10.1287/摩尔。2014.0702. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/moor.2014.0702.V.I.博加乔夫。测量理论，第二卷。斯普林格·维拉格，柏林，2007年。L.Carassus和M.R\'asonyi。离散时间金融市场中非凹效用函数的最大化。运筹学数学，在线发布ISSN 1526-54712015。L.Carassus、R\'asonyi M.和A.M.R odrigues。离散时间正实轴上的非凹效用最大化。《数学与金融经济学》，9（4）：325–3492015。G.C.阿利耶和R-A.达纳。当代理人具有法律不变量效用时，未定权益的最优需求。数学《金融》，21:169-2012011。C.卡斯坦和瓦拉迪埃先生。凸分析和可测多函数，第580卷。柏林斯普林格，197年。R.C.D.阿兰、A.莫顿和W.威林格。随机证券市场模型中的等价鞅测度与无套利。《随机统计学》杂志，2 9:185-2011990。C.德拉切里和P.-A.迈耶。概率和潜力。北荷兰，阿姆斯特丹，1979年。霍尔默和A。

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