卖空条件下资产价格收敛的无套利规则

2022-6-1 10:27:10

一些在短期销售约束下使资产价格趋同的无套利规则Delia COCULESCU和MONIQUE JEANBLANCABSTRACT。在卖空禁令下，已知没有任何具有消失风险的免费午餐（NFLVR-S）等同于存在价格过程的等效超级鞅测度（Pulido[22]）。对于两个给定的价格过程，我们将属性（NFLVR-S）转化为所谓的结构条件，并引入基本上鞅测度的概念。当基本鞅测度构造所需的某个条件不满足时，我们提供相应的套利组合。我们研究的动机在于理解价格收敛的特殊情况，即在有界随机时间交叉的价格。1、简介在无套利金融市场中，一价法则简单地规定，类似的金融资产，即具有相同收益的金融资产，应在不同的地点以相同的价格出售。关于金融市场，有一些特殊的假设导致了这一基本结果，重要的是，投资者需要能够观察不同地点的价格，并卖空相应的资产。此外，不应该有交易成本。事实上，在这些假设下，任何投资者都能够构建一个无风险的投资组合，即在（相对）定价过高的资产中持有空头头寸，在（相对）定价过低的资产中持有空头头寸，从而立即获利。

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kedemingshi

2022-6-1 10:27:13

这是人们可能遇到的最简单的套利策略：它不仅是一种买入和卖出策略，而且是独立于模型的，也就是说，它不依赖于基础模型来及时描述价格动态。显然，在禁止卖空的情况下，无法构建上述套利组合，因此类似资产可能有不同的价格：一价规则不适用。一个问题自然而然地出现了：在无套利的限制条件下，不同的价格如何在短期过程中表现出来？本文的目的正是为了阐明这一问题。为此，我们将引入趋同原则的概念，即预期“交叉”的价格过程，即在某个基础范围内几乎肯定获得相同的价值，这是对类似资产的数学描述。我们研究了在卖空约束条件下，当一个人施加非自由不变且风险为零的条件时，这种过程的概率性质，abb修订（NFLVR-S）。这2 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEAN BLANCcondition由Pulido在[22]中引入，作为Delbaen和Schachermayer的无套利范式（NFLVR）的对应物（当投资者不允许卖空时）（见[5]和[7]）。为方便读者，第2节提供了（NFLVR-s）的定义。基于Jouin i和Kallal【15】、Fritelli【11】、Pham和Touzi【21】、Napp【18】和Karatzas和Kardaras【16】的前一篇工作，Pulido【22】est Ablish的论文揭示了短期禁止条件下价格过程的进口性质，即（NFLVR-S）之间的等价性和价格过程的等价超鞅测度的存在性。

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2022-6-1 10:27:16

在本文中，我们将把条件（NFLVR-S）转换为两个基本随机过程的所谓“结构条件”。在价格趋同的框架下，不完全和不对称信息的存在对于证明不同价格的形成和持续时间是至关重要的。该要素在分析中被整合：我们假设，每个单独的价格都是在给定一些不同的信息集（过滤）的情况下形成的，这些信息集与驱动不同位置的价格形成的信息集先验无关，但在这两种情况下，最终支付的可测量性除外。然后，我们从管理者（称为内幕人士）的角度分析了无套利条件，管理者可以访问全球信息集，即公司可以观察到两种不同的价格。内幕人士可以在两个市场交易，但不能卖空。有许多价格趋同的例子，最简单的例子是期货合约及其标的资产，或由看涨期权平价产生的两个投资组合（即，一个由看涨期权和债券组成，另一个由看跌期权和标的股票组成）。在短期禁止销售的市场中，预计看涨期权平价不会在每个时间点都保持不变，但我们观察到到期时支付的一致性。其他趋同的例子有一些通常用于资本结构套利或债券交易的投资组合。然而，请注意，在这些情况下，收敛是基于模型的；在资本结构套利交易中，假设一个特定的“结构”模型来解释不同证券与共同发行人的价格共同演变，而在股票交易中，则根据统计分析来选择股票。

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2022-6-1 10:27:19

尽管如此，假设基础模型是“正确的”，问题仍然是一样的：如何构建亨赛尔短期战略是不可能的？最后，我们的框架很好地适用于柜台买卖的类似衍生品合同，因此不同的价格通常是由于不同的卖方和买方之间的信息不完善造成的。本文的主要内容如下：第2节介绍了两种趋同价格的概率模型，并回顾了本文采用的无套利框架。第3节建立了定理3中的“结构条件”。在第4节中，我们导出了存在超鞅测度的充分条件以及一些必要条件。我们引入了一个称为基本超鞅测度的概率测度，并在基本超鞅测度不存在的情况下给出了套利组合。第5节分析了许多融合无套利规则的例子，以融合资产价格。让我们强调一下，你的主要结果，即定理3.4和定理4.1，是更一般的：两个价格要收敛的性质不用于推导这些结果。2、具有两个收敛资产价格的随机模型在本文中，所有概率和过滤都是在概率空间上定义的(Ohm, F、 P）。我们考虑两种可能在不同地点（交易所）交易的金融资产。它们各自的价格过程用X表示：=（Xt）t≥0和Y：=（Yt）t≥0是否建模为正随机过程(Ohm, F、 P）。我们用FX表示：=（FXt）t≥0（分别为FY：=（FYt）t≥0）右侧连续P-增强过滤X（分别为Y）。

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2022-6-1 10:27:22

为简单起见，我们假设即期利率为常数且等于零，即价格过程x和Y已经贴现。我们假设两种价格的动态反映了一种（局部）均衡，即当在各自的金融比率中考虑关联过程时，每种资产分别存在等价的鞅测度：（NA-X）存在QX~ P使得价格过程X是（FX，QX）-局部鞅（换句话说，QXis是X在其自身过滤中的鞅度量）。（NA-Y）存在QY~ P使得价格过程Y是（FY，QY）-局部martin gale。注意，这意味着X和Y在它们自己的过滤中是P半鞅。我们应该为X和Y使用正确的连续版本。请注意，上述假设不包括可预测的价格过程，也不包括其自身过滤中的细分。这种模式将代表一个需要检查的微不足道的案例，因此排除它不会带来太大损失。然而，这种模式（即可预测且变化有限的价格过程）仍然可能出现，因为我们将在更大的过滤中考虑价格过程。我们假设投资者（以下称为内幕人士）能够观察两个位置的价格动态，因此他的信息流由G：=（Gt）t给出≥0带GT=∩s> tFXs∨ 财政年度。此外，投资者有一个基本的交易期限，即T，这是一个G停止时间。我们在以下框架中考虑的许多例子：定义2.1。据说，一些金融资产（X，Y）的价格趋同∈ R+| Xt=Yt}是有界的G停止时间。当X和Y是收敛价格时，我们应考虑内幕的视界是两个价格收敛的给定点，即T是这样的：ξ：=XT=YT4 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEAN BLANCand，T是有界的G停止时间。

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2022-6-1 10:27:25

可以取T=inf{T∈ R+| Xt=Yt}，但不需要这样的限制。在某些情况下，当现金流ξ支付给在资产X或Y中有长期头寸的投资者时，G停止时间T可以作为资产的到期日。在这种情况下，T应该是一个FX和anFY停止时间（即，现金流总是可以被相应资产中的长期头寸持有人观察到）。另一个有趣的情况是，T仅由insider观察，因此T既不是fx也不是FY停止时间。这两种解释中的任何一种都是可能的，即我们不要求T超过有界G-stop ping时间，但通过分析保持固定。通常，如果不同的投资者（即活跃于X市场的投资者与活跃于Y市场的投资者）能够获得不同的信息，那么X和Y的两个趋同价格可能会遵循不同的路径，在这种情况下，FX和FY不同，和/或他们有不同的态度。我们所说的不同风险态度的意思是，QXtoσ（ξ）的限制与QYtoσ（ξ）的限制不一致。我们的目的是从内幕人士的角度分析无套利资产（NFLVR-S），即当内幕人士被禁止卖空资产X和Y时。换言之，我们认为投资者的策略涉及以下头寸：现金多头或短头（πC）以及X和Y的多头头寸（πX和πY），因此投资者的投资组合的价值为：Vπt：=πCt+πXtXt+πYtYt，（1）并且，在自我融资时，我们有dVπt：=πXtdXt+πYtdYt。像往常一样，我们在这个框架中为（NFLVR-S）下的策略引入了som可容许性条件。更多详情，请参阅toPulido[22]。定义2.2。交易策略是一个g-可预测过程π=（πC，πX，πY）。

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2022-6-1 10:27:28

如果：（i）πX，则交易策略π被称为在卖空禁令下的可容许交易策略∈ L（X）和πY∈ L（Y）（即πXis可积于半鞅X，πYis可积于半鞅Y）。（ii）过程Vπ是从below开始的。（iii）πX≥ 0和πY≥ 我们用A表示X和Y在短期限制条件下的可接受交易策略集。在上述定义中，价格过程X和Y需要是G-半鞅；下一节将讨论这个问题。我们现在定义以下集合：K：={VπT，π∈ A} C：=K- L+（P）∩ L∞（P）。收敛资产价格的一些无套利规则，其中L+（P）是非负有限随机变量的等价类空间，L∞（P） i是P-本质有界随机变量的空间。卖空禁令（NFLVR-S）下没有风险消失的免费午餐定义如下：（NFLVR-S）如果'C∩ L+（P）={0}，其中'C是C相对于k·k的闭包∞标准inL∞（P）。定理2.3。[22]（NFLVR-S）成立的条件是且仅当存在概率度量，使得EP~ 使得过程X和Y是（G，eP）-上鞅。这种可能性测度被称为超鞅测度。由于（NFLVR-S）形式的无套利条件等价于过滤G中存在一对（X，Y）的超人测度，因此我们的目标是在存在概率测度的情况下，在更大过滤G中p过程X和Y被视为随机过程时，揭示p过程X和Y的性质~ 使得过程X和Y是（G，eP）-上鞅。（NFLVR-S）下的结构条件我们旨在阐明允许等价超鞅测度的过程X和Y的性质。

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2022-6-1 10:27:31

资产价格的结构条件首先出现在无卖空约束的无轨道情况下，即通过施加astrict鞅密度的存在而得出。我们参考了F"ollmer和Schweizer【9】、Ansel和Stricker【2】、Schweizer【23】了解更多详细信息。我们将在过滤G和区间[0，T]中进行分析，即内幕信息集和内幕投资范围。然而，请注意，s-ToCastic流程X和Y是在有限的时间范围内定义的，条件（NA-X）和（NA-Y）也应该在有限的时间范围内。首先，让我们介绍一些将在本文剩余部分使用的符号：符号3.1。（i）我们将半鞅Z的尖括号写在测度P和过滤G下。每当我们考虑的基础过滤不是G和/或概率不是P时，我们应使用明确的符号：例如，hZi（F，Q）是测度Q和过滤F下的尖括号（隐含地，Z需要是F-半鞅）。（ii）概率P下的期望算子写为E；当概率测度不同时，我们应使用明确的符号，即概率测度Q下的期望值EQis。（iii）P（F）是F-可预测过程的类别，其中F是给定的过滤。（iv）S（M）是由M生成的（G，P）-局部鞅的稳定子集，其中M是（G，P）-局部平方积分鞅；S（米）⊥是与M.6强正交的（G，P）-局部平方可积鞅集。DELIA COCULESCU和MONIQUE JEAN BLANC（v）E（Z）表示半鞅Z的Doléans Dade指数。下面的结果是定理2.3在价格收敛的特殊情况下的更精确公式：引理3。（X，Y）是收敛价格。

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2022-6-1 10:27:34

然后，价格（X，Y）满足（NFLVR-s），当且仅当存在一个概率度量，使得EP~ P和：X=fM+eZXY=fM+eZY，其中fmt：=EeP[ξ| Gt]a ndezxandezy是两个（G，eP）-电势（即，是正的超鞅满足ezxt=eZYT=0）。证据（NFLVR-S）成立的充要条件是S超鞅测度存在。但是，X andY是不可积的EP上鞅，表达式遵循Rieszdecomposition n和终端条件XT=YT。有关更多详细信息，请参见[17]-VI-11或[4]T12第97页。现在，我们研究了在任意选择的参考概率下这两个价格过程的结构。提案3.3。假设价格（X，Y）满足（NFLVR-s）。如果E[文本]<∞ a n d E[年]<∞ , 那么（X，Y）是区间[0，T]上的（G，P）-特殊半鞅。证据如果（X，Y）满足（NFLVR-S），则存在一个概率测度等价toP，sayeP，使得（X，Y）是（G，eP）-超鞅。在概率测度的等价变化下（Girsanov-Meyer定理），半鞅集合是稳定的，因此（X，Y）是（G，P）-半鞅。我们现在证明了X是一个特殊的（G，P）半鞅；Y的推理是相同的。首先，我们证明了过滤fx中的性质，然后证明了更大的过滤G中的性质。我们表示zk：=dPdQX | FXk（用k表示T≤ k a.s.）和Zt=E（Zk | FXt）。我们有：EQX[[X，Z]T]≤ 方程x【XTZT】- X+EQX【N】*k] =EP[文本]- X+EQX【N】*k] ，带N*k： =支持∈[0，k]| Ns |其中N=-RZ公司-dX公司-接收-dZ。过程N是a（FX，QX）-局部鞅（X和Z b是（FX，QX）-鞅）。因此N*由于上述不等式，在qx下是局部可积的，因此是[X，Z]。因此，X和Z、h X、Zi（FX，QX）存在（FX，QX）-可预测的括号。

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2022-6-1 10:27:37

Girsanov的理论认为：Xt=mPt+ZTZ-dhX，Zi（FX，QX）sSOME无套利规则，用于汇合资产价格，其中mPis an（FX，P）-本地定价。因此，过程X是一个特殊的半鞅FX。我们研究了更大过滤G中的情况，并指出它足以证明MPI是一个特殊的（G，P）-半鞅。过程mPis是a（G，P）-半鞅（X为1）。此外，sups≤t | mPs |是（FX，P）-局部可积（mPis a（FX，P）-局部鞅，因此我们使用定理34p。因此它也是（G，P）-局部可积的（FX停止时间是Gstopping时间）。这又意味着mPis a（G，P）-s特殊半鞅（Theorem33 P.130 in[20]）证明了结果。定理3.4。假设（X，Y）满足（NFLVR-S）。如果E[文本]<∞, 那么这里存在的jx和wx都是P（G）和a（G，P）-l局部市场MX，MX=0，因此对于任何≤ T:Xt=X+JXt+ZtwXudhMXiu+MXt。（2）如果X是FX可预测的，则进程JXis为null。一般来说，过程jxsaties JX=0，是递减的，而dJXis相对于dhMXi是单数的。证据鉴于提案3.3，存在一个（G，P）-局部鞅mx和一个细分，G-可预测过程VX，例如：Xt=X+VXt+MXt。我们可以编写VXt=RtwXudhMXiu+JXt，其中dJXis是相对于dhMXi奇异的有符号度量（即，dvx相对于dhMXi的Lebesgue分解；参见p pendix a中的命题a.3）。为了证明JXis是一个递减过程，我们使用了Girsanov定理和附录a中的定理a.1。更精确地说，让P是X的等价G-超鞅测度。根据Girsanov定理，X的分解由以下公式给出：X=X+（JX+DX）+MX，其中MX是（G，P）-鞅和：（i）dDX<< dh MXi。

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2022-6-1 10:27:40

因此，ddx和dJXare或hogonal。（ii）过程JX+~dx正在减少。上述两点表明，jx和dx都在减小（定理A.1（b）），亨塞陈述。让我们假设X是FX可预测的，因此是连续的（因为X也是（FX，QX）局部鞅）。然后，[X]=hMXi，并且过程X具有与hMXi相同的恒常区间。因此，JX≡ JX，即始终为空。8 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEAN BLANCWe强调了定理3.4中的e，（NFLVR-S）和e[YT]<∞ 对Y进行分解（带有明显的符号）：Yt=Y+JYt+ZtwYudhMYiu+MYt。（3）我们考虑以下两个价格趋同的例子。示例3.5。设带Bbe为两个独立的P-布朗运动，分别具有各自的自然过滤Fan和F；假设θ是一个Fstopping时间，θ是一个Fstopping时间（因此，它们是可预测的），两者都被认为具有绝对连续的分布函数，表示为Cand C，并且满足C（T）<1，C（T）<1。计划在固定到期日T支付以下款项：ξ=11{θ>T}+11{θ≤T}。我们考虑以下距离增量信息集：Gt：=Ft∨ σ（t∧ θ），Gt：=英尺∨ σ（t∧ θ).我们假设相应的价格为Xt=P（ξ| Gt）和Yt=P（ξ| Gt）。我们有以下Gmartingales，t≤ T：P（θ>T | Gt）=11{θ>T}P（θ>T）P（θ>T）=11{θ>T}1- C（T）1- C（t）（见[8]中的位置1），和：P（θ≤ T | Gt）=P（θ≤ T | Ft），（因为θ独立于θ），即最后一个过程是布朗鞅。我们推断，索赔ξ的修正价格分解如下：Xt=X-Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s} +Zt∧θ(1 - C（T））d（1- C（s））-1+MXt，其中MX=P（θ≤ T | F·）- P（θ≤ T）。类似的论点导致以下价格：Yt=Y+Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s}-Zt公司∧θ(1 - C（T））d（1- C（s））-1+MYt，MY=P（θ>T | F·）- P（θ>T）。可以检查：FX=G，FY=G，而内部过滤是G=F∨ F（即（B，B）的自然过滤）。

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2022-6-1 10:27:44

因此，mx和myg也是G鞅。根据上面的讨论，它们是布朗鞅。因此，hMXi和hMYi是一些关于Lebesgue测度收敛资产价格9a绝对连续的无套利规则。我们推断X在（2）中分解，Y在（3）中分解，其过程为jx：=-Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s}JY公司：=Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s}G-可预测。由于e ji是一个递增过程，我们通过定理3.4得出结论，即价格过程Y不尊重（NFLVR-S）内幕人士。实际上，θ是一个预定的存储时间，内幕人士可以在θ时购买资产Y-然后在时间θ转售，从而获得一个货币单位的套利利润。示例3.6。让我们考虑独立于布朗运动的正随机变量D的布朗运动B的击中时间：TD=inf{t≥ 0 | Bt≥ D} 。在Ft给出的过滤F中：=σ（TD∧s、 s≤ t）我们得到，对于相应的F-强度过程，TDis a total ly incessib leF stopping time：c（t）={TD>t}P（TD>t）Z∞fx（t）dFD（x），其中FD（x）i是D的分布函数，fx（t）是命中时间Tx的密度函数。我们表示Ht：=11{TD≤t}-Rtc ds是一个F-mar组织。让我们假设价格过程X由正的局部marti ngale X=XE给出(-H），ithat is，it saties:Xt=X-ZtXs公司-国土安全部。我们可以注意到FX=F。为简单起见，我们不引入第二种资产，而是将重点放在Gt=FX给出的较大过滤G中X的动力学上∨ σ（Bs，s≤ t）。我们将∧G表示为TD的G-补偿器，因此过程：HGt：=11{TD≤t}- ∧Gtisa mar tingale。

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2022-6-1 10:27:47

可以（使用[8]和事实）显示σ（Bs，s≤ t）对于布朗运动的runningsupremum生成的测度，∧gS绝对连续：∧Gt=Zt∧TDdP（TD>s | FBs）P（TD>s | FBs）=-Zt公司∧TDdFD（Ss）1- FD（Ss）=- ln FD（St∧TD），10 DELIA COCULESCU和MONIQUE Jeanblancu，其中Fb是布朗过滤，S是B的运行上确界。X的G分解使用H=HG写入-Rc（s）ds+λG:Xt=X+ZtXsc ds-ZtXsd∧Gs-ZtXs公司-dHGs。利用定理3.4，我们确定MXt=-RtXs-dHGs。我们已经在上面证明了dhMXiis相对于dS是绝对连续的。因此，JXt=Rtc（s）ds，因为Lebesguemeasure与ds正交。由于JXis增加，从定理3.4我们得出结论，存在套利机会，即（NFLVR-S）失败。在这里，一个目标策略很容易被G知情的投资者实施：当布朗运动严格低于其运行最大值时，在TDT之前的任何时候购买资产，并在其再次达到最大值之前的任何时候出售资产。在这些时间间隔内，价格过程X正急剧增加；所述套利策略的表现与资产X的持有期成严格的正比例。4。关于超鞅测度存在性的结果在本节中，我们研究了两个价格过程X和Y的特定G-超鞅测度的存在性，我们将其称为（X，Y）的基本超鞅测度。

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何人来此

2022-6-1 10:27:50

该对象将发挥重要作用，因为当无法构造此su PERMATINGALE度量时，系统套利机会就会出现。可以方便地将一个特定的G-超马丁系数（G-Supermartingalmeasure）作为X的基础概率度量，对于模拟度，我们仍然称其为P，因此在过滤概率空间中(Ohm, G、 G，P），这两个资产有以下表示：X=X+JX+MX，（4）Y=Y+VY+MY，（5）MX和MYbeing（G，P）-局部平方可积的局部鞅，MX=MY=0，因此过程vyi是一个有限变量，G-可预测过程。过程JXis被认为是递减的，测量dJXis与hmxi正交。请注意，（4）中的分解与（2）中的分解不同。在前面的章节中，pw是一种任意概率度量（相当于qx和QY）。在这一节中，P是X的一个特殊等价的超鞅测度，使得X精确地分解为asin（4）。假设存在这样一个X的超鞅测度，这是构建这对夫妇（X，Y）的基金基本超鞅测度的第一步。我们将鞅MYas：MY=M+M组合成一些无套利规则，以使资产价格11与M收敛∈ S（MX）和M∈ S（MX）⊥因此，我们可以为某些进程h编写Mas:Mt=ZthudMXu，（6）∈ 假设具有正确的连续采样路径。我们需要以下额外的d成分：o在（5）中所述的Y的可预测、有限变化部分分解为：VY=A- a、（7）式中，a和a是在相同集合上不增加的递增过程（即dA和dA是正交测度），a=a=0此外，过程A总是可以（且唯一）写成两个其他递增过程的和：A=A+A，其中dA<< h+dhMXi和dA⊥h+dhMXi。

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2022-6-1 10:27:53

因此，存在≥ 0这样的结果=Ztauh+udhMXiu（从Ais增加的事实来看，acomes的非负性）和▄aso▄a=▄a{h>0}=ah{h>0}≥ 0 andAt=Zt▄audhMiu=Zt▄au（hu）dhMXiu。我们现在陈述这一节的主要结果：定理4.1。假设aM<1几乎可以肯定。我们考虑以下条件：（C1）dA<< dh Mi。我们表示Daw相对于dhMi的密度。（C2）~aM<1。（C3）E【D】*T] =1，其中：D*t： =Et-Z·ASDMEt公司-Z·ASDM, t型∈ [0，T]。（8）为了保持与定理3.4中分解结果的兼容性，假设dA与dhMYi是可解连续的。该物业将仅用于在Le mma 4.5.12 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANCIf（C1）-（C3）中构建一个套利港，价格过程（X，Y）满足（NFLVR-S）。此外，概率测度P*定义为：dP*数据处理Gt：=D*t、 t型∈ [0，T]。（9）是（X，Y）的一个超马丁测度，我们称之为（X，Y）的基本超马丁测度。相反，如果价格过程（X，Y）为fy（NFLVR-S），则（C1）和（C2）为真，因此过程D*是一种绝对积极的本地马丁酒。在证明定理之前，让我们给出一些简单的例子来说明所涉及的许多过程，特别是过程VY的不同分解。请注意，我们不认为下面的X和Y是会聚的g价格；第5节提供了价格趋同的例子。示例4.2。假设带上的th有两个独立的布朗运动，且xt=X+Bt∧θ随θ：=inf{t∈ [0，T]，Xt=0}，T fixedyt=Y+ZtFsds+zthsds+ztgsds，T∈ [0，T]，对于H和G一些可预测的过程，为了简单，我们假设有界ed。

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2022-6-1 10:27:56

让我们确定本节前面介绍的关键流程。我们有ht=ht和：hMit=Rt∧θ（Hs）ds；h Mit=Rt（Hs）{θ≤s} +（Gs）ds。此外，过程At=Rt（Fs）+ds分解A=A+Awith:At=Zt∧θ{Hs>0}（Fs）+ds=Zt▄asdhMis，其中▄at={Ht>0}（Ft）+（Ht）at=Zt{Hs≤0}∪{θ≤s} （Fs）+ds。密度过程的存在不能保证。定理4.1中的绝对连续性条件（C1）变为：过程G在集合上为非空：{（t，ω）|θ（ω）>t，Ht（ω）≤ 0，Ft（ω）>0}∪ {（t，ω）|θ（ω）≤ t、 Ht（ω）=0，Ft（ω）>0}。在这种情况下，我们有At=RtasdhMiswithAt=11{θ>t}{Ht≤0}（Ft）+（Gt）+11{θ≤t} （Ft）+（Ht）+（Gt）和以下过程D*:= E-Zθ∧·{Hs>0}（Fs）+HsdBsE-Z·{hs≤0}f（Bs）+dBs.收敛资产价格的一些无套利规则是基本超鞅测度密度的候选者。然后，该定理指出存在一个超鞅测度i f（其他条件已满足）E[D*T] =1。示例4.3。另一个简单的例子是M≡ 在这种情况下，Theorem简单地说A不应该在dhX，yi<0的集合上增加，否则（NFLVRS）不成立。另见第5.1小节。示例4.4。如果过程hX，Y i严格增加，则A≡ 0且仅条件（C3）：EET公司-R·ASDM= 1需要检查。然而，如果这一点没有得到满足，我们一般不能得出缺少（NFLVR-S）的结论，因为（C3）不是一个必要条件。证据（定理4.1的证明）<=“条件（C1）确保过程a的存在，因此：At=ZtaudhMiuandais是非负的，由于a的递增性质。条件（C3）假设过程D是鞅，而条件（C2）确保它是严格正的（实际上，如果半鞅H满足H>-1，则随机指数过程E（H）是严格正的。

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2022-6-1 10:27:59

如果我们采用Ht：=-Rt▄asdMs，我们明白了H=-aM已假定▄AWA的相应条件成立）。我们确定：dP*数据处理GT：=D*这确实是一个等价的概率度量。很容易检查它是否是一个超级马丁格尔测度：事实上，在P*,dXt=dJXt- athtdhMXit+dm*t=dJXt- at（ht）+dhMXit+dm*t此处为m*是P*-鞅。流程JX和-R当（h）+sdhmx在减小时，X是P下的上鞅*. Als o：dYt=dVYt+dMYt=dAt+dAt-dat+dM*t型-§at（ht）dhMXit-atdhMit=dM*t型-日期，其中M*是P*-鞅。\"=>“我们假设存在一个等价的超鞅测度，我们指出它。在不丧失一般性的情况下，密度过程有depdp表示Gt=E(-五十） t，（10）14 DELIA COCULESCU和MONIQUE Jeanblanche，其中L可分解为：Lt=ZtludMu+ZtludMu+Ut。对于与M和M正交的局部鞅，我们使用符号{dA 6=0}来支持测度dA（ω）。过程X和Y是ep上鞅；因此，我们需要同时有：（i）（hMX，Lit，t∈ [0，T]）是一个递增过程；（二）Rt{dA6=0}dhMY，刘- At，t∈ [0，T]是一个递减过程。条件（i）如下所示。当且仅当JX时，进程X是aeP supermartingale- hMX，Li是一个递减过程。但是，JXis d ecreasing和dJXis与dhMXi正交，因此条件（i）似乎是必要的，并且足以使X成为aeP supermartingale。此外，关于上述条件（ii）的一些澄清。当且仅当VY时，进程Y是AEPSuperMartingable- 嗯，Li是一个递减的过程。但是VY- hMY，LI减小当且仅当两个过程（在-Rt{dA6=0}dhMY，Liu，t∈ [0，T]）和(-在-Rt{da6=0}dhMY，Liu，t∈ [0，T]）正在减少。然而，最后一个条件i不会在这里被利用。从上面的条件（i）中，我们得到过程hl是积极的（即非消极的）。

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2022-6-1 10:28:02

特别是在集合{h<0}上l只有负值或空值。现在让我们分析条件（ii）。为简单起见，我们表示：lt： =lt{dA6=0}和▄l电话：=lt{dA6=0}。根据上述观察，关于l, 流程▄l满意度：▄l{h<0}≤ 0，（11）我们记得，过程A分解asRt▄audhMiu+At，其中▄asatizing▄A=▄A{h>0}，因此：Zt{dA6=0}dhMY，刘- 在==Zt（yenlu- au）11{hu>0}dhMiu+Zt▄l乌德米厄-在-Zt▄lu{hu≤0}dhMiu.上述过程应不断增加。因为这两个过程-R·▄lu{hu≤0}dhMiu=-R·▄lu{hu<0}dhMiuare递增（见（11）），并且它们在集合{ht>0}上不递增（即，它们保持不变），因此p过程：Z·{hu≤0}~l乌德米厄- C（12）收敛资产价格15的一些无套利规则需要增加，其中Ct：=At-Rt▄lu{hu≤0}dhMiuis正在增加。根据附录A中的定理A.1，C相对于HMI是绝对连续的。因为C i是两个递增过程的su m，那么每个项对于dhMi都应该是绝对连续的，即：Ztlu{hu≤0}dhMiu=Zt▄lu{hu≤0}eudhMiu（13）对于某些非负过程（et），andAt=Zt▄audhmiuf对于非负过程▄a=▄a{h≤0}. 因此，理论中的条件（C1）必须保持不变。特别地，局部鞅D*存在。还有待证明（C2）也成立，这是一个触发局部鞅D严格正态性的性质*. 下面我们证明了（C2）是局部鞅E严格正性的结果(-五十）在（10）中。首先，我们注意到，（12）中的过程正在减少：（在-~l春节-~lt） 11{ht≤0}≤ 0，因此：0≤ 在≤ (~ltet+℃lt） 11{ht≤0}≤~lt{ht≤0}.

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2022-6-1 10:28:05

（14）为了得到上面的最后一个不等式，我们使用▄le11{h≤0}≤ 0（e是一个积极的过程）。事实上：11{h<0}l≤ 0如（11）和集合{h=0}中所示，我们有11{h=0}dhMXi=0，因此，使用等式（13）过程11{h=0}▄le=0。作为流程E(-五十）在（10）中是严格正的，从MandM的正交性来看，我们必须有：-lM>-1和-lM>-特别地，弹性不等式在集合{a>0}上成立∩ {h≤ 0}（注意，在这个集合上l> 0，从（1）到（4））。然后，（14）中的不等式确保-aM>-1索引，（14）表示-a≥ -~l{h≤0}，因此，如果M> 0，一个有-aM≥-~l{h≤0}M≥ -11{小时≤0}≥ -1、如果M<0，一个有-aM≥ 0 > -1、因此，t heorem hol ds中的条件（C2）也是如此。定理4.1强调条件（C1）是（NFLV R-s）成立的必要条件。在本节的剩余部分，我们揭示了（C1）失效时的系统套利组合。为此，我们确定条件失效的集合（即套利集合）：A：={（ω，t）∈ Ohm ×[0，T（ω）]| dAt（ω）>0，dhMit（ω）=0}；换句话说，在度量中，dAis对于dhMi不是绝对连续的。条件（C1）可以重写为：P（ω：t、（ω，t）∈ A） =0.16 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANCWe介绍了A：DA：=inf{t≥ 0 |（t，ω）∈ A} ，使用通常的约定：inf = ∞.随机时间是可预测的G停止时间。这可以证明如下。过程A和hMi是G可预测的，因此集合A是G可预测的。此外，A和hMi在[[DA]]处是正确连续的 A、我们使用命题2.40，p。

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kedemingshi

2022-6-1 10:28:08

354英寸[19]。A：EA：=inf{t>DA |（t，ω）的退出时间/∈ A}也是一个可预测的停止时间（它也可以写成集合{（ω，t）的début）∈Ohm ×[[DA∧ T、 T]]| dAt（ω）=0或dhMit（ω）>0}）。为了构建我们的套利投资组合，我们使用交易策略π=（πC，πX，πY），其中πXt≥ 0表示时间t时投资组合中资产X的数量，πYt≥ 0资产Y和πCt的数量∈ R是在时间t投资于无风险资产（现金）以制定自我融资策略的金额（见定义2.2）。我们记得，timet的投资组合价值∈ [0，T]写入：VπT：=πCt+πXtXt+πYtYt。（15）此外，我们的套利投资组合将满足以下条件：（a）在时间DA开始，无成本：VπDA=0。（b）在某个G停止时间S≤ T对开本有正值：VπS≥ p（Vπs>0）>0时，为0 a.s。在我们的例子中，S是小于或等于EA的任何停止时间。（c）基本交易策略π在定义2.2的意义上是可接受的（之前的p点已经暗示了一些可接受条件）。这样的投资组合实际上如下：π=（0，0，0）（即无初始投资），然后是与πXt相关的自我融资策略=-ht{t∈[[DA，EA[[}（16）πYt=11{t∈[[DA，EA[}。（17）下面的引理表明，投资组合的价值正在增加，尤其是它是从下面开始的，这确保了基础交易策略是可接受的，即，（c）是满足的。它还证明了条件（b）holds（即投资组合是套利），只要我们违反了（C1），即：P（ω：t、（ω，t）∈ A） >0。引理4.5。如（16）-（17）中所示，具有π的自融资投资组合Vπ的价值是一个不断增加的过程，对于（ω，t）而言，其价值是不断增加的∈ A、证明。

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2022-6-1 10:28:12

在集合A之外，投资组合的价值是恒定的，因此我们只需要研究集合A内价格过程X和Y的行为。一些汇聚资产价格的无套利规则17投资组合是自我融资的，我们有：dVπT=-htdXt+dYt=-htdJXt- htdMXt+dVYt+htdMXt+dMt= -htdJXt+dAt+dMt。最后一个等式出现的原因是，在a中，我们的dA>0，因此dA=dA=0，dVY=dA。我们回顾了以下属性：dAis绝对连续于dhMYi（dAis绝对连续于dhMYi的结果，参见脚注第9页）；在A中，我们有与dhMi正交的dAis。因此，就dhMi而言，insi de A，dAis是绝对连续的，因此也就hMXi而言。另一方面，dJXis与dhMXi正交。在一个过程中，JXisconstant，即：dJX≡ 从这一点出发，我们推断lio值的动力可以重写：dVπt=dAt+dMtfor（ω，t）∈ A、现在我们注意到在A中有dhMi≡ 0，根据A的定义，wh ich意味着A内部不稳定。这意味着Vπ：dVπt=dAtfor（ω，t）的动力学∈ Athat is，Vπ对于（ω，t）严格递增∈ A.汇合价格的一些示例保留了第4.5.1节的符号。鞅不为空。在这种情况下，我们可以推导出以下二次协变量规则：引理5.1。我们假设X和Y满足上一节M的假设≡ 如果（NFLVR-S）保持不变，则进程：Zt{dhX，Y i≤0}dYsis是（G，P）-超模，也就是说：Zt{dhX，Y i≤0}分析一个递减的过程。证据结果如下，是定理4.1的一个应用。

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何人来此

2022-6-1 10:28:14

18 DELIA COCULESCU和MONIQUE Jeanblancu作为一个例子，让我们假设T是常数，mx是具有确定性二次变化的连续鞅，f是确定性函数，f（T）=Rtf（s）dhMXis。然后，以下是聚合价格：Xt=X+MXtYt=Y+ZtMXsf（s）dhMXis+ZthsdMXs。HT=1+F（T）- F（t）考虑F（t）=1- ert对于某些r>0（且简单地f（t）<0），则过程Ht=1+ert- 如果T足够大，则在形式为[0，S]且S<T的区间内，erTis为负值。根据引理5.1，如果鞅mx在区间[0，S]内有负偏移，则存在套利机会。现在让我们考虑“生存索赔”的情况：ξ=11{τ>T}，即，如果某个事件τ在某个固定到期日T之前没有发生，则支付一个货币单位。假设对于所有Investors，τ是一个可访问的停止时间；它允许一个常数（FX，QX）强度λX，resp。一个常数（FY，QY）强度λY。在这种情况下，X（resp.Y）在托氏区间[0，τ]上增加∧ T）且在τifτ处有向下的ju mp≤ T更精确地说：Xt=QX（τ>T | FXt）=11{τ>T}e-λX（T-t） Yt=QY（τ>t | FYt）=11{τ>t}e-λY（T-t）。（NFLVR-S）使用此模型（例如，m=arg maxi的Qmis supermartingale度量∈{X，Y}λi）。这与引理5.1一致：[X，Y]t=XτYτ{τ≤t}≥ 0，因此为hX，Y i≥ 0.现在，考虑上述示例的另一种选择，其中在过滤FX中，停止时间τ是可预测的，但在具有恒定强度的FY中，它是完全不可访问的，即Y在随机区间上增加[0，τ∧ T）且在τifτ处有向下跳跃≤ 上述助教。在过滤G中，停止时间τ是可预测的（因为它在 G）因此，价格过程Y似乎是G-可预测且变化有限的，尤其是hX，Y i≡ 0

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2022-6-1 10:28:17

然后，这里有套利机会：在过滤过程中，没有改变衡量标准，使其成为超级艺术品。一个明显的套利策略是在τ之前买入Y并卖出。5.2. 两个市场风险态度相似的投资者。让我们假设P是价格X和Y在其自身过滤中的阿马丁格尔测度（但在过滤中没有t），即：Xt=E[ξ| FXt]和Yt=E[ξ| FYt]。我们用一个可违约资产的例子来说明：ξ=11{τ>T}E（B）T，到期日固定。我们假设B是布朗运动，而τ，发行人的默认时间是一个指数分布的随机变量，参数λ与布朗运动B无关。一些无套利的资产定价规则19我们假设以下信息集分别适用于两个市场和内部人士，用于∈ [0，T]：FXt=σ（BT）∨ σ(τ ∧ s、 s≤ t） FYt=σ（Bs，s≤ t）∨ σ（τ）Gt=σ（Bs，s≤ t）∨ σ（BT）∨ σ(τ).We d enoteNt=11{τ≤t}- λ（t∧ τ），这是一个FX鞅。此外，我们注意到，FYBrownian运动B是较大过滤G中的一个sem-imartingale，命名为bt=-Zt公司∧技术性贸易壁垒- 但是- udu+βtwithβ为（G，P）布朗运动。简单计算表明：Xt=11{τ>t}e-λ（T-t） ET（B）=ET（B）e-λT-ZtXs公司-dNs，这是一个FX鞅。然而，在过滤G中，过程X是可预测的且变化有限。由于它不是递减的，我们通过定理3.4得出结论，X不存在notful fil（NFLVR-S）。另一方面，Y由以下FY鞅给出：Yt=11{τ>T}E（B）T=11{τ>T}+ztyudbuwe在较大的过滤G中，以下分解适用于Y：Yt=11{τ>T}-ZtYuBT公司- 但是- udu+ZtYudβu，其中积分Kt：=RtYuBT-但是-udu定义明确。自【14】起，该条件为同等侵权行为√T-sds<∞ 和，sin ce E（Yt）≤ e上的1有eRT | Ys|√T-十二烷基硫酸钠< ∞.

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2022-6-1 10:28:21

这种类型的模型以不令人满意（NFLV R）著称。为客户提供卖空培训并不妨碍免费午餐。基本超鞅测度的候选密度过程为：D*t=EtZ·（BT）- Bu）+T- udβu,事实是（BT-Bu）+T-UI不是squ是可积的，这会阻止它成为有效的度量变化。例如，参见第4.2.1.20节DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANC5.3。两个市场的风险态度不同。我们直接在过滤G中工作，过滤G由两个相互依赖的P-布朗运动离子B和β生成。我们表示e W：=ρB+p1- ρβ对于某些ρ∈ [-1, 1]. 这两种资产的价格应如下所示：Xt=X+BtYt=EQY[Xt | Gt]，其中dqydpGt：=E-Z·WYudBut、满足WYT=ρWYtdt+dWt。我们认为T=inf{T≥ 0，Xt=0}∧“Twith”T非随机（因此价格过程为正）。在上述假设下，过程WY、BYt=Bt+RtWYudu和β是QYBrownian运动s。可以很容易地计算出Y具有以下（G，P）d组合：Yt=X+Zt（1- ρ（T- u））WYudu+Zt（1- ρ（T- u））dBu-p1级- ρZt（T- u）这里β是a（G，P）-布朗运动，独立于B。我们有t≤ T:Mt=Zthudbu，ht=1- ρ（T- t） Mt=-p1级- ρZt（T- u） dβuAt=ZtWYuhu公司+dhMiu。对于简单性，我们假设T=2。根据定理4.1，我们可以得出如下结论：（NFLVR-S）保持：（1）如果ρ≤ 0，则h>0，条件（C1）和（C2）通常满足▄a≡ 条件（C3）也成立。（2）如果ρ>0，则{（ω，t）| ht≤ 0}=[0，最大值（0，2- 1 /ρ)]. 对于ρ∈ （1/2，1），当WYt<0时，该区间不为空y且dAt>0，并且在每个有界区间上的Yoccur a.s.的这些负偏移。Hewhever，t在这种情况下也没有套利机会：所有条件都已满足，以构造基本超鞅测度P*.5.4. 具有消失噪声的滤波模型。

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2022-6-1 10:28:24

另一类适用于趋同价格框架的例子是过滤模型，其中观测过程中的noi在固定时间T内消失。一些用于汇聚资产价格的无套利规则让我们考虑一个非常简单的过滤模型。如前一示例中所示，X是从X开始的布朗运动。假设t<t时，信息流fy由X的噪声观测产生，由ot=Ztf（Xs）ds+Wt建模，W是独立于X的布朗运动。此外，在t时，可以完全观测到ξ=XT=yt的值。更精确地说：FYt=σ（Os，s≤ t），对于t<TFYT=σ（Os，s≤ T）∨ σ(ξ).通常，我们表示Gt=σ（Xs，s≤ t）∨ FYt。现在，我们设置：Yt：=E[ξ| FYt]。我们用Nt=Ot表示-Rt\\f（Xs）ds创新过程，其中u sual[f（X）是过程f（X）的y个可选投影。对于某些FY可预测过程ψ，以及对于t<t:Yt=E[Xt | FYt]=X+ZtψudNu，我们得到。过程ψ由：ψt=\\f（Xt）Xt给出-cXt\\f（Xt）（参见[3]中的第3.35节）。在过滤G中，替换Nt=Wt+Rt（f（Xs）-\\f（Xs））ds我们得到以下表示：Yt=X+Ztψu（f（Xu）-\\f（Xu））du+11{t≥T}（ξ）- 年初至今-)+ZtψudWu=X+VYt+Mt。这里我们有一个M的例子≡ 我们可以使用定理3.4来推断Y的动力学与（NFLVR-S）不相容：我们可以写evyt=JYt+Ztψu（f（Xu）-\\f（Xu））du式中，JYt=11{t≥T}（ξ）- 年初至今-) 不是递减过程。附录A.一些措施和增加过程的回顾为了方便读者，我们在这里收集了本文中使用的一些基本结果。定理A.1。设u和u为两种（可能签署的）度量值。（a）表示u和u都是积极度量值。然后，（u- u）仅当u与分辨率为u绝对连续时才是正测量。22 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANC（b）假设u⊥u，而且（u+u）是一个积极的衡量标准。

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2022-6-1 10:28:27

那么，u和u都是阳性测量结果。（a）支持（u- u）是σ-代数F上的一个度量。那么，对于所有a∈ F、（u- u）（A）≥ 0.具体而言，如果A的u（A）=0，则：（u- u）（A）=u（A）- u（A）=-u（A）≥ 0，这意味着u（A）=0（因为我们也有u（A）≥ 0表示u为正度量）。换句话说：u<< u.（b）对于所有A∈ F、（u+u）（A）≥ 0; 正交性条件imp为u（A）∈{（u+u）（A），0}和u（A）∈ {（u+u）（A），0}因此两者都是正度量。一个递增过程可以看作是R+，dAt（ω）上的一个随机测度，其分布函数是ao（ω）。同样，有限变化过程可以被视为有符号随机度量，因为它可以被写为两个递增过程的差。提案A.2（【13】第30页）。设A、B为有限的变化过程（分别为递增过程），使得dB<< dA。然后，存在一个可选的（非负的）过程，例如B=RHdA，直到消失集。此外，如果A和B是可预测的，则可以选择H是可预测的。提案A.3（[6]）。设A，B为cádlág，是有限变化的可预测过程，其中B是递增的。然后，有一个可预测的过程Д和一个可预测的子集N of r+×Ohm 这样：A=ZИdB+ZnDa和：ZR+N（u）dBu=0。确认。Monique Jeanblanc的研究得到了Chair Marketsin Transition（法国联邦银行）和Labex ANR 11-LABX-0019的支持。参考文献[1]AKSAMIT，A.和M.JEANBLANC：《金融视野中的过滤扩大》，Springer brief（2017）。[2] 安塞尔，J.-P.和C.斯特里克：卢伊斯·德·鞅（Lois de martingale），德·恩斯特（de nsités et décomposition de F"ollmer Schweizer）。《意大利年鉴》。H、 P.，章节B，第28（3）卷375–392（1992）。[3] BAIN，A.和D.CRISAN：《随机过滤的基本原理》，纽约斯普林格出版社（2009年）。[4] DELLACHERIE，C.：Ca pacités et processus stochastiques，Springer Verlag（1972）。[5] DELBAEN，F.和W。

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