复杂几何中的其他示例和最佳图像传输。在撰写本文的过程中，我们能够找到更多的Hessian manifolds示例，其切线束具有非负的二分曲率e或（NOAB）。已知的正弯曲度量的示例相对较少（一些示例见[46]），因此该方法可能有助于找到新的度量。这种方法的一个限制是，许多流形都不是度量空间的完备流形。确定哪些凸函数会产生具有非负或正正交二分曲率的完全K¨ahler度量是很有意义的，我们计划在未来的工作中研究这个问题。这些例子中的每一个都用非负MTW张量导出了一个代价。此外，由于这些例子中有许多是从统计流形中获得的，因此可能会使用它们来诱导有意义的统计差异。（1） ψ（u）=- 日志（1-Pni=1eui）。该势导出了具有常数负全纯截面曲率的Sasaki度量。A（ξ，η) = -η(ξ).从信息几何的角度来看，这是负多项式分布的Fisher度量。作为Hessian流形，M是常数负全纯截面曲率的非紧度量，但不是完全的。（2） ψ（u）=（eu+eu）pfor 0<p<1。对于向量ξ=ξu+ξuand covectorη=ηdu+ηdu，Sasaki度量的相关正交反等分曲率由oa（ξ，η）给出) =2（1/p- 1） （a）- 1） （eu+aeu）（eu+eu）2+p。作为Hessian流形，这些度量是非紧的，但不完整。26密歇根大学和密歇根大学（3）ψ（u）=log（cosh（u）+cosh（u））。该势导致Sasaki度量，其分段曲率为非负。

对于向量ξ=ξu+ξuand covectorη=ηdu+ηdu，相关的等分曲率由h（ξ，η）给出) = |ξ| |η|+4ξξη，其中|ξ|=ξ+ξ和|η|=η+η。此外，反方向曲率也满足相同的公式。A（ξ，η) = |ξ||η|+ 4ξξηη.因此，这个度量有（NOAB）和非负的二分曲率e。作为Hessian流形，这个度量是有界的，因此是不完整的。请注意，这个度量的曲率实际上与D平行，这是一个有趣的例子。我们将在未来的工作中进一步探讨这一指标。开放性问题6.1。最优映射的复杂几何。有意思的是，是否可以在复Monge-Ampere方程中建立ψ-费用最优运输的正则性理论。要做到这一点，我们首先需要找到定理1对复杂Monge-Ampere方程的厌恶，这将留给未来的工作。有关复杂Monge-Ampere方程的更完整概述，请参阅Phong、Song和S turm的论文【35】。伪黎曼最优运输理论的一个突出特点是对最优地图的自然几何解释。更准确地说，如果通过特定的一致因子（由相应的密度确定）使伪度量变形，则最佳映射由一个曲面相对于共形伪度量的最大余维产生[21]。目前，在复杂的环境中，我们对此没有相应的解释，我们将此问题留给未来的工作。6.2. 对优化运输的影响。这项工作的主要重点是利用最优运输理论来研究复杂几何和信息几何。然而，这仍然是一个悬而未决的问题，使用这种方法可以证明什么是最佳运输。

例如，很难找到满足MT W（0）的函数的成本。类似地，已知的正曲率K¨ahler度量相对较少，关于它们有各种稳定性和间隙定理（参见，例如，[24]和[29]）。在optimalOPTIMAL TRANSPORT和COMPLEX GEOMETRY 27transport中，我们希望类似的结果可以用COMPLEX GEOMETRY来证明。我们计划在未来的工作中探讨这个主题。6.3. 一种潜在的非卡勒推广。虽然ψ-成本产生了许多有趣的例子，但有许多相关的成本函数不是这种形式。因此，这里考虑的构造的一个自然推广是考虑组G和形式为ψ（x·y）的代价函数-1） 对于x，y∈ G、 到目前为止，我们的工作可以解释为在G是阿贝尔的特殊情况下进行这种计算。对于非阿贝尔群，我们希望有可能在几乎复杂的几何中恢复MTW张量作为曲率传感器。在这种情况下，由于群的非阿贝尔性质，将存在修正项，切向丛T G上几乎复杂的结构将不可积，因此关联理论将是非K¨ahler。这种方法的动机来自2-Wasserstein成本。对于这个代价，许多满足MT W（κ）的已知例子都是紧李群。例如，已知SO（3）~=Rpsaties MT W（κ）。我们希望这种方法可以用来展示其他紧李群的MTW性质。6.4. 反二分法曲率的复杂几何。正交反二分法是一种非常精细的不变量，其几何结构非常复杂。它不确定流形的全曲率张量，因为所有具有恒定全纯截面曲率的空间都具有消失的正交反等分曲率。

然而，对于一些没有任何其他明显非负性的重要指标，它是非负的。在今后的工作中，我们希望更全面地理解这种曲率，并了解它对复杂流形的几何结构所起的控制作用。参考文献[1]Amari，S.I.（2016）。信息几何学及其应用（第194卷）。东京：斯普林格。[2] Amari，S.I.，&Armstrong，J.（2014）。Hessian流形的曲率。微分几何及其应用，33，1-12。[3] Bregman，L.M.（1967年）。求凸集公共点的松弛方法及其在凸规划问题求解中的应用。苏联计算数学和数学物理，7（3），200-217。[4] Brenier，Y.（1987）D'ecomposition polaire et r'arrangement单调des champs de vectuers。C、 R.Acad。Sci。巴黎塞尔。我学数学。，305、805808.28密歇根大学和密歇根大学【5】加利福尼亚州卡法雷利（1992年）。具有凸势的映射的正则性。《美国数学学会杂志》，5（1），99-104。[6] Chen，X.X.（2007）。关于具有正正交二分曲率的K¨ahler流形。《高等数学》，215（2），427-445。[7] De Philippis，G.，&Figalli，A.（2014）。Monge-Amp\'ere方程及其与最优运输的联系。《美国数学学会公报》，51（4），527-580。[8] Dombrowski，P.（1962年）。在切线束的几何体上。数学杂志。Bd，210（1/2），10。[9] Feng，H.、Liu，K.、Wan，X.（2017）。具有正或正交二分曲率的紧K¨ahler流形。《数学研究快报》，24（3），767-780。[10] Figalli，A.、Kim，Y.H.、McCann，R.J.（2011）。多维筛选什么时候是对流程序？。《经济理论杂志》，146（2），454-478。[11] Figalli，A.、Kim，Y.H.、McCann，R.J.（2013）。

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