关于某些最优运输问题的K“ahler几何

2022-6-11 05:30:35

某些最优运输问题的K¨AHLER几何Abriel KHAN和JUN ZHANGAbstract。设X和Y分别是具有概率测度u和ν的rNe的域。我们考虑了关于成本函数c:X×Y的从u到ν的最优传输问题→ R、为了确保这个问题的解决是顺利的，有必要对域的结构和成本函数做出一些假设。特别是，Ma、Trudinger和Wang[25]在域之间是强相对c-凸且代价函数具有非负MTW张量时，建立了正则估计。对于公式c（x，y）=ψ（x）的成本函数- y）对于一些凸函数ψ，我们发现一个相关的K¨ahler manifold，其正交反等分曲率与MTW张量成正比。我们还表明，相对c-凸性在几何上对应于相对于双a ffne连接的测地线凸性。综上所述，这些结果为最佳运输提供了年龄计量框架，这是对Kim和McCann的伪黎曼理论的补充[20]。我们提供了这项工作的几个应用程序。特别是，我们发现了一个具有非负正交反二分法曲率的复杂曲面，该曲面不是厄米对称空间或C的双全纯曲面。我们还解决了Pal和Wong[32]在数学金融中提出的一个问题，即伪套利的规律性，或优于市场的投资策略。简介最佳tran sport是一个经典的数学领域，融合了几何学、概率论和分析的思想。1781年，Gaspard Monge首次正式确定了这个问题【27】。在他的工作中，他考虑到一名工人的任务是将一大堆沙子移到规定的配置中，并希望将完成工作所需的总工作量降到最低。

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2022-6-11 05:30:38

试图确定将沙漏输送到深层和微妙的数学现象中的最佳方式，这是一个蓬勃发展的研究领域。此外，最优运输有许多实际应用。Monge的工作日期：2019年8月23日。2密歇根大学和密歇根大学最初受到工程问题的启发，但这些相同的想法可以应用于科学、经济学、计算机图像处理和许多其他领域【34】。Kantorovich[17]提出的优化运输的现代框架考虑了两个概率度量之间的二进制耦合。在这个公式中，我们将x和Y视为分别具有概率测度u和ν的两个度量空间的Borel子集。直观地说，du是原始沙堆的形状，dν是目标配置。为了将s和d从u传输到ν，我们考虑u和ν的耦合，这是X×Y上的非负测量，其边缘分布分别为u和ν。为了衡量将运动u转换为ν的计划的效率，我们考虑了一个较低的半连续成本函数c:X×Y→ R、 Kantor-ovichoptimal tr运动问题的解决方案是耦合γ，其总成本最小∈Γ（u，ν）ZX×Yc（x，y）dγ（x，y）。这里，Γ（u，ν）是u和dν的所有耦合的集合（即边缘分布分别为u和ν的点概率）。在这种情况下，最小化测度γ被称为最佳耦合。对于非常一般的度量和成本函数，存在一个最佳耦合。因此，Kantorovich方法是研究最优运输的灵活而强大的框架。在Monge的工作中，假设给定点的质量不会被细分并发送到多个位置。

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2022-6-11 05:30:41

这被称为确定性最优运输，旨在确定一个可测量的地图T:X→ 因此，最优耦合完全包含在T的图中。当出现这种情况时，映射T称为最优映射。先验地，无法保证最优运输是确定性的，因此对于给定的最优运输问题，可能不存在Mongesolution。然而，我们将在第2节中讨论确定最佳训练运动的某些有效条件。对于确定性最优传输，很自然会问，最优MAPI是连续的还是平滑的。这被称为优化运输的调节性问题。历史上，关于这个问题的大部分工作都是在欧几里德空间中进行的，代价是c（x，y）=kx- ykpbetter被称为p-Wasserstein成本。对于更一般的成本函数（如黎曼流形上的Wasserstein成本），Ma、Trudinger和Wang【25】完成了开创性的工作，他们证明了在假设某种非线性四阶量（称为MTW十或（表示））的情况下，运输图是平滑的，是非负的，并且X和Y最优输运和复杂几何3相对而言是c凸的。Loeper[22]证实了这些结果，表明S的非负性对于建立平滑度量u和ν的连续性是必要的。此外，他还深入了解了MTW张量的几何意义。Kim和McCann【20】后来的工作进一步加深了这一理解，提出了一个最佳传输的伪黎曼框架，其中MTW张量是某些类光平面的电流。1.1. 我们的结果。在本文中，我们主要考虑ψ-成本，我们定义如下。定义（ψ-成本）。Letψ：M→ R是开域M-内李代数空间上的凸函数。

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2022-6-11 05:30:44

对于Rn中的开域X和Y，ψ-cost是formc的代价函数：X×Y→ Rc（x，y）=ψ（x- y）此前，Gangbo和McCann【13】以及Ma、Trudingerand Wang【25】对这些成本进行了研究。为了充分确定此类成本，M mus t包含差异集合x- Y，定义的asX- Y：={z∈ Rn | x个∈ 十、 y型∈ Y使得z=x- y} 。现在我们可以总结一下我们的主要工作结果，这些结果将一个复杂的模型与一个给定的ψ-成本相关联。为此，我们将M看作Hessian流形，用ψ作为其势函数。这样的流形自然允许一对fl-at连接，我们将其表示为D和D*. 使用原始曲面连接D，切线束T M可以用K¨ahler度量来装配，称为Sasaki度量，并表示为（T M，gD，JD）。我们的主要结果显示了该度量单位的值与MTW十位数或之间的以下对应关系。定理。设X和Y为rnan中的开集，c为ψ-代价。然后，c的MTW张量满足以下特性：S（η，ξ）=RgD（ξ，Jη, ξ、 Jη) - RgD（η, ξ, η, ξ）式中，ξ和η是一个正交实向量covector对（我们将其扩展到T M），而rgdis是（T M，gD，JD）的曲线。4密歇根大学和密歇根大学出于我们稍后将解释的原因，我们将右侧表达式称为正交反二分法曲率。我们进一步证明了s集的相对c-凸性是M命题上关于对偶a ffne连接的测地凸性。对于ψ-代价，集Y相对于X是c-凸的当且仅当，对于allx∈ 十、集合X- Y相对于对偶连接D是测地凸的*.除了为正则性问题提供一个新的几何框架外，我们还可以使用这些结果来解决几个独立的问题。1.1.1. 复杂几何体的应用。

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2022-6-11 05:30:46

这种方法可以用来构造几个具有细微非负性的有趣度量的示例。特别是，我们发现了一个完整的复杂曲面，它既不是CNO的双全纯曲面，也不是厄米对称曲面，但其正交反等分曲率是非负的。使用这种方法构造的许多复杂流形都是独立的，我们将提供一些示例，我们将在未来的工作中深入研究这些示例。1.1.2. 数学金融应用。我们的第二个主要应用是建立投资组合设计理论中某个问题的规律性。Pal和Wong最近的工作研究了发现伪套利的问题，伪套利是一种投资策略，从长期来看几乎肯定会跑赢市场。他们的工作表明，这相当于解决具有统计发散的最优输运问题，该发散与统计物理中的自由能密切相关。对于这个问题，我们的方法将此代价的MTW张量与具有常数正h全纯截面曲率的K¨ahler流形联系起来。因此，该成本函数满足MT W（0）条件（也满足非负成本曲率的更强条件）。我们进一步证明了相对c-凸性精确地对应于概率单纯形上的凸性的标准概念。结合这些计算，我们可以应用[41]的结果来获得投资组合图及其相关位移插值的正则性理论。这解决了[32]中提出的一个问题，直观地表明，当市场条件发生轻微变化时，投资策略也不会发生太大变化。1.1.3. D（α）ψ-发散和信息几何。

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2022-6-11 05:30:50

虽然我们的主要结果是以ψ-成本的形式表述的，但它们也适用于D（α）ψ-发散的成本函数，这是第二作者之前研究过的[48]。最佳传输和复杂几何定义（D（α）ψ-散度）。Letψ：M→ R是欧氏空间中凸域上的凸函数。对于两点x、y∈ M和α∈ (-1，1），a D（α）ψ-散度为形式D（α）ψ（x，y）=1的函数- α1.- αψ（x）+1+αψ（y）- Ψ1.- αx+1+αy.当α接近±1时，D（α）ψ散度收敛到Bregman散度[3]。当α=0且ψ为qu-ad-ratic时，该散度仅成为2-Wasserstein距离。更重要的是，发散是距离函数的一种推广，在这种情况下，对称性假设和三角形不等式被放弃了。它们广泛应用于统计和信息几何中，研究概率分布参数族的几何。虽然本论文并不严格需要这方面的背景知识，但这项工作的主要动机是信息几何，我们将自由使用指数族的基本结果，为我们的应用提供直观和背景。有关信息几何学的更完整背景，请读者参阅Amari的书[1]。ψ-代价和d d（α）ψ-发散都涉及定义在Rn开域上的凸函数。主要区别在于是否有必要假设X-YM（对于ψ-成本），或X、Y和1-αX+1+αY M（对于D（α）ψ散度）。为了确保D（α）ψ散度得到很好的定义，我们将假设ψ的域是凸的。对于许多相关的例子，ψ将是指数族自然参数中所谓的对数配分函数。

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2022-6-11 05:30:54

指数族的一个普遍性质是，这些函数的域是凸的，因此这种凸性假设将自动得到满足。因此，D（α）ψ发散的几何结构更为自然，因为不需要考虑差异集X- Y我们的结果（以D（α）ψ-发散度表示）的初步注释已被接受为2019年信息几何科学的进展[19]。1.2. 论文的布局。在第二节中，我们讨论了一些关于最佳运动的背景信息。第3节讨论了关于Hessian流形和Sasaki度量曲率的一些背景信息。这两部分都有大量的回顾，熟悉该理论的读者可以跳过。在第4节中，我们陈述了我们的主要结果，这些结果显示了复杂/信息几何与最优运输规则理论之间的精确相互作用。在第5节中，我们探讨了密歇根大学和密歇根大学对这一结果的各种应用。在第6节中，我们总结了一节开放性问题，希望在未来的工作中加以探讨。1.3. 符号我们试图尽可能多地保留[7]和[36]中的符号，同时尽量减少符号滥用或重叠。为了清楚起见，我们现在介绍一些符号约定。在本文中，X和Y将表示Rn中的开放域。它们总是平滑且有界的。我们将使用{xi}ni=1a作为X上的坐标，使用{yi}ni=1a作为Y上的坐标。为了研究最优运输，我们将使用c（x，y）表示较低的连续成本函数c:x×y→ R、通常，c的域会大于X×Y，但我们通常会忽略这一点。

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2022-6-11 05:30:57

为了避免与坐标函数和切线空间的表示法混淆，我们将Monge-Ampere型方程的解表示为u，以及相关的最优映射Tu。在大多数情况下，M将是欧几里德空间中的开域，ψ将表示凸函数ψ：M→ R、如果M已经老了，也可以将其视为人，这是很有启发性的，我们将使用{ui}ni=1作为它的坐标。在第5节中，我们偶尔需要对坐标函数进行平方。在这样做的时候，我们使用subscripts（即{ui}ni=1）来注释协调函数。当考虑M（表示为T M）的切丛时，我们将使用丛坐标{（ui，vi）}ni=1。此符号是对Satoh【36】的修改，这样做是为了避免过度使用g“x”和“y”。为了规定具有几乎厄米结构的T M，有必要考虑M上的一个有效连接，我们用D表示。此外，我们使用W、X、Y、Z和ξ表示M上的切向量（即T M的元素）。这是[36]的惯例，除了书法字体，以避免与我们的领域符号混淆。在计算MTW张量时，我们将用ξ表示MTW传感器中的向量，用η表示系数。为了简化导数表示法，对于两变量函数c（x，y），我们使用cI，JtodenotexiyJc表示多维I和J。此外，ci，jdenotes表示混合导数ci，J的矩阵逆。对于凸函数ψ，我们使用符号ψjt表示uJψ表示多指数J，旋转ψij表示ψij的矩阵逆。最后，我们将在整篇文章中使用爱因斯坦求和符号。1.4. 确认。第一作者感谢郑方阳和关波对本项目的有益讨论。该项目得到了美国国防部高级研究计划局（DARPA）/美国农业研究组织（ARO）7DARPA赠款W911NF-16-1-0383（信息几何：信息科学的几何化，PI:Zhang）的支持。

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大多数88

2022-6-11 05:31:00

这些结果的初步公布已被《信息几何科学学报2019》接受【19】。2、最优运输规律性理论的背景本文的主要目的是研究确保最优运输规律性所需的假设。为了理解这些，我们首先回顾了关于最优运输规律理论的一些初步结果。由于我们的主要兴趣是正则性问题的几何结构，我们将不会使用最精确的正则性估计。本节中的材料基于De Ph illipis和Figalli[7]的调查文件，该文件对规律性理论进行了更全面的概述。有关最佳运输的更完整概述，请参阅Villani的书【42】。回想一下，规律性问题主要是关于确定性最优运输的情况。作为例子，我们首先讨论一些条件，以确保Kantorovichoptimal运输问题是确定性的。以下条款最初由Brenier提出，用于2-Wasserstein成本【4】，并由Gangbo和McCann【12】证明了其更具普遍性。它给出了确定性输运的充分条件，并表明通过求解Monge-Ampere型方程可以找到最优映射。定理1。设X和Y是rna的两个开放子集，并考虑一个代价函数c:X×Y→ R、假设du是X上支持的光滑概率密度，dν是Y上支持的光滑概率密度。

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大多数88

2022-6-11 05:31:03

假设以下条件成立：（1）成本函数c为cw类，kckC（X×Y）<∞（2）对于任何x∈ 十、地图Y y→ cx（x，y）∈ Rnis内射。（3）对于任何y∈ Y，地图X x个→ cy（x，y）∈ Rnis内射。（4） det（cx，y）（x，y）6=0表示所有（x，y）∈ X×Y。然后存在一个c-凸函数u:X→ R使得映射Tu:X→ Yde由Tu定义（x）：=c-expx(u（x））是将u发送到ν的唯一最佳传输映射。此外，Tuis注射du-a.e.，（1）| det(Tu（x））|=du（x）dν（Tu（x））du- a、 e.，8密歇根大学和密歇根大学，通过将ν发送到u上的最佳传输图给出其逆。为了更具体地表示方程1，我们定义了c指数图（表示为c-expx）。定义（c指数图）。对于任何x∈ 十、 y型∈ Y、 p∈ Rn，c指数映射满足以下等式。c-表达式x（p）=y<==> p=-cx（x，y）。对于黎曼流形上的2-Wasserstein代价，c-指数正是标准指数映射，这激发了它的名字。对于欧几里德空间中的这一成本，方程式1成为标准Monge-Ampere方程式u（x）=f（x）g(u（x））。由于方程1的这种简单形式，正则性问题的许多初始工作是针对欧几里德空间中的平方距离代价进行的。在这种情况下，卡夫·阿雷利（Caffarelli）[5]和其他人证明了在某些凸性和光滑性假设下对度量值的先验估计（有关更完整的历史，请参见[7]）。卡夫·阿雷利也观察到，如果不假设目标测度的支持是凸的，就无法证明内部正则性。对于更一般的成本函数，Ma、Trudinger和Wang在2005年的突破性工作【25】给出了三个条件，确保MongeAmpere方程解的Cregularity。在本文中，我们将使用Trud inger和Wang（41）最初提出的更强有力的结果。定理2。

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2022-6-11 05:31:06

假设c:X×Y→ R、 u和ν满足定理1的假设，密度du和dν的界限远离零，并且在各自的支撑X和Y上是一致的。进一步假设以下情况成立。（1） X和Y是平滑的。（2）域X与域Y是严格c-凸的。（3）域Y严格为c*-对于所有向量ξ，η，相对于域X.（4）的凸∈ Rnwithξ⊥ η、以下不等式成立。（2） S（ξ，η）：=Xi，j，k，l，p，q，r，S（cij，pcp，qcq，rs- cij，rs）cr，kcs，lξiξjηkηl≥ 0最佳运输和复杂几何结构9然后是u∈ C∞（十）和Tu:X→ Y是一个光滑的微分同态，其中Tu（x）=c-expx(u（x））。虽然我们不会详细讨论证明，但我们注意到，主要的挑战是在u上获得先验估计。一旦建立了这样的估计，MongeAmpere方程可以在u处线性化，此时标准椭圆自举产生所有阶的估计，并暗示Tuis sm ooth。本文的主要结果研究了定理2的假设，因此我们对这些假设进行了更详细的讨论。第一个条件是不言而喻的，而第二个和第三个条件为支撑提供了正确的凸性概念。为了详细解释这一点，我们定义了集合的c-凸性的概念。定义（c段）。X上关于点y的c段是{X}到cy（X，y）的解集∈ l 对于l Rn中的线段。A、c*-Y中对应于点x的段是{Y}到cx（x，Y）的解集∈ l 哪里l 是Rn中的线段。定义（c-凸性）。

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2022-6-11 05:31:09

集合E是相对于集合E的c-凸*如果对于任意两点x，x∈ E和任意y∈ E*, 相对于y的c段连接E中的x和xlies。类似地，我们说E*是c*-任意两点y，y相对于E的凸if∈ E*和anyx∈ E、 c*-相对于x的线段连接E中的Y和Y*.最后，我们讨论了不等式2，它被称为MT W（0）条件，是MT W（κ）条件的一个简化版本。定义（MT W（κ））。对于任何正交向量对η和ξ，S（η，ξ），成本函数c满足M T W（κ）条件≥ κ|η| |ξ|表示κ>0。Ma、Trudinger和Wang的原始工作依赖于MT W（κ）假设，并且这种更强的条件在许多应用中都有使用。尽管S（ξ，η）不是即时可见的，但只要将η视为一个向量，S（ξ，η）就是张量（坐标不变的），我们将在本文的其余部分中这样做。此外，它在η和ξ中呈二次变换，但在costfunction中是高度非线性和n局部的。MTW张量的几何意义是一个活跃的研究课题。Loeper在Riemannian流形上对其行为给出了一些见解。他的工作表明，对于2-Wasser-stein代价，MTW张量与d对角线x=y上的密歇根大学和密歇根大学曲线的截面成正比。在本文中，他还证明了MTW张量的c-凸性和非负性是证明最优输运正则性的必要条件。Kim和McCann根据Loeper的结果，给出了最佳运输的几何框架[20]。在他们的公式中，最优传输用流形X×Y上的伪黎曼度量表示，MTW张量成为类光平面的曲率。这种解释适用于任意代价函数，这为正则性问题提供了内在的几何结构。

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2022-6-11 05:31:12

我们的几何解释是不同的，但许多公式似乎相似，部分原因是Kim和McCann选择了复杂几何的符号r。在结束关于最佳运输的背景讨论之前，我们将介绍MT W（0）条件的另一种强化，称为非负“交叉曲率”[10]。定义（非负横曲率）。代价函数c具有非负（严格正）交叉曲率，如果对于任何向量余子对η和ξ，S（η，ξ）≥ 0（分别为κ|η| |ξ|）。注：非负横曲率下的th比MT W（0）强，因为非负性必须适用于所有对η和ξ，而不仅仅是正交对。菲加利（Figalli）、金（Kim）和麦肯（McCann）[10]引入交叉曲率来研究微观经济学中的一个问题。在以后的工作中，他们还表明，可以用这个假设证明最优映射的s-tronger正则性[11]。Sei【37】还研究了横曲率，以用于应用不稳定性。3、Hessian流形和Sasaki度量为了将MTW张量解释为一个复杂的几何曲率，我们必须研究Sasaki度量，它是黎曼流形切线束上的几乎厄米结构。我们现在讨论这个度量的一些背景，重点是Hessian流形的情况，其中Sasaki度量是K¨ahler。3.1. 切线丛上的Sa saki度量。在具有a ffene连接D的一般黎曼流形（M，g）上，切丛自然继承了analmest Hermitian结构（T M，gD，JD）。这是kn own作为佐佐木度量，也是Dombrowski引入的最佳运输和复杂几何11。

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2022-6-11 05:31:14

为完整起见，我们将简要概述这一结构，该结构源自Satoh的工作【36】。给定M上的局部坐标{ui}ni=1，我们用Γkji表示连接的C hristoff符号，其中用户界面uj：=Γkji英国。在切线丛T M上，我们可以定义平滑函数v，矢量X=Xi时，vnby vj（X）=xj用户界面。函数集合{（ui，vi）}形成M的局部坐标。对于切向量ξ∈ TuM（我们将其视为切线束M中的一点）和d切向量X=Xi用户界面∈ TuM，我们可以定义X在ξ处的垂直和水平位移，分别表示为XVξ和XHξ。这些是Tξ（T M）的元素，定义如下：XHξ=Xi用户界面- ΓkijXivj（ξ）vk，XVξ=Xivi.这将产生Tξ（T M）分解为水平和垂直子空间，这取决于连接D的选择：Tξ（T M）=Hξ（T M）⊕ Vξ（T M）。因此，这是一个自然识别Hξ（T M）~=Vξ（T M）~=TuM，我们使用它来构建佐佐木指标（定义2.1 of[36]）。定义（Sasaki公制）。设（Mn，g）是一个具有一个ffine连接D的黎曼流形。Sasaki度量是T M上的如下几乎厄米结构。对于X，Y∈ TuM和ξ∈ 在束坐标中，当ξ=（u，v）时，最复杂的结构jdxhξ=XVξ，JDXVξ=-XHξ和黎曼度量gDis定义为GDXHξ，YHξ= egD公司XVξ，YVξ= g（X，Y），egDXHξ，YVξ= 这在T M上产生了一个几乎厄米结构，它取决于M上度量和连接的选择。先验地，这个结构既不是可积的也不是几乎K¨ahler的。Dombrowski和Satoh的工作为这些财产的存续提供了充分和必要的条件。12密歇根大学和密歇根大学3（[8][36]）。设（M，g）是一个具有函数连接的黎曼流形。

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2022-6-11 05:31:17

几乎厄米流形（T M、gD、JD）满足以下要求。（1）几乎厄米结构是可积的，当且仅当连接D为FL时[8]。（2）几乎厄米结构是几乎K¨ahler当且仅当对偶连接D*无扭转[36]。（3）几乎厄米结构是K¨ahler当且仅当（D，g）是二重流，这进一步暗示g是Hessian结构[8]。3.2. Hessian流形。我们主要感兴趣的是T M是K¨ahler的情况，为此我们必须研究Hessian流形（也称为a ffne-K¨ahler流形）。此类歧管有两个等效定义；前者主要用于差异几何，后者主要用于信息几何。定义（不同几何）。黎曼流形（M，g）是Hessian流形，如果有一个局部坐标集{ui}ni=1，那么对于每个坐标图，都有一个对流势ψ，使得gij=Ψuiuj。此外，这些坐标图之间的过渡图是a ffne（即M isan a ffne流形）。定义（几何信息）。如果黎曼流形（M，g）允许双重流连接，则称其为Hessian流形。也就是说，它允许两个FL（无扭转和无曲率）连接D和D*满足（3）X（g（Y，Z））=g（DXY，Z）+g（Y，D*XZ）对于所有向量场X、Y和Z。虽然这些定义最初看起来不同，但实际上是等效的。如果我们选择的坐标图图集的度量是黑森形式，我们可以通过对u坐标的微分来建立一个fl-at连接D。过渡图必须明确，这正是全球定义这种联系所必需的。

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2022-6-11 05:31:21

此外，我们可以导出双连接D*通过对所谓的双坐标θ的微分，优化传输和复杂几何13，其定义为（4）θi：=Ψ用户界面。在双坐标系中，度量也是Hessian形式，其中电势是Legendre du alψ*. 关于这一对应关系的更多细节，请读者参阅Sh im a的书【39】。给定的黎曼manifold接受Hessian结构存在拓扑和几何障碍。在尺寸4和更高的地方，也存在局部曲率障碍（见[2]）。由于本文中所有感兴趣的流形都是Rn中的开集（允许全局坐标图），我们可以通过选择一个凸势来构造Hessian度量。3.3. Sasaki度量的曲率。你的主要兴趣是K¨ahler Sasaki度量的曲率。然而，计算曲率最直接的方法是使用一般Sasaki度量的曲率f公式，并使用双fl-at结构对其进行简化。对于具有a ffene连接D的黎曼流形（M，g），了解其相关Sasaki度量的曲率很有意义。Satoh显式计算了全曲率张量（文献[36]的定理2.3]）。为简洁起见，这里不提供完整的表达式。然而，如果D是一个fl-at连接，则公式会大大简化。提案4。设（M、g、D）是一个带有法兰连接D和Levicivta连接的歧管. LeteR是Sasaki metricgDon T M的黎曼曲率张量。

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2022-6-11 05:31:23

对于向量场X、Y、Z、W、ξ∈ TuM，eRgDZHξ、WHξ、XHξ、YHξ= RgD公司ZVξ、WVξ、XVξ、YVξ= Rg（Z，W，X，Y）eRgDZHξ、WVξ、XVξ、YVξ=eRgD公司ZHξ、WVξ、XHξ、YHξ= 0eRgZHξ、WVξ、XHξ、YVξ= -DX Zg（Y、W）-Dγ（X，Z）g（Y，W）+Xi（DXg）（W，ei）·（DZg）（Y，ei）14密歇根大学和密歇根大学，{ei}是TuM和γDis的正交基础。D和Levi-Ci-vita连接在M上的差异：γD（X，Y）=DXY- XY当（M、g、D）为双fl（即Hessian）时，情况会进一步恶化。为了简化计算，在D的克里斯托符号消失的情况下，协调{ui}ni=1是很有帮助的。这样，我们发现以下身份。（1）黎曼度量g由凸势ψ的Hessian给出。（2）在切线束（T M，gD，JD）的诱导坐标{（ui，vi）}ni=1中，复杂结构可以写成JDui=viand JD公司vi=-用户界面。因此，坐标图（u，v，…，un，vn）在自然识别下与开集同构。（3）黎曼曲率和列维-西维塔连接的克里斯托夫符号有简单的表达式。（a）（M，g）的黎曼曲率如下：g级(用户界面，uj，英国，ul）=-ψpq（ψjlpψikq- ψilpψjkq）。（b） Levi-Civita连接的Christo Offel Symbols满足以下特性：ijk=ψijkΓkji=ψijmψkm。（4）利用这些公式，我们得到了两个向量X=Xi的简单公式forDγD（X，ZUi和Z=Zk英国。DγD（X，Z）=-希兹克·里克德ur=-XiZkψiksψsrD将这些恒等式与Sasaki度量的曲率公式相结合，我们发现了以下命题。命题5（K¨ahler-Sasaki度量的曲率）。设（M，g，D）为H Essian流形。

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2022-6-11 05:31:26

（T M，gD，JD）上Sasaki度量的黎曼曲率如下。eRgD公司(用户界面uj，英国，ul）=eRgD(不及物动词，vj、，vk，vl）=-ψrs（ψjlsψiks- ψilrψjks）eRgD(用户界面，vj、，英国，vl）=-ψijkl+（ψiksψsrψjlr）+（ψsrψjkrψilr）最优输运和复杂几何15此外，当以全纯向量场表示时，T Msatis的曲率具有以下等式：Ri'jk'l='RgD(用户界面，vj、，英国，vl）-RgD(用户界面，uj，英国，ul）（5）=-ψijkl+ψrsψiksψjlr。我们指出，对于Hessian流形，Shima将Hessian曲率定义为公式5的负值【39】。我们将不使用此约定，而是在复杂几何体中工作。4、最优运输与复杂几何在总结了背景知识后，我们现在可以陈述本文的主要结果，这些结果将最优运输的正则性理论与萨基度量的复杂几何联系起来。4.1. 当c:X×Y时，MTW张量和T M的曲率→ R是ψ-成本，Ma、Trudinger和Wang观察到MTWtensor采用以下形式。（6） S（x，y）（ξ，η）=（ψijpψrsqψpq）- ψijrs）ψrkψslξiξjηkηl。在这个公式中，k和d l被求和，尽管向量covector ambiguity产生了双上标。为了使方程5和6之间的联系更加精确，我们用Hessian流形的结构来归纳M。为此，我们使用ψ作为黎曼度量的一个势函数，并将D作为U坐标微分引起的fl-at连接。然后用K¨ahler度量导出（T M，gD，JD），下面的定理是直接的。定理6。设X和Y为rnan中的开集，c为ψ-代价。

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2022-6-11 05:31:29

然后，MTW张量满足以下等式：（7）S（ξ，η）=2RgD（ξ，Jη, ξ、 Jη) - 2RgD（η, ξ, η, ξ).这里，RgDis在锐化η（回想一下，MTW张量中的η是一个η（ξ）=0的covector）并将ξ和η扩展到它们在T M中的实分量后，Sasaki度量在（T M，gD，JD）上的曲率。此外，当我们允许ξ和η是任意的时，横曲率满足相同的公式。16密歇根大学和密歇根大学指出，重要的是要注意之前结果中的指数。本文的前一个版本转换了j和k的角色，这错误地归因于MTW十位数或正交二分法曲率。为了简化讨论，我们通过以下公式定义反平衡曲线：（8）A（η，ξ）：=RgD（ξ，Jη，ξ，Jη）- RgD（η，ξ，η，ξ）根据全纯（1，0）-向量ξ和η，我们对反二分电流有以下恒等式：A（ξ，η）=RgD（ξ，η，ξ，η）+RgD（η，ξ，η，ξ）.此外，我们将A对正交ξ和η的限制称为正交反等分曲率，其中我们表示OA。我们说，如果对于所有正交实η和ξ，OA（ξ，η）是非负的，则度量有（NOAB）。我们选择这个术语是为了反映这样一个事实，即两条J-不变p车道的平分曲率满足公式（η，ξ）=RgD（η，ξ，η，ξ）+RgD（η，Jξ，η，Jξ），这与A不同，在截面曲率被加而不是减。我们用以下备注来结束讨论，我们将在确定某些最优运输问题的规律性时使用这些备注。备注7。ψ-成本的MTW张量在集合T（X）上为非负效应M（NOAB- Y） T M.4.2。集合的相对c-凸性和对偶测地凸性。

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2022-6-11 05:31:32

为了建立最优传输的正则性（如定理2所述），不仅需要假设MTW张量为n负，还需要假设u和ν支撑的相对c凸性。对于ψ-成本，我们在这里建立了一个自然的几何解释。回想一下，对于x∈ 十、 Y中的c段是曲线c-expx(l) 对于某些线段l 对于所有X，集Y相对于集X是c凸的∈ 十、 Y包含Y中点之间的所有c段。对于ψ-代价，相对c-凸性与关于对偶连接的几何设计凸性相对应*.回想一下，双连接D*满足方程3，其中D是由u坐标差引起的FL连接。最佳传输和复杂几何17为了看到这一点，我们应用方程式4来看到-ci，=-ψi（x- y） =-θi（x- y），其中θi（x- y）是点x- y∈ M表示双坐标θi。通过定义，c段对应于θ坐标中的直线，这是相对于双连接D的更多测地线*. 这立即影响了以下内容。提案8。对于ψ-代价，集Y相对于X是c-凸的当且仅当，对于allx∈ 十、集合X- Y M相对于对偶连接D是测地凸的*.类似的结果适用于X相对于Y的相对c-凸性。结合前两个结果，我们可以用这种新的语言重述定理2。定理。假设X和Y是光滑有界域，du和dν分别是X和Y上支持的光滑概率密度，从零开始有界，在其支持上有界。考虑一些凸函数ψ：M的ψ-代价→ 并假设以下条件成立。（1） ψ是Cand局部强凸（即。

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2022-6-11 05:31:35

Hessian是积极的定义）。（2）对于所有x∈ 十、 X个- Y 对于对偶连接D，M是严格测地凸的*.（3）对于所有y∈ Y，X- y 对于对偶连接D，M是严格测地凸的*.（4） K¨ahler流形（T M，gD，JD）在子集T（X）上有（NOAB- Y）。如定理1所示，将携带u到ν的c-最优传输图放入管中。然后u∈ C∞（十）和Tu:X→ Y是一个光滑的差同态。我们应该注意到，对于许多ψ-利息成本，ψ在其整个域上不会是一致的强凸。这对于正则性理论来说不是问题，因为我们将把注意力限制在有界集X和Y上，所以X- Y为预紧。因此，ψ在X上是强凸的- Y4.2.1. D（α）ψ发散的情况。如果我们考虑散度D（α）ψ：M×M→ R（定义见1.1.3），类似结果成立。在这种情况下，我们在M上构造了一个Hessian度量，并将X18密歇根大学和MICHIGANand大学Y视为M的子集。定理6将D（α）ψ-散度onM的MTW张量与T M的正交反等分曲率和命题8联系起来。从信息几何的角度来看，这是一种更自然的构造，因为它消除了考虑差异集X的需要- Y此外，当势是指数族的一个配分函数时，它的域保证是凸的，因此散度得到了很好的定义。5、应用由于上一节中的结果为之前的工作提供了新的解释，因此很自然会要求使用此方法可以找到新的结果。在本节中，我们将给出几个这样的应用程序。在本节中，我们将不提供标识的派生，因为它们非常复杂。为了计算相关的曲率传感器，我们编写了一个Mathematica笔记本，可在线获取[18]。5.1.

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2022-6-11 05:31:38

具有（NOAB）的完整复杂曲面。复杂几何中一个值得关注的问题是理解具有各种非负性性质的完全K¨ahler度量。最著名的是，Frankel猜想指出，如果紧K¨ahler流形具有正全纯二分曲率，则它是复投影空间CPn的双全纯同态。1979年Mori【28】和1980年Siu Yau【40】分别证明了这一猜想。对于紧凑的K¨ahler流形，在曲率消耗较弱的情况下可以得到这个结果。例如，所有具有正正交对分曲率的紧致K¨ahler m an if olds都是CPn的双全纯（参见[6][9][15]）。此外，所有具有非负各向同性曲率的紧不可约K¨ahler m an if old要么是厄米对称的，要么是CPn的双全纯的[38]。对于复杂曲面，非负正交二分曲率等效于非负各向同性曲率[23]，因此之前的结果给出了此类曲面的分类。对于非紧流形，很自然会问类似的结果是否成立。这个方向上最著名的猜想是Yau的一致化猜想，它指出任何非负二分曲率的完全不可约非紧K¨ahler度量都是双全纯的，比例因子为1-D（α）ψ散度的曲率和MTW张量之间的α。在高维空间中，非负各向同性曲率比非负正交二等分曲率具有更强的假设性。最佳传输和复杂几何19Cn【47】。

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2022-6-11 05:31:41

虽然完整的猜想仍然是开放的，但刘在一定的体积增长假设下证明了它。由于反二分法曲率似乎与二分法曲率相似，我们还可以问，如何控制非负反二分法曲率或（NOAB）在K¨ahler流形的几何上提供。使用极化公式[16]，可以表明，在任何常数全纯截面曲率的度量下，都有消失的正交反二分法曲率，因此任何厄米对称空间都满足（NOAB）。然后，可以询问是否还有其他示例。下面的例子给出了一个非常有趣的度量，它满足（NOAB）和完备性，但对于Cn既不是厄米对称的，也不是双全纯的。示例9（具有（NOAB）的完整曲面）。考虑负半平面M=H：={（u，u）| u<0}。用具有势函数ψ：H的Hessian度量导出它→ R由ψ（u）=-u4u型-日志(-2u）。对于向量ξ=u+aU和a系数η=adu- du，关联的正交反二分法电流T H由oa（η）给出, ξ） =6a(-因此，计量单位有（NOAB）。该指标具有独立的意义，为了更全面的讨论，我们请读者参考Molitor的工作【26】。我们将顺便注意到它的一些曲率特性。对于向量ξ=u+a当曲率η=du+adu时，全纯截面曲率由h（η，ξ）=2给出- 4a+a-8+6uu- 12auu。因此，全纯截面曲率没有明确的符号。同样，可以证明正交二分曲率也没有定义。但是，该度量确实具有恒定的负标量曲率。这个manifoldis complete和Stein（它是C中开集的双全纯）。

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2022-6-11 05:31:43

然而，它在R的半空间上具有标准的复结构，因此与C不是双全纯的。通过仅在实向量和凹因子上计算反二分法曲率，我们有点滥用符号。为了将其形式化，将ξ和η扩展到T M.20密歇根大学和密歇根大学5.1.1上的真实对应项。正态分布的Fisher度量。虽然这个例子有着有趣的理论性质，但它似乎是一个没有上下文的特殊解释。事实上，这是信息几何的一个自然例子。如果我们考虑uas和uas正态分布的自然参数（即u=μσ和u=-12σ），则黎曼度量gij=ψij是一元正态分布统计流形上的Fisher度量。作为黎曼流形，（H，g）是一个完整的双曲曲面（这促使我们选择了符号）。然而，请注意，（u，u）坐标并不能导出双曲线空间的标准半平面模型。5.1.2. 一个密切相关的例子。使用正态统计流形，可以构造另一个满足（MTW）的K¨ahler度量。该空间实际上是厄米特符号，最初由Sh im a构建（见[39]中的示例6.7]）。考虑域fm：={（θ，θ）|θ- θ> 0}并用势为ψ的Hessian度量进行归纳*(θ) = -- 对数（θ- θ).这种势是由一元正态分布的双p参数θ=u和θ=u+σ以及势ψ的参数化产生的*（θ）是例9中上述电势的勒让德对偶。计算向量ξ和covectorη的反平分曲线，我们发现它满足（ξ，η) = -η(ξ).因此，正交反等分曲率消失，全纯截面曲率e为负常数。

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2022-6-11 05:31:46

由此，我们可以看到，由于它是一个具有恒定负h全纯截面曲率的完全厄米对称空间，所以它的几何是独立的。这是西格尔上半部空间的一个例子，但我们将推迟到未来的工作中进行更完整的讨论。我们注意到，可以用与TfM非常相似的（NOAB）构造其他K¨ahler度量。使用类似的构造f或圆形多元高斯分布，可以在任意（u，σ）坐标中构造这样一个厄米对称空间，Fisher度量为ds=σdu+2dσ, 这更接近标准模型。最佳运输和复杂几何21维。例如，我们可以考虑势ψ（θ，θ）=--对数（θ- θ），也有（NOAB）。5.1.3. 相关成本函数的正则性f。我们还可以利用这一潜力，用自然规律理论构建成本函数。与其使用ψ-成本，不如考虑D（α）ψ-散度。对于此成本函数，我们可以应用我们之前的计算，以获得以下结果。假设u和ν是正态统计流形M的有界子集x和Y上支持的概率测度。进一步假设以下正则性假设成立。（1） u和ν相对于Lebesgue度量是绝对连续的。此外，du和dν是光滑的，边界远离零，并且在各自的支架上是完整的。（2）对于所有x∈ 十、 X+y相对于坐标θ=u和θ=u+σ是严格凸的。此外，相同的属性适用于所有y的x+y∈ Y设c（x，y）是由c（x，y）=ψ（x）+ψ（y）给出的代价函数- Ψx+y,其中ψ是示例9中给出的凸函数。然后，将u转换为ν的c-最优映射是平滑的。5.2. 伪套利的规律性。

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2022-6-11 05:31:49

最近，Paland Wong的一系列论文（[31]-[33]、[44]-[45]）研究了发现伪套利的问题，伪套利是一种在“mildand现实假设”下表现优于市场投资组合的投资策略他们的工作将信息几何学与最优运输和数学金融相结合，将问题简化为解决最优运输问题，其中成本函数由所谓的对数偏差给出。[31]中的一个中心结果表明，从长远来看，投资组合图π的表现肯定优于市场投资组合，因为它解决了成本函数的Monge问题C:Rn-1×Rn-1.→ R由（9）c（x，y）给出：=log1+n-1Xi=1exi-易！- 日志（n）-nn型-1Xi=1Xi- 易。22密歇根大学和MICHIGANTo大学为该成本函数提供了一些背景，将x和y视为多项式分布的自然参数是有益的。对于自然p参数{xi}n-1i=1，我们可以使用以下公式计算第i次事件的概率pi（在本文中为第i次市场权重）：pi=exi1+Pn-1j=1exj1≤ i<n，pn=1+pn-1j=1exj。为了以更熟悉的形式编写此成本函数，我们类似地发现了与y参数和fixπ相关的概率=nn∈ △n、重写这些术语中的成本，我们得到以下g:T（p | q）=lognXi=1πipiqi！-nXi=1πilog皮奇这个量在统计物理学中被称为自由能[31]，在金融中被称为各种不同的名称（如“多元化回报”、“超额增长率”、“再平衡再平衡”和“波动性回报”）。由于Pal和Wong将此称为对数下降，因此我们将此成本称为对数成本。这个代价函数是不对称的，所以不是由任何距离函数导出的。

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2022-6-11 05:31:52

然而，詹森的不等式表明这是一种分歧。Pal和Wong的工作重点是研究由对数凸函数导出的发散函数的信息几何性质，其中T（····）只是一个例子。对于任何对数凸函数，可以定义相应的散度D[·|·]，其具有对数成本的自对偶表示（见[31]的第3.7页）。为了研究最优传输，我们没有事先指定对数凸函数。事实上，这样一个函数可以导出最优运输问题的解。对于对数成本，只有第一项影响最佳运输。因此，weinstead考虑成本函数▄c（x，y）：=log1+n-1Xi=1exi-易！。优化传输和复杂几何23这是凸函数ψ（u）=log1+n的ψ-成本-1Xi=1ui！。因此，我们可以应用定理6来计算代价c的MTW张量。对于向量ξ和covectorη，T Rn的反二分法曲率-由ψisA（ξ，η）诱导的Hessian度量) = 2g（η, ξ).因此，MTW张量相同地消失，成本具有非负交叉曲率。这一身份的证明可以在Shima的书[39]的命题3.9中找到。从曲率公式中，我们可以看出，在这个势下，可以导出一个具有常数正全纯截面曲率的K¨ahler度量oncN。因此，它是一个厄米对称空间，但不是完全的。为了应用Trudinger-Wang结果，我们还必须确定相对凸性在这种情况下的含义。为此，我们通过计算将对偶坐标解为自然参数Uiuiψf或i=1，n- 1、这样做，我们发现双坐标为Exi1+Pn-1j=1exj1≤ i<n，这正是市场权重pi的公式。

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大多数88

2022-6-11 05:31:55

这一点最初令人惊讶，但从信息几何5.2.1的角度来看，它有一个自然的解释。多项式分布的信息几何。值得更详细地讨论此示例的几何图形。结果表明，如果我们将{xi}作为自然参数，势ψ会导出多项式分布的Fisher度量，这是统计学中的一个标准示例。几何上，这是一个球体正正角上的roun-dmetric，这立即表明基础Hessian度量和Sasaki度量都不完整。值得一提的是，这个度量不能扩展到K¨ahler-Sasaki度量，即整个球体的切线倍，这与球体不存在的事实有关。对于概率分布的指数族，对偶坐标是自然有效统计量的期望值。更具体地说，对于多项式分布，对偶坐标正是原始市场权重，24密歇根大学和密歇根大学解释了市场权重与势函数偏导数之间的关系。同样地，如果我们让P作为自然P参数x到市场权重P的坐标形式，那么子集x 注册护士-1是相对c-凸的，因为集合P（X）是通常意义上概率单纯形的子集。利用这个变换，我们说，如果X是预紧集，则概率单纯形的子集P（X）具有一致概率。更具体地说，当且仅当δ>0时，子集P（X）具有一致的概率，因此对于所有P∈ P（X）和1≤ 我≤ n、 pi>δ。5.2.2. 优化运输的规律性。从这些观察结果和之前的MTW张量恒等式，我们可以得出以下正则性结果。推论10。

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