（2017），我们推断，对于θ的任何邻域Vθ和任何α>0，存在一个常数AVθ>0，因此，对于所有θ∈ Vθ，y∈ (0, ∞)Mwithkyk=1和B 一、 supj=1，。。。，L 对数Vθ（y）θj≤ cα（y）和supj=1，。。。，Lθj|B类|yBlog Vθ（y）≤ cα（y），其中cα（y）=AVθMXi=1y-Dombry et al.（2017）中的αi.方程（14）给出了∈ (0, ∞)M、 supj=1，。。。，Lfθ（y）θj≤M+MXi=1年-1i！cαykykfθ（y）。（27）现在让我们考虑θ（y）fθ（y）=exp的比率(-（Vθ（y）- Vθ（y）））Pπ∈Π(-1） |π| QB∈π|B类|yBVθ（y）Pπ∈Π(-1） |π| QB∈π|B类|yBVθ（y）。通过（9），我们得到vθ（y）- Vθ（y）=MXi=1yi[φi（y，θ）- φi（y，θ）]≥ BVθMXi=1yi，其中BVθ在（9）中给出。从Asadi et al.（2015）的方程式（28）中，我们知道 I和y∈ (0, ∞)M|B类|yBVθ（y）=Qi∈Byi | B | Xi∈通过-1i|B|-1.yB，i，θ；R（i）B，θΦM-|B类|yBc，i，θ- u（i）B，θ；P（i）B，θ!,带▄yB，i，θ=logyjyi+2λθ（xi，xj）j∈B、 j6=iR（i）B，θ=2（λθ（xi，xj）+λθ（xi，xm）- λθ（xj，xm））j、 m级∈B、 j，m6=iRBc，θ=2（λθ（xi，xj）+λθ（xi，xm）- λθ（xj，xm））j、 m级∈BcR（i）Bc，B，θ=2（λθ（xi，xj）+λθ（xi，xm）- λθ（xj，xm））j∈Bc，m∈B、 m6=iyBc，i，θ=logyjyi+2λθ（xi，xj）j∈Bc，j6=iu（i）B，θ=R（i）Bc，B，θR（i）B，θ-1yB，i，θP（i）B，θ=红细胞，θ- R（i）Bc，B，θR（i）B，θ-1.R（i）Bc，B，θ.设Θ（y）=y/kyk。因此，对于π∈ π，YB∈π|B类|yBVθ（y）=QMi=1yikyk-|π| YB∈π| B | Xi∈BΘ（y）i-1|B|-1.ИΘ（y）B，i，θ；R（i）B，θΦM-|B类|ИΘ（y）Bc，i，θ- u（i）B，θ；P（i）B，θ!,用Θ（y）B，i，θ=logΘ（y）jΘ（y）i！+2λθ（xi，xj）！j∈B、 j6=iΘ（y）Bc，i，θ=logΘ（y）jΘ（y）i！+2λθ（xi，xj）！j∈Bc，j6=i.LetCπ、 Θ（y），θ=YB公司∈π| B | Xi∈BΘ（y）i-1|B|-1.ИΘ（y）B，i，θ；R（i）B，θΦM-|B类|ИΘ（y）Bc，i，θ- u（i）B，θ；P（i）B，θ!.我们可以注意到Cπ、 Θ（y），θ正且一致有界于任意分划π，任意Θ（y）∈ S+={y∈ (0, ∞)M： kyk=1}，和任意θ∈ Vθ。ThenPπ∈Π(-1） |π| QB∈π|B类|yBVθ（y）Pπ∈Π(-1） |π| QB∈π|B类|yBVθ（y）=Pπ∈∏kyk-|π|(-1） |π| Cπ、 Θ（y），θPπ∈∏kyk-|π|(-1） |π| Cπ、 Θ（y），θ.分子和分母是M阶多项式，单位为kyk-1.

如果|π|=1，则π={{1，…，M}}}和cπ、 Θ（y），θ= Vθ（Θ（y））。如果|π|=M，则π={{1}。。。，{M} }和Cπ、 Θ（y），θ=MYi=1Θ（y）i-1ΦM-1.ИΘ（y）{1，…，M}{i}，i，θ- u（i）{i}，θ；P（i）{i}，θ.两个多项式的比值在（0，∞) 当kyk趋于0或∞. 此外，这些极限对于任何Θ（y）也是有界的∈ S+。我们可以推导出存在一个常数CVθ，即supθ∈Vθsupy∈(0,∞)MPπ∈Π(-1） |π| QB∈π|B类|yBVθ（y）Pπ∈Π(-1） |π| QB∈π|B类|yBVθ（y）< CVθ。由（27）可知，SUPj=1，。。。，Lfθ（y）θj≤ AVθCVθ1+MMXi=1y-1i！MXi=1年-αi！kykαexpMXi=1yiBVθ！fθ（y）。让我们选择ψ（y）=AVθCVθ| H（y）| 1+MMXi=1y-1i！MXi=1年-αi！kykαexp-MXi=1yiBVθ！fθ（y）得到| H（y）| supj=1，。。。，M级|fθ（y）/θj |≤ ψ（y）表示所有θ∈ Vθ和几乎每个y∈ (0, ∞)M、 结果遵循支配收敛定理。A、 2定理的证明2调用（Ui，Ci）i≥1是（0，∞) ×Rdwith intensityfunction u-2du×dc。对于i≥ 1，设Дi，∑是由Дi定义的从Rdto到R的函数，∑（x）=UiДM（x- Ci，∑）。让我们首先注意到，对于每个j=1，M、 上确界Y∑（xj）=W∞i=1UiИM（xj-Ci，∑）是通过xj处的唯一函数Дi，∑获得的a.s。提案3。让x，xM公司∈ Rd和x的定义∈ Rd，Ix=（k：∞_i=1UiИM（x- Ci，∑）=Дk，∑（x））。那么a.s.，对于所有j，我们有| Ixj |=1≥ 1，我们记得|。|代表集合的基数。证据请注意，对于每个x∈ Rd，{Иi，∑（x），i=1，2，…}是（0，∞), 它没有原子。因此，最大值与概率1无关。备注1。证明也是Dombry和Eyi Minko（2013）中命题2.5的直接结果。根据命题3，我们可以确定，对于j=1，M、 a.s。

唯一索引ixj，∑令人满意的∑（xj）=Дixj，∑（xj）。我们现在fixω∈ Ohm 并考虑点流程（Ui，Ci）i的一个实现≥1，表示为（Ui（ω），Ci（ω））i≥1、为了便于说明，我们在下面不再提及ω。让我们考虑一下setB=（x∈ 研发部：j、 k级≥ 1，j 6=k，∞_i=1UiИM（x- Ci，∑）=Дj，∑（x）=Дk，∑（x）），即站点集x∈ RDW的最大值∞i=1UiИM（x- Ci，∑）至少由两个不同的函数φj，∑和φk，∑获得。备注2。如果∑=Idd（维数为d×d的单位矩阵），则集合B是泊松-拉盖尔细分单元的边界集合（例如，Dombry和Kabluchko，2018）。一个关键结果是B有一个空的Lebesgue度量。提案4。集合B具有概率为1的零Lebesgue测度。证据A点x∈ B的特征如下：x∈ B<=> j、 k级≥ 1，j 6=k:UkДM（x- Ck，∑）=UjИM（x- Cj，∑）<=> j、 k级≥ 1，j 6=k：（x- Ck）∑-1（x- Ck）- 2对数（英国）=（x- Cj）∑-1（x- Cj）- 2对数（Uj）。（28）让h∈ rdx+h在x的邻域内，但仍然属于B，即kx+h- Ckk∑-1.- 2对数（英国）=kx+h- Cjk∑-1.- 2对数（Uj）。利用（28），我们得到前面的等式等价于（x+h- Ck）∑-1（x+h- Ck）- 2对数（英国）=（x+h- Cj）∑-1（x+h- Cj）- 2对数（Uj）<=> （十）- Ck）∑-1（x- Ck）+2（x- Ck）∑-1h+h∑-1小时- 2对数（英国）=（x- Cj）∑-1（x- Cj）+2（x- Cj）∑-1h+h∑-1小时- 2对数（Uj）<=> （十）- Ck）∑-1h=（x- Cj）∑-1小时<=> （Cj- Ck）∑-1h=0。因此，x+h∈ B在x的邻域中表示h与向量（Cj）正交- Ck）对于∑诱导的内积-因此，只有一个方向适合h。B是Rd中段的并集。此外，x周围没有属于B的球，这说明B的内部是空的。LetBj，k=y∈ Rd：infx∈Bky公司- xk<j∩y∈ Rd:kyk<k.很容易看出Limj→∞Bj，k=B∩y∈ Rd:kyk<k因此limj→∞ν（Bj，k）=0，其中ν表示Rd中的勒贝格度量。

因此，ν（B）=limk→∞νk[j=1B∩y∈ Rd:kyk<j!= 0、设x∈ 我们现在对∑的邻域的存在感兴趣，在这个邻域上，∑是常数，因此∑7→ Z∑（x）相对于∑变得不同。定理3。让x∈ 存在一个∑，W∑的邻域，使得ix，∑在这个邻域上是常数。此外，函数∑7→ 对数Y∑（x）可区分于∑和 对数Y∑（x）ΣΣ=Σ= -Σ-1.- Σ-1（x- Cix，∑）（x- Cix，∑）号∑-1.. （29）证明。它来自命题3 thatY∑（x）=∞_i=1UiИM（x- Ci，∑）=Дix，∑（x）和，对于x∈ Rd/B，我们有，对于所有j 6=ix，∑，Uix，∑μM（x- Cix，∑，∑）>UjДM（x- Cj，∑），或等效的2 logUix，∑-x个- Cix，∑Σ-1> 2对数（Uj）- kx公司- Cjk∑-1，即kx- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1> 2个日志Uj/Uix，∑. （30）设ζ>0，denei=nj 6=ix，∑：kx- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1<ζo，I=nj 6=ix，∑：kx- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1> ζ，2 log（Uj/Uix，∑）>0o，I=nj 6=ix，∑：kx- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1> ζ>0>2 log（Uj/Uix，∑）o，这样I∪ 我∪ I={j≥ 1，j 6=ix，∑}。此外，使用x∑的定义和点过程（Ui，Ci）i的强度函数的形式很容易看出≥1，| I |是有限的，| I |是有限的，但| I |是有限的。设Θ为大小为d×d的正定义矩阵。对于任何j≥ 1，kx- Cjk∑-1=（x- Cj）∑-1（x- Cj）=（x- Cj）Σ-1.- Θ-1.（十）- Cj）+kx- CjkΘ-1、此外，|（x）- Cj）Σ-1.- Θ-1.（十）- Cj）|≤ kx公司- 中日韩Σ-1.- Θ-1.（十）- Cj）≤ kx公司- 中日韩Σ-1.- Θ-1..自k·k和k·k∑-1作为等价范数，存在一个正常数D，使得|（x- Cj）Σ-1.- Θ-1.（十）- Cj）|≤ D kx- Cjk∑-1.Σ-1.- Θ-1., x个∈ 因此，对于任何j≥ 1，存在一个函数x 7→ aj（x，∑，Θ）使得kx- CjkΘ-1=kx- Cjk∑-1（1+aj（x- Cj，∑，Θ））（31）和SUPX，Cj，j≥1 | aj（x- Cj，∑，Θ）|≤ DΣ-1.- Θ-1..

（32）使用（31），我们得到了kx- CjkΘ-1.-x个- Cix，∑Θ-1=kx- Cjk∑-1（1+aj（x- Cj，∑，Θ））-x个- Cix，∑Σ-1.1+aix，∑x个- Cix，∑，∑，Θ= kx公司- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1+kx- Cjk∑-1aj（x- Cj，∑，Θ）-x个- Cix，∑Σ-1aix，∑x个- Cix，∑，∑，Θ=kx公司- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1.（1+aj（x- Cj，∑，Θ））-x个- Cix，∑Σ-1.aix，∑x个- Cix，∑，∑，Θ- aj（x- Cj，∑，Θ）. （33）使用（32），我们看到存在κ>0，因此，对于k∑-1.- Θ-1k<κ，我们有≥ 1使得j 6=ix，∑，即x个- Cix，∑Σ-1 | aix，∑x个- Cix，∑，∑，Θ- aj（x- Cj，∑，Θ）|<ζ/2，且对于所有j∈ 我kx公司- Cjk∑-1.-x个- Cix，∑Σ-1.（1+aj（x- Cj，∑，Θ））>ζ/2。因此，使用（33），我们得到∈ 一、 kx公司- CjkΘ-1.-x个- Cix，∑Θ-1> 0>2 log（Uj/Uix，∑）。（34）现在，使用（30），∑的连续性-17→ k·k∑-1并且| I |和| I |是有限的，存在κ>0，因此，对于k∑-1.- Θ-1k<κ，我们有∈ 我∪ 一、 thatkx公司- CjkΘ-1.-x个- Cix，∑Θ-1> 2对数（Uj/Uix，∑）。（35）结合（34）和（35），我们得出，对于所有正定义矩阵Θsatisfyingk∑-1.- Θ-1k<min{κ，κ}，我们有，对于所有j≥ 1使得j 6=ix，∑，kx- CjkΘ-1.-x个- Cix，∑Θ-1> 2对数（Uj/Uix，∑）。因此，ix，Θ=ix，σ。因此我们可以选择∑W∑的邻域=Θ积极定义：Σ-1.- Θ-1.< min{κ，κ},定义∑7的导数→ 对数Y∑（x）位于∑。现在我们计算相应的导数。利用命题3，我们得到log Y∑（x）=logUix，∑-dlog（2π）-对数（det（∑））-（十）- Cix，∑）号∑-1（x- Cix，∑），因此 对数Y∑（x）Σ= - 对数（det（∑））Σ+（十）- Cix，∑）号∑-1（x- Cix，∑）Σ!.Dwyer（1967）中的公式（11.7）给出，对于任何对称矩阵∑ 对数（det（∑））Σ= Σ-1.（36）此外，由于ix，∑在W∑上是常数，Dwyer（1967）中的方程式（11.8）规定，对于任何对称矩阵∑，（十）- Cix，∑）号∑-1（x- Cix，∑）Σ= -Σ-1（x- Cix，∑）（x- Cix，∑）号∑-1.

（37）结合（36）和（37），我们最终获得 对数Y∑（x）ΣΣ=Σ= -Σ-1.- Σ-1（x- Cix，∑）（x- Cix，∑）号∑-1..现在我们证明，∑7的导数→ log Y∑（x）可以在∑的邻域上由一个可积随机变量一致有界。定理4。存在∑，V∑的非随机邻域，因此，对于任何q>1，存在满足a.s.sup∑的随机变量C∑（x，q）∈V∑ 对数Y∑（x）Σq≤ C∑（x，q）和E[C∑（x，q）]<∞.证据首先回顾一下a.s。 对数Y∑（x）Σ= -Σ-1.- Σ-1（x- Cix，∑）（x- Cix，∑）号∑-1.,这给了a.s。 对数Y∑（x）Σ≤Σ-1.+Σ-1（x- Cix，∑）（x- Cix，∑）号∑-1..因此，使用众所周知的事实，对于所有a，b∈ R和q≥ 1，| a- b | q≤ 第2季度-1（| a | q+| b | q），我们得到 对数Y∑（x）Σq≤Σ-1.q+Σ-1（x- Cix，∑）（x- Cix，∑）号∑-1.q. （38）设A=∑-1（x-Cix，∑），这样∑-1（x-Cix，∑）（x-Cix，∑）号∑-1=AA。注意，AAisa是秩1的非负对称矩阵，因此它只有一个正特征值λ=AA=kx- Cix，∑k∑-2（因为我们有（AA）A=A（AA）=（AA）A）。它遵循thatkAAk=kx- Cix，∑k∑-2.（39）对于正有限对称矩阵，我们分别用λmax（Θ）和λmin（Θ）表示其正特征值的最大值和最小值。我们有thatkx- Cix，∑k∑-1=（x- Cix，∑）号∑-1（x- Cix，∑）≥ λmin（∑）-1） kx公司- Cix、∑k和KX- Cix，∑k∑-2=（x- Cix，∑）号∑-2（x- Cix，∑）≤ λmaxΣ-2.kx公司- Cix，∑k，其中yieldkx- Cix，∑k∑-2.≤[λmax（∑）-1） ]λmin（∑）-1） kx公司- Cix，∑k∑-1.（40）结合（38）、（39）和（40），对于任何q>1，我们都有a.s.sup∑∈V∑ 对数Y∑（x）Σq≤ C∑（x，q），其中C∑（x，q）=sup∑∈V∑Σ-1.q+sup∑∈V∑[λmax（∑）-1） ]λmin（∑）-1)!qsup∑∈V∑kx- Cix，∑k2q∑-1.（41）为了控制C∑（x，q），有必要控制kx-Cix，∑k2q∑-1.

作为在x点达到最大值的“风暴”中心，Cix，∑的特征是Uix，∑μM（x- Cix，∑，∑）≥ UiИM（x- Ci，∑），我≥ 1.<=> 对数（Uix，∑）-（十）- Cix，∑）号∑-1（x- Cix，∑）≥ 日志（Ui）-（十）- Ci）∑-1（x- Ci），我≥ 1.<=>x个- Cix，∑Σ-1.≤ 2对数（Uix，∑）- 2日志（Ui）+kx- Cik∑-1.我≥ 1、（42）及以上∑∈V∑x个- Cix，∑Σ-1.≤ 2 sup∑∈V∑log（Uix，∑）+sup∑∈V∑kx- Cik∑-1.- 2日志（Ui），我≥ 此外，我们还有≥ 1，kx- Cik∑-1=kx- Cik∑-1+（x- Ci）Σ-1.- Σ-1.（十）- Ci），通过范数k.k和k.k∑的等价性得出-1，thatsup∑∈V∑kx- Cik∑-1.≤ kx公司- Cik∑-1+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.kx公司- Cik公司≤D+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- Cik（44）表示某个正常数D。因此，现在让我们选择V∑，这样的话，SUP∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.< ∞. （45）现在，对于两个实值随机变量U和V，U+V≥ λ表示U≥ λ/2 orV≥ λ/2，给出P（U+V≥ λ) ≤ P（U≥ λ/2）+P（V≥ λ/2) . 因此，使用（43）和（44），weobtainPsup∑∈V∑x个- Cix，∑Σ-1.≥ λ!≤ PD+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- Cik公司- 2个日志（Ui）+2个sup∑∈V∑log（Uix，∑）≥ λ 我≥ 1.≤ PD+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- Cik公司- 2日志（Ui）≥λ我≥ 1!+ P2 sup∑∈V∑log（Uix，∑）≥λ!. （46）我们首先处理（46）右侧的第一个术语。由于（Ui，Ci）i≥1是（0，∞) x rdu与强度函数u-2du×dc，我们有PD+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- Cik公司- 2日志（Ui）≥λ我≥ 1!= 经验值-u（（u，c）∈ (0, ∞) ×Rd:D+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- ck公司- 2对数（u）<λ）！，（47）其中u（（u，c）∈ (0, ∞) ×Rd:D+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- ck公司- 2对数（u）<λ）=Z∞e-λZkx-ck公司≤（λ+2对数（u））D+sup∑∈V∑k∑-1.-Σ-1公里-1dc！u-2du=πd/2D+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.d/2Γ（d/2+1）Z∞e-λλ+2对数（u）d/2u-2du。对变量v=λ/2+2 log（u）进行更改，得出u=exp（v/2- λ/4）和du=exp（v/2- λ/4）dv/2，我们得到u（u、c）∈ (0, ∞) ×Rd:kx- ck∑- 2对数（u）<λ=πd/2exp（λ/4）D+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.d/2Γ（d/2+1）Z∞vd/2exp-vdv。

（48）后一个积分是有限的，由（47）得出Pd+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.!kx公司- Cik公司- 2日志（Ui）≥λ, 我≥ 1!= 经验值-πd/2D+sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.d/2Γ（d/2+1）Z∞vd/2exp-vdv经验值λ.（49）现在让我们来讨论（46）右边的第二项。观察P2 sup∑∈V∑log（Uix，∑）≥λ!= Pinf∑∈V∑U-1ix，∑≤ 经验值-λ.映射u→ u-1应用于泊松点过程的点，得到一个新的泊松点过程，其强度函数为du。此外，在（0，∞) ishomogeneous，可以表示为独立标准指数随机变量之和。因此，我们可以编写mini≥1U-1id=经验值（1）。此外，inf∑∈V∑U-1ix，∑≥ 迷你≥1U-1i，暗示Pinf∑∈V∑U-1ix，∑≤ 经验值-λ≤ P迷你≥1U-1i≤ 经验值-λ= 1.- 经验值-经验值-λ~λ→∞经验值-λ,对于较大的λPsup∑∈V∑2对数（Uix，∑）≥λ!≤ 经验值-λ. （50）现在，对于任何q>1，我们有“sup∑”∈V∑kx- Cix，∑k2q∑-1#=Z∞Psup∑∈ V∑kx- Cix，∑k2q∑-1.≥ u杜。我们对变量λ=u1/q进行了改变，从而得到u=λq，因此du=qλq-1dλ。因此，我们得到“sup∑”∈V∑kx- Cix，∑k2q∑-1#=qZ∞λq-1Psup∑∈ V∑kx- Cix，∑k∑-1.≥ λ!dλ，因此，使用（46）、（49）和（50），E“sup∑∈V∑kx- Cix，∑k2q∑-1#< ∞.最后，让我们回忆一下c∑（x，q）=sup∑∈V∑Σ-1.q+sup∑∈V∑[λmax（∑）-1） ]λmin（∑）-1)!qsup∑∈V∑kx- Cix，∑k2q∑-1.因此，使用（45），我们最终推断∑，V∑，satisfyingsup∑的任何邻域∈V∑Σ-1.q<∞,sup∑∈V∑[λmax（∑）-1） ]λmin（∑）-1)< ∞,sup∑∈V∑Σ-1.- Σ-1.< ∞,引线束角[C∑（x，q）]<∞.最后，我们提供了定理2的证明。证据让我们在定理4的证明中选择V∑as。

从（17）可以看出H（Y∑）Σ≤MXi=1Y∑（xi）H（Y∑）易 对数Y∑（xi）Σ,其中给出SSUP∑∈V∑H（Y∑）Σ≤MXi=1sup∑∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易sup∑∈V∑ 对数Y∑（xi）Σ.因此，我们选择b∑=MXi=1sup∑∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易sup∑∈V∑ 对数Y∑（xi）Σ.我们有[B∑]=MXi=1E“sup∑”∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易sup∑∈V∑ 对数Y∑（xi）Σ#.设q>1，使p-1+q-1= 1. 通过H"older不等式，我们得到了“sup∑”∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易sup∑∈V∑ 对数Y∑（xi）Σ#≤ E“sup∑”∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易p#1/pE“sup∑”∈V∑ 对数Y∑（xi）Σq#1/q。根据定理4和假设，结果如下。A、 3命题2A的证明。3.1 Brown–Resnick随机场的LRM让我们首先回顾一下，M=2，H由（25）和βi给出∈ N*, i=1，2。让我们注意到kYθkα≤ 2.-α/2（Yθ，1∨ Yθ，2）α≤ 2.-α/2Yαθ，1+Yαθ，2. 因此，存在一个正常数C，使得| H（Yθ）| 1+Xi=1Y-1θ，i！Xi=1年-αθ，i！经验值-BVθXi=1Y-1θ，i！kYθkα≤ CXδ∈,δ∈Yδθ，1exp-BVθY-1θ,1Yδθ，2exp-BVθY-1θ,2式中，对于i=1，2，iis一组最大值为ξiβi+α的常数。而且呢Yδθ，1exp-BVθY-1θ,1Yδθ，2exp-BVθY-1θ,2我≤呃Y2δθ，1exp-2BVθY-1θ,1iEh公司Y2δθ，2exp-2BVθY-1θ,2我1/2.由于Yθ，ih是标准的Fréchet分布，因此期望值EhY2δiθ，iexp-2BVθY-1θ，i如果2（ξiβi+α）<1且-2BVθ<1。

但可以选择α和Vθ来满足此类约束，因为ξiβi<1/2，BVθ由（9）定义。最后请注意λθ（x，x）/ψ和λθ（x，x）/κ很容易获得，因此很容易得出结论，（11）中的条件也适用于邻域Vθ的选择。A、 3.2 IPA对于Smith随机场（25），存在正常数Ci，i=1，2，因此Y∑（xi）H（Y∑）易≤ Ci（Y∑（x）∨ 1） ξβ（Y∑（x）∨ 1)ξβ.因此，对于p>1，sup∑∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易p≤ Cisup∑∈V∑（Y∑（x）∨ 1） pξβsup∑∈V∑（Y∑（x）∨ 1） pξβ。（51）下一个结果将允许我们证明条件（18）成立。提案5。存在∑，V∑的非随机邻域，因此，对于任何β<1和x∈Rd，E“sup∑”∈V∑（Y∑（x）∨ 1)β#< ∞.证据我们有∑（x）=∞_i=1UiИM（x- Ci，∑）≤πd/2det（∑）1/2∞_i=1 Iand thussup∑∈V∑（Y∑（x）∨ 1)β≤ sup∑∈V∑πd/2位（∑）1/2！β∞_i=1Ui∨ πd/2sup∑∈V∑det（∑）1/2！β.众所周知，W∞i=1 i为标准Fréchet分布，因此E[（W∞i=1Ui）β]<∞ 因为β<1。我们推断，必须选择V∑，这样sup∑∈V∑det（∑）-1/2< ∞和sup∑∈V∑det（∑）1/2<∞.

这是可能的，因为任何对称可逆矩阵A都包含矩阵的邻域V，因此，对于所有∈ 五、 det（A）- ε<det（A）<det（A）+ε，其中0<ε<det（A）。根据命题5，（51）和H"older不等式，存在∑，V∑的非随机邻域，因此对于满足2pξβ<1和2pξβ<1的一些p>1，我们有“sup∑”∈V∑Y∑（xi）H（Y∑）易p#≤ CiE“sup∑”∈V∑（Y∑（x）∨ 1） 2pξβ#1/2E“sup∑”∈V∑（Y∑（x）∨ 1） 2pξβ#1/2<∞.B分析公式B。1 R（θ）导数的表达式当H由（25）给出时，对于|β，|β<1/2，我们引入函数g|β，|β定义为g|β，|β（H）=Γ(1 -~β-β），如果h=0，Z∞t▄βhC（t，h）C（t，h）▄β+▄β-2Γ(2 -~β-β）+C（t，h）C（t，h）β+℃-1Γ(1 -~β-β）idt，如果h>0，（52），其中，对于t，h>0，C（t，h）=Φh+对数（t）h+tΦh类-对数（t）h,C（t，h）=Φh+对数（t）h+hИh+对数（t）h-ht^1h类-对数（t）h×tΦh类-对数（t）h+ht^1h类-对数（t）h-ht^1h+对数（t）h,C（t，h）=hth类-对数（t）hφh+对数（t）h+ht公司h+对数（t）hφh类-对数（t）h,Φ和Д分别表示标准的单变量高斯分布和密度函数。设x，x∈ Rbe我们感兴趣的站点和Yθ是一个布朗-雷斯尼克随机场，相关参数ψ和κ聚集在θ中，即θ=（ψ，κ）。设θ为我们希望计算R（θ）导数的参数。如前所述，让ηi、τi、ξibe表示Xθ（xi）、i=1、2和βi=β（xi）的位置、比例和形状参数∈ N*使得βiξi<1/2。

科赫定理2（2019）YieldscorXβθ（X），Xβθ（X）=pDβ，η，τ，ξDβ，η，τ，ξ“βXk=0βXk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，τ，τ，ξg（β-k） ξ，（β-k） ξp2γθ（x- x）-βXk=0βXk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξ（1- [β- k] ξ）Γ（1）- [β- k] ξ）#，（53）其中bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξ=βkη-τξkτξβ-kβkη-τξkτξβ-k、 这将产生更正Xβθ（X），Xβθ（X）θ=Pβk=0Pβk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξg（β-k） ξ，（β-k） ξ√2γθ（x-x）θθ=θpDβ，η，τ，ξDβ，η，τ，ξ。（54）我们从（52）中获得g▄β，▄βp2γθ（x）- x）θθ=θ=Z∞h类t▄βhC（t，h）C（t，h）▄β+▄β-2Γ(2 -~β-β）+C（t，h）C（t，h）β+℃-1Γ(1 -~β-β）ih=hdt×p2γθ（x- x）θθ=θ，（55），其中h=p2γθ（x- x） 。术语h类t▄βhC（t，h）C（t，h）▄β+▄β-2Γ(2 -~β-β）+C（t，h）C（t，h）β+℃-1Γ(1 -~β-β）ih=hh是一个封闭的（尽管很复杂）表达式（可根据要求提供）。可以使用自适应求积等数值方法计算相应的积分。最后，我们得到R（θ）/θ|θ=θ，通过在（54）中插入（55）的适当值。现在，如果Y∑是协方差矩阵∑的Smith随机场，∑是我们要计算R（θ）导数的对称正定义矩阵，那么在用∑替换θ、用∑替换θ和γθ（x）时，可以应用完全相同的公式和过程- x） 带（x- x） ∑-1（x- x） /2。B、 2 Brown-Resnick随机场得分函数分量的比例（简单）Brown-Resnick随机场的双变量密度（x和x∈ R） 满足度，对于y，y>0，fθ（y，y）=exp-Φ（w）y-Φ（v）y×Φ（w）y+Д（w）hy-^1（v）hyy×Φ（v）y+Д（v）hy-^1（w）hyy+vД（w）hyy+wД（v）hyy,（56）其中h=p2γθ（x- x）=√kx公司- xkκψ/2，w=h+对数（y/y）手v=h-对数（y/y）h。这很容易产生 对数fθ（y，y）ψ. 对数fθ（y，y）κ=h类ψ.h类κ= -κψ对数kx公司- xkκ, （57）从（6）可以看出，LRM估计R（θ）/ψ和R（θ）/κ与（57）右侧给出的因子成比例。参考Sasadi，P.、Davidson，A.C.和Engelke，S.（2015）。河网上的极端情况。

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