最大稳定随机场的随机导数估计

2022-6-11 06:35:39

如果预期性能对某些关键参数过于敏感，则警告决策者不要对获得的值过于自信，尤其是在这些参数存在巨大不确定性的情况下。它还告诉他/她，应该投入精力，以找到这些参数更可靠的估计值（例如，通过开发新的推理方法）。通过delta方法，了解预期绩效相对于相关参数的导数，可以将该参数的置信区间转换为预期绩效的置信区间。最后，如果目标是*EPFL，数学研究所，EPFL SB MATH MATH-GE，MA B1 457（马萨诸塞州巴蒂门特），瑞士洛桑81015站。电子邮件：erwan。koch@epfl.ch+金融和保险实验室-LFA CREST-经济和统计研究中心，ENSAE，巴黎，法国。电子邮件：christian yann。robert@ensae.frto最大化某些参数的预期性能，了解其导数通常是必需的，因为大多数优化算法都基于梯度方法。据我们所知，SA从未被考虑用于基于onextreme价值模型的预期性能，尽管这是非常必要的。事实上，这些模型基本上是使用少量数据进行拟合的，这导致了参数估计的很大不确定性。有关极值理论的实用介绍，请参见，例如，Coles（2001）。极值模型在许多应用中都很有价值。最大稳定随机场（例如，de Haan，1984；de Haan和Ferreira，2006）构成了单变量极值理论对有限维（例如，空间）设置的扩展，非常适合于对具有空间范围的变量（如环境变量）的逐点最大值进行建模。

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kedemingshi

2022-6-11 06:35:42

这种建模有助于量化自然灾害的影响，这对保险公司和民政部门至关重要，尤其是在气候变化的背景下。然而，由于最大稳定场的复杂结构，其多变量密度通常不适用于两个或三个以上的场地，这使得估计非常不平凡。常用的估计量不是渐近有效的（在Cramér-Rao界的意义上），这与上述数据稀缺导致的不确定性相结合，可能导致估计值远离真实值。因此，有必要根据参数的最大稳定场来评估任何预期性能的敏感性。本文的目的正是为此类评估提供可处理的条件，并在预期绩效是风险或依赖性度量的情况下说明这一点。我们关注的是没有任何封闭式表达式的预期性能，这意味着无法使用基于分析表达式的差异或有限差异来评估其衍生工具，但需要基于模拟的方法。基本上有三种经典的随机导数估计方法。第一个是基于有限的差异。相应的估计量涉及偏差-方差权衡和多参数值下的需求拟合，使得该方法不如其他两种方法强大。第二种方法称为似然比法（LRM），它基于与仿真模型相关的密度函数的导数。第三种方法称为微元摄动分析（IPA），它依赖于计算每个模拟值参数的导数（然后求平均值）；因此，IPA也被称为样本路径差异化方法。

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大多数88

2022-6-11 06:35:46

与IPA中的参数被视为纯结构相反，在LRM中，它被视为概率度量的参数。LRM要求密度函数明确且可微分，另一方面，IPA要求样本路径相对于参数的可微分性，这是一个相当长的条件。Glasserman（2003，第7.4节）认为，LRM估计量的方差往往大于IPA估计量，这解释了为什么IPA通常被认为是最好的导数估计量。大量文献致力于LRM和IPA；优秀的一般参考文献尤其是Asmussen和Glynn（2010）第七章和Glasserman（2003）第七章。这两种方法广泛应用于许多领域，例如金融领域，其中许多风险对冲策略涉及计算期权价格对基础资产价格和其他参数（所谓希腊）的敏感性。Broadie和Glasserman（1996）以及Chen和Fu（2001）分别将IPA用于期权定价和抵押贷款支持证券。受金融应用的推动，Glasserman和Liu（2010）研究了仅通过特征函数或Laplacetransforms知道相关密度的情况下的LRM。据我们所知，SA以及LRM和IPA尚未考虑基于极值模型的预期性能，更重要的是最大稳定领域。在这两种方法中，没有一种可以系统地用于所有最大稳定油田。当随机性能涉及两个或三个以上现场的现场值时，通常会排除LRM，因为多变量密度不明确可用。然而，也有明显的例外，如Brown-Resnick随机油田（Brown和Resnick，1977；Kabluchko等人，2009）或极端t随机油田（Opitz，2013）。

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2022-6-11 06:35:49

应用LRM的主要技术挑战是证明在所考虑的现场，在可能的现场值空间内，导数（关于参数）和积分之间的交换是可行的。另一方面，IPA涉及到表明随机场的路径在空间依赖性参数方面是不同的，这通常是困难的，因为最大稳定场出现在有限数量的潜在随机场上的逐点最大值。然而，当这些潜在场的路径非常平滑时，如史密斯随机场（Smith，1990），这是可能的。Smith油田属于Brown-Resnick油田，但作为一种边界情况，其在封闭形式多元密度可用性和路径平滑度方面的特性与大多数Brown-Resnick油田非常不同。我们的主要理论贡献在于提出方便的条件，确保LRM和IPA的有效性，以分别基于Brown-Resnick油田和Smith油田估计预期业绩的衍生产品。Brown–Resnick油田非常灵活，是目前已知的最大稳定模型中最合适的环境数据模型之一（如Davidson等人，2012）。我们将重点放在与空间相关参数相关的导数上，因为显示LRM或IPA对于估计与边际参数相关的导数（广义极值分布的导数）的有效性很容易（在温和的假设下）。

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2022-6-11 06:35:51

我们的条件尽可能容易处理；e、例如，对于史密斯油田的IPA，该条件涉及预期性能相对于油田值的导数，但不涉及空间相关性参数。由于最大稳定场的复杂结构，很难获得此类实际条件。我们的第二个贡献与保险或金融风险评估相关。我们的结果对于研究基于空间范围的极端事件（通常是天气事件）引发的保险损失或与事件相关的证券（如灾难债券）价格的敏感性等风险或依赖性度量的敏感性具有深刻的见解。事实上，许多风险或依赖性度量以及价格都可以写成预期绩效。在进行了一般性讨论之后，我们重点讨论了极端风速导致的保险损失的特定相关性度量。该指标对Brown-Resnick和Smith油田都有分析导数，因此我们可以将LRM andIPA估计值与真实值进行比较。我们实现了LRM和IPA（必要时自适应现有仿真算法），并进行了深入的数值研究，结果表明这两种估计方法都非常精确。最后，我们提出了一个对精算实践有价值的具体应用。利用再分析风速数据，我们研究了上述相关性度量在德国鲁尔地区的敏感性。该应用程序强调了在实际操作中评估风险或依赖性度量的敏感性的重要性。论文的其余部分组织如下。第2节首先回顾了关于最大稳定场的有用结果，并提出了预期性能的概念。

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能者818

2022-6-11 06:35:55

然后介绍了LRM和IPA及其相关的最大稳定场示例（分别为Brown-Resnick和Smith），并说明了我们保证这两种方法在这些情况下有效的条件。第3节专门讨论风险评估应用。在一般性讨论之后，我们介绍了上述特定的依赖性度量，我们介绍了模拟研究，并最终展示了我们的真实案例研究。第4节简要总结了我们的贡献并提出了一些观点。在本文中，我们将使用以下符号。Let表示换位。对于x=（x，…，xd）∈ Rd，kxk=xx=Pdi=1xi，对于矩阵∈ Rd×d，kAk=sup{kAxk:x∈ Rd使得kxk=1}，对于正定义的对称矩阵∑∈ Rd×d，kxk∑-1=x∑-1x。此外，当上确界位于可数集上时，Wdenotes是上确界。最后，d=表示分布相等。对于随机场，分布指的是所有有限维分布的集合。所有证据都可以在附录中找到。2随机导数估计2.1最大稳定随机域和相关预期性能如果Rd上存在连续函数an（·）>0和bn（·），则称Rd上具有非退化边缘的随机域X为最大稳定，如果X，X的独立副本，n\\u i=1Xi- b与=X，n=1，2，（点方向最大值）。具有标准Fréchet边距的随机字段Y（即P（Y（x））≤y） =经验值(-1/y），y>0，x∈ Rd）是最大稳定的ifn\\u i=1n-1Yid=Y，n=1，2，其中Y，Y是Y的独立副本；这样的场被称为简单的最大稳定场。众所周知，Rd上存在连续函数η（·）、τ（·）>0和ξ（·），称为位置、尺度和形状函数，如x（x）d=（η（x）- τ（x）/ξ（x））+τ（x）Y（x）ξ（x）/ξ（x），ξ（x）6=0η（x）+τ（x）log（Y（x）），ξ（x）=0。

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mingdashike22

2022-6-11 06:35:58

（1） Rd上任何简单的最大稳定随机场Y都可以写成asYd（例如，de Haan，1984）=∞_i=1 Izi，（2），其中（Ui）i≥1是（0，∞) 具有强度功能U-2du和Zi，i≥ 1，是非负随机字段Z的独立副本，因此，对于所有x∈ Rd，E[Z（x）]=1。相反，形式（2）的任何字段都是简单的最大稳定字段。假设Z的分布取决于空间相关参数θ∈ RL和wenow用Zθ表示Z（以及用Yθ表示Y）。Zθ相对于θ的依赖关系将在下文中明确描述。我们考虑M个站点x，xM公司∈ 设Yθ=（Yθ（x），Yθ（xM））。已知YθisFθ（Y）=exp的分布函数(-Vθ（y）），y∈ (0, ∞)M、其中，Vθ是所谓的指数度量函数，由Vθ（y）=E“M\\u i=1Zθ（xi）yi#，y给出∈ (0, ∞)M、如果存在Vθ的M阶偏导数，则Yθ的密度函数可由多元函数的Faádi Bruno公式导出。设I={1，…，M}。我们用∏表示I的所有分区的集合，对于分区π∈ π，B∈ π表示B是分区π的一个块。此外，对于任何集合B I和y∈ (0, ∞)M、我们让yB=（yj）j∈B、然后，Yθ的密度函数由fθ（Y）=exp给出(-Vθ（y））Xπ∈Π(-1） |π| YB∈π|B类|yBVθ（y），（3），其中|π|表示分区π的块数，| B |集B的基数，以及|B类|/yB关于yB的偏导数。随机性能（有时也称为模型输出）由H（Yθ）定义，其中H是RMto R的函数，预期性能是其预期，即R（θ）=e【H（Yθ）】，（4）前提是e[| H（Yθ）|]<∞. 下面我们给出了确保LRMand IPA适用于估算的条件R（θ）/特定θ下的θ∈ RL表示分别由Brown–Resnick和Smith菲尔德建造的Yθ。

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2022-6-11 06:36:01

（4）中的数量相当普遍，因此本节中得出的结果可用于各种目的。其中之一，尤其重要的是金融和保险，是估计风险和依赖性度量的敏感性；这在第3节中完成。当符合数据时，最大稳定场并不简单，而是如（1）所示，其位置、比例和形状函数并不一致等于单位。因此，用Xθ表示这样一个领域，并让Xθ=（Xθ（X），Xθ（xM）），预期性能应为writene[G（Xθ）]，（5）其中，G是从rm到R的函数，使得E[| G（Xθ）|]<∞. 然而，我们从（1）中看到，表示（4）包含了（5）的情况，通过让H依赖于M个位置处Xθ的位置、比例和形状参数。由于衍生工具仅涉及空间相关参数的技术问题，我们不考虑边际参数的差异（尽管这是实际利益），为了方便起见，我们将重点放在（4）。2.2似然比方法2.2.1一般方法我们首先将LRM引入基于最大稳定领域的预期绩效背景。设Yθ是一个简单的最大稳定随机向量，H是从rm到R的函数，使得e[| H（Yθ）|]<∞, R（θ）=E[H（Yθ）]，θ是参数θ的可能值。LRM要求Yθ具有密度函数fθ，密度函数fθ可以相对于θ进行微分。

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kedemingshi

2022-6-11 06:36:04

在这种情况下，预期性能满足度R（θ）=E[H（Yθ）]=Z（0，∞)MH（y）fθ（y）dy.我们假设存在θ，Vθ的一些非随机邻域，因此对于每个θ∈ Vθ，E[| H（Yθ）|]<∞,o 几乎所有y∈ (0, ∞)Mfθ（y）/θ对所有θ都存在∈ Vθ，o有一个可积函数ψ：RM→ R使得| H（y）| supj=1，。。。，M级|fθ（y）/θj |≤ψ（y）表示所有θ∈ Vθ和几乎每个y∈ (0, ∞)M、然后，通过支配收敛定理，可以互换微分和积分，给出R（θ）θθ=θ=Z（0，∞)MH（y）fθ（y）θdy=E“H（Yθ）对数fθ（Yθ）θθ=θ#，（6），其中，前提是，对于所有B 我|B | Vθ（y）/yB公司/θ对所有θ都存在∈ Vθ，对数fθ（y）θ= -Vθ（y）θ+exp(-Vθ（y））fθ（y）Xπ∈Π(-1） |π| XB∈πθ|B类|yBVθ（y）YB∈π、 B6=B|B类|yBVθ（y）。那么LRM就在于计算R（θ）/θ|θ=θ，通过蒙特卡罗估计（6）右侧的期望值。注意，上述假设在极大似然估计理论中非常常见，其中θ7→ 对数fθ（y）/θ称为分数函数。2.2.2 Brown-Resnick随机油田的情况我们现在重点关注Brown-Resnick油田的情况。设Wθ为rds上的中心高斯随机场，具有平稳增量和半变异函数γθ，并定义Zθ（x）=exp（Wθ（x）- Var（Wθ（x））/2），x∈ Rd，其中Var表示方差。然后，（2）用Zθ定义的场Yθ被称为与半变异函数γθ相关的Brown–Resnick随机场（Brown and Resnick，1977；Kabluchko et al.，2009）。它是平稳的，其分布仅取决于变异函数（Kabluchko et al.，2009，定理2和命题11）。Wθ是分数布朗运动的情况导致了常用的半变异函数γθ（x，x）=（kx- xk/κ）ψ，x，x∈ Rd，（7）其中κ>0和ψ∈ （0，2）分别是范围和平滑度参数，θ=（ψ，κ）。

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2022-6-11 06:36:07

通常，ψ=2在（7）中是允许的，但我们在此排除该值，因为它使得在M>d+1的闭合形式表达式下，多变量密度不可用，因此在这种情况下，lr不适用。对于任何半变异函数γθ，设λθ（xi，xj）=（γθ（xi，xj）/2）1/2，xi，xj∈ Rd，i，j=1，M、设λθ（xi，x-i） =（λθ（xi，xj））j6=i，log（y-i/yi）=（log（yj/yi））j6=i，和Ohm（i） θ是第（j，m）项为2的矩阵[λθ（xi，xj）+λθ（xi，xm）- λθ（xj，xm）]，j，m 6=i。我们表示，对于p∈ N*,通过Φp（·；Ohm) 和Дp（·；Ohm) 具有协方差矩阵的p维高斯分布和密度函数Ohm, 分别地前提是矩阵Ohm（i） θ，i=1，M、则Brown–Resnick随机场的指数测度函数由（例如Huser和Davidson，2013）Vθ（y）=MXi=1y给出-1iφi（y，θ），（8），其中φi（y，θ）=ΦM-1.λθ（xi，x-i） +对数（y-i/yi）；Ohm（i） θ.结合（3），（8）证明了密度fθ的闭式表达式的存在性。在下面的定理中，我们提供了方便的条件，确保了RM用于估计的适用性R（θ）/θ|θ=θ.在本文中，平稳性是指严格的平稳性。定理1。对于θ，Vθ，letBVθ=infi=1，…，的非随机邻域，。。。，Minfθ∈Vθinfy∈(0,∞)M{φi（y，θ）- φi（y，θ）}。（9）假设存在一个非随机邻域Vθ和一个常数α>0，使得e“| H（Yθ）| 1+MMXi=1Y-1θ，i！MXi=1年-αθ，i！经验值-BVθMXi=1Y-1θ，i！kYθkα#<∞, （10）式中，Yθ，i=Yθ（xi）。此外，假设SUPK=1，。。。，Lsup1≤i、 j≤msupθ∈Vθλθ（xi，xj）θk< ∞. （11）那么R（θ）θθ=θ=E“H（Yθ）对数fθ（Yθ）θθ=θ#.

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2022-6-11 06:36:09

（12）这些技术性但易于处理的条件是很自然的，可以保证差异和整合之间交换的有效性。由于Brown–Resnick油田可以在有限数量的现场进行模拟，并且可以计算得分，因此可以获得（12）中预期范围内的项目实现情况。Brown-Resnick油田的模拟方法要么是精确的（如Dombry et al.，2016；Oesting et al.，2018），要么是近似的（Schlather，2002，定理4）。尽管如此，由于总和中的项数等于第M个Bell数，其在维度M中呈超指数增长，因此密度（以及分数）的计算可能具有挑战性。为了避免这个问题，一个解决方案是通过蒙特卡罗模拟近似（3）；i、 e.，对于N≥ 1，^fθ（y）=exp(-Vθ（y））NNXi=1YB∈πi-|B类|yBVθ（y）,其中，分区π，πNform由gθ（π| y）=QB给出的平稳分布的遍历序列∈π-|B类|yBVθ（y）Pπ∈∏QB∈π-|B类|yBVθ（y）∝YB公司∈π-|B类|yBVθ（y）. （13） Dombry等人（2013年）设计了一个Gibbs取样器，以生成近似模拟π，πn无需显式计算（13）分母中的常数因子。我们参考该文件了解有关实际实施的更多详细信息。理论上，由此产生的马尔可夫链的遍历性意味着近似的精度是任意高的asN→ ∞. 实际上，Gibbs采样器的迭代次数N通常比∏的基数小得多，但即使对于N的中等值，近似也是相当好的，因为通常只有几个分区π∈ ∏与数据兼容；例如，见Huser等人（2019）。

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2022-6-11 06:36:12

对于与半变异函数（7）相关的Brown-Resnick场，他们得出结论，Gibbs采样器收敛速度很快，大约10×M的迭代足以使算法收敛于大量参数配置。使用基于蒙特卡罗的思想，分数函数的近似值如下所示：对数^fθ（y）θ= -Vθ（y）θ+exp(-Vθ（y））^fθ（y）NNXi=1(-1） |πi | XB∈πiθ|B类|yBVθ（y）YB∈πi，B6=B|B类|yBVθ（y）。的分析表达式(|B | Vθ（y）/yB）/θ为Brown–Resnick随机油田所知（例如，Dombry et al.，2017，第B.4节）。2.3最小摄动分析2.3.1一般方法我们首先将IPA引入基于最大稳定场的预期性能。设Yθ是一个简单的最大稳定随机向量，H是从rm到R的函数，使得e[| H（Yθ）|]<∞, R（θ）=E[H（Yθ）]，θ是参数θ的可能值。IPA要求随机性能H（Yθ）与θ不同。然而，密度fθ不需要显式表示，这使得IPA在LRM无效时成为一个潜在的解决方案。当LRM和IPA都可以应用时，IPA可能更可取，尽管最佳选择取决于随机性能的特定形式。对于随机过程和随机领域，IPA也称为路径导数估计，因为它使用样本路径泛函的微分。IPA的本质是使用R（θ）θθ=θ=E“H（Yθ）θθ=θ#，（14），前提是导数和期望值可以互换。然后，可以通过蒙特卡罗方法估计（14）的右侧来计算导数。Asmussen和Glynn（2010）第七章第2.3条中给出了在一般情况下交换的有效条件。提案1。假设θ7→ H（Yθ）几乎肯定是θ处的（a.s.）可微函数，而a.s。

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2022-6-11 06:36:15

θ 7→ H（Yθ）满足Lipschitz条件| H（Yθ）- H（Yθ）|≤ kθ- θ的非随机邻域中θ的θkBθ，其中E[Bθ]<∞. 然后（14）保持不变。如果g:I→ R在开集I上可微 Rd和满意度kg（x）/xk公司≤ 对于I中的allx，则g是Lipschitz连续的，Lipschitz常数在I上最多为K。因此，我们立即推断，如果存在满足E[Bθ]<∞ 并使a.s.supθ∈VθH（Yθ）θ≤ Bθ，其中Vθ是θ的非随机邻域，则（14）成立。2.3.2史密斯随机场的情况我们在随机性能基于史密斯随机场的情况下说明了IPA（Smith，1990），对于这种情况，只有当Rd中的站数M小于或等于d+1时，密度的闭合表达式才是已知的（Genton等人，2011）。让（Ui，Ci）i≥1泊松点过程的点位于（0，∞) ×Rd带强度函数U-2du×dc，协方差矩阵∑=（σij）ij由y∑（x）定义的史密斯随机场=∞_i=1UiИM（x- Ci，∑），x∈ Rd，（15），即取Zi（x）=μM（x- （2）中的Ci，∑）。它是平稳的、简单的最大稳定的，对应于与半变异函数γ（x）=x∑相关的Brown-Resnick场-1x/2，x∈ Rd（例如，Huser和Davidson，2013年）。如上所述，这种半变异函数导致无法表征M>d+1的密度。与Brown-Resnick随机场的θ一样，∑完全表征了史密斯场的依赖结构。为了方便起见，向量θ被以下的正定义矩阵∑代替。如（4）所述，在某个正定义矩阵∑下，预期性能R（∑）相对于∑的导数定义如下（例如，Dwyer，1967）R（∑）ΣΣ=Σ=R（∑）σijΣ=Σ!ij。

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2022-6-11 06:36:18

（16）请注意，关于标量或向量微分的结果也适用于矩阵微分的情况。假设y 7→ H（y）是可区分的。函数∑7的可微性→ 在∑附近的Y∑将显示在定理3的证明中（附录a.2）。然后链法则给出H（Y∑）∑=MXj=1H（Y∑）yj公司Y∑（xj）Σ. （17）我们将证明（附录A.2中的定理4），∑，V∑存在一些非随机邻域，因此，对于任何q>1，存在满足A.s.sup∑的随机变量C∑（x，q）∈V∑ 对数Y∑（x）Σq≤ C∑（x，q）和E[C∑（x，q）]<∞.这一技术成果将使我们能够得出主要结果。定理2。假设y 7→ H（y）是一个可微分函数，存在p>1，即supj=1，。。。，ME“sup∑”∈V∑Y∑（xj）H（Y∑）yj公司p#<∞, （18）其中V∑是∑的非随机邻域。然后R（∑）Σ∑=∑=E“H（Y∑）ΣΣ=Σ#. （19）这个非平凡定理为使用IPA计算R（∑）的导数提供了一个充分条件。这个条件比命题1中的条件更容易处理和检查。这种简化源于这样一个事实，即我们在（17）的引入项的定理3和4中注意到了这一点，Y∑（xj）/∑，涉及史密斯随机场微分的样本路径属性。由于最大稳定场的固有结构，定理3和4很难精确建立。在实践中，我们必须在预期中模拟随机矩阵的实现（19），这可以通过模拟史密斯场和使用（17）来完成。的表达式Y∑（xj）/∑（17）中出现的值在（29）中给出（附录A.2）。

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2022-6-11 06:36:21

作为Brown-Resnick油田，Smith油田可以精确模拟（如Oesting et al.，2018；Dombry et al.，2016）或近似模拟（Schlather，2002，定理4）；后一种方法非常准确。3风险评估的应用我们现在关注一个框架（除其他几个框架外），其中第2节的结果很有用，这是风险和依赖性度量的背景。在详细说明了与（4）的联系之后，我们考虑了一种相关性度量，它特别适用于极端风速引发的损坏保险。我们证明了定理1和2的条件在这种情况下成立，并通过模拟研究证实了LRM和IPA都表现得很好。最后，我们考虑了具体数据，并表明依赖性度量的敏感性可能非常高，这突出了在风险评估背景下研究最大稳定场函数敏感性的实际重要性。3.1基于最大稳定场的风险度量我们表明，（4）中定义的数量包括许多风险和依赖性度量，我们的重点主要是精算应用。单变量风险度量是从一组随机变量到实数的映射。相关性度量总结了这样一组随机变量的几个元素之间的相关性强度。在金融领域，这些随机变量通常代表投资组合回报，在保险领域，它们可能是与保单相关的索赔。当索赔由环境事件引发时，保险成本领域的可能模型为（Koch，2017，第2.3节）C（x）=E（x）Dx（x（x）），x∈ Rd，（20）其中E是（确定性）保险风险敞口（即保险价值）字段，Dx是现场x的损伤函数，x是产生风险的环境变量的随机字段。

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mingdashike22

2022-6-11 06:36:24

应用损害函数dx到X（X）得出现场X的保险成本比率（即保险成本除以保险价值），乘以保险风险，得出相应的保险成本。在如（4）所示的风险度量中，可以找到许多复杂的例子，例如保险/再保险定价或监管。对于j=1，M、让CJ表示XJAN保险公司的索赔，并假设CJ可以写为最大稳定字段的函数（例如，如（20）的右侧）。与两个或多个营业点的Cjat之和的特定时刻成比例的保费负荷构成保险定价的优秀样本。在再保险中，保费有时基于索赔的顺序统计，如“excédent du co"yt moyen relatif”（ECOMOR）或大额索赔再保险（LCR）条约。让我们考虑一下，例如，M≥ 3个站点，并假设其中每个站点都与相应索赔为Cjas的保单相关。我们考虑这些权利要求的有序值C（1:M）≥ C（2:M）≥ ··· ≥ C（米：米）。例如，风险度量E[（C（1:M））-C（3:M））+（C（2:M）-C（3:M））]将参与以第三大索赔为优先权的anECOMOR再保险条约的定价。这些量可以写在形式（4）下，但表现为非线性，没有任何分析表达式。下一节将介绍一个有价值的依赖性度量示例，该示例将一直考虑到最后。3.1.1风速的特定相关性度量我们在本节中提出了因高风速而产生的成本的相关性度量，如（4）所示。在d=2的情况下，我们通过（20）对成本进行建模，其中假设风速极限值Xθ为最大稳定值。

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大多数88

2022-6-11 06:36:27

此外，对于任何站点x∈ R、我们选择损伤函数Dx（x）=（x/u）β（x），x≤ u、其中u>0和β（x）∈ N*, 这在风的情况下是完全合适的。事实上，由于风力和相应的工作速率分别与风速的二次方和三次方成正比，预计特定结构的总成本将随着最大风速的平方或立方而增加。关于支持使用正方形的研究，请参见Simiu和Scanlan（1996，方程式（4.7.1）、（8.1.1）和（8.1.8）），关于立方体，请参见Lamb和Frydendahl（1991，第2章，第7页）、Emanuel（2005）和Kantha（2008）。然而，就保险成本而言，几位作者最近发现幂律的指数要高得多；e、 g.，Prahl et al.（2012）获得了德国住宅建筑保险损失指数，范围从8到12。事实上，保险合同中的免赔额将指数从2或3增加到更大的值，具体取决于免赔额（例如，Prahl et al.，2015；Koch，2019）。u级对应于风速值，该风速值触发了相等于统一的保险成本比率，因此假设大于实际观察到的风速。有关风损害功能的更多详细审查，请参见，例如Koch（2019）。我们考虑两个站点（M=2），x，x∈ R、回想一下，Xθ和关联的简单最大稳定场Yθ之间的联系由（1）给出，让ηi=η（xi），τi=τ（xi），ξi=ξ（xi）和βi=β（xi），i=1，2，这样βiξi<1/2。风速最大值的形状参数为略负，这意味着事件Xθ（xi）<0发生时可能不完全为0（尽管由于位置和比例参数的值非常接近）。无论如何，这不是βi的问题∈ N*.

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2022-6-11 06:36:30

此外，我们将Yθ作为Brown-Resnick或Smithrandom油田，并将两个现场极端风引起的成本之间的相关性作为相关性度量，即R（θ）=Corr（C（x），C（x））=CorrXβθ（X），Xβθ（X）, （21）其中，当考虑史密斯场时，θ必须替换为∑。条件βiξi<1/2，i=1，2，确保（21）中存在相关性。金融/保险行业的从业人员经常使用相关性，对于任何处理极端风速造成的损害风险的保险/再保险公司来说，度量R（θ）都具有实际意义；除其他外，它提供了有关潜在空间多样性的见解。有关详细信息，请参阅Koch（2019），其中（21）进行了深入研究。我们现在解释为什么（21）中的度量值是形式（4），M=2。众所周知，如果Y是一个遵循标准Fréchet分布的随机变量，那么E[Y|β]=Γ（1-β）对于任何￠β<1的函数，其中Γ表示伽马函数。我们现在还假设ξi6=0，对于i=1，2。因此，使用（1）和二项式定理，我们得到，对于i=1，2，EhXβiθ（xi）i=Cβi，ηi，τi，ξi，（22），其中Cβi，ηi，τi，ξi=βiXk=0βikηi-τiξikτiξiβi-kΓ（1- [βi- k] ξi）。此外，Koch（2019）的推论1给出了arhxβiθ（xi）i=Dβi，ηi，τi，ξi，（23），其中Dβi，ηi，τi，ξi=βiXk=0βiXk=0Bk，k，βi，ηi，τi{1- ξi[2βi- k- k] （）- Γ(1 - [βi- k] ξi）Γ（1）- [βi- k] ξi）}，（24）带bk，k，βi，ηi，τi，ξi=βikβikηi-τiξik+kτiξi2βi-（k+k）。因此，（22）和（23）yieldR（θ）=E[H（Yθ）]，其中H（Y，Y）=xβ（Y）xβ（Y）- Cβ，η，τ，ξCβ，η，τ，ξpDβ，η，τ，ξDβ，η，τ，ξ（25），其中xi（yi）=（ηi- τi/ξi）+τiyξii/ξisinceξi6=0，i=1，2。除了对精算应用有用之外，度量值（21）还有一个关于最大稳定域依赖参数的闭式导数，允许我们比较R（θ）/θ|θ=使用LRM或IPA及其真值获得的θ。

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2022-6-11 06:36:33

这些导数的分析公式见附录B.1.3.1.2假设的有效性。我们现在表明，定理1和2的假设在（21）的情况下是有效的，分别是Brown-Resnick和Smith随机场。因此，LRM andIPA可用于评估（21）对θ和∑的导数。提案2。将H定义为（25）。i）假设Yθ是Brown–Resnick随机场，半变异函数由（7）给出。存在θ、Vθ的非随机邻域Vθ和常数α>0，使得（10）和（11）成立。ii）假设Y∑是史密斯随机场。然后存在p>1和∑，V∑的非随机邻域，使得（18）成立。3.2模拟研究我们通过数值评估LRM和IPA的准确性，以计算（21）中依赖性度量R（θ）的灵敏度，其中Y是与半变异函数（7）相关的Brown-Resnick场，以及Smith场。用于接近（12）和（19）中预期的模拟数量用S表示。我们显示了不同配置中100个估计值的相对误差箱线图。我们取β=β=β，β=2，3，S=10，10，我们观察了位点x，x的不同组合。我们记得，可以计算相对误差，因为R（θ）的灵敏度可以通过积分形式解析获得。

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2022-6-11 06:36:36

（53）和（54）中的积分是使用自适应求积计算的，相对误差为10-7允许精确近似。3.2.1 Brown-Resnick油田的LRM我们检查了三种场地组合：我们设置x=（0，0）和x=（1，1），（3，2），（9，9）。选择这些方法是为了涵盖广泛的敏感性和相对敏感性。此外，我们取θ=（ψ，κ）=（3.05，0.86），η=η=26.11，τ=τ=2.90，ξ=ξ=-0.11，即根据以下应用中使用的数据得出的估计值（第3.3节）。我们使用Ribatet et et al.（2018）的空间探索R软件包的rmaxstab函数模拟了Brown-Resnick油田。表1显示，对于κ和ψ，当β从2增加到3时，R（θ）的理论值、其灵敏度和相对灵敏度变化不大；相对灵敏度的绝对值略有下降，而R（θ）略有上升。对于x=（9，9），灵敏度的绝对值及其相对对应值的绝对值最高；在这种情况下，相对灵敏度非常高（κ约为30%，ψ超过150%），这可能是由于R（θ）值相当低。如此大的值通常解释了正确评估敏感性的实际重要性，例如在保险环境中。κψκψR（θ）hhhhhh xβ2 3 2 3 2 3 2 3（1，1）0.048 0.046 0.131 0.126 0.061 0.058 0.167 0.158 0.784 0.797（3，2）0.074 0.074-0.044 0.122 0.117-0.072-0.070 0 0 0 0.610 0.626（9）0.087 0.089-0.439-0.452 0.306 0.302-1.552-1.529 0.283 0.296表1：左面板给出R（θ）/κ|θ=θ和R（θ）/ψ|θ=各种配置中的θ。中间的一个显示由R（θ）归一化的先前值。右一个给出R（θ）。

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2022-6-11 06:36:39

所有值均为理论值。当M=2时，Brown–Resnick场的密度是明确已知的，因此scorefunction有一个封闭形式的表达式（可根据要求提供），其中包含少量术语；因此，无需通过上述吉布斯取样器应用MCMC方法。值得注意的是对数fθ（y，y）/ψ和对数fθ（y，y）/κ是成比例的（附录B.2），这意味着LRM估计R（θ）/ψ和R（θ）/κ也是比例的。此外，根据（54）和（55），这些导数的真实值与相同的因子成比例，这意味着R（θ）/ψ和R（θ）/κ相等。因此，我们只显示κ的结果。如图1所示，LRM估计器是无偏的。此外，当S从10增加到10时，其变异性显著降低，变得非常小（大多数估计的相对误差小于5%）。x=（9，9）的变异性最低，这可能是因为这种配置对应的是迄今为止最大的灵敏度和相对灵敏度。在某种程度上，我们可以预期估计的准确性是相对灵敏度绝对值的递增函数。然而，这似乎更为复杂：x=（3，2）的变异性低于x=（1，1），并且对于所有站点组合，β=3的变异性低于β=2的变异性。总体而言，无论灵敏度（或相对灵敏度）是低还是高，LRM估计器在所有配置中都非常令人满意。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-1-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。

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2022-6-11 06:36:42

误差图1：关于κ的导数的每个估计值的相对误差箱线图。每一行对应一组站点：从上到下，x=（1，1），x=（3，2）和x=（9，9）。3.2.2史密斯油田的IPA我们考虑两种场地组合：我们设置x=（0，0）和x=（1，1），（3，2）。此外，我们取∑=0.88 0.070.07 2.43,η=η=26.12，τ=τ=2.92，ξ=ξ=-0.10，即第3.3节中获得的估算值。与第3.2.1节不同，我们不考虑情况x=（9，9），因为在该配置中，R（∑）近似等于0。注意，我们没有显示σ的结果，因为它们与σ的结果完全相同，与理论一致。术语的分析计算Y∑（xj）/∑，j=1，2，这是实施IPA所必需的（见（17）），需要“风暴”中心的坐标（见Smith，1990，以风暴的形式解释Smith场），实现站点xj的最大值（见第A节（29））。2). 据我们所知，这些数量无法从Web上可用的模拟算法中获得（例如，Ribatet et al.（2018）的SpatialExtenres等R软件包或Biometrika网站上的Dombry et al.（2016）代码）。为了克服这一障碍以及其他技术原因，我们采用Schlather（2002，定理4）的方法，自行编制了Smith随机场的模拟算法。关于该方法中出现的数量r，我们采用值r=15，以确保精确模拟。相应的代码将可用。表2显示，当β从2增加到3时，灵敏度和相对灵敏度略有下降，而R（∑）略有增加。

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能者818

2022-6-11 06:36:45

相对灵敏度最高，forx=（3，2）；它们的σ和σ值非常高（σ值约为36%，σ值超过160%），这可能是因为R（σ）值较低。σ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑R（1，但用于R（∑）/σ|Σ=Σ, R（∑）/σ∑=和R（∑）/σ|Σ=Σ.图2-4表明，IPA估计器是无偏的（至少对于足够大的S而言），并且在预期情况下，当S从10增加到10时，可变性减小。在大多数情况下，它达到了一个较低的水平（大多数估计的相对误差小于5%）。在x=（3，2）的情况下，变异性稍低，这可以解释为，在这种情况下，相对灵敏度要大得多。然而，σ系数正好相反，与情况x=（1，1）相比，相对灵敏度的增加低于其他系数。此外，σ的变异性系统地高于其他系数，并且，无论系数和位点组合如何，β=3的变异性往往低于β=2的变异性。我们直觉上希望该方法在相对灵敏度较高的情况下表现最好，但我们看到它似乎更复杂。总的来说，无论灵敏度（或相对灵敏度）是低还是高，IPA在本例中的表现都非常好。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。误差图2：导数相对于σ的每个估计值的相对误差箱线图。每行对应一组站点：从上到下，x=（1，1）和x=（3，2）。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-1-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-1-0.50.00.5相对湿度。

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能者818

2022-6-11 06:36:48

错误图3：与σ的图2相同。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-2.-101Rel。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-2.-1012雷尔。错误图4：与σ的图2相同。3.3应用本节致力于计算对保险/再保险行业有价值的区域案例研究中度量值R（θ）（见（21））的敏感性。我们考虑保险/再保险起着重要作用的地区的具体风速数据，对于这些地区，文献中明确记录了极端风速造成的损失的幂律型损害函数。3.3.1数据我们考虑来自欧洲中期天气预报中心（ECMWF）的公开数据，更准确地说是ERA5（ECMWF再分析第五代）数据集的子集。更具体地说，我们研究的数据包括1979年1月1日07:00至2019年6月1日00:00的每小时10米阵风时间序列。我们考虑的区域是从6开始的矩形o至9.75o经度和49.75o至52.25o纬度，分辨率为0.25o纵向和0.25o纬度见图5。因此，矩形包含176个网格点，基本上以德国鲁尔地区为中心。该地区每单位地表的总住宅保险价值较高，根据Prahl等人（2012年，图2），指数约为8的幂律型损害函数似乎适用于该地区住宅建筑的保险损失（由于高风速）。在每个网格点，我们计算41个季节（从10月到3月）的最大值，从而得出我们用于为Yθ建立不同maxstable模型的数据集。

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2022-6-11 06:36:51

对于第一季，最大值在1月至3月计算。考虑到10月至3月期间，我们可以消除风速时间序列中的季节性非平稳性，并主要关注冬季风暴（而不是强烈夏季雷暴期间发生的高度局部化的右旋风）。47.550.052.555.04 8 12经度（°）纬度（°）图5：考虑区域（由阴影矩形表示）。3.3.2结果我们考虑的最大稳定模型是（7）中规定的具有半变异函数的Brown-Resnick随机场和Smith场。关于位置、比例和形状参数，将其视为整个区域的常数是合理的（在随后的文章中将很快提供的相同数据的更详细分析中显示）。使用趋势面（而不是考虑每个网格点的特定参数）对这些参数进行建模是常见的，因为它可以缩短估计时间，并允许在没有观测的地点进行预测。这两个模型都是使用最大成对似然估计（例如，Padoan et al.，2010；Davison et al.，2012）在SpatialExtremes的Fitmastab函数中实现的（Ribatet et al.，2018）。在一个步骤中估计边际参数和依赖参数。然后通过最小化复合似然信息准则（CLIC）进行模型选择；见Varin和Vidoni（2005）。表3显示，根据CLIC，Brown–Resnick随机场比Smith随机场更符合我们的数据。我们还用各种相关函数（Whittle Matérn、幂指数和Cauchy）对Schlather随机场（Schlather，2002）进行了拟合，根据CLIC，Brown–Resnick随机场更合适。这与Davidson等人获得的结果一致。

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2022-6-11 06:36:54

（2012）在降雨的情况下。Brown–Resnick CLICκψητξ6020169 3.05（0.98）0.86（0.06）26.11（0.41）2.90（0.24）-0.11（0.03）Smith-CLICσσσητξ6084169 0.88（0.17）0.07（0.03）2.43（0.47）26.12（0.38）2.92（0.22）-0.10（0.01）表3：Brown–Resnick和Smith max stablerandom油田的CLIC值和拟合参数。括号内的值为标准误差。图6显示，修正后的Brown-Resnick模型的理论极值系数函数（如Schlather和Tawn，2003）与经验极值系数相当吻合，但略高于其组合估计值。这种对空间相关性的低低估可能来自于对位置、尺度和形状参数选择非常简洁的趋势面。图6中所做的比较构成了最大稳定模型的经典图形拟合优度诊断，并且在此表明，所提议的模型能够很好地满足本应用的数据要求。0 1 2 3 41.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0距离（°）图6：拟合模型的理论极值系数函数（红线）和经验极值系数（点）。灰点和黑点分别是成对和分格（1000个分格）估计值。最终相关性度量isR（θ）=CorrXθ（X），Xθ（X）, x、 x个∈ R、（26）其中，Xθ是一个普通的棕色-雷斯尼克油田，其边际参数如表3所示，我们旨在提供θ=（3.05，0.86）的导数。由于Brown–Resnick随机场是风速最大值的合适模型，而幂律8是合适的损伤函数的指数，因此这种依赖性度量非常适合考虑地区的（再保险）保险公司。对于第3.2.1节中相同的场地组合，表4给出了由Rm获得的灵敏度值及其相对应值。

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mingdashike22

2022-6-11 06:36:57

如果我们将原点（0，0）分别放在矩形的左侧和左下角，则组合x=（0，0），x=（1，1）和x=（0，0），x=（3，2）对应于我们感兴趣区域内的成对站点；根据场的平稳性，可以任意选择理论原点。即使我们将矩形的左下角作为原点，站点x=（9，9）也远位于我们区域的东部，但我们选择它是为了强调，对于距离很远的站点，灵敏度可能非常高。相对灵敏度在绝对值上略低于β=2和β=3的情况（见表1）。然而，它们可以是非常基本的（例如，对于ψ，在x=（1，1）的情况下，对于κ，在x=（3，2）的情况下），或者非常高（对于κ和ψ，在x=（9，9）的情况下），这突出了在具体的风险评估研究中强烈建议关注敏感性。xκψκψR（θ）（1，1）0.039 0.106 0.046 0.126 0.840（3，2）0.068-0.041 0.100-0.059 0.685（9，9）0.096-0.486 0.278-1.409 0.345表4：左面板给出了R（θ）/κ|θ=θ和R（θ）/ψ|θ=θ，用于不同的场地组合。中间的一个显示由R（θ）归一化的先前值。右图给出R（θ）。灵敏度和归一化灵敏度已使用LRM方法计算，S=10.4讨论最大稳定随机场特别适用于极端空间（如环境）事件的建模，如果适用，LRM和IPA是估计模型参数预期性能偏差的强大技术。在本文中，我们将这两种方法引入极值理论，并将其应用于基于Brown-Resnick和Smith最大稳定随机场的预期性能。在第一部分中，我们为这些领域提供了方便和可处理的条件，以确保RM和IPA的有效性。

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