我们在图2左图中绘制了总体极限损失Dt和类型pi的极限损失Dt（pi），i=1，2。我们还绘制了大型系统默认聚类中总体网络效应的经验平均值19图1。不同截断水平下的总极限损失密度DTK=5、10、20、50。图2右图中，极限损失率dt和两种类型的极限损失率的经验平均值dt（pi），i=1，2，直到时间T=1。图2：。左：总极限损耗密度DT和类型i极限损耗DT（pi），i=1，T=1时为2；右图：总体极限损失的经验平均值DT和类型DT（pi）的极限损失的经验平均值，i=1，2直到时间T=1。在图3中，我们绘制了两种不同类型名称的全系统默认值对名称n（即Qt（pn））的平均影响，作为时间t的函数。这里的名称n可以是两种类型中的一种，类型1或类型2，如参数20 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGβC，1，βC，2所示。从图中可以看出，Qt（p）≥ Qt（p），这是由于βC，1>βC，2的传染系数的关系而预期的。图3：。从系统范围默认值到时间T=1.5.2，对类型1 Qt（p）和类型2Qt（p）名称的平均影响。两级互动案例。在本例中，我们现在考虑以下情况： 有两个正特征值。这相当于有一个具有两个交互级别的异质池，d=2。在本例中，我们还将从数值上测试低阶近似值对极限损失的影响，以及系统范围内默认值对给定名称的平均影响。让我们为参数κ=4，θ=0.5选择以下值， = 0.5，X=0.2，σ=0.9，α=4，λ=0.2，λ=0.2，βS=2。

此外，让我们考虑N=1000个名称的apool。此外，我们假设50%的βCn，1（一级相互作用）取βC值，1=0.2050，其余50%的βCn，1取βC值，2=0.3980。所有的ln，取l=0.0316的值。此外，2/3的βCn，2的（第二级相互作用）取值βC，1=0.0009，其余1/3的βCn，2的取值βC，2=0.0022。最后，50%的ln，2取l=0.0043，而其余50%的ln，2取l=-0.0022.与前一个示例一样，我们略微滥用符号并定义了离散的区域变量▄βC、▄βC、▄和▄，使得P（▄βC=βC，1）=1/2，P（▄βC=βC，2）=1/2，P（▄▄▄=l）=1，P（▄βC=βC，1）=2/3，P（▄βC=βC，2）=1/3P（▄▄=l）=1/2。我们假设随机变量▄βC、▄βC、▄`、▄`、▄'是独立的。大系统默认聚类中的网络效应21对应的邻接矩阵, 奇异值分解有两个非负特征值10和1。右矩阵的第一列取两个值0.0205和0.0398，频率相同。这确实对应于两个值βC，1=0.0205·10=0.2050和βC，2=0.0398·10=0.3980。右矩阵的第二列取两个值0.0009和0.0022，频率比为2:1。这实际上对应于两个值βC，1=0.0009·1=0.0009和βC，2=0.0022·1=0.0022。左矩阵的第一列仅取一个值0.0316。左矩阵的第二列采用频率相等的两个值0.0043和-0.0022。现在让我们用uk（t；k，k，k）表示时间t的第k个时刻，其中k，k，k∈ {1，2}分别为▄βC、▄βCand▄的选择指数。例如，k=1、k=1、k=2对应于选项▄βC=βC、1、▄βC=βC、1和▄`=l。

那么耦合系统中总共有2=8个方程。然而，由于特殊的结构，我们最终只得到了4个不同的方程。特别是对于k，k，k∈ {1，2}我们有duk（t；k，k，k）=英国（t；k，k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-英国+1（t；k，k，k）}英国+英国-1（t；k，k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λk）+Gk（t；k，k）dt+βSpXtkuk（t；k，k，k）dvt通知k的uk（t；k，k，1）=uk（t；k，k，2），k=1，2。我们用初始条件补充uk（t；k，k，k）以及uk（0；k，k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，我们定义k（t；k，k）=klβC，kXi，i，iu（t；i，i，i）p（▄βC=βC，i，▄βC=βC，i，▄`=li）+kβC，kXi，i，iliu（t；i，i）p（▄βC=βC，i，▄`=li），其中k，k=1，2。然后我们得到了总损失率为NT≈ Dt=1-Xk，k，ku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk）。类型（k，k，k）的损失率，其中k，k，k=1，2基本上只随k而变化，k的形式为DNt（k，k，1）≈ Dt（k，k，1）=1- u（t；k，k，1），Dt（k，k，1）=Dt（k，k，2）。从系统范围的默认值到时间t，对名称n的平均影响仅通过相应地选择k和k通过|βc和|β来确定。特别是，我们有QN，nt≈ Qt（k，k）=βC，kLt+βC，kLt，其中j-相互作用的第th级，j=1，2，我们有lt=l- lXk，k，ku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk）Lt=XklkP（▄`=lk）+Xk，k，klku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk）22 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yanglos由于假设的独立性，所有联合概率都可以写为边际概率的乘积，例如，P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k， `=lk）=P（￠βC=βC，k）P（￠βC=βC，k）P（￠`=lk）。与前面的示例一样，我们选择时间端点为T=1。我们进行时间步长为0.01的数值迭代。我们经营着5万辆蒙特卡洛梯。在图4中，我们显示了不同截断水平K=5、10、20、50时池中总极限损失率的密度。

同样，对于所有这些不同的截断级别，结果在视觉上无法区分，这意味着截断机制即使对于较低级别的截断也是可靠的。图4：。不同截断水平下的总极限损失密度DTK=5、10、20、50。在以下实验中，我们仍然选择截断水平K=20，并在图5的左图中绘制总体极限损失率Dt和不同类型Dt（K，K），K，K=1，2的极限损失率。我们还绘制了总体极限损失率的经验平均值和不同类型随时间变化的损失率DT的经验平均值DT（k，k），k，k=1，2在图5的右图中。在图6中，我们绘制了从类型（k，k），k，k=1，2due到时间T=1的系统范围默认值对名称的平均影响。正如我们在本节开头所讨论的，SVD有助于将网络交互分解为r平均场类型的交互级别。我们仅通过保持第一级交互来测试低阶近似的影响。这就挑出了最重要的互动层次的贡献。换句话说，我们替换 byA=Aprox=ξ\'ut，这将问题简化为一级交互问题。比较我们从两级相互作用情况下得到的总极限损失dt及其第一级相互作用近似值Dapprox，t，见图7的左图，我们得出极限损失过程的分布实际上是不可区分的。大型系统默认集群中的网络效果23图5。左：T=1时，总极限损耗DT和DT（k，k）型极限损耗DT的密度；右图：截至时间T=1，总极限损失DT的经验平均值和DT（k，k）型极限损失的经验平均值。图6：。

从系统范围默认值到时间T=1，对类型（k，k）、Qt（k，k）名称的平均影响。从图7的右图中可以得出类似的结论，其中我们绘制了两个相互作用水平下的总体极限损失率的经验平均值，例如dt和第一个相互作用水平近似值Dapprox，T。这反过来意味着，在这些计算中，可以忽略第二个相互作用水平。最后，我们研究了两级交互案例及其一级交互案例的系统范围内的违约对名称的平均影响，约为24 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGFigure 7。左：总极限损失dt和总极限损失Dapprox的密度，T从T=1时的秩一近似值；右图：总体极限损失的经验平均数dt和秩一近似值Dapprox中极限损失的经验平均数，Tupto时间T=1。版本比较。在图6中，我们看到，对名字的平均影响主要取决于▄βC，而不是▄βC。这将在一级交互近似情况下得到进一步验证，在这种情况下，我们仅使用βCand和LNt的第一个条目的信息，即仅使用第一级交互的信息，计算这两种类型的近似平均影响，如图8所示。图8：。在粗粒度情况下，从系统范围内的默认值到时间t对不同类型名称的近似平均影响。大型系统默认集群中的网络效应25QN，napprox，t（pi）≈ βC，iLapprox，t，对于i=1，2。比较图6和图8，我们可以看到，具有最大特征值的第一级交互作用确实捕捉到了▄βC所定义类型的给定名称上的平均影响行为。此外，请注意，对于所有类型，对类型2名称的平均默认影响大于对类型1名称的平均默认影响∈ [0, 1].

由于βC，2>βC，1.5.3的关系，这是可以预期的。核心-外围示例一：齐次均值回复系数。核心外围（CorePeripheral）案例是金融相关应用的合理现实模型，参见示例【11，25】。在核心-外围模型中，一个具有构成网络核心的几个名称，并且在很大程度上相互依赖，从某种意义上说，它们构成了网络中最具影响力的部分，而外围则由池中其他名称组成，它们之间的依赖性较小。核心机构向外围至少一家机构借贷。基于这种结构，让我们考虑N=1000个名称和适当邻接矩阵的情况. 为了便于说明，10×10块 Is给出人：10×10=0 10 1 10 10 1 10 1 1 1010 0 1 1 10 10 10 1 10 11 1 0 1 1 1 1 1 1 15 1 1 0 1 1 1 1 1 15 5 1 1 0 1 1 1 1 11 5 1 1 1 0 1 1 1 15 1 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 0 1 11 5 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0这种矩阵的奇异值分解给出了5个特征值1029、143、137.8、59.9和58.5，显著大于其他特征值，其中第一个特征值最大。因此，在低阶近似的激励下，我们可以使用前几个层次的相互作用来近似网络的行为。5.3.1. 核心-外围的一级相互作用近似。让我们选择第一个特征值进行低阶近似。与前面的示例类似，我们定义了离散随机变量▄βCand▄，并从SVD中取相应相对频率的值。结果表明，SVD成分产生了六个不同的值，分别对应于▄βc和▄▄的三个不同值。我们分别记录表1和表2中的值。βCβC，1βC，2βC，3βC，4βC，5βC，6值31.0514 32.4883 32.5136 33.9505 73.6927 74.4088表1。

~βC的可能值。让我们为参数κ=4，θ=0.5选择以下值， = 0.5，X=0.2，σ=0.9，α=4，λ=0.2，λ=0.2，βS=2。让我们用uk（t；k，k）表示时间t和k的第k时刻∈{1，2，…，6}和k∈ {1、2、3}分别是▄βC和▄▄的索引选择。26 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANG  ll值0.0308 0.1597 0.1625表2。的可能值。例如，k=1，k=2对应于选择▄βC=βC，1和▄`=l。▄βC和▄▄的经验联合分布总结如下。kkprobability6 0.0015 2 0.0014 1 0.2273 1 0.2382 1 0.2281 1 0.305表3。~βc和 `的联合分布。通常，耦合系统中总共有6×3=18个方程。然而，由于特殊的结构，我们最终只得到6个不同的方程。根据表3所示的k、kas的可用组合，wehaveduk（t；k，k）=英国（t；k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-英国+1（t；k，k）}dt+英国-1（t；k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λk）+Gk（t；k）dt+βSpXtkuk（t；k，k）dVt，连同uk（0；k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，其中我们定义了k（t；k）=Xi，iliu（t；i，i）P（▄βC=βC，i，▄`=li）kβC，k。尤其是英国（t；k，k）仅受指数k通过Gk（t；k）的影响。一级相互作用近似下的总损失率为n1约，t≈ d1近似值，t=1-Xk，ku（t；k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk）。类型（k，k）的损失率，其中k=1，2。

，6和k=1，2，3在一个相互作用近似水平上，实际上分为6个不同的类别，以k为指标，选择βC.DN1approx，t（k，k）≈ d1近似值，t（k，k）=1- u（t；k，k）。从系统范围内的违约到时间t，对名称n的平均影响仅由第一个指数kQN，n1approx，t（k，k）表征≈ Q1approx，t（k）=βC，kL1approx，t，大型系统默认群集中的网络效应27对于任何k=1，2，3，带l1approx，t=XklkP（`=lk）-Xk，klku（t；k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk）与前两个示例一样，我们在水平k=20处截断，并选择时间端点为t=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数值迭代。我们进行了50000次蒙特卡罗试验，绘制了总体极限损失率D1approx，t，k=1，2，…，以及不同类型Dk1approx，t，k=1，2，…，的极限损失率，图9中的6。请注意，分布的平均值是如何随着kincreates的值向右移动的，这表示随机变量▄βCtakes的值增加了。我们在图10中绘制了整个池和各个类型的损失率随时间的平均值。我们观察到，随着kinvalue的增加，该图显示了更大的损失，这表明βcw值较大的名称更有可能出现错误，从而对潜在的默认聚类事件作出更大的贡献。图9：。总极限损失密度D1approx，和D1approx类型的极限损失，T（k）在T=1时。在图11中，我们绘制了从系统范围内的默认值到时间t对名称的平均影响。正如我们之前讨论的那样，共有6个不同的类别被k索引，k是▄βC的选择。5.3.2. 核心-外围的两级相互作用近似。现在，让我们通过基于前两个交互级别进行低阶近似来研究核心-外围情况。从奇异值分解来看，第二大特征值是143。

下面，我们总结了SVD分解矩阵第二列中系数的经验分布。表4是针对系数βC的，表5是针对系数βC的。现在让我们用uk（t；k，k，k，k）表示时间t与k的第k时刻∈ {1，2，…，6}，k∈ {1，2，…，9}，k∈ {1、2、3}和k∈ {1，…，5}是28名康斯坦蒂诺·斯皮利奥普洛斯和贾扬图10。总体极限损失的经验平均值D1approx，tand D1approx类型的极限损失的经验平均值，T（k）直到T=1图11。对不同类型名称的平均影响，与第一级近似的核心-外围情况下截至时间t的全系统违约相比。βCβC，1βC，2βC，3βC，4βC，5βC，6βC，7βC，8βC，9值-12.7072-12.1454-5.7944 0.2753 0.2777 0.5080 0.5105 6.5777 6.5801表4。~βC的可能值。分别为▄βC、▄βC、▄和▄选择索引。例如，k=1，k=1，k=2，k=1对应于选项▄βC=βC，1，▄βC=βC，1，▄`=土地▄`=l。大型系统默认群集中的网络效果29▄▄▄LLL值-0.0107-0.0081-0.0054 0.6674 0.7002表5。的可能值。~βC、~βC、▄和▄的经验联合分布总结如下。KKKK6概率6 1 3 5 0.0015 2 4 0.0014 9 1 2 0.0894 9 1 0.1204 8 1 3 0.0183 7 1 2 0.1713 6 1 3 0.0672 5 1 2 0.1722 4 1 3 0.0561 3 0.305表6。~βC、~βC、~`和~`的联合分布。通常，耦合系统中总共有6×9×3×5=810个方程。然而，由于特殊的结构，我们最终只得到了10个不同的方程。

根据表6中所示的k、k、k、kas的允许选择，我们有duk（t；k、k、k、k）=英国（t；k，k，k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-uk+1（t；k，k，k，k）}dt+uk-1（t；k，k，k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λk）+Gk（t；k，k）dt+βSpXtkuk（t；k，k，k，k）dVttogether with uk（0；k，k，k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，其中我们定义了gk（t；k，k）=kβC，kXi，i，i，iliu（t；i，i，i，i）P（▄βC=βC，i，▄βC=βC，i，▄`=li，▄`=li）+ kβC，kXi，i，i，iliu（t；i，i，i，i）P（▄βC=βC，i，▄βC=βC，i，▄`=li，▄`=li）.特别是，英国（t；k，k，k，k）仅受k，kthroughGk（t；k，k）选择的影响。总损失率为n2approx，t≈ D2近似值，t=1-Xk，k，k，ku（t；k，k，k，k，k）·P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk，▄`=lk）DN2约，t（k，k，k，k）≈ D2近似值，t（k，k，k，k）=1- u（k，k，k，k）。30 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang类型（k，k，k，k）对名称n的平均影响，其中k=1，2，6，k=1，2，9，k=1，2，3和k=1，2，5，再次由选项k和k确定，即▄βc和▄β峰值qn，n2approx，t（k，k，k，k）≈ Q2approx，t（k，k）=βC，kL2approx，t+βC，kL2approx，t，其中对于第j级相互作用，j=1，2，在两级相互作用近似中，t=XklkP（`=lk）-Xk，k，k，klku（t；k，k，k，k，k）·P（～βC=βC，k，～βC=βC，k，～βC=βC，k，～lk，～lk）L2approx，t=XklkP（～lk）-Xk，k，k，klku（t；k，k，k，k，k）·P（▄βC=βC，k，▄βC=βC，k，▄`=lk，▄`=lk）。与前一个示例一样，我们在级别K=20处截断，并选择时间端点为T=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数值迭代。我们进行了50000次蒙特卡罗试验，并绘制了两级相互作用近似下的总体极限损失D2approx。

在图12的左图中，我们看到这两个近似值在估计总体损失率时表现相似。这也可以通过图12右图中两种近似值的总损失率随时间变化的平均值图进行验证。图12：。左：一级近似值D1approx和二级近似值D2approx的总极限损失，Tat T=1；右图：秩一近似值D1approx，秩二近似值D2approx，Tup totime T=1的总体极限损失的经验平均值。我们还可以研究在两级交互近似情况下对名称的平均影响。根据表6，我们将有10种不同类型的平均影响，即在两级交互近似情况下，大型系统31的默认聚类中的网络效应。如图13所示。图13：。对不同类型名称的平均影响，从时间t的全系统默认值到核心-外围情况的平均影响，通过排名一（实线）和排名二（虚线）的颜色来区分kinβC的选择，kIt有指导意义的是，将仅基于交互作用等级的低排名近似值与基于前两个交互作用等级的低排名近似值进行比较。虚线与图13中的实线非常接近。事实上，我们通过两种不同的近似值，即PEt（k，k）=| Q2approx，t（k，k），数值计算了平均影响aname的百分比误差- Q1approx，t（k）|/Q2approx，t（k，k），并且在所有情况下，使用一级相互作用近似与两级相互作用近似所产生的百分比误差在t的所有时间均不大于1.7%∈ [0, 1].

出于比较目的，我们还提到，基于两级交互近似的dt和qt计算量大约是基于一级交互近似的dt和qt计算量的两倍，这表明在保持准确性的同时节省了计算时间。最后，请注意，全系统违约对k=1、····、6类名称的平均违约影响是根据相应的传染系数βC、kvia表1.5.4的顺序排序的。核心-外围示例二：非齐次均值回复系数。现在我们研究具有非齐次均值回复系数的核-外围情况。我们假设均值回复系数λ在网络核心部分和外围部分的名称中采用不同的值：？λ=？λ核心=0.02和？λ=？λ外围=0.2，其余系数以及网络结构与之前第5.3.32小节的一级近似示例相同。KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yango注意“λcore=0.02”和“λperiphery=0.2”这两个选项代表了一种预期，即核心机构比外围机构更难违约。在我们研究的强度模型中，较小的均值回复参数|λ意味着较小的强度到默认过程。在这个例子中，我们只研究秩一近似。毕竟，正如我们在第5.3小节中所示，这种近似方法有助于准确捕捉我们感兴趣的动力学量。让我们用uk（t；k，k，k）表示时间t与k的第k时刻∈{1，2，…，6}，k∈ {1，2，3}和k∈ {1，2}分别是▄βC、▄和▄λ的选择指数。例如，k=1，k=2，k=1对应于选项▄βC=βC，1，▄`=land▄λ=▄λ=▄λ=▄λcore=0.02。

λβC、∧`和λ的经验联合分布总结如下。kkkprobability6 3 0.0015 2 0.0014 1 2 0.2273 1 2 0.2382 1 2 0.2281 1 1 2 0.305表7。联合分布为￠βC，￠`和￠∧。由于我们系统的特殊结构，我们最终得到了6个不同的方程，如表7所示：duk（t；k，k，k）=英国（t；k，k，k）(-\'-αk+βSκ（θ- Xt）k+0.5（βS）Xtk（k- 1))-英国+1（t；k，k）}dt+英国-1（t；k，k，k）（0.5σk（k- 1） +α′λkk）+Gk（t；k）dt+βSpXtkuk（t；k，k，k）dVt，连同uk（0；k，k，k）=R∞λk（π×∧）（^p）dλ，其中我们定义了k（t；k）=Xi，i，iliu（t；i，i，i）P（▄βC=βC，i，▄`=li，▄▄λ=▄λi）kβC，k。特别是，uk（t；k，k，k）仅取决于k，kvia Gk（t；k）和|λk。在一个相互作用近似水平上的总损失率为n1约，t≈ d1近似值，t=1-Xk，k，ku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk，▄▄λ=▄λk）。类型（k，k，k）的损失率，其中k=1，2，6，k=1，2，3和k=1，2在一级相互作用近似中，实际上可分为6个不同类别，以k为索引，选择βC.DN1approx，t（k，k，k）≈ d1近似值，t（k，k，k）=1- u（t；k，k，k）。如表7所述，从系统范围内的默认值到时间t，与类型（k，k，k）相关，对名称n的平均影响由大型系统默认聚类中的网络效应33第一指数kQN，n1approx，t（k，k，k）表征≈ Q1approx，t（k）=βC，kL1approx，t，对于任何k=1，2，3，4和k=1，2，带l1approx，t=XklkP（`=lk）-Xk，k，klku（t；k，k，k）P（▄βC=βC，k，▄`=lk，▄▄λ=▄λk）。与前面的示例一样，我们在级别K=20处截断，并选择时间端点为T=1。我们在时间步长为0.01的情况下进行数值迭代。我们进行了50000次蒙特卡罗试验，绘制了总体极限损失率D1approx，t，k=1，2，…，以及不同类型Dk1approx，t，k=1，2，…，的极限损失率，图14中的6。

在图15中，我们还绘制了整个池和各个类型的损失率随时间变化的平均值。我们观察到，由于均值回复值较小，网络核心部分的名称比网络外围部分的名称更不可能默认。这基本上证实了我们在这种情况下的预期。此时，将图14与图9以及图15与图10进行比较是指示性的。图14：。总极限损失密度D1approx，以及D1approx类型的极限损失，T（k）在T=1时。在图16中，我们绘制了从系统范围内的默认值到时间t对名称的平均影响。正如我们之前所讨论的，共有6个不同的类别，通过选择βC.6来表示。limitLet的紧性和特征我们现在讨论{uN}N族的相对紧性∈Nand将其极限表示为N→ ∞.引理6.1。族{uN}N∈Nis相对紧凑，如DE[0，∞)-valuedrandom变量。34 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang图15。总体极限损失的经验平均值D1approx，tand D1approx类型的极限损失的经验平均值，T（k）直到T=1图16。对不同类型名称的平均影响，与第一级近似的核心-外围情况下截至时间t的全系统违约相比。证据根据附录A中证明的引理4.2，引理的证明如[20]第6节所示。因此，省略了细节。接下来，我们要使用鞅问题来确定uN的极限为Ngrows。设S为Φ（x，u）=Д（x）Д（hf，uiE，hf，uiE，…，hfM，uiE）形式的元素Φ在B（R×P（^P））中的集合，在大型系统35的默认群集中，对于一些∈ N、 一些^1∈ C∞（R） ，^1∈ C∞（RM）和一些{fm}Mm=1in C∞（^P）。然后S分离概率测度空间P（^P）。

那么考虑S上的鞅收敛问题就足够了∈ C∞（^P）并了解f、 uN当其中一家公司违约时。假设第n个公司在时间t默认，其他公司在时间t没有默认（默认同时发生，概率为零）。我们有f、 uNtE=NX16n6Nn6=nfpN，n，λn，nt-+NrXj=1ξjun，jln，jMN，nt，其中，当N中有一个默认值时，我们使用了λN中的跳跃大小，nat时间t-该公司为NPRj=1ξjun，jln，j。此外，注意到MN，nt=0（自公司在时间t时的默认值为tλN，nsds=en），giveshf，unt-iE=NX16n6Nn6=nf（pN，n，λn，nt-)MN，nt+Nf（pN，n，λn，nt-).因此，我们有HF，uNtiE- hf，uNt-iE=JfN，n（t），其中JfN，n（t）=NX16n6NfpN，n，λn，nt-+NrXj=1ξjun，j\'n，j- f（pN，n，λn，nt-)MN，nt-Nf（pN，n，λn，nt-).对于f∈ C（R）定义操作员org（f）（x）=b（x）fx（x）+σ（x）fx（x）。此外，确定运算符（AΦ）（x，u）=G（Д）（x）Дhf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE+MXm=1х（x）φxm公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE×Lfm，uE类+Lxfm，uE类+ιν, uE类·Lxfm，uE+MXm=1φx（x）φxm公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiEhσ（x）Lxfm，uiE+MXp，q=1Д（x）φxp系统xq公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE×hLfp、uiEhLfq、uiE.36 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGand（BΦ）（x，u）=σ（x）φx（x）Дhf，uiE，hf，uiE，hfM，uiE+ ^1（x）MXm=1φxm公司hf，uiE，hf，uiE，hfM，uiEhLxfm，uiE。然后，定理6.2描述了可能的极限点。定理6.2。我们有那个Limn→∞EΦ（Xt，uNt）- Φ（Xt，uNt）-Ztt（AΦ）（Xs，uNs）ds-Ztt（BΦ）（Xs，uNs）dVsJYj=1ψj（xrj，uNrj）= 0对于任何Φ∈ S和0≤ r≤ r≤ ··· ≤ rJ=t<t<t和{ψj}Jj=1∈ B（R×E）。证据首先，我们注意到，MN，nt=1-MN，nt-ZtλN，nsMN，nsds是鞅。

这意味着我们可以写（1- MN，nt）=dMN，nt+λN，ntMN，ntdt通过It^o公式我们得到dhf，uNtiE=NNXn=1hLf（^pN，nt）+λN，ntf（^pN，nt）iMN，ntdt+NNXn=1hLXtf（^pN，nt）iMN，ntdt+NNXn=1σN（λN，nt）ρfλ（^pN，nt）MN，ntdWnt+NNXn=1LXtf（^pN，nt）MN，ntdVt+NXn=1JfN，n（t）d[1- MN，nt]=hLf，uNtiE+ιf，uNtdt+hLXtf，uNtiEdt+NNXn=1σn（λn，nt）ρfλ（^pN，nt）MN，ntdWnt+hLXtf，uNtiEdVt+NXn=1JfN，n（t）d[1- MN，nt]。（13） 大型系统默认集群中的网络效应37再次，根据It^o的Φ（Xt，uNt）公式，我们随后得到Φ（Xt，uNt）=Φ（X，uN）+ZtG（Д）（Xs）Дhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEds+ZtД（Xs）MXm=1φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×nhLfm，uNsiE+ιfm，uNt+ hLXsfm，uNsiEods+ZtMXm=1φx（Xs）φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×σ（Xs）hLXsfm，uNsiEds+ZtД（Xs）NXn=1λN，nsnДhf，uNsiE+JfN，n（s），hf，uNsiE+JfN，n（s），hfM，uNsiE+JfMN，n（s）- φhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEoMN、nsds+Ztσ（Xs）φx（Xs）Дhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEdVs+ZtД（Xs）MXm=1φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEhLXsfm，uNsiEdVs+2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×NXn=1σn（λn，ns）2ρfp公司λ（^pN，ns）fq公司λ（^pN，ns）MN，nsds+MXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×hLXsfp、uNsiEhLXsfq、uNsiEds+NNXn=1MXm=1ZtД（Xs）φxm公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×σn（λn，ns）ρfm公司λ（^pN，ns）MN，nsdWns+ZtД（Xs）NXn=1nДhf，uNsiE+JfN，n（s），hf，uNsiE+JfN，n（s），hfM，uNsiE+JfMN，n（s）- φhf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiEodMN，ns=Xi=1JNi，其中，对于i=1，····，11，JNIRE在最后一个显示器的右侧显示ithterm。请注意，38 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGJN+JN=Zt（BΦ）（Xs，uNs）dVs，以及JN+JN+JN+JN+JN=Φ（X，uN）+Zt（AΦ）（Xs，uNs）-ANSDS，其中▄ANTI定义为▄ANt=MXm=1Д（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE。

，hfM，uNtiE×NNXn=1λN，ntJfmN，N（t）MN，nt。而▄JfN，n（t）定义为▄JfN，n（t）=NX16n6NrXj=1ξjun，j\'n，jfλ（^pN，nt）MN，nt- f（^pN，nt）。注意，我们有rxj=1ξjun，j\'n，j=βCN，n·ln，其中βCN，n=（ξun，1，ξun，2，…，ξrun，r）和ln=（ln，1，ln，2，…，ln，r）。回想一下LF=βCfλ（^p）。式中，βC=（ξu，ξu，…ξrur），我们得到▄JfN，n（t）=ln·Lf，uNtE- f（^pN，nt）。因此，我们得出▄ANt=MXm=1Д（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE，hfM，uNtiE×NNXn=1λN，nthln·Lfm，uNtE- fm（^pN，nt）iMN，nt=MXm=1х（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE，hfM，uNtiE×NNXn=1λN，ntln·Lfm，uNtEMN，nt-NNXn=1λN，ntfm（^pN，nt）MN，nt=MXm=1х（Xt）φxm公司hf，uNtiE，hf，uNtiE，hfM，uNtiE×ιν，uNtE类·Lfm，uNtE-ιfm，uNtE.大型系统默认集群中的网络效应39现在我们证明JN公司-Rt▄ANsds→ 0作为N→ ∞. 表示运算符lf（^p）=σλρfλ表示表达式Φ（Xt，uNt）asRtANsds中的跳跃项jn。现在我们把这个项的极限看作N→ ∞.因此，存在一个常数K，该常数取决于系数的上限，因此JfN，n（t）-NJfN，N（t）KNk公司fλk。因此，我们得到thatlimN→∞EZt | ANs-ANs | ds= 0。接下来让我们展示一下JN→ 0.上述术语jnmxp可以写成，2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×nNNXn=1（Lfp）（^pN，ns）（Lfq）（^pN，ns）MN，nsods=2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×（LfpLfq），uNs编辑：当N变为单位时，该项变为零。实际上，对于给定的M和{fm}Mm=1和t，存在一个常数C，取决于max{p，q=1，…，M}kφxp系统xqkand max{m=1…m}kfmk和系数的上界，2NMXp，q=1ZtД（Xs）φxp系统xq公司hf，uNsiE，hf，uNsiE，hfM，uNsiE×（LfpLfq），uNsEds公司中国大陆-→ 最后，我们处理术语JN和JN。请注意，倒数第二个术语jn是布朗鞅，而术语jn也是鞅。用鞅MNt表示它们的数量。

与上述计算类似的计算结果得出→∞支持∈[0，T]E | MNt |=0，定理的证明是完整的。唯一极限点的识别定理6.2所隐含的极限鞅问题解的唯一性类似于[20]引理7.1的对偶论证，此处不再重复该定理。40 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGLet我们现在在以下两个引理中确定这个独特的解决方案。引理7.1将为我们提供某个随机微分方程的唯一解的存在性，然后将用于确定引理7.2中的唯一极限解。引理7.1。让W*是参考布朗运动，T<∞. 对于每个^p∈^P，其中^P=（P，λ），每个t≤ T有一对唯一的（Qi（T），λ*t（^p），i=1，r） Qi（t）=Z^p∈^PliEVtλ*t（^p）膨胀-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。λ*t（^p）=λ+Ztb（λ*s（^p），a）ds+σ·（λ）*s（^p））ρdW*s+ZtrXi=1βCiQi（s）ds+βSZtλ*s（^p）dXs。引理7.1在附录中得到了验证。引理7.2。Let（Qi（t），λ*t（^p），i=1，r） ，其中^p=（p，λ）是引理7.1的唯一对，vt是由极限X生成的过滤∈B（P）和B∈ B（R+），？u由？ut（A×B）=Z^p给出∈^PχA（P）EVtχB（λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。证据对于任何f∈ C∞（P），定义Vt-DEby theAction HF的自适应随机元素u，utiE=Z^p∈^PEVtf（p，λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。通过It^o公式，我们使用[21]中的引理B.1和B.2，得到DHF，\'utiE==Z^p∈^PEVth（Lf）（p，λ*t（^p））+（LXtf）（p，λ*t（^p））iexp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）}dt+Z^p∈^PEVt（LXtf）（p，λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）dVt+（Z^p∈^PEVt“rXi=1Qi（t）（Lf）i（p，λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）ds#π（dp）∧（dλ））dt=（hLf，\'utiE+hLXtf，\'utiE+rXi=1Qi（t）h（Lf）i，\'utiE）dt+nhLXtf，\'utiEodVt。式中，ι（λ，p）=λ。

定义nowGi（t）=Z^p∈^PEVtli经验值-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。那么，我们有thatGi（t）=-Z^p∈^PEVtliλ*t（^p）膨胀-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）=-hliι，(R)utiE。大型系统默认集群中的网络效应41另一方面，通过引理7.1，我们得到了Gi（t）=-Qi（t），总结了引理的唯一性证明。8、结论和进一步研究工作我们考虑了一个通用的点过程模型，该模型通过加权有向图确定了不同组成部分之间违约的影响，从而在一组组成部分（如公司或名称）中相互作用。该模型具有实证动机，并结合了传染效应、常见的系统风险因素以及特质效应。我们证明了经验生存分布的一个大数定律。然后用它来研究动态感兴趣量的行为，例如池中的平均损失率或系统范围内默认值对给定名称的平均影响。网络结构的存在扩大了我们可以提出的一组有趣的问题，同时允许通过奇异值分解论证来减少低阶近似的计算负担。我们在这里没有解决的一个有趣的问题是，选择的影响，例如强度到默认过程的特殊成分中的双稳态。由此类选择引发的问题，以及包括最可能违约路径研究在内的其他问题，更适合于大偏差分析，这将在后续工作中进行。

在目前的工作中，我们专注于建立此类模型的数学适定性，并在数值上探索网络结构和低阶近似对感兴趣量的典型行为的影响。另一个潜在的有趣的问题是，当一个人想让低阶近似的秩 随着N的增加，假设r=r（N）→ ∞.在这种情况下，我们期望术语QN，nt=βCn·LNtin方程（6）应按r（N）标度，从而用r（N）βCn·LNt代替。我们在本文中不研究这个问题，但我们相信本文中开发的技术将有助于解决这个问题。附录A。附录在这个附录中，我们证明了整篇论文中使用的引理。我们在此指出，在本附录中的结果证明中遇到了由于在强度过程的特殊部分中删除某一结构而产生的大多数技术难题。设ξ是具有r分量的过程向量，可预测、有界、右连续、单调且ξ=0。定义过程zt=λ+βC·ZteΓsdξs.Lemma A.1。让p≥ 1应确保假设3.8和3.9成立。然后我们得到了[Z2pt]1/（2p）≤ λ+| |βC | E[e2pΓt]1/（2p）+t1-1/2便士中兴通讯e4pΓsds公司1/4pZt | |βC | 1/4p（βS）1/4pE[b（Xs）]4pds公司1/4便士。特别是，我们有一个有限常数0<K<∞ 使E[Z2pt]≤K、 42 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang引理A.1的证明。

注意，zt可以写成zt=λ+βC·{eΓtξt+ZteΓsξsβSb（Xs）ds}=λ+ZteΓsβC·ξsβSb（Xs）ds+βC·ξteΓtNext，假设βC·ξt≤Prj=1 |βCj |=|βC | |，我们得到{E[Z2pt]}1/（2p）≤ λ+| |βC | E[e2pΓt]1/（2p）+（E“ZtβC·ξseΓsβSb（Xs）ds2p#）1/（2p）。通过Cauchy-Schwartz不等式和H¨older不等式，我们得到了（E）ZtβC·ξseΓsβSb（Xs）ds2p#）1/（2p）≤（E）Zte2ΓsdspZt公司βC·ξsβSb（Xs）ds公司p#）1/（2p）≤“EZte2Γsds2p#1/4p“EZt[βC·ξsβSb（Xs）]ds2p#1/4p。通过Holder不等式，Zte2Γsds≤Zt公司e2Γs2p级1/（2p）Zt1ds1.-1/2p=t1-1/2便士Zte4pΓsds公司1/2便士。所以，我们有“E”Zte2Γsds2p#1/4p≤t2p型-1E（Zte4pΓsds）1/4便士。类似地，我们得到“E”Zt公司βC·ξsβSb（Xs）ds公司2p##1/4p≤t2p型-1E级Zt公司||βC | |βSb（Xs）4PD1/4便士。因此，我们有（E“ZtβC·ξseΓsβSb（Xs）ds2p#）1/（2p）≤ t1级-1/2便士中兴通讯e4pΓsds公司1/4pEZt公司||βC | |βSb（Xs）4PD1/4p=t1-1/2便士中兴通讯e4pΓsds公司1/4pZt | |βC | | 4p（βS）4pE[b（Xs）]4pds公司1/4p，总结引理的证明。引理4.1的证明。这个引理的证明将分几个步骤给出。让我们首先讨论λt方程的存在性和唯一性，假设b（λ，α）一致有界。大型系统默认聚类中的网络效应43解λt的存在性和唯一性与[34]第V.11章中的类似。然而，由于这里考虑的模型的特殊性，必要范数的界的推导更加复杂。

下面我们提到唯一性证明所需的调整，因为存在性证明所需的调整基本相同。对于任何M>0，让我们设置M（λ，a）=b（λ，a），对于所有|λ|≤ M、 让ym满足方程ymt=Zt∧τMeΓs[bM（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）]ds+σZt∧τMeΓs（1-ρ） （（YMs+Zs）∨ 0）ρdW s+βSZt∧τMσ（Xs）（（YMs+Zs）∨ 0）dVs，其中τMis通过（14）定义的随机时间τM=inft型≥ 0：| e-Γt（（YMt+Zt）∨ 0）|>米∧ M、 很明显，在时间τM之前，过程YMtwill与过程yt相同，后者以b代替bm作为其相应的漂移系数。现在，我们假设Ymtha的方程是另一个解，可能不同于YMt，用Y0Mt表示，我们用τmt表示相应的随机时间。让我们考虑0<η 1并定义函数（15）ψη（x）=lnη-1Z | x|Zyzχ[η，η1/2]（z）dz注意ψη是一个偶数函数。此外，其第一和第二导数满足ψη（x）=lnη-1Zxz=0zχ[η，η1/2]（z）dz和ψη（x）=lnη-1xχ[η，η1/2]（x）表示所有x>0。单调性参数表明，对于所有x∈ R和η>0，|ψη（x）|≤ 1和| x |≤ ψη（x）+√η.此外，我们注意到（16）ψη（x）≤lnη-1 | x |χ[η，√η） （| x |）≤lnη-1分钟|x |，η,xψη（x）≥ 0表示所有x∈ R、 我们有| YMt- YMt |≤ ψη（YMt- YMt）+√η ≤ D1，Mt+σD2，Mt+（βS）D3，Mt+Mt+√η，其中Mt是鞅，d1，Mt=Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）eΓsbM（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）- bM（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）ds公司≤Zt公司∧τM∧τMψη（YMs- YMs）厘米，1 | YMs- YMs | ds，44 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yango，其中CM，1是截断函数bM（·，a）的Lipschitz常数。此外，D2，Mt=1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）e2Γs（1-ρ） ×h（（YMs+Zs）∨ 0)ρ- （（YMs+Zs）∨ 0）ρids≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）e2Γs（1-ρ） ×h（（YMs+Zs）∨ 0)2ρ- （（YMs+Zs）∨ 0）2ρID≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）e2Γs×e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0)2ρ-e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0)2ρds公司≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）eΓsCM，2 | YMs- YMs | ds≤厘米，2lnη-1Zt∧τM∧τMeΓsds对于某些常数K，其中使用（16）。

这里，CM，2是局部Lipschitz函数f（x）=x2ρ的Lipschitz系数，对于| x |≤ M、 类似地，使用（16）和假设3.8，我们可以显示3，Mt=1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）σ（Xs）h（（YMs+Zs）∨ 0) - （（YMs+Zs）∨ 0）ID≤ 1/2Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）σ（Xs）h（（YMs+Zs）∨ 0)- （（YMs+Zs）∨ 0）ID≤ KZt公司∧τM∧τMψη（YMs- YMs）YMs公司- YMs公司eΓse-Γs（YMs+Zs）+e-Γs（YMs+Zs）ds公司≤ KCM，3Zt∧τM∧τMψη（YMs- YMs）YMs公司- YMs公司eΓsds公司≤KCM，3lnη-1Zt∧τM∧τMeΓsdtheore，我们得到了支持≤T∧τM∧τME | YMt- YMt |≤√η+（σ+βS）TKCM，2+KCM，3lnη-1+厘米，1 ztsups≤t型∧τM∧τME | YMs- YMs | dt。（17） 通过Gronwall引理，我们得到了≤T∧τM∧τME | YMt-YMt |≤√η+（σ+βS）TKCM，2+KCM，3lnη-1.exp{CM，1T}。大系统默认集群中的网络效应45Letη↓ 0，对于任何T>0，我们都有。支持≤T∧τM∧τME | YMt- YMt |=0。也就是说，对于任何M，YMt=YMt∈ N和t≤ T∧τM∧τM.然后设M→ ∞ 通过引理A.2观察到τM，τM几乎肯定会增加到一个整体，我们得到了以下方程的解yt的唯一性：yt=ZteΓs[b（e-Γs（（Ys+Zs）∨ 0），a）]ds+σZteΓs（1-ρ） （（Ys+Zs）∨ 0）ρdW s+βSZtσ（Xs）（（Ys+Zs）∨ 0）dVsLet us立即设置'Yt=Yt+Zt。然后，“Ytsaties”Yt=Zt+ZteΓs[b（e-Γs（(R)Ys∨ 0），a）+σZteΓs（1-ρ） （(R)Ys∨ 0）ρdW s+βSZtσ（Xs）（\'Ys∨ 0）dVs。现在很容易看出λt=e-Γt'Ytis lemma4.1中定义的唯一解决方案。接下来我们证明λt≥ 0。首先，我们注意到Y=Z=λ>0。由函数ψη（·ψη（`Yt）χR的^o公式-（\'Yt）=ψη（\'Y）χR-（\'Y）+Ztψη（\'Ys）χR-（(R)Ys）b（e）-Γs（(R)Ys∨ 0），a）ds+（1/2）σZtψη（(R)Ys）χR-（(R)Ys）e2Γs（1-ρ） （(R)Ys∨ 0）2ρds+1/2（βS）Ztψη（(R)Ys）χR-（\'Ys）σ（Xs）（\'Ys∨ 0）ds+mt，其中mt是鞅。注意，对于s>0，至少有一个χR-（\'Ys）和（\'Ys）∨ 0）必须为零，然后取两边的期望值：E[ψη（(R)Yt）χR-（\'Yt）]=E[Ztψη（\'Ys）χR-（(R)Ys）b（e）-Γs（(R)Ys∨ 0），a）]d注意χR-（(R)Ys）b（e）-Γs（(R)Ys∨0），a）只有在“Ys”时才能取非零值b（0，a）>0≤ 0

另请注意，当x时，ψη（x）取非正值≤ 0，当| x |<η时为0。因此，如果我们让η→ 0上述等式的右侧不大于零。在左侧，回想一下作为η→ 0，ψη（x）变为| x |。因此，让η→ 0，我们有-t] =E[|(R)Yt |χR-（`Yt）]≤ 因此，我们得到了-t] =0，即'Ytis非负，因此λt=e-ΓtΓYtis也不是唯一的。引理的证明到此结束。46 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGProof引理4.2。对于每个N∈ N和N∈ 1, 2, . . . , N定义N，nt=-βSN，nZtb（Xs）dsZN，nt=λ0，N，N+βCN，N·ZteΓN，nsdLNsYN，nt=ZteΓN，ns[b（e-ΓN，ns（YN，ns+ZN，ns），an）]ds+σN，nZteΓN，ns（1-ρ） （YN，ns+ZN，ns）ρdWns+βSN，nZtσ（Xs）（YN，ns+ZN，ns）dVs。那么λN，nt=e-ΓN，nt（YN，ns+ZN，nt）。我们有λN，nt，p≤他-2pΓN，nt+（YN，nt+ZN，nt）2pi。因此，根据假设3.9，足以表明≤TE | YN，nt+ZN，nt | 2p≤ K表示一些适当的有限常数K。将其^o公式应用于| YN，nt+ZN，nt | 2p。我们声称，在不丧失一般性的情况下，It^o公式中出现的鞅项可以被认为是真鞅，因此具有零期望。考虑到这一点，1- MN，nt-RtλN，nsMN，nsds是鞅，我们写λN，nt=e-ΓN，nt（YN，ns+ZN，nt）。然后，我们可以写下e | YN，nt+ZN，nt | 2p（18）=EZt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，ns[b（e-ΓN，ns（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0），an）]ds+EσN，nZt2p（2p- 1） | YNs+Zs | 2p-2ΓN，ns（1-ρ） （（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）2ρds+E（βSN，n）Zt2p（2p- 1） | YN，ns+ZN，ns | 2p-2（σ（Xs））（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）ds+EZt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，nsβCN，N·NNXi=1lie-ΓN，is（YN，is+ZN，is）MN，isds，根据假设3.6，我们有一些K>0，使得λb（λ，a）≤-γ（a）|λ| dfor |λ|≥ K、 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设耗散性条件在任何地方都适用（如果不是，我们只需单独考虑|λ|<K和|λ|）≥ K） 。

然后，我们得到估计值Ezt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，ns[b（e-ΓN，ns（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0），an）]ds（19）≤ -EZt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-2e2ΓN，nsγ（an）| e-ΓN，ns（YN，ns+ZN，ns）| dds。≤ 0大型系统默认集群中的网络效应47第二项，我们有Ezte2ΓN，ns（1-ρ） | YN，ns+ZN，ns | 2p-2（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）2ρds（20）≤ EZte2ΓN，ns（1-ρ） | YN，ns+ZN，ns | 2p-2 | YN，ns+ZN，ns | 2ρds≤ 22（p-1+ρ)-1EZte2ΓN，ns（1-ρ)|YN，ns | 2p-2+2ρ+| ZN，ns | 2p-2+2ρds公司≤ 22（p-1+ρ)-1EZt公司p- 1+ρp | YN，ns | 2p+1- ρpe2pΓN，nsds+22（p-1+ρ)-1EZt公司1.- ρpe2pΓN，ns+p- 1+ρp | ZN，ns | 2pds。借助于σ界的假设3.8，第三项与第二项相似。EZt | YN，ns+ZN，ns | 2p-2（σ（Xs））（（YN，ns+ZN，ns）∨ 0）ds（21）≤ EZt（σ（Xs））| YN，ns+ZN，ns | 2pd≤ 22便士-1K3.8EZt|YN，ns | 2p+| ZN，ns | 2pDs对于第四项，我们随后应用杨氏不等式，使用假设3.9，得到Ezt2p | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，nsβCN，N·NNXi=1lie-ΓN，is（YN，is+ZN，is）MN，isds公司≤ CK3.1ENNXi=1Zt | YN，ns+ZN，ns | 2p-1eΓN，nse-ΓN，is | YN，is+ZN，is|ds公司≤ C1+NNXn=1EZt|YN，ns | 2p+| ZN，ns | 2pds！（22）对于适当的常数C，C<∞.现在请注意| YN，nt | 2p=| YN，nt+ZN，nt- ZN，nt | 2p（23）≤ 22便士-1 | YN，nt+ZN，nt | 2p+22p-1 | ZN，nt | 2p。下一步是使用（19）、（20）、（21）、（22）绑定（23）。

首先，我们对方程（19）、（20）、（21）、（22）取n的平均值∈ {1，···，N}与假设3.1，假设3.8，假设3.9，引理A.1一起，我们得到了一个常数Ksuch，nnxn=1E[| YN，nt | 2p]≤ K+KZtNNXn=1E[| YN，ns | 2p]ds。48 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGBy Gronwall引理，我们得到了（24）sup0≤t型≤TNNXn=1E[| YN，nt | 2p]≤ 凯克特。此外，请注意，现在使用（24），（23）和（19），（20），（21），（22），也可以得到任何n∈ {1，···，N}（25）sup0≤t型≤TE[| YN，nt | 2p]≤ K、 对于适当的常数K<∞ 上界与n无关。结合假设3.9和引理A.1，我们最终可以从引理中宣传的（24）界得到。关于随机积分的鞅性质的主张还有待解决。事实上，使用与Lemma4.1证明中相同的截断参数，我们得到，对于每个固定的M>0，所讨论的项都是真鞅。然后，由于（24）中相应的上界对于M>0是一致的，并且由于引理A.2，该主张得到了证明，从而得出了引理的证明。引理7.1的证明。在引理4.1的证明中，如果我们可以证明bMin代替b的截断过程的结果是正确的，那么，由于引理。2，限值为M时，结果为真→ ∞ 也因此，对于任意常数M<∞.此外，设S（R+）是R+值的自适应连续过程{λt}t的集合∈[0，T]使得kλkT，1=sup0≤t型≤TE |λt |<∞.赋范数k·kT，1的空间S（R+）是Banach空间。考虑一个非负过程Ut（^p）∈ S（R+）并设置ξ（U）t=（ξ（U）t，ξr（U）t）ξi（U）t=Z^p∈P1.- EVt公司经验值-ZtUs（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。对于给定的Ut（^p），Ut（^p）∈ S（R+），我们考虑ξt=ξ（U）t=（ξ（U）t，ξr（U）t），ξt=ξ（U）t=（ξ（U）t，ξr（U）t）。

确定地图Φ：S（R+）7→ 通过让Φ（U）表示SDEλt=λ+ZtbM（λS，a）ds+ZtσλρsdWs+βC·ξt+βSZtλsdXs的唯一解λ=Φ（U）。同样，我们定义λ=Φ（U）用于方程的解，用ξ代替ξ。然后，过程Rt∧τM∧τM=λt∧τM∧τM- λt∧τM∧τMsatis fiesrt∧τM∧τM=Zt∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ds+Zt∧τM∧τMσλρs- λsρdWs+rXi=1βCiZt∧τM∧τM（dξs- dξs）+βSZt∧τM∧τMRsdXs。大系统默认聚类中的网络效应49将It^o公式应用于ψη（Rt），其中ψ在方程（15）中定义，并得到ψη（Rt∧τM∧τM）=Zt∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ψη（Rs）ds+rXi=1βCiZt∧τM∧τMψη（Rs）（dξs- dξs）+σZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）ds+σZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）dWs+βSZt∧τM∧τMb（Xs）Rsψη（Rs）ds+βSZt∧τM∧τMσ（Xs）Rsψη（Rs）dV s+Zt∧τM∧τMβSσ（Xs）Rsψη（Rs）ds。取ψη（Rt）的期望，我们得到ψη（Rt∧τM∧τM）=EZt∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ψη（Rs）ds+rXi=1βCiEZt∧τM∧τMψη（Rs）（dξs- dξs）+σEZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）ds+βSEZt∧τM∧τMb（Xs）Rsψη（Rs）ds+EZt∧τM∧τMβSσ（Xs）Rsψη（Rs）ds。如引理A.2所示。在[21]中，后一个表达式yieldsE |ξt- ξt|≤ K3.1tZ^p∈P | | U.（P）-U、 （^p）| tπ（dp）∧（dλ）。因此，我们有rXi=1βCiEZt∧τM∧τMψη（Rs）（dξs- dξs）≤ tCK3.1Z^p∈P | | U.（P）-U、 （^p）| tπ（dp）∧（dλ）。同时，我们有EZt公司∧τM∧τM（bM（λs，a）- bM（λs，a））ψη（Rs）ds≤ C1，MZt∧τM∧τME | Rs | ds。50 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang，我们获得的第三个任期σEZt∧τM∧τMλρs- λsρψη（Rs）ds≤σEZt∧τM∧τMλ2ρs- λs2ρψη（Rs）ds≤σEZt∧τM∧τMC2，M | Rs |ψη（Rs）ds≤ C2，MK3.12tlnη-1=C（η，t，M）。现在，让我们假设bis有界。

那么我们有βSEZt∧τM∧τMb（Xs）Rsψη（Rs）ds≤ K3.1KZt∧τM∧τME | Rs | ds。上学期EZt公司∧τM∧τMβSσ（Xs）Rsψη（Rs）ds≤（βS）EZt公司∧τM∧τM（σ（Xs））（λs- λs）ψη（Rs）ds≤（βS）EZt公司∧τM∧τM（σ（Xs））C3，M | Rs |ψη（Rs）ds≤C3，MK3.1lnη-1EZt公司∧τM∧τM（σ（Xs））ds=C（η，t，M）。对于任何0<M<∞, 我们得到两个项C（η，t，M）和C（η，t，M）都变为0↓ 0或t↓ 因此，对于任何M<∞, 我们有ψη（Rt∧τM∧τM）≤ （C+KK3.1）Zt∧τM∧τME | Rs | ds+tCK3.1Z^p∈^P | | U.（^P）-U、 （p）| tπ（dp）∧（dλ）+C（η，t，M）+C（η，t，M）。然后应用| x |≤ ψη（x）+√η并使用Gronwall引理，我们得到了| Rt∧τM∧τM|≤tCK3.1Z^p∈^P | | U.（^P）-U、 （p）| tπ（dp）∧（dλ）+C（η，t，M）+C（η，t，M）+√η] ·e（C+KK3.1）t.Sendη↓ 注意，我们可以选取足够小的t，使C（t）=tCK3.1e（C+KK3.1）t<1。因此，我们获得了| Rt∧τM∧τM|≤ C（t）Z^p∈^P | | U（^P）-U（^p）| t，1π（dp）∧（dλ），其中C（t）<1。大型系统默认聚类中的网络效应51因此，我们得到了由λ=Φ（U）定义的映射Φ与U∈ S（R+）是S（R+）上的一个带有Lnorm的收缩。标准Picard迭代显示存在一个固定点λ*使λ*t=Φt（λ*) 对于0≤ t型≤ t型∧τM∧τm，C（t）<1。这个固定点是唯一的，因为≤t型∧τM∧τMλ*t（^p）-λ*t（^p）≤ C（t）Z^psupt≤t型∧τM∧τMλ*t（^p）-λ*t（^p）π（dp）∧（dλ）所以，我们有≤t型∧τM∧τMλ*t（^p）-λ*t（^p）= 0Thus，我们已经证明了λ的唯一性*吨[0，t∧τM∧τM]。然后，从twe开始，我们在[t]上获得唯一性∧τM∧τM，（2t）∧τM∧τM]以同样的方式，并通过填充整个区间[0，T]得出结论∧ τM∧ τM]。接下来，让M→ ∞, 并且使用引理A.2，这意味着τM，τMconvergeto几乎可以肯定，我们得到了有界b引理的证明。对于一般b的情况，假设3.10保证mt=e-RTu（Xs）dVs-1/2RT | u（Xs）| ds，是根据Novikov条件的鞅。假设3.10还假设E | MT | p<∞.然后，结果来自引理A.6的证明。在[21]中。

引理A.2。对于任何T>0和通过（14）定义的τMde，我们有thatlimM→∞P[τM<T]=0。引理A.2的证明。对于任何T>0，P[τM<T]≤我支持∧τM<T | e-Γt（（YMt+Zt）∨ 0)|.根据假设3.9和引理A.1，足以证明E支持∧τM≤T | YMt+Zt|≤Kwhere▄K独立于M。Now supt≤T | YMt+Zt |可以像以前一样进行估计。实际上，将It^o公式应用于| YMt+Zt |，我们得到| YMt+Zt |=λ+Zt2 | YMs+Zs | eΓs[b（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）]ds+σZt2e2Γs（1-ρ） （（YMs+Zs）∨ 0）2ρds+（βS）Zt2（σ（Xs））（（YMs+Zs）∨ 0）ds+σZt2 | YMs+Zs | eΓs（1-ρ） （（YMs+Zs）∨ 0）ρdWs+βSZt2 | YMs+Zs |σ（Xs）（（YMs+Zs）∨ 0）dVs+Zt2 | YMs+Zs | eΓsβC·dξs52 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang由于假设3.6（与（19）类似，我们可以在不失去普遍性的情况下假设耗散条件到处都适用）上述表达式右侧的第一行有界，并且我们有λ+Zt2 | YMs+Zs | eΓs[b（e-Γs（（YMs+Zs）∨ 0），a）]ds≤ λ-Zt2 e2Γsγ（a）| e-Γs（YMs+Zs）| dds≤ λ因此，如果我们在It^o的公式表达式中两边都平方，我们将得到| YMt+Zt|≤ 6λ+ 6σZte2Γs（1-ρ） | YMs+Zs | 2ρds+ 6（βS）Zt（σ（Xs））| YMs+Zs | ds+ 24σZt | YMs+Zs | eΓs（1-ρ） | YMs+Zs |ρdWs+ 24（βS）Zt | YMs+Zs |σ（Xs）| YMs+Zs | dVs+ 24Zt | YMs+Zs | eΓsβC·dξs取第二项的上确界期望，利用H¨older不等式，结合ρ<1的事实和假设3.9，我们得到了支持∧τM≤TZte2Γs（1-ρ） |（YMs+Zs）| 2ρds≤ EZTe2Γs（1-ρ） | YMs+Zs | 2ρds！≤ EZT | YMs+Zs | 4ρdsZTe4Γs（1-ρ） ds！≤ cpEZTsupu公司∧τM≤s | YMu+Zu | ds，对于某些常数cp>0。类似的计算和假设3.8也给出了第三项的类似界限。

使用第四项的Burkholder-Davis-Gundy不等式和Young不等式，ρ<1的事实和假设3.9，我们得到了“支持∧τM≤TZt | YMs+Zs | eΓs（1-ρ） | YMs+Zs |ρdWs#≤ cpEZT | YMs+Zs | 2（1+ρ）e2Γs（1-ρ） ds公司≤ cp+cpEZTsupu∧τM≤s | YMu+Zu | dscp、cpa和cpa是一些正常数。关于V的随机积分项- 布朗运动使用假设3.8进行类似处理。对于最后一项，我们使用杨氏不等式和假设3.1和3.8。大型系统默认集群中的网络效应53obtainE supt∧τM≤TZt | YMs+Zs | eΓsβC·dξs≤ cpE“支持∧τM≤TZt | YMs+Zs | eΓsβC·dξs#≤ cpE“支持∧τM≤T | YMt+Zt | supt∧τM<TZteΓsβC·dξs#≤ cpE公司支持∧τM≤T | YMt+Zt |+2[支持∧τM≤TZteΓsβC·dξs]≤ 内容提供商 E支持∧τM≤T | YMt+Zt |+cp对于任何 > 0和相应常数cp> 因此我们可以选择足够小，所以cp < 我们可以把这个项移到左手边。因此，将所有术语与假设3.1相结合，得出估计支持∧τM≤T | YMt+Zt|≤ K1+中兴supu∧τM≤s | YMu+Zu | ds！。然后通过Gronwall引理，术语E supt∧τM≤T | YMt+Zt |以独立于M的常数为界，我们通过Fatou引理和followedJensen不等式得出结论。参考文献[1]富兰克林·艾伦和道格拉斯·盖尔。金融传染。《政治经济学杂志》108，（2000），第1-33页。[2] Shahriar Azizpour、Kay Giesecke和Gustavo Schwenkler。探索defaultclustering的来源。《金融经济学杂志》，129（1），（2018），第154-183页。[3] Yacine Ait Sahalia、Cacho Diaz、Julio和Roger Laeven。使用相互激励的跳跃过程建模金融传染。《金融经济学杂志》，第117卷，第3期，（2015），第585-606页。[4] Brunnermeier、Markus K、Gary Gorton和Arvind Krishnamurthy。风险地形图。NBERMacroeconomics年刊，第26卷，（2012），第149-176页。[5] 李俊波和阿戈斯蒂诺·卡波尼。