大型系统默认集群中的网络效应

2022-6-11 07:12:34

大型系统Konstantinos SPILIOPOULOS和JIA YANGAbstract默认集群中的网络效应。我们考虑在加权有向图上定义的大量动态交互组件，确定一个组件的违约对另一个组件的影响。我们证明了一个大数定律，用于捕捉池中不同组成部分演变的经验度量，并从中我们提取了重要的数量信息，如整个池中的损失率，以及系统范围违约对给定组成部分的平均影响。图的邻接矩阵的奇异值分解允许通过关注高的奇异值来粗化系统，高的奇异值也对应于对池具有最高传染影响的组件。数值模拟验证了理论结果。1、简介2007-2009年的金融危机向数学金融界表明，需要更好地理解和建模金融系统中的连通性和网络效应。风险可以通过系统传播，网络拓扑可以影响其传播。作为初始冲击的外部风险，如抵押贷款支持证券的贬值、利率或商品价格的变化不能完全解释危机，但可能导致传染效应[29，2]。特别是，冲击会导致系统内的螺旋事件，系统的拓扑结构和连通性会影响这些螺旋事件的展开和传播方式。这可能导致系统性风险事件，例如，参见【30】，目前已被广泛接受为动态事件【2，4】。在过去的十年里，研究人员试图以不同的方式理解和模拟这种行为。出现了大量旨在理解和建模复杂金融系统的文献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:12:37

在描述本文的主要贡献之前，让我们首先简要描述系统性风险研究中出现的三条主要不同研究路线。首先，在前面的文献[1，16]的基础上建立了集群和传染的网络模型，参见文献[23]。其次，模型文献的动态平均场类型，参见示例【5、6、8、14、18、22、7、24、19】。第三，使用相关违约强度模型的简化形式信贷和投资组合风险文献[10、20、21、31、33、32]。尽管取得了重大进展，但许多问题仍然悬而未决。日期：2020年2月5日。本研究部分得到了国家科学基金会（DMS1412529和DMS 1550918）的支持。我们要感谢凯·吉塞克和保罗·瓜索尼对这个项目的讨论。2 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGOur的工作属于最后一类，即在简化形式的信贷风险文献中。受[2]的实证工作和[20，21]的推动，池中每个名字的违约强度过程由三个术语组成：一个特殊术语，它特定于每个名字，一个传染术语，它负责违约的聚集，以及池中所有名字共同的外部风险术语。当考虑一个大型系统时，我们通常会提到这个名称库，其中名称是系统的组件。正如【2、20、21】中所述，参见【31】中的回顾，这些术语对风险如何传播以及违约如何聚集提供了重要的见解。由于系统的互连性，单个组件的故障增加了系统中其他组件故障的可能性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:12:41

不确定性成为一个问题，这使得市场参与者担心资产价格会出现更多与危机严重程度不成比例的损失。减少相关违约的形成点过程模型多次用于评估组合信用风险，并基于计数过程。我们使用动态投资组合信用风险模型来理解大型金融系统的症状和违约聚类。我们在本文中的贡献是双重的。首先，我们考虑网络效应，这是文献[10，20]及其后续研究中缺失的一个特征。更精确地说，我们通过加权有向图G（Γ，E，ω）来指定名称之间的相互作用，其中Γ是顶点集（即名称），E是（有向）边集，ω：E→ (0, ∞) 是一个为边分配权重的函数（按照惯例，无论何时（i，j），我们都可以定义ω（i，j）=0/∈ E）。A边（i，j）∈ E意味着一种定向交互作用，即默认名称i对名称j的影响。权重ω（i，j）衡量交互作用的强度。例如，ω（i，j）可以表示交易对手i违约时名称j的损失（损失通常是违约时合同市值的正部分）。正如我们将看到的，权重ω（i，j）也代表了名称j违约强度增加的幅度，这是由于名称i违约时的交易对手损失造成的对于i，j=1，····，N，为元素ω（i，j）的矩阵。结果表明，奇异值分解（SVD）为使我们能够量化传染效应。此外，SVD允许我们量化相互作用的水平（这是在第2）节中，我们需要更精确地对非均质系统进行有效粗粒化。它还允许我们通过适当的低阶近似来降低系统的维数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:12:44

本文从理论上分析了生存名称经验测度的极限为N→ ∞ 我们还通过数值研究展示了不同的案例。我们从数值上证明，如果从奇异值分解（SVD）出发，通过适当的低阶近似，可以很好地逼近随机感兴趣过程的概率分布。这变得非常有用，因为没有低阶近似，正如我们将看到的，计算感兴趣的数量可能会变得非常昂贵。在本文中，我们假设给定了一个邻接矩阵具有足够规则的行为（详见第2-3节）。然后，我们的目标是研究总体池和同类型名称中损失率的典型行为。此外，我们还研究了系统范围内的违约对给定名称的平均违约影响，即组件数N→ ∞. 我们允许池具有随机强度的异质性，这种随机强度在一段时间内动态演变，对于不同的i，j，具有不同的权重ω（i，j）。此外，大型系统3的默认聚类中的损失率网络效应（无论是池中的整体还是特定类型的名称）以及系统范围内的默认对给定名称的平均默认影响都是动态量，其计算可能在数字上很麻烦。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 07:12:47

我们在数值上表明，通过SVD激发的低Rankaproximation可以非常有效地精确地降低系统的维数，从而使其评估在数值上具有可分割性。因此，本文开发的程序可以量化给定邻接矩阵的影响对感兴趣的动态数量，如池中损失率的分布、特定类型名称中损失率的分布，意味着系统范围内的违约对给定名称的影响，等。请注意，对整个池的损失率和特定类型名称的损失率等数量的评估有助于进一步了解许多名称在短时间内彼此违约的可能性（即违约聚类）。事实上，在给定的时间内，池的平均损失率的增加表明许多违约的可能性更大。然后，研究特定类型名称中的损失率，指出哪些类型的名称更有可能违约。自然地，平均损失率较大的类型名称更有可能违约，从而揭示级联事件的结构。此外，我们通过SVD发现，池中的平均损失率与特定系数正相关，后来称为传染系数。特别是，传染系数是相应奇异值和正交向量系数的函数，这些正交向量系数捕获了网络对传染的暴露。我们在第5节的数值研究中展示了这些发现，在第5节中，我们展示了如何量化这些问题。其次，我们考虑了一般随机强度到违约过程，其中特质成分的迁移系数只需要满足适当的耗散性质，而不是要求它是一个函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-11 07:12:50

我们证明了相关随机强度模型的适定性，并严格描述了池中名称的经验生存分布的限制，即它们的行数到完整性。在动态平均场模型文献中最近的相关工作[8]中，作者考虑了一个银行间借贷模型（不是我们在这里考虑的简化形式的信贷风险模型），该模型考虑了网络拓扑和系统风险的传播，并对银行数量N进行渐近分析→ ∞ 也在本文中，我们还将极限视为N→ ∞ 并考虑网络拓扑，但我们通过对违约强度演变的频谱分析以及对特定利益统计（如池中的损失率和对特定类型网络组件的平均影响）来关注网络矩阵的影响。在这一点上，我们想提及的是，尽管我们的主要动机来自金融数学中的相互作用粒子系统，但我们的结果适用范围更广。在一个具有许多不同组件的给定系统中，并非所有组件都与其他组件同等连接，或受到其他组件默认值的同等影响。一个组件因外部作用力而失效，导致给定系统的其他组件失效，这是一个更广泛的问题。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细描述了我们的模型。在第3节中，我们列出了假设贯穿本文的假设。第4节包含了本文的主要结果。康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯（KONSTANTINOS SPILIOPOULOS）和贾扬（JIA Yang）对主要定理的证明在后面的章节中。特别是，第6节讨论了经验测度极限点的紧密性和特征，第7节讨论了极限点的唯一性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:12:54

第5节包含我们对低阶近似的模拟研究和数值结果。技术结果及其证明已收集在附录A中。第8节是关于我们的结论和对未来工作的展望。2、模型描述本文所考虑的模型模拟了一个由N个名称组成的系统的演化，这些名称都有违约风险。违约风险模型考虑了三个术语：特殊风险（特定于一个名字）、非系统风险（所有名字都通用）和一个建模违约传染和螺旋事件的术语。最后一项考虑网络拓扑。固定概率空间(Ohm, F、 P）确定了所有随机变量。设{Wn}n∈Nbe一组i.i.d.标准布朗运动，用于建模池中每个组成部分的特殊风险。假设V是独立于Wn的标准布朗运动，驱动系统风险因素过程X的随机性。假设Vt=σ（Vs，0≤ s≤ t）∨ N、其中N是所有集合的集合。设{en}n∈Nbe一组独立的标准指数随机变量。对于N∈ N和N∈ {1，2，…，N}，用τN表示，N系统的第个组件发生故障的停止时间。失效时间τN，nhas随机强度过程λN，如下所述。默认时间τN，nisτN，N=影响≥ 0:ZtλN，nsds≥ 埃诺。我们也可以写出χ{τN，N≤t} =χ[英，∞)ZtλN，nsds,其中χBis是集合B的指示符函数。调用系统的网络结构，该网络结构由有向图G（Γ，E，ω）描述，其中Γ是系统中的组件集，E是有向边集，ω：E→ (0, ∞) 是为边指定权重的函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 07:12:57

ω（i，j）表示第i个名字对第j个公司的默认影响。然后，由于timet的系统范围默认值，名为j的总损失为nxi=1ω（i，j）χ{τN，i≤t} ，（1）并且，正如我们将看到的，它还表示池中第n个名称的默认强度的总增加。允许是G的邻接矩阵，即（i，j）-然后是 ω（i，j）表示（i，j）∈ E和0 if（i，j）/∈ E、然后，经典奇异值分解（简称SVD）产生 =dXj=1ξj ` ju>j（2）大型系统5默认聚类中的网络效应，其中{`，…，`d}是正交向量（跨越), {u，…，ud}是正交向量（跨越) ξ>ξ>···>ξd>0是称为奇异值的实数。这里，d≤ N称为. 在某种意义上，d代表系统的复杂性。d越大，相互作用的结构就越复杂。让\'i，jbe为\'jin（2）的第i个条目，同样地，让ui，jbe为向量uj的第i个条目。从系统范围内的defaultsup到时间t，对第n个名称的平均默认影响可以写为qn，n，t=NNXi=1ω（i，n）χ{τn，i≤t} =dXj=1ξjun，jNNXi=1\'i，jχ{τN，i≤t} =βC，n·LN，t、（3）其中βC，n=（ξun，1，ξun，2，…，ξdun，d）与向量值过程LN，t=（LN，1t，LN，2t，…，LN，dt）Thas elementsLN，jt=NNXi=1\'i，jχ{τN，i≤t} 。LN的第j个条目，t可以粗略地解释为网络第j级交互的随机损失率。当j=1，···，r时，向量的元素\'i，jof\'jc可以解释为第i银行对第j个相互作用水平的贡献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-11 07:13:00

类似地，元素βC，n、对于向量βC，NCA可解释为i=1，····，r时，第n家银行在第i级互动中的风险敞口。请注意，QN，n，t可以解释为第n家银行在时间t之前由于其他银行违约而违约的平均增加。我们对QN，n，t当系统较大时，即当N→ ∞. 正如我们在备注3.4中更详细地阐述的，在大型系统中，依赖低阶近似是合理的。此外，出于计算可行性的目的，我们希望通过适当的低阶近似。一种常用的方法是使用矩阵代数stating的经典结果，即如果0<r<d是正整数，则LdistancekD的最小值-Bk（标准Frobenius范数）在所有秩小于或等于r的矩阵B上实现atA=rXj=1ξj\'ju>j，且ξjin降序。此外，我们实际上有 - Ak=dXi=r+1ξi.（4）如果, d、很大，但只有少数主要特征值。在这种情况下，人们通常希望利用这一点。这是我们在这里采取的实际观点。事实上，给定一个大矩阵首先，我们会调查一个良好的低秩近似值的可能性，然后选择一个舒适的低秩近似值6 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGwith，并使用它。正如我们将在第5节中看到的，这种近似与定理4.3实现的科斯粒化相结合，使得问题在计算上更容易处理。在这一点上，我们还要提到，虽然原始矩阵的元素, i、 ω（i，j）是非负的，可能是任意选择的低Rankaproximation A 它的某些元素可能是负面的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:03

因此，根据所选的低Rankaproximation，有时可能会失去一些财务意义。然而，如果特征值的谱间隙足够大，并且选择了与谱间隙一致的低阶近似值（即，对应于（4）且右侧较小的近似值），则预计不会出现这种情况。第5节中的数字示例表明，在这种情况下，利息统计数据（利息财务指标）的价值，直到可忽略的近似误差，都不会受到这种良好的低阶近似值的影响。然后，前面的讨论促使我们替换通过A和，随后确定数量qn，n，At=βC，An·LN，At，（5）其中βC，An=（ξun，1，ξun，2，…，ξrun，r）和向量值过程LN，At=（LN，1t，LN，2t，…，LN，rt）T。为了简单起见，我们对分量LN使用相同的表示法，对于A和, 尽管我们总是和LN，A合作，所以不应该有混淆。现在我们已经讨论了矩阵定义网络结构，让我们更具体地了解动态。强度由布朗运动Wn表示的特殊风险、过程X表示的系统风险以及过程QN、n表示的溢出风险驱动，At=βC、An·LN、At（通过a定义，低阶近似值为). 特别地，我们考虑以下相互作用系统dλN，nt=b（λN，nt，an）dt+σN·（λN，nt）ρdWnt+βC，an·dLN，At+βSnλN，ntdXtλN，N=λ0，N，ndXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dVtX=xLN，jt=NNXn=1\'N，jχ{τN，N≤t} 。j=1，2，r（6）注意，（6）已根据A而非原始定义. 这代表了在实践中要做的事情，以便简化系统，因为第3节和第4节将更加明确。此外，我们考虑了异质池，这意味着不同名称的强度动力学可能不同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:06

在模型σn中∈ R+，an∈ Rk对于某些k>0，βSn∈ R为常数，1/2≤ ρ < 1. 让我们设置P=R+×Rk+2r+1和^P=P×R+。适用于所有n∈ {1，2，…，N}，我们通过定义“类型”（7）pn=（σN，an，βCn，1，···，βCn，r，βSn，`N，1，···，`N，r）来捕捉这些不同的动力学∈ Pand（8）^pn=（pn，λ0，N，N）∈^P.大型系统默认聚类中的网络效应7此外，我们让^pnt=（pn，λN，nt）∈从现在起，我们抑制了超指数A，我们简单地写QN，nt，βCn，LNtin代替QN，n，At，βC，An，LN，At。从上下文中总是可以清楚地看到所使用的矩阵。正如刚才提到的QN，nt=βCn·lnt表示从系统默认值到时间t对第n个名称的平均影响（近似，由于潜在的低秩近似）。向量βCn=（βCn，1，·····，βCn，r）与βCn，i=ξiun，我将被解释为传染系数向量。βCn值越高，对第n个名称的默认强度影响越大。这是很自然的，因为矩阵A的第n列表示当n-该机构对所有其他机构都存在。其他令人感兴趣的网络性能指标是DNt=NPNn=1χ{τN，N≤t} DNt（pB）=NBPNn=1χ{τN，N≤t} χ{pN，n=pB}，NB=PNn=1χ{pN，n=pB}（我们使用符号{pN，n=pB}来区分类型B的名称），池中的总体损失率和相同类型名称的损失率，例如类型B。当N较大时，可以通过本文的近似定理（定理4.3）对这些量的分布进行数值近似。正如我们将在第5节中看到的，具有较大传染系数的类型名称往往会有较大的损失。此外，d代表或r的低阶近似值A分别显示了d或r级别的层次结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:09

例如，矩阵的秩1（r=1）近似值将具有比矩阵的秩2（r=2）近似更均匀的结构. 特别是，在一级近似值中属于相同类型的名称（从第（6）项的敏感性过程的动态演变来看），在二级近似中可能是不同的类型（因此，在第（6）项中，与默认过程的强度不同）。换句话说，一个网络系统对应一个矩阵具有大量非零特征值的r将比具有较少r的系统具有更好的结构。可以将r解释为系统中相互作用的级别数。我们将在第3节和第5节中再次讨论这一点。我们的论文显著扩展了[21]的结果。首先，漂移项b（λ，a）只需要具有关于λ的某些耗散性质。其次，我们有一个通过邻接矩阵描述的网络结构. 正如weshall所见，对该模型的分析不仅更具挑战性，而且还需要新的论点和想法。虽然主要参数和总体证明策略基于[20，21]的方法，但附录A中给出了所需的新数学参数。通过邻接矩阵引入网络结构, 允许提出更丰富的问题集。3、符号和假设在本节中，我们将回顾假设在本文中始终有效的假设。我们从假设3.1、3.2和3.3开始，这些假设与邻接矩阵具有足够规则行为的重要性有关, 或更具体的低阶近似值A，以及参数pn和^pndefinedvia（7）和（8）的向量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:12

除其他假设外，假设8 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANG3.1、3.2和3.3保证了以后定义良好的限制以及限制方程的计算可行性。假设3.1。假设有一个常数K3.1>0，使得所有系数σn，an，| |βCn | |，|βSn |和| ` n，j | j=1，2，d和n=1，2，································≥ σ> 0.下面的假设3.2和3.3是根据A来表述的，因为模型（6）基于A。显然，如果它们已经适用于顺序矩阵, 然后可直接代替（6）中的A。在实践中，通常会给出一个大型矩阵, 选择一个好的低Rankaproximation to 并使用特定近似值。换言之，出于所有实际目的，人们希望能够使用低阶近似值A。事实上，出于理论原因，我们将假设更多一点为假设3.2规范。假设3.2。我们假设，随着N的增长，模型（6）中使用的矩阵A的秩r保持有界。接下来，让我们定义πN=NNXn=1δpn，∧N=NNXn=1δλ0，N，N。测度π和∧Nbelong分别为Borel概率测度onP和R的空间。这些空间将分别用P（P）和P（R）表示。假设3.3。假设极限π=limN→∞πN∧=limN→∞∧Nexist分别位于P（P）和P（R）上。毫无疑问，假设3.1、3.2和3.3暗示了机构网络的某些行为。以下备注3.4和3.5相关。备注3.4。假设3.1关于| |βCn | | |和| ` n，j |的有界性，对于j=1，2，d和所有n∈ N允许我们证明度量值过程跟踪默认值的紧密性（参见第4节），但它也意味着原始矩阵可以通过设置小于给定阈值的零奇异值来很好地近似，请参见[9]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 07:13:15

特别是，[9]表明 > 0，则-排名（即距离就最大绝对进入标准而言，小于) 最多是订单√N、如果再加上矩阵的每一个元素，则该结果在[35]中按对数N的顺序加强可以通过对潜在的高维但有界的潜在变量应用分段分析函数来生成。这些结果表明，即使没有潜在的物理原因，足够大的数据集往往具有低秩结构，请参见[35]。这些表明，当N较大时，可以合理地预期矩阵由低秩矩阵a很好地逼近。这是本文关注的领域。低Rankaproximations在财务文献中并不新鲜，例如参见【27】。低秩结构在块模型网络和低秩近似中很明显。大型系统默认聚类中的网络效应9可用于确定核心-外围结构（一个众所周知的金融利益网络），参见【12】。[11]的实证结果表明，核心-外围结构是一个利益金融网络。在[11]中，德国银行间网络的经验发现，银行间市场是分层的，这意味着大多数银行不是直接相互借贷，而是通过中介机构借贷。这种现象可以通过核心-外围模型来捕捉。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:18

[11]中观察到的网络是稀疏的、有向的和有值的。在本文中，我们感兴趣的是研究动态量的极限行为，如Qn，N，t池中或给定类型asN名称内的损失率→ ∞ 为了在数学和数值上做到这一点，我们需要假设我们可以使用矩阵（或适当的低rankapproximation A），以使其秩可以取，或近似地被认为是有界的N→ ∞. 假设3.2使该限制精确，在这种情况下，第4节的理论结果成立。此外，假设3.2也适用于我们在第5节进行数值研究的数值例子，包括核心-外围例子。在第5节所述的数值实验中，将明确使用哪个矩阵来定义Qn，Nt，从而确定模型（6）。结论部分第8节讨论了治疗ANK也随N增加的情况的可能性，但我们在这项工作中不会对此进行详细阐述。关于Pn的假设3.3意味着邻接矩阵的跨距列和行的经验分布具有明确的分布限制。例如，如果向量“j，uj”中对于每个特定频率的j只有有限数量的非零条目，则该假设成立。例如，在第5节的所有数值研究中都会出现这种情况。在实践中，如果给定一个特定的声明N，可以使用定理4.3来近似感兴趣量的概率分布，但当然可以使用经验分布π和∧Nas分别近似为π和∧。备注3.5。为了完整性，让我们给出一个核心-外围模型的简单示例，该模型在N增长到完整时具有有界秩，即满足假设3.2。此处给出的模型也满足假设3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:20

考虑一个基本模型N×N=C CPP C O其中C是Nc×Ncmatrix（表示核心的基本模型），CP是Nc×Npmatrix，P C是Np×Ncmatrix（表示核心和外围之间相互作用的基本模型），Nc+Np=N。然后，对于k∈ N、 letN=k×Nand，考虑N×N网络矩阵 = N×N=C···C CP···CP。。。。。。。。。。。。。。。。。。C··C CP··CPP C··P C O··O。。。。。。。。。。。。。。。。。。P C··P C O··O = N×Nis通过N×N通过将基本模型中的核心银行扩展到k×Ncbanks，将基本模型中的np外围银行扩展到k×Npbanks。矩阵的秩此外，10 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGa简单计算表明，对于每k∈ 因此，对于每N∈ N库存 = N×Nis也以N为界。对于这种模型，我们假设原始N机构的k个副本中的每一个都具有与默认过程λN对应的强度，N定义为与基础模型中相应原始机构的定义参数（an，σN，βSn，λ0，N，N）相同的值（或i.i.d副本，如果随机选择）。对于漂移系数函数b（λ，a），我们假设以下增长和正则条件。假设3.6。映射λ7→ b（λ，·）是局部Lipschitz，存在有限常数d>1，q>1，K>0和正有界函数γ和K，其中γ（a）>0，K（a）>0，使得λb（λ，a）<-γ（a）|λ| d，对于|λ|≥ K | b（λ，a）|≤ k（a）（1+|λ| q），b（0，a）>0。此外，我们假设对于任何λ∈ R+，a 7→ b（λ，a）是一个连续函数。关于假设3.6的备注如下。备注3.7。如果我们取a=（(R)α，(R)λ）∈ R+和b（λ，a）=-\'a（λ-则强度过程的异向部分成为经典的CEV模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:23

注意，在这种情况下，b（λ，a）=-λV（λ，a），V（λ，a）=a（λ-函数vh为λ=(R)λ处的单个最小点。反过来，λ的平均值逆转意味着默认值的影响随着时间逐渐消失，强度将趋向于恢复到λ=(R)λ的水平。假设3.6将a ffne结构放宽至漂移系数b（λ，a）的适当耗散性要求。这扩大了可以考虑的漂移b（λ，a）的类别。例如，可以考虑b（λ，a）的情况=-λV（λ，a），其中V（λ，a）为双稳势。这种情况可能对应于某些名称的信誉可能有两个平衡点的情况，对应于商业周期的两个不同部分。本文的目标是探索（第5节）网络结构和低阶近似对动态演化随机过程分布的潜在影响。上述数值探索基于池中名称的经验生存分布的严格平均场限制（定理4.3）。定理4.3证明，漂移系数b（λ，a）上的适当耗散条件足以保证良好定义的违约过程强度以及随后良好定义的经验存活分布的平均场限值。有关更详细的相关讨论和潜在的未来方向，请参见第8节。其余假设与外部风险过程X有关。假设3.8。假设函数σ（·）有界，即存在常数K3.8，使得σ（x）|<K3.8。对于bassume supt<∞E | b（Xt）| 4p<∞对于一些p≥ 1、让我们定义=-βSZtb（Xs）ds。大型系统默认集群中的网络效应11假设3.9。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:26

假设对于某些p≥ 1，支持<∞E【X2pt】和supt<∞E[e4p | t |]有界。最后一个假设3.10确保我们可以将一些技术引理从有界漂移b（x）扩展到潜在的无界漂移。假设3.10。假设有一个函数u（x），使得σ（x）u（x）=-b（x）对于任何T>0，我们有eHE1/2RT | u（Xs）| dsi<∞,对于任何T，都有一个p>1，这样e-RTu（Xs）dVs-1/2RT | u（Xs）| dspi<∞.假设3.8、3.9和3.10成立的一个例子是取b（x）=-γx和σ（x）=1，这是[20]中研究的均值回复示例。4、模型的适定性和主要结果在本节中，我们证明了模型的适定性，并给出了我们的主要结果。让我们从模型的适定性开始，引理4.1。引理4.1。设ξ为具有r分量的过程向量，可预测、右连续、单调且ξ=0有界。让假设3.1-3.10保持不变。存在以下SDE的唯一非负解λ：dλt=b（λt，a）dt+σ（λt∨ 0）ρdWt+βC·dξt+βSλtdXtλ=λodXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dVt。引理4.2是关于一个基本的先验界，它将在后续证明的许多地方使用。引理4.2。设λN，nbe为（6）的唯一解，在引理4.1的假设下保证。让p≥ 1应确保假设3.8和3.9成立。那么，对于这样的p≥ 1和每T≥ 0，K4.2def=sup0≤t型≤T、 N个∈NNNXn=1E[|λN，nt | p]是有限的。引理4.1和4.2的证明见附录A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:29

让我们用mn表示池中给定名称的生存指标过程，nt=χ{τN，N>t}，并定义与时间t之前存活的名称相对应的^pn的经验分布，如下所示：unt=NNXn=1Δ^pntMN，nt。请注意，unT捕获了模型的整个动态（包括异质性和网络拓扑的影响）。12 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang为了研究uN的收敛性，我们需要建立适当的拓扑框架。也就是说，设E是子概率测度on^P的集合，即E由这些Borel测度νon^P组成，使得ν（^P）≤ 1、然后确定一个点？不在^P中，且设^P+=^P∪ {?} （所谓的^P的一点压缩位置）。开集是^P的开子集（与原始拓扑相关）或^P的闭子集（同样，在^P的原始拓扑中）在^P+中的互补集。定义从E到^P+上的Borel概率测度的双射ζas（ζν）（Z）=ν（Z∩ P） +（1-ν（P））δ？（Z），对于任何Z∈ B（^P+）。然后我们可以把E变成一个抛光空间。我们定义了P（^P+）上的Skorokhod拓扑，并通过要求ζ为等距来定义相应的度量单位E。然后，空间E将被抛光。因此，uNis是DE[0，∞), i、 e.，是来自[0，∞) 到E，它是右连续的，并且有左极限。空间DE[0，∞) 将被赋予Skorohod度量，我们用dE表示，参见【15】。接下来，对于每个f∈ C∞（^P）定义<f，u>E=Z^P∈^Pf（^p）u（d^p）。此外，确定生成器lf（^p）=σλ2ρfλ（^p）+b（λ，a）fλ（^p）-λf（^p）Lxf（^p）=（βS）λσ（x）fλ（^p）+βSλb（x）fλ（^p）Lxf（^p）=βSλσ（x）fλ（^p）Lf=βCfλ（^p）ι（^p）=λν（^p）=`（9）带βC，`是向量值，形式分别为βC=（βC，βC，···，βCr）和`=（l，l，··，lr）。对于j=1，2，…，我们写νj（^p）=ljj，r

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:32

在提出定理4.3之后，我们将详细说明（9）中定义的运算符的含义。回想一下，Vt=σ（Vs，0≤ s≤ t）∨N、其中N是空集的集合。简介符号EVt[·]=E[·| Vt]。现在，我们可以陈述论文的主要结果了。定理4.3。让假设3.1-3.10保持不变。我们得到，uN·在DE[0，T]中的值收敛到测度值过程|u·的非分布。“u·的演化由度量演化方程d hf、“utiE=nhLf、”“utiE+hLXtf、”“utiE+hιν、”“utiE·hLf、”“utiEodt+hLXtf、”“utiEdVt、，f∈ C∞（^P）a.s.（10）大型系统默认集群中的网络效应13此外，如果（Qi（t），λ*t（^p），i=1，r），式中，^p=（p，λ），是唯一的pairsatisfyingQi（t）=Z^p∈^PliEVtλ*t（^p）膨胀-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。λ*t（^p）=λ+Ztb（λ*s（^p），a）ds+σ·（λ）*s（^p））ρdW*s+ZtrXi=1βCiQi（s）ds+βSZtλ*s（^p）dXs。那么对于任何A∈ B（P）和B∈ B（R+），？u由？ut（A×B）=Z^p给出∈PχA（P）EVtχB（λ*t（^p））exp-Ztλ*s（^p）dsπ（dp）∧（dλ）。（11）定理4.3的证明。证明材料见第6节和第7节。第6节我们声明{uN}N族∈Nis相对紧凑（作为DE[0，∞)有值随机变量）。因此{X，uN}N∈Nis也相对紧凑。因此，它（或子序列）在分布上收敛到一个随机过程（X，(R)u）。通过斯科罗霍德表示定理，可以找到概率空间和实现，为了方便起见，仍然表示为{X，uN}N∈Nand（X，u），使得（X，uN）几乎肯定会收敛到（X，u）。通过第6节中的计算，我们得出（X，(R)u）将满足（10）。第7节的结果表明，u实际上是唯一的，由（11）给出。对（Qi（t），λ*t（^p），i=1，r）通过Lemma7.1存在并唯一。这些结果完成了定理的证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:35

运算符Lf表示违约强度的特殊风险，请注意，终止期限-由于默认值，λf也包括在内。操作员Lxf和Lxf代表外部风险x=Xt的影响。最有趣的术语可能是方程hιν的非线性项，\'utiE·hLf，\'utiE，这是负责传染效应和可能的默认集群的术语。特别是，正如我们还将在第5节的数值实验中看到的那样，传染向量参数（元素方向）β的较大值会导致整个池以及各个交互水平中的较大平均损失。此外，当关联传染参数βCis较大时，系统范围内的默认值对给定名称的平均影响较大。限制项hιν、‘utiE·hLf、‘utiE’是r分量的总和，这表明需要有r界才能通过限制过程。结论部分8讨论了这一点的潜在减弱。我们在这一节的最后讨论了定理4.3。备注4.4。定理4.3将在第5节中用于近似动态利息量，如Qn，Nt，池中的总损失率DNt=NPNn=1χ{τN，N≤t} 或与N相同类型的名称集合中的丢失→ ∞. 更具体地说，第n个名称应为pi类型。那么，定理4.3意味着→ ∞可以通过相应的限制对象Qt（pi）和Dt来近似Qn、Nt和Dntb等量。定理4.3允许更高效的数值计算，因为它用一个可以有效计算的极限方程（10）取代了SDE模型（6）系统（详见第5节）。极限对象（10）是非局部PDE的弱公式，用于测量|ut的密度，例如v（t，^p）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:38

由于其非局部形式，它涉及从乘积项hιν、？utiE·hLf、？utiE计算积分项。反过来，对于14 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGj=1，····，r，由奇异值分解产生的整个参数空间^P上的项hιν，’utiEisan积分，该参数空间还包括向量\'j\'。为了使用外生给定的邻接矩阵A来计算后者，邻接矩阵A具有大但有限的维数N及其SVD，我们基于{N，j}N的经验分布来计算积分项hιν，\'utiEas A有限的总和∈{1，····，N}，对于每个j=1，····，r。在第5节中，我们对感兴趣的特定示例进行了精确分析，并收集了我们数值研究的主要结果。数值研究和模拟结果在这一部分中，我们用数值方法证明了本文的理论结果。在介绍数值研究之前，我们首先描述了我们遵循的数值方法，并对所有示例中常见的一般方面和问题进行了评论。我们感兴趣的一个数量是池中的总损失率，由DNT=NNXn=1χ{τN，N定义≤t} =NNXn=1（1- MN，nt）=1- uNt（^P）。与该数量相关的还有相同类型名称的损失率，例如类型B，用pB表示：DNt（pB）=NBNXn=1χ{τN，N≤t} χ{pN，n=pB}=NBNXn=1（1- MN，nt）χ{pN，n=pB}=1-NNBuNt（{p：p=pB}），其中nb是池中类型B的名称总数。我们还对名称n的平均影响感兴趣∈ {1，···，N}从时间t的全系统默认值，即QN，由QN定义，nt=βCn·LNt，传染系数向量为βCn=（ξun1，ξun2，…，ξrunr），r维向量LNt=（LN，1t，LN，2t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:41

，LN，rt）。回想一下，QN，Nt可以解释为到时间t时由于其他银行违约而导致的第n个违约强度的平均增加。为了能够计算QN，Nt，我们需要能够计算LN，jt，这与网络的第j个交互级别LN相关，jt=NNXn=1\'n，jχ{τn，n≤t} =NNXn=1`n，j-NNXn=1\'n，jMN，nt=NNXn=1\'n，j-νj，uNt,其中，我们回忆起νj（^p）=lj。定理4.3的渐近结果用于评估网络性能指标，如DNt、DNt（pB）和QN、nt。对于大N，数量如uNt（^P），uNt（{^P：P=pB}）和νj，uNt分别用大系统15和hνj的默认聚类中的|t（uP），|t（{P:P=pB}）网络效应和|ti来近似；通过定理4.3实现。为了能够数值计算后一个量，我们首先写出|t（d^p）=v（t，^p）d^p，其中|p=（p，λ）。对随机演化方程的一种形式化分段积分，其ut（d^p）满足分布意义上的密度满足dV（t，^p）=L*v（t，^p）+L*,Xtv（t，^p）+rXj=1Z^p∈^Pνj（^P）ι（^P）v（t，^P）d^P（L）*,j） v（t，^p）dt+L*,Xtv（t，^p）dVtv（0，^p）=（π×∧）（^p）v（t，p，λ=0）=limλ→∞v（t，p，λ）=0，其中伴随算子由：L给出*v（t，^p）=λ（σλ2ρv（t，^p））-λ（b（λ，a）v（t，^p））- λv（t，^p），L*,xv（t，^p）=λ（（βS）λσ（x）v（t，^p））-λ（βSλb（x）v（t，^p）），L*,xv（t，^p）=-λ（βSλσ（x）v（t，^p）），L*,jv（t，^p）=-βCjv（t，^p）λ、 j=1，2，r、 ι（^p）=λ，ν（^p）=（ν（^p），νr（^p））=`=（l。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:44

，lr）。现在，根据定理4.3，我们近似，DNt≈ Dt=1- ut（^P）=1-Z^p∈^P？ut（d^P）=1-Zp公司∈PZ公司∞λ=0v（t，p，λ）dλπ（dp）DNt（pB）≈ Dt（pB）=1- κBut（{p:p=pB}）=1- κBZ^p：p=pB？ut（d^p）=1-Z∞λ=0v（t，pB，λ）dλ，其中κB=limN→∞NNB=[π（{pB}）]-1如果存在限制。LN，jt≈NNXn=1`n，j- hνj，(R)uti=NNXn=1\'n，j-Z^p∈^Pνj（^P）(R)ut（d^P）=NNXn=1\'n，j-Zp公司∈PljZ公司∞λ=0v（t，p，λ）dλπ（dp），因此，足以计算u（t，p）=R∞v（t，^p）dλ。为了做到这一点，我们首先定义了k阶矩，另请参见[21]，（12）uk（t，p）=Z∞λkv（t，^p）dλ。力矩uk（t，p）可以从dv（t，^p）的演化函数中计算出来，将其乘以λkand积分，再乘以[0，∞). 在下面的例子中，KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA Yang16将变得更加清楚，uk（t，p）将满足一个方程组。然而，这个系统不是一个封闭的系统，对于任何k∈ N、英国取决于英国+1。为了解决这个问题，我们遵循截断的方法，特别是对于足够大的K，我们设置uK+1=uK，然后向后求解。正如我们稍后将看到的（相关结果也请参见[21]），这种截断是u（t，p）=R的一种非常好的计算效率近似∞v（t，^p）dλ，此外，K通常被认为是小的。我们的数值研究表明，至少对于本文所研究的数值例子来说，选择K=20更能保证良好的近似性质。此外，正如【33】附录A中的数字所示，在没有网络结构的简单情况下，这种平均场类型的近似从数值角度来看是有利的，而不是直接模拟有限系统。现在，如果交互作用水平d的数量很大，或者如果池具有很大程度的异质性，那么系统中方程uk（t，p）的数量可能会非常大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:47

为了解决这一问题并使计算在数值上可行，可以按照奇异值分解（SVD）的要求得到适当的低阶近似值。VD有助于将网络交互分解为r平均场类型的交互级别。这突出了最重要的交互级别的贡献。为了支持这一主张，请进一步注意向量{uj，j=1，·····，r}的正交性和定义βCn，j=ξjun，jgives，对于每个j=1，····，rkβC·，jk=ξjku·，jk=ξj，它根据特征值ξj立即给出kβC·，jk的排名。我们将在下面的示例中看到低阶近似的威力。特别是，如果SVD给出的特征值中有足够的谱间隙，则仅考虑与前几个大特征值相关的相互作用水平，忽略其余部分，就可以很好地近似极限损失率dt以及对给定名称Qnt的极限平均影响。在介绍数值研究之前，让我们在此收集他们的主要发现并陈述一些有用的观察结果（见图2-16）：o一级近似值就模型（6）的默认动态强度描述而言，是对网络结构的粗略近似，而不是二级近似。类似地，秩二近似是比arank三近似更粗糙的网络结构近似，依此类推，导致层次结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:50

这是SVD的一个简单结果特征值的排序, ξj，j=1，···，r，···，d给出了解释池异质性的不同交互水平的重要性的明确排名相应传染参数βCn，j的排名给出了系统范围内违约对属于相同交互水平的名称的平均影响的清晰排名假设模型的其他参数相同，传染系数βCn，j值较大的类型名称的平均违约率将大于βCn，j值较小的类型名称的平均违约率。这意味着，如果池中的总体损失率较大，则表明存在区域聚集，βCn值较大的类型名称，如果模型描述中的其余参数相同，则在大型系统17的默认集群中，jwill会产生更多的网络效应βCn的值越大，系统范围内的违约对nthname的平均影响就越大，正如我们在随后的小节中所看到的，我们能够精确地量化这一点，例如，参见第5.3小节中的示例中的数字平均回复水平|||Μ也对同类型名称所经历的损失有重要影响，见示例5.4。平均回报率|λ较小的名称违约的可能性较小。o在具有许多不同交互水平或高度异质性的复杂网络中，像dtorqt这样的量的数值计算可能会非常大。奇异值分解和极限结果定理4.3允许我们通过低秩近似和大N近似，降低系统的维数，使此类计算可行，同时保持准确性。外部风险成分XT的影响通过参数βS进行量化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:53

正如【21】中所述，由于违约强度的增加，β值越大，自然会导致更大的损失。鉴于这里的这种影响与[21]中观察到的类似，并且因为在本文中我们的重点是通过传染术语研究网络效应，所以我们在这里不研究βs进一步的影响。在下面的所有数值示例中，为了简单起见，我们考虑函数b（λ，α）=-α(λ -和ρ=1/2，并将系统风险过程视为CIR过程dXt=κ（θ- Xt）dt+√XtdVt。对于本文的数字目的，我们将注意力限制在上述选择上，因为我们希望能够比较现有文献并从中得出直觉，这些文献主要基于a ffine模型（有关未来的相关方向，请参见结论第8节）。我们考虑以下四种不同的数值研究。第一个示例有一个交互级别，即SVD中的d=1，第二个示例有两个交互级别，即SVD中的d=2。第三个和第四个例子是由财务模型的核心-外围网络结构驱动的，见示例【11，25】。在第三个示例中，所有名称都具有相同的平均反转系数。在示例四中，我们为核心机构和外围机构选择了不同的平均回归系数。请注意，不同类型的名称可能属于相同的交互级别。也就是说，每个层次的交互不需要是同质的。这在下面的具体示例中变得很清楚。Thematrix公司对于核心-外围银行，我们选择了一些例子来反映经验证据【11，17】，即外围银行比核心银行规模更小，活动性更低。5.1. 一级互动案例。在本例中，我们考虑一种情况，其中邻接矩阵只有一个正特征值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 07:13:56

这对应于有一个交互级别，d=r=1，但当然，池仍然是不确定的。让我们从参数κ=4，θ=0.5的一些值开始， = 0.5，X=0.2，σ=0.9，α=4，λ=0.2，λ=0.2，βS=2。此外，让我们考虑N=1000个名称的apool。此外，假设50%的βCn，1取βC值，1=1.2361，其余50%的βCn，1取βC值，2=0.6362，而所有\'n，1\'s18 KONSTANTINOS SPILIOPOULOS和JIA YANGtake值l=0.0316。为了更有效地描述这一点，我们稍微滥用了符号，并考虑了离散随机变量▄βC▄由P（▄βC=βC，1）=0.5、P（▄βC=βC，2）=0.5和P（▄▄l）=1定义。对应的邻接矩阵具有仅具有一个非负特征值10的奇异值分解。左矩阵的第一列取一个值0.0316。右矩阵的第一列取两个值0.12361和0.06362，频率相同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝