协同对的投资组合优化：SDEs与机器学习

2022-6-11 08:05:39

虽然这种方法是模型不可知的，但从与FM相同的协同模型模拟的数据中获得的结果为ML提供了优势。关键词：配对交易、协同、投资组合优化、随机控制、分段高斯混合、深度学习。通信地址：Konul Mustafayeva，伦敦国王学院数学系，Strand，London，WC2R 2LS。电子邮件：konul。mustafayeva@kcl.ac.uk811简介在两种资产具有明显相关性的金融市场中，我们超越了成对交易中使用的高度相关性，并使用[12]中介绍的混合关联模型对资产价格进行建模。我们使用比配对交易中使用的多头/空头策略更通用的可接受策略集来解决投资组合优化问题。配对交易策略涉及在两种相关性较高的资产中匹配多头头寸和空头头寸。配对交易于20世纪80年代中期由摩根士丹利（MorganStanley）的一组定量研究人员首创（有关配对交易的介绍，请参见[19]）。配对交易中的证券必须具有高度的正相关性，这是策略优势背后的主要驱动因素。配对交易基于两种资产的高度历史相关性以及交易员的观点，即两种证券将保持特定的相关性。当交易者识别出相关性差异时，将采用配对交易策略。更具体地说，两种历史相关证券的tradermonitors表现。当两种证券之间的相关性暂时减弱，即利差扩大时，交易者采用做空高资产并购买低资产的交易策略。

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2022-6-11 08:05:42

当价差再次缩小到某个平衡值时，就会产生一个利润。然而，许多作者认为，相关性是衡量金融市场依赖性的一个不恰当的指标，因为回报往往表现出非线性的协相关（例如[3]、[20]）。Mahdavi Damghani等人【14】表明，均值回复过程收益的测量相关性具有误导性：强正相关性并不一定意味着两个随机过程朝着同一方向移动，反之亦然。另一方面，协整检验资产之间的长期均衡关系，并在成对交易中得到广泛应用（见[19]）。协整检验并不衡量两个变量在一起移动的程度，而是衡量它们的均值之间的差异是否保持不变。有时，具有高相关性的序列也会被协整，反之亦然，但情况并非总是如此。[12]中引入的协整模型是一种混合模型，通过捕获短期风险和长期均衡来协调相关性和协整。长期风险的理由是，在罕见的市场崩溃期间，所有资产价格都会下跌。然而，在更乐观的时期，短期风险增加，长期风险变得不那么明显，宏观驱动因素不那么明显。这些影响伴随着从一种资产到另一种资产的平均逆转力。在这种情况下，我们考虑一对资产的连续时间、有限期投资组合优化问题，这些资产的价格遵循[12]中的协整模型。

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2022-6-11 08:05:45

一般来说，优化问题是找到最优控制*= argmax▄w∈AU（Xwt，Ywt）（1）其中U（X）是一个效用函数，~w=（~w，~w）是每个资产中投资的财富比例的向量，a是一组可接受的策略：要么w=-~w（长/短）或▄w，▄w>0，其中▄w+▄w=1（仅长）。我们用金融数学和机器学习方法解决了（1）中的投资组合优化问题，并比较了它们的性能。在金融数学Proach中，我们使用资产价格的SDE演化，而机器学习方法不假设基础模型，通常适用于任何一对资产。在第2节中，我们回顾了共同命名模型。在第3节中，我们使用了经典的金融数学标准：均值-方差优化和电力效用最大化。第4节我们使用机器学习中的聚类分析来解决损益最大化问题。我们在第5节中介绍了每种方法的结果，并对其进行了比较讨论。2资产对的共同命名模型回顾首先介绍了金融行业计算相关性的常用方法（参见第274页[20]、[3]）。假设我们有两个资产的价格由随机过程（Xt）t建模≥0和（Yt）t≥概率空间上的0(Ohm, F、 P）。我们有N个间隔的X和Y观测值t、即i=1，…，X（ti）和Y（ti）。。。，N和t=ti- ti公司-1、这里t型∈ {1、5、22、252}对应于每日、每周、每月和每年的数据。这个t—返回资产X和Y的第i个数据点isRX（ti，t） =X（ti+t）- X（ti）X（ti）（2）RY（ti，t） =Y（ti+t）- Y（ti）Y（ti）。

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大多数88

2022-6-11 08:05:48

（3）资产价格时间序列X和Y的样本波动率为σX(t） =VuTt（N- 1） NXi=1（RX（ti，t）-(R)RX）（4）σY(t） =VuTt（N- 1） NXi=1（RY（ti，t）-其中，RX和RY分别是X和Y系列中所有收益的样本平均值。资产收益率X和Y之间的样本协方差由σXY给出(t）=t（N）- 1） NXi=1（RX（ti，t）-？RX）（RY（ti，t）-(R)RY）。（6）在本文中，我们考虑测量的相关性，即由ρXY给出的样本互相关(t） =σXY(t） σX(t） σY(t）。（7）为了使相关性成为衡量相关性的适当选择，需要满足序列之间线性相关性的假设（见第1.4章[3]）。通常在收益率之间存在非线性依赖关系的金融市场中，相关性是对相互依赖性的一种不恰当的衡量，并且具有误导性，尤其是当用于捕捉资产之间的长期关系时（见【14】和【12】）。相关性的另一种统计度量是协整。如果两个时间序列Xt和YT的阶数为d，并且存在β，使得Xt+βYT的线性组合的阶数小于d，则Xt和YT是协整的（参见[7]）。由于协整资产价格的分布是均值回复的，它们有一个共同的随机趋势，即资产价格在长期内是联系在一起的，尽管它们在短期内可能会漂移（见[2]）。因为协整需要复杂的统计分析，所以它在金融行业的应用不如相关性广泛。虽然相关性和协整是相关的，但它们是不同的概念。高相关性并不一定意味着高协整，高协整也不意味着高相关性（例如，参见[14]中的图4]）。

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2022-6-11 08:05:51

两种资产可能在短时间内完全相关，但从长期来看却存在分歧，一种资产在增长，另一种资产在衰退。相反，两项资产可能会相互跟随，具有一定的利差，但具有任何正、负或变化的相关性。Mahdavi Damghani[12]提出了一种混合模型，旨在调解相关性和协整之间的关系。它捕获了资产之间的短期和长期关系。定义1。考虑过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）（t≥0），P），使用历史概率度量，P。价格为Xt和YT的资产对的协整模型在[12]中定义为DXT=uXtdt+σXtdWt，dYt=κ（Xt- Yt）dt+ηYtd▄Wt，dhW，▄W it=ρdt，（8），其中u∈ R、 σ>0，X（t）=X是资产价格X的漂移、扩散系数和初始值；0 < κ ≤ 1，η>0，Y（t）=Y>0是资产价格Y的均值回复率、波动率和初始值；（W（t））t≥0和（W（t））t≥0是具有常数相关系数的两个相关布朗运动-1.≤ ρ ≤ 1产生过滤（Ft）（t≥0).过程（X）t≥0和（Y）t≥0分别称为超前过程和滞后过程。这是由于滞后过程在领先过程周围逆转。我们在这里提出了[12]中引入的推断相关函数和交叉数公式的概念，以测试两对是否重合。Letρ*XY型(t）为共同时间序列的两个时间序列之间的推断相关函数d阶Xtis积分if（1- 五十） DXT是一个平稳的过程。这里L是一个滞后运算符。资产价格定义如下ρ*XY型(t） =sup0<~t型≤tρXY（℃t）。（9）有时可能没有足够的数据进行计算t-关联资产的推断（测量）相关性。

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2022-6-11 08:05:54

在【12】中，通过检查各种数据集，提出了以下推断相关性（9）的近似公式：ρ*XY型(t）≈ ρ + (1 - ρ) [1 - 经验值(-λκ(t型- 1））]，（10）其中κ∈ [0, 1], λ > 0, ρ ∈ [-1, 1]. 参数λ≈ 1.75表示“定期财务数据”，尽管它本身是一种功能。因此，如果没有足够的经验数据来计算，例如，每年（252天）推断的相关性，则等式（10）中的公式允许仅使用（8）和设置中的共同命名模型的κ和ρ参数来近似它t=252，λ≈ 1.75.推导相关近似公式（10）的动机是，在方程（8）中过程的离散版本中，测量的相关性随着时间的增加而增加，t、增加（例如，使用每日、每周、每月回报计算的相关性）。此外，随着均值回复参数κ的速度增加，共尾配对的测量相关性将更快地收敛到1。如果我们设置ρ=-1在（8）中，关联资产价格的推断相关性可能涵盖整个相关谱[-1，1]（见图1）。测试两个时间序列是否重合的另一种方法是研究归一化序列交叉路径的次数。如果将方程（8）离散化，则可以近似于两个随机过程x=Xi的次数期望值∈安迪=易∈[1,2，…N]，交叉路径如下[Γx，y（κ，N）]≈ Nγ(1 - κ) +√κ（11） N是数据的长度，γ是一个正常数，κ是方程（8）中平均值反转的速度。与纯相关SDE的次数相比（例如：无平均逆转成分，即。

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2022-6-11 08:05:57

当κ=0时，共有SDEscross路径的离散版本的次数大于随机路径的次数，且κ越大，离散SDE路径在单位时间内相互交叉的频率越高。如果方程式（10）中推断的相关公式得到验证，则将两个随机过程合并（见【12】）验证方程式（11）中的交叉数公式；o标的资产具有合理的物理联系，这意味着它们的扩张应该意味着恢复（例如石油和英国石油的股价）。可以使用推断的相关公式（10）和交叉数公式（11）（参见[12]）来估计共尾模型（8）中的参数。与【14】、【12】中所述的variancereduction方法类似，我们可以定义+=最大值（Xt- Yt，t∈ [0，T]）, （12） B类-=inf（Xt- Yt，t∈ [0，T]）.我们注意到，当ρ=B+>| Xt时，κ的估计具有更高的方差- Yt |>B-, （13）其中ρ，另一方面是质量样品。当κ=| Xt时，则相反- Yt |>B+[| Xt- Yt |<B-. （14）因此，我们可以在Zκ中取样κ，在Zρ中取样ρ。图2说明了这一点。3投资组合优化问题的金融数学方法我们考虑两种资产的投资组合，并用（8）中的协整关系对其价格进行建模。我们用经典的金融数学理论：均值方差和幂效用最大化来研究这个投资组合的优化问题。由于共有资产同时具有相关性和均值回归成分，因此我们制定了仅长期策略的均值-方差优化问题，并计算了最佳策略以实现相关性。为了证明共同资产的均值回归特性，我们使用长/短策略的电力效用最大化问题的随机控制公式，并计算最优权重。

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2022-6-11 08:06:00

然后，我们通过在这两种最优策略之间动态切换来最大化投资组合损益。3.1均值-方差优化我们首先回顾均值-方差优化的基本概念和概念。回报：投资组合考虑n个潜在资产的组合，初始资本值（0）和权重w，w。。。，wn，因此Pniwi=1，wiV（0）是i=1，2，…，的不安全投资金额i。。。，时间t=0时为n。在t=0时投资证券的股份数量isni=wiV（0）Si（0）。（15）时间t的投资组合价值isV（t）=NXi=1niSi（t）。（16）给定i=1的股份数。。。，n、时间t时投资于集合i的投资组合百分比iswi（t）=niSi（t）PNi=1niSi（t），（17）其中PNi=1wi（t）=1。时间t时资产i的回报率（即超过[t- t、 t）由i（t）=Si（t）给出-Si（t-t） Si（t-t） =Si（t）Si（t-t）- 1.（18）投资组合的回报率Rp（t）为Rp（t）=V（t）- V（t- t） V（t- t）。（19）我们可以证明，投资组合的收益率是单个资产收益率的线性组合，如下所示：rp（t）=V（t）V（t- t）- 1=NXi=1niSi（t）PNj=1niSi（t-t）- 1=NXi=1niSi（t-t） Si（t）PNj=1niSi（t-t） Si（t-t）- 1=NXi=1wi（t）（Ri（t）+1）- 1=NXi=1wi（t）Ri（t）。（20）有时，使用日志返回更方便，它是根据资产i byri（t）=ln定义的Si（t）Si（t-t）. （21）应该指出，在短时间内，对数回归与回归率ri（t）=ln近似相等Si（t）Si（t-t）= ln（Ri（t）+1）≈ Ri（t）。（22）因此，只要时间增量，t、是短的。接下来，我们将使用每日对数回报。因此，在这种情况下，时间t的投资组合回报率rp变为Srp=NXi=1wiri。

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2022-6-11 08:06:03

（23）收益的期望和方差：根据期望值算子的线性性质，组合的期望收益E（rp），isE（rp）=ENXi=1wiri=NXi=1wiE（ri）=NXi=1wiui=w>u，（24），其中uide表示资产i的预期回报，w>=[w，w，…，wn]，u=[u，u，…，un]>。投资组合回报率的方差V ar（rp）由V ar（rp）=E给出NXi=1wiri- E（rp）！= ENXi=1wi（ri- E（ri））！= ENXi=1wi（ri- E（ri））！NXj=1wj（rj- E（rj））=NXi=1NXj=1wiwjE[（ri- E（ri））（rj- E（rj））]|{z}：=σ（ri，rj）=NXi=1NXj=1wiwjσ（ri，rj）=w>σw，（25），其中∑表示资产收益的协方差矩阵，由定义为σ（ri，rj）的资产i和j之间的所有协方差组成。资产的方差为收益，构成协方差矩阵的对角线，为σ（ri，ri）。基于均值-方差准则的最优投资策略我们考虑由两种资产组成的投资组合。不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）过滤（Ft）t≥0由二维布朗运动生成：（W，~W）。用X（t）和Y（t）表示两种资产在时间t的价格，动力学遵循（8）中的协整模型。投资行为由投资策略h=（h，h）建模。喂，你好∈ [0，1]，i=1，2，表示投资于该资产的总财富的百分比（见等式（17））。设h（t）和h（t）分别表示时间t时资产X和Y的投资组合权重。允许在固定期限t内连续调整持股。用vhtt表示与策略h相关的时间t时的投资组合价值，我们有Vh（t）=h（t）Vh（t）X（t）X（t）+h（t）Vh（t）Y（t）Y（t）Y（t），（26）初始财富Vh（t）=v。我们将我们的考虑限制在自我融资策略上，其中投资组合的价值仅因资产价格变化而变化，即没有资金流入或撤出[9]。

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2022-6-11 08:06:06

在这种情况下，财富过程的动态为Vh（t）=Vh（t）h（t）dX（t）X（t）+h（t）dY（t）Y（t）. （27）将所有可接受的策略集h=（h，h）进行Adenote，满足：（i）给定v>0，财富过程Vv，h（·）对应于w，h满意度Vv，h（t）≥ 0, 0 ≤ t型≤ T、（28）（ii）高（T）≥ 0表示所有i=1，2，（iii）Pi=1hi（t）=1。投资策略，h∈ A、如果不存在其他策略，则称为“最优”~h∈ a确保E（rp（h））≥ E（rp（￠h））和V ar（r（h））≤ 至少有一个不等式是严格的（见[11]）。我们定义了一个效用函数U（t，h），如【5】：U（t，h）=2τE【rp（t）】-σ[rp（t）]，（29），其中τ≥ 0是风险容忍系数。那么，根据[8]，我们有以下命题。命题1（均值-方差标准）。寻找均值方差准则的最优策略相当于效用最大化问题：具有约束的最大值（t）U（t，h）（30）oPNi=1hi=1，ohi≥ 0i、以及（29）中给出的U（t，h）。因此，我们在方程（30）中有优化问题。从等式（20）中，我们得到了我们的投资组合的回报率，Rp，超过[t- t、 isRp（t）=Vh（t）-Vh（t-t） Vh（t-t） =Xi=1hi（t）Ri（t），（31），其中Ri是个人资产的回报率。我们投资组合的对数回报率，rpis givenbyrp（t）=hr（t）+hr（t），（32），其中ri（t）≈ Ri（t），如等式（22）所示。引理1。用Vh（t）表示与可接受策略h相对应的投资组合的价值∈ A、然后：（i）投资组合收益预期- t、 t]isE（rp（t））=hE[rX（t）]+hE[rY（t）]。

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2022-6-11 08:06:09

（33）（ii）投资组合收益在[t]上的方差- , t] isV ar（rp（t））=hV ar[rX（t）]+hV ar[rY（t）]+2hhCov[rXrY（t）]，（34），其中r（Xt）=lnXtXt文本-t型r（Yt）=ln年初至今-t型资产X和YandoE的每日日志返回（rX（t））=（u-σ)t是资产价格X的预期收益率-t、 t]；oE（rY（t））=[lnaeut+（Y- a） e类-κt型-ce（2u+σ）t+de（u-κ+σηρ)t2（aeut+（Y-a） e类-κt）- ln（年初至今）-t） ]-（Y）-c-d） e2（η）-κ)t2（aeut+（Y-a） e类-κt） +是资产价格Y的预期回报率-t、 t]；oV ar（rX（t））=σt是资产价格X在期限内的收益方差[t-t、 t]；oV ar（rY（t））=ce（2u+σ）t（aeut+（Y-a） e类-κt） +de（u+σηρ）-κ)t（aeut+（Y-a） e类-κt） +（Y-c-d） e2（η-κ)t（aeut+（Y-a） e类-κt）-1是资产价格Y在期限内的回报方差[t- t、 t]；oCov（rX（t）rY（t））=lnbe（u+σ）t+（XY-b） e（σηρ-κ)税款2ut+（XY-aX）e（u-κ)t型是两种资产价格X和Y在地平线上的收益协方差[t- t、 t）]。证据见附录A平均方差标准的最佳权重在【17】中推导。我们陈述了[17]中应用于共同命名模型（8）的以下命题。提案2。

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2022-6-11 08:06:13

对于共同命名模型（8），问题（30）的最优解为：h*（t） =e∑-1（t）e∑-1（t）e+τΣ-1（t）M（t）-e∑-1（t）M（t）e∑-1（t）e∑-1（t）e, （35）e=[1，1，1]，M（t）=[E（rX（t）），E（rY（t））]，协方差矩阵为∑（t）=“V ar（rX（t））Cov（rX（t），rY（t））Cov（rX（t），rY（t））V ar（rY（t））#，其中上面给出了E（rX（t）），E（rY（t））和V ar（rX（t）），V ar（rY（t）），Cov[rX（t），rY（t）]。将这些公式替换为等式（35）中资产收益的期望、方差和协方差得到了均值-方差优化问题的最优策略。我们将在第5.3.2节中给出成对交易电力效用最大化问题的随机控制的数值示例。我们现在使用随机控制方法来解决电力效用最大化问题。在此，我们主要遵循[15]，但对资产价格的动态进行了修改。更具体地说，他们认为其中一项资产的价格动态是一个几何布朗运动，并将对数价差建模为一个Ornstein-Uhlenbeck过程。然而，我们假设资产价格的动态由方程（8）中的共同命名模型控制，其中一项资产遵循几何布朗运动，第二项资产的平均值在灰岩周围恢复。让(Ohm, F、 P）是具有过滤（Ft）t的完全概率空间≥0由二维布朗运动生成：（W，~W）。我们考虑与第3.1小节相同的市场：两种资产遵循共同命名模型（8）。我们假设在时间t=0时，初始财富v>0。最初的财富以保证金形式持有。为简单起见，我们假设保证金账户的利率为0，r=0。保证金账户限制一个人可以做空或做多的金额。持仓量可连续调整至固定水平T。投资行为由投资策略π=（π，π）建模。

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2022-6-11 08:06:16

这里，πi（t），i=1，2，表示在t时投资于第i项资产的总财富的百分比（见等式（17））。设π（t），π（t）分别为时间t时资产X和Y的投资组合权重。我们只允许成对交易：做空一项资产，做多另一项资产，金额相等，即π（t）=-π（t）。此外，我们仅考虑自我融资策略。我们在【10】中定义了容许控制和受控过程。定义2（对照）。给定R的子集U，我们用所有渐进可测过程的集π={πt，t表示≥ 0}值，单位为U。Uare的元素称为ControlProcess。用Vπ（t）表示时间t对应于策略π的投资组合的价值，由Vπ（t）=π（t）Vπ（t）X（t）X（t）+π（t）Vπ（t）Y（t）Y（t）给出。（36）与策略π=（π，π）相关的投资组合价值Vπ的动态由dvπ（t）=Vπ（t）给出π（t）dX（t）X（t）+π（t）dY（t）Y（t）（37）将X（t）和Y（t）的动力学替换为（37），我们得到：dVπ（t）=Vπ（t）hπ（udt+σdW（t））-πκX（t）Y（t）- 1.dt+ηdW（t）i、（38）引理2。表示Z（t）：=X（t）Y（t）。对于共Telation模型（8），我们得出Z（t）具有动力学dz（t）=[u+η- σηρ - κ（Z（t）- 1） ]Z（t）dt+Z（t）（σdW（t）+ηdW（t））。（39）证明。根据伊藤商法则：dX（t）Y（t）=dX（t）X（t）X（t）Y（t）-dY（t）Y（t）X（t）Y（t）+dhY，Y Y Y（t）X（t）Y（t）-dhX，Y itX（t）Y（t）X（t）Y（t）。（40）用Z（t）表示Z（t）=Z（t）（udt+σdWt- κ（Z（t）- 1） dt公司-ηdW（t）+ηY（t）Y（t）dt-σηρdt）=[u+η- σηρ - κ（Z（t）- 1） ]Z（t）dt+（σdW（t）- ηdW（t））Z（t），（41），证明了引理。对于每个控制过程π∈ 我们重写二维态过程的动力学，P=（Vπ，Z），如下dp（t）=a（t，P（t），π（t））dt+b（t，P（t），π（t））dB（t）。（42）初始值P（t）=pand B=（W，~W）为二维布朗运动。过程P称为受控过程。

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2022-6-11 08:06:19

设[t，t]为0≤ t<t<∞ b相关时间间隔和定义Q：=[t，t）×R。系数函数a:Q×U→ R、（43）b:Q×U→ R2×2，都是连续的。此外，对于所有π∈ U设a（·，·，π）和b（·，·，π）在C（Q）中。然后我们定义了定义3（容许控制）。表示所有容许控制的集合，我们称之为控制{π（t）}t∈如果以下条件成立（i），则[t，t]将被视为可接受k∈ N可积条件ZTt |π（s）| kds< ∞ （44）满足，（ii）相应的状态过程Pπ满足集，psupt∈[t，t]| Pπ（t）| k！<∞,（iii）只允许成对交易：做空一项资产，做多另一项π=-π. （45）由于我们考虑了自我融资投资组合，那么通过方程（45）状态过程的动力学，P=（Vπ，Z），变成Vπ（t）=Vπ（t）h（π[u-κ（Z（t）- 1） ]）dt+π[σdW（t））+ηdW（t）]i，Vπ（0）=V，dZ（t）=[u+η- σηρ - κ（Z（t）- 1） ]Z（t）dt+[σdW（t）- ηdW（t）]Z（t），Z（0）=Z。最优投资策略我们假设投资者的偏好由幂效用函数u（x）=γxγ（46）表示≥ 0和风险规避参数γ<1。我们的目标是最大化所有容许控制上的目标函数J，即确定容许控制π（·），使得对于每个初始值（t，v），下面的效用函数最大化：J（t，v，z；π）：=e[U（vπ（t））；Vt=v，Zt=z]。（47）优化问题是找到▄v（t，v，z）和π∈ Asuch that▄v（t，v，z）：=supπ（·）∈AJ（t，v，z，π）=J（t，v，z，π*). （48）考虑函数G（t，v，z），使G∈ C1,2（Q）。对应于随机控制问题（48）的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程为Gt（t，v，z）+supπ∈ALπG（t，v，z）=0，（49）受终端条件G（t，v，z）=vγ的约束。

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2022-6-11 08:06:22

（50）与二维状态过程P=（v，z）相关的最小生成元LπG（t，v，z）（49）由LπG（t，v，z）=[π（σ- 2σηρ+η）vGvv+2π（σ- 2σηρ+η）vzGvz+（σ- 2σηρ+η）zGzz][π[u-κ（z-1） ]]vGv+[u+η- σηρ - κ（z- 1） ]zGz。（51）定理1。如果存在最优控制π*（·）然后G与值函数一致：G（t，v，s）=v（t，v，z）=J（t，v；π*).使用分离ansatz，我们将（49）中的三维HJB方程简化为以下二维PDE：△σ（γ-1）快速傅里叶变换-∑γzfz-γ[u - κ（z-1） ]f+￠σ（γ-1） zffzz-~σγ[u - κ（z-1） ]zffz+￠σ（γ-1)[u + η- σηρ - κ（z- 1） ]ffz，f（T，z）=1，（T，z）∈ [0，T]×R，z∈ R、（52）式中￠σ=σ- 2σηρ + η.此阶段的问题是，此PDE没有关闭的解决方案。这是一种非标准的偏微分方程，它不是高维的，但是非线性的，这使得使用有限差分方法或任何标准数值方法都不够充分。因此，我们建议使用“深伽辽金方法”来求解（52）中的偏微分方程。一旦找到了解，我们就可以把最优策略写成π*= -σzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv￠σvGvv=-σz（fzvγ-1γ) + [u - κ（z- 1） [（fvγ-1γ）～σv（fvγ-2γ(γ -1))= -σzfz+[u- κ（z-1） ]f￠σf（γ-1)= -zfz（γ-1） f级-[u -κ（z-1)]~σ(γ -1). （53）详见附录B。3.3求解随机控制中的偏微分方程的深度学习（52）中没有非标准二维偏微分方程的解析解，我们使用[16]中提出的算法“Deep Galekin方法”（DGM）近似该解。DGMis是Galerkin方法和深度神经网络机器学习算法的结合。伽辽金方法是一种流行的数值方法，它寻求作为基函数线性组合的偏微分方程的简化形式解。深度学习算法（DGM）使用深度神经网络，而不是基函数的线性组合。

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2022-6-11 08:06:26

该算法是在成批随机采样的时间和空间点上训练的，因此是无网格的。简要回顾DGMIn一般情况，考虑具有d空间尺寸的PDE：ut（t，x；θ）+Lu（t，x）=0，（t，x）∈ [0，T]×Ohm,u（t，x）=g（t，x），x∈ Ohm,u（t=0，x）=u（x），x∈ Ohm （54）其中x∈ Ohm Rd和L是所有其他偏导数的算子。目标是用深度神经网络f（t，x；θ）逼近U（t，x）。此处θ∈ Rk是神经网络参数。我们希望最小化与问题（54）相关的目标函数，该问题由三部分组成：1。衡量近似值满足PDE的程度：ft（t，x；θ）- Lf（t，x；θ）[0，T]×Ohm,ν. (55)2. 衡量近似值满足边界条件的程度：ft（t，x；θ）- g（t，x）[0，T]×Ohm,ν. (56)3. 衡量近似值满足初始条件的程度：ft（0，x；θ）- u（0，x）Ohm,ν. （57）这里，所有三个误差都是根据L-范数来测量的，即kf（y）kY，ν=RY | f（y）|ν（y）dy，其中ν（y）是区域y上的密度。以上三个项的总和为我们提供了与神经网络训练相关的目标函数：J（f）=ft（t，x；θ）- Lf（t，x；θ）[0，T]×Ohm,ν+ft（t，x；θ）- g（t，x）[0，T]×Ohm,ν+ft（0，x；θ）- u（0，x）Ohm,ν. （58）因此，目标是找到一组参数θ，使函数f（t，x；θ）使误差J（f）最小。当维数d较大时，通过直接最小化J（f）来估计θ是不可行的。因此，我们可以使用一种机器学习方法来最小化误差J（f）：随机梯度下降，其中我们使用随机抽取的时间和空间点序列。下面的算法1描述了DGM方法的算法。备注1。

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2022-6-11 08:06:30

学习率αn是一个可配置的超参数，用于神经网络的训练，控制根据估计误差改变模型的程度。每次更新模型权重时。学习率有一个很小的正值，通常在0.0到1.0之间。与[1]类似，我们设定α=0.001。请注意，我们的学习率αn必须随着n的增加而降低，请参见[16]，一种简单的方法是使用指数加权方法，其中αn← αn-1.* λ与λ∈ ]0，1[。在机器学习中，超参数是一个参数，其值是在学习过程开始之前设置的，而其他参数的值是通过训练得出的。算法1 Deep Galerkin Method（）需要：Lf（），u（），g（）确保：Ln+Ln+Lnis最小化生成随机点：1：（tn，xn）← U~ [0，1]2：（τn，zn）← U~ [0，1]3:wn← U~ [0，1]4：序号← （（tn，xn），（τn，zn），wn）计算平方误差：5:Ln←ft（tn，xn；θn）-Lf（tn，xn；θn）6： Ln公司←ft（τn，zn；θn）-g（τn，zn）7： Ln公司←ft（0，xn；θn）-u（0，wn）8： G（θn，sn）← Ln+Ln+Ln在随机点进行下降步骤：9：-argmaxθnG（θn，sn）10：αn← αn-1.* λ11：θn+1← θn- αnθG（θn，sn）重复，直到公差水平10-8为了达到收敛标准，DGM中使用的神经网络（NN）架构类似于长-短期网络（LSTM），尽管差异较小，请参见【16】。我们在下面描述了该神经网络的结构：S=σ（w·x+b）Zl=σ（uz，l·x+wz，l·Sl+bz，l）l=1，LGl=σ（ug，l·x+wg，l·Sl+bg，l）l=1，LRl=σ（ur，l·x+wr，l·Sl+br，l）l=1，LHl=σ（uh，l·x+wh，l·（Sl Rl）+bh，l）l=1，LSl+1=（1-德国劳埃德船级社）Hl+Zl Sll=1，Lf（t，x，θ）=w·SL+1+b带表示阿达玛乘法、L层数和σ激活函数。下标的其余部分指的是图3和图4的神经网络架构中的神经元。备注2。

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2022-6-11 08:06:33

我们可以在图3中看到DGM[1，16]方法的鸟瞰图，在图4中可以看到其细节。【1，16】中解释了基本原理。在Merton问题上测试DGM该方法在[1]和[16]中分别用几个非线性高维偏微分方程进行了测试，包括非线性HJB方程。我们自己在HJBequation上对Merton问题的DGM算法进行了测试。更具体地说，图5和图6显示了DGM解决方案的分析和近似曲面图。图7显示了解析解和近似解之间的差异。近似值很好。大多数时候，误差在0%到1%之间。近似解在t=0附近也不适用（最大误差为4%，在t=0附近）。这与[1]中的发现相符。使用DGMRecall解决我们的PDE问题我们要解决的PDE在方程式（52）中给出。

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2022-6-11 08:06:36

在没有该偏微分方程的封闭形式解的情况下，我们使用上述DGM算法近似该解。图8显示了（52）中不同参数值的PDE近似解。回想一下，一旦我们得到了上述偏微分方程的数值解f，我们就可以得到如下最优权重：π*= -σzGvz+[u- κ（z-1） ]Gv￠σvGvv=-σz（fzvγ-1γ) - [u - κ（z- 1） [（fvγ-1γ）～σv（fvγ-2γ(γ -1))= -σzfz- [u - κ（z-1） ]f￠σf（γ-1)= -zfz（γ-1） f级-[u -κ（z-1)]~σ(γ -1），（60）带π*= -π*.3.4均值-方差和功率-效用的最优策略之间的动态切换虽然在前两种情况下，我们假设投资者具有某种由效用函数（MVC和功率-效用）建模的风险偏好，但考虑一种情况很有意思，即投资者总是可以被说服去购买更多的资金（一致性函数U（x）=x，在决定MVC还是power utility时，本质上是具有风险规避参数γ=1）的power utility函数。假设投资者的偏好被建模为方程（29）或不等式（46），为了进一步提高投资组合回报，我们在两个最优策略ψ之间进行动态切换*（t）=π*（t），如果Vπ*（t）≥ Vh公司*（t），h*（t），否则，（61），其中π*（t）和h*（t）方程（60）和（35）以及Vπ中给出*（t）和Vh*（t）给出了不等式（36）和（26）。动态转换背后的动机是，投资者希望从均值回归和协整模型的相关元素中获益（8）。更具体地说，由于两项资产之间的利差增加了投资工具对交易和盈利，否则将使用MVC方法。T=1000天isR（rp）=V（0）时，投资期限内的投资组合回报率[0，T]- V（T）V（0）。

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2022-6-11 08:06:39

（62）我们使用相同的模型进行了500次模拟，平均结果如表1所示。采用动态切换最优策略得到的终端时间T的平均收益高于采用MVC或功率效用最大化最优策略计算的平均收益。4投资组合优化问题的机器学习公式4.1投资组合优化问题我们假设在时间t=0时初始财富w>0。投资行为由投资策略w=（w，w）建模。这里，w（t），w（t）分别表示t时投资于资产X和Y的财富百分比。让V（t）表示t时的投资组合价值，VP nL（t）：=V（t）- V（0）表示[0，t]以上的利润损失（损益）。每次t，我们允许任意一对交易：w（t）=-w（t）或无杠杆的纯长期策略：w（t）+w（t）=1，w（t），w（t）>0。一般的优化问题是找到一个最优策略w（t），使最终损益最大化：w*（t） =argmaxw（t）∈AVP nL（w，T），（63），其中VP nL（w，T）是对应于时间终端时间T的策略w的收益和损失。我们使用聚类分析来设置频带，并在每个频带中解决以下优化问题*i（t）=argmaxwi（t）∈AVP nL（wi，t），（64），其中i=1。。。，n是频带数，VP nL（wi，t）是对应于时间t的策略wi的性能和损耗。然后，整体解w*通过每个频带w的最佳权重的线性插值获得*该方法的优点是，我们不会对资产价格强加特定的模型。计算最佳权重只需要数据观测，这意味着避免了复杂的SDE校准。4.2波段高斯混合模型回顾我们回顾波段高斯混合模型，因为它启发了我们选择波段的方法。

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2022-6-11 08:06:42

考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）和let（Pt）t≥0表示资产价格。Mahdavi Damghani和Roberts【13】最近为资产Pt的价格动态引入了一种广义的bumping SDE。SDE包含一些次要参数，其目的是经验手动拟合。广义SDE由dpt=θt，τ（ut，τ）给出- Pt）dt+σPαt（1-Pt）βdWt。（65）这里θ是平均值逆转的速度，u是长期平均值，α是正性因子，β是[-1，+1]边界流执行器和{SdWi}ti=t-τ是假设模型分布的历史偏差集（例如：正常差异背景下的所有历史绝对回报）。这种广义SDE给出了一种特殊情况下的协同模型：取θ=-对于X in（8）的动态，u、u=0、α=1和β=0；取θt，τ=κ，ut，τ=Xt，α=1，β=0表示（8）中Y的动力学。（65）中的SDE也可以建模：oθ=0、α=1、β=0时的比例回报（对数正态分布）。oθ=0、α=0、β=0时的绝对回报（正常差异），o我们强制回报为正的均值回复回报（例如，当α=1/2和β=0时，CIR[6]差异），o我们不强制回报为正的均值回复回报（例如，当α=0和β=0时，OU[18]差异）。通常，将（65）中SDE的参数校准到实际数据是复杂的。使用（65）模拟的数据，其经验分布被近似，以便通过带式高斯混合模型进行预测。这是针对使用机器学习聚类方法创建的一系列频带进行的（参见[13]）。设P={P，…，pn}是一组经验随机变量，使用具有累积分布函数F（P）和密度F（P）的方程（65）进行采样。表示O={p（1），…，p（n）}p的有序集，使得p（1）<p（2）<…<p（n）andOih={p（dn（（i-1） +1）/他）。

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2022-6-11 08:06:45

，p（bn（i）/hc）}。然后，使用方程（65）中的SDE模拟的数据的经验分布函数的带式高斯混合模型如下所示：^Fn（pi | Ft）=nhXj=1ζXi=ηpi∈Ojh（66），η=dn（（i- 1） +1）/he和ζ=bn（i）/hc。例如，在频带h=3的情况下，使用高斯混合，使得^Fn（pi | Ft）=N(-3、1）1pt∈O+N（0，1）1pt∈O+N（3，1）1pt∈O、（67）我们获得了图9中的近似分层。分层是为了使每个Ojhregion中的心度保持大致相同，而不是p（1）和p（n）的几何分离函数的结果。【13】中的定理1确保了高斯混合模型（66）对广义SDE（65）的良好逼近。算法2给出了带向高斯混合的标定。对于我们的优化问题，我们采用类似的方法，通过聚类算法将观测范围划分为多个波段，然后通过权重扰动在每个波段进行优化。算法2逐带高斯混合（P，h）要求：数组P1：与非带数hEnsure：Ohm（1:h），[B+（1:h），B-（1:h）]返回。排序状态：1:X（1:h）← 快速排序（X1:n）2：[B+（1:h），B-（1:h）]← FindPercentileBands（X（1:n），h）3：Ohm（1：dn/he）← []分配状态：4：对于j=1到h do5：对于i=1到n do6：如果B-（1:h）≤ P（i）<B+（1:h），然后7：修改(Ohm（j），P（i））8：结束if9：结束for10：结束forChecking近似状态：11：^u1：h← 平均值(Ohm（1:h））12:^σ1:h← stdev公司(Ohm（1:h））13：打印(∪hi=1N（ui，σi））返回状态：14：Ohm（1:h），[B+（1:h），B-（1：h）]4.3最优机器学习策略基于带式高斯混合模型的思想，我们使用聚类分析来创建带，但不是针对观察到的资产价格数据，而是针对（8）中两个资产价格之间的价差，即Xt- 年初至今。

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2022-6-11 08:06:48

在每个波段内，我们测试一组使相应损益最大化的策略，而不是将分布指定为带内高斯混合。我们记录每个波段内的最佳策略，并且在实时交易中，每当资产价格的分布在某个波段内时，我们会对此特定波段采用最佳策略。我们现在展示了在机器学习方法中转化为投资策略的交易信号。贝叶斯设置：我们从方程（8）Bt=Xt设置- Ytand haveBt={B+n，t，B+n-1，t，B+1，t，B1，t，B-n-1，t，B-n、 t}，这样B+n，t>B+n-1，t>…>B+1，t>0>B-1，t>…>B-n-1，t>B-n、 t.我们知道，根据分布情况，样本的近似分布会有所不同【13】。然后，校准算法将包括创建尽可能多的区域，同时在这些范围内尝试尽可能多的策略，并测试每个策略在损益最大化方面在每个范围内的表现。我们采用直接方法（见备注3），包括3种策略及其累计损益。用I=1，2，…，固定带[ai，bi]。。。，n我们考虑以下策略：o策略S+，其中我们在时间t在频带[ai，bi]之间长X和Y，并且P&L V++[ai，bi]，t.o策略S+-其中，我们在时间t处于带[ai，bi]之间的长X和短Y，并具有P&L V+-【ai，bi】，t.o战略-+其中，在时间t，在频带【ai，bi】之间，我们是短X长Y，并带有损益V-+【ai，bi】，t。与这些策略对应的损益定义如下：V++【ai，bi】，t=TXt=0【w++【ai，bi】，tXt+（1- w++[ai，bi]，t）Yt]1ai<t型≤bi，V+-[ai，bi]，T=TXt=0[w+-[ai，bi]，tXt公司- (1 - w+-【ai，bi】，t）Yt]1ai<t型≤bi，V-+[ai，bi]，T=TXt=0[-w-+[ai，bi]，tXt+（1- w-+【ai，bi】，t）Yt]1ai<t型≤bi。备注3。我们称这种方法为直接方法，因为理想情况下，策略的数量应该符合更细粒度的权重分布。

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2022-6-11 08:06:51

然而，为了与财务数学方法进行比较，我们考虑了相同的策略集：仅多头策略、多头/空头策略。我们用V表示每种策略实现的最大损益,*【ai，bi】，T，如givenby方程（68）和定义**[人工智能，人工智能]，Tof损益确认**[ai，bi]，T（方程（69）），使用带内高斯学习的最优策略[ai，bi]。五、,*[ai，bi]，T=argmaxw[ai，bi]，t∈[0，T]V[ai，bi]，T，w[ai，bi]，t∈ [0，1]（68）V**[ai，bi]，T=最大值（V++，*[ai，bi]，T，V+-,*[ai，bi]，T，V-+,*[ai，bi]，T）。（69）在实时交易中，我们通过线性插值将每个波段的最佳权重重新组合为整体最优解：w*（t） =nXi=1w*i{（Xt-Yt）∈[人工智能，人工智能]}。（70）虽然我们没有证据证明（70）中的插值策略是最优的，但我们将其作为一个基准，仍然比金融数学方法（Financial Mathematicsapproach）的结果有所改进。我们的目标是将机器学习方法应用于表现出某种依赖性的一对资产，但这种方法可以用于任何模型，即。

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2022-6-11 08:06:54

它是模型不可知论的。算法3用于共Telation（P，h）的带式ML要求：数组P1：与非带数hEnsure：Ohm（1:h），[B+（1:h），B-（1:h）]返回排序状态：1:P（1:h）← 快速排序（P1:h）2：[B+（1:h），B-（1:h）]← FindPercentileBands（P（1:n），h）3:B（1:h）← [B+（1:h），B-（1:h）]4：Ohm（1：dn/he）← []分配状态：5：对于j=1到h do6：对于i=1到n do7：如果P（i）∈ Bithen8：修订(Ohm（j），P（i））9：结束if10：结束for11：结束for优化每个频带的3种类型的损益：12：对于i=1到h do13：V++，*Bi，T← argmaxw++Bi，t∈[0，T]V++Bi，T14:V+-,*Bi，T← argmaxw+-Bi，t∈[0，T]V+-Bi，T15:V-+,*Bi，T← argmaxw-+Bi，t∈[0，T]V-+Bi，T16：结束forRank并返回每个波段的最佳策略：17：对于i=1到h do18:V**Bi，T← 最大值（V++，*Bi、T、V+-,*Bi、T、V-+,*Bi，T）19:S*T← （S++，*Bi、T、S+-,*Bi、T、S-+,*Bi，T）20:S**Bi，T← 返回对应策略（V**Bi、T、S*T），21：预测结束：22：信号，信号L← 预测**Bi、T、St、Sl、T）返回买卖信号：23：信号，信号我们进一步提供算法3作为校准过程的伪代码。注意，在算法2和3中，我们都使用了快速排序，它可以被其他排序算法替代。请注意，在算法3的第20行中使用了自解释函数，如returnCorrespondingStrat（x，y），如其名称所示，该函数给出了策略集和P&Lreturns，输出使损益最大化的相应策略。算法3第22行中的函数预测（x、y、z）将经过训练的策略集和当前水平的XT和YT作为输入，并返回后两者的信号应该在哪里的预测。最后，第13-16行中argmax函数的使用可以替换为一个简单的for循环，但为了避免伪代码过于拥挤，我们采用了这种方式。备注4。

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2022-6-11 08:06:57

在[13]中，作者表明，一个合理的风险管理者或交易者可以假设β=0和α=1的广义SDE（65），以便对我们的风险因素的模拟情景实施积极性。如果在实际市场中不再令人满意，这一非常合理的假设将使整个风险引擎崩溃。然而，我们提倡的方法能够毫无问题地继续其动态学习场景，因为它是模型不可知的。5数值结果图10显示了一条模拟路径上的ML和DS方法。请注意，当在1000天的期限内实施ML方法时，我们将此数据加倍用于培训，即使用2000历史每日价格。我们已经进行了两组500次模拟，并在以下两个示例中收集了它们的结果。示例1。我们基于共尾模型（8）模拟了500条X和Y路径，参数u=0.05，σ=0.17，η=0.16，κ=0.1，ρ=-0.6. 图11说明了具有长/短策略（MLL）的机器学习方法在损益方面的平均表现略好于随机控制方法（SC）。然而，根据直方图，在任何时候，没有一种方法的表现比另一种好或差。示例2。我们基于共尾模型（8）模拟了500条X和Y路径，参数u=0.05，σ=0.17，η=0.16，κ=0.1，ρ=-0.6. 图12说明了在大约55%的时间里，MLA法在损益方面的表现似乎略好于FM法，而在其他45%的时间里表现优于FM法。

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2022-6-11 08:07:00

然而，根据历史图，我们注意到，有时ML方法的表现明显优于FM方法。根据图11和图12中的性能直方图，我们得出结论，对于参数u=0.05，σ=0.17，η=0.16，κ=0.1，ρ=-共同命名模型（8）的0.6，我们对这些方法的排名如下：SC<MLLS<F M<ML。全套策略（仅长策略和长/短策略）的ML在大多数情况下优于DS的原因可能是，在仅长策略的ML方法中，我们的权重更多样，而FM中的封闭式公式（35）给了我们几乎恒定的权重（具有较小的摩擦力）。未来工作的可能方向多维案例未来工作的一个方向是考虑n维关联模型的投资组合优化问题。例如，当n=3时，我们可以有以下形式：dSat=σSatdWatdSbt=θ（Sat- Sbt）dt+σSatdWbt（71）dSct=θ（Sat- dt+σSctdWctOne自然的问题首先是关于如何建模这个三元组？例如，Sband Screturning about Sabe的方程式（72）会与方程式（8）中的一对更加一致吗？或者Sbreverting about Saand Screturning about sb会更好吗？它们是等价的还是更有用的？当n增加时会发生什么？我们计划在将来研究这些问题。加密货币的应用未来工作的另一个方向是使用cointelationmodel建模加密货币价格，并使用本文提出的投资组合优化方法构建加密货币指数。加密货币是替代阿尔法的一个来源，因此最近出现了加密货币指数，其构建方法从风险平价到随机投资组合理论（SPT）。

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