随机市场下的均衡价格与最优内幕交易策略

2022-6-11 08:40:22

长记忆库存流动性下的均衡价格与最优内幕交易策略*Ben zhang Yanga，新疆Heb，Nan jing Huanga，+a.四川大学数学系，中国四川成都610064。澳大利亚新南威尔士州伍伦贡大学数学与应用统计学院2522摘要：在本报告中，通过描述具有长记忆的交易量，并允许噪声交易波动遵循一般的随机过程，对Kyle内幕交易模型进行了扩展。在这一新修正的模型下，确定了均衡条件，据此可获得最佳内幕交易策略、价格影响和价格波动率。价格波动的波动性似乎过大，这是因为内幕人士在未知交易量较大时选择了更激进的交易策略。最优交易策略具有长记忆性，价格影响也受到分形噪声的影响。关键词：资产定价；平衡内幕交易；最优投资；资产变现能力分数布朗运动。1引言均衡资产定价对于任何金融市场来说都是一个重要且持续的话题，许多作者对此进行了深入研究[9、1、1、18、28、31]。它还可以用来处理内幕交易问题，历史可以追溯到1985年，当时Kyle【22】开发了一个模型，其中假设largetrader拥有关于股票价值的长期私人信息，这些信息将在某个已知日期公布，并以最佳方式持续交易股票，以最大化其预期收益，而风险中性的做市商则试图从总订单流量中推断出内幕人士所拥有的信息。

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mingdashike22

2022-6-11 08:40:25

由此产生的均衡价格动态实际上与订单流量呈线性响应，而不是完全显示，因为订单流量也是由只针对流动性价格的不知情噪音交易者驱动的。尽管凯尔模式很吸引人，但它也克服了两个主要缺点；Kyle的lambda是衡量订单流量对均衡价格影响的常数，价格波动率变为常数，与噪音交易波动率无关。为了进一步研究不对称信息对资产价格、波动性、交易量和市场流动性的影响，Admati和P fleiderer[1]，Foster和Viswanathan[13，14]首先修改了Kyle模型，将其扩展到具有近视代理的动态经济体，从而使价格波动不再*这项工作得到了国家自然科学基金（11471230、11671282）的资助。+通讯作者。电子邮件地址：nanjinghuang@hotmail.comconstant由于噪声交易波动率的确定性变化，每个时期都会引入新的私人信息。Fosterand Viswanathan[15]也在噪音交易量中引入了随机变化，然后对该模型进行了实证检验，以显示价格波动性、交易量和价格影响的联合行为。然而，这些扩展的一个明显缺点是假设信息是短期的，这不是真实的。随后，确定性噪声交易波动率被直接引入Kyle模型，以便成功地捕捉到日内流动性交易模式[4]。这种关于噪音交易波动性的假设仍然不合适，因为它会产生确定性的价格影响，并进一步导致流动性交易的预期执行成本不取决于其交易时间的情况。

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2022-6-11 08:40:28

Collin Dufresne和Fos[11]提出了Kyle模型的一个最近的扩展，他们考虑了随机噪声交易波动性，并指出这是内幕人士的流动性时机选择能够产生随机价格波动性以及价格波动性、市场深度和未知情交易量之间的非零相关性的唯一保证。尽管[11]中提出的模型具有所有优势，但它没有考虑到波动性具有长记忆的特征，这是金融计量经济学家的共识。特别是，Bollerslev和Jubinski[7]提出了波动性具有长记忆的证据，并研究了交易量和波动性具有共同长期依赖性的程度。与此相一致，他们还提出，在观察到偶尔的结构突变可能会导致长期依赖之后，将混合分布假设（MDH）更好地视为长期支持[17]。这意味着在MDH下，日内交易量和回报的平均值和/或波动性的局部变化可能会导致长期依赖性，这是由于交易员对信息事件的反应而产生的。此外，分数积分模型被证明在存在结构性突变的情况下提供了波动动力学的有用描述，因为它们有效地允许无条件方差随时间缓慢变化【12】，Hyung等人【20】进一步证明分数积分模型提供了最佳的波动预测，当无法在发生之前确定波动性中断时。

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大多数88

2022-6-11 08:40:31

最近，在[32，33]中提出了一种新的波动率分数随机过程，其中，一般的分数随机模型可以更好地捕捉资产的动态波动率以及基础资产收益率和波动率之间的变化相关性。考虑到市场参与者为将未形成订单流量的组成部分与未形成订单流量的组成部分分开所花费的资源量，以及波动性所表现出的长记忆特性，很难理解这些因素如何影响均衡价格和流动性，因为与定量金融/经济领域相似[19，34]，找到一个能够反映真实市场最具特征的适当模型对于进行正确分析至关重要。为了综合这些因素，本文对凯尔模型进行了推广，使噪声交易波动率在随机环境下演化，交易量由一个受记忆噪声扰动的分数阶随机动态系统控制。本文的主要贡献可以概括为四个方面。首先，为内幕交易问题建立了一个涉及分数随机环境的新的一般框架，并给出了相应的均衡价格，从而给出了一类新的桥牌过程，该桥牌过程在成熟时几乎必然收敛到事前值，只有内幕人士才知道。其次，衍生的最优交易策略显示出长记忆，与资产的低估成正比，相应的比率分别是当前流动性状态和价格影响的递增和递减函数。第三，价格影响被证明是一个次因子，与噪声交易波动率呈负相关，同时也受到分数噪声的影响。

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2022-6-11 08:40:34

最后，我们的新模型中的价格波动率随着噪声交易波动率的增加而增加，而当考虑价格影响时，可以观察到相应的趋势。本文的其余部分分为五个部分。第2节介绍了一些必要的准备工作。在第3节中，我们介绍了一般模型，并对实现平衡的细节进行了说明。在第4节中，考虑了两个具体案例，以强调均衡的关键特征，并讨论了可能的范围，最后一节给出了一些结论性的重新标记。2序言在本节中，介绍了一些有用的概念和结果。我们假设(Ohm, FT，P）是一个概率空间，其中FT，σ（Xs；0≤ s≤ t）是最小的σ，关于该σ，随机变量x对于所有s都是可测量的∈ [0，t]。让我∞(Ohm, FT，P）表示所有有界和F-可测随机变量的空间，Mc，loc表示所有连续局部鞅的空间。假设Hxit被定义为连续函数x=（xt；0）空间中x和Csands的二次变化过程≤ t型≤ 1）在[0，1]上。我们还假设P和PNB（Rd+1）分别是可预测的σ场和由σ场P和B（Rd+1）形成的产品σ场。引理2.1。（文献[21]第3章定理4.6）设M={Mt，Ft；0≤ t型≤ ∞} ∈ Mc，locsatisfylimt→∞hMit=∞, a、 s.定义，每0≤ s<∞, 停止时间asT（s）=inf{t≥ 0; hMit>s}。然后，以下时变过程b、MT（s）、Gs、FT（s）；0≤ s<∞是标准的布朗运动。特别是，过滤{Gs}满足通常条件，mt=BhMit；0≤ t<∞, a、 s.引理2.2。（问题9.3在[21]的第2章中）设W={Wt，Ft；0<t<∞} 成为标准的布朗运动。Thenlimt公司→∞Wtt=0，a.s.引理2.3。

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2022-6-11 08:40:37

（文献[25]中的定理4.6）让非预期泛函a（t，x），b（t，x），t∈ [0，1]，x∈ C、满足Lipschitz条件| a（t，x）- a（t，y）|+| b（t，x）- b（t，y）|≤ LZt | xs- ys | dK（s）+L | xt- yt | anda（t，x）+b（t，x）≤ LZt（1+xs）dK（s）+L（1+xt），其中Land Lare常数K（s）是一个非递减右连续函数，0<K（s）<1，andx，y∈ C、设η=η（ω）为F-可测随机变量，P（|η（ω）<∞|) = 那么方程dxt=a（t，x）dt+b（t，x）dWt，x=η，有唯一的stron g解ξ=（ξt，Ft）。允许l : R→ R+是一个严格正连续函数。我们这么说l 如果满足以下条件，则属于L类-∞ < 一≤ 0≤ b<+∞, 以下ODEsLt=a-ZTt公司l（Ls）ds，Ut=b+ZTtl（Us）ds（1）在[0，T]上有全局有界解。引理2.4。([24]) l ∈ L如果且仅如果-∞dx公司l（x） =Z∞dx公司l（x） =∞.此外，当l ∈ 五十、（1）中给出的方程具有唯一的解。引理2.5。（[24]）假设ξ∈ L∞(Ohm, FT，P）和f是一个PNB（Rd+1）可测函数，使得f（t，ω，·，·，·）对于所有t和ω是连续的，并且存在一些有限常数C，使得| f（t，ω，y，z）|≤ l（y） +C | z |适用于所有t、ω、y和z。如果l ∈ 五十、然后BSDE（倒向随机微分方程）Yt=ξ+ZTtf（s，ω，Ys，λs）ds-ZTt∧sdWs（2）有一个最大有界解（Y，∧）。此外，Y是一个连续过程，L≤ 书信电报≤ Yt（ω）≤ 美国犹他州≤ 所有t和ω的Uholds，其中（L，U）是b=kξk的（1）的非唯一解∞和a=-kξk∞.引理2.6。

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2022-6-11 08:40:40

（[24]）假设f和h是两个PNB（Rd+1）可测函数，使得（i）对于所有t，ω；f（t，ω，·，·）是连续的；（ii）对于所有t，ω，y，z；f（t，ω，y，z）≥ h（t，ω，y，z）；（iii）存在一个常数C>0，这样，对于所有t，ω，y，z|f（t，ω，y，z）|<l（y） +C | z |其中l ∈ L（iv）ξ，η∈ L∞(Ohm, FT，P）和ξ≤ ηP- a、 s.如果（X，Z）是（2）的最大有界解，终值为ξ，系数为f，（Y，Γ）是（2）的有界解，终值为η，系数为h，系数为Y≤ 十、定义2。1.（[26]）具有赫斯特指数H的分数布朗运动是一个中心高斯过程，其协方差函数R（t，s）=E[BHtBHs]由R（t，s）=（| t | 2H+| s | 2H）给出- |t型- s | 2H），其中0<H<1。备注2.1。如果H=，R（t，s）=min（t，s），bh是通常的标准布朗运动。如果H 6=，则BHT既不是半鞅过程，也不是马尔可夫过程。这是一个如下意义上的长记忆过程[29]：如果ρn=E[BH（BHn+1- BHn）]，然后是s eriesP∞n=0ρnis发散或收敛，极侧向。3均衡价格和最优策略我们首先提出模型中的几个基本假设。对于某个股票过程ssPt，有一个风险中性且知道其最终股票价值v的投资者。内幕人士试图最大化他/她的最终收益预期，如下所示：Jt=max{θs}s≥t型∈AE“ZTt（v- Ps）θsdsFYt，v#。（3）在这里，根据[4]，我们假设内幕人士选择了一个绝对连续的交易规则θ，它属于一个可容许的集合a=（θE“ZTθsds#<∞).

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2022-6-11 08:40:43

（4）此外，假设总订单流量到达Yt（由内幕人士的需求和噪音交易者的需求引起）遵循DyT=θtdt+σtdBHt，（5）其中BHT是独立于v的分数布朗运动，这意味着交易量具有显著的市场特征，H被限制在（，1）范围内，因为研究波动性所表现出的长期依赖性的影响对财务有好处，fy是由总订单流量的历史信息产生的过滤y={Yu}u≤t、我们在这里做的另一个假设是σt滚动dσt=m（t，σt）σtdt+ν（t，σt）σtdMt，（6）其中mt是鞅，长期利率m（t，σt）和波动率ν（t，σt）取决于波动率σt的过去历史，而不是取决于Y的历史。另一方面，做市商也是风险中性的，并且有一个先验信息，即v遵循正常分布N（P，∑），而不是了解终值v。做市商通过以平均盈亏平衡的价格进行交易来吸收总订单流量。由于做市商是风险中性的，均衡盈亏平衡要求市场清算价格spt=Ev | FYt. （7）最后，假设做市商和内幕人士都能完美地观察σ的历史，这表明过滤FYC包含订单流量和波动率σt的历史。

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2022-6-11 08:40:46

这与Kyle模型中的假设不同，在Kyle模型中，只有均衡价格是可观测的，因为在Kyle模型中，均衡价格能够恢复总订单流量，而仅观察价格不足以恢复噪声交易波动率，因为我们模型中未信息订单流量的波动率不再是常数，而是一个随机变量。这里需要重新说明的是，如果不确定项是没有记忆的一般布朗运动，那么该模型将退化为Collin Duersne和Fos研究的模型【11】。此外，如果Noise tradingσtwere为常数，则该模型将与classica l Kyle Backmodel完全相同[22]。3.1均衡价格过程定义3.1。当（PT，θt）满足条件（7）时，在解决内部人的时间问题（3）时，会出现平衡。为了解决这一均衡，我们分三步进行：a）股票价格动态呈现，与做市商的风险中性过滤比n一致，这取决于内幕人士遵循的推测strategyrule；b）内部人最优问题（3）在假设动态（7）下求解；c）求解猜想规则（7）与（3）的最优解一致，这表明我们已经达到定义3.1中定义的等式。我们首先提出几个引理，在推导内幕人士的最佳交易策略时将使用这些引理。下面的引理3.1表明，如果内幕人士采取的交易策略在他/她的记忆能力中是线性的，那么股票价格过程的变化在顺序流中是线性的。引理3.1。

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2022-6-11 08:40:49

如果内幕人士采用以下令人难忘的交易策略θt=βt（v- Pt）- （H）-)ψt（8）对于某些Fytadapt过程βtwithψ（t）=Zt（t- u+ε）H-d对于任何ε>0，则（7）中定义的股票价格dpt=λtdYt，（9），其中λ是由λt=βt∑tε2H定义的价格影响-1σ（t），（10）和∑t是以下条件方差∑t=E（五）- Pt）FYt公司. （11）此外，∑tca的动态可表示为：d∑t=-λtε2H-1σtdt。（12）证明。如果温度过程ψ由ψt=Zt（t）定义- u+ε）H-dWu，则Fubini-yieldsZtψsds=ZtZs（s）的随机定理- u+ε）H-dWuds=ZtZus（s）-u+ε）H-ds公司dWu=H-Zt（t- u+ε）H-dWu公司- εH-Wt公司.定义ε，Ht=Zt（t- s+ε）H-dWs。然后，根据分数布朗运动的表达式bht=Zt（t- s） H类-dWs，我们可以得到ztψsds=H-hBε，Ht- εH-Wti。（13）这导致ε，Ht=（H-)Ztψsds+εH-因此Bε是一个半鞅。此外，Bε，htt一致收敛于t的bhtf∈ L中的[0，T](Ohm) 当ε趋于0时。因此，我们在下文中使用Bε，Ht来近似原始分数B罗文运动BHt，这是目前数学金融中的常见做法【27，30】。现在，利用标准高斯投影定理（文献[25]中的定理12.6和12.7），我们可以导出pt+dt=E[v | Yt，Yt+dt，σt，σt+da]=E[v | Yt，σt]+Cov（v，Yt+dt- Yt | Yt，σt）V（Yt+dt- Yt | Yt，σt）×Yt+dt- 年初至今- E【Yt+dt】- Yt | Yt，σt]= Pt+E[（v- Pt）（θt+（H-)ψt）| Yt，σt]dtε2H-1σtdt（Yt+dt- Yt）=Pt+E[βt（v- Pt）| Yt，σt]dtε2H-1σtdt（Yt+dt- Yt）=Pt+βt∑tε2H-1σtdYt。

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2022-6-11 08:40:52

（14）这里，第二个等式使用σ独立于订单流量中的资产价值这一事实，第三个等式是根据推测dpolicyθt的订单流量预期变化为零这一事实获得的，最后一个等式来自（11）。最后，应用投影理论m yieldsVar[v | Yt，Yt+dt，σt，σt+da]=Var[v | Yt，σt]-βt∑tεH-σtVar[年+月]- Yt | Yt，σt]，（15），导致∑t+dt=∑t- ε2H-1λtσt，（16），其中λ由（10）定义。这就完成了证明。由于我们的模型现在具有很长的记忆性，我们还需要引入新的市场深度过程并推导相应的均衡价格过程，然后才能找到问题的最优解决方案（3）。引理3.2。通过设置λt=q∑t来定义GT，并假设市场深度（即Kyle的lambda）过程λtis鞅。如果∑T=0，σ的上下一致为σ>0，则存在满足σε2H的唯一有界解GT-1（T- t）≤ 燃气轮机≤σε2H-1（T- t）。（17）证明。通过设置E[dλt]=0并使用（12），单相[dGt]=-ε2H-1σt√Gtdt（18），终端条件GT=0，这意味着Gtsatis fiespgt=E“ZTtε2H-1σs√GsdsFσt#。（19）因此，√GT解决BSDEdyt=-f（t，yt）dt- ∧tdMt，yT=0，其中f（t，y）=ε2H-1σt2y。如果我们定义l（y） =ε2H-1σ2 | y |，则不难发现f（t，yt）≤ l（yt）对于所有（t，ω）和z∞l（x） dx=Z-∞l（x） dx。因此，根据引理2.4和2。解Lt存在两个解L（t）和U（t）=-RTt公司l（Ls）ds和Ut=-RTt公司l（Us）ds，分别≤ 燃气轮机≤ 美国犹他州。此外，很容易得出UT=-Lt=ε2H-1σ（T- t），得出Gt的上限。另一方面，如果我们考虑以下后序方程dxt的解=-ε2H-1σ2xtdt-e∧tdmt，终端条件xT=0，那么我们实际上可以得到xT=εH-σ√T- t通过设置∧t=0。

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何人来此

2022-6-11 08:40:56

考虑F（t，yt）≥ε2H-1σ2y，（t，ω），引理2.6的比较结果得出yt≥ XT进一步得出Gt最大解的下界。如果我们定义gt=√g并假设有两个均匀边界解g（t）和g（t），然后这两个解之间的差值b，t=gt- gt，满意度t=E“ZTt-sε2H-1σs2gsgsdsFσt#。如果我们表示为ε2H-1σspgsgs，然后在≥ 0和exp-RTADS这是一个有界连续鞅。因此，我们可以得出这样的结论：t=0自T=gT- gT=0。这就完成了引理3.3的proo。由（9）和（10）驱动的价格过程ptt几乎肯定会在时间T收敛到v。证据很简单，dpt=λtdYt=r∑tGtθtdt+σtdBε，Ht=r∑tGtθt+（H-ψt）dt+εH-σtdWt=r∑tGthβt（v- Pt）dt+εH-σtdWti=v- PtGtε2H-1σtdt+r∑tGtεH-σtdWt（20）和d∑t=-∑tGtε2H-1σtdt，∑T=0。（21）如果我们考虑过程Xt=Pt- v、下一步=e-Rtε2H-1σuGuduX+中兴通讯-Rtsε2H-1σuGudur∑sGsεH-σsdWs，I+I。从（17）中，不难算出ε2H-1σσlogTT- t型≤Ztε2H-1σuGudu。≤ ε2H-1σσlogTT- t型,直接导致limt→TI（t）=0。此外，I（t）可以可选地表示为asI（t）=e-Rtε2H-1σuGuduMt，其中mt=ZteRsε2H-1σuGudur∑sGsεH-σsdzs是一个布朗鞅，其二次变差等于hmit=ZteRs2ε2H-1σuGudu∑sGsε2H-1σsds=∑ZteRsε2H-1σuGuduε2H-1σsGsds=∑eRtε2H-1σuGudu- 1..根据引理2.1，存在一个标准的布朗运动bt，使得连续鞅可以看作是一个时变的B-rownian运动，即Mt=BhMit。应用引理2.2中规定的布朗运动的强大数定律，我们最终得到理想的结果→TI（t）=极限→Te公司-Rtε2H-1σuGuduMt=极限→TBhMit1+hMit∑=limτ→∞Bτ∑+τ=0。（22）这就完成了证明。备注3。1.

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2022-6-11 08:40:58

如果我们确定Ptas的平均逆转率κt=ε2H-1σtGt，那么我们可以得到PtasdPt=κt（v- Pt）dt+p∑e-Rtκsds√κtdWt（23）和INSIDER将采用以下令人难忘的交易策略θt=κtλt（v- Pt）- （H）-)ψt.（24）备注3.2。关于标准价格过程的极限分布，也有一个令人满意的结果HT=Pt-v√∑t.It^o引理可以屈服Dht=-ε2H-1σtGthtdt+εH-σt√GtdZt，（25），这意味着Ht是一个具有以下随机时变过程的时变Ornstein-Uhlenbeck（O-U）过程：τt=Ztε2H-1σsGsds，独立于Zt产生的过滤。此外，由于E[hT]=0和E[hT]=1，HTS的极限分布是标准正态分布。利用上面给出的结果，我们现在能够证明市场深度过程是一个鞅，并且可以为Gt建立一个新的界，其细节如下所示。引理3.4。市场深度过程λ是一个与订单流正交的鞅。此外，价格冲击过程λ是一个次鞅。证据根据引理3.2中规定的GT定义，可以直接推导出DPGT+ε2H-1σt√Gtdt=dMt，（26），其中mt=E“ZTε2H-1σt√Gtdtσt#。自那时起≤εH-σσ√T，这是（17）的直接结果，MTI实际上是一个鞅，适用于噪音波动率过程产生的过滤。利用市场深度过程的定义，可以很容易地得到λt=dr∑tGt=∑tdpGt-√Gt2∑td∑t=∑tdMt，（27），这清楚地表明λ是鞅。此外，由于zt和Mtare相互独立，我们得到dMtdZt=0，因此dλtdYt=0。最后，使用Jensen不等式yieldsE[λs | Ft]进行进一步计算≤ Eλs英尺=λt，表示λt≤ E[λs | Ft]。备注3.3到此结束。

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2022-6-11 08:41:02

应该指出的是，这与以往大多数文献的结果相矛盾。虽然在最初的凯尔模型中，价格影响是恒定的，在凯尔模型的各种著名扩展中，无论是鞅还是超鞅[3、4、5、6、8]，我们的结果与[11]中所述的结果一致，其中内幕交易者有机会等待更好的流动性进行交易。事实上，价格影响必须平均增加，以鼓励内幕人士尽早交易，并放弃在随机流动性框架下等待更好流动性的机会。引理3.5。如果有界解GT存在，则GT≤ ε2H-1E“ZTtσsds#。证明。将其^o公式应用于GT直接屈服SDPGT=2pGtdpGt+d【pGt】t=-ε2H-1σtdt+2pGtdMt+d【pGt】t=-ε2H-1σtdt+2pGtdMt+σtdλt、（28）将（28）从t到t进行积分，并取所得方程两侧的期望值，我们可以得到期望的结果。3.2最优策略和验证理论利用上一小节中给出的所有必要结果，我们现在准备证明策略（24）确实是目标问题（3）的最优解。主要结果总结在以下命题中。提案3.1。如果价格动态由（7），（10）给出，且波动率在σ以上和σ以下一致有界>0，则（3）中定义的最优值过程可导出为jt=（v- Pt）+∑t2λt+H-Ztψs（v- Ps）ds-H-A、（29）最优交易策略有以下表达式θ*t=ε2H-1σtλtGt（v- Pt）- （H）-)ψt.（30）这里，常数A可以从A=E“ZTψt（v- Pt）dtFY，v#，（31），其中第（23）条规定了PTI的动态。证据我们推测目标值函数可以表示为（29）。

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mingdashike22

2022-6-11 08:41:04

将It^o引理应用于JtyieldsdJt=（v- Pt）+∑tdλt+λt-（五）- Pt）dPt+（dPt）+2λtd∑t+H-ψt（v- Pt）=（v- Pt）+∑t√∑tdMt+2λtd∑t+λt-（五）- Pt）λtθtdt+εH-σtdWt+ε2H-1σtdt=（五）- Pt）+∑t√∑tdMt- θt（v- Pt）dt- εH-σt（v- Pt）dWt，（32），其中第二个等式是使用引理3.3中的（20）获得的，第三个e质量是引理3.1中的（12）的结果。将（32）从0积分到T，我们进一步得到jt- J+ZTθt（v- Pt）dt=ZT（v- Pt）+∑t√∑tdMt+ZTεH-σt（v- Pt）载重吨。（33）如果我们定义（t）=ZtεH-σs（v- Ps）dWs，andI（t）=Zt（v- Ps）+∑s√∑SDM，那么它们实际上是任何可容许策略的鞅。为了证明这一点，我们从（23）和（24）开始，通过表达式PtasPt=P+Ztλsbθsds+ZtεH-σsλsdWswithbθs=θs+H-ψs.显然，一个hasZtε2H-1σsλsdWs=∑- ∑t<+∞安第斯山脉Ztλsbθsds≤ EZtλsdsZtbθsds≤ EZtσ∑sGsσsdsZtbθsds= EΣ- ∑tε2H-1σZtbθsds≤ E∑ε2H-1σZtbθsds≤2∑ε2H-1σEZtbθsds≤4∑ε2H-1σEZtθsds+（H-)Ztψsds< ∞,其中第三个等式来自（21），最后一个等式是（4）和（13）的结果。这意味着Pt具有有限的方差。考虑到σ是一致有界的，我们当然可以得到“ZTε2H-1σt（v- Pt）dt#<∞,因此I（t）是鞅。另一方面，它来自引理3.4和备注3.2（五）- Pt）∑t< ∑E【ht】<∞,这进一步导致“ZT（v- Ps）∑sdhMsi#<∞.在这种情况下，ZT（v- Pt）√∑tdmt也是鞅，因为mt是一致有界的马氏体。因此，考虑∑是一个递减过程，I（t）是一个鞅。现在，如果我们对（33）两边都取期望值，那么j=E“ZTθt（v- Pt）dt+JT#（34）对于任何θ∈ A、自（v）-Pt）+∑t2λt≥ 0，JT的期望值，E【JT】，可以通过设置T=T从m（29）计算得出，E【JT】≥ 0，屈服“ZTθt（v- Pt）dt#≤ J、这意味着，如果存在交易策略θ，则jj将是最优值函数*t、与（10）一致，使得E【JT】=0。

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2022-6-11 08:41:07

实际上，从引理3.2和（31）中，我们得到E[JT]=E（五）- PT）2λT+√∑TGT= E（五）- PT）2λT≤vuutE[（v- PT）GT]E“v- PT公司√∑T#= 因此，我们证明了价值函数和交易策略的最优性。从命题3.1和备注3.2中可以清楚地看出，均衡价格允许一个过渡过程，该过程收敛到v值，而v值只有在到期时才为内幕人士所知。这保证了所有私有信息在到期时都将被纳入均衡价格，并且推广了[3]中给出的结果，即连续时间Kyle模型中的均衡价格遵循具有恒定波动率的标准布朗桥。从我们的模型中还可以观察到，只有当mea n-逆转率κtis随机时，均衡价格波动才会随机。提案3.1进一步指出，虽然内幕人士的最佳交易策略是与资产低估成比例地进行交易，但- p在与他/她的价格影响λt成反比的利率下，它是当前“流动性状态”的单调递增函数，通过当前噪声交易方差σ和预期噪声交易方差gt（即σtGt）之间的相对差值b来衡量。还应该注意到，由于分数布朗运动的存在，我们的最优策略θ*（t），包含随机项（H-)ψt也显示了长记忆性，这是一个在文献[11]中没有证明的特性，这意味着分数布朗运动的引入对最优策略的选择有着显著的影响。下文对未知情流动性交易员产生的总执行或滑移成本作了进一步说明。备注3。4.

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mingdashike22

2022-6-11 08:41:10

噪声交易者0到T之间的总损失可通过zt（Pt+dt）得出- v） σtdBε，Ht=ZT（Pt+dPt- v） σtdBε，Ht=ZTε2H-1λtσtdt+ZT（Pt- v） σtdBε，Ht。（36）第一个组成部分是纯粹的执行或滑移成本，这是由K yle模型中在t时间提交的m个市场订单将在t+t日期按照竞争性做市商设定的价格执行的情况引起的。第二个部分是噪声交易者购买具有长记忆的证券所造成的最终损失，其基本价值v对他们来说是未知的。由此，使用[11]中的类似定义，此处未知情流动性交易者产生的总执行或滑移成本可获得为ZTσtdBε，HtdPt=ZTε2H-1λtσtdt，（37），它是随机的，依赖于路径，并且受分数噪声的影响。备注3。5、内幕人士的无条件预期利润可通过“ZT（v- Pt）θtdt#=E“ZTε2H-1σt√∑tGt（v- Pt）dt#- （H）-)E“ZT（v- Pt）ψtdt#=E“ZTε2H-1σt√∑tGt∑tdt#- （H）-)E“ZT（v- Pt）ψtdt#=E“ZTε2H-1λtσtdt#- （H）-)E“ZT（v- Pt）ψtdt#，其中用θ的代换得到第一个等式*第二个是使用迭代期望定律推导出来的。

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2022-6-11 08:41:13

与[11]中的结果不同，投资者的无条件预期收益不再等于n oise交易员支付的无条件预期执行成本s，相反，由于分数布朗运动的产生，他们有一个额外的组成部分，这意味着总订单流量所拥有的长期记忆属性对内幕人士的无条件预期收益有影响。4交易量、波动性和价格影响在本节中，考虑了两种特殊情况，以进一步调查噪音交易波动性过程对均衡的影响，它们的区别在于噪音交易的增长率是否是决定性的4.1噪音交易波动率的确定性增长率本小节将讨论（6）中噪音交易波动率过程的增长率是确定性的（波动率采用一般形式）的情况。在这个特殊的假设下，可以导出GT的闭式解，在此基础上可以得到均衡价格过程、均衡交易策略、均衡波动率和均衡价格影响。相应的结果如下所示。提案4.1。假设噪声交易波动率的增长率是确定性的，使得dt=ztterut2msdu（38）对于所有t∈ [0，T]。那么（19）的解可以表示为gt=ε2H-1σtDt（39），股价动态具有以下形式dpt=Dt（v- Pt）dt+eRtmsdsσvdWt，（40），其中σv=∑D。在平衡状态下，价格影响可以用λt=eRtmsdsεH表示-σvσt（41）和内幕人士的最优交易策略可以表示为θ*t=λtDt（v- Pt）- （H）-)ψt.（42）此外，内幕人士的预期交易率isE[θ| v，F]=ERT2MDSσ（v- P） σvD。（43）证明。

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2022-6-11 08:41:16

利用鞅性质，可以直接从（6）得出e[σu | Ft]=σteRutmsds。（44）在这种情况下，如果我们假设GT的解采用（39）的形式，那么从（19）可以得出PDT=ZTteRutmsds√嘟嘟。显然，如果命题中规定的dt满足此积分方程，我们的猜测是正确的，这里就是这种情况。考虑到我们在上面建立的唯一性，（39）确实是targetsolution的表达式。内幕人士的预期交易率可通过E[θt | v，F]=E计算得出v- Pt公司√∑tε2H-1σt√燃气轮机- （H）-)ψt= Ev- Pt公司√∑tε2H-1σt√燃气轮机=v- P√∑e-Rt2DsdsσεH-ER*****S√Dt，（45），这是（19）的直接结果，引理3.4中规定了Ht的动力学，ψt是鞅。因此，使用identitye-RT2DSD=rDtDe-Rtmsds，直接生成所需的结果。提案中的其他结果实际上遵循提案n 3.1，这已经完成了预防。应该注意的是，在引入分数布朗运动之后，我们的模型成功地考虑了长记忆的影响。当然，当H=设置在（20）中时，该模型将[11]视为特例，当σt=σ，mt=vt=0，Dt=t时，它将进一步退化为连续时间Kyle模型[3]- t、在这种情况下，σv=σt是市场制造商先验的年化方差，价格波动和价格影响都是常数，分别等于σ和σvσ。不应否认，价格波动和基本值∑皮重的后验方差是确定性的，这是噪声交易波动增长率具有确定性的结果，而价格影响是随机的，与噪声交易波动率呈负相关。

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大多数88

2022-6-11 08:41:19

另一方面，内幕人士的最佳交易策略不仅与价格影响λ和流动性状态κt分别负相关和正相关，而且由于分数布朗运动的引入，它还表现出长记忆特性。还值得注意的是，分数噪声对内幕人士的预期交易率没有影响，这也是合理的，因为这在平均意义上是合理的。T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1λT0.51.52.5H=0.6H=0.8H=1图1：H对λt的影响。参数值为：∑=0.2，σ=1，ms=1，t=1，ε=0.01。T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1λT0.150.20.250.30.350.40.45=0.01=0.1=0.5图2：ε对λt的影响。参数值为：∑=0.2，σ=1，ms=1，t=1，H=0.6。为了进一步研究长记忆的影响，数值显示了价格影响λt（Kyle的λ）如何随长记忆参数H和近似因子ε而变化。具体而言，图1显示，长记忆参数H对价格影响有积极影响，因为较高的H值有助于较高的价格影响。这可以通过以下事实来理解：当波动性表现出更大的长期依赖性时，从订单流中获得更多信息。此外，当H增加时，价格影响对时间更为敏感，而当H较低时，价格影响几乎是一个常数，这是因为当H接近时，分数布朗运动近似于标准布朗运动，并且长记忆特性不再存在。另一方面，在图2中可以观察到一个适当的趋势，即近似因子ε越小，价格影响越大。

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2022-6-11 08:41:22

这也是合理的，因为当ε减小时，分数噪声会减少，这意味着会显示更多信息，从而导致更大的价格影响。然而，需要强调的是，尽管价格影响是随机的，但价格波动仍然是一个确定性函数，而且无论是数量变化与价格波动之间的复杂关系，还是价格影响与价格波动之间的复杂关系，都无法产生。只有当噪声交易波动率的增长率是随机的时，才会产生这种关系。在下一小节中，将介绍一个生成随机价格波动和价格波动与成交量之间有意义关联的框架。4.2噪声交易波动率的随机增长率在本小节中，提出了噪声交易波动率遵循两态连续马尔可夫链的特殊情况，这引入了依赖于状态的可预测性，从而成功捕获了噪声交易波动率中的随机增长率。我们从指定σtasdσt的动态o开始=σH- σtdNL（t）- （σt- σL）dNH（t），（46），其中σLandσ有两个固定值，满足σL<σH，波动率σ的初始水平∈ {σH，σL}，和Ni（t）是一个标准的泊松计数过程，当i=H，L时，跳跃强度λ。在这种情况下，（19）的解在下面的命题中给出。提案4.2。（19）的唯一有界解由gt=1{σt=σL}ε2H给出-1GL（T- t） +1{σt=σH}ε2H-1GH（T- t），其中压盖是以下常微分方程的解（普通微分方程）dGL（τ）=（σL）+2λLqGH（τ）GL（τ）- GL（τ）,dGH（τ）=（σH）+2λHqGH（τ）GL（τ）- GH（τ）（47）在边界条件GL（0）=GH（0）=0的情况下。证据

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2022-6-11 08:41:25

如果我们定义（t，σt）=1{σt=σL}GL（t- t） +1{σt=σH}GH（t- t） andM（t）=pG（t，σt）+ZtσupG（u，σu）du，那么不难发现M（t）是一个纯跳跃市场，这意味着M（t）=E[M（t）| Ft]，领先于topG（t，σt）+ZtσupG（u，σu）du=E“pG（t，σt）+ZtσupG（u，σu）du英尺#。考虑到边界条件GL（0）=GH（0）=0，pg（t，σt）=E“ZTtσupG（u，σu）du很简单Ft#，thusqε2H-1G（t，σt）=εH-pG（t，σt）=E“ZTtε2H-1σ以上ε2H-1G（u，σu）du英尺#。这已完成项目。根据备注3.1，价格动态可写为dpt=κ（t，σt）（v- Pt）dt+σP（t）dWt，（48），其中σP（t）=P∑e-Rtκ（s，σs）dspκ（t，σt）和κ（t，σt）=1{σt=σL}κL（t- t） +1{σt=σH}κH（t- t）带κi（t- t） =（σi）Gi（t- t），i=L，H。显然，可以很容易地观察到，价格现在遵循随机波动率的均值回复过程，均值回复速度和波动率都由马尔可夫链控制。此外，噪音交易波动率的高值通常会导致较高的均值回归速度，这是因为预计内幕人士的交易会更加激烈。还应注意的是，当时间接近到期时，mea-reversion速度和波动率都将接近，这可以通过因素解释，即代理在接近到期时的交易越来越激烈，因为他们不想留下任何资金。成交量变化与价格波动之间也存在正相关关系，因为价格波动总是与噪音交易波动的方向相同。4.3扩展和讨论虽然上述所有讨论都是基于总订单流量和噪声交易波动率为简化说明而有条件不相关的假设，但事实上，这一假设可以放宽。

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何人来此

2022-6-11 08:41:28

为了说明这一点，让我们考虑一个更一般的模型，总订单流量定义如下：*t=θtdt+σtdBε，Ht+η（t，σt，Y*t） dMt。（49）如果我们进一步定义y=dY*t型-η（t，σt，Y*t） v（t，σt）（dσt- m（t，σt）dt）=ηtdt+σtdBε，Ht，（50），这与（50）中给出的完全相同，那么可以很容易地表明，在这个广义fr值下，我们的上述所有结果都是不变的，因为观察到（Y*t、 σt）相当于观察所有市场参与者的Yt、σt。然而，我们也应该注意到，我们的均衡证明确实依赖于这样一个假设，即yth的历史对σt的未来动态没有影响。另一方面，由于价格变化现在在Yt中是线性的，它在总量或流量中不再是线性的，相反，只有在订单流量的组成部分中才是线性的，这是关于内幕人士行为的信息。受[2，10，11，16]思想的启发，我们还将价格变化的时间序列建模为服从正态分布的时间序列。为了捕捉收益的异方差性，我们的模型为这种股票收益建模的从属过程提供了微观经济学基础，指导过程是内生的，并且与交易量相关，其结果显示在以下命题中。提案4.3。如果我们将正增长随机导向过程定义为τt=t1.- e-Rtε2H-1σuGudu假设σv=σT，那么∑T=σv（τT- τt）和dpt=v- PtτT- τtdτt+σvdW′τt对于一些布朗运动W′独立于M，其定义为σvdW′τ=εH-λtσtdWτt.证明。

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2022-6-11 08:41:31

时间变化产量的定义dτt=-σvd∑t=ε2H-1∑tσtσvGt=ε2H-1（τT- τt）σtGt，将其与引理3.3和备注3.2一起替换到均衡价格过程中，得到期望的结果。从命题4.3可以清楚地看出，均衡价格是一个时变布朗桥，类似于凯尔-贝克模型中的情况，其中价格过程是一个标准的布朗桥。然而，我们的平衡点c不能简单地使用模式l的时间变化来推导，这是因为Kyle Back模式l中的价格影响是恒定的，而在我们的情况下，这是一个随机过程。人们还可能发现，价格是一种时变布朗运动，属于[10]中所述的做市商过滤的从属过程。此外，我们的模型给出了指导过程τt的内生表达式，该表达式取决于（未信息）体积动态和分数噪声，而不需要指定产生随机波动的潜在信息过程[2]。该模型的一个明显优点是其通用性，因为可以确定任何体积动态的导向过程，典型的例子包括正态、泊松和对数正态，这意味着可以联合考虑主要的程式化事实，这是根据【16】所述的一个重要属性。5结论在本文中，我们提出了一种动态内幕交易的修正Kyle模型，其中nois e tradingvolatility和交易量分别受一般随机过程和分馏随机过程控制。在均衡条件下，当未知情交易量较高时，由于内幕交易的加剧，所得到的均衡价格过程表现出过度的波动性。

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2022-6-11 08:41:34

最优内幕交易策略具有长记忆性，价格影响与非isetrading波动率呈负相关，这也受到分数噪声的影响。该模型提出了许多简化假设，可以放宽这些假设，以进一步了解信息如何流入价格以及价格波动、价格影响和交易量如何变化。例如，我们可以考虑在不同的时间范围内而不是在既定的时间范围内进行投资，并假设内幕人士的存在是市场的常识。我们将这些扩展留给未来的研究。参考文献【1】A.Admati，P.P Fleiderer，《日内模式理论：成交量和价格变化》，修订版。财务部。螺柱。，1 (1) (1988), 3-40.[2] T.G.Andersen，《回报波动率和交易量：随机波动率的信息流解释》，《金融杂志》，51（1）（1996），169-204。[3] K.Back，《持续时间内的内幕交易》，Rev。财务部。螺柱。，5 (1992), 387-409.[4] K.Back，H.Pedersen，《长期信息和日内模式》，J.Financ。做记号1 (1 998), 385402.[5] K.Back，S.Baruch，《证券市场信息：Kyle会见Glosten和Milg rom》，《计量经济学》，72（2）（2004），43 3-465。[6] S.Baruch，《内幕交易与风险规避》，J.Financ。做记号5 (4) (2002), 451-464.[7] T.Bo lle rslev，D.Jubinski，《股票交易量和波动性：潜在信息到达和共同长期依赖》，J.Bus。经济。《统计》，17（1999），9-21。[8] R.Caldenty，E.Stacchetti，《有随机期限的内幕交易》，经济计量学a，78（1）（201 0），245-283。[9] G.Chang，S.Sures h，《违约均衡模型中的资产价格和无违约期限结构》，J.Bus。，78 (2005), 1215-1266.[10] P.K.C lark，《投机价格具有有限方差的从属随机过程模型》，计量经济学，41（1）（19 73），135-155。[11] P.Collin Dufresne，V。

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2022-6-11 08:41:37

Fos，《内幕交易、随机流动性和均衡价格》，计量经济学，84（4）（2016），14 41-1475。[12] F.Diebold，A.Inoue，《长记忆与制度转换》，计量经济学杂志，105（2001），131-159。[13] F.D.Foster，S.Viswanathan，《证券市场成交量、方差和交易成本的日间变化理论》，修订版。财务部。螺柱。，3 (4) (1990), 593-624.[14] F.D.Foster，S.Viswanathan，《交易量变化、回报波动性和交易成本：近期价格形成模型的证据》，《金融杂志》，48（1）（1993），187-211。[15] F.D.Foster，S.Viswanathan，C投机性交易解释了交易量波动关系？J、公共汽车。经济。《统计》，第13（4）（1995），379-396页。[16] A.R.Gallant，P.E。Rossi，G.Tauchen，《股价与成交量》，修订版。财务部。S tud。，5 (2) (1992),199-242.[17] C.Granger，N.Hyung，《偶然性结构断裂和长期记忆与标准普尔500绝对股票收益率的应用》，J.Empil。财务。，11 (2004), 39 9-421.[18] P.Guasoni，M.H.Weber，《具有共同价格影响的多重资产再平衡》，J.Optim。理论应用程序。，179 (2) (2018), 618-653.[19] 何世杰，朱世平，带区域切换的newstochastic波动率模型下欧式期权定价的解析近似公式，经济学杂志。发电机。控制71 (2016), 77-85.[20] N.Hyung，S.Poon，C.Granger，波动性长期记忆的来源。工作文件，加利福尼亚大学圣地亚哥分校，2006年。[21]I.Karatzas，S.E.Sherve，《布朗运动与随机计算》，柏林：Springer-Verlag，1991年。【22】A.Kyle，《连续拍卖和内部交易》，计量经济学，5 3（6）（1985），1315-1335。[23]V.Naik，M.Lee，不连续收益市场投资组合期权的一般均衡定价。修订版。财务部。螺柱。，3 (1990), 493-521.[24]J.P.Lepe-ltier，J.S.Martin，具有超线性二次系数的BSDE的存在性，Stoch。

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