市场权重函数路径生成的交易策略

2022-6-10 20:16:42

市场权重函数路径生成的交易策略*IOANNIS KARATZAS+DONGHAN KIM2019年3月12日摘要近二十年前，E.R.Fernholz引入了投资组合生成函数，可用于构建各种投资组合，仅根据单个公司的市场权重。一、 Karatzas和J.Ruf最近开发了另一种构建投资组合功能的方法，这就为市场的强相对套利创造了非常简单的条件。在本文中，函数投资组合生成的这两个概念都是在无概率环境下推广的；投资组合生成函数可能不如twicedifferentiable平滑，涉及当前市场权重，以及与市场权重相关的其他有界变化函数。这种泛化导致功能生成投资组合的类别比以前更广泛，产生了处理“规模”和“动量”效应的新方法，并改善了在适当的时间范围内表现优于市场投资组合的条件。关键词和短语：随机投资组合理论、pathwise It^o公式、pathwise Tanaka公式、交易策略、函数生成、正则函数、强相对套利、规模效应、动量效应。1引言“功能生成投资组合”的概念由Fernholz（1999，2002）提出，并不是随机投资组合理论的基本组成部分；另一概述见Fernholz和Karatzas（2009）。由各公司市场权重的适当函数生成的投资组合具有财富动态，财富动态可以仅用这些权重表示，并且不涉及任何随机积分。构建这样的投资组合不需要对参数进行任何统计估计或任何优化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-10 20:16:45

完全可观测的量，如“市场权重”（marketweights）的当前值，其时间演化是根据连续半鞅建模的，是构建这些投资组合所需的唯一要素。一旦这个结构被识别出来，数学解释它的构造只需要简单地应用It^o法则。然后，目标是在适当的结构条件下构建优于参考投资组合（例如，市场投资组合）的投资组合。*国家科学基金会在NSF-DMS-14-05210资助下部分支持的研究+纽约哥伦比亚大学数学系，NY 10027（电子邮件：ik@math.columbia.edu)，以及新泽西州普林斯顿市帕默广场一号441室投资管理公司（电子邮件：ikaratzas@intechjanus.com).纽约哥伦比亚大学数学系，NY 10027（电子邮件：dk2571@columbia.edu).Karatzas和Ruf（2017）最近发现了一种新的交易策略功能生成方法，他们称之为“加性生成”，而不是Fernholz的投资组合“乘法生成”。这种新方法削弱了市场模型的假设：资产价格和市场权重是连续的半鞅，交易策略是由这些半鞅的“正则”函数构造的，而无需借助随机演算。在此加法中生成的交易策略要求在适当的时间范围内对市场进行强相对套利的条件更简单；另见Fernholz等人（2018年）。大约40年前，F¨ollmer（1981）通过一种不同但相关的发展表明，It^o微积分的某些方面可以“逐路”发展，而不需要任何概率结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:16:48

一旦给定函数在固定的时间间隔（有限长）上承认沿给定嵌套分区序列的二次变化/协变的路径特性，这种新型It^o变量公式的变化可以通过泰勒展开的应用以一种令人惊讶的简单方式证明。然后，Wuermli（1980）在同样的背景下引入了当地时间的概念和相应的路径田中公式。这允许通过适当定义路径局部时间，将变量公式的更改应用于不太规则的函数。这些当地时间的概念最近得到了进一步发展；参见Perkowski和Pr–omel（2015），Davis等人（2018），以及Cont和Perkowski（2018）。在本文中，我们以几种方式概括了交易策略的加法和乘法函数生成。首先，我们使用pathwise It^o演算表明，根据市场权重和完全没有概率考虑的方式，可以构建交易策略，从给定函数中以加法或乘法生成。我们强加的唯一分析结构是，市场权重在路径意义上允许连续协变量。其次，我们承认生成函数依赖于有限变量的附加参数。引入新的论点，而不是市场权重，在构建投资组合时提供了额外的灵活性；见Strong（2014），Schied等人（2018），Ruf和Xie（2018）。我们提出了各种类型的附加此类论点，大意是可以从依赖于它们的函数生成各种新的交易策略；这些策略为市场投资组合的强相对套利创造了新的充分条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:16:52

然后，我们展示了如何应用pathwise Tanaka公式，从生成函数中构造比以前更粗糙的投资组合。为了使用It^o公式，函数需要至少两次可微，而Tanaka公式需要较少的平滑函数，即绝对连续。因此，田中公式的使用极大地拓宽了投资组合生成函数的类别。我们还通过加法和乘法生成的交易策略为强相对套利提供了新的充分条件。Karatzas和Ruf（2017）中现有的充分条件要求生成函数为“Lyapunov”，或相应的“Gamma函数”为非减量函数。相比之下，本文中的新充分条件依赖于生成函数本身固有的非减损结构。这一新情况表明，根据市场权重和有限变化的附加参数，可以从更丰富的函数集合中生成优于市场组合的交易策略。我们提供了一些有趣的交易策略示例，并对其进行了实证分析。预览：第2节介绍了我们的目的所需的pathwise It^o演算的元素。第3节定义了交易策略和常规函数，然后讨论了如何以加法和乘法的方式从常规函数生成交易策略。第4节为此类交易策略提供了充分的条件，以产生与市场相关的强大相对套利。第5节展示了以与第3节类似的方式生成交易策略的方法，但借助当地时间和田中公式的相关概念，从较不平滑的函数生成交易策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:16:55

第6节给出了一些由熵函数生成的交易策略示例，以及强套利的相应充分条件。第7节包含第6节讨论的投资组合的实证结果。最后，第8节得出结论。2按路径计算如下，我们让X=（X，···，Xd）为a[0，∞)d值连续函数，表示价值随时间变化的资产的ad维向量。每个组成部分在[0，T]上定义，固定T>0，Xi（T）代表时间T的ithasset价值∈ [0，T]。我们要求X的分量在路径意义上承认与给定的重组序列（Tn）n相关的连续协变量∈[0，T]的Nof分区。序列（Tn）n∈对于n，每个分区的形式为Tn={0=t（n）<t（n）<····<tnN（Tn）=t}∈ N、以及T T· · · , 网格大小| | Tn | |：=最大值[tj，tj+1]∈Tn | tj+1- tj |随着n减小到零→ ∞. 我们确定该序列（Tn）n∈本文其余部分的Nof分区。此处和下方的符号【tj，tj+1】∈ Tn表示tjand和tj+1是Tn分区中的连续点，即tj<tj+1，Tn∩ （tj，tj+1）=. 同样，当我们写[tj，tj+1]∈ TN和tj≤ 同时，当j是满足tj的最大指标时，我们设置tj+1=t≤ t、利用这个符号，我们提出了X沿（Tn）n的路径二次协变的概念∈N、如下所示。定义2.1。连续函数X=（X，X，···，Xd）被称为沿给定的嵌套分区序列（Tn）n具有路径二次协变量∈Nof【0，T】，如果序列X的极限【tj，tj+1】∈Tntj公司≤t型Xi（tj+1）- Xi（tj）Xk（tj+1）- Xk（tj）, n∈ N（2.1）存在于任何t∈ [0，T]为n→ ∞ 以及由此产生的映射，用t 7表示→ hXi，Xki（t），每1≤ i、 k级≤ d

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-10 20:16:58

我们将hXi，Xki称为xind Xk的路径二次协变量，并定义Xiby hXii的路径二次变量：=hXi，Xii。我们强调，x分量的路径协变量和二次变量的存在在很大程度上取决于嵌套或“重新定义”序列（Tn）n的选择∈Nof分区。Cont（2016）中的示例5.3.2和以下论点说明了这一事实。我们还注意到，要使It^o公式在路径意义上成立，需要存在路径协变量和二次变量。接下来，我们陈述由F¨ollmer（1981）引入的原始一维路径It^o公式。定理2.2（二次变分路径的路径It^o公式，F¨ollmer（1981））。固定一个连续函数X，它允许沿给定的嵌套分区序列T=（Tn）n的二次变化≥[0，T]中的1个。然后对于每个C（R，R）函数f，变量公式f的路径变化X（t）- fX（0）=Ztf公司十(s)dX（s）+ZtfX（s）dhXi（s）（2.2）持有t∈ [0，T]。这里，F¨ollmer It^o积分定义为逐点极限ZTFX（s）dX（s）：=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tf（X（tj））（X（tj+1）- X（tj）），（2.3），（2.2）右侧的最后一个积分是Lebesgue-Stieltjes积分。我们还需要比定理2.2更高维的路径It^o公式，并带有额外的“输入”作为额外参数。为此，我们将A=（A，A，···，Am）作为有限变量的附加向量函数，并考虑（d+m）-维函数fX（t），···，Xd（t），A（t），···，Am（t）时间t的∈ [0，T]。我们说一个给定的函数f:Rd+m→ R表示Cj，k（R（d+m），R），如果它对于前d个分量是j次连续可微的，对于最后m个分量是k次连续可微的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:01

我们还表示为如果是Ith偏导数，则是D`f的（D+`）Th偏导数。我们现在给出了包含X和A的路径It^o公式的以下版本。附录中给出了该公式，证明思路与f¨ollmer的原始定理相同。定理2.3（多维路径It^o公式）。固定沿给定分区序列T=（Tn）n具有路径二次协变量的d维连续函数X≥[0，T]和[0，T]上定义的具有有限变化的m维连续函数。然后每f∈C2,1（R（d+m），R），变量公式F的路径变化X（t），A（t）- fX（0），A（0）=Zt公司fX（s），A（s）dX（s）+mX`=1ZtD`fX（s），A（s）dA`（s）+dXi，k=1Zti、 kf公司X（s），A（s）dhXi、Xki（s）（2.4）持有t∈ [0，T]。这里，F¨ollmer It^o积分定义为逐点极限fX（s），A（s）dX（s）：=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi=1如果X（tj），A（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）, （2.5）而（2.4）右侧的其他积分是Lebesgue-Stieltjes积分。在上一节中，我们考虑了3种按路径感知生成的交易策略[0，∞)d值连续函数X=（X，····，Xd），它允许与重组序列（Tn）n相关的连续协变量∈[0，T]的Nof分区；我们还假设A=（A，···，Am）是有限变量的附加向量函数。在本节中，X的组成部分将表示d可交易资产的价值过程，并最终表示股票市场中市场权重的系统。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:04

同时，遗嘱的组成部分模拟了与这些市场权重相关的可观察但不可交易数量的演变。对于欧氏空间的子集V，我们用C（[0，T]，V）表示定义在[0，T]上的连续V值函数的空间；而CBV（[0，T]，V）代表C（[0，T]，V）中具有有界变化的函数的空间。根据Karatzas和Ruf（2017），我们对这对（X，A）的交易策略有以下定义。定义3.1（交易策略）。对于d维函数X的对（X，A）∈ C（[0，T]，Rd）和m维函数A∈ CBV（[0，T]，Rm），假设θ=（θ，···，θd）是一个表示为θi（·）=Θi的d维函数X（·），A（·）, i=1，···，d.（3.1）这里，Θ=（Θ，···，d）是一个函数向量，我们可以定义一个积分r··（t）dX（t）≡R·Pdi=相对于X的1θi（t）dXi（t）；我们写θ∈ L（X，A），表示这个。我们应该这样说∈ L（X，A）是相对于X的一种交易策略，如果在Vθ（·；X）的意义上是“自我融资的”- Vθ（0；X）=Z·dXi=1θi（t）dXi（t）（3.2）保持不变。在（3.2）和下面的公式中，Vθ（t；X）：=dXi=1θi（t）Xi（t），0≤ t型≤ T（3.3）表示策略θ在T时的价值过程。其解释是，θi（T）代表在T时投资于资产i的“股数”。如果Xi（T）是该资产的价格，则θi（T）Xi（T）是在T时投资于资产i的美元金额，而Vθ（T；X）是所有资产的总投资价值。“自我融资”意味着既没有注入也没有提取资本：收益被重新投资，损失必须被吸收。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:07

只要积分器X是固定的，并且从上下文中看很明显，我们就应该写Vθ（·）而不是Vθ（·；X）。定理2.3中前面的路径It^o公式表明，被积函数∈ 特殊形式的L（X，A）θ（t）=fX（t），A（t）, 对于某些函数f∈ C2,1（R（d+m），R），对积分器X起着非常重要的作用∈ C（[0，T]，Rd），允许有限的二次协变量hXi，Xji，1≤ i、 j≤ 一个适当的嵌套分区序列。由此产生以下定义。定义3.2（可接受的交易策略）。设X是C（[0，T]，Rd）中的d维函数，是CBV（[0，T]，Rm）中的m维函数。d维交易策略θ：[0，∞) → 如果存在一个函数G:Rd×Rm，则Rdin L（X，A）被称为对（X，A）的容许交易策略→ 空间C2,1中的R（R（d+m），R），使得（3.1）保持Θi=iG；即θ（t）=GX（t），A（t）, 0≤ t型≤ T、（3.4）如果θ是（X，A）的可接受交易策略，则根据定理2.3，上述（3.2）的最后一个积分被解释为Apithwise F¨ollmer It^o积分。在下文中，我们将为这对函数（X，a）定义一个正则函数，由一个d维连续函数X和一个CBV中的m维函数a组成（[0，T]，Rm）。定义3.3（常规功能）。我们说函数G:Rd×Rm→ C2,1（R（d+m），R）中的R对（X，A）是正则的，由一个d维连续函数X和一个∈ CBV（[0，T]，Rm），如果连续函数ΓG（T）：=GX（0），A（0）- GX（t），A（t）+Zt公司GX（s），A（s）dX（s），0≤ t型≤ T（3.5）在紧致层段上的变化有限，为[0，T]。备注3.4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:10

为了定义路径F¨ollmer It^o积分并能够使用路径It^o微积分，我们需要一个足够光滑（通常至少为C2,1）的函数G和一个可以以导数形式表示的被积函数G）以（3.4）的方式表示该功能。因此，由于上述定义，我们始终可以将路径It^o公式（定理2.3）应用于上述定义3.3中的函数G，并获得（3.5）中所谓的“Gamma函数”G（·）的另一个表达式；即ΓG（t）=-mX`=1ZtD`GX（s），A（s）dA`（s）-dXi，k=1Zti、千克X（s），A（s）dhXi，Xki（s）。（3.6）在此，我们回顾D\'GX（s），A（s）和i、千克X（s），A（s）分别是G的一阶（d+`）次偏导数和二阶（i，k）次偏导数X（s），A（s）.这里的定义3.3与卡拉扎斯和联阵（2017）的定义3.1之间的差异应予以注意和强调。在Karatzas和Ruf（2017）中，被积函数不需要是正则函数G的“梯度”形式。在这里，被积函数（3.4）的特殊结构是必要的；这是“人们必须付出的代价”，因为他们能够在无概率的路径环境中工作，而不必调用粗糙路径理论。3.1取决于市场权重的交易策略从现在起，我们将自己置于一个无摩擦的股票市场中，其数字为d≥ 2家公司。我们还考虑了连续函数的向量S=（S，···，Sd）∈ C（[0，T]，[0，∞)d），其中Si（t）表示ithcompany在时间t的资本化∈ [0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:13

这里我们取Si（0）>0，并允许Si（t）在某个时间t>0时消失，对于所有i=1，···，d；但我们也假设总资本化∑（t）：=S（t）+····+Sd（t）在任何时间t都不会消失∈ [0，T]。利用这些成分，我们定义了另一个连续函数向量u=（u，···，ud），该向量由公司的相对市场权重ui（t）：=Si（t）∑（t）=Si（t）S（t）+···+Sd（t），t组成∈ [0，T]，i=1，···，d.（3.7）我们还假设u的成分允许有限的二次协变量hui，uji，1≤ i、 j≤ d根据给定的固定嵌套序列（Tn）n∈[0，T]的Nof分区，以第2节开头讨论的方式。在下面的内容中，我们将只考虑G形式的正则函数u（·），A（·）它依赖于市场权重的向量u和一些附加函数A∈ CBV（[0，T]，Rm）。此类函数的示例见（4.3）、（4.4）。3.2额外生成的交易策略我们现在想引入额外生成的交易策略，从路径意义上的常规功能开始。为此，我们需要Karatzas和联阵（2017）的结果。对于对（u，A）来说是正则的任何给定函数G，其中u是市场权重的向量和CBV中的一个适当函数（[0，T]，Rm），我们考虑向量θ和分量θi（·）：=iG公司u（·），A（·）, i=1，···，d（3.8），如定义3.2中的（3.4）所示，函数向量Д=（Д，···，Дd）和分量Дi（t）：=θi（t）- Qθ（t）- C（0），i=1，···，d，0≤ t型≤ T、（3.9）这里，Qθ（T）：=Vθ（T）- Vθ（0）-ZtdXi=1θi（s）dui（s）（3.10）是时间t的“自我融资缺陷”∈ 被积函数的[0，T]in（3.8），Vθ（T）：=Pdi=1θi（T）ui（T）时间T时策略的“值”∈ [0，T]以（3.3）和C（0）的方式：=dXi=1iG公司u（0），A（0）ui（0）- Gu（0），A（0）（3.11）对于常规函数G，t=0时的“平衡缺陷”。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:18

通过类比Karatzas和Ruf（2017）的命题2.3，（3.9），（3.8）的向量Д=（Д，···，Дd）定义了u的交易策略。定义3.5（添加剂生成）。我们说，形式（3.9）、（3.8）的交易策略是由函数G：Rd×Rm相加生成的→ R、假设对（X，A）是正则的。提案3.6。考虑交易策略Д，如（3.9）所示，由一个正则函数gf为该对（u，a）生成，其中u=（u，···，ud）是市场权重的向量，而∈ CBV（[0，T]，Rm）。该策略的值v（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t），0≤ t型≤ T（3.12）如定义3.1和3.3所示，其组成部分可以表示为，对于i=1，···，d，形式为Дi（T）=iG公司u（t），A（t）+ ΓG（t）+Gu（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）（3.13）=VД（t）+iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）.证据如果我们改变u（t）, DjG公司u（t）那里，进入Gu（t），A（t）, jG公司u（t），A（t）在我们目前的情况下。分解（3.12）表明，我们可以将（3.5）、（3.6）中的ΓG（·）视为表示（3.9）的策略Γ的“累积收益”，在“基线”G附近u（·），A（·）.备注3.7。（i）当命题3.6中的函数G满足“平衡”条件时，Gu（t），A（t）=dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）, 0≤ t型≤ T、（3.14）（3.13）中额外生成的交易策略采用了相当简单的形式Дi（T）=iG公司u（t），A（t）+ ΓG（t），i=1，···，d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:21

（3.15）（ii）对于具有严格正值过程VД>0的额外生成的交易策略，相应的投资组合权重定义为πi（t）：=Дi（t）ui（t）VД（t）=Дi（t）ui（t）Pdi=1Дi（t）ui（t），i=1，··，d，或借助（3.12）和（3.13）定义为πi（t）=ui（t）1+Gu（t），A（t）+ ΓG（t）iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）!.（3.16）3.3乘法生成交易策略下一步，我们引入乘法生成交易策略的概念。我们假设函数G:Rd×Rm→ R是规则的，如定义3.3中的对（u，A），其中u是市场权重的向量，A是CBV中的一些附加函数（[0，T]，Rm），标量函数1/Gu（·），A（·）是局部有界的。例如，如果G的边界远离零，则这一点成立。我们考虑由ηi定义的向量函数η=（η，···，ηd）：=θi×expZ·dΓG（t）Gu（t），A（t））= iG公司u（·），A（·）×经验值Z·dΓG（t）Gu（t），A（t）（3.17）用（3.5）、（3.8）表示i=1，···，d。这里的积分定义得很好，为1/Gu（·），A（·）假设为局部有界。此外，我们还有η∈ L（u），自∈ L（u）来自定义3.1，指数项也是一个局部有界函数。如前所述，通过设置ψi：=ηi，我们将此η转化为交易策略ψ=（ψ，···，ψd）- Qη- C（0），i=1，···，d（3.18），以（3.9）的方式，并用Qη，C（0）定义为（3.10）和（3.11）。定义3.8（乘法生成）。（3.18），（3.17）的交易策略ψ=（ψ，····，ψd）可以通过函数G：Rd×Rm乘法生成→ R、提案3.9。考虑交易策略ψ=（ψ，···，ψd），如（3.18）所示，由给定的函数G生成：Rd×Rm→ R为（u，A）的规则值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:24

该对由市场权重的向量u=（u，···ud）和适当的函数a组成∈ CBV（[0，T]，Rm），使1/Gu（·），A（·）是locallybounded。该策略产生的值由vψ（t）=G给出u（t），A（t）经验值ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）> 0, 0 ≤ t型≤ T（3.19）表示为（3.5）。该策略ψ可以用ψi（t）=Vψ（t）的形式表示i=1，···，d1+克u（t），A（t）iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）. （3.20）证明。我们遵循Karatzas和Ruf（2017）命题4.8中的论点，使用路径It^oformula代替半鞅的标准It^o公式。带符号k（t）：=expZtdΓG（s）Gu（s），A（s）在（3.19）中，路径It^o公式（定理2.3）yieldsGu（t），A（t）K（t）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1iG公司u（s），A（s）K（s）dui（s）+ZtK（s）dΓG（s）+ZtmXi=0DiGu（s），A（s）K（s）dAi（s）+ZtdXi=1dXj=1i、 jG公司u（s），A（s）K（s）dhui，uji（s）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1iG公司u（s），A（s）K（s）dui（s）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1ηi（s）dui（s）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1ψi（s）dui（s），0≤ t型≤ T、在这里，第二个等式使用（3.6）中的表达式，最后一个等式依赖于Karatzas和Ruf（2017）的命题2.3。由于（3.19）在时间零点保持不变，因此（3.19）在任何时间t保持不变∈ [0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:27

（3.20）的理由与Karatzas和Ruf（2017）中4.8号提案的理由完全相同。备注3.10。（i）（3.20）中乘法生成的交易策略ψ采用更简单的形式ψi（t）=iG公司u（t），A（t）经验值ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）, 当命题3.9中的函数G如（3.14）中的“平衡”时，i=1，···，d（3.21）。（ii）与乘法生成的交易策略ψ对应的投资组合权重类似地定义为∏i（t）：=ψi（t）ui（t）Vψ（t）=ψi（t）ui（t）Pdi=1ψi（t）ui（t），i=1，··，d；在（3.19）和（3.20）的帮助下，取∏i（t）=ui（t）的形式1+克u（t），A（t）iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）.对于满足“平衡”条件（3.14）的函数G，最后一个表达式简化为∏i（t）=ui（t）iG公司u（t），A（t）Gu（t），A（t）, i=1，···，d.4强相对套利的充分条件我们认为市场权重的向量u=（u，···，ud），如（3.7）所示。对于给定的关于市场权重u的交易策略，让我们回顾一下定义3.1中的价值过程Vх=Pdi=1хiu。对于某些固定的T*∈ （0，T），我们认为在时间范围内，相对于市场而言，ν是强相对套利[0，T*], 如果我们有vν（t）≥ 0, t型∈ [0，T*], （4.1）以及VД（T*) > VД（0）。（4.2）备注4.1。上述强相对套利的概念不依赖于任何概率度量，并且比现有的强相对套利定义略为严格。经典定义涉及一个潜在的过滤概率空间，并假设市场权重u，···，uD应该是该空间上连续的、自适应的随机过程。此外，还有两种类型的古典悲剧；相对套利和“强”相对套利，如Fernholz et al。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:30

(2018).在这一古老的定义中，基本概率度量对于定义相对套利的“弱”版本至关重要。然而，如果我们假设（4.2）适用于u的“每一次”实现，而不是u的“几乎肯定”实现，则可以建立强相对套利的概念，而无需参考任何概率结构。由于我们在无概率的情况下构建了交易策略，相对套利的“强”版本在这里是一个更合适的套利概念，我们从现在开始采用上述严格定义。以函数形式生成的交易策略的价值过程，无论是加法还是乘法，都可以用（3.12）和（3.19）中的生成函数G和导出的GammafunctionΓGas来表示。这种简单的表述反过来又为市场的强相对套利提供了良好的充分条件；例如，卡拉萨斯和鲁夫（2017）的定理5.1和定理5.2。在本节中，我们发现了由常规函数G生成的交易策略的这些条件u（·），A（·）, 这不仅取决于市场权重的向量u，还取决于与u相关的额外有限变化过程A。我们还给出了新的充分条件，使得加法和乘法生成的交易策略都具有较强的相对套利，这与Karatzas和Ruf（2017）的定理5.1和定理5.2不同。到目前为止，我们还没有规定m维函数A∈ CBV（[0，T]，Rm），因此，现在是时候考虑一些可能的候选函数来实现这种有限变化。第一个合适的候选者是d维向量A=hui=hui，hui，···，hudi（4.3）市场权重的二次变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:33

我们也可以考虑一个更一般的候选人；即市场权重的S+d值协变量过程。这里，S+表示对称正d×d矩阵，我们将使用双括号hh ii将此d维向量与（4.3）区分开来：即A=hhuii，（A）i，j=hui，uji 1≤ i、 j≤ d、（4.4）选择（4.4）中的A的优点是，我们可以匹配（3.6）中两个积分的积分器，然后可以将ΓG（·）的结果表达式转换为一个积分。有限变量还有许多其他函数可以作为过程A的候选函数。我们列举了以下一些示例：1。由ui（t）定义的移动平均u：=（δRtui（s）ds+δRt-Δui（0）ds，t∈ [0，δ），δRtt-Δui（s）ds，t∈ [δ，T]，i=1，···，d.2。运行最大u*组分的市场权重u*i（t）：=最大值0≤s≤tui（s），以及运行的最小u*组分的市场权重u*i（t）：=最小0≤s≤tui（s），对于i=1，···，d.3。“路径本地时间”Lu（i）-u（k）·（0）ofu（i）- u（k）≥ 0位于原点，对于1≤ i<k≤ d、第5节对其进行了定义。我们称这个过程为k阶的“碰撞当地时间”- i+1（碰撞中涉及的颗粒数量），对于排名市场权重u（1）：=maxjuj≥ u(2)≥ · · · ≥ u（d）=：minjuj。因为向量为u，u*, 和u*, 上述定义为d维，m=d适用于这些选择。用于选择d（d- 1） -维数向量∧，分量（λ）i，k：=Lu（i）-u（k），isn的尺寸m（n- 1). 可在Schied等人（2018）的第3节中找到使用移动平均值的经验结果。当我们处理银行市场权重函数时，会出现碰撞当地时间（λ）i，kalways，如Karatzas和Ruf（2017）的示例3.9所示。我们首先考虑导致市场相对套利较强的条件，一般A是生成函数G的第三个输入。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-10 20:17:36

然后，我们给出了一些G的示例，其中包含从上述候选函数中选择的特定变异函数A，并继续给出关于这些示例的经验结果。4.1额外产生的强相对套利我们从导致额外产生的强套利的条件开始，这类似于Karatzas和Ruf（2017）的理论5.1。定理4.2（当Γ为非减损时，额外产生强相对套利）。固定功能：Rd×Rm→ [0, ∞) 这对（u，A）来说是规则的，并且使得（3.5）或（3.6）中的函数ΓG（·）是不递减的。这里，u是市场权重的向量，A是CBV中的一些m维函数（[0，T]，Rm），如前所述。对于一些实数T*> 0，假设ΓG（T*) > Gu（0），A（0）（4.5）保持。然后，交易策略Д，由定义3.5中的常规函数G额外生成，是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据由于ΓG（·）是非减量的，我们得到VΓ（t）=Gu（t），A（t）+ΓG（t）≥ ΓG（0）=0表示每个∈ [0，T*] 自（3.12）。我们也有Vν（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t）≥ ΓG（T*) > Gu（0），A（0）=所有t的VД（0）∈ [T*, T）]。最后一个等式成立，因为ΓG（0）=0。备注4.3。如果我们在（4.4）中选择A=hhuii，那么从（3.6）中，函数ΓG（·）是非减量的-dXi，k=1Z·D（i，k）+i、 k级Gu（s），hhuii（s）dhui，uji（s）为非减量。这里，D（i，k）表示关于hhuii的第（i，k）项的一阶偏导数算子。此外，我们将（4.4）、（3.6）替换为（4.5），以获得更明确的形式-dXi，k=1ZT*D（i，k）+i、 k级Gu（s），hhuii（s）dhui，uji（s）>Gu（0），hhuii（0）（4.6）强相对套利条件（4.5）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:39

因此，与Karatzasand Ruf（2017）中定理3.7的情况不同，即使没有G inu的“凹度”，我们也可以有一个不减损的Γ和一个实现强相对套利的机会。备注4.4。让我们假设参数u和A在函数G中“相加分离”。我们的意思是，存在两个正则函数K和H，其性质是K仅依赖于u（t），H依赖于A（t），因此Gu（t），A（t）= Ku（t）+ HA（t）, t型∈ [0，T]（4.7）保持不变。然后，我们得到i、千克u（t），A（t）= i、 kK公司u（t）和D\'Gu（t），A（t）= D\'H公司A（t）. 将这些表达式代入（3.6），我们得到ΓG（T*) = -mX`=1ZT*D\'H公司A（s）dA`（s）-dXi，k=1ZT*i、 kK公司u（s）dhui，uki（s）（4.8）和提案3.6的（3.12），G附加生成的交易策略的相对价值过程可以表示为vν（T*) = Ku（T*)+ HA（T*)+ ΓG（T*), VД（0）=Ku(0)+ HA（0）. （4.9）在将（4.8）、（4.9）替换为（4.2）并以左侧仅包含涉及K的条款的方式重新排列条款后，强套利条件（4.2）采用形式Ku（T*)- Ku(0)-dXi，k=1ZT*i、 kK公司u（s）dhui，uki（s）>BHA（T*), （4.10）其中BHA（T*):= -HA（T*)+ HA（0）+mX`=1ZT*D\'H公司A（s）dA`（s）。当我们将定理2.3的路径It^o公式应用于函数H时hhuii（t）, 0≤ t型≤ T，上述表达式的右侧消失。因此，要求（4.10）变为u（T）*)-dXi，k=1ZT*i、 kK公司u（s）dhui，uki（s）>Ku(0)我们的情况与Karatzas和Ruf（2017）的定理5.1非常相似。更精确地说，如果K取非负值，并且是市场权重向量u的“李亚普诺夫函数”，在这个意义上，ΓK（t）：=-Pdi，k=1Rti、 kK公司u（s）dhui，uki（s）为非递减，则要求ΓK（T*) > Ku(0)确保在每个时间范围内（0，t）与t的强相对套利*≤ t型≤ T如Karatzas和Ruf（2017）定理5.1所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:42

因此，在这种“分离”的情况下，我们无法获得比Karatzas和Ruf（2017）定理5.1更多的结果，因为（4.10）右侧涉及H的所有项都消失了。这是因为，当我们从正则函数G中额外生成（3.9）中的交易策略（tradingstrategy）时，只有G相对于（3.8）中的市场权重的偏导数才涉及到（4.7）中的H项，这使得（4.7）中的H项在生成ν时毫无意义。因此，为了能够为强相对套利找到新的充分条件，我们需要比（4.7）更复杂的形式。从现在起，我们在本文中开发的所有G的示例都是更复杂的形式。从（3.12）中可以看出，相对于市场的附加生成的交易策略在时间t时的值VД有两个附加分量，即Gu（t），A（t）和ΓG（t）。在定理4.2中，我们从ΓG（·）的“非减损性质”导出了强套利条件，但没有理由区分G和u（t），A（t）和ΓG（t）。如果映射t 7→ Gu（t），A（t）是非减损的，则有可能产生一个强套利条件，如定理4.2，转换G的角色u（t），A（t）和ΓG（t）。然而，很难找到函数Gu（t），A（t）这在t中是单调的，因为G必须依赖于市场权重u（·），并且这些权重一直在变化。因此，我们必须从生成函数G中“提取一个非减量结构”u（·），A（·）, 并用这种非减损结构代替Gto导出一个新的强套利条件。具体操作如下。定理4.5（当Γgadmit有一个下界时，额外产生了强相对套利）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 20:17:45

固定正则函数G:Rd×Rm→ [0, ∞) 对于这对（u，A），其中u是市场权重的向量，A是CBV（[0，T]，Rm）中的m维函数，因此满足以下条件：（i）VД（·）=Gu（·），A（·）+ ΓG（·）≥ 0，其中过程ΓG（·）来自（3.5）或（3.6）；（ii）存在函数Fu（t），A（t）令人满意的Gu（t），A（t）≥ Fu（t），A（t）对于所有t∈ [0，T]和映射T 7→ Fu（t），A（t）是不减损的；（iii）ΓG（·）≥ -κ由某个常数κ保持。对于一些实数T*> 0，假设fu（T*), A（T*)> Gu（0），A（0）+ κ（4.11）成立。那么，定义3.5的附加生成策略Д是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据上述第一个条件满足了不等式（4.1）。从（3.12）和（4.11）的最后两个条件中，我们也得到了不等式（4.2），因为Vν（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t）≥Fu（t），A（t）- κ ≥ Fu（T*), A（T*)- κ>Gu（0），A（0）= VД（0），每t∈ [T*, T）]。在定理4.5中，函数Fu（·），A（·）可以看作是G的“提取的非减损结构”。该结果表明，生成函数G可以导致相对于市场的强套利，而不一定是“Lyapunov”，如Karatzas和Ruf（2017）的定理5.1所示。即使ΓG（·）是非递增的，也可能存在较强的相对套利。当Gu（·），A（·）生长速度快于ΓG（·）衰变。第6节（例6.4和例6.6）将介绍第4.5条的一些应用。4.2乘法生成的强相对套利在本小节中，为了简化参数，我们假设正则函数G只取相关值和满足度Gu（0），A（0）= 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:48

这种规范化可以通过G/G替换来实现u（0），A（0）如果Gu（0），A（0）> 0，或G+1，如果Gu（0），A（0）= 0.虽然我们在后面的章节中不使用以下结果，这些结果来自Karatzas和Ruf（2017）的定理5.2，但为了完整性，我们在此声明。定理4.6（乘法生成的强相对套利）。让我们定义一个正则函数G:Rd×Rm→ [0, ∞) 对于具有市场权重u和一些m维函数的对（u，A）∈ CBV（[0，T]，Rm）。对于一些实数T*> 0，假设存在 = （T*) > 0满足ΓG（T*) > 1 + . （4.12）那么，存在一个常数c=c（T*, ) > 0使得交易策略ψ（c）=（ψ（c），···，ψ（c）d，由定义3.8中的正则函数G（c）：=G+c1+cas乘法生成，在时间范围内相对于市场具有较强的套利性[0，T*]; 以及在时间范围[0，t]上覆盖t*≤ t型≤ T，如果T 7→ ΓG（t）是不递减的。在定理4.6中，我们必须构造“移位”函数G（c），这是有用的，但也是极端的。然而，对于从下到上有界的函数G，我们有以下新的条件导致乘法生成的强套利。定理4.7（当Γ为非减损时，乘法产生强相对套利）。让我们fixa函数G:Rd×Rm→ (0, ∞) 对于具有市场权重u和一些m维函数A的配对（u，A），这是正则的∈ CBV（[0，T]，Rm），并满足以下条件：（i）G有界远离零且不完整，即存在正常数α，β，使得0<α≤ Gu（·），A（·）≤ β;（ii）不减损。对于一些实数T*> 0，假设ΓG（T*) > β对数α（4.13）保持。然后，定义3.8的乘法生成策略ψ是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:51

首先，我们注意到Vψ（·）>0来自（3.19）。然后，取（3.19）两侧的对数，得到log Vψ（t）=log Gu（t），A（t）+ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）≥ 对数α+βΓG（t）≥ 对数α+βΓG（T*)> 0=对数Gu（0），A（0）= 对数Vψ（0），对于所有T*≤ t型≤ 根据上述条件（i）、（ii）和（4.13），结果如下。HereG公司u（0），A（0）= 1，因为本小节开头对G施加了规范化。备注4.8。由于市场权重ui，i=1，···，d和连续函数A在紧区间[0，T]上有界，因此依赖于对（u，A）的正则函数G也有界。因此，定理4.7中的条件（i）只要求下界α严格大于0。此外，在（4.13）中，发现G的更紧界限α、β产生更小的T*满足套利条件（4.13）。有关特定熵函数情况下G的界限的进一步讨论，请参见备注6.2。定理4.7的条件类似于定理4.2的条件。我们还有以下公式，类似于定理4.5。定理4.9（当ΓGis非递增时，乘法生成的强相对套利）。固定正则函数G:Rd×Rm→ (0, ∞) 对于对（u，A），其中u是市场权重的向量，并且是CBV（[0，T]，Rm）中的m维函数，因此以下条件成立：（i）存在函数Fu（t），A（t）令人满意的Gu（t），A（t）≥ Fu（t），A（t）> 0表示所有t∈[0，T]和映射T 7→ Fu（t），A（t）是不减损的；（ii）ΓG（·）为非递增且ΓG（·）≥ -κ由一些正常数κ保持。对于一些实数T*> 0，假设日志Fu（T*), A（T*)>κFu（0），A（0）（4.14）持有。那么，定义3.8的乘法生成策略ψ是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:55

首先，注意ΓG（·）是非正的，因为条件（ii）和事实ΓG（0）=0。同样，从（3.19）中，我们得到了log Vψ（t）=log Gu（t），A（t）+ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）≥ 日志Fu（t），A（t）- 最大值0≤s≤t型κGu（s），A（s）= 日志Fu（t），A（t）-κmin0≤s≤甘油三酯u（s），A（s）≥ 日志Fu（t），A（t）-κmin0≤s≤tF公司u（s），A（s）≥ 日志Fu（T*), A（T*)-κFu（0），A（0）> 0=对数Gu（0），A（0）= 对数Vψ（0），对于所有T*≤ t型≤ T，根据条件（i）、（ii）和（4.14）。以下示例通过在生成函数G中加入一个附加函数a，为强相对套利提供了一个条件，该条件比Karatzas和Ruf（2017）的示例5.5更为普遍。我们专门使用a=u*= (u*, · · · , u*d），由市场权重Sai（t）的运行最大值组成的向量≡ u*i（t）：=最大值0≤s≤tui（s），i=1，··，d。示例4.10（二次函数）。对于固定常数c∈ R和p>0，考虑以下函数g（c，p）u（t），u*（t）:= c-dXi=1ui（t）- pdXi=1ui（t）u*i（t）=c-dXi=1ui（t）- pdXi=1ui（t）最大值0≤s≤tui（s）.这与Karatzas和Ruf（2017）的示例5.5中的Q（c）相同，但最后一个术语除外。注意g（c，p）取区间内的值c- （1+p），c-d（1+p）. 在一些简单的偏导数计算之后，我们得到了Dig（c，p）u（t），u*（t）= -pui（t），iG（c，p）u（t），u*（t）= -2ui（t）- pu*i（t），i、 iG（c，p）u（t），u*（t）= -2，对于i=1，··，d，使用这些表达式以及（3.6），我们得到了ΓG（c，p）（t）=dXi=1Ztpui（s）du*i（s）+dXi=1huii（t）。作为u*i（·）为非减量，pui（·）≥ 0，积分项总是非负且非减的int，这使得ΓG（c，p）（·）非减且非负。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:17:58

此外，使用非减量过程u*i（·）偏离集合{s≥ 0：ui（s）=u*i（s）}，我们有ztui（s）du*i（s）=Ztu*i（s）du*一（s）=u*i（t）-u*i（0）,因此，ΓG（c，p）（t）=pdXi=1u*i（t）-u*i（0）+dXi=1huii（t）。自G（1+p，p）≥ 0，让我们从现在开始考虑c=1+p的情况。使用与定理4.2相同的参数，条件Pdxi=1u*i（T）-u*i（0）+dXi=1huii（T）>G（1+p，p）u(0), u*(0), （4.15）其中g（1+p，p）u(0), u*(0)= （1+p）n1-dXi=1ui（0）o> 0，产生一种策略，该策略相对于[0，T]上的市场具有较强的相对套利性。如果我们将条件（4.15）与条件dxi=1huii（T）>1进行比较-dXi=1ui（0）, （4.16）也就是说，（5.4）在卡拉扎斯和联阵（2017）的例子5.5中，左手和右手之间存在权衡。额外非减量项（p/2）Pdi=1的存在u*i（T）-u*i（0）在（4.15）中，保证随着T的增加，其左侧的增长速度快于（4.16）的左侧；但在（4.15）的右边还有一个更大的常数，即，（1+p）n1-dXi=1ui（0）o> 1个-dXi=1ui（0）.因此，通过明智地选择p的值，我们可以获得时间T的界限，对于时间T，相对于[0，T]市场存在较强的相对套利，优于Karatzas and Ruf（2017）中示例5.5的界限。定理4.2、4.5、4.7和4.9更有趣的应用出现在第6.5节田中构建交易策略的公式中。在前几节中，我们使用了路径It^o公式（定理2.3），而不是通常的半鞅It^o公式，以路径方式构建交易策略。在本节中，我们从另一个方向概括了随机投资组合理论（SPT）：我们在建立交易策略时，采用了经过适当定义的当地时间的路径田中公式（广义It^o公式）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:18:01

Ite^o公式要求存在二阶导数，而Tanaka公式适用于“弱可微”函数；这拓宽了生成交易策略的函数类。首先，我们发展了一些定义和符号，并介绍了路径田中公式。然后，我们构建了以加法和乘法生成的交易策略，其方式与第3节类似，但生成函数不如第3节中使用的平滑。最后，给出了相关的强相对套利条件和一些例子。5.1路径当地时间和田中公式∈间隔为[0，T]的Nof分区，其网格大小变为零为n→ 0，如第2节的介绍。我们还考虑了一个定义在紧区间[0，T]上的R值连续函数xd，此处被认为是代表随时间变化的单个资产的值。利用这些成分，我们提出了X沿T=（Tn）n的二次变化的测度理论概念∈N、定义5.1。连续函数X∈ C（[0，T]，R）在给定的分区序列T=（Tn）n上具有有限的二次变化∈Nof【0，T】，如果网格大小| | Tn | |：=最大值【tj，tj+1】∈Tn | tj+1- tj |，（5.1）变为零，测量序列un：=X[tj，tj+1]∈πnX（tj+1）- X（tj）· δTjc模糊地收敛到一个局部有限的度量值u，没有原子作为n→ ∞, 其中δt表示t处的Diracmeasure∈ [0，T]。我们为沿T具有二次变化的所有连续函数的集合写Q（T）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 20:18:04

我们称hXi（t）：=u（[0，t]）表示t∈ [0，T]，X的二次变化。对于测量序列（un）n∈非[0，T]，vague收敛等价于其累积分布函数在极限函数的所有连续点处的逐点收敛。如果极限分布函数是连续的，则收敛是一致的。因此，我们得出以下结果。引理5.2。设X是C（[0，T]，R）中的函数。函数X属于Q（T）当且仅当存在连续函数hXi，使得对于每个T∈ [0，T]，X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤t | X（tj+1）- X（tj）| n→∞---→ hXi（t）。（5.2）如果该性质成立，则（5.2）中的收敛是一致的。从这个引理来看，定义5.1中X的二次变化hXi与定义2.1中X的二次变化hXi一致。然而，在（2.1）中，不同成分Xi之间存在二次“协变量”hXi，Xji（·），Xjof是d维向量X，而定义5.1中的hXi（·）是在单个函数X之间定义的。备注5.3。定义5.1中的假设（5.1）中的网格大小为零，即n→ ∞,施加在序列上（Tn）n∈Nof分区实际上比其他涉及路径本地时间的工作中关于分区顺序的通常假设更强。例如，在Perkowski and Pr¨omel（2015）、Davis et al.（2018）、Cont and Perkowski（2018）中，作者定义了函数X沿分区Tnasosc（X，Tn）的“振荡”：=max[tj，tj+1]∈Tnmaxr，s∈[tj，tj+1]| X（s）- X（r）|，（5.3）和要求osc（X，Tn）→ 0作为n→ ∞ 而不是网格大小变为零。这是因为在定义路径本地时间和推导路径田中公式时，无法使用X生成的Lebesgue分区。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-10 20:18:07

由于函数X在紧致区间[0，T]上是一致连续的，因此网格大小减小到零确实意味着X的振荡也减小到零。（Tn）n上条件更强的一个原因∈这里使用的是我们最初对定义2.1中的路径二次协变量/变量的定义。另一个原因是，在生成交易策略时，我们将涉及一个额外的（向量）连续函数A，并且A的振荡也必须沿着分区序列（Tn）n收缩到零∈N、换句话说，通过使用“网格”假设而不是“振荡”，我们可以消除分区序列（Tn）N的这种“依赖性”∈非X和A。路径当地时间的第一个定义是在未出版的文凭thesisof Wuermli（1980）中引入的。这个原始的本地时间被称为路径X沿T=（Tn）n序列的“L-本地时间”∈N、利用当地时间的概念，Wuermli给出了f的以下方程式（5.7）∈ H（R，R），其中H（R，R）是L（R，R）中两次弱可微函数的Sobolev空间。从那时起，引入和研究了许多版本的pathwise Tanaka公式（广义It^o公式）和当地时间的不同定义；这些根据路径X的规律性、函数f和“局部时间收敛”的概念而变化。确定当地时间的较弱收敛性要求函数f具有更大的正则性，才能使田中公式（5.7）保持不变。Perkowski和Pr¨omel（2015）的第2节中对具有二次变化的连续路径阐述了其中的一些版本。Cont和Perkowski（2018）第3节给出了更粗糙路径的类似结果（p-th变化有限，p>2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝