此外，对于任何连续函数g，通过设置g（·）=f（·），并且对于任何Borel，通过指示器function（·）设置A∈ B（R）可以用连续函数近似，我们也有“占领密度公式”ZtAX（s）d[X]（s）=ZALt（X）dx。我们现在陈述经典田中迈耶公式的路径版本，作为定理5.5的推论。推论5.6。对于函数X∈ Lc（T），路径田中迈耶公式lt（a）=（Xt- （a）+- （十）- （a）+-Zt（a，∞)（Xs）dXs，（5.8）Lt（a）=（Xt- （a）-- （十）- （a）-+Zt公司(-∞,a） （Xs）dXs（5.9）和2LT（a）=Xt- a |- |十、- a |-Ztsign（Xs- a） dXs（5.10）全部保持（t，a）∈ [0，T]×R，带符号（x）=（1，如果x>0，-1，如果x≤ 这里，积分项表示点方向极限，如（5.6）所示。5.2额外生成交易策略的构建我们回顾了第3节中的一对（u，A），其中向量u=（u，···ud）表示（3.7）中定义的市场权重，而A=（A，···，Ad）是CBV中的一个辅助函数（[0，T]，Rd））。我们假设u和A具有相同的维数d。此外，在本节中，我们假设每个分量uii是一个连续函数，在定义5.1的意义上具有有限的二次变化huii，并且属于C（T），即每i=1，···，d允许一个连续的本地时间。然后，我们设置xi：=ui- Ai，i=1，···，d，（5.11），并假设每个xi也在Lc（T）中。对于满足定理5.5中条件的任何函数fi，i=1，···，d，我们定义了对（u，A）asG的生成函数Gu（t），A（t）:=dXi=1fi（Xi（t））=dXi=1fiui（t）- Ai（t）, 0≤ t型≤ T、 （5.12）我们只能考虑（5.12）形式的生成函数G，因为没有可以直接应用于G的“多维田中公式”。

然而，我们可以将定理5.5应用于每个分量fi（Xi（t）），并求和得到u（t），A（t）=dXi=1fi（Xi（0））+ZtfiXi（s）dXi（s）+ZRLXit（x）dfi（x）（5.13）=Gu（0），A（0）+dXi=1ZtiG公司u（s），A（s）dXi（s）+dXi=1ZRL（ui-Ai）t（x）dfi（x），其中表示θi（t）：=iG公司u（t），A（t）:= 金融机构Xi（t）, i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （5.14）如（3.8）所示。这里，我们回顾定理5.5，每个fi都是fi的RCLL导数，是有界变差函数。此外，通过配方（5.6）确定的（5.13）中的F¨ollmer It^o积分可分解为ZTFIXi（s）dXi（s）=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tfi公司Xi（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）（5.15）=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tfi公司Xi（tj）ui（tj+1）- ui（tj）(5.16)- 画→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tfi公司Xi（tj）Ai（tj+1）- Ai（tj）, （5.17）因为最后一个限制（5.17）作为∈ CBV（[0，T]，Rd）。因此，限值（5.16）也存在，我们取消了两个限值（5.16）和（5.17）asRtfiXi（s）dui（s），RtfiXi（s）分别为dAi（s）。对于（5.12）中的生成函数G，我们定义了（3.5）中的伽马函数ΓGas，即ΓG（t）：=Gu（0），A（0）- Gu（t），A（t）+dXi=1Ztθi（s）dui（s）=dXi=1Ztθi（s）dAi（s）-dXi=1ZRL（ui-Ai）t（x）df（x），0≤ t型≤ T、 （5.18）最后一个方程来自（5.13），我们注意到ΓG（·）再次是有界变差。我们现在按照（3.9）-（3.11）的方式来构建额外生成的交易策略。定义5.7（添加剂生成）。我们认为交易策略Д=（Д，···，Дd）定义为Дi（t）：=θi（t）- Qθ（t）- C（0），i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （5.19）由（5.12）中的函数G额外生成。这里，Qθ（t）：=dXi=1θi（t）ui（t）- θi（0）ui（0）-ZtdXi=1θi（s）dui（s）（5.20）是时间t的自我融资缺陷∈ [0，T]如（3.10）所定义，和c（0）：=dXi=1θi（0）ui（0）- Gu（0），A（0）t=0时的平衡缺陷。我们还有以下结果，可以通过类比命题3.6来证明。

请注意，下面的伽马函数ΓG（·）采用（5.18）的形式，而不是（3.6）的形式。提案5.8。由（5.12）的函数G为交易对（u，A）额外生成的交易策略（如（5.19）的值vД（t）：=dXi=1Дi（t）ui（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t），0≤ t型≤ T、 （5.21）用（5.18）中定义的ΓG（·）表示，其组成部分可以用等效形式Γi（T）=θi（T）+ΓG（T）+G表示u（t），A（t）-dXj=1θj（t）uj（t）（5.22）=θi（t）+VД（t）-dXj=1θj（t）uj（t），对于i=1，··，d。第4.1节中所述的附加生成交易策略所影响的强相对套利的充分条件，可以类似于定义5.7中的策略Д的方式应用。凹函数，如x 7→ -x和x 7→ -x log x，用于生成交易策略时，在（3.5）中生成非减量伽马函数ΓGas；这是因为这些功能具有消极的酰胺结构G=(i、 kG）1≤i、 k级≤d、 在（3.6）中扮演最后一个积分的被积函数的角色。如Fernholz（2002）定义3.4.1所述，这种凹度会导致“多样性加权”投资策略。然而，这些凹函数必须在Cto中才能应用It^o\'srule。现在，我们可以使用凹函数但不可微函数，同时仍然可以借助田中公式生成PortfolioW。典型示例为x 7→ -x+：=- 最大值（x，0）和x 7→ -x个-:=- 最小值（x，0）。示例5.9（关于“尺寸效应”）。考虑一个常数α∈ （0，1）和a函数f（x）：=d- （十）- α） +，其中x+：=max{x，0}，d是市场权重向量u的维数。注意，f满足定理5.5中的条件。然后，对于具有≡ 0，我们有X≡ uin（5.11），setf=fifor i=1，···，d以获得（5.12）中的生成函数asG（u（t））=1-dXi=1ui（t）- α+, （5.23）其构造为非负。

这里，α对市场权重起着阈值的作用：我们只在生成函数中包含市场权重超过阈值水平α的股票。根据（5.14）和（5.18），θi（t）=-{ui（t）≥α} ，i=1，···，d，（5.24）和ΓG（t）=dXi=1Luit（α）。（5.25）请注意，该伽马函数是非减量函数，并且在市场权重达到阈值α时增加。作为（5.19）额外生成的交易策略可用命题5.8表示为Дi（t）=-{ui（t）≥α} +dXj=1{uj（t）≥α} uj（t）+VД（t），i=1，···，d，（5.26），值VД（t）=1-dXi=1（ui（t）- α） ++dXi=1Luit（α）。由于（5.25）中的伽马函数是非减量的，我们可以使用orem 4.2中的强套利条件：相对于市场的强相对套利在每个时间范围[0，t]内都存在*≤ t型≤ T，满足ΓG（T*) =dXi=1LuiT*（α） >G（u（0））=1-dXi=1（ui（0）- α)+.在（5.26）中的Дi（t）表达式中，sumPdj=1{uj（t）≥α} +V（t）是一个通用术语，与所有指数i=1、··、d相同。因此，对于那些市值超过阈值α的“大盘股”，将一个货币单位投资于该通用基线金额。因此，我们可以将（5.26）的策略Д解释为通过向“小盘股”投资更多资金，产生相对于市场的强大套利。这与之前随机投资组合理论的结果基本一致，即“倾斜”小盘股，而不是大盘股，可以获得更好的结果。例5.10（关于“动量效应”）。在例5.9中，我们将单个市场权重ui（t）与固定常数α进行比较，以确定是否将其包括在生成函数中。现在，我们通过将当前市场权重与过去的市场权重进行比较来扩展这一想法。

具体而言，我们希望我们的交易策略取决于u（t）和u（t）之间的差异-δ） 对于某些固定δ>0。为了做到这一点，首先我们确定时间间隔δ>0，并将每个uIf的范围从[0，T]扩大到[-δ、 T）]。这个领域的扩展可以很容易地完成，因为即使在t=0时我们开始投资我们的交易策略之前，也必须有过去的股价和过去的市场权重。我们只需将这些过去的数据附加到时间线的左侧，以扩展其域。此外，由于u（t-δ） 与原始路径u（t）一样粗糙，我们需要以某种方式使其更平滑。因此，我们在非常小的时间间隔[t]之间取市场权重的移动平均值- δ、 t型- δ+θ]对于满足0<θ<δ的一些小θ，使用此移动平均值代替u（t- δ).因此，我们引入有限变量ai（t）：=θZt的函数-δ+θt-Δui（s）ds，0≤ t型≤ T、 （5.27）对于每个i=1，···，d；这是对ui（t）的良好估计- δ） 对于一些非常小的常数θ和t固定，也是有限变化的函数。现在，我们考虑函数f（x）：=d- x+，其中d再次是市场权重向量u的维数。然后，对于（5.27）中定义为的对（u，A），我们引入以下非负生成函数g（u（t））=1-dXi=1ui（t）- Ai（t）+.该生成函数包括当前市场权重ui（t）大于或等于其过去市场权重ui（t）估计值的股票-δ).

它也与（5.23）非常相似，不同之处在于阈值α被股票特定水平Ai（t）代替，以这种方式捕捉“动量效应”。以这种方式，我们计算（5.14），（5.18）的量为θi（t）=-{ui（t）≥Ai（t）}，i=1，···，d，ΓG（t）=-dXi=1Zt{ui（s）≥Ai（s）}dAi（s）+dXi=1L（ui-Ai）t（0），（5.28），其中我们回忆起连续的当地时间L（ui-Ai）t（0）ui- Aiat原点，如定义5.4所示。这里，在上面的积分表达式中，被积函数{ui（s）≥Ai（s）}是在时间s可观察到的量，而积分器dAi（s）表示时间间隔之间ui的移动平均值的增量- δ、 s- δ+θ]，这也是时间s的可见值。因此，即使被积函数和积分器来自不同的时间，也可以在0到T之间的任何时间计算该积分。（5.28）中的最后一项是非减量项，但积分项通常不是单调的，因为有限变量积分器dAi（s）通常会发生变化。以（5.19）的方式额外生成的交易策略可以用命题5.8表示为Дi（t）=-{ui（t）≥Ai（t）}+dXj=1{uj（t）≥Aj（t）}uj（t）+VД（t），i=1，··，d，（5.29），其值为VД（t）=1-dXi=1ui（t）- Ai（t）+-dXi=1Zt{ui（s）≥Ai（s）}dAi（s）+dXi=1L（ui-Ai）t（0）Luit（α）。由于（5.28）的伽玛函数不再是单调的，因此很难在这种情况下为强相对套利制定适当的条件。然而，我们注意到，（5.29）中的策略Д在当前市场权重大于或等于其（估计）过去价值的股票上投资的货币少了一个单位。5.3乘法生成交易策略的构建我们现在回顾前面小节中的定义（5.11）-（5.18），我们进一步假设1/Gu（·），A（·）如第3.3节所述，为局部边界。

然后，我们考虑分量为ηi（t）的向量η：=θi（t）×expZtdΓG（s）Gu（s），A（s）, i=1，···，d，0≤ t型≤ 符号（5.14）中的T（5.30），我们将其定义为定义3.8。定义5.11（乘法生成）。我们说交易策略ψ=（ψ，···，ψd）定义为ψi（t）：=ηi（t）- Qη（t）- C（0），i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （5.31）式中，Qη和C（0）如定义5.7所定义，由（5.12）中的函数G乘法生成。对于（5.31）中的交易策略ψ，我们对其值的公式与命题3.9中的公式相似，但这里的区别是，我们的母函数G可能比以前光滑得多；即形式（5.12）的绝对连续f。证明需要额外的注意和计算，因为没有“乘积规则”可以应用于这种不太规则的函数。提案5.12。交易策略ψ由（5.12）中的函数G（如（5.31）中的对（u，A）乘法生成，其值vψ（t）：=dXi=1ψi（t）ui（t）=Gu（t），A（t）经验值ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）> 0, 0 ≤ t型≤ T、 （5.32）及其分量可以用ψi（T）=Vψ（T）的形式表示，对于i=1，··，d1+克u（t），A（t）θi（t）-dXj=1θj（t）uj（t）. （5.33）证明。我们表示指数alk（t）：=expZtdΓG（s）Gu（s），A（s）.我们回顾了符号（5.11），（5.12），并考虑了以下在地震序列（Tn）n上的伸缩展开∈Nof分区：Gu（t），A（t）K（t）- Gu（0），A（0）K（0）=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj+1））K（tj+1）- fi（Xi（tj））K（tj）o=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj+1））K（tj+1）- K（tj）o（5.34）+dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤t型金融机构Xi（tj+1）- 金融机构Xi（tj）K（tj）.

（5.35）然后，我们可以进一步扩展最后一个双和（5.35）asdXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤田纳西州fi（Xi（tj+1））- fi（Xi（tj））K（tj）o=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj））K（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）+ZRLXtj，Xtj+1K（x）| Xtj+1- x | K（tj）dfi（x）o=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj））K（tj）ui（tj+1）- ui（tj）o（5.36）-dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj））K（tj）Ai（tj+1）- Ai（tj）o（5.37）+dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tK（tj）ZRLXi，Tntj+1（x）- LXi，Tntj（x）dfi（x），（5.38），其中第一个方程式来自（A.7），最后一个方程式来自（5.11）和（5.5）。接下来，我们证明了（5.34）、（5.37）和（5.38）之和随n而消失→ ∞. 首先，由于网格大小变为零，为n→ ∞, 和的极限（5.34）是Lebesgue-Stieltjes积分dxi=1ZtfiXi（s）dK（s）=ZtGu（s），A（s）dK（s），因为对于每个i=1，····，d，fi（Xi（·））在紧区间[0，T]上有界。从（5.18），Lebesgue-Stieltjes积分的变量公式的变化给出了sztgu（s），A（s）dK（s）=ZtK（s）dΓG（s）=ZtK（s）dΓG（s）-ZtK（s）dΓG（s），（5.39），其中ΓG（t）：=dXi=1Ztθi（s）dAi（s），ΓG（t）：=dXi=1ZRLXit（x）dfi（x）。我们再次应用变量公式的变化，得到ztk（s）dΓG（s）=dXi=1ZtK（s）θi（s）dAi（s），这只是总和（5.37）极限的负值。另一方面，（5.39）的最后一个积分可以表示为sumZtK（s）dΓG（s）=limn的极限→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tK（tj）ΓG（tj+1）- ΓG（tj）= 画→∞dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tK（tj）ZRLXitj+1（x）- LXitj（x）dfi（x），与总和限值（5.38）一致。因此，证明了（5.34）、（5.37）和（5.38）之和的极限等于零的说法；鉴于，（5.34），（5.35）右侧的余项是（5.36）之和，其极限我们表示为asdXi=1Ztfi（Xi（s））K（s）dui（s）=dXi=1Ztηi（s）dui（s），来自（5.12）和（5.30）。

最后，我们获得u（t），A（t）K（t）- Gu（0），A（0）K（0）=dXi=1Ztηi（s）dui（s）=dXi=1Ztψi（s）dui（s），其中最后一个等式来自于事实Pdi=1ui（·）≡ 1施工（5.31）。结果（5.32）来自ψ的自融性和关系vψ（0）=dXi=1ψi（0）ui（0）=dXi=1θi（0）- C（0）ui（0）=Gu（0），A（0）= Gu（0），A（0）K（0）。方程式（5.33）的调整方式与命题3.9相同。例5.13（关于“尺寸效应”，再次讨论）。回想一下示例5.9中（5.23）的生成函数G，并添加一个非常小的常数 > 0到haveGu（t）= (1 + ) -dXi=1ui（t）- α+,具有与（5.24）中相同的θ和与（5.25）中相同的伽马函数。插入常数的原因 > 0是为了确保G的正性，而不考虑α的选择∈ （0，1），因此1/G是局部有界的。交易策略ψ由定义5.11中的G乘法生成，可以用命题5.12表示为ψi（t）=-K（t）{ui（t）≥α} +dXj=1K（t）{uj（t）≥α} uj（t）+VД（t），i=1，···，d，（5.40），其值为asVψ（t）=(1 + ) -dXi=1ui（t）- α+K（t），其中K（t）：=expZtdXi=1dLuis（α）1+ -Pdj=1（uj（s）- α)+.从定理4.7可以看出，相对于市场的强相对套利在每个时间范围[0，t]上都存在，且t*≤ t型≤ T，满足ΓG（T*) =dXi=1LuiT*(α) > (1 + ) 日志1 +  -Pdi=1ui（0）- α+,因为G满足边界 ≤ Gu(·)≤ 1 + .以与例5.9相同的方式，（5.40）中的策略ψ投资的K（t）单位货币小于“通用基线金额”，即Pdj=1K（t）{uj（t）≥α} uj（t）+VД（t），对于那些在t时市场权重超过阈值α的“大资本化股票”。

由于K（·）是非递减的，随着时间的推移，策略ψ继续向那些“大盘股”投资越来越少的资金，“规模效应”逐渐增大。6熵函数的例子在这一节中，我们给出了一些由“熵函数”的变体加和乘生成的交易策略的例子，以及第4节介绍的强相对任意性的相应条件。关于这些例子的实证结果将在下一节中介绍。考虑吉布斯熵函数h（x）=-dXi=1xilog（xi），x∈ （0，1）d，（6.1）中的值为（0，log d）。该函数具有非负性、二次可微性和凹性，是随机投资组合理论中最常用的函数之一。见Fernholz（2002）；Fernholz和Karatzas（2009）；Karatzas和Ruf（2017）对其在生成投资组合中的使用，以及Ruf和Xie（2018），Schied等人（2018）对该函数生成的投资组合的一些变体。示例6.1（熵函数）。为了将原始熵函数生成的交易策略与相关函数变体生成的交易策略进行比较，我们首先推导并总结了原始熵函数以加法/乘法方式生成的交易策略。考虑“移位熵”Gu（t）:= -dXi=1ui（t）对数pui（t）= - 日志p-dXi=1ui（t）对数ui（t）, （6.2）对于某些给定的实常数p≥ 1，其中最后一个等式使用factPdi=1ui（t）=1。这个量与原始熵H一致u（t）在（6.1）中，当p=1时；插入additiveconstant的原因将在以下备注中解释。

从（3.6）、（3.13）和（3.20）中，该熵函数的加法生成的交易策略Д和乘法生成的交易策略ψ可表示为Дi（t）=- 日志pui（t）+ ΓG（t），i=1，··，d，（6.3）ψi（t）=- 经验值ZtdΓG（s）Gu（s）日志pui（t）, i=1，··，d，（6.4），其中ΓG（t）=dXi=1Ztdhuii（s）2ui（s）（6.5）在t中是不递减的。这些交易策略的值通过（3.12）和（3.19）给出。注意，由于（6.2）中的G在G（u（·））意义上是“几乎平衡的”，因此（6.3）中的Д和（6.4）中的ψ具有相对简单的形式- 1=dXj=1uj（·）jG（u（·））持有；将该方程与（3.14）进行比较，并将（6.3）、（6.4）与（3.15）和（3.21）进行比较。然后，定理4.2中加性生成强套利的条件（4.5）为dxi=1ZT*dhuii（s）2ui（s）>-dXi=1ui（0）对数pui（0）, （6.6）而定理4.7中乘法生成强套利的条件（4.13）isdXi=1ZT*dhuii（s）2ui（s）>βlog-Pdi=1ui（0）对数pui（0）α. （6.7）这里，常数α、β是G的上下界，出现在定理4.7的有界条件（i）中。我们在下面的备注6.2中讨论了G的这些界限。备注6.2。前几节中描述的交易策略的构建不需要对参数进行任何优化或统计估计。然而，我们可以通过在生成函数G中引入一个或一组参数来改善交易策略相对于市场的相对性能。虽然原始熵函数如（6.2）所示，p=1，但我们有意在对数内插入一个常数p。

更快地实现较强的相对套利，或找到最小的此类套利*满足（6.6）或更一般（4.5），有助于使“阈值”为Gu（0），A（0）在不平等的右侧较小，同时保持ΓG（·）的“增长率”不变。正是本着这种精神，我们将参数p放入（6.2）；在日志中插入这样的常数p>1将使初始值Gu(0)与p=1的情况相比，小于log p的数量，但不会影响ΓG（·），因为从G中减去常数log p不会改变G相对于市场权重的任何导数。然而，如果p太大-Pdi=1ui（t）logui（t）<在某个时间t，然后Gu（t），A（t）具有负值。理论上，-Pdi=1ui（t）logui（t）只有当其中一个市场权重，例如u（t）等于1，并且i=2，···，d的所有其他权重ui（t）消失时，才具有最小值0，这在现实世界中不会发生。从经验来看-Pdi=1ui（t）logui（t）总是有界远离零，我们可以通过对市场权重施加弱条件，从理论上保证这一条件。例如，限制市场权重的最大值，saymaxiui（·）≤ 0.5（6.8）产生市场权重的附加条件，即：；必须有索引j∈ {1，···，d}使得uj（t）≥0.5d- 1，（6.9）对于任何t∈ [0，T]，由于标识符PDI=1ui≡ 1、那么-Pdi=1ui（t）logui（t）应大于-0.5d-1日志0.5d-1., 并且始终以0为界。在保持G的界远离0（且大于某个正常数α）的同时，寻找一个合适的p>1的值应该是统计学上的最佳做法，这取决于d，即股票数量。很简单，G由某个常数β从上方限定，如函数x 7→ -x log x的最大值为1/e。

在下一节中可以找到这种p的经验估计。生成G的初始值u（0），A（0）在保持增长率为ΓG（·）的情况下，计算市场交易策略的“超额回报率”也是非常必要的。交易策略在时间t的超额回报率∈ （0，T）可定义为r（T）：=V（T）- VД（0）VД（0），（6.10）和（3.12）中，这可以表示为rД（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t）- Gu（0），A（0）Gu（0），A（0）,对于额外生成的交易策略。因此，如果我们以某种方式使值Gu（0），A（0）,上述分数的分母越小，在分子中保持ΓG（t）的值的同时，我们可以为交易策略获得更大的超额回报率。在以下示例中，我们使用此技巧来减小初始值Gu（0），A（0）在可能的情况下，通过插入适当的常数来生成函数。以下两个示例用于组件A的两个“极性相反”的有限变化函数；运行最大u*i（t）：=最大值0≤s≤tui（s），（6.11）和运行最小u*i（t）：=最小0≤s≤tui（s），（6.12）的市场权重。示例6.3（最大运行熵函数）。考虑G型熵函数u（t），A（t）≡ Gu（t），u*（t）:= - 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t），（6.13），用向量函数A表示≡ u*= (u*, · · · , u*d） 。如前所述，p≥ 1是标记6.2中的常数，初始值Gu(0), u*(0)= - 日志p-Pdi=1ui（0）logui（0）与示例6.1中的相同。然后我们很容易得到如下导数iG公司u（t），u*（t）= - 对数u*i（t），i、 jG公司u（t），u*（t）= 0，挖掘u（t），u*（t）= -ui（t）u*i（t），用于1≤ i、 j≤ d、 从（3.6）中，我们还得到ΓG（t）=dXi=1Ztui（s）u*i（s）du*i（s）=dXi=1u*i（t）- ui（0）=dXi=1u*i（t）- 1，（6.14）其中，我们使用了增量du*只有当ui（s）=u时，i（s）才为正*i（s）。

由于（6.13）的函数G在ui（·）中是线性的，因此关于uiof G的二阶偏导数消失，而ΓG（·）的非减量结构仅来自u*i（·）。同样从（3.12）和（3.13）中，从（6.13）中的该函数额外生成的交易策略（tradingstrategy）表示为Дi（t）=- 日志pu*i（t）+dXj=1u*j（t）- 1，i=1，···，d；（6.15）且该交易策略的价值为asVД（t）=-dXi=1ui（t）对数pu*i（t）+dXi=1u*i（t）- 1、定理4.2中的强套利条件（4.5）取公式dxi=1u*i（T*) > 1.-dXi=1ui（0）对数pui（0）.另一方面，从（3.19）和（3.20）中，由（6.13）中的函数乘法生成的交易策略ψ被给出为ψi（t）=-K（t）对数pu*i（t）, i=1，···，d；（6.16）和相关值isVψ（t）=-K（t）dXi=1ui（t）logpu*i（t）,式中，k（t）：=exp-ZtdXi=1du*i（s）Pdj=1uj（s）对数pu*j（s）.定理4.7中的强套利条件（4.13）采用公式dxi=1u*i（T*) > 1+β对数-Pdi=1ui（0）对数pui（0）α.这里，α、β也是G的上下限，这些界限取决于参数p和施加在市场权重上的条件，如备注6.2所述。关于这个例子的实证结果可以在下一节中找到。代表下一示例“累积收益”的伽玛函数ΓG（·）是非递增的，但令人惊讶的是，交易策略的经验值VΓ（·）和Vψ（·）在长期内随着G值的增长而逐渐增长，如下一节的经验结果所示。因此，在这种情况下，关于强套利条件，应用定理4.5和定理4.9更合适。示例6.4（最小运行熵函数）。考虑功能Gu（t），A（t）≡ Gu（t），u*（t）:= - 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t），（6.17），用向量函数A表示≡ u*= (u*1, · · · , u*d） 在（6.12）中。

如前所述，p是常数，初始值Gu(0), u*(0)与前面的示例相同。然后，与之前一样，我们有iG公司u（t），u*（t）= - 对数u*i（t），i、 jG公司u（t），u*（t）= 0，挖掘u（t），u*（t）= -ui（t）u*i（t），用于1≤ i、 j≤ d、 同样从（3.6）中，我们得到ΓG（t）=dXi=1Ztui（s）u*i（s）du*i（s）=dXi=1Zt1 du*i（s）=dXi=1u*i（t）- 1，（6.18）这是t的非正和非递增函数。我们首先考虑由该函数额外生成的交易策略，其表示为Дi（t）=- 日志pu*i（t）+dXj=1u*j（t）- 1，i=1，··，d，（6.19）乘以（3.13）。注意，Дi（t）允许下限Дi（t）=- 日志p- 对数u*i（t）+u*i（t）+dXj=1j6=iu*j（t）- 1.≥ - 日志p- 对数ui（0）+ui（0）- 1，（6.20）因为函数x 7→ - 日志x+x在间隔x中递减∈ （0，1），因此，如果p<e，则数量Дi（t）为正- 对数ui（0）+ui（0）-1保持。根据（3.12），该交易策略的价值为asVД（t）=- 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t）+dXi=1u*i（t）- 1.. （6.21）而ΓG（t）=Pdi=1u*i（t）- （6.21）右侧的最后一项为非递增项，即第二项-Pdi=1ui（t）logu*i（t）随着映射t 7的增加而渐近增加→ - 对数u*i（t）是不减损的。实际上，正如我们在下一节中所看到的，这种交易策略的价值在长期内会增长。我们可以应用定理4.5，而不是定理4.2，来找到强套利条件，因为在这个例子中，ΓG（·）不是非减损的。为了应用定理4.5，我们首先需要证明VД（·）≥ 0保留。从（6.20）中，我们获得- 对数u*i（t）≥ -dXj=1u*i（t）- 对数ui（0）+ui（0）≥ -1.- 对数ui（0）+ui（0）≥ -1.- 日志maxj=1，···，duj（0）+ maxj=1，···，duj（0）适用于所有i=1，···，d。最后一个不等式源自函数x 7→ - 对数x+x在间隔x中递减∈ [0, 1].

然后，我们还获得-dXi=1ui（t）logu*i（t）≥ -1.- 日志maxj=1，···，duj（0）+ maxj=1，···，duj（0），因为-Pdi=1ui（t）logu*i（t）只是{- 对数u*i（t）}i=1，···，dwithweightsui（t），pdi=1ui（t）=1。因此，（6.21）中的VД（t）允许下限VД（t）≥ - 日志p- 2.- 日志maxjuj（0）+ 任何t的最大juj（0）∈ [0，T]和VД（·）≥ 当NP≤ e-2.-日志maxjuj（0）+maxjuj（0）（6.22）保持不变。关于定理4.5的第二个条件，我们有u（t），u*（t）= - 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t）≥ - 日志p-dXi=1ui（t）对数最大值=1，···，d（u*i（t））= - 日志p- 最大值=1，···，d对数u*i（t）:= Fu（t），u*（t）, （6.23）其中，我们使用factPdi=1ui（t）=1；现在映射t 7→ u*i（t）是非递增的，所以Fu（t），u*（t）最后，定理4.5的最后一个条件很容易从（6.18）得到，如ΓG（t）≥ -1 := -κ. （6.24）因此，定理4.5表明，（6.19）中的附加生成策略Д在每个时间范围[0，t]内都是相对于市场的强套利*≤ t型≤ T，满足条件dxi=1ui（0）logui（0）- 最大值=1，···，d对数u*i（T*)> 接下来，从（3.20）中，由函数（6.17）乘法生成的交易策略ψ表示为ψi（t）=-K（t）对数pu*i（t）, i=1，···，d；（6.25），Vψ（t）=-K（t）dXi=1ui（t）logpu*i（t）,式中，k（t）：=exp-ZtdXi=1du*i（s）Pdj=1uj（s）对数pu*j（s）.对于强套利条件，我们使用定理4.9。自F起u（t），u*（t）（6.23）、（6.24）中定义的k满足条件（i）、（ii）（选择适当的p使F成为正函数），强套利条件（4.14）变得很难- 最大值=1，···，d对数pu*i（T*)>-1对数p+最大值=1，···，d对数ui（0）.备注6.5。

在备注6.2中，我们需要为满足不等式的p找到一个合适的值，例如，-Pdi=1ui（t）对数（ui（t））≥ 记录所有t的p∈ [0，T]在例6.1中，使函数G非负。该不等式通常取决于ui（t），t∈ [0，T]在时间0时不可见。因此，在制定交易策略之前，我们需要对市场权重施加一些条件，或对历史市场数据进行统计分析，以找到适当的p值。然而，在例6.4中，由于其独特的结构，我们可以在时间t=0时，在没有任何统计估计的情况下，通过分析找到合适的pw值。事实上，从（6.23）开始，我们得到了u（t），u*（t）≥ - 日志p- 最大值=1，···，d对数u*i（t）≥ - 日志p- 最大值=1，···，d对数ui（0）持有；设置P=maxi=1，···，dui（0）（6.26）保证条件Gu（t），u*（t）≥ 0表示所有t∈ [0，T]。注意，这个p可以从时间0的绝对可观测值计算出来。实际上，满足（6.22）的p也保证了G的非负性条件，因为Gu(·), u*(·)≥ VД（·）=Gu(·), u*(·)+ ΓG（·）≥ 由于ΓG（·）的非正性，0保持不变。当然，可以使用过去的市场数据对p进行统计估计，以获得更好的p值，同时满足Gu(·), u*(·)≥ 0和VД（·）≥ 下一个例子提供了定理4.5的另一个应用。示例6.6（运行最小值的迭代熵函数）。在本例中，我们首先确定一个正常数r，以便初始市场权重的以下条件成立；ui（0）≤re，i=1，··，d.（6.27），这里，e是指数常数。由于在我们构建交易策略之前，初始市场权重是可以观察到的，因此我们可以在开始投资交易策略的那一刻找到并确定r的此类值。例如，如果在时间0时，没有一支股票的总资本占比超过12%，那么我们可以设置r=3，as3e≈ 0.123.

然后，我们考虑一个函数u（t），A（t）≡ Gu（t），u*（t）:= -p-dXi=1ui（t）对数- ru*i（t）日志ru*i（t）, （6.28）用向量函数A表示≡ u*= (u*1, · · · , u*d） 。如备注6.5所示，由于一系列不等式g，我们可以预先确定常数p的值，而无需任何统计估计u（t），u*（t）≥ -p-dXi=1ui（t）loghmaxj=1，···，d- ru*j（t）对数ru*j（t）我≥ -p- loghmaxj=1，···，d- ru*j（t）对数ru*j（t）i=：Fu（t），u*（t）(6.29)≥ -p- loghmaxj=1，···，d- ruj（0）对数ruj（0）我， t型∈ [0，T]。第一个不等式使用x 7这一事实→ - logx是递减函数，第二个不等式来自等式pdi=1ui（t）=1。最后一个不等式成立，因为x 7→ -rx log（rx）在[0，re]和0之间增加≤ u*i（·）≤ ui（0）≤re，（6.30）与假设（6.27）保持一致。请注意，Fu（t），u*（t）（6.29）中定义的是与映射t 7一样的非减量映射→ u*i（t）和t 7→ -ru*i（t）日志ru*i（t）是非递增的。然后，选项≤ - loghmaxi=1，···，d- rui（0）日志rui（0）i、 （6.31）在时间0时是完全可观察的值，保证Gu(·), u*(·)始终为非负。接下来，经过一些计算，我们得到了偏导数iG公司u（t），u*（t）= - 日志- ru*i（t）日志ru*i（t）≥ 1, (6.32)i、 千克u（t），u*（t）= 0，挖掘u（t），u*（t）= -ui（t）日志ru*i（t）+ ui（t）u*i（t）日志ru*i（t）,对于1≤ i、 k级≤ d、 我们注意到iG公司u（t），u*（t）≥ 1再次保持，因为映射x 7→ -rx log（rx）在间隔[0，re]内从0增加到0。

根据（3.6）和增量du*仅当ui（s）=u时，i（s）才为正*i（s），我们得到ΓG（t）=dXi=1Zt1+日志ru*一（s）du*i（s）（6.33）是t的非递增函数，因为0≤ 1+日志ru*i（·）≤ 1通过方程式（6.30）保持。此函数允许下限ΓG（t）=dXi=1Zt1 du*i（s）+dXi=1Ztlogru*一（s）du*i（s）=dXi=1u*i（t）-dXi=1u*i（0）+dXi=1lir（u*i（t））-dXi=1lir（ui（0）），≥ -1.-dXi=1IR（ui（0））=：-κ、 （6.34）带符号LIR（x）：=Zxdulog（ru）=rZrxdvlog v=rli（rx）。这里，li（x）=Rxdulog Ure表示对数积分函数。请注意，函数lir（x）具有负值，并且从0减小到-∞ 在间隔x中∈ [0，r）。由于不等式u，最后一个不等式成立*i（·）+lir（u*i（·））≥ 0（6.35）满足所有u*i（·）条件（6.30）。我们还注意到（6.34）中定义的κ-1+Pdi=1ui（0）=0≤ κ<1来自相同的不等式（6.35）。另一方面，根据（3.13），从该函数中额外生成的交易策略（tradingstrategy）表示为Дi（t）=-p- 日志- ru*i（t）日志ru*i（t）+dXi=1Zt1+日志ru*一（s）du*i（s）。（6.36）最后，在（3.12）中，该交易策略的价值为asVД（t）=-p-dXi=1ui（t）对数- ru*i（t）日志ru*i（t）+dXi=1Zt1+日志ru*一（s）du*i（s），（6.37），预计asVД（t）≥ -p- loghmaxi=1，···，d- rui（0）日志rui（0）我- κ、 来自（6.29）和（6.34）。因此，选项P=- loghmaxi=1，···，d- rui（0）日志rui（0）我- κ（6.38）担保VД（·）≥ 0和满意度（6.31）。我们在此再次强调，（6.38）中定义的p仅取决于初始市场权重ui（0），因此无需对p进行统计估计。使用与（6.29）中相同的技术，（6.36）中的φi（t）大于或等于-p- 对数最大值- rui（0）日志rui（0）我- κ、 0乘以（6.38）。

因此，这种交易策略是“只做多头”，即Дi（·）≥ 对于所有i=1，··，d，均为0。如上所示，定理4.5的所有条件均已满足，在（6.36）中的加法生成策略Д是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T，满足条件- loghmaxi=1，···，d- rui（T*) 日志rui（T*)i>-dXi=1ui（0）对数- rui（0）日志rui（0）+ κ、 κin（6.34）。我们继续讨论这个函数（6.28）乘法生成的交易策略ψ。从（3.20）、（3.19）以及（6.32）和（6.33）中，我们得到ψi（t）=-K（t）hp+日志- ru*i（t）日志ru*i（t）i、 i=1，···，d；（6.39）具有值函数vψ（t）=-K（t）hp+dXi=1ui（t）对数- ru*i（t）日志ru*i（t）i、 式中，k（t）：=exp-dXi=1Zt1+对数ru*一（s）p+Pdj=1uj（t）对数- ru*j（t）对数ru*j（t）du*一（s）.由于（6.33）中的ΓGis非递增，我们再次使用定理4.9。我们已经有F了u（t），u*（t）以及（6.29）和（6.34）中定义的满足条件（i）、（ii）的κ。因此，强套利条件（4.14）变成slog（A）>1+Pdi=1Lr（ui（0））B，其中：=-p- loghmaxj=1，···，d- ru*j（T*) 日志ru*j（T*)i、 andB：=-p- loghmaxj=1，···，d- ruj（0）对数ruj（0）i、 7实证结果我们使用历史市场数据，在第6节中给出了一些关于额外生成的投资组合行为的实证结果。我们首先用生成函数G和相应的伽马函数ΓGin（3.12）分解这些投资组合相对于市场的价值函数VΓ（·）。特别是，我们证明了第6节中投资组合的所有价值函数都优于市场投资组合。

然后，我们提出，注释6.2中解释的参数p的不同选择确实显著影响投资组合的绩效。7.1数据描述和符号为了模拟完美的“封闭市场”，我们构建了一个“宇宙”，其中d=1085只股票在2000年1月1日至2017年12月31日的4528个连续交易日内连续交易。这1085只股票是从这一时期在标准普尔1500指数组成部分中至少上市一次的股票中挑选出来的，没有经历过合并、收购、破产等。备注7.1。选择1085只股票有点偏颇，因为我们在时间t=0时通过排除未来将破产的股票来展望未来。然而，这种偏颇选择的原因是保持股票数量d始终不变，这是我们“封闭”市场模型的基本假设。如果我们在开始时将d=1500只股票包括在标准普尔1500指数中，在其破产时移除一只股票，或在其新加入指数时获取一只新股票，那么随着时间的推移，我们的投资组合中的股票数量d和生成函数G将在d发生变化时不连续。解决这个问题的一个可能办法是考虑“开放市场”。我们首先确定d的价值，比如开始时d=1500，跟踪市场上所有股票的价格动态（应该由d以上的股票组成，比如d>d的d股票），按照市值的顺序对其进行排序，并使用d股票中排名前d=1500的股票构建我们的投资组合。通过这种方式，我们可以始终保持相同数量的公司，但考虑排名的市场权重总是涉及“泄漏”问题。

正如Fernholz（2002）第4.2章、第4.3章以及Karatzas和Ruf（2017）的示例6.2所述，这是指当我们不得不出售一只已从顶级d资本化指数减至较低资本化指数的股票时所产生的损失。更糟糕的是，由于我们只想在这个公开市场的d家公司中投资排名前d的公司，每当第i家公司在时间t未能被列入排名前d的公司时，我们的交易策略Д=（Д，···，Дd）应该满足方程Дi（t）=0，即i=1，··，d。然而，我们还不知道如何构建这样的交易策略。因此，建立一个完美的实证模型并不容易，我们决定以有偏的方式选择d=1085只股票，这比前面章节中描述的理论模型更好。我们从CRSP和Compustat数据集中获得了这些股票的每日收盘价和总股数。数据可在此处找到；https://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/.我们使用DR和C++编程我们的投资组合。由于我们使用了4528天的每日数据，我们将时间范围离散为0=t<t<·····，<tN-1=T。对于`∈ {1，2，···，N}，我们在这里总结我们的符号；1、Si（t`）：t`日结束时，其股票的资本化（每日收盘价乘以股票总数）。2、∑（t`）：=Pdi=1Si（t`）：第t`天结束时d股的总股本。该数量还表示t日结束时市场投资组合的美元价值，初始财富∑（0）。3、ui（t`）：=Si（t`）∑（t`）：第t`天结束时的市场重量。4、πi（t`）：第t`天结束时，ithstock的累计生成投资组合权重，可使用方程式（3.16）计算。请注意，Pdi=1πi（t`）=1成立。5、W（t`）：第t`天结束时投资组合的总价值。

那么，W（t`）πi（t`）表示我们的投资组合在第t`天结束时投资于ithstock的资金量。因为第t天开始时ithstock的资本化应等于Si（t`-1） ，上一个交易日t结束时相同股票的资本化`-1，我们还推导出∑（t`-1） ，ui（t`-1） ，πi（t`-1） ，和W（t`-1） 分别表示总资本、ITH市场权重、ITH累计生成的投资组合权重和t日开始时投资组合的货币价值。我们在t日的投资组合交易或重新平衡是在t日开始时，使用市场权重ui（t`-1） 在最后一个交易日结束时。我们计算πi（t`-1） 来自ui（t`-1） 通过（3.16），重新分配生成的值W（t`-1） 根据这些权重πi（t`-1). 然后，投资组合W（t`）在第t`天结束时的货币价值可以计算为W（t`）=dXi=1W（t`-1） πi（t`-1） Si（t`）Si（t`-1).为了比较我们的投资组合与市场投资组合的绩效，我们将我们的初始财富设定为W（0）=∑（0），并比较∑（·）和W（·）的演变。一旦我们的投资组合中投资的初始金额W（0）确定，就可以通过上述方程递归获得投资组合的货币价值。然而，W（·）可以用（3.9）或（3.13）中的交易策略Дi（·）来定义；W（·）=dXi=1Si（·）~ni（·）。

（7.1）那么，（3.3）中定义的或（3.12）中表示的相对于市场的价值VД（·）有另一种表示形式，即我们投资组合的货币价值与总市值之间的比率；VД（·）=dXi=1Дi（·）ui（·）=dXi=1Дi（·）Si（·）∑（·）=W（·）∑（·），表达“相对于市场的交易策略（或投资组合）的价值”是有意义的。此外，在（6.10）中定义的投资组合的超额回报率RД（·）可以表示为RД（·）=VД（·）- VД（0）VД（0）=W（·）∑（·）- 1=W（·）- Σ(·)Σ(·)= V^1（·）- 1.,“相对于市场的超额回报率”这句话也有道理。这里，V（0）=1，因为我们设置W（0）=∑（0）。在下一小节的最后一部分，我们展示了几个投资组合的W（·）的演变，以比较它们的绩效。7.2实证结果我们首先将熵示例（示例6.1、6.3、6.4和6.6）中的函数G加总生成的交易策略的价值函数VД（·）分解为生成函数Gu（·），A（·）和相应的伽马函数ΓG（·）。为了便于比较，我们规范化了所有生成函数，以便Gu（0），A（0）= 1保持不变，并在图1中将Gamma函数上移1。图1：累加生成交易策略的价值函数分解（a）示例6.1原始熵，p=9（b）示例6.3运行最大熵，p=9（c）示例6.4运行最小熵，p=9（d）示例6.6运行最小迭代熵，p=9，r=5图1证实，随着价值V（图中的红线）逐渐增加，第6节中产生的所有交易策略的表现均优于市场。在子图（a）和（b）中，值Vа的增长来自伽马函数的增长。

相反，即使伽马函数减少，交易策略的价值也会随着子图（c）和（d）中函数G的大幅增加而增加。在子图（d）中，我们将参数r=5设置为满足方程（6.27）的最大整数；初始市场权重数据为我们提供了最大ui（0）=0.065和0.065<1/（5e）保持。我们在所有子图中选择了相同的参数p=9（见备注6.2），以进行公平比较，但这是对（a）、（b）和（c）参数p的非常草率的选择。如果我们在每个示例中仔细地使用统计图像（statisticalestimation）来选择p的值，那么投资组合的性能将得到改善，如图2所示，示例6.1中的情况。图2：示例6.1中具有不同p值的额外生成交易策略的值图2显示了示例6.1中具有不同参数p选择的额外生成投资组合的值。我们可以验证p值越大的交易策略表现越好，如备注6.2所述。根据数据，吉布斯熵-在4528天内，Pi=1ui（t）logui（t），市场权重范围为4.954至5.726。因此，p=90是参数p的安全估计，它保证了（6.2）中函数G的非负性，因为log 90<4.5<4.954成立。最后，图3显示了第6节四个示例中投资组合的“美元价值”，如（7.1）所示，以及2000年初至2017年底d=1085只股票的总市值∑（·）。通过将W（·）/W（0）替换为W（·）/W（0）来规范化美元值。在图3中，虽然市值在18年中大约翻了一番，但所有其他投资组合的美元价值增长了4.5倍以上。

在每个投资组合中使用统计估计适当选择参数。8结论Karatzas和Ruf（2017）引入了一种替代的交易功能生成“相加”方式图3：（标准化）18年战略投资组合的美元价值，并将其与E.R.Fernholz最初的“乘法”方式进行了比较。这种新方法削弱了从It^o过程到连续半鞅的资产价格假设，刻画了一类称为“Lyapunov函数”的函数，该函数生成的交易策略会导致对市场的强套利，并为强套利提供了一个非常简单的充分条件。本文对这两种函数生成方法采取了更一般化的方法。本文的研究结果可以总结如下：1。我们展示了如何生成加法和乘法交易策略，而不需要对市场模型进行任何概率假设。这是通过使用著名的pathwise It^ocalculus实现的，我们强加的唯一分析假设是，市场权重在路径意义上允许连续的协变量。在实际意义上，我们不必关心这种分析假设，因为市场权重数据是以离散时间序列的形式给出的，并且这种数据总是允许路径协变量。2、我们通过引入除市场权重外的有限变量的额外参数作为输入，扩展了生成交易策略的函数类。在生成函数中插入此参数可在投资组合构建中提供额外的灵活性，这已在其他文献中讨论过。然而，我们提出了一些新的额外论点的例子，这给了我们简单的充分条件，导致相对于市场的强套利。3.

我们还通过给出新的充分条件，扩展了产生加法和乘法强相对论的函数类。新的条件允许函数不是“李亚普诺夫”函数，或者相对于市场权重是凹函数，以便产生强大的相对套利，从而在长期内跑赢市场投资组合。我们还提供了确实优于市场的投资组合的实证结果。4、借助于路径田中公式，我们进一步将投资组合生成函数的类从二次可微扩展到Lessmoother，即绝对连续函数。使用田中公式涉及当地时间的概念，这会产生新的有趣的投资组合类型和相应的强套利条件。虽然本文从几个方面概括了投资组合的函数生成，但我们提出了一些新问题。首先，本文假设“封闭市场”，换句话说，股票数量是固定的。在这方面，它不能代表或类似于真实的市场。如备注7.1所述，“公开市场”可以更好地模拟现实世界，但似乎对如何在公开市场中构建交易策略一无所知。其次，本文中的市场权重应沿时间分割序列具有微秒变化；在Cont和Perkowski（2018）的生命周期中，关于价格动态或市场权重，p>2的第p个变量是有限的，可以说些什么吗？附录A定理2.3的证明。利用伸缩和表示，我们得到X（t），A（t）- fX（0）），A（0）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj+1）- fX（tj），A（tj）o=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj+1）- fX（tj+1），A（tj）o（A.1）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj）- fX（tj），A（tj）o。

（A.2）泰勒展开式，应用于和（A.1）中函数A的分量，给出x【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj+1）- fX（tj+1），A（tj）o（A.3）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tmX`=1D`fX（tj+1），A（tj）A`（tj+1）- A`（tj）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tmX`=1rA`（tj+1）- A`（tj）,其中，最后一个余数项以r为界A`（tj+1）- A`（tj）≤ φmaxtj公司A`（tj+1）- A`（tj）A`（tj+1）- A`（tj）对于性质为limx的函数φ→0φ（x）=0。由于A是连续的且有界变化，因此（A.3）右侧的最后一个双和将变为零，即n→ ∞ 和（A.1）收敛到Lebesgue-Stieltjes积分mx`=1ZtD`fX（s），A（s）dA`（s），作为n→ ∞. 另一方面，通过对和（A.2）中函数x的分量进行泰勒展开，我们得到x[tj，tj+1]∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj）- fX（tj），A（tj）o=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi=1如果X（tj），A（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）（A.4）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi，k=1i、 kf公司X（tj），A（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）Xk（tj+1）- Xk（tj）（A.5）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi，k=1rXi，k（tj+1）- Xi，k（tj）, （A.6）其中最后一个余数项（A.6）以Xi，k（tj+1）-Xi，k（tj）≤ ψmaxtj，i，kXi，k（tj+1）-Xi，k（tj）Xi（tj+1）-Xi（tj）Xk（tj+1）-Xk（tj）,对于性质为limx的函数ψ→0ψ（x）=0。同样，通过X的连续性和X在（2.1）意义上承认路径二次协变量的事实，双和（A.6）接近于n→ ∞. 求和（A.5）收敛到Lebesgue-Stieltjes积分dxi，k=1Zti、 kf公司X（s），A（s）dhXi，Xki（s），再次通过X的路径二次协变量的存在。当所有其他项收敛时，剩余的和（A.4）应收敛到某个极限，我们称之为“F¨ollmer It^o integral”，如（2.5）所示。定理5.5的证明。

对于任意两个实数a和b，通过应用带符号（5.4）的分部积分公式，我们得到了方程F（b）- f（a）=Zbaf（x）dx=Rbaf（x）（b）- x） dx=-f（x）（b）- x）bx=a+R（a，b）（b- x） df（x），如果a≤ b-Rabf（x）（b）- x） dx=f（x）（b- x）ax=b-R（b，a）（b- x） df（x），如果b<a=f（x）（b）- a） +R（a，b）（b- x） df（x），如果a≤ bf（x）（b）- （a）-R（b，a）（b- x） df（x），如果b<a=f（x）（b- a） +ZRLa，黑色（x）| b- x | df（x）。（A.7）因此，使用伸缩集水坑（Xt）- f（X）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤t型f（Xtj+1）- f（Xtj）对于分区序列T=（Tn）n∈Nof[0，T]，上述等式变为f（Xt）- f（X）-X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tf（Xtj）（Xtj+1- Xtj）（A.8）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tZRLXtj，Xtj+1K（x）| Xtj+1- 由于定义（5.5），x | df（x）=ZRLX，Tnt（x）df（x）。（A.8）右侧的最后一个积分收敛到（5.7）的最后一个积分，因为LX，tnt一致收敛到Lt，结果如下。参考Cont，R.（2016）。泛函It^o演算和泛函Kolmogorov方程。在随机部分积分和函数It^o演算中，第115–201页。巴塞罗纳客户关系管理公司（CRM Barcelona，Birkhauser Basel）。Cont，R.和Perkowski，N.（2018年）。具有任意正则性的连续路径的路径积分和变量公式的变换。预印本，arXiv:1803.09269v2，将出现在AMS交易中。Davis，M.，Obl'oj，J.，和Siorpaes，P.（2018）。具有局部时间的路径随机演算。安。H.Poincar\'e Probab研究所。统计员。，54(1):1–21.Fernholz，E.R.（2002年）。随机投资组合理论，《数学应用》（纽约）第48卷。Springer Verlag，纽约。随机建模和应用概率。Fernholz，E.R.，Karatzas，I.，和Ruf，J.（2018）。波动性和套利。安。应用程序。概率。，28(1):378–417.Fernholz，R.（1999年）。投资组合生成函数。《金融市场定量分析》编辑Avellaneda，M。世界科学基金会Fernholz，R.和Karatzas，I.（2009）。

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