基于Tsallis相对熵风险的金融投资组合

2022-6-11 10:23:36

基于Tsallis相对熵的投资组合1基于Tsallis相对熵作为风险度量的金融投资组合Sandhya DeviEdmonds，WA，98020，美国电子邮件：sdevi@entropicdynamics.com文摘：早期的研究表明，股票市场分布可以用Tsallis熵得到的分布很好地描述，Tsallis熵是Shannon熵对非广义系统的推广。本文研究了将Kullback-Leibler相对熵（KLRE）推广到非广义系统的Tsallis相对熵（TRE），作为构建收益优于市场收益的风险最优投资组合的一种可能的风险度量。投资组合是通过对风险值进行分类并根据风险值将股票分配到分类箱来构建的。计算每个bin超过市场回报的平均回报，以获得投资组合的风险回报模式。结果与其他三种风险度量的结果进行了比较：1）资本资产定价模型（CAPM）常用的“β”，2）Kullback-Leibler相对熵，以及3）相对标准差。对长期（约18年）和短期（约9年）进行的测试（包括网络泡沫和2008年崩溃期）表明，所有四种风险度量的风险超额收益曲线都可以得到线性拟合。然而，在所有情况下，与其他三种风险度量相比，Tsallis相对熵的曲线在拟合优度和收益随风险的变化方面表现出更一致的行为。关键词：非广义统计、Tsallis相对熵、Kullback-Leibler相对熵、，-高斯分布，资本资产定价模型，贝塔，风险最优投资组合，经济物理学1。

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2022-6-11 10:23:39

在资本资产管理中，风险最优投资组合通常基于使用协方差定义于现代投资组合理论[1]和资本资产定价模型（CAPM）[2][3][4][5][6]或简单的标准差作为波动性度量。这些衡量标准基于有效市场假说[7][8]，根据该假说，a）投资者拥有所有可用信息，并利用这些信息独立做出理性决策；b）市场对所有可用信息的反应迅速达到均衡；c）在这种均衡状态下，市场具有正态分布。在这些条件下，股票j的回报与市场回报呈线性相关[9]asShell International Exploration and Production Co.（退休）Tsallis基于相对熵的投资组合2 （1a）风险参数由（1b）其中是的相关系数和, 和和是否为和. 拦截是的值什么时候为零，因此可被视为股权高于市场回报的超额回报。回归在一段时间内定义为（1c）是当时的股票价值 1972年，Black、Jensen和Scholes[10]对资本资产定价模型的有效性进行了实证检验，他们研究了1931-1965年间纽约证券交易所35年来所有股票的月度回报。通过组合估计的风险参数构建投资组合并根据风险参数为每个仓位分配库存。

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2022-6-11 10:23:44

长期（35年）结果显示，超额投资组合回报率之间存在高度线性关系和bin风险参数坡度略为正。这表明风险较高的股票投资组合产生的超额收益略高。然而，当测试时间较短（约9年）时，超额收益与仍然是线性的，但斜率是非平稳的，在某些时期甚至为负值。事实上，CAPM的假设有多真实？观察表明，市场是一个复杂的系统，是相互作用的主体（例如，羊群行为）、投机和/或对小消息采取冲动行为的交易者等决策的结果。这种集体/混沌行为可能导致系统的剧烈波动，使其偏离平衡，进入非线性区域。此外，股市收益率呈现出比正态分布更为复杂的分布。它们有尖锐的山峰和肥硕的尾巴（图1）。因此，需要定义一个不受CAPM约束的风险度量。有一些出版物认为熵就是这样一种风险度量。在统计力学中，熵是热力学系统未知微观构型数量的量度，与温度、压力、体积等可测量宏观量一致。它是系统不确定性的量度【11】【12】。1948年，Shannon将熵的概念作为不确定性的度量应用到信息理论中，推导出Shannon熵[13]。在金融学中，熵作为一种风险度量，有几个特点使其更具吸引力。它比标准差更一般，因为它取决于概率。

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2022-6-11 10:23:48

根据使用的熵类型，它能够捕捉股票收益动态中的非线性【16】。关于熵在金融学中的应用，参见文献[17]。Tsallis基于相对熵的投资组合3有几项实证研究比较了Rényi熵和Shannon熵[18][19]与其他指标（尤其是和) 关于投资组合预期回报。结论是[19]，从长期来看，来自Rényi熵和Shannon熵的风险最优投资组合的方差显著低于来自Rényi熵和Shannon熵的风险最优投资组合或在这项工作中，我们研究了使用Tsallis相对熵（TRE）[20]、Kullback-Leibler相对熵（KLRE）[21]、beta和相对标准差作为构建风险最优投资组合的风险度量，并将结果与CAPM的结果进行比较。在Black、Jensen和Scholes[10]的CAPM测试中，投资组合收益和风险参数是相对于市场收益和风险定义的。因此，要测试的任何新风险度量以及与CAPM结果的比较也必须是相对的。一些研究[22][23]表明，与CAPM假设（即有效市场假设）相关的问题可以使用基于Tsallis熵的统计方法解决[24]，这是Shannon熵对非广泛系统的推广。这些方法最初用于研究经典和量子混沌、远离平衡的物理系统，如湍流系统（非线性）和长程相互作用的哈密顿系统。然而，在过去几年中，人们对应用这些方法来分析金融市场动态也产生了相当大的兴趣。此类应用属于经济物理学的范畴【25】。

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2022-6-11 10:23:51

论文的其余部分组织如下。在第2节中，介绍了Tsallis相对熵，以及Tsallis熵和-讨论了高斯分布。TRE与A的参数之间的关系-导出了高斯分布。第3节讨论构建风险最优投资组合的数据和方法及其结果。第4节给出了结论。在本文中，我们交替使用术语波动性和风险。严格地说，应该使用术语波动率，因为我们只使用股票价格时间序列进行分析。然而，在文献中，术语风险也被用来表示波动性。收益按（1c）中的定义计算。预期回报一词用于表示预测平均回报。理论2.1 Tsallis统计综述Tsallis熵是Shannon熵的推广（2）到非扩展系统。由以下人员提供（3） Tsallis基于相对熵的投资组合4，其中是条件下第i个样本的概率密度函数以及对数由给出（4）缩放参数是一个通用参数，但其值可能会因系统而异。

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2022-6-11 10:23:54

将（4）替换为（3），我们得到：（5）与香农熵不同，Tsallis熵服从伪加性（6）缩放参数表示系统的非扩展性范围。像 → 1、恢复了香农熵的可加性。考虑随机变量的连续情况, 我们可以证明关于在以下限制条件下：（7a）（7b）（7c）给出了Tsallis-高斯分布： (8) 是规范化。和分别是约束（7b）和（7c）的拉格朗日乘数。期望值在（7b）和（7c）中–期望值。

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2022-6-11 10:23:57

方程式（8）可重新写入-高斯形式（9a）（9b）Tsallis基于相对熵的投资组合5 （9c）规范化由给出（10a）（10b）此处是gamma函数。注意，在极限 , 可以看出，Tsallis熵和相应的-高斯分布分别为香农熵和高斯分布。如早期出版物【26】中详细描述的，参数, 和使用最大似然估计（MLE）方法进行估计【27】。为了完整性，这里给出了MLE方程。为了简洁起见，表示和的MLE方程, , 和由给出（11a）（11b）（11c）此处， N是样本数。重量已规范化。方程（11a）–（11c）是非线性的，必须通过数值求解。详情见【26】。

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2022-6-11 10:24:00

我们将表示, 和像, 和分别地Tsallis基于相对熵的投资组合6很容易验证和分别为. 2.2 Tsallis相对熵Tsallis[20]对Kullback-Leibler相对熵的推广（12）非扩展系统的（13） P和R是规范化PDF。使用（4）中给出，（14）以下是: 1、不对称性： (15) 2. 非负性【28】：自是的凸函数 > 0 (16) 3. 伪可加性[28]：（17）前两个性质也适用于KL相对熵。基于Tsallis相对熵的投资组合7方程（17）表明了TRE对相关系统的适用性。像 , 伪可加性成为可加性 2.3 Tsallis q-高斯相对熵根据数据直方图直接计算方程（12）和（13）中定义的相对熵有几个问题：1。它们取决于直方图中箱子的数量。2.

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2022-6-11 10:24:03

相对熵仅在和 3. 仅当在所有重叠的箱子中均为非零。这同样适用于但对于>这使得用于计算相对熵的样本数量非常稀少，因此稳定性和准确性受到质疑。但是，如果两者都和可以很好地配合-高斯分布，相对熵的解析表达式可以根据这些分布的参数推导出来。在早期的研究中【26】我们已经表明，金融市场回报分布（标准普尔500指数和纳斯达克指数）可以通过-高斯分布，即使在网络泡沫和2008年崩溃期间也是如此。如果个人股票收益的分布也可以由-高斯，那么我们就可以推导出个人股本的TRE的解析公式关于市场. 图2显示了标准普尔500指数和随机选择的五只股票（均来自标准普尔500指数和纳斯达克）的月度回报率百分比，以及与-高斯分布。目视检查表明配合很好。然而，为了量化“拟合优度”，Kolmogorov-Smirnov（KS）[29]进行了测试。简而言之，这涉及确定经验和合成之间的最大绝对距离Dmax-高斯累积分布函数（CDF）。如果Dmax小于临界距离，则拟合良好. 构造合成的详细信息-高斯和确定Dmax和见【26】。Dmax和对于标准普尔500指数和随机选择的五只股票，如图2所示。在所有情况下，Dmax均< 表明即使是单个股票的收益分布也可以用-高斯分布。

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2022-6-11 10:24:06

根据方程式（9）和（10），Tsallis-市场指数R和单个股票P的收益率的高斯分布可以写成（18）以及（19） Tsallis基于相对熵的投资组合8规范化和由给出参数根据参考分布R估计。所有三个参数, 和估算R。仅P 和估计使用参考分布的。如附录所示，Tsallis相对熵现在由（20）在这里 . 在极限内 , , 和 , 哪里是相对标准偏差，给出KL相对熵 (21) 根据估计的参数进行评估, 和前两个矩用于计算请注意非线性地取决于回报，因为和对收益具有非线性依赖性（方程式（11b）和（11c））。（20）中的前两项仅取决于广义标准差。第三项是广义平均收益中的距离项（与相关性互补）。正如CAPM中所述，这是一种系统性风险。因此，Tsallis相对熵结合了标准差和CAPM风险度量的各个方面，并解决了股票动态的非线性问题。3.

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2022-6-11 10:24:09

数据、方法和结果3.1数据对于本研究，我们考虑2000年1月4日至2018年5月30日的每日库存数据。参考市场指数被选为标准普尔500指数。对于投资组合构建，我们考虑了2018年标准普尔500指数中基于相对熵的投资组合9种证券。数据针对股息和拆分进行了调整。尚未尝试更正通货膨胀数据。3.2本研究中四种风险度量（Tsallis相对熵、Kullback-Leibler相对熵、β和相对标准差）的性能测试方法), 遵循两个与Black、Jensen和Scholes【10】所描述的程序有些相似的程序。具体步骤如下。程序一我们只考虑截至2018年的标准普尔500指数中的证券，这些证券的数据可以追溯到1995年1月。这为我们提供了大约340只股票，用于程序I中的所有周期，该股票列表保持不变。每个周期包括以下三个步骤：a）周期开始日期之前的五年数据（例如，2000年1月4日是第一个周期的开始日期）用于估计参考市场指数标准普尔的风险模型参数500和每种证券。根据模型参数计算相对熵风险度量值。预期回报率计算为未来六个月（任意选择）证券的平均月回报率（定义见（1c））。b）然后将风险值装箱，并根据其风险值将证券分配给每个bin，以便每个bin中有相同数量的证券。请注意，这使得箱子宽度可变。每个bin中的证券集可以被视为一个投资组合。

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2022-6-11 10:24:12

每个bin的风险值被视为bin的中心值。所有循环的料仓数量保持不变。c）假设在每种证券上投资的金额相等，则计算每个bin中投资组合超过标准普尔500指数预期回报的预期回报。这给出了每个投资组合的风险回报值。然后将数据移动六个月，并在下一个周期中重复步骤a）-c）。这个然而，每年都会对价值进行估算。该过程将继续，直到所有数据都用完为止。在所考虑的数据期内，这为我们提供了每种证券的36个月平均回报率样本。请注意，每次移动数据时，步骤b）中每个箱子的内容都可能发生变化（即使每个箱子中的库存数量在步骤I中保持不变）。此外，在步骤c）中，每六个月对每个bin进行一次重新平衡，以便在每个证券上投资等量的资金。这意味着，如果在实践中应用此程序，将每六个月出售一些证券，购买其他证券，以执行步骤b）和c）。对投资组合回报的影响所有基于相对熵的投资组合10，由于此类买卖产生的交易成本以及对已实现收益征收的税款，本研究不包括在内。最后，在所有36个月平均收益样本中进一步平均每个bin中的收益，并在所有周期中平均bin风险值。这为我们提供了最终的风险预期回报情况。我们将投资组合超过预期市场回报的预期收益表示为Erel。请注意，预计装箱程序可将估计误差对投资组合绩效的影响降至最低。

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2022-6-11 10:24:16

程序二：对于每个周期，我们使用截至2018年的标准普尔500指数中的证券，这些证券的数据在周期开始日期前五年，例如，第一个周期的数据可以追溯到1995年1月。随着时间的推移，越来越多的证券进入计算。这使我们在第一个周期中有大约340只股票，在最后一个周期中增加到大约460只。程序II的其余部分与程序I类似，只是箱子宽度（在第一个周期中确定）不会随每个周期而变化，但每个箱子中的证券数量可以随每个周期而变化。该程序更接近Black、Jensen和Scholes【10】所述的程序，而不是每个bin中的证券数量保持不变的程序I。3.3拟合优度通过估计, 这是统计学中用来确定拟合优度的常用估计值之一。这个数量显示了风险回报模式与线性回归的接近程度。如果{s}是BIN的一组风险值和{e}相应的投资组合收益，那么（22）这里和（截距和斜率）是线性拟合的参数，并且是e的平均值。请注意，e的值越接近线性拟合，则至1。3.4结果我们将首先讨论程序I的结果。图3显示了根据月度回报计算的Erel的长期行为与所考虑的四个风险度量的风险。期间为2000-2018年。请注意，在这一长时期内，所有四种情况下的线性拟合斜率均为正值，表明相对风险越大，相对回报越大。

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2022-6-11 10:24:19

这种行为与CAPM模型试验中观察到的行为相似【10】。这个在所有情况下都具有可比性，TRE给出的值略好于其他值，且斜率更高。Tsallis基于相对熵的投资组合11图4显示了增加每个投资组合中证券数量（多样化）对投资组合长期绩效的影响。在TRE的情况下，我们观察到随着投资组合中证券数量的增加，绩效改善的一致行为。然而，其他风险措施并非如此。此外，在所有情况下，TRE的拟合优度都优于CAPM的beta拟合优度。Black、Jensen和Scholes[10]对短期（约9年）的CAPM测试表明，风险与回报之间的线性关系是内在的，而不是更好的统计结果。然而，风险回报模式是非平稳的，即每个时期的斜率和截距变化很大，在某些情况下，斜率甚至变为负值。在目前的工作中，我们对四个风险指标进行了类似的测试，将数据分为两个时期，每个时期为9年：a）2000-2009年和b）2009-2018年。请注意，参数估计始于五年前的数据：a）为1995-2004年，b）为2004-2013年。因此，第一个时间间隔仅涵盖网络泡沫时期和2008年崩盘的开始边缘。如图5所示周期a）的值在1.24–1.45之间变化，表示相对平静。对于区间b），范围在1.4–1.74之间，表明非扩展性很强，可能存在混沌情况。因此，与文献[10]不同的是，这些测试着眼于在非常不同的市场条件下风险回报模式的内在行为。

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2022-6-11 10:24:21

图6显示了两个9年期的风险相对回报概况。首先，TRE表现得很好在这两个时期内，其他三个指标都表现得很差第一个期间的值。此外斜率变化最大，从第一个周期的负值到第二个周期的正值。其他三种风险概况均显示出正斜率，而TRE在这两个时期之间的斜率变化最小。因此，这些测试表明，基于TRE的配置文件显示出非常一致的行为，即使在可能包括混乱市场情况的时期。我们现在将讨论程序II的结果。如前所述，在这种情况下，进入计算的股票数量会随着时间的推移而增加。这意味着每个仓位中有更多的库存，因此有更好的统计数据，也可能有更好的表现。图7显示了步骤a）的每个五年窗口中用于投资组合构建的证券数量，作为年份的函数。图8显示了从月收益率与四个风险指标计算出的Erel的长期行为。与前一步骤一样，所有四种情况下的线性拟合斜率均为正值，表明相对风险越大，相对回报越大。除非发生以下情况：, 所有措施都显示出更好的. 然而，在所有风险度量中，TRE给出了最好的和最高坡度。具有的配置文件正如风险度量显示的最坏情况坡度最小。图9显示了2000-2009和2009-2018这两个较短期限的结果。与程序I一样，风险回报模式显示斜率的最大变化，从第一个周期的负值到第二个周期的正值。

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2022-6-11 10:24:24

这种波动也解释了长期（18年）内拟合优度和回报（小斜率）表现不佳的原因。然而，TRE在这两个时期的表现在更好的与其他风险度量相比，基于价值和Tsallis相对熵的投资组合有12个更高的正斜率（高风险的回报更高）。这再次表明，基于TRE的投资组合在不同股市特征的时期表现一致。总结与结论在这项工作中，我们提出了Tsallis相对熵（TRE）作为一种新的风险度量，用于选择收益超过市场收益的风险最优投资组合。因为市场（标准普尔500指数）和个股的收益分布可以很好地拟合-高斯分布，TRE可以用-高斯分布。这缓解了基于直方图的相对熵估计中遇到的几个问题（如2.3所述）。此外，分析表达式表明，TRE以非线性方式同时具有CAPM和标准差风险度量的方面。将TRE作为一种风险度量的绩效与其他三种风险度量的绩效进行比较：KLRE、CAPM的beta和相对标准差。KLRE作为极限 TRE的情况。这些实证测试中的观察结果之一是TRE的一致性行为。从长期来看，尽管所有风险衡量指标都与收益呈线性关系，但TRE给出了和最高坡度。

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2022-6-11 10:24:27

在短期内，包括市场特征迥异的时期（泡沫和崩溃），衡量KLRE，, 相对标准差表现出完全不同的行为。这一点在程序II的结果中尤其明显，该程序具有更好的统计数据。最大的变化表现在斜率从第一个周期的负值变为第二个周期的正值。这种行为的变化会降低长期绩效，也会降低拟合优度和回报率。然而，TRE在良好方面表现出一致的行为值和最高正斜率，即使在这些较短的时间间隔内。这些结果表明，使用TRE作为风险度量，即使在可能包括泡沫和崩溃等混乱情况的时期，也有可能构建回报率超过市场回报率的投资组合。这项工作中的实证研究表明，在定义风险度量时，考虑到股市动态的非线性和相关性非常重要。TRE就是这样一种衡量标准，可能有助于构建投资组合，其回报在长期和短期投资中都表现出预测性的风险回报行为。这就引出了一个问题，即持有收益率超过市场的投资组合的“时间”有多短。这取决于市场动态的放松时间。在Tsallis统计的情况下，可以通过估计[24][30][31].

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2022-6-11 10:24:30

然而，这是未来研究的主题。Tsallis基于相对熵的投资组合13感谢Sherman Page对手稿的批判性阅读。基于Tsallis相对熵的投资组合14附录：Tsallis q-高斯相对熵的推导和（A1）Tsallis相对熵（14）的积分表示式如下：（A2）使用PDF 和提交人：（A3）（A4）这里是规范化（A5）（A6）（A7）使用（A2）–（A6）： = = 使用： Tsallis基于相对熵的投资组合15和经过一番代数之后，可以写下：（A8）在书面形式（A8）中，我们使用了（A1）和 . 参考文献[1]Sharpe W F，1964年《资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论》，《金融杂志》，19425[2]Fama E F，1968年《风险、回报与均衡》，第号报告。

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2022-6-11 10:24:33

6831（芝加哥；芝加哥大学商业和经济数学研究中心）[3]Fama E F，1968年《风险、回报和均衡：一些澄清的评论》，《金融杂志》，23，29[4]Markowitz H M，1959年《投资组合选择：投资的有效多样化》（纽约；Wiley）[5]Jensen M C，1969年《风险，资本资产定价》，《投资组合评估》，《商业杂志》，42167[6]Sharpe W F，1966年共同基金业绩，《商业杂志》，39119[7]Fama E F，1965年《股票市场价格行为》，《商业杂志》，3834[8]Bachelier L，1964年，《投机理论》，《股票市场价格的随机性》（马萨诸塞州剑桥；麻省理工学院出版社，编辑：Cootner P）[9]Miller M H和Scholes M，1972年《与风险相关的回报率：重新审查一些最新发现》，《资本市场理论研究》（纽约；Praeger，编辑：Jensen M C）Tsallis基于相对熵的投资组合16[10]Black F，Jensen M C和Scholes M，1972《资本资产定价模型：一些实证测试，资本市场理论研究》（纽约；Praeger，ed.Jensen M C）[11]Clausius R，1870年，关于适用于热力的力学定理，伦敦，爱丁堡，都柏林哲学杂志和《科学杂志》，40122[12]Boltzmann L，2012年，Weitere Studienüber das W"armeglechgewicht unter Gas molekülen，Wissenschaftliche Abhandlungen第1卷（剑桥：剑桥大学出版社，ed.Hasen"ohrl，F）[13]Shannon C E，1948通信数学理论，《贝尔系统技术杂志》，27，379[14]Philippatos G C和Wilson C J，1972熵，市场风险和有效投资组合的选择。

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2022-6-11 10:24:37

应用经济学4，209【15】Dionisio A，Menezes R和Mendes D A，2006金融市场不确定性分析的经济物理学方法：对葡萄牙股市的应用，欧洲物理杂志B，50，161【16】Maasoumi E和Racine J，2001股票市场回报的熵和可预测性，计量经济学杂志107，291【17】Zhou R，Cai R和Tong G，2013，熵在金融中的应用：综述，熵，15，4909【18】Lassance N和Vrins F，2018年最小Rényi熵投资组合，arXiv:1705.05666v4【19】Ormos M和Zibriczky D，2002年基于熵的金融资产定价，PLoS ONE 9，1【20】Tsallis C，1998年基于熵的一致性测试广义标准，物理评论E 58，1442【21】Kullback S，1959年信息理论与统计（纽约，威利）[22]Tsallis C，Anteneodo C，Borland L和Osorio R，2003年非扩展统计力学与经济学，Physica A，324，89[23]Osorio R，Borland L和Tsallis C，2004年高频股市可观测分布，非扩展熵：跨学科应用（纽约；牛津大学出版社，编辑）。

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2022-6-11 10:24:40

Tsallis C和Gell Mann M）[24]Tsallis C，2000非扩展统计力学导论（纽约；Springer）Tsallis基于相对熵的投资组合17[25]Mantegna R N和Stanley H E，2000经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性（剑桥；剑桥大学出版社）[26]Devi S，2017金融市场动力学：是否超扩散？《统计力学杂志：理论与实验》，2017，083207【27】Shalizi C R，2007年q指数（Tsallis）分布的最大似然估计，arXiv：数学/0701854【28】Furuichi S，Yanagi K和Kuriyama K，2004年Tsallis相对熵的基本性质，《数学物理杂志》，45，4868【29】Massey F J，1951年《Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验》，美国统计协会杂志，46，68【30】Iliopoulos A C，Pavlos G P，Magafas L，Karakatsanis L，Xenakis M和Pavlos E，2015年Tsallis q-triplet和股市指数：标准普尔500和TVIX的案例，《工程科学与技术评论杂志》，8，34【31】Stosic D，Stosic D，Ludermir T B和Stosic T，2018年加密货币交易中的非广义三联体，Physica A，统计力学及其应用，5051069Tsallis基于相对熵的投资组合18图1。每月标准化百分比收益率分布与高斯分布（蓝色实线）的比较，高斯分布与数据具有相同的平均值和标准偏差（黑点）。（a） 1995年1月至2017年1月期间的标准普尔500指数和（b）同期的纳斯达克指数。Tsallis基于相对熵的投资组合19图2。-高斯拟合标准普尔500指数和标准普尔500指数和纳斯达克随机选择的五只股票的月收益率分布。

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