投资组合理论、信息理论和Tsallis统计

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收藏 2022-06-11

英文标题：
《Portfolio Theory, Information Theory and Tsallis Statistics》
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作者：
Marco A. S. Trindade, Sergio Floquet and Lourival M. S. Filho
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
We developed a strategic of optimal portfolio based on information theory and Tsallis statistics. The growth rate of a stock market is defined by using $q$-deformed functions and we find that the wealth after n days with the optimal portfolio is given by a $q$-exponential function. In this context, the asymptotic optimality is investigated on causal portfolios, showing advantages of the optimal portfolio over an arbitrary choice of causal portfolios. Finally, we apply the formulation in a small number of stocks in brazilian stock market $[B]^{3}$ and analyzed the results.
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中文摘要：
基于信息论和Tsallis统计，我们提出了一种最优投资组合策略。通过使用$q$变形函数定义股票市场的增长率，我们发现，具有最优投资组合的n天后的财富是由$q$指数函数给出的。在此背景下，对因果投资组合的渐近最优性进行了研究，表明最优投资组合优于任意选择的因果投资组合。最后，我们将该公式应用于巴西股市的少量股票，并对结果进行了分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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Portfolio_Theory,_Information_Theory_and_Tsallis_Statistics.pdf
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大多数88

2022-6-11 04:01:37

投资组合理论、信息理论和Tsallis1StatisticsMarco A.S.Trindadea、SergioFloquetb、，*, Lourival M.Silva FilhoaaColegiado de F'sica，Ce^encias Extas e da Terra部门，巴伊亚大学，巴西土木工程学院，巴西联邦淡水河谷大学，巴西6摘要7我们基于信息理论和塔利斯统计制定了最优投资组合战略。股票市场的增长率是通过使用qdeformed函数确定的，我们发现，在n天内，最优投资组合的财富是由q指数函数给出的。在此背景下，研究了因果投资组合的渐近最优性，表明最优投资组合优于任意选择的因果投资组合。最后，将该公式应用于巴西股市的少量股票[B]，并对结果进行了分析。关键词：经济物理学、股票市场与投资组合理论、8非扩展理论和q高斯91。简介现代投资组合理论由哈里·马科维茨于1952年提出。基本原则是均值-方差法[2]，以便在给定的风险水平下，即方差的约束条件下，预期回报最大化。这反映了投资多元化和风险规避的理念。之后，Cover在信息理论的背景下探讨了这些概念[3-6]。特别是，Kelly引入了对数最优投资组合的概念[7]。Algoet和Cover[8]导出了股票市场的渐近均分性质以及对数最优投资的渐近最优性。在定量融资的背景下，参考文献[9]中定义了保险单的组合。重要的是要强调信息理论在金融领域应用中的两个重要参考文献【10，11】。

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2022-6-11 04:01:40

在【10】中，分析了泰尔和利安德斯** 相应的authorEmail地址：sergio。floquet@univasf.edu.br（Sergio Floquet）向Physica提交了一份2019年10月24日阿姆斯特丹证券交易所1959年11月2日至1963年10月31日期间的数据预印本，得出结论，阿姆斯特丹证券交易所有一天的价格下跌、上涨或保持不变的记忆。相对熵被用来衡量预测的不准确度。法玛（Fama）[11]反过来在纽约证券交易所1952年6月2日至1962年10月29日期间的数据中应用了泰尔·利安德斯（Theil Leenders）检验，认为纽约证券交易所今天下跌或上涨的证券比例在预测明天下跌或上涨的比例时并不吉利。投资组合优化中的一个相关风险度量是艾哈迈迪·贾维德（Ahmadi Javid）[12，13]引入的熵风险值（EVarR）。除了具有一致性（即满足平移不变性、次可加性、单调性、正同质性），它还具有强单调性和严格单调性。最近，提出了一种很有前景的基于样本的投资组合优化方法[14]。一种有趣的方法是，随着样本量的增加，EVaR方法优于CVaR（条件风险值）方法。这是因为变量和约束的数量与样本量无关。此外，根据realhave的分析，与前一个相比，它具有更好的最佳平均回报率和最差回报率以及夏普比率。Memmel进行了一项关于通过夏普比率进行性能假设检验的调查【15】。我们可以用夏普比率差除以其渐近标准差作为检验统计量。Aifan Ling等人。

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nandehutu2022

2022-6-11 04:01:43

[16] 在非对称不确定性集合下，建立了考虑交易成本的Arobast多期均值LPM（lower partial moment）投资组合选择模型。在分析实际市场数据时，该模型提供了更好的回报率和形状比率。定量金融和经济学领域的一种最新方法，称为经济物理学[17]，在于使用来自统计物理学的工具[18]。物理学和经济学之间的关系由来已久。例如，国际贸易的引力模型模仿万有引力定律，由沃尔特·伊萨德于1954年提出。在与信息论相关的经济物理学框架中，一些工作【20，21】是围绕复杂性熵因果平面展开的。在参考文献[20]中，进行了区分股票市场发展阶段的应用，在[21]中，通过复杂性熵因果关系平面研究了主权债券市场的效率，揭示了债券指数日值的相关性和隐藏结构。Zunino等人[22]分析了欧洲公司债券市场随时间变化的信息效率，以及2008年金融危机对与上述标题相关的集合指数的影响。一个有趣的结果是，在危机之前，所有部门都表现出类似的行为。在后危机时期，每个部门都遵循自己的动态。另一种技术来自Tsallis于1988年提出的非广义统计力学[23,24]，作为Boltzmann-Gibbssstatistics的推广。Tsallis熵携带一个非扩展参数q，使得在极限q内→ 1玻耳兹曼-吉布斯熵被恢复。在适当的约束条件下，Tsallis熵的最大化导致Tsallis q-高斯分布[23，24，26]。

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大多数88

2022-6-11 04:01:46

它被广泛应用于复杂系统的研究，包括股票市场。由于有限方差和时间自相关，q-高斯允许以一致的方式描述高频金融观测值【27】。Borland[28]推导了基于Tsallis统计的期权定价公式。正如【27】中所强调的，一个优点是存在明确的闭合形式解决方案。广义Black-Sholes（B-S）方程由熵指数q得出。该模型表明，当q=1.5时，股票收益率比B-S标准（q=1）更现实。股票收益率的概率分布是非高斯分布[29，30]。另一方面，现代投资组合理论假设收益遵循高斯分布，这导致了不太现实的情况。为了克服这些局限性，本文将Cover的信息论方法与Tsallis统计的数学工具相结合。在第2节中，我们介绍了非扩展统计数据和您的一些结果，这些结果将在第3节中使用，以q变形函数和q乘积作为关键元素来制定封面运动组合的非扩展版本。此外，还进行了渐近研究以证实这一工作。第4节，我们将应用上述形式主义分析巴西股市中的少量股票，并将结果与Cover的投资组合进行比较，该投资组合由高斯分布描述，同时计算夏普比率和索蒂诺比率。最后，我们在第5.2节中提出了最终考虑因素和观点。非扩展统计Sallis熵是Boltzmann-Gibbs熵的推广。它由q=kB1给出-nXi=1pqi1- q、（1）对于nxi=1pi=1，其中对于两个独立的系统A和B，我们有适当的Sq（A+B）=Sq（A）+Sq（B）+（1- q） Sq（A）Sq（B）。

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nandehutu2022

2022-6-11 04:01:49

（2）参数q表示系统的非扩展性，当q=1时，我们恢复Boltzmann-Gibbs熵，当q<1时，我们获得超扩展性（熵的可加性），当q>1时，我们获得亚扩展性（熵的减少）。Tsallis引入了函数q-对数和q-指数nq（x）=x1-q- 11- q、 expq（x）=[1+（1- q） x]1-q+（3）对于[A]+：=max（0，A），对于q=1，我们恢复对数和指数函数，并允许写入Tsallis熵为Sq=-Pni=1pqilnqpi。函数之间的另一个重要操作是q乘积，q、定义为【31】xqy：=[x1-q+y1-q- 1]1-q+。（4） q-高斯函数可以作为fq（x）=Cq |σ| expq引入-（十）- u)σ（5）其中CQ是CQ给定的归一化常数=√πΓ(1-q）（3）-q）√1.-qΓ（3-q2（1-q）（）-∞ < q<1√π、 q=1√πΓ(3-q2（q-1))√q-1Γ(1-q），1<q<3，（6），其具有渐近（x 1） expq（x）给出的幂律行为~x1-q、以类似的方式，我们得到了多元q-高斯分布fq（x）=Cd，qexpq（十）- u）σ+··+（xd- ud）σd, （7）式中，σi和ui是待确定的参数，归一化常数由Cd给出，q=|σ·····∑d | wdIq，dw其中wd是单位球在Rd维空间中的表面积，其中wd=2πd（d），而Iq，d=Z+∞研发部-1e级-rq。Umarov和Tsallis【32】获得了计算归一化常数q的公式=3.-qd-1.3.-qd-2.3.-qd公司-1.（Cqq）-1（Cqq）-1.（Cqd-1季度-1)-1，（8），其中qn=2q+n（1- q） 2+n（1- q），n=0±1，±2。。。（9）其中Cq是一维q-高斯的归一化常数。正如许多论文[27，33–35]所指出的，股市数据表现出肥尾行为，并且在渐近情况下（x 1）【36–38】是什么使得q-高斯分布具有描述股市数据的吸引力。

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mingdashike22

2022-6-11 04:01:52

在案例【33，39–41】中，获得了累积分布的反幂律，它与q=1.5.3的q高斯分布相关。股票市场由向量X=（X，X，…，Xn）给出，其中X是相对价格，即一天结束时的价格与一天开始时的价格的比率。我们有Xi≥ 0，i=1。。。，m，其中m是库存数量。在这项工作中，我们将Tsallis统计形式主义应用到了Cover的投资组合理论中，其中参数q是通过考虑股票市场的非扩张性来负责的。在封面【9】之后，我们介绍了股票市场投资组合b的增长q率：Wq（b，f）=E（lnqbtx）=Zlnq（btx）fq（x）dx。（10）我们确定了最佳增长q率W*q（fq）asW*q（f）=最大BWQ（b，fq）。（11）增长最优投资组合b*是达到Wq（b，fq）最大值的。设X，X。。。，Xnbe随机向量i.i.d，密度概率函数fq。n天后使用投资组合b的q财富*由S给出*（q） n=否（q）；i=1b*tXi，（12）其中q乘积合格中介机构见（4）。利用强大数定律[42]，我们得到了nqs*（q） n=nlnqnO（q）；i=1b*tXi=nnXi=1lnqb*tXi公司→ W*质量保证。s、，（13）因此*（q） n=expq（nW*q）。这与参考文献[3]类似，证明了我们对q财富的定义。现在，我们将考虑以下假设：ES（q）nS*（q） n！≤ 1，（14）为了证明因果投资组合的lnq最优投资组合的渐近最优性。因果投资组合策略是一系列映射sbi:Tm（i-1)→ B、其中组合bi（X，X，…，Xi-1）在第一天使用。我们定义B={B∈ Rm：bi≥ 0，Pmi=1bi=1}作为允许的投资组合集。利用马尔可夫不等式[42]，我们得到（14）：P（S（q）n>λnS*（q） n）≤ λ-1n。（15）因此，PNLNQS（q）nS*（q） n>lnqλnn！≤ λ-1n。（16）因此∞Xn=1PNLQS（q）nS*（q） n>n2-第2季度- 1n（1- q）哦！≤π、（17）其中我们考虑λn=n。

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kedemingshi

2022-6-11 04:01:55

然后PNLNQS（q）nS*（q） n>n2-第2季度- 1n（1- q），通常！=0（18）使用Borel-Cantelli引理[42]。因此，存在一个N，使得对于所有N>N：nlnqS（q）nS*（q） n个≤氮气-第2季度- 1n（1- q）（19）对于股票市场的几乎每个序列。这意味着（q>0.5）概率为1:lim supn→∞nlnqS（q）nS*（q） n个≤ 0.（20）我们几乎在股票市场的每一个序列中都有，S*（q）它比任何投资者的财富都大，即在上述假设下，lnq最优投资组合优于任何其他投资组合。我们还可以展示MaxB，。。。，bnE公司lnqS（q）n= maxb，。。。，bnElnq公司否（q）；i=1btiXi=nXi=1maxb，。。。，bnE公司lnqbti（X，…，Xi）=nXi=1Elnqb公司*tXi公司= 西北方向*q、（21）因此，ElnqS*（q） n个≥ E（lnqSn），（22），即lnq最优投资组合使最终财富的预期LNQO最大化。因此，我们从理论上证明，q-投资组合将提供比封面投资组合更高的相对高度结果，对于q→ 1，我们从q-投资组合中恢复了theCover的投资组合理论。4、计算结果在本节中，我们使用R语言和环境在巴西圣保罗的巴西股票市场【B】-巴西、证券交易所和场外交易市场【43】中应用我们的公式。我们使用packageGetHFData（44），该软件包使用文件传输协议（FTP）从巴西股市下载和聚合高频数据，并使用DEoptim（45），该软件包实现差异进化算法（46）。这是一种解决全局优化问题的有效方法。

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mingdashike22

2022-6-11 04:01:57

此外，我们还使用Pracma、Cubature和R2Cuba软件包【47–49】，分别计算高斯-克朗、超立方体和蒙特卡罗方法的数值多维积分。导入2018年1月1日至2018年4月30日期间的巴西股市数据，代表[B]中80天的波动，我们选择[B]中交易量较高的股票作为分析对象：巴西石油公司Petrobas（PETR4）、巴西淡水河谷公司（VALE3）、巴西银行（BBAS3）和Bradesco银行（BBDC4）。高斯分布用于Cover的投资组合理论【50–55】，以及q-高斯分布【56】。

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能者818

2022-6-11 04:02:01

为了应用我们在第3节中描述的形式主义，我们选择了一个多变量q-高斯分布作为价格相关向量的联合概率密度分布，如（7）所定义的，并将该结果与封面运动组合理论中与相对价格相关的多变量高斯分布进行比较【9】。通过最大似然法估计每组股票的参数q、ui和σi，然后最大化增长率，以构建高斯分布和q组合的封面组合。最大化后，我们将所收购的投资组合用于2018年1月5日至2018年5月31日的下一个月，即[B]中21天的变动，以及表1：高斯盖夫投资组合（CP）的相对财富以及2018年1月5日至2018年3月31日期间两支、三支和四支股票的q投资组合理论。股票BBBAS3 BBAS3 BBAS3 BBDC4 BBDC4 PETR4BAS3 BBDC4 BBAS3 BBAS3 BBAS3 BBAS3 PETR4 BBDC4 BBDC4 BBDC4 PETR4 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 VALE3 VALE3 0.9220 0.9354 0.8870 0.9008 0.8762 0.8765 0.8996 0.9008 0.9008 0.8896高斯CPWealth relative0.9134 0.9021 0.9495 0.8905 0.9394 0.9278 0.9196 0.9120 0.9012 0.9346 0.9142q-Portfolioq-Wealth relative0.91400.9022 0.9490 0.8917 0.9397 0.9269 0.9174 0.9137 0.9018 0.9348 0.9146q-Portfolioq-value 1.6278 1.6413 1.6050 1.5888 1.5960 1.5871 1.4885 1.4763 1.4944 1.4830 1.3951计算图1中两支股票的相对财富，以及图2中三支和四支股票的相对财富。通过对这些数据的分析，我们可以观察到，与高斯覆盖的运动组合相比，q组合带来了更好的结果。

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kedemingshi

2022-6-11 04:02:04

事实上，q-portfolio在67天内呈现出更高的相对财富，三只股票的相对财富为75%。我们在表1中给出了这一时期相对于两支、三支和四支股票的财富结果，这强化了相对于q-Portfolio的财富在几乎所有情况下，在这一时期结束时都表现出较高的价值，BBAS3和PETR4除外。在21天的移动期结束时，我们可以看到q投资组合的相对财富带来了更好的结果，在分析的11个案例中，高斯覆盖的投资组合有10个。在11种情况中，有8种情况下，q-portfoliobegin的价值高于Gaussian Cover的投资组合，在期末会带来更好的结果，这表明我们的方法比Gaussian Cover的portfoliotheory更好地处理巴西股市数据，能够预测更高的财富相对价值。在所有情况下，参数q都在1.39到1.65之间，更接近于[27，28]中获得的值，这表明股市遵循的行为在Tsallis统计中很好地表现为这一系列参数。

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nandehutu2022

2022-6-11 04:02:07

同样，我们可以将我们的形式主义应用到几个股票的案例中，并分析多种规模的投资组合。（a）（b）（c）（d）（e）（f）图1:2018年1月5日至2018年5月31日期间q组合和高斯覆盖组合（CP）的相对财富，两支股票：a）PETR4和VALE3，b）BBDC4和PETR4，c）BBAS3和PETR4，d）BBAS3和BBDC4，e）BBAS3和VALE3，f）BBDC4和VALE3。（a）（b）（c）（d）（e）图2:2018年1月5日至2018年5月31日期间q组合和高斯覆盖组合（CP）的相对财富，三支股票：a）PETR4、VALE3和BBDC4，b）PETR4、VALE3和BBAS3，c）BBAS3、BBDC4和VALE3，d）BBAS3、BBDC4和PETR4。；和四只股票：e）BBAS3、BBDC4、PETR4和VALE3。可以通过计算夏普比率=E[Rt]来衡量投资组合的风险调整后回报- Rf]σ[Rt]（23）和Sortino比率=E[Rt- T]T DD（24），其中Rtis投资组合的回报率，Rf表示无风险回报率，σ[Rt]是投资组合回报率的标准差，T表示投资的目标或回报要求，T DD=qNPNi=1min（0，Ri- T）是目标下行偏差。我们使用无风险利率和要求收益率Rf=T=0，并计算q-投资组合和GaussianCover投资组合的Sharpe和Sortino比率。

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mingdashike22

2022-6-11 04:02:10

结果如表2所示，对于63个案例，6%的案例，q-Portfolio在Sharpe比率和Sortino比率方面的表现都优于高斯覆盖的投资组合。表2:Gaussian Cover投资组合（CP）的Sharpe比率和Sortino比率，以及两支、三支和四支股票的qportfolio理论。股票BBBAS3 BBAS3 BBAS3 BBDC4 BBDC4 PETR4BAS3 BBDC4 BBAS3 BBAS3 BBAS3 BBAS3 BBAS4 PETR4 BBDC4 BBDC4 PETR4 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 0.8016 0.9042 1.2921 0.1398 1.7122 0.1398 0.1398 1.5155高斯CPShape比率0.5707 1.3652 0.9919 1.0694 1.5666 1.551 84 1.4712 1.2452 1.0881 0.7198 0.9869q-PortfolioSortino比率0.1889 1.3411 1.56062.0246 0.1826 2.9201 2.9201 0.1827 0.1827 0.1826 2.5377高斯CPSortino比率0.8820 2.3338 1.7462 1.6042 0.8478 2.7156 2.5691 2.0111 1 1.737 1.1545 1.5813q-Portfolioth表2中的值表明，考虑到总波动率和下行风险，q-Portfolio表现出更好的风险调整绩效，能够产生比高斯覆盖的投资组合更高的回报。结论Tsallis统计量允许我们通过一个非扩展参数q来概括通常的概念→ 1、恢复常用表达式。感兴趣的例子包括函数变形和代数运算。我们在Cover从信息理论到投资组合理论的方法中探索这些工具。通过这种方式，我们确定了阿斯托克市场投资组合的增长q率WQO，最佳增长q率W*q、 q-n天后财富使用投资组合b*我们证明了最优投资组合n天后的q-财富是由q-指数函数给出的。在因果投资组合的背景下，我们研究了渐近最优性，我们得出，对于股票市场的几乎每个序列，n天后的最优q财富都大于任何投资者的q财富。

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mingdashike22

2022-6-11 04:02:13

需要注意的是，参数q建立了每天股价之间的相关性。事实上，通过等式（7），我们可以注意到，所提出的q-高斯不是q-高斯的乘积，而是q-积。基于这种方法，对少量股票进行了巴西股市分析。我们表明，与标准财富相比，q财富更适合于经验数据，并且是非广泛参数q在1.39到1.65之间的最佳值。对夏普比率和索蒂诺比率的分析也可以评估使用Q投资组合的优势。作为展望，我们打算在这种情况下调查i.i.d.市场和时间相关的市场过程。此外，我们假设应用这个公式来分析后现代投资组合理论，探索下行风险和对数正态分布的非扩展版本。参考文献[1]H.Markowitz，《投资组合选择》，《金融杂志》第7期（1952）77-91页。[2] W.Sharpe、G.Alexander和J.Bailey，《投资》，新泽西州普伦蒂斯大厅，1985年。[3] T.Cover，J.Thomas，《信息论要素》，WileyInterscience，纽约，2006年。[4] R.Bell，T.Cover，《对数投资的竞争最优性》，数学。操作。第5号决议（1980年）147-152。[5] R.Bell，T.Cover，博弈论最优投资组合，管理。Sci。34(1988) 724-733.[6] A.Barron，T.Cover，《信息财务价值的界限》，IEEE Trans。Inf.理论34（1988）1097-1100。[7] J.Kelly，《信息率的新解释》，贝尔系统。《技术J 35》（1956）917-926。[8] P.Algoet，T.Cover，对数最优投资的渐近最优性和渐近均分性，人工神经网络。问题。16 (1988) 876-898.[9] T.封面、通用投资组合、数学。《金融学1》（1991）181-209。[10] H.Theil，C.Leenders，《阿姆斯特丹证券交易所明天》，商业杂志38（1965）277-284。[11] E.F。

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大多数88

2022-6-11 04:02:16

Fama，明天在纽约证券交易所，《商业杂志》38（1965）285-299。[12] A.Ahmadi Javid，《构建一致风险度量的信息论方法》，IEEE信息论国际研讨会论文集，圣彼得堡，（2011）2125-2127。[13] A.Ahmadi Javid，《风险熵值》。一种新的一致性风险度量，J.Optim。理论应用。155 (2012) 1105-1123.[14] A.Ahmadi Javid，M.Fallah Tafti，《具有风险熵价值的投资组合优化》，欧洲运筹学杂志279（2019）255241。[15] C.Memmel，《夏普比率的绩效假设检验》，《金融快报》1（2003）21-23。[16] A.Ling，J.Sun，M.Wang，《基于非对称分布不确定性集下行风险的稳健多期投资组合选择》，欧洲运筹学杂志（2019）1-36。[17] R.Mantegna，H.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》，剑桥大学出版社，2000年。[18] J.Bouchaud，M.Potters，《金融风险理论与衍生品定价》，剑桥大学出版社，2003年。[19] W.Isard，《贸易理论的区位理论：短期分析》，《经济学季刊》（QuarterlyJournal of Economics 2）（1954）305-320。[20] L.Zunino，M.Zanin，B.M.Tabak，D.G.Prz，O.Rosso，《复杂性熵因果平面：量化股市效率的有用方法》，Physica A 389（2010）1891-1901。[21]L.Zunino，A.F.Bariviera，M.B.Guercio，L.B.Martinez，O.A.Rosso，《主权债券市场的效率》，Physica A 391（2012）4342[22]L.Zunino，A.Bariviera，M.Guercio，L.Martinez，O.Rosso，《用动态置换最小熵监测欧洲公司债券市场的信息效率》，Physica A 456（2016）1-9。[23]C.Tsallis，《非扩展统计力学导论：接近复杂世界》，Springer verlag，纽约，2009年。【24】米。

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mingdashike22

2022-6-11 04:02:19

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kedemingshi

2022-6-11 04:02:22

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能者818

2022-6-11 04:02:25

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