噻吩α支持∈[0，T]| cσT-c▄σt|≤ gc（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα），式中gc（γ/λ，α，σ，℃）：=聚丙烯- 1.g（γ/λ，α，σ，～σ）Eαhe2p2-pRTαudui2-pp，带g（γ/λ，α，σ，～σ）：=γλ3/2kσkHBMO（Pα）+kσkHBMO（Pα）.证据对于t∈ [0，T]，将It^o的公式应用于eRtαsds（cσT-并使用该eRTαsds（cσt-cσT）=0。与BRSDE动力学（3.5）一起，给出了αudu（cσt-c▄σt）=ZTteRsαuducσs- cσs）γλσs- σs-cσs+cσs- αsZσs- Z▄σs- αs（cσs- cσs）ds公司- 2ZTteRsαuducσs- cσsZσs- Z▄σsdWαs-ZTteRsαuduZσs- Z▄σsds。（7.2）注意r·eRsαudu（cσs- cσs）（Zσs- Zσs）dWα是H（Pα）-鞅。事实上，使用这个cσ，cσ∈ S∞andZσ，Z￠σ∈ H（Pα）与初等不等式ab≤ a/2+b/2和EQ[eRT2αudu]<∞（因为p>1意味着2p/（2-p） >2），我们得到αZTeRs2αuducσs- cσsZσs- Z▄σsds公司≤cσ- c￠σS∞EαeRTαuduZT公司Zσs- Z▄σsds公司≤cσ- c￠σS∞EαeRT2αudu+ZTZσs-Z▄σsds公司< ∞.现在，取（7.2）两边的条件Pα期望值，使用cσ和cσ非负来应用初等不等式（x-y）(-x+y）=-（十）-y） （x+y）≤ 0表示x，y≥ 0，并考虑元素不等式-2ab≤ a+b。这会产生估算的ERTαudu（cσt- c￠σt）≤ EαtZTteRsαuduγλ（cσs- c￠σs）（σs- σs）ds. （7.3）定义非减损过程at=eRtαudusupu∈[0，t]cσu- c▄σu, 0≤ t型≤ T、 然后是Lemma。3，我们得到αtZTteRsαuduγλ（cσs- c￠σs）（σs- σs）ds≤ 2γλEαtZTtAs公司σs- σsds公司(7.4)≤ 2γλEαtAtZTt公司σs- σsds+ZTtEαsZTs公司σu- σu杜邦dAs公司.接下来，对于任意τ∈ T0，T，Cauchy–Schwarz不等式和初等不等式（a+b）的条件形式≤ 2（a+b）表明eατZTτσs- σsds公司≤EατZTτ|σs |+|σs|ds公司EατZTτ|σs- σs | ds≤√kσkHBMO（Pα）+kσkHBMO（Pα）kσ- σkHBMO（Pα）。将其插入（7.4），我们得到αtZTteRsαuduγλ（cσs- c￠σs）（σs- σs）ds≤ g（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα）Eαt在.

（7.5）将（7.5）插回（7.3）给出| cσt- c▄σt|≤ e-Rtαudug（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα）Eαt在≤ g（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα）Eαt在.现在，让最高点超过t∈ [0，T]在两侧，然后Pα-期望，最后使用LemmaB。固定p为2∈ (1, 2). 因此，对于任何ε>0，Eα支持∈[0，T]| cσT- c▄σt|≤ g（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα）×εEαsup0≤s≤Tcσu-c▄σu+ε聚丙烯- 1.Eαhe2p2-pRTαudui2-pp！。这意味着，对于任何ε>g（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα），Eα支持∈[0，T]| cσT- c▄σt|≤εg（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα）ε - g（γ/λ，α，σ，～σ）kσ- σkHBMO（Pα）聚丙烯- 1.Eαhe2p2-pRTαudui2-pp.断言的估计值依次对应于最佳选择ε=2g（γ/λ，α，σ，σ），kσ- σkHBMO（Pα）。现在我们继续讨论过程ξσt=γλEt中兴通讯-Rstcuduξsσsds, （7.6）引自Lemma3.3。该过程的线性（尤其是，由于c是非负的，所以是单调的）BSDE（6.5）在测度Pα下重写如下：(R)ξσt=ZTtγλσsξs-cs’ξσs-αsZξsds公司-ZTtZξsdWαs，t∈ [0，T]。我们首先记录了一些统一的估计，这是在EMMA3.2中建立的c的非负性的直接结果。推论7.2。假设过程ξ=（ξt）t∈[0，T]满意度σ|ξ|∈ HBMO（P）。然后对于（γ，λ）∈ (0, ∞),（7.6）中的过程ξ满足ξσS∞≤γλkσξkHBMO（P）。接下来，我们证明了在Lemma7.1中建立的c es的稳定性结果，以及单调BSDE稳定性定理的另一个应用，得到了以下关于ξ的稳定性结果。推论7.3。Fix（γ，λ，p，α）∈ (0, ∞)×（1，2）×HBMO（P），相应的度量值Pα由（7.1）给出，并假设Eαe2p2-pRTαudu< ∞. 对于（ν，ν′，σ，σ′）∈ HBMO×S∞×HBMO（P）×HBMO（P），设置ξσ：=νσ+ν′和ξИσ：=νИσ+ν′，并用（7.6）中的“ξσ”和“ξИσ”表示相应的过程。

噻吩αsup0≤t型≤T |ξσT-(R)ξИσt|≤ g′ξ（γ/λ，α，σ，～σ，ν，ν′）kσ- ИσkHBMO（Pα），其中gξ（γ/λ，α，σ，￠σ，ν，ν′）：=聚丙烯- 1.（g（γ/λ，α，σ，～σ））Eαhe2p2-pRTαudui2-ppwithg（γ/λ，α，σ，～σ，ν，ν′）：=2γλkνkHBMO（Pα）+kν′kS∞g（γ/λ，α，σ，～σ）+2γλkξkS∞k▄σkHBMO（P）T gc（γ/λ，α，σ，▄σ）。证据这个论点类似于引理7.1的证明。对于t∈ [0，T]，将It^o的公式应用于eRtαsds（(R)ξσT-并使用该eRTαsds（(R)ξσt-(R)ξИσT）=0。这给出了αudu（(R)ξσt-(R)ξИσt）=ZTteRsαudu- αs（(R)ξσs-\'ξИσs）+2（\'ξσs-(R)ξИσs）γλνs（σs- σs）+γλν′t（σs- σs）ds+ZTteRsαudu2（(R)ξσs-(R)ξИσs）-cσs′ξσs- c|σs|ξ|σs- αsZξσs- ZξИσsds+ZTteRsαuduZξσs-ZξИσsdWαs-ZTteRsαuduZξσs- ZξИσsds。在引理7.1的证明中，r·eRsαudu（Zξσs- ZξИσs）dWα是H（Pα）-鞅。现在也使用初等不等式-2ab≤ a+b，身份ab-cd=a（b-d） +d（a-c） ，并且c|σ是非负的。因此，eRtαudu（(R)ξσt-(R)ξИσt）≤ EαtZTteRsαudu\'ξσs-(R)ξИσsγλνs（σs- σs）+γλν′sσs- σs-(R)ξИσscσs- cσsds公司. （7.7）接下来是Cauchy–Schwarz和Jensen不等式的条件版本，初等不等式（a+b）≤ 2（a+b），引理7.1和推论7.2得出，对于任何停止时间τ，2EατZTτγλνs（σs- σs）+γλν′sσs- σs-(R)ξИσscσs- cσsds公司≤ 2γλEατZTτ（σs- σs）dsEατZTτνsds+ kν′kS∞等式τZTτσs+(R)σsds公司+ 2k？ξ？σkS∞T Eατ支持∈[0，T]（cσT- c￠σt）≤ kσ- σkHBMO（Pα）γλkνkHBMO（Pα）+kν′kS∞g（γ/λ，α，σ，～σ）+2γλkξkS∞k▄σkHBMO（P）T gc（γ/λ，α，σ，▄σ）.在引理7.1的证明中，我们推导出（(R)ξσt-(R)ξИσt）≤γλkσ- σkHBMO（Pα）Eατ计算机断层扫描×2kνkHBMO（Pα）+kν′kS∞g（γ/λ，α，σ，～σ）+2kξkS∞k▄σkHBMO（P）T gc（γ/λ，α，σ，▄σ）,式中，CT=eRtαudusupu∈[0，t]\'ξσu-(R)ξИσu, t型∈ [0，T]。然后，我们可以像引理7.1的证明一样进行论证，得出结论。最后，我们转向引理3.3中的最优跟踪策略。

回想一下，这些解决了（随机）线性ODE˙Иt=(R)ξt- ctДt，Д=x，其具有显式解Дt=e-Rtcudux+中兴通讯-Rtscudu？ξsds。（7.8）结合推论7.2，我们得到以下估计：推论7.4。Let（γ，λ）∈ (0, ∞)对于过程（ν，σ，ν′），定义ξ：=νσ+ν′∈ HBMO×HBMO×S∞. 然后，来自（7.8）的过程满足∞≤ |^1|+T k？ξkS∞≤ |x |+γλTkνkHBMO（P）kσkHBMO（P）+kν′kS∞kσkHBMO（P）.这种统一的约束加上c和ξ的稳定性结果，现在可以根据基本波动过程的BMO范数建立最优跟踪策略的稳定性结果。定理7.5。Fix（γ，λ，p，α）∈ (0, ∞)×（1，2）×HBMO（P），相应的测度Pα由（7.1）给出，并假设Eαe2p2-pRTαudu< ∞. 对于（ν，ν′，ν，σ，|σ）∈ HBMO×S∞×R×HBMO（P）×HBMO（P），设置ξσ：=νσ+ν′和ξИσ：=νσ+ν′，并用（7.6）中相应的策略表示。噻吩α支持∈[0，T]|ДσT- ИИσt|≤ gν（x，γ/λ，α，σ，～σ，ν，ν′）kσ- σkHBMO（Pα），其中gД（x，γ/λ，α，σ，￠σ，ν，ν′）：=3Tx+TγλkξkS∞kσkHBMO（P）gc（γ/λ，α，σ，￠σ）+g？ξ（γ/λ，α，σ，￠σ，ν，ν′）.证据观察地图x 7→ e-R+上的xis-Lipschitz连续，Lipschitz常数为1。哪里，堡垒∈ [0，T]，|ДσT-ДИσt|≤ |x | Zt | cσu- c▄σu▄du+ZtZts | cσu- c▄σu▄du(R)ξσsds+中兴通讯-Rtsc￠σudu\'ξσs-(R)ξИσsds公司≤ |x | T supu∈[0，T]| cσu- c~σu |+Tk′ξσk∞supu公司∈[0，T]| cσu- c▄σu▄+T supu∈[0，T]|ξσu-ξИσu |。现在，让最高点超过t∈ [0，T]并将结果平方。从初等不等式（a+b+c）看≤3（a+b+c）表示a、b、c∈ R、 然后，该断言采用Pα期望值。8第4节的证明我们首先证明了命题4.3，即在以下较弱（但更复杂）版本的假设4.2下，无摩擦Radner平衡的存在性和唯一性。假设8.1。

（i） β+β∈ （4.2）中的局部鞅Zβ是鞅；（ii）Eβ[E-2’γsS】<∞;（iii）Eβh（ZβT）-pε1+εi+Eβhe-4s（1+ε）’γSi+Eβhe4ps‘（1+ε）ε（p-1） Si<∞ 对于某些ε>0和p>1。备注8.2。请注意，如果假设4.2成立，那么假设8.1（i）立即满足，因为HBMO HBMOare一致可积鞅过程中随机积分（关于布朗运动）的手随机指数。此外，8.1（ii）和（iii）也适用于S具有任意阶数的指数矩，并且由于Zβ满足了[36，定理2.4]所述的所谓“Muckenhoupt条件”，因为β，β∈ HBMO。命题证明4.3。具有适当性质的（4.3）的解的存在性直接来自直接计算或【20，定理2.1】。对于唯一性，请注意，对于任何此类解，鞅mt：=Eβte-2’’γsS, t型∈ [0，T]是一致可积的。这是公式givese-2〃γsSt=e-2’’γsS-中兴通讯-2’γsSuσudWβu，t∈ [0，T]。注意，假设S+∈ 这里不需要Lis。右边的随机积分必须是鞅，因为左边是。因此，我们可以通过条件期望来推断ST=-2’’γ槽Eβte-2’’γsS, t型∈ [0，T]。σ的唯一性又来自鞅表示定理。现在让我们验证一下，这个价格过程确实定义了拉德纳均衡。其在P下的漂移立即由Girsanov定理给出，ut=’γsσt+’γβt+βt）σt，t∈ [0，T]。自β+β∈ H、 我们只需要验证σ∈ H

为此，请注意，由于鞅M满足，由Doob的不等式Eβsup0≤t型≤TM2（1+ε）t≤2(1 + ε)1 + 2ε2（1+ε）Eβe-4（1+ε）’γsS< ∞,然后鞅表示性质意味着过程Z的存在∈ H2+ε（Pβ），使得dmt=ZtdWβt，由此我们推断σt=-2’’γsMtZt。然后我们估计ZTσtdt=4’γEβZβT-1ZTZtMtdt≤4’γEβZβT-1+εεsupt∈[0，T]M-2（1+ε）εtε1+εEβZTZtdt1+ε1+ε≤4γ2(1 + ε)1 + 2εp（1+ε）εEβhZβT-p（1+ε）εipEβhe4ps′γ（1+ε）ε（p-1） Siε（p-1） p（1+ε）kZk2+ε1+εH2+ε（pβ）<∞.由于市场也明显清淡，这就完成了证明。推论4.5的证明。命题4.3清楚地表明了唯一性，并且S∞×HBMOis经典，参见示例【12，推论2.1】。接下来，我们证明了FBSDE系统（4.6–4.8）的有效可积解确实确定了交易成本的均衡：命题4.6的证明。首先，定义4.1持有假设中的不动产（ii）和不动产（iii）的市场清算。下一步，˙И∈ Hgives^1∈ S、 因此，使用σ∈ HBMOit来自Lemma。3该σД∈ 同时交∑Д∈ H、 现在，使用β，β，σν∈ 手动σ∈ HBMO公司 Hgives财产（i）。有待证明的是，˙Д、˙Д确实是药剂1和2的最佳选择。通过引理3.3，我们需要检查（Дn，˙Дn）是否解决了代理人n的个别最优交易（3.3–3.4）的FBSDEs特征。通过插入u的定义（4.5），这紧接着从前后向动力学（4.6–4.7）开始。最后，我们给出了以摩擦均衡价格、头寸和交易率为特征的FBSDE系统的适定性结果。为了处理γ的小流程≈ γ、 我们从价格均衡S传递到其偏差Y=S-从其摩擦对应物。

从（4.8）中减去（4.1）并用‘∑表示无摩擦平衡波动率，我们得到以下Y的BSDE，其耦合到（4.6–4.7）：dYt=γ- γ（(R)σt+ZYt）Дt+γs（ZYt）+ZYtγs′σt+γβt+γβt-γ- γ′σt′Дtdt+ZYtdWt，YT=0，（8.1），式中，(R)：=γsγ+γ+γβ- γβ（γ+γ）(R)σ，表示药剂1的无摩擦平衡位置。系统的适定性（4.6–4.7，8.1）将是下面理论8.3的特例。定理8.3。Let（γ，γ，～γ，κ，’σ，ν，α，ν′）∈ (0, ∞)×HBMO公司×S∞. 确定测量值Pα~ P bydPαdP：=ER·αsdWsT、 假设对于某些p∈ （1，2），EPαe2p2-pRTαudu< ∞. LetR<最小值k′σkHBMO（Pα），8κ=: Rmax，并假设|γ- γ|<k'σk-1HBMO（Pα）minR（1/√2.- 2κR）4k′σkHBMO（Pα）hν（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+kνkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα），1- 8κR8k′σkHBMO（Pα）gИ（x，|γ，α，√2σ,√2′σ，ν，ν′）+hν（x，|γ，α，’σ，ν，ν′）!=: εmax，其中hν（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）：=|x|Μ+32|γTkνkHBMO（Pα）k′σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）kαkHBMO（P）+1,理论7.5中定义了g^1。然后，耦合的前后向SDEsdДt=˙Дtdt，Д=x，（8.2）d˙Дt=γ（(R)σt+Zt）^1t-νt′σt+Zt- ν′tdt+˙ZtdWt，˙ИT=0，（8.3）dYt=γ- γ（(R)σt+Zt）Дt+κZt- αtZt-γ- γ′σtνt′σt+ν′t+ ZtdWt，YT=0，（8.4）对于（Y，Z）位于S上范数为R的球内有唯一的解决方案∞×HBMO（Pα）。M oreoverД和˙Д都是一致有界的。对于λγ：=γ+γ2λ，ν：=γβ- γβγ+γ，ν′：=γsγ+γ，κ：=γs，α：=-γs′σ-γβ+γβ（8.2–8.4）的解决方案提供了FBSDEs（4.6–4.8）的唯一解决方案-\'S，σ-\'σ）位于S上半径为R的球内∞×HBMO（Qβ），通过定义S：=\'St+Yt，σ：=\'σ+Z。在证明定理之前，让我们简单地将S系统（8.2）–（8.4）与现有文献联系起来。

它属于两条主线：（i）退化完全耦合的FBSDE，因为正向过程Д具有有界变化，并出现在反向方程的生成器中，而反向部分的分量˙Д出现在正向方程的漂移中；（ii）具有二次增长的多维BSDE，因为反向方程的两个生成器在Z分量中都具有二次增长。这两类方程本身已经非常具有挑战性。尽管已经研究了近30年，但即使对于简单的完全耦合的FBSDE（带Lipschitz生成器和一维后向分量），仍然没有一个通用的理论，最接近的是[47]，它统一了几种现有的方法（也比较了[4]在这方面的一些最新进展）。然而，这种方法仅限于一维设置，它会自动排除我们的s系统。已经提出了适用于Lipschitz或Locallyllipschitz多维FBSDE的其他结果，特别是在[6，24]中，但在单调性条件下，这在我们的上下文中并不成立，或者用于证明在通常严格小于[0，T]的最大区间上解的存在性。类似地，多维（非耦合）二次BSDE的分析本身就涉及到，并且还依赖于对当前问题结构的评估；我们参考迄今为止最普遍的结果【61，30】，以了解更多细节。显然，结合上述（i）和（ii）方面的设置更难处理。

据我们所知，解决多维完全耦合二次FBSDE的唯一工作是上文提到的参考文献[6，24]，[45]，其中考虑了对角二次生成器（在我们的上下文中不满足这一假设），以及[41]，它考虑了马尔可夫情形，并在远期过程波动性的统一简并假设下获得了全局存在性（这不适用于我们的系统）。我们的方法借鉴了现有文献的观点，尤其是Tevzadze的固定点论点【55】。但更重要的是，我们的方法利用问题的特定结构来获得时间上全局的存在结果。主要困难在于，对于FBSDE（8.2–8.4）的所有三个组件，天真的Picard迭代都不起作用。实际上，由于问题的二次性，我们希望使用BMO类型的参数。为此，我们必须确保迭代的每个步骤都保持在一个有效的小球中（对于适当的规范）。这对于（8.4）是可行的，因为我们假设γ-γ很小。然而，没有理由期望（8.2）和（8.3）的连续Picard迭代仍然很小，除非时间范围也足够小，我们不想假设这一点，因为周转率上的成本基本上会导致无贸易平衡。克服这个问题的关键思想是使用我们问题的特定结构，并认识到只应在（8.4）上执行迭代，并使用我们的适定性结果（4.6–4.7），使用迭代每个步骤中给出的Z。最后，第7节中给出的非常精确的估计和稳定性结果允许我们获得所需的收缩特性。证据我们首先建立两个先验估计，将在整个证明过程中使用。让Z∈ HBMO（Pα）与KZKHBMO（Pα）≤ k′σkHBMO（Pα）。

然后通过初等不等式（a+b）≤ 2（a+b）（a，b）∈ R、 我们有k′σ+ZkHBMO（Pα）≤ 2.k′σkHBMO（Q）+kZkHBMO（Pα）≤ 4k′σkHBMO（Pα）。（8.5）此外，推论7.4、引理A.1和（8.5）说明了FBSDE（8.2）–（8.3）（使用此固定Z）如何丰富解决方案，从而满足估计值k∞≤ |x |+|γTkνkHBMO（P）k′σ+ZkHBMO（P）+kν′kS∞k′σ+ZkHBMO（P）≤ |x |+8γTkνkHBMO（Pα）k′σ+ZkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σ+ZkHBMO（Pα）kαkHBMO（P）+1≤ |x |+32￠γTkνkHBMO（Pα）k′σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）kαkHBMO（P）+1（8.6）=：hν（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）。（8.7）接下来，设Z：=0，并定义（Д，˙Д）为FBSDEs（8.2）–（8.3）的解，对应于波动率σ+Z∈ HBMO（Pα）和（Y，Z）作为Dyt的溶液=（(R)σt+Zt）γ- γИt+κ（Zt）-γ- γ′σtνt′σt+ν′tdt+ZtdWPαt，YT=0。通过先验估计（8.7），我们知道ν是有界的。这意味着（Y，Z）定义良好，属于S∞×HBMO（Pα）。对于n≥ 我们继续归纳法。给定（Yn-1，锌-1) ∈ S∞×HBMO（Pα），设˙n，˙nbe定义为对应于挥发性σ+Zn的FBSDEs（8.2）–（8.3）溶液-1.∈ HBMO（Pα）和（Yn，Zn）∈S∞×HBMO（Pα）作为Dynt的溶液=（(R)σt+Zn-1t）γ- γИt+κ（Zn-1吨）-γ- γ′σtνt′σt+ν′tdt+ZntdWPαt，YnT=0。我们继续证明，对于非常小的|γ- γ|，此迭代是S上的收缩∞×HBMO（Pα）。根据巴拿赫不动点定理，它因此具有唯一的不动点（Y，Z）。与解决波动率σ+Z对应的跟踪问题的对（Д，˙Д）一起，我们又构建了（8.2–8.4）的期望解。为了证明我们的映射确实是一种收缩，我们首先在[55]中展示了它在S中映射了大量的小球∞×HBMO（Pα）进入自身。为此，假设thatkYn-1kS∞+ kZn公司-1kHBMO（Pα）≤ R、 其中，我们回忆起R<min（k'σkHBMO（Pα），√2xκ）。将其公式应用于（Yn）并使用该YnT=0。

然后取条件Q-期望并使用Ynis有界和Zn∈ HBMO（Pα）。对于值在[0，T]中的任何停止时间τ，这给出s0=（Ynτ）+等式τZTτ（Zns）ds+ EPατZTτ2Yns（(R)σs+Zn-1s）γ-γИns+2Ynsκ（Zn-1s）ds- EPατZTτ2Ynsγ- γ（(R)σs）νs′σs+ν′sds公司. （8.8）现在使用Yn∈ S∞和kZn-1kHBMO（Pα）≤ R、 再加上先验估计（8.5）和（8.7），这就得到了（Ynτ）+EPατZTτ（Zns）ds≤ |γ- γ| kYnkS∞k′σ+Zn-1kHBMO（Pα）kДnkS∞+ 2κkYnkS∞kZn公司-1kHBMO（Pα）+γ- γ| kYnkS∞kνkHBMO（Q）k′σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）≤ kYnkS公司∞|γ- γ|4k'σkHBMO（Pα）kДnkS∞+ kνkHBMO（Pα）k′σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）+ 2κR=: kYnkS公司∞|γ- γ| hR（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR, （8.9）式中，hr（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）：=4k|σkHBMO（Pα）hИ（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）+kνkHBMO（Pα）k|σkHBMO（Pα）+kν′kS∞k′σkHBMO（Pα）。取所有τ的上确界（对于Yn）并重新排列yieldskYnkS∞≤ |γ- γ| hR（x，~γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR.（8.10）现在取所有τin（8.9）（对于Zn）的上确界，使用（8.10），我们得到了kznkhbmo（Pα）≤|γ- γ| hR（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR. （8.11）使用|γ的边界- γ|，以及≤√2κ，我们推断thatkYnkS∞+ kZnkHBMO（Pα）≤ 2.|γ- γ| hR（x，～γ，α，’σ，ν，ν′）+2κR≤ R、 现在我们证明了我们的迭代是球布林S上的收缩∞×HBMO（Pα）。为此，考虑（y，z），（（y′，z′）∈ BR，并为迭代生成的图像写入（Y，Z），（Y′，Z′）。也可用（Д，˙Д），（Д′，˙Д′）表示相应的最佳跟踪策略（分别对应于波动率σ+z和σ+z）。

为了验证我们的迭代确实是一个收缩，我们必须证明对于某些η∈ （0，1），kY- Y′kS∞+ kZ公司- Z′kHBMO（Pα）≤ η肯塔基州- y′kS∞+ kz公司-z′kHBMO（Pα）.为了便于记法，设置δy：=y- y′，δz：=z- z′，δY：=Y- Y′，δZ：=Z- Z′。将It^o的公式应用于任何[0，T]值的停止时间τ，插入Y和Y′的动力学，采用pα-条件期望，并使用等式ab- cd=a（b- d） +（a- c） d代表（a、b、c、d）∈ R、 我们得到δYτ+EPατZTτδZtdt= EPατ(γ- γ） ZTτδYt（(R)σt+zt）Дt-（(R)σt+z′t）Д′tdt公司- 2κZTτδYt（zt）- （z′t）dt公司≤ kδY kS∞|γ- γ|EPατZTτ（(R)σt+ZT）|Дt- Д′t | dt+ZTτ2〃σt+zt+z′t|δzt |Д′t | dt+ 2κkδY kS∞EPατZTτ| ZT+z′t | |δZT | dt. （8.12）要估计（8.12）右侧第一个术语中的条件预期，请定义以下过程：=supu∈[0，t]| |u- ^1′u |，t∈ [0，T]。伦马。3、（8.5）、Jensen不等式和定理7.5依次为YieldpατZTτ（(R)σt+ZT）|Дt- ^1′t | dt≤ EPατZTτ（(R)σt+ZT）Atdt≤ 4k'σkHBMO（Pα）EPατsupu公司∈[0，T]| |u- ^1′u|≤ 4k'σkHBMO（Pα）gД（x，|γ，α），√2σ,√2′σ，ν，ν′）kδzkHBMO（Pα）。（8.13）为了估计（8.12）右侧第二项中的条件期望，我们使用了∈ S∞,Cauchy-Schwarz不等式和初等不等式（a+b+c）的条件形式≤ 2a+4b+4c。再加上kzkHBMO（Pα）和kz′kHBMO（Pα）均小于k′σkHBMO（Pα）和a先验估计值（8.7），该收益率ατZTτ| 2'σt+ZT+z′t | |δZT |Д′t | dt≤ kИ′kS∞EPατZTτ（2′σt+ZT+z′t）dtEPατZTτδztdt≤ 4hИ（x，|γ，α，|σ，ν，ν′）k|σkHBMO（Pα）kδzkHBMO（Pα）。（8.14）为了估计（8.12）右侧第三项中的条件期望，我们以类似的方式进行了论证，得到了pατZTτ| ZT+z′t | |δZT | dt≤ 2RkδzkHBMO（Pα）。

（8.15）现在，将（8.13）–（8.15）插入（8.12），取所有τ的上确界（Y和Z），然后取条件Pα期望，应用LemmaB。1和定理7.5（连同（8.5）），并使用元素不等式2ab≤εa+εb对于ε>0 yieldskδY kS∞+ kδZkHBMO（Pα）≤ 8|γ- γ| kδY kS∞k'σkHBMO（Pα）gД（x，|γ，α），√2σ,√2′σ，ν，ν′）kδzkHBMO（Pα）+8 |γ- γ| kδY kS∞k'σkHBMO（Pα）kИ（x，|γ，α，'σ，ν，ν′）kδzkHBMO（Pα）+8κkδY kS∞RkδzkHBMO（Pα）≤εkδY kS∞+ εηkδzkHBMO（Pα），（8.16），其中η：=4 |γ- γ| k'σkHBMO（Pα）gИ（x，|γ，α，√2σ,√2′σ，ν，ν′）+hν（x，|γ，α，’σ，ν，ν′）+ 4κR。我们推断，对于任何ε>1的情况，kδY kS∞+ kδZkHBMO（Pα）≤ kδY kS∞+εε - 1kδZkHBMO（Pα）≤εε - 1ηkδzkHBMO（Pα）。我们选择ε=2并推导出期望的结果，因为通过我们的求和ε- 1η= 4η< 1.对于结果的最后一部分，根据假设4.2和4.7，观察这些特定参数选择满足OREM8.3中的所有要求。这为相关的FBSDE系统（4.6–4.7，8.1）提供了独特的解决方案。（4.6–4.7，8.1）的任何解决方案依次通过定义S：=\'St+yt和σ：=\'σ+Z来提供（4.6–4.8）的解决方案。对于理论4.8中的解决方案，情况显然相反。我们现在证明命题5.1，该命题描述了在具有线性状态动力学和终端条件的特定模型中，通过耦合的Riccati-ODEs系统的交易成本均衡。命题5.1的证明。

首先注意，函数A（t），D（t）满足以下Riccati方程：A′（t）=- γsa+γs（a+B（t））-C（t）D（t），A（t）=0，D′（t）=-γs2λ（a+B（t））- F（t）D（t），D（t）=0。与函数B（t）、C（t）、E（t）、F（t）的Riccati ODEs一起，可以得出函数SF（t，x，y）=A（t）+B（t）x+C（t）y，g（t，x，y）=D（t）+E（t）x+F（t）y，解出以下半线性偏微分方程（此处省略参数（t，x，y）以便于表示）：ft+fxx+fyg=-γsa+γ（a+B）+γ- γβ（a+B）x+γ- γ（a+B）y=γ- γ（a+fx）y+γfx+fxγa+γ- γβx-γ- γaγsγ+γ-βax,gt+gxx+gyg=γ+γ2λ（a+fx）βx-γs2λ（a+fx）+γ+γ2λ（a+fx）y，在[0，T）×R上，终端条件f（T，x，y）=g（T，x，y）=0。通过定义νT，˙T=g（T，Wt，cfcf T）。现在设置yt=f（T，Wt，cfcf T），Zt=fx（T，Wt，cfcf T）=B（T）。然后，它的公式是f（T，x，y），g（T，x，y）的偏微分方程，以及表示˙Д，y，Z，满足B设计˙ДT=γ+γ2λβWt（a+Zt）-γsγ+γ（a+Zt）+（a+Zt）Дtdt+E（t）dWt，dYt=γ- γ（a+Zt）Дt+γsZt+Ztγsa+γ- γβWt-γ- γaγsγ+γ-βaWtdt+ZtdWt，终端条件˙ИT=YT=0。结合正向方程dИt=˙Иtdt，以及命题4.3中无摩擦均衡价格的BSD，可以得出S=\'S+Y，σ=a+Z=\'σ+Z，˙Д，E和Д确实解决了正向-反向方程（4.6–4.8）。由于无摩擦平衡波动率在这里是恒定的，’σ=a和Zt=B（t）是确定的，我们显然有σ∈ HBMO。由于布朗运动具有有限的矩和零自相关函数，我们也可以很容易地验证∈ H、 断言inturn源自命题4.6。现在，我们转向定理5.2的证明，该定理保证了命题4.8中的Riccati系统对于非常相似的风险规避参数的存在性。这个论点在精神上与定理8.3非常接近。

实际上，我们还通过Picard迭代方案获得了系统的适定性，该方案的设计使得连续迭代保持在一个足够小的球中。为了实现这一点，除非时间范围足够短，否则对f方程进行简单的直接迭代是行不通的。相反，我们必须从单独研究C、E、F对固定B所满足的系统开始，就像我们在定理8.3的证明中对（8.2–8.3）所做的一样，当NZ固定时。在得到必要的稳定性估计之后，我们可以对B进行迭代，并获得期望的结果。这表明，理论8.3所依据的方法与处理一般设置所强加的严格可积性假设没有关键联系，但也可以根据具体情况对其他特定设置进行调整。理论证明5.2。为了便于记法，设置^γ：=γ+γ，ε：=γ- γ、 以及▄B（t）：=B（t）+a，t∈ [0，T]。步骤1：与h（C、E、F）进行交易。我们首先给自己一些有界映射▄B:[0，T]→ R和分析[0，T]上的下列常微分方程耦合系统：CB（t）=-ZTt公司εИB（s）- FB（s）CB（s）ds，EB（t）=-ZTt公司β^γλИB（s）- FB（s）EB（s）ds，FB（t）=-ZTt公司^γλИB（s）- （FB）（s）ds。（8.17）由于▄B有界，F▄BHA的方程为唯一解。使用该0≤^γλИB（s）≤^γλ（kBk∞), ODE的comparisontheorem给出了估计值-r^γλ（kBk∞) ≤ -r^γλ（kBk∞)tanh公司r^γλ（kBk∞（T-t）≤ FB（t）≤ 0，t∈ [0，T]。（8.18）E带C的常微分方程基本呈线性，且具有唯一的解EB（t）=-^γβλZTtB（s）eRstFB（r）drds，CB（t）=-εZTt▄B（s）eRstF▄B（r）drds，t∈ [0，T]。特别是，F的非正性意味着EB（t）≤^γβλkBk∞（T- t） ，则，CB（t）≤|ε| kBk∞（T- t） ，对于所有t∈ [0，T]。（8.19）对于这些解，我们还需要一些关于B的变化的稳定性结果。因此，固定两个有界函数B和B′。

使用该FB- FB’满足颂歌FB- FB′（t） =-ZTt公司^γλ~B（s）+~B′（s）（￠B（s）-B′（s））-F▄B（s）+F▄B′（s）（FB- FB′（s）ds，我们得到fB（t）- F▄B′（t）=-γλZTteRst（FB（r）+FB′（r））dr~B（s）+~B′（s）B（s）-~B′（s）ds。F带FB′的非正性FB（t）- FB′（t）≤^γλkBk∞+ kB′k∞B-B′型∞（T- t） ，对于所有t∈ [0，T]。使用x 7→ 出口1-Lipschitz连续打开(-∞, 0]，这意味着eRstF▄B（r）dr- eRstF▄B′（r）dr≤^γλkBk∞+ kB′k∞B-B′型∞（T- t） ，对于0≤ t型≤ s≤ T（8.20）考虑到E带CB的显式压力，我们还推导出EB（t）- E▄B′（t）=-γβλZTteRstF▄B（r）drB（s）-~B′（s）+~B′（s）eRstF▄B（r）dr- eRstFB′（r）drds，CB（t）- CB′（t）=-εZTteRstF▄B（r）dr~B（s）+~B′（s）B（s）-~B′（s）+~B′（s）eRstF▄B（r）dr- eRstFB′（r）drds。加上（8.20），这将产生EB- EB′型∞≤γβTλ1+γTλkB′k∞kBk∞+ kB′k∞B-B′型∞, （8.21）以及CB- CB′型∞≤|ε| T1+γTλkB′k∞kBk∞+ kB′k∞B-B′型∞. （8.22）步骤2：kBk的先验估计∞. 现在，x一些R>a，定义B=a，对于固定整数n≥ 1，考虑一个连续函数Bn-1带| | | | Bn-1||∞≤ R、 设（Cn、En、Fn）为系统（8.17）的唯一解决方案，B：=Bn-1、然后，我们将Bn定义为以下（线性）ODE的唯一解决方案（自Bn起，位置明确-1，Cn，enan和fn均一致有界）：~Bn（t）=a-ZTt公司εβИBn-1（s）- En（s）Cn（s）ds，t∈ [0，T]。（8.23）使用Enand Cnfrom（8.19）的估计，我们得到十亿∞≤ a+|ε|βT十亿-1.∞+|ε|γβ2λT十亿-1.∞.现在，对于R=a和|ε|满足（5.1），可以得出a+|ε|βRT+|ε|β710;γRT2λ≤ R、 那么我们有十亿∞≤ R、 步骤3：Picard迭代▄B。

最后，使用Bn（t）的事实-~Bn′（t）=-ZTtεβ十亿-1（s）-十亿-1′（s）ds公司-ZTtCn（s）En（s）- En′（s）+ En′（s）Cn（s）- Cn′（s）ds，由（8.19）、（8.21）和（8.22）得出-Bn′k∞≤ T|ε|β+2 |ε|β^γRTλ1+γRTλ千亿克朗-1.-十亿-1′k′∞现在，对于R=a和|ε|满足（5.1），常数小于1，我们有一个收缩。BMO结果本附录收集了BMO鞅的一些辅助结果，这些结果用于定理8.3、引理3.3和命题4.6的证明。引理A.1。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是支持布朗运动（Wt）T的过滤概率空间∈[0，T]并且所有F-鞅是连续的。Let（αt）t∈[0，T]∈ HBMO（P）和定义Pα~ FTbydP上的PαdP=EZ·αtdWtT、 然后是α∈ HBMO（Pα）。此外，如果（σt）t∈[0，T]∈ HBMO（P），然后（σt）t∈[0，T]∈ HBMO（Pα）和KσkHBMO（Pα）≤ 8（kαkHBMO（Pα）+1）kσkHBMO（P），kσkHBMO（P）≤ 8（kαkHBMO（P）+1）kσkHBMO（Pα）。证据这直接来自于[36，定理3.6]和引理A.2在Pα和P.引理A.2下的证明。让(Ohm , F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是布朗运动（Wt）T中的概率空间支撑∈[0，T]。Let（αt）t∈[0，T]∈ HBMO（P）和定义P-鞅（Mt）t∈[0，T]通过Mt：=RtαsdWs。然后对于任何p>1且有p的情况≥ （kαkHBMO（P）+1）和任何停止时间τ，我们有EτE（M）τE（M）Tp-1.∞≤ 2.证明。p上的条件意味着kα/(√2(√p- 1） ）kHBMO（P）≤. 因此，根据John–Nirenberg不等式[36，定理2.2]，对于任何停止τ，Eτ2(√p- 1)hMiT公司- hMiτ≤ 2、现在的权利要求来自（a）的证明=> （b） 在[36，定理2.4]中，Cp=2。引理A.3。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是概率空间，（βT）T∈[0，T]a n负过程和（At）T∈[0，T]非减损过程。然后，f或任何[0，T]值的停止时间τ，EτZTτAsβsds≤ AτEτZTτβsds+ EτZTτEuZTuβsdsdAu公司. （A.1）此外，如果√β ∈ HBMO，thenEτZTτAsβsds≤pβHBMOEτ在. （A.2）证明。s写入为=Aτ+RSTDAU≥ τ.

Fubini定理反过来给出了sztτ为βsds=AτZTτβsds+ZTτZsτβsdAuds=AτZTτβsds+ZTτZTuβsdaud。现在，（A.1）使用与（定理VI.57的可选版本）[21]相对应的条件结果，得出条件期望，并得出过程的可选投影（RTuβsds）u∈[0，T]为（Eu[RTuβsds]）u∈[0，T]。此外，根据BMO规范的定义，（A.2）源自（A.1）。B Doob不等式的变化Doob不等式的以下版本分别用于定理8.3和引理7.1的证明中。他们很容易就把霍尔德和杜布的不平等现象跟在我们后面。引理B.1。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，X是一个FT可测量的非负性变量，E[X]<∞. ThenE公司支持∈[0，T]Et十、≤ 2E类十、.引理B.2。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，P∈ （1，2），设X和Y为FT–可测非负随机变量，E[X]<∞ 和E[Y2p/（2-p） ]<∞. 然后，对于ε>0，E支持∈[0，T]EtXY型≤εE十、+ε聚丙烯- 1.EhY2p2-pi2-pp.参考文献[1]K.Adam、J.Beutel、A.Marcet和S.Merkel。金融交易税能否阻止股价飙升？J、 周一。经济。，76:90–109, 2015.[2] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3（2）：5–392001年。[3] 阿米哈德和门德尔森。资产定价和投标邀请函。J、 财务部。经济。，17(2):223–249, 1986.[4] S.Ankirchner、A.Fromm和J.We ndt。研究全耦合FBSDE可解性的变换方法。预印本，在线提供athttps://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02351469/, 2019.[5] S.Ankirchner和T.Kruse。具有随机线性-二次成本的最优位置定位。巴纳赫中心公共。，104(1):9–24, 2015.[6] F.Antonelli和S.Hamadène。具有连续单调系数的后向-前向SDE解的存在性。统计和概率。《信件》，76（14）：1559–15692006。[7] P。

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