考虑交易成本的均衡资产定价

2022-6-11 12:50:34

考虑交易成本的均衡资产定价*Martin Herdegen+Johannes Muhle KarbeDylan Possama"i2020年9月30日摘要我们研究风险分担经济，其中异质代理人在二次交易成本下进行交易。相应的均衡资产价格和交易策略由一个非线性、完全耦合的正反向随机微分方程组描述。我们证明，如果代理的偏好非常相似，则存在唯一的解决方案。在具有线性状态动力学的基准规范中，从经验上观察到的非流动性折扣和流动性溢价与交易成本和波动性之间的正关系相对应。数学学科分类：（2010）91G10、91G80、60H10。JEL分类：C68、D52、G 11、G12。关键词：资产定价、拉德纳均衡、交易成本、前后向SDEs1简介交易税的引入如何影响金融市场的波动性？这些关于流动性和资产价格相互作用的问题需要用均衡模型来解决，在均衡模型中，价格是不同源的投入，但由供需匹配决定。然而，平衡分析导致了臭名昭著的难以处理的反馈回路。事实上，如果给定候选价格的最优策略没有清除市场，那么价格需要调整，直到迭代收敛。交易成本加剧了这些困难，因为它们严重地使相应的优化问题复杂化。

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2022-6-11 12:50:37

照着关于具有交易成本的均衡资产价格的文献集中于数值方法（HeatonandLucas【32】；Buss、Dumas、Uppal和Vilkov【14】；Buss和Dumas【13】）或市场波动率为零的模型（Vayanos和Vila【59】；Lo、Mamaysky和Wang【43】、Weston【60】）或外源性模型（Vayanos【58】；Garleanu和Pedersen【26】；Sannikov和Skrzypacz【54】; Bouchard、Herdegen、Fukasawa和Muhle Karbe【10】）。在本研究中，我们分析了一种风险分担均衡，其中价格水平、预期收益和波动率是通过平衡供给和需求以及匹配风险资产的外部终端条件内生确定的。我们考虑两个具有均值-方差偏好的代理人，他们交易一项安全且有风险的资产，以对冲其随机捐赠流的波动。我们表明，只要代理人的风险厌恶程度非常相似，通常存在一个具有交易成本的唯一均衡。展开*作者感谢卢卡斯·戈农、德米特里·克拉姆科夫和史晓飞的富有成效的讨论和中肯的评论。感谢两位匿名裁判的帮助。+沃里克大学统计系，考文垂，CV4 7AL，英国，电子邮件m。herdegen@warwick.ac.uk.伦敦帝国理工学院数学系，伦敦，SW7 1NE，英国，电子邮件j.muhle-karbe@imperial.ac.uk.由CFM–帝国量化金融研究所支持的研究。本文的部分内容是在作者访问ethzürich时撰写的；他感谢Forschungsinstitut für Mathematik和H。

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nandehutu2022

2022-6-11 12:50:40

感谢他们的热情好客。§ETH Zürich，数学系，R"amistrasse 101，Zürich 8092，瑞士，迪伦。possamai@math.ethz.ch.impact然后，我们考虑了一个具有线性状态动力学的基准示例。在没有交易成本的情况下，相应的均衡价格具有Bachelier动力学，即恒定的预期收益率和波动率。有了交易成本，均衡价格显示出在这个简单的环境中已经有了更加丰富的行为。首先，由于交易过程的缓慢，预期回报内生性地变为均值回复，正如许多主动投资组合管理简化模型所假设的那样（参见Kim和Omberg【37】；DeLataillade、Deremble、Potters和Bouchaud【19】；Martin【48】；Garleanu和Pedersen【25】）。如果资产波动率是内生的，则这些随机和时变的“流动性溢价”平均为零（参见Sannikovand Skrzypacz[54]，Bouchard等人[10]）。相比之下，具有内生波动性的当前模型可以产生系统性正流动性溢价，这已被经验证明（Amihud和Mendelson【3】、Brennan和Subrahmanyam【11】、Pastor和Stambaugh【53】）。我们的一般均衡结果反过来补充了大量关于流动性溢价的部分均衡文献，这些文献可以追溯到君士坦丁群岛（Constantinides）[17]；有关概述，请参见Lynch和Tan【46】及其参考文献。其次，交易量在摩擦均衡中是有限的，大致遵循Ornstein-Uhlenbeckdynamics，正如Guasoni和Weber的部分均衡模型一样[29]。因此，我们的模型将更现实的价格动态与经验观察到的交易量的主要特征相结合，如均值回归和自相关。相反，Lo等人。

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2022-6-11 12:50:43

【43】获得类似的交易量动态模型，但相应的资产价格不变；相反，Yayanos的均衡价格是不同的，但伴随着确定性的交易模式。第三，我们的内生价格波动模型可以研究交易成本对后者的影响。对于具有类似风险厌恶的代理，我们获得了显式渐近公式，揭示了交易成本对预期收益和波动率的影响之间的密切联系。也就是说，在我们的模型中，区分摩擦预期收益和无摩擦预期收益的流动性溢价以及相应波动性的调整总是具有相同的符号，这是由代理人风险规避参数的差异决定的。在正流动性溢价的经验相关案例中，我们的模型预测了交易成本和波动性之间的正关系，证实了Umlauf【57】、Jones和Seguin【34】和Hau【31】、Adam、Beutel、Marcet和Merkel【1】以及Buss等人【14】的经验证据，Danilova和Julliard发现了一个信息不对称的风险中性模型[18]。在我们的模型中，当无摩擦交易目标随正向价格冲击而增加的代理人（“趋势跟随者”）比交易目标随价格冲击而减少的“反向者”具有更大的风险厌恶（反过来，也更强烈的交易动机）时，这种经验相关制度就会得到。在技术层面上，我们的一般存在性和唯一性结果基于非线性正倒向随机微分方程（FBSDE）完全耦合系统的新适定性结果。在没有交易成本的情况下，风险资产的均衡动态由我们的模型中的纯二次标量BSDEin确定，这在具体的例子中导致了显式公式。

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2022-6-11 12:50:46

通过二次交易成本对代理人交易率的影响，我们证明了相应的均衡具有完全耦合的BSDES s系统的特征。也就是说，最优风险头寸是从给定的初始配置向前发展的。相反，控制这些头寸的相应交易利率需要根据其零终值来确定——接近终值时，交易停止，因为额外的交易无法再收回实施这些头寸所需的成本。如果如Bouchard等人[10]所述，外部给出了恒定的波动率，那么这些前后向动力学将有助于确定均衡回报。在这种情况下，FBS是线性的，因此可以根据Riccati方程和捐赠过程的条件期望明确求解（参见G arleanu和Pedersen【26】；Bank、Soner和Voss【7】）。在目前的情况下，如果波动率是从风险资产的终端条件内生确定的，则相应的FBSDE将与该额外约束产生的额外反向方程耦合。由于二次偏好和交易成本，由此产生的前后向系统在交易利率和头寸方面仍然是线性的。然而，它还取决于风险资产的二次波动率，风险资产现在不再是非均质常数，而是需要作为解决方案的一部分来确定。因此，显式解不再可能，存在性和唯一性超出了现有文献的范围。事实上，对于完全耦合的FBSDE系统，没有通用的适定性理论。事实上，即使对于线性方程，也可以获得适定性，或者有很多解，或者根本没有解，请参见马、吴、张和张介绍中的示例【47】。

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2022-6-11 12:50:49

在各种附加单调性、非简并性、Lipschitz假设或标量前向分量和后向分量下，已获得适定性结果，参见Ma等人【47】和其中的参考文献。然而，这些结果都不适用于我们的完全耦合系统，该系统不是Lipschitz系统，并且具有无变量后向分量。为了克服这些困难，我们将重点放在两个代理的风险规避非常相似的情况下。如果这些参数一致，则均衡价格的BSDE与最优仓位和交易率的FBSDE分离，事实上减少到其无摩擦对应物。对于不同但相似的风险规避，我们反过来建立了唯一解的存在性。我们的证明是基于Tevzadze[55]所启发的Picard迭代下商场条件。然而，由于前向和后向成分之间的耦合，只有在时间跨度足够短的情况下，这种标准论点才存在——在当前的情况下，由于交易利率上的成本基本上强加了一种非交易均衡，因此产生结果。要证明在任意时间范围内的存在性，需要根据方程的结构定制更微妙的参数。这里，关键的见解是，对于给定的波动过程，相应的最优头寸和交易率的FBSDE可以用随机Riccati方程来求解，如Kohlmann和Tang[38]、Annkirchner和Kruse[5]、Bank和Voss[8]中所述。我们为此类方程开发了许多新的稳定性估计。反过来，我们可以为eq-uilibriumprice过程设计一个一维Picard迭代——在每个步骤中，使用Kohlmann和Tang[38]的随机Riccatiequestions构建相应的头寸和交易利率。

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2022-6-11 12:50:52

如果代理人的风险厌恶程度非常相似，那么我们就可以建立一个解决方案的存在性，该解决方案在无摩擦对应方的邻域中是唯一的。这种适定性结果适用于一般情况，无需马尔可夫结构。然而，它关键地利用了模型的所有原语都属于合适的BMO空间。这种假设确保了最优位置保持一致有界，我们的BSDE是二次增长的，但排除了基于布朗运动的具体规范。然而，我们的方法可以适应此类设置，例如，具有线性状态动力学的具体模型。也就是说，表征平衡的FBSDE可以简化为四个耦合标量Riccati ODE的系统。对于完全相似的风险规避，可以通过调整Picard迭代方案来建立该系统的存在性。同样，关键的想法不是使用完整的多维系统，而是只关注一个组件（其他组件在迭代的每个步骤中都是由这个源项构建的）。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了我们的模型，包括无摩擦基准模型和交易率上的二次交易成本模型。第3节讨论了代理商在给定价格动态下的个别优化问题。第4节随后介绍了我们关于无交易成本和有交易成本的均衡资产价格的主要结果。接下来在第5节中讨论了具有线性状态动力学的基准模型。为了更好的可读性，所有证明都被删除到第6–8节以及附录A和B中。在整个注释中，我们定义了一个过滤的概率空间(Ohm, F、 F：=（英尺）t∈[0，T]，P），有限时间范围>0；过滤由标准布朗运动（Wt）t生成∈[0，T]。

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2022-6-11 12:50:55

对于0≤ s≤ t型≤ T，[s，T]值的停止时间集用Ts，T表示；f或τ∈ 对于Fτ-条件期望，我们写出Eτ[·]。R值渐进可测过程（Xt）t∈[0，T]满足kxkPp：=E[（RTXtdt）p/2]<∞ 对于某些p∈ [1, ∞) 由Hp表示。我们还为R值渐进可测过程（Xt）t编写了HBMOF∈[0，T]令人满意的KxKHBMO：=supτ∈T0，TEτZTτXtdtL∞< ∞.最后，对于任何p∈ [1, ∞], Spdenotes具有sup0的连续路径的R值，F-渐进可测过程X≤t型≤T | Xt |属于Lp。相关范数用k·kSp表示。对于任何其他概率测量Q on(Ohm, F），我们定义了类似的Lp（Q）、Hp（Q）、HBMO（Q）和Sp（Q）。2模式2.1金融市场我们认为金融市场有两种资产。第一个是安全的，外部价格正常化为1。第二种是有风险的，价格动态st=utdt+σtdWt。（2.1）此处，初始资产价格S∈ R以及（逐步可测量的）预期回报过程（ut）t∈[0，T]和波动过程（σT）T∈[0，T]将通过将需求与（外部）供应相匹配来平衡确定∈ 风险集合的R。为了确定均衡波动率，与[58，10]中的过程是一个外生常数不同，或与[54]中的过程不同，在[58，10]中，通过关注线性均衡来挑选特定值，风险资产的终值也需要与外生FT可测量的随机变量相匹配：ST=S。这可以解释为基本清算值[42]，最终股息【39】，或取决于外部基础的反激励支付【15】。2.2代理资产由两个代理交易，n=1，2，财富变化的均值-方差偏好如[35,49,19,25,26]所示。

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2022-6-11 12:50:58

代理人的风险规避γn>0，n=1，2，交易对冲其（累积）随机禀赋的波动，dYnt=βntdWt，βn∈ H、（2.2）代理人n在风险资产中的初始头寸自始至终固定，并用xn表示。为了最初清理市场，我们自然假设x+x=s。备注2.1。为便于注释，我们仅对（跨越的）随机禀赋的差异部分进行建模。由于线性二次目标函数（2.3）、（2.4）的优化器不会像[10]中那样依赖于额外的有限变化部分（或未规划的禀赋冲击），因此这不会失去一般性。2.3无摩擦交易支持，即u=σκ，其中ris kκ的市场价格属于H。在没有交易成本的情况下，代理人的交易策略由每次交易时持有的风险股的数量来描述∈ [0，T]。考虑到每个人的随机禀赋，他们的无摩擦财富动态为νtdSt+dYnt。对于满足Д=x和Дσ的可用策略∈ H、相应的均值-方差目标函数为jn（Д）：=EZT公司^1tdSt+dYnt-γndDZsdSs+YnEt= EZT公司utхt-γn（σtДt+βnt）dt公司→ 最大值！（2.3）相应地，对于σ>0，过程-βn/σ也可以解释为代理人n在风险资产中的目标头寸。【16，54】研究了与外部目标的偏差直接由外部确定性权重而非相应资产的微小方差来惩罚的相关模型。例如，在【51】中研究了交易成本对代理人因异质信念而进行交易的均衡的影响。通过Cauchy–Schwarz不等式，我们还得到了νu∈ Hsinceκ∈ H、 2.4具有交易成本的交易假设如[2]中所述，外部二次交易成本λ/2>0对每个代理组合的周转率˙Иt：=dДt/dt征收。

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2022-6-11 12:51:01

然后，相应的位置˙成为一个状态变量，可以通过调整控制˙˙˙来逐渐影响该状态变量。我们关注可接受的交易利率∈ H对应位置Д=xn+R·˙Иtdt满足Дσ∈ H、类似于无摩擦情况。均值-方差目标函数（2.3）的摩擦版本为jnλ（˙И）：=EZT公司utхt-γn（σtДt+βnt）-λ˙Дtdt公司→ 最大值！（2.4）在（2.4）中，周转率的二次交易成本对应于交易规模和速度线性移动的执行价格。然而，请注意，每个代理人的报酬仅受其自身交易利率的影响。因此，交易成本应解释为交易所经营者收取的税款或费用，而不是此处的临时价格影响成本。备注2.2。选择线性二次目标函数（2.4）作为可处理性。事实上，（2.3）、（2.4）中的局部均值-方差权衡是凹效用函数所描述偏好的更易于处理的代理。相应的等式和摩擦已经导致了一种新的耦合FBSDE系统，它超越了现有文献中的求解方法。对于更一般的偏好，相应的FBSDE系统将包含额外的耦合后向和前向组件，分别描述代理的价值和财富过程。二次成本而非比例成本的假设也简化了分析，确保描述均衡的BSDE系统在代理位置保持线性。

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2022-6-11 12:51:03

次二次交易成本对代理头寸非线性的FBSDE不利【27】；比例成本的极限情况对应于具有反射的FBSDE系统，这是此类奇异控制问题的典型情况（比较，例如，【23】）。虽然这些评估是为了便于处理，但[27]中报告的数值结果表明，均衡资产价格的定性和定量属性在不同的交易成本规格中都具有惊人的鲁棒性（考虑到它们的绝对大小是适当匹配的）。这与具有小交易成本的模型的部分均衡结果一致[50]，其中摩擦位置的波动围绕其无摩擦对应物，小交易成本的福利效应由相同的驱动因素控制，用于偏好和交易成本的不同规格。将这些稳健性结果推广到一般均衡环境是未来研究的一个重要但富有挑战性的方向。3个体优化解决均衡的第一步是确定每个代理人针对给定资产价格的个体最优交易策略。为此，确定初始风险资产价格∈ R、预期回报过程（ut）t∈[0，T]和波动过程（σT）T∈[0，T]其中u=σκ，市场价格为风险κ∈ H、为了更好的可读性，所有证明都归为第6.3.1节无摩擦优化Agent n的无摩擦模型优化程序（2.3）可通过逐点优化直接计算：=utγnσt-βntσt，σt6=0，xn，σt=0，t∈ （0，T），（3.1）备注3。1.请注意，最优策略（3.1）不是在集合{σ=0}上唯一确定的，因为这些值对payoff（2.3）没有贡献。

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2022-6-11 12:51:06

因此，我们选择确保市场清算的任意值。所有后续结果都与此选择无关。3.2交易成本优化与无摩擦优化一样，摩擦优化问题（2.4）不再是短视的，因此无法直接使用逐点优化来解决。但是，（2.4）可以重写为jnλ（˙Д）=-EZT公司γnσt（Дt- ^хnt）+λ˙хtdt公司+ EZTγnσt^Иnt- （βnt）dt公司.请注意，该分解右侧的第二个期望值为κ，β∈ H、因此，最大化摩擦均值-方差函数Jnλ相当于解决二次跟踪问题，其中目标是无摩擦优化（3.1）：EZT公司γnσt（Дt- ^хnt）+λ˙хtdt公司→ 最小值！（3.2）例如，[38，5，8]研究了这类问题。通过严格凸性，每个代理的最优交易率的特征是一阶条件，即其G’teaux导数在所有方向上消失【22，命题II.2.1】。变量演算论证（比较[7，10]）反过来表明，因子n的最佳交易点˙nto和相应位置˙nt的特征是一个向前向后的随机微分方程（FBSDE）：d˙nt=˙ntdt，νn=xn，（3.3）d˙nt=γnσtλ（νnt- хnt）dt+˙ZntdWt，˙хnt=0。（3.4）注意，需要将过程˙Zn确定为此处溶液的一部分。与[7，10]中考虑的恒常性σ不同，该方程不能通过简化为s标准Riccati方程来求解。相反，倒向随机Riccati方程（BSRDE）在分析[38，5，8]中起着至关重要的作用。文献[38]表明，对于有界σ，该方程有唯一解。本地化论证表明，σ仍然如此∈ HBMO，这将是我们在第4节进行平衡分析的自然空间。引理3.2。

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2022-6-11 12:51:09

对于γ，λ>0和σ∈ HBMO，BSRDEct=ZTtγλσs- 反恐精英ds公司-ZTtZcsdWs，t∈ [0，T]，（3.5）有唯一的解决方案（c，Z）∈ S∞×HBMO。It满意度0≤ 计算机断层扫描≤γλkσkHBMO，t∈ [0，T]。（3.6）借助手头的辅助过程c，FBSDE（3.3–3.4）的解决方案（3.2）表征了跟踪问题（3.2）的最优tradingrate，或等效于原始均值-方差优化（2.4），可依次构造如下：引理3。3.对于γ，λ>0和σ∈ HBMO，设c为相应BSRDE（3.5）的解。对于渐进可测过程ξ，满足σξ∈ H、定义ξt：=γλEt中兴通讯-Rstcuduσsξsds, t型∈ [0，T]，（3.7）和线性（随机）ODE˙ИT=(R)ξT- ctДt，t∈ [0，T]，Д=x，（3.8）这里，交易率的终端条件为零，因为接近终端时间T的交易不再能够收回实施这些交易所需支付的交易成本。例如，在[5，8]中研究了更一般的终端条件。具有显式解Дt=e-Rtcudux+中兴通讯-Rtscudu？ξsds，t∈ [0，T]。（3.9）然后，对于（3.1）中的γ=γn、x=xn和ξ=^Дnf，相应的g溶液（Дn，˙Дn）对于（3.2）或等效的（2.4）是最佳的。此外，如果σ|ξ|∈ HBMO，则˙Д和Д一致有界。对于一致有界σ，这一结果在[38]中得到了证明。对于σ∈ HBMO，我们在第6节中提供了一个简短的自包含证明。

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2022-6-11 12:51:12

作为副产品，我们得到了解与[8]所考虑的时间截断的“辅助问题”的对应解一致。引理3.3表明，对于t∈ [0，T），具有交易成本的最优策略朝着BSRDE（3.5）确定的“信号过程”ξT/ctat a（时间相关和随机）速度cts进行权衡。对于每个代理的个体优化问题（3.2），信号从相应的无摩擦优化器（3.1）获得，按照BSRDE得出的利率对其预期未来价值进行适当折现。对于第4节中的平衡分析，相同的结构将应用于不同的目标策略，请参见（4.7）。4均衡随着每个代理人各自最优策略的特征化，我们现在转向确定代理人对风险资产的总需求等于其供应的均衡资产价格。为了更好的可读性，所有证据都推迟到第8.4.1节无摩擦均衡。我们首先考虑无摩擦情况。定义4.1。初始值为S的ri S ky资产的价格过程S∈ R、预期收益（ut）t∈[0，T]和波动率（σT）T∈[0，T]称为（Radner）平衡，如果：（i）u=σκ表示κ∈ H（ii）满足终端条件ST=S；（iii）对于给定的价格过程，代理人的个别优化问题（2.3）具有在所有时间清除风险资产市场的解决方案Д和Д，Дt+Дt=S，t∈ [0，T]。对于任何均衡（S，u，σ），市场清算和代理各自最优策略的表示（3.1）给出ut=’γsσt+σt（βt+βt）, t型∈ [0，T]，其中γ：=γγ+γ。相应地，（S，σ）求解以下二次BSDE:dSt=(R)γsσt+σt（βt+βt）dt+σtdWt，ST=S。

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2022-6-11 12:51:15

（4.1）相反，如果σ∈ 这只手显然清理了市场。由此，Radner平衡点的存在性和唯一性等价于二次BSDE（4.1）解的存在性和唯一性。前提是测量β~ P、密度过程Zβ：=E-Z·′γ（βt+βt）dWt（4.2）特别是，由于‘ξ’仅取决于σξ，所以（2.4）的优化值与{σ=0}上为无摩擦优化值选择的（任意）值无关。很好地定义，BSDE（4.1）可以用Pβ-布朗运动Wβ=W重写-R·′γ（βt+βt）dt作为一个纯二次BSDE，dSt=’γsσtdt+σtdWβt，ST=s。（4.3）如果另外终端条件s是可积的，众所周知，（4.3）在s的拉普拉斯变换项中有一个显式解：ST=-2’’γ槽Eβ-2’γsSi，t∈ [0，T]。（4.4）为了确保度量值Pβ得到很好的定义，并验证（4.4）确实是（4.3）在可测量类别中的唯一解，我们对总交易目标β+β和终端条件S作出以下可积性假设：假设4.2。β+ β∈ HBMOand | S |具有所有阶数的有限指数矩。以该可积性为假设（例如，如果β+β和S一致有界，则可满足），我们得到了BSDE（4.1）的以下存在性和唯一性结果：命题4.3。假设满足假设4.2。那么，（4.4）是（4.1）在连续的、逐步可测量的过程中的唯一解-2’γsSτ）τ∈T0，一致Pβ可积。特别是，价格过程（4.4）是这一类中唯一的拉德纳均衡。备注4.4。【20】中已经观察到的价格过程的类别-2’γsSτ）τ∈T0，Tis uniformlyPβ-可积是唯一性的最大可能类。

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2022-6-11 12:51:18

实际上，如果这个族不是一致Pβ可积的，那么e-根据It^o公式和动力学（4.3），2’γsSis是严格的局部Pβ-鞅，因此也是严格的Pβ上鞅，因为它也是正的。因此，相应的价格过程S严格大于（4.4）。Remark4.4中描述的非唯一性仅适用于以下无边界的价格过程。事实上，在价格过程S中，唯一性总是存在的，它允许一个与平方可积密度过程Z关于Pβ的等价鞅测度。实际上，考虑到动力学（4.3），我们需要Z=E- γsR·∑tdWβt依次为0≤ e-2’γsSτ=e-2’γsRτσtdt-2’γsRτσtdWβt≤ e- γsRτσtdt-2’γsRτσtdWβt=Zτ，对于任何τ∈ T0，T.Whence（e）的一致Pβ-可积性-2’γsSτ）τ∈T0，t在这种情况下遵循Doob的最大不等式。如果终端条件是有界的，那么唯一性甚至在所有允许等价鞅测度的价格过程中都成立，因为S是自动有界的。推论4.5。假设假设4.2满足，并且∈ L∞. 那么，（4.4）是S中（4.3）的唯一解∞×HBMO，从而得到有界价格过程之间的唯一Radner均衡。4.2交易成本均衡我们现在转向本研究的主要主题，即交易成本均衡。平衡的概念与定义4.1中的相同，但个别优化问题由（2.4）而非（2.3）给出。为了清理市场，购买必须始终等于销售，即所有单个交易利率的总和必须为零。

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2022-6-11 12:51:21

将两个代理的最优交易率的后向方程（3.4）求和，并使用市场清算条件Дt=s- ^1t，这导致0=σtλγβt+γβt+σtλγs+（γ- γ） ^1t-2utλdt公司+˙Zt+˙Zt载重吨。例如，在[40]中使用了这种唯一性的概念。由于任何有限变化的局部鞅都是常数，因此ut=σtγβt+γβt+σtγs+γ- γИt, t型∈ [0，T]。（4.5）将其插回代理1的个别最优性条件（3.4）中，并回顾终端条件˙ДT=0以及正向方程（3.3），我们得到以下FBSDE：d˙T=˙ДT，Д=x，（4.6）d˙ДT=（γ+γ）2λγβt- γβtγ+γσt-γsγ+γσt+Дtσtdt+˙ZtdWt，˙ИT=0。（4.7）代理2的相应最优策略由市场清算决定。正如第4.1节中讨论的无摩擦情况，相应的均衡波动率由终端条件ST=S固定。更具体地说，在（2.1）中插入（4.5），我们得到以下BSDE，该BSDE与前向-后向系统（4.6–4.7）耦合：dSt=γ- γДtσt+γsσt+γβt+γβtσtdt+σtdWt，ST=S.（4.8）通过逆转这些论点，可以直接验证FBSDE（4.6–4.8）的有效可积解确实确定了具有交易成本的Radner均衡（以下定理4.8证明了FBSDE（4.6–4.8）存在解的有效条件）：命题4.6。假设存在FBSDE（4.6–4.8）的溶液（˙Д，σ）∈ H×HBMO。然后，（S，u，σ）和（4.5）中的u是交易成本的拉德纳均衡。由于前向-后向方程（4.6–4.8）之间的耦合，无法通过定点迭代进行直接存在性证明，除非时间范围足够短，因此交易率的成本很低。

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2022-6-11 12:51:24

建立足够小的交易成本的存在也是很微妙的，因为相应的交易利率会爆炸，这需要通过适当的重新规范化来处理。受【54】的启发，我们因此将重点放在一个不同的小规模条件上，即两个代理人的风险规避相似的情况下，γ≈ γ.对于γ=γ，摩擦均衡价格的BSDE（4.8）与（4.6–4.7）分离，并减少到其无摩擦对应物（4.3）。因此，对于γ≈ γ、我们预计摩擦均衡价格S及其波动率σ将分别接近其无摩擦版本S和σ。为了使这一点更加精确，代理人随机禀赋的摩擦序列波动率σ和波动率β，β需要有效地进行积分：假设4.7。（i）命题4.3中的无摩擦均衡波动率σ属于HBMO；（ii）β，β∈ HBMO，以便我们可以确定β的测量值~ P，密度处理dqβdP：=E-Z·γs′σt+γβt+γβt载重吨T（iii）对于某些p>2，我们有EQβhexppRT公司γs′σt+γβt+γβtdt公司i<∞.我们现在可以表述我们的主要结果。这表明，如果代理人的风险厌恶程度γ、γ非常相似，则存在与交易成本的均衡。这种均衡在无摩擦均衡价格和波动率σ附近也是唯一的。为了使这些陈述更加精确，我们定义了对于任何R>0的情况，以下一组逐步可测量的过程：B∞（R） :=（S，σ）：kS-(R)SkS∞+ kσ- (R)σkHBMO（Qβ）≤ R.我们的主要结果如下：定理4.8。假设满足第4.2条和第4.7条的要求。

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2022-6-11 12:51:27

然后，存在Rmax>0，因此对于任何小于Rmax的系统，耦合的FBSDE（4.6–4.8）具有唯一的解（S，σ）∈ B∞（R）前提是|γ-γ|小到足以满足定理8.3的条件。定理4.8是更一般适定性结果定理8.3的特例，例如，如果禀赋波动率β、β和终端条件S一致有界，则定理4.8适用。更一般地说，假设4.7中的BMOASummptions保证均衡头寸˙和交易利率˙˙是统一的，这对于我们用来证明定理4.8的Picard迭代至关重要。然而，假设4.7不包括基本体β、β遵循某些无界扩散过程（如布朗运动）的规范。因此，作为对定理4.8的补充，我们在第5节和s节中讨论了这样一个具体示例，即在这种情况下，FBSDE系统（4.6–4.8）可以简化为确定性但耦合的R iccati方程系统。对于高度相似的风险规避γ和γ，这些Riccati ODE的存在可以通过调整Picard迭代来确定，Picard迭代用于证明定理4.8.5一个具有线性状态动力学的示例5.1原语和无摩擦基准为了研究交易成本对均衡资产价格和交易量的影响，我们现在考虑一个具有线性状态动力学的具体示例。

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2022-6-11 12:51:30

与[43]类似，我们假设总禀赋为零，两个代理的禀赋波动率都遵循布朗运动：βt=-βt=βWt，β>0。风险资产的终端条件也是基本布朗运动的线性函数：S=bT+aWT，a>0，b∈ R、然后，命题4.3中的无摩擦均衡价格是一个具有恒定预期回报和波动率的Bachelier模型：(R)St=（b- \'γsa）T+\'γsat+aWt，T∈ [0，T]。5.2简化为Riccati系统在这种马尔可夫环境下，FBSDE系统（4.6–4.8）可以重新编制为PDE。事实上，让标准马尔可夫ansatz确定后向分量是时间t的光滑函数，前向分量Wt和Иtand设置St=(R)St+f（t，Wt，Дt）和˙Иt=g（t，Wt，Дt，）。将It^o的公式应用于f和g，并依次比较漂移项，得出（f，g）的以下半线性偏微分方程，其中省略了参数（t，x，y）以简化表示法：ft+fxx+fyg=γ- γ（a+fx）y+γfx+fxγa+γ- γβx-γ- γaγsγ+γ-βax,gt+gxx+gyg=γ+γ2λ（a+fx）βx-γs2λ（a+fx）+γ+γ2λ（a+fx）y，在[0，T）×R上，终端条件f（T，x，y）=g（T，x，y）=0。对于这里考虑的线性状态动力学和终端条件，这些偏微分方程可以简化为Riccati方程的系统。为此，使线性ansatz f（T，x，y）=A（T）+B（T）x+C（T）y和g（T，x，y）=D（T）+E（T）x+f（T）y、将其插入PDE并比较与1、x和y成比例的项的系数，然后得出耦合的Riccati方程组。（例如，在[54，33]中，一个类似的ansatz也被用来连接非线性方程的平衡系统。）如果这些有一个解决方案（例如，在下面第5.2条的条件下），那么它确定了与交易成本的平衡：在理论8.3中，γ的精确上界- γ取决于R，并提供了Rmaxare的显式表达式。提案5.1。

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2022-6-11 12:51:33

假设以下耦合Riccati方程组在[0，T]上有解：B′（T）=γ- γβ（a+B（t））- C（t）E（t），B（t）=0，C′（t）=γ- γ（a+B（t））- C（t）F（t），C（t）=0，E′（t）=γ+γ2λβ（a+B（t））- E（t）F（t），E（t）=0，F′（t）=γ+γ2λ（a+B（t））- F（t），F（t）=0，并定义F或t∈ [0，T]，A（T）=ZTtC（u）D（u）+γsa-γs（a+B（u））du，D（t）=ZTteRutF（r）drγs2λ（a+B（u））杜。然后，具有交易成本的均衡价格和相应的最优交易率由t=’St+A（t）+B（t）Wt+C（t）Дt，˙Дt=- ˙Дt=D（t）+E（t）Wt+F（t）Дt，t∈ [0，T]，式中，ДT=eRtF（r）drx+ZteRtuF（r）dr（D（u）+E（u）Wu）du，T∈ [0，T]。5.3类似风险规避的存在与近似类似于定理4.8，只要代理人的风险规避非常相似，则保证存在ODE系统的解决方案。定理5.2。假设|γ- γ|<最小值16λ27aT（γ+γ）+48Tβλ，32λ81aT（γ+γ）+72aTβ（γ+γ）λ+32Tβλ. （5.1）然后，命题5.1中的Riccati方程组在[0，T]上有一个（唯一）解。命题5.1中的Riccati方程可以很容易地用标准ODE解算器进行数值求解。为了阐明它们的比较静力学，将渐近性视为差值ε=γ是有指导意义的- γ、代理人的风险厌恶倾向于零。对于ε=0，我们显然有C（t；0）=0，这反过来又给了sb（t；0）=0和A（t；0）=0。

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2022-6-11 12:51:36

接下来，我们使用以下简单事实：o对于α>0，Riccati ODE H′（t）=α- H（t），H（t）=0，溶液H（t）=-αtanh（α（T- t））；o对于如上所述的H和κ∈ R、 Riccati ODE J′（t）=κα- J（t）H（t），J（t）=0，有解J（t）=κH（t）；o对于上述H，RTteRstH（r）drds=-αH（t），RTtH（s）ds=α（t- t） +H（t）以及rtth（s）ds=log（cosh（α（t- t）））。设置δ：=r（γ+γ）a2λ，第一个屈服强度SF（t；0）=-δtanhδ（T- t）, E（t；0）=βaF（t；0），D（t；0）=-γsγ+γF（t；0）。用这些ε的极限函数→ 0，也可以直接导出C（t；ε）、B（t；ε）和A（t；ε）、C（t；ε）=-εaZTteRstF（r；0）drds+o（ε）=εa2δF（t；0）+o（ε），B（t；ε）=ZTt-εβa+C（s；ε）E（s；0）ds+o（ε）=-εβa（T- t） +εa2δZTtF（s；0）ds+o（ε）=εa2δF（t；0）+o（ε），（5.2）A（t；ε）=ZTtC（s；ε）D（s；0）+εγsa2（γ+γ）- γsaB（s，ε）ds+o（ε）=-εγsa2（γ+γ）δZTtF（s；0）ds+εγsa2（γ+γ）（T- t）-εβγsa2δZTtF（s；0）ds+o（ε）=-εγsa2（γ+γ）δF（t；0）+εγsβλγ+γlogcosh公司δ（T- t）+ o（ε）。（5.3）5.4交易量上述扩张表明，ε→ 0时，命题5.1中的均衡交易率˙Д收敛到˙Дt=D（t；0）+E（t；0）Wt+F（t；0）Дt=F（t；0）×（Дt- ^1t），（5.4）式中，Дt：=γsγ+γ-βaWt。因此，在小ε的领先顺序上，代理1的平衡位置跟踪其无摩擦对应物的相对交易速度的两倍-F（t；0）。相应地，对于小ε，相应的偏差νt- ^1tapproximaly拥有Ornstein–Uhlenbeck dynamics，d^1t- ^1t≈F（t；0）（Дt- ^1t）dt+βadWt。（5.5）根据（5.4），相应的交易量也有Ornstein–Uhlenbeck动力学，直到交易放缓，最终在接近终端时间T时停止。

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2022-6-11 12:51:39

与[29]的部分均衡模型一样，模型中的交易量因此再现了经验观察到的主要风格化特征，如均值回归和自相关[44]。5.5非流动性折扣、流动性溢价和波动性增加。我们现在转向风险资产的相应均衡价格。与无摩擦情况相比，它的初始水平由a（0；ε）+C（0；ε）x调整。这里，随着时间范围T的增长，C（0；ε）x迅速收敛到一个平稳值。相反，A（0；ε）近似线性增长（通过（5.3）中的第二项），因此在长时间范围内占主导地位。因此，“非流动性折扣”由- （A（0；ε）+C（0；ε）x）=-(γ- γ） γsp2（γ+γ）Tβa√λ+O（1）=γsaT B（0；ε）+O（1），作为T→ ∞. （5.6）因此，与[58]的世代重叠模型一样，我们模型中的股价可以因交易成本而上涨或下跌。该修正项的符号由差值γ确定-代理风险规避的γ。如果我们选择γ>γ来匹配实证观察到的正非流动性折扣[3]，那么折扣（5.6）在交易成本中是凹的，与[3]的实证结果一致。注：当标度因子γsaT达到时，后者与小γ的波动率校正B（t）一致- γ|.接下来，让我们看看风险资产的漂移率。

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2022-6-11 12:51:42

使用分部积分、由A、B和C满足的常微分方程以及函数B（t）的渐近性（5.2），我们得出，其摩擦界面的差异由A′（t）+B′（t）Wt+C′（t）Дt+C（t）˙t=（A′（t）+C（t）D（t））+（B′（t）+C（t）E（t）Wt+（C′（t）+C（t）F（t））Дt给出=- γsa+γs（a+B（t））+γ- γβ（a+B（t））Wt公司+γ- γ（a+B（t））^1t=（γ- γ） γs2（γ+γ）a+γsaB（t）+γ- γaβWt+γ- γaхt+o（|γ- γ|)=γ- γa（Дt- ^1t）+γsaB（t）+o（|γ- γ|).我们看到，与无摩擦情况相比，“流动性溢价”由两部分组成。第一个是对Ornstein–Uhlenbeck过程的重新校准（5.5）：与[54，10]一样，交易成本内在地导致了均值回复“动量因子”，如[37，19，48，25]的简化模型。然而，与[54，10]中摩擦和无摩擦预期回报之间的差异约为零的情况不同，这里出现了一个额外的确定性成分。在用因子γsa重新标度之前，它与小γ的波动率校正B（t）一致- γ|.因此，初始价格S的非流动性折扣、预期回报中的平均流动性溢价以及波动率修正在我们的模型中都具有相同的符号，这是由差异γ决定的- 代理人风险规避系数的γ。实证文献一致发现，流动性非流动性贴现率[3]和流动性溢价[3、11、53]。如果我们选择γ>γ来在我们的模型中再现这一点，那么相应的交易成本波动率修正也是正的。

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2022-6-11 12:51:45

流动性不足应导致更高的波动性的理论结果证实了[57、34、31]的经验结果、[1、14]的数值结果以及[18]中研究的具有不对称信息的风险中性模型的预测。为了理解我们模型中这一结果背后的直觉，回想一下β>0，因此对于积极的价格冲击，代理1的无摩擦交易目标的现金价值从（3.1）下降，代理2的增加。因此，代理2可以被解释为“趋势跟随者”，而代理1遵循“反向”策略。就交易成本而言，如果γ>γ，趋势跟随者在正面价格冲击后的购买动机强于反向者的出售动机。为了清理市场，因此，与无摩擦基准相比，风险资产的预期回报必须降低，以使出售对代理1更有吸引力。因此，积极的价格冲击被抑制，一个类似的论点表明，对于消极的价格冲击，同样的影响仍然存在。由于价格冲击减弱，因此均衡波动率必须增加，以符合固定终端条件。6节的证明本节包含第3节关于Riccati BSRDEs和FBSDEs结果的证明。首先，我们证明了mma3.2，它确保了波动过程σ的BSRDE（3.5）的适当可积解的存在性和唯一性∈ HBMO。引理3.2的证明。对于每个n∈ N、考虑截断过程σN：=σ∧n、由于此进程是统一边界的，因此截断的BSRDEcnt=ZTtγλ（σns）- （cns）ds公司-ZTtZnsdWs，t∈ [0，T]，（6.1）具有唯一的溶液（cn，Zn）∈ S∞×h根据[38，定理2.1]计算每个n。

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2022-6-11 12:51:48

实际上，在它们的符号中，我们的情况对应于a=C=D=0，N=B=1，Q（t）=γλ（σnt），M=0。由于N是正的，且一致有界于0，M是有界的，非负的，Q是有界的，非负的，[38，定理2.1]确实适用。然后，通过取条件表达式，我们看到所有这些解都是从上面一致有界的，sincecnt=EtZTt公司γλ（σns）-（cns）ds公司≤γλkσkHBMO。根据Lipschitz BSDEs的比较定理【56，定理9.4】，cnt≥ 0表示任何t∈ [0，T]，因为（0，0）是具有终端条件0和生成器的BSDE的唯一解决方案-y、由此，运行方程的解满足0≤ cnt公司≤γλkσkHBMO，t∈ [0，T]。（6.2）还记录相应的鞅部分由mnt=ZtZnsdWs=-cn+cnt+Ztγλ（σns）- （cns）ds。（6.3）家庭（支持∈[0，T]| Mnt |）n∈Nis以L为界。事实上，由于每个cnsatis（3.6），我们得到了∈[0，T]| Mnt |≤ 2γλkσkHBMO+γλZTσsds+TγλkσkHBMO，n∈ N、现在使用初等不等式（a+b+c）≤ 3（a+b+c）和BMO鞅的能量不等式[36，p.26]，以获得期望的界：E支持∈[0，T]| Mnt|≤ 3γλkσkHBMO+6γλkσkHBMO+3TγλkσkHBMO，n∈ N

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2022-6-11 12:51:52

（6.4）接下来，请注意，由于（6.1）的解对于所有n均一致有（6.2）的界，因此对（cn，Zn）也解BRSDEcnt=ZTtγλ（σns）-（cns）+∧γλkσkHBMOds公司-ZTtZnsdWs。由于该BRSDE的生成元是一致Lipschitz连续的，且其在0处的值是有界的，因此Lipschitz BSDE的标准比较定理（参见，例如，[56，定理9.4]）表明，解CnArnondecreating in n。因此，单调极限c=limn→∞CNI定义良好，结构满足cT=0和（3.6）。现在设置：=-c+ct+Ztγλσs- 反恐精英ds，t∈ [0，T]。回顾σ和cnn在n中都是非负的和非减量的，单调收敛定理给出了n→∞Ztγλσnsds=Ztγλσsds，limn→∞Zt公司中枢神经系统ds=ZTCDS。因此，M是Mn的逐点极限。自家庭（支持∈[0，t]| Mnt |）n∈Nis以L为界，MNT每个t的Foreconverge到Mtin LF∈ [0，T]。因此，可以得出M是一个平方可积鞅，而鞅表示定理表明M=R·ztdwt对于一个过程Z∈ H、总之，回顾cT=0，我们有ZTTZSDWS=MT- Mt=-ct+ZTtγλσs- 反恐精英ds，也就是，（c，Z）∈ S∞×hs解决原始BSDE。此外，通过It^oisometry和（6.4）中使用的参数的条件版本，可以得出任何τ∈ T0，T，EτZTτZsds= EZTτZsdWs≤ Eτ支持∈[τ，T]ZtτZsdWs≤ 3γλkσkHBMO+6γλkσkHBMO+3TγλkσkHBMO。因此，Z也在HBMO中。最后，唯一性来自以下标准估计。Let（c′，Z′）∈ S∞×HBMObe另一种解决方案。然后- c′t=ZTtc’s+csc’s- 反恐精英ds公司-ZTt公司Zs公司- Z’s）dWs。然后乘积规则给出了sert（c′s+cs）ds计算机断层扫描- c′t）=-ZTteRs（c′u+cu）duZs公司- Z’s）dWs。由于c和c′都有界，Z和Z′都在HBMO中，因此右侧是P鞅。

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