方法ConstantMean（），num tasks=237）39 s e l f。covar modu l e=gpy t orc h。k e r n e l s。M u l ti t as k k e r n e l（g pyt o rch.k e r n e l s c a l e k e r n e l l（40 gpy t orc h.k e r n e l s.MaternKernel（nu=2.5）），num tasks=2，rank=141）43 d e f for w a rd（s e l f，x）：44 mean x=s e l f。平均模块（x）45 c o v a r x=s e l f。cov a r mo d ule（x）46 r e t u r n gpyto r ch。d i s t r i b u t i o n s。M u lt i t a s k M ul t i v a r i at e N o rm a l（平均x，c o v a r x）48 t e s t x=t o r c h。l i n s p a c e（0，1.0，t e s t in g n u mb e r）49 t e s t y 1=t o r c h。Float T en s or（c a l l（np.a r ay（T e s T x）））50 T e s T y 2=T o r c h。Float T en s or（put（np.ar ray（T e s T x）））51 T e s T y=T o r c h。s t a c k（[t e s t y 1，t e s t y 2]，-1） 53 l i k e l i h o d=gpy t orc h。我相信我会的。M u l t i t a s k a u s i a n l i k e l i h o d（num tasks=2）54 model=多任务GPmodel（t r a i n x，t r a i n y，l i k e l h o d）56 model。t r a i n（）57 l i k l i h o d。t r a i n（）59#使用adam o p t i m i z e r 60 o p t i m i z e r=t或c h。optim公司。Adam（[61{“params”：model.pa rame te r s（）}，#I n c l u d e s G a u s ia n l ike l h o od param m ete rs62]，l r=0.1）64#“l o s s”f r GPs---该m ar g in al log l i k e l i h o o d65 ml l=g pyt orch。是的。Ex a ct Ma rgi na lL og L i k el ih ood（L i k e L i h o d，型号）67 n i t e r=30068 f r i n r i n r（n i t e r）：69 o p t i m i z e r。z e r o g r a d（）70输出=型号（t r a i n x）71 l o s=-mll（输出，t r a i n y）72 l o s。向后（）73 p r i n t（\'i t e r%d/%d---Lo s s：%。3 f l e n g t h s c a l e：%。3 f“%”（i+1，n i t e r，l o s.item（），模型。cov a r mo d ule。da t a c OVA r m od u l e。

b a s e k e r n e l。k e r n e l s[0]。l n g t h s c a l e））75 o p t i m i z e r。s t e p（）77#在s78型号上进行p r e d i c t。e v a l（）79 l i k e l i h o d。e v a l（）80，带至r c h。无gra d（），总成Y或ch。s e t t i n g s。f a s t p r e d v a r（）：81 y h at=l i k e l h o d（模型（t s t x））#方程1582下限，上限=y h at。c o n f i d e n c e r e g i o n（）#方程1684#f i t t e d par a满足ers85 B=模型。cov a r m o模块。t a s k c o v a r mo d ule。c o v a r f a c t o r。c l o n e（）。detac h（）86 v=型号。cov a r mo d ule。ta s k c o va r mo d ul e。风险值。c l o n e（）。检测a ch（）87Ω=np。r（B，B）+np。di a g（v）88 l e n g t h s c a l e=模型。cov a r m o模块。da t a c ov ar m od ul e。b a s e k e r n e l。k e r n e l s[0]。l e n g t h s c a l eListing 3：这段Python 3.0代码摘录使用了GPyTorch，说明了如何训练MC GPP来预测包含看涨期权和看跌期权（定价低于black-Scholes）的玩具投资组合的价值。我们对SGD使用Adam更新规则。请注意，清单仅提供了显著的细节，读者应参考示例1-MGP-BS-Pricing。ipynb inGithub的全面实施。5 CVA计算在本节中，作为投资组合风险应用程序的一个示例，我们考虑对客户投资组合的对手信用风险的估计。与交易对手违约相关的银行预期损失由（单边，见Albanese et al.（2019，第4.3节））CVA给出。

根据定价措施和相关贴现过程β，对客户违约引发的损失进行贴现预期，我们得出（为简单起见，假设无共同因素）CVA=（1- R） EZTβtπ+tΔτ（dt），（22），其中Δτ是客户违约时间τ的Dirac度量，R是客户恢复率。假设τ具有随机强度过程γ，且市场过滤和过滤之间的基本浸入设置随τ逐渐增大（见Albaneseand Cr'epey（2019，第8.1节）），我们得到CVA=（1- R） EZTβtπ+te-Rtγsdsγtdt。（23）在马尔可夫规范下，π是时间和适当风险因子Xt的确定函数，即πt=π（t，Xt）；同样，对于强度模型，γt=γ（t，Xt）。π和γ的共同因素允许对错误方向的风险进行建模，即客户违约风险与相应的市场风险之间存在不利依赖关系的风险。在特殊情况下，如果违约与以数字单位表示的投资组合价值无关，则表达式（22）简单为toCVA=（1- R） ZTE[βtπ+t]p（t）dt，（24），其中p（t）是τ的概率密度函数。在这种独立的情况下，为了计算基于（24）的CVA数值，一组N个日期t，选择tN=T来评估所谓的预期正暴露E[βTπ+T]。概率pi=P（ti≤τ<ti+1）可以从客户机的CDS曲线（或某些代理，如果不能直接使用这种曲线）。在随机违约强度模型中，可以同样评估E[βtiπ+tie-Rtiγsdsγt]并根据（23）计算CVA，或模拟τ并根据（22）计算CVA。请注意，在贸易增量xVA计算的背景下，投资组合权重wiin（17）均为0或1（参见Albanese et al。

（2019年，第5节））。上述近似使用高斯过程回归提供π估值的快速近似。假设风险因素的数据生成过程，π的元模型适用于对生成的数据建模。我们的GP回归在投资组合价值的点估计中提供了GP误差的估计（也考虑了投资组合成分之间的依赖关系，即flin（17）之间的依赖关系，前提是使用了多重GP）。或者，至少是软错误方向风险，而硬错误方向风险可能通过常见的跳线规范来呈现（见Cr'epey和Song（2016））。因此，我们使用机器学习来学习组成部分衍生工具风险敞口作为基础参数和其他参数的函数，包括（通过时间切片）到期时间。然后，基于π的该元模型，通过蒙特卡罗模拟完成随后的CVA计算。该程序在下文中称为MC-GP CVA计算方法。

它节省了一级嵌套（如内部蒙特卡罗）完全重估（下文中称为MC reval），同时避免了π的参数回归方案（在每个ti），该方案几乎没有自适应性和误差控制。5.1 CVA的MC-GP估计首先，我们考虑独立情况（24），这需要对M条路径上的CVA进行以下蒙特卡罗估计，沿着M条路径对市场风险因素进行采样：CVA≈(1 - R）tMMXj=1NXi=1π（ti，X（j）ti）+β（j）tipi，（25），其中，在时间ti时，针对模拟风险因子X（j）tiinpath j评估准确的投资组合值π（ti，X（j）ti）+。然后，我们用以模拟市场风险因素Xti为条件的后验函数的平均值来替换准确的投资组合值，从而得出以下CVA估计值（假设一个统一的时间网格，带步长t） ：[CVA=（1- R）tMMXj=1NXi=1β（j）tiE[π*|十、 Y，X*= X（j）ti]+Pi在随机强度情况下（23），上述公式变成CVA≈(1 - R）tMMXj=1NXi=1β（j）tiπ（ti，X（j）ti）+e-tPι<iγ（tι，X（j）tι）γ（ti，X（j）ti）（26）和[CVA=（1- R）tMMXj=1NXi=1β（j）tiE[π*|十、 Y，X*= X（j）ti]+e-tPι<iγ（tι，X（j）tι）γ（ti，X（j）ti）。（27）CVA GP-MC估计中的MC采样误差由M给出- 1MXj=1h（1- R）tNXi=1β（j）tiE[π*|十、 Y，X*= X（j）ti]+e-tPι<iγ（tι，X（j）tι）γ（ti，X（j）ti）-【CVAi。（28）在股权或商品衍生品的CVA背景下，结构性违约模型可能比违约强度模型更合适（见Ballotta和Fusai（2015））。然后，依靠CVA的原生公式（22），蒙特卡罗GP方法仍然可行。

后者可以基于客户端默认模拟来实现，而不需要客户端默认时间具有强度。5.2预期正风险敞口比例和时间0 CVAWe继续使用与第4.3节示例相同的投资组合和期权模型（用于数据生成）（当然，在实践中，XVA主要用于OTC衍生品，而不是本示例中的交易所可交易期权，但我们的目的纯粹是说明）。表2显示了用于模拟两年期内Black-Scholes动态的Euler时间步进器的值。参数说明Symbol VALUEMENT模拟次数M 1000时间步数N 100初始股价稳定2：此表显示了用于市场风险系数计算的Euler时间步进器的值。图11比较了（左）MC reval（即，通过Black-Scholes公式对投资组合进行全面重新评估）和MC-GP估计的e（π+t），即投资组合的预期正敞口（EPE）。MC-GP估计中的误差和95%不确定度带（不包括MC采样误差）也随时间显示（右图）。为了使用信贷和市场模拟来说明CVA估计，我们引入了以下动态违约前强度（参见Bielecki et al.（2011））：γ（St）=γ（SSt）γ，（29），其中（γ，γ）=（0.02，1.2）。然后根据（27）计算时间0 CVA，如清单4所示。设置R=40%之后，图12显示了MC-GP CVAestimate与MC reval中的标准误差如何随每个GPmodel使用的训练样本数而衰减。还显示了GP预测的95%不确定度范围。图11：（左）MC reval和MC-GP对投资组合EPE随时间变化的估计（这两张图几乎无法区分）。

（右）MC-GP估计EPE的误差（黑色）和（灰色）95%GP不确定度带也随时间显示。1 d e f CVA模拟（模拟参数、模型参数、d e f模型参数）：3 n s i m d t=模拟参数[‘n si m dt’]\\35;数字o e u r s t p e s4 m=模拟参数[‘m’]\\35;数字o p a THS图12：此图显示了MC-GP CVA估计的蒙特卡罗收敛特性。使用100个训练样本，MC-GP CVAI估计了越来越多的测试样本。GP MCCVAis中95%的蒙特卡罗置信区间也由围绕MC-GP CVApoint估计值的灰色带显示。此外，还显示了MC reval CVAestimate，它实际上与其他数据无法区分。GP CVAestimate和重估后的CvaW的差异比MC采样误差小得多。5 nt=sim参数[‘nt’]#ex-po s ure d a t e 6 t i m e g r i d=sim参数[‘t i m e g r i d’]#time g r i d o f e x p os ure d a te s7 r=模型参数[‘r’]8 sigma=模型参数[‘sigma’]9 t=模型参数[‘t’]10 t0=模型参数[‘t0’]11 S0=模型参数[‘S0’]12 gamma 0=d e f mo de l[‘gamma 0’]13伽马1=d e f mo de l[‘gamma 1’]16 s t r i d e=n s imd t/（nt）-1） 17 i dx=np。arang e（0，n s i m d t+1，s t r i d e，dtype=i n t）19 p i={}20 p i[‘t i l d e’]=np。应收账款（[0.0]* （nt-1)*M、 数据类型=\'f l o a t 3 2\'。res h a p e（（nt-1） ，M）#GP p o r t f o l i o v al u e21 p i[\'e xa c t\']=np。a rr a y（[0.0]* （nt-1)*M、 数据类型=\'f l o a t 3 2\'。res ha pe（（nt-1） ，M）#BS p o r t f o l i o v a l ue22 p i[\'t i l d e v a r\']=np。a rr ay（[0.0]* （nt-1)*M、 数据类型=\'f l o a t 3 2\'。re s h a p e（（nt-1） ，M）#GP p o r t f o l i o v a r i a n c e23 gamma=np。ar RAY（[0。

0 ] * （nt-1)*M、 数据类型=\'f l o a t 3 2\'。res h a p e（（nt-1） ，M）#危险r a t e s24 dPD=np。ar比率（[0.0]* （nt-1)*M、 数据类型=\'f l o a t 3 2\'。res h a p e（（nt-1） ，M）#d f a u l t p r o b a b i l t i e s26#s i M u l t e r l y n g黑色-S c h o l e S dynamics us i n g Eu le r27 S=gbm（S0，r，sigma，T-t0，n si m d t，m）29 i f（de f mo de l[‘c a l i b r a t e’）：30 x=np。exp（S0/S）**gamma 131#d e f a u l t p r o b b b i t y（假定从c r e d i t s p区域生成）32 dt=t i m e g r i d[1]- t i m e g r i d[0]33 f=λy：np。abs（np.平均值（np.生产（x**(-y* dt），a x i s=0）---de f m o d e l[‘p’]）34 r e s=sp。op t i m i ze。b a si nh o pp in g（f，0.1，n i t e r=10）35 i=136 w h l e（abs（r e s.fun）>1e-3） ：37 r e s=sp。o p t i m i z e。b a si nh o pp in g（f，0.1，n i t e r=100* i）38 i*= 239伽马0=r e s。x【0】40 p r i n t（“c a l b r a t i o n：”，γ0，γ1，f（γ0），r e s。fun）43 f o r m i n ra n ge（m）：44 i=145 e x p f a c t o r=147 f o r时间i n t i m e g r i d[1：]：48 dt=t i m e g r i d[i]- t i m e g r i d[i-1] 50 S=S[id x[i]，m]#S i m u l at e d S51#a v oi d S im u la t e d S b r ea c hi n g b o un d a r i e S o of domain52 i f（S<l b）：53 min=S54 S=l b55 i f（S>ub）：56 S=ub57 maxs=S59 pr e d=060 v=061 v a r=063 f r key i n p r t f o l i o。键（）：64 pred，st d=p o r t f o l i o[键][“GPs”][i]。p r e d i c t（np.ar r a y（[（S-磅）/（ub-lb）]）。

re sh a p e（1，-1） ，r e t u r n s t d=True）65 pr e d+=p o r t f o l i o[键][“we i ght”]* pred66 v a r+=（p o r t f o l i o[键][“we i ght”]* s t d）**268 i f键==“c a l l”：69 v+=p o r t f o l i o[键][“称重t”]* bs fo r mu la（1，S，KC，r，time，sigma，0）[0]70 e l S e:71 v+=p o r t f o l i o[键][“称重t”]* 穆拉学士（-1，S，KP，r，time，sigma，0）[0]72 p i[\'t i l d e\'][i-1，m]=np。最大值（pred，0）73 p i[\'exa c t\'][i-1，m]=np。最大值（v，0）74 p i[‘t i l d e v a r’][i-1，m]=v a r76#d e f a u l t i n t e n s i t y model77 gamma[i-1，m]=γ0*（S0/秒）**gamma 179#计算d e f a u l t p r o b b i l t i e s80 e x p f a c t r*=np。经验值(-dt公司*γ[Ⅰ]-1，m]）81 dPD【i-1，m）=γ[i-1，米]* e x p f a c t o r83 i+=184#compute CVA85 i=086 CVA={}87 CVA[\'t i d e\']=088 CVA[\'e x a ct\']=089 CVA[\'t i d e u p\']=090 CVA[\'t i d e d o w n\']=091 CVA[\'v a r t i d e\']=093 f o r time i n t i m e g r i d[1:]：94 dt=t i m e g r i d[i+1]- t i m e g r i d[i]95 CVA[\'t i l d e\']+=np。平均值（dPD【i，：】* p i[‘t i l d e’][i，：]）*np。经验值(-r*（时间-t0））* dt96 CVA[“v a r t i l d e”]+=np。var（dPD【i，：】* p i[‘t i l d e’][i，：]* np。经验值(- r* （时间-t0））* dt）97 CVA[‘e x a ct’]+=np。平均值（dPD【i，：】* p i[‘ex ac t’][i，：]）*np。经验值(-r*（时间-t0））* dt98 i+=1100 CVA[‘t i l d e u p’]=（1- d e f m od el[\'r e c o v e r y\']）*（CVA[‘t i l d e’]+2*np。s q r t（CVA[\'v a r t i l d e\']/M））101 CVA[\'t i l d e d o w n\']=（1- d e f mo de l[\'re c o v e r y\']）*（CVA[‘t i l d e’]---2.*np。

s q r t（CVA[‘v a r t i l d e’]/M））102 CVA[‘t i l d e’]*= (1- de f m o d e l[‘re c o v e r y’]）103 CVA[‘e x a ct’]*= (1- d e f mo de l[\'re c o v e r y]）105 r e t u r n（CVA）清单4：这段Python 3.0代码摘录使用scikit learn，演示了如何使用MC-GP模拟投资组合的时间0 CVA。实施假设BS定价采用方程式（29）给出的动态违约强度模型。请注意，清单仅提供了有效的详细信息，读者应参考示例3-MC-GPA-BS-CVA。ipynb inGithub的全面实施。5.3增量一年CVA变量在本节中，我们展示了GPs在估计一年增量CVA的α级风险值（VaR，即分位数）中的应用。计算的目的是在α置信水平上估计银行的CVA负债在未来一年可能增加的程度。为此，我们估计了一年内增量CVA的分布，即随机变量（CVA- CVA）。为了便于说明，我们再次使用（29）中的动态违约前强度，对于（29）中的固定参数γ=0.02和γ=1.2，以及与之前相同的市场组合。然而，我们现在对（违约前）CVA过程进行建模，使得（零利率）t<τCVA（t，St）=1t<τE[1τ<tπ（τ，Sτ）+| St，t<τ]。（30）我们确定违约前强度模型参数。总体而言，MC-GP对VaR（CVA）的估计- CVA）以嵌套模拟的形式实现，外部循环对基础输出进行一年的模拟，嵌套MC模拟用于沿每条路径对一年CVA进行点估计。相比之下，CVA仅通过外部模拟循环进行估计，并且是非负标量。图13（左）显示了使用MC reval（即。

在时间1）使用Black-Scholes公式或MC-GP方法。此外，未显示CVA=0.2，因此为随机变量（CVA- CVA）可以为负值。为了分离GP近似的影响，我们对每种方法使用相同的随机数。MC-GP和MC reval图实际上彼此无法区分。夏普近似的原因有三个方面：（i）维度（在风险因素数量的意义上）只有1，（ii）统计实验被视为插值问题，许多网格化的训练点接近网格化的测试点；以及（iii）200的训练样本量相对较大，接近光滑表面（没有更多）。右图显示了γ的分布≡ γ（St）在模拟视界上的不同时间。图13：（左）根据MC reval（完全重新使用Black-Scholes公式的MC）与95%置信区间的MC-GP方法估计的CVA分布。默认模型使用固定参数γ=0.02和γ=1.2。为了分离GP近似的影响，我们对每种方法使用相同的随机数。（右）γ的分布≡ γ（St）在模拟期内的不同时间，对于固定参数：γ=0.02，γ=1.2.5.4 CVA不确定性量化在本节中，我们展示了GPs在给定信贷风险模型参数的前提下，对CVA计算的不确定性量化的应用。也就是说，动态强度模型（29）的参数（γ，γ）现在通过constraintEe一一对应-RTγ（St）dt=P（τ>T），（31），其中右侧是从客户CDS曲线中提取的给定目标值（或后者的合适代理）。我们现在不必fixing（γ，γ），而是在γ前面放置一个卡方，其中心位于1.2。

对于γ的每个样本，γ的相应值通过时间离散和数值根查找（31）确定。图14显示了MC reval（使用Black-Scholes公式完全重新定价的MC）与MC-GP估计的时间0 CVA后验密度。接下来，我们将展示一年期CVA VaR的不确定性量化估计。如清单5所示，MC-GP估计实现为双重嵌套模拟，外部循环用于从γ上的先验分布中采样，中间嵌套循环用于模拟底层到一年，内部嵌套MC模拟用于沿每条路径对一年CVA进行点估计。图14：默认模型使用1000个模拟参数值，卡方检验值输入为γ=1.2（左），γ通过约束优化找到。（中）MC reval（完全重新使用Black-Scholes公式的MC）与MC-GP方法（95%蒙特卡罗密度区间以MC-GP估计为中心）估计的CVA后验时间0的密度。（右）以95%蒙特卡罗置信区间（以MC-GP估计为中心）显示的CVAI与γ的对比。图15显示了（CVA）99%VaR的分布-CVA）在参数γ的卡方误差下，通过求解（31）得到γ的相应值，p（τ>2）=0.05。在相同的随机数下，观察到MC-GP和MC reval 99%CVA变量实际上是一致的。图15：该图显示了（CVA）99%VaR的分布- CVA）在方程（29）中，achi平方优先于γ，且优先于γ，满足P（τ>2）=0.05的约束（31）。

1000个外部模拟用于从先前的γ上采样。在相同的随机数下，观察到MC-GP和MC reval 99%CVA变量实际上是相同的。1 J=1000#输出数量（从p r i o r）2 m=1000#s3上的中间数量CVA=[]4 CVA 0=[]5 gamma 1=np。a rr a y（[0.0]* J，dtype=\'f l o a t 3 2’’7#来自p r i o r d i s t r i b u t i n u s i n g 8的样本#非-ce n t e r e d c h i-平方随机v a r i a t e s9γ1=（1.2+1.0* np。随机的randn（J））**211 f o r j in r ange（j）：#u t e r l o p13 d ef m o d e l[\'γ0\']=0。0 214 d ef m o d e l[‘gamma 1’]=gamma 1[j]15模型参数[‘t0’]=0。016 sim参数[‘ti m e g r i d’]=t i m e g r i d17 CVA 0。附加（CVA模拟（模拟参数，模型参数，d e f m de l））19 S=gbm（S0，r，sigma，1.0，n si m dt，m）20模型参数[‘t0’]=1。021 sim参数[\'ti m e g r i d\']=t i m e g r i d[5：]22 f o r m i n ra n ge（m）：#中间lo op23模型参数[\'S0\']=S[-1，m]24 CVA。append（CVA simulation（sim params，model params，d e f mo de l））清单5：这段Python 3.0代码摘录，使用scikit learn，演示了如何使用MC-GP模拟投资组合的CVA VaR。实施假设为Black-Scholes模型，动态违约强度模型由等式（29）给出。BS参数和投资组合配置与之前的列表相同。请注意，为了简洁起见，此摘录只能在运行上一个摘录之后运行。

请注意，列表仅提供了显著的细节，读者应参考Github中的示例4-MC-GPA-BSCVA-VaR.ipynb以了解完整的实现。5.5方法的可扩展性我们展示了我们的GP元模型在利率掉期交易对手组合（IRS）CVA估计中的应用。该投资组合持有20个IRS的空头和多头头寸，共有11个利率和10个外汇利率。合同期限从5年到10年不等。短期利率和外汇利率数据由均值回复过程生成，在驱动因素布朗运动之间具有准齐次相关结构。具体而言，我们将利率之间的相关性设置为0.45，利率与外汇之间的相关性设置为0.3，外汇之间的相关性设置为0.15。在我们的实验中，n=10，共给出21个因子。对于短期利率，我们使用多因素赫尔-怀特模型。为完整起见，附录A中给出了模型的详细信息。这些模型在时间步长为0.01的Euler格式下进行模拟。每十步，即对于粗t=0.1，我们存储模拟速率并评估IRSprices。IRS合同是现场启动的，第一次重置时间为{tn}0，随后重置时间为{tn}0，δ=0.5年≤n≤N、 为了给掉期定价，让我们用L（t，t）表示到期日t在t时的简单利率，这是赫尔-怀特模型给出的短期利率的确定函数。然后，在重置日期，IRS对收取固定费用和支付固定费用的一方的外币价格以外币名义单位给出，如下所示：p（tn）=1+δL（tn-1，tn）-1+（N- n） δL（tn，tn）-δSN-nXi=01+iδL（tn，tn+i），1.≤ n≤ N、 （32）和p（t）=1-1+NδL（t，tN）- δSNXi=11+nδL（t，tn）。（33）对于非重置日期，即。

任何t∈]tn，tn+1[，0≤ n≤ N-1我们有：p（t）=1+δL（tn，tn+1）1+（tn+1- t） L（t，tn+1）-1+（tN- t） δL（t，tN）-δSN-nXi=11+（tn+i- t） L（t，tn+i）。（34）除t=t外，我们注意到价格p（t）始终是短期利率att和之前重置日期的函数。因此，每个GP模型最多使用三个输入来了解掉期价格：国内或国外空头利率、最新重置日期的相同利率，如果是国外，则将外汇利率转换为欧元。因此，国内利率互换价格的GP模型有两个输入变量，而国外利率有三个输入变量。为了训练每个GP模型，我们在粗略的时间步长中使用1000条短期和外汇利率路径以及欧元计价的市场IRS价格t=0.1。每个GP模型都被训练为投资组合中每个IRS合同的代理。因此，有10个周期的200GP模型接受了培训。上述数值例子在均匀网格上训练和测试了GPs。这种方法避免了严格的维数灾难问题，因为训练点数随着数据的维数呈指数增长（参见第2.3节）。因此，在实践中，为了估计MtM立方体，我们提倡分而治之，即使用大量低输入维空间，p，GPs在特定资产类别上并行运行（见第4.2节）。在本例中，我们甚至为每个仪器培训一名GP。如第4.2节末尾所示，这种分而治之方法的极端情况的优点是，投资组合可以重新平衡，而无需对GP进行再培训。将所有变量（包括价格）重新调整为单位间隔，以解决潜在的缩放问题。GP被配置为使用ν=0.5的材料核。参见示例-5MC-GP-IRS-CVA。Github中的ipynb了解更多详细信息。EPE文件（参见。

图16显示了使用定价公式（MC reval）与MC-GP评估的IRS投资组合的第5.2）节。表5.5给出了使用MC-GP或MCreval模型的CVA。GP模型估计值的平均值[CVA]为GP reval估计值的0.25%。还给出了MC抽样的95%上下置信区间。6结论本文介绍了高斯过程回归和蒙特卡罗模拟（MC-GP）快速评估衍生产品组合、其敏感性和相关交易对手信用风险指标（如EPE和CVA）的方法。该方法如图16所示：使用分析模型评估的IRS投资组合的EPE利润（欧元）与GP（使用Matren核）进行比较。灰色带表示95%GP不确定度带。估计值平均值下C.I.上C.I.CVA3357.846 3179.715 3535.978[CVA3177.103 3522.072 3571.0287表3：使用MC reval模型的CVA与GP模型的平均值进行比较，【CVA，发现在GP reval估计值的0.25%范围内。还给出了MC抽样的95%上下置信区间。通过对简单投资组合的CVA进行估计，并对准确性和收敛性进行数值研究（就训练点和样本路径的数量而言）我们的MC GP估计。一旦了解了内核，就没有必要使用expensivederivative定价或Greeking函数。内核允许对投资组合对风险因素的敏感性进行封闭式近似，该方法保持了重新平衡投资组合的灵活性。高效的超参数优化程序可用。此外，优势不仅仅是计算性的：风险估计接近于贝叶斯估计。模型在训练数据中没有看到的点估计中的不确定性是量化的。

该方法可通过分而治之的方法进行扩展，可能并行实施，其中根据相同（少数）风险因素对每个资产子组合使用不同的GP。与样条线或核平滑器等更简单的替代方案相比，GP回归提供了一个元建模框架，具有概率贝叶斯解释和相关数值不确定性的量化。边际似然最大化是一种设置超参数的便捷方法。GPs可以处理有噪声的数据，但它们也在无噪声的范围内插值。与切比雪夫插值不同，GPs可以使用任意的、可能是非结构化的（例如随机模拟的）观测网格，切比雪夫插值采用了方案施加的确定性节点位置（结合适当的插值权重，见Gasset al.（2017））。与深度神经网络（DNN）等更丰富的替代方案相比，GPs通常需要更少的数据进行训练。它们还固有地提供“差异正则化”，而无需采用繁琐的交叉验证技术来调整正则化超参数，如DNN。此外，尽管最近的贝叶斯深度学习开发（Bayesian deep learning developmentsmeant）能够在小型数据域中实现深度学习，但DNN仍然难以在贝叶斯框架中进行转换。然而，与DNN不同，内核视图不提供任何HiddenRepresentation，无法识别用于解决特定问题的有用特性。更详细的先验选择可以用来解决这个问题。我们在本文中使用的“不确定性”指的是GP回归误差估计。然而，从量化模型风险的角度来看，GPs也可能用于不确定性量化。

模型风险尤其是一个重要且广泛开放的问题，我们将其留给未来的研究。多因素利率模型我们考虑相关矩阵R。对于每种货币i，我们考虑一个独立布朗运动向量W（i），其中上标i表示过程是Q（i）世界中的布朗运动，而Q（i）世界中的布朗运动又是货币i中现金流的定价。此外，eidenotes向量的ithcoordinate等于1，所有其他分量Sequal等于0。短期利率的赫尔-怀特模型由dri（t）=（θi（t）给出- airi（t））dt+σiDRei，dW（i）te，具有θian外部确定性函数，能够拟合时间0的正向曲线。或者等价，我们可以写出ri（t）=xi（t）+βi（t），其中βi是一个确定性函数，并且：（dxi（t）=-aixi（t）dt+σiDRei，dW（i）tExi（0）=0If fi（0，.）是速率i的time-0瞬时正向曲线，则：t型≥ 0，βi（t）=fi（0，t）+σi2ai（1- e-ait）外汇汇率通过均值回复过程给出，如下所示。考虑一下，为了便于解释n=1时的情况，d FXj，i（t）FXj，i（t）=（ri（t）- rj（t））dt+αj，iσDRe，dW（i）te其中α1,2=-1和α2，1=1。通过与FX反演得到的动力学进行比较，可以推断出Q（1）和Q（2）世界之间的布朗运动变化如下：dW（2）t=dW（1）t- σReditor等效：dQ（2）dQ（1）t=经验值RtσDRe，dW（i）sE-Rtσ重新ds公司=FX2,1（t）FX2,1（0）expRt（r（s）- r（s））ds参考Abbas Turki、L.A.、S.Cr'epey和B.Diallo（2018）。XVA原则、嵌套蒙特卡罗策略和GPU优化。《国际理论与应用金融杂志》21，1850030。Albanese，C.、M.Chataigner和S.Cr'epey（2019年）。财富转移、差别定价和XVA压缩方案。《从概率到金融》BICMR暑期学校金融数学讲师，北京大学数学讲座系列。斯普林格。

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