基于copula的欧洲信用利差马尔可夫奖励方法

2022-6-11 13:58:43

一种基于copula的马尔可夫奖励方法，用于欧盟的信用利差。古列尔莫·达米科（1）、菲利波·彼得罗尼（2）、菲利普·雷格纳特（3）、斯特凡尼亚·斯科切拉（1）*, 洛里亚诺·斯托奇（1）1意大利佩斯卡拉G.D\'Annunzio Chieti大学药学系2。意大利安科纳马奇理工大学管理系3。法国兰斯兰斯香槟阿登大学数学实验室。摘要在本文中，我们提出了一种基于分段齐次马尔可夫链的信用评级方法和信用利差的多元模型来评估欧盟（EU）的金融风险。考虑了两个主要方面：金融风险在欧洲国家之间的分布情况以及Howlage是总风险的价值。第一个方面通过动态熵测度的预期值进行评估。第二个问题通过计算总信用利差随时间的演变来解决。此外，国家间总传播的协方差可以理解欧盟内的任何传染。该方法适用于穆迪、标准普尔和惠誉三大评级机构24个欧洲国家的实际数据。获得的结果表明，金融风险不平等和总风险的价值都以不同的速度增长，这取决于评级机构，并且依赖结构的特点是大多数欧洲国家之间具有很强的相关性。关键词：主权信用评级、马尔可夫过程、不平等动态测度、Copula、变化点1简介在发生一些主权违约和金融危机后，主权证券的利息增加了。特别是，考虑到各国一体化所带来的经济和金融影响，欧元区已成为主要利益所在。

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kedemingshi

2022-6-11 13:58:46

根据我们之前的工作（[14]-[15]），我们的目标是深入了解欧洲国家经济联盟产生的财务影响。具体而言，我们关注每个国家和整个欧洲联盟的财务风险。我们将金融风险称为各国面对其金融义务的能力。用信用价差的金额表示*通讯作者：Stefania Scocchera，电子邮件：Stefania。scocchera@unich.itdepends主权信用评级分配。特别是，我们想回答两个主要问题。第一个问题涉及这种风险在欧洲国家的分布。第二个是指整个国家所面临的风险的大小。因此，本工作的目的是了解金融风险的行为，重点是其总规模的演变和评估国家间风险分布的不平等性。欧盟已针对不同的问题进行了分析。例如，在【23】中调查了公共债务及其所有权；在[1]中，作者研究了几个欧元区国家违约风险的依赖性。而收入不平等的问题在[7]中得到了解决。[18]和[3]分析了一些成员国退出后欧洲结构的变化。金融文献[10]和[21]强调了评级动态对信用利差演变的影响，主要涉及行业部门。信贷息差演变的另一个依赖来源可以在【11】中找到。在这项工作中，作者提出了一种二元半马尔可夫回报方法来包含对应的信用风险。其他的工作建议应用copula来捕获依赖关系，参见【12】、【16】、【17】和【28】。然而，这些应用程序并不涉及信用利差建模。

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2022-6-11 13:58:49

关于信用评级研究，评级建模包括马尔可夫过程（见[2]-[4]-[22]-[24]）和半马尔可夫过程（见[6]、[9]amd[25]）。此外，主权信用评级已通过马尔可夫过程建模（参见，例如[20]、[19]、[26]）。信息理论也适用于经济和金融问题。特别是，动态质量指标可以在[13]中找到，作者提出了共同贫困指数的动态扩展。在文献[7]中，作者提出了一种基于泰尔指数的收入不平等动态测度，并在文献[8]中相继提出了该测度的分解。我们提出的用于评估金融风险的不平等性度量基于最后两个贡献。有趣的是，我们正在研究的主题从未在金融文献中出现过。我们在现有文献的基础上提出了一种基于copula的马尔可夫回报方法来建模信用利差动态并评估金融风险。特别是，我们提出的问题通过评估用于衡量金融不平等的动态泰尔指数和计算欧盟总风险量化的总信用利差来解决。此外，通过各国总信用利差之间的协方差，对依赖结构进行了分析。该模型已在穆迪、标准普尔和惠誉三家评级机构实施，以确定评级分配过程的差异是否存在差异。获得的结果表明：尽管价值观随着时间的推移会发生不同的变化，但未来三家机构的财务不平等都会加剧。

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何人来此

2022-6-11 13:58:52

总财务风险也随着评级机构的不同而增加；受抚养人结构的特点是国家之间具有很强的相关性。本文的结构如下：第二部分分析数据，第三部分描述模型。第4节介绍了为评估金融风险而计算的指标，即动态不平等测度、总信用利差和各国总信用利差之间的协方差。第5节讨论了实证结果，然后是总结性评论。2数据分析我们的研究目标是提供一个能够衡量一组国家（或金融实体）金融风险不平等的模型，并评估总风险的时间演变。为此，我们将注意力集中在欧洲国家，并收集了两个主要金融变量的数据：主权信用评级和信用利差。主权信用评级是衡量一个国家信用风险的顺序指标。它体现了一个国家面对其财政承诺的能力。信贷息差也是可以收取的，它们是各国利率之间的差额。众所周知，信用利差取决于主权信用评级分配，参见例如[15]。穆迪、标准普尔和惠誉三家主要评级机构对欧洲国家的主权信用评级已经收集。因此，我们构建了三个不同的数据集，每个评级机构一个，每天收集1998年11月23日至2018年6月26日的评级历史。

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2022-6-11 13:58:55

这些数据是从传统经济学网站收集的，分为八个等级，如表1所示。评级等级1是最佳的评级分配，这意味着发行人拥有一个例外主体的Aaa Aa A Baa Ba B Caa Ca CS&P Aaa Aa A BBB BBB CCC-CC-C SD DFitch Aaa A BBB BBB CCC-CC-C RD。表1：各评级机构的评级等级划分具有强大的能力来应对其财务承诺。较低的信用评级，即2。。。，7、暗示发行人逐渐无法面对其财务承诺。排名8表示财务违约。由于并非所有欧洲国家都能获得所有数据，因此样本由24个成员国组成：比利时、保加利亚、捷克共和国、德国、丹麦、爱尔兰、希腊、西班牙、法国、克罗地亚、意大利、立陶宛、匈牙利、马耳他、荷兰、奥地利、波兰、葡萄牙、罗马尼亚、斯洛文尼亚、斯洛伐克、芬兰、瑞典、英国。评级分配几乎是稳定的，事实上很少有转换。我们观察到1998/2007、2008/2014、2015/2018年标准普尔评级上调55.18、10.34、34.48、评级下调6.25、78.12、15.63穆迪评级上调66.67、4.16、19.17、评级下调0.88、11.11惠誉评级上调64.29、10.71、25、12.5、78.13、9.37表2：所有评级机构的评级上调/下调分布（%）标准普尔、穆迪和惠誉分别为61、51、60。特别是，升级/降级（过渡到更好/更低的评级级别）集中在不同的时期。表2显示了所有国家根据三家评级机构在三个分时期（1998-2007年、2008-2014年、2015-2018年）中的任务经历的升级/降级百分比。根据表2，评级下调主要集中在2008年至2014年期间，涵盖了金融危机和希腊危机：标准普尔评级下调78.12%，穆迪评级下调88.89%，惠誉评级下调78.13%。

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能者818

2022-6-11 13:58:58

另一方面，标准普尔、穆迪和惠誉在2008年之前分别观察到55.18%、66.67%和64.29%的升级。而其余的升级主要集中在2015年至2018年间。图1显示了穆迪评级上调和下调的时间。可以看出，2008年之前没有降级，2008-2014年期间的上调比例低于其他评级机构。500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000次（天）-1012345次升级（+）/降级（-）穆迪数据的升级/降级次数降级支持图1：穆迪数据观察到的升级/降级次数。我们需要的第二个变量是信贷利差。一般来说，信贷利差是由利率和基准之间的差额得出的。我们用来计算信贷息差的基准是所有欧洲国家支付的利率中的最小值。这一选择背后的原因是，有些国家的利率低于德国。因此，它可以避免负息差。因此，信贷利差可以解释为，与理想情况下国家支付最低价值相比，特定国家支付的较高风险的溢价。因此，主权ZF债券的长期利率是从投资中收取的。com网站，每日规模。这些数据仅从2010年4月26日起适用于所有国家。因此，观测期介于该日期和2018年6月26日之间。图2显示了观察期内欧盟支付的利率和信用利差的演变。在2011年底和2012年初左右达到峰值后，这两个指标都呈现下降趋势。

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能者818

2022-6-11 13:59:01

它们之间的差异在2012年之前是相关的，然后下降，这表明最小值随着时间的推移而下降。这种差异实际上等于利率的最小值乘以被考虑国家的数量。此外，对利差时间序列的分析表明，欧洲国家之间存在正相关，大多数国家之间的相关系数大于0，5。然而，丹麦、瑞典和英国是例外。根据图3，这些国家与所有其他国家呈负相关，但它们之间呈正相关。图42011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018时间（天）010203040506070809010120130140150160总利率总信用利差图2：观察到的总信用利差和总利率的演变显示了两个不同国家分组和整个分组之间估计的相关系数。左图为保加利亚、捷克共和国和斯洛文尼亚，右图为比利时、德国和意大利。保加利亚、捷克共和国和斯洛文尼亚作为第二组与所有其他国家（丹麦、瑞典和英国除外）呈正相关。然而，第一组的正/负相关性小于/高于第二组。上述数据的特点促使我们提出了一个模型，该模型概括了我们之前的工作（见[15]和[14]）。评级动态根据分段齐次马尔可夫链建模，以包括评级动态的变化，并解释表1所示的不同行为。此外，将描述国家间传播演变及其依赖性的随机过程包括在内，使得国家间具有高度相关性。

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2022-6-11 13:59:04

下一节将详细介绍拟议的方法。3建模评级和信用利差动态设C为一组N个国家。在任何时候t∈ N（离散时间可指月、周或天，取决于研究的粒度），每个国家c∈ C受金融机构监管；其评级分配xc（t）属于有序集E：={1，2，…，D}，其中D表示可能的评级分配的数量。一个国家的评级分配旨在反映该国的财政可行性，并源于该国的财政、经济、规模和政治状况。正如通常在信用评级研究中所做的那样，序列xc（t），c∈ 假设C是随机过程Xc的具体化：=（Xc（t））t∈N、 c类∈ C同时，c国可以向金融机构（或私人投资者）借款，直至适用利率irc（t）。同样，序列irc（t），c∈ C，被假定为随机过程的实现IRc：=值得注意的是，我们只表示这些子集，因为它们代表整个组。其余国家的相关结构类似于比利时、意大利和德国，以及保加利亚、捷克共和国和斯洛文尼亚。

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2022-6-11 13:59:07

而第一组有不同的结构。请参见上述三家机构网站上的评级政策-0,8-0,6-0,4-0200,20,40,60,81BEBGCzdedkielesfrhritlthumtnlatplptrosiskfiseukdk SE UK图3：丹麦（黑线）、瑞典（虚线）、英国（灰线）和所有其他国家之间信贷利差时间序列的相关系数。BE：比利时，BG：保加利亚，CZ：捷克共和国，DE：德国，DK：丹麦，IE：爱尔兰，EL：希腊，ES：西班牙，FR：法国，HR：克罗地亚，IT：意大利，LT：立陶宛，HU：匈牙利，MT：马耳他，NL：荷兰，AT：奥地利PL：波兰，PT：葡萄牙，RO：罗马尼亚，SI：斯洛文尼亚，SK：斯洛伐克，FI：芬兰，SE：瑞典，英国：英国-0,8-0,6-0,4-0200,20,40,60,81BEBGCzdedkielesfrritlthumtnlaptrosiskfiseukbg CZ SI-0,8-0,6-0,4-0200,20,40,60,81BEBGCzdedkielesfrrithumtnlaptrosiskfiseukbe DE It图4：左面板：布尔加拉（虚线）、捷克共和国（黑线）、斯洛文尼亚（灰线）和所有其他国家之间信贷利差时间序列的相关系数。右面板：比利时（黑线）、德国（虚线）、意大利（灰线）和所有其他国家之间的相关系数。（IRc（t））t∈N、根据利率，我们得出信贷利差sc（t），c∈ C在任何时候t：对于国家C而言，它是在时间t支付的利率（irc（t））与所有利率中的最小值之间的差额。精确地说，sc（t）：=irc（t）- 介意∈C{ird（t）}，（1）或者，就过程而言，Sc：=IRc- 介意∈CIRd。过程xc和Scevolve共同作用：对c国不利，机构评级低，利率高，信用利差可能高（如果支付最低价值的国家的情况不那么不利）。现在让我们描述评级和信用利差过程的建模。

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2022-6-11 13:59:10

以下假设在本文中始终成立。假设1。流程Xc、c∈ C）是独立的且分布相同（i.i.d.）。在下面，我们将用X表示从它们的公共分布中得出的过程。假设1基于理论和实践要求：我们需要模型简单灵活，以便进行估算。此外，由于数据的稀缺性，估计国家之间的相关性结构可能是一项艰巨的任务。假设2。过程X是一个分段齐次马尔可夫链，取值于有序有限集E={1，…，D}，即存在一个正数k∈ N*∪{∞},a序列τ=0<···<τk=∞ 增加次数和序列（0）P，（k）随机矩阵的P，对于任何l∈ N、 l≤ k、对于任何t∈ {τl，…，τl+1-1} 和anyx，y∈ E、 x0：（t）-1） =（x，…，xt-1) ∈ Et，以下马尔可夫性质成立：PX（t+1）=y | X（t）=X，X（0：（t- 1））=x0：（t-1)= P（X（t+1）=y | X（t）=X）=（l）pxy，其中X（0：（t-1））=（X（0），X（t-1））和（l）pxyde根据矩阵（l）P注意到从x到y的转移概率。假设2意味着评级过程根据马尔可夫动态演变，可能会随时间变化。马尔可夫假设在有关信用评级动态的金融文献中被广泛使用（参见[2]、[4]、[22]、[24]），其中大部分涉及主权信用评级（参见[19]、[20]、[26]、[31]）。在我们的模型中，同质性仅限于构成时间线的一些子周期。这是因为存在一些导致国家财务状况或评级政策发生突然变化的事件（如金融危机）。假设2中的参数k表示此类突然变化的数量。时间间隔{τl，…，τl+1-1} ，对于l∈ {0, . . .

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大多数88

2022-6-11 13:59:13

k-1} 对应于评级动态固定并由转移矩阵（l）P描述的时期。同质马尔可夫链的这些突变（也称为变化点）的检测在[27]、[32]和[33]中进行了研究，但从未应用于该财务问题。假设3。任何时候t∈ N和任何国家c∈ C，信用利差Sc（t）的条件分布，已知Xc（t）=x，其中x∈ E、不依赖于t，也不依赖于c；我们忽略它fx，并假设fx是连续的，密度函数fx。从数学上讲，Fx：=D（Sc（t）| Xc（t）=x），对于任何t∈ N、 c类∈ C（2）下面，我们将用分布Fx表示Wxa随机变量；在适当的情况下，它将替代Sc（t），仅限于事件Xc（t）=x，以简化一些条件期望的表达式，如E（Sc（t）| Xc（t）=x）=E（Wx）。假设3源于对评级动态的信用利差演变影响的认识。这是通过假设具有相同评级分配的国家的共同价差分布来正式确定的。假设4。任何时候t∈ N、（S（t），…，的条件联合分布，SN（t））知道（X（t）=X，XN（t）=XN），带（x，…，XN）∈ ENis给定比亚迪（S（t），SN（t）| X（t）=X，XN（t）=XN）=Cθ（Fx，…，FxN），其中Fx，x∈ E由（2）给出，Cθ是一个参数copula，具有dependenceparameterθ。下面，对于给定的N元组x=（x，…，xN）∈ 我们将表示Wx：=（Wx，…，WxN）一个分布为Cθ（Fx，…，FxN）的随机向量。根据假设4，描述信用利差演变的多元随机过程（S，…，SN）由马尔可夫链Xc，c控制∈ 通过一些参数copula进行熔化。

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2022-6-11 13:59:16

copula的使用是因为该模型必须呈现的国家信贷息差之间存在一些依赖关系。4金融风险指标在本节中，我们介绍了Theil提出的不等式测度的定义及其对随机过程的推广。此外，还提出了两种财务风险指标：整个集团支付的预期总信用利差和两个国家支付的总信用利差之间的CO方差。4.1动态泰尔指数作为衡量不平等的最重要指标之一是泰尔指数[30]。它与概率分布的香农熵密切相关【29】。给定基数为N–例如{1，…，N}的有限集上的概率分布p=（p，…，pN），p的Theil指数T（p）定义为p和均匀分布u之间的Kullback-Leibler（KL）散度K（p | u），或等效为log（N）和香农熵S（p）之间的差值。精确地说，T（p）：=K（p | u）：=N∑i=1pilog（N·pi）=log（N）- S（p），（3），其中S（p）=-∑Ni=1pilog pi。Theil指数的定义在随机过程中扩展了[7]；有关该指数的加法分解，请参见[8]。基于这些参考文献，我们现在介绍了信用利差的动态泰尔指数，我们使用该指数来评估金融风险分布的质量。让一个国家的信贷份额分摊c∈ 时间t时的C∈ N定义为其信贷利差Sc（t）相对于所有国家信贷利差总额或总额t（t）的比例：=∑d∈CSd（t）；数学上，shc（t）=Sc（t）t S（t）=Sc（t）∑d∈CSd（t）。sh（t）时信贷利差份额向量：=（shc（t））c∈Cde定义了国家C集合的概率分布。

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2022-6-11 13:59:19

请注意，sh：=（sh（t）t∈N）是一个依赖于随机过程Sc，C的随机过程（在C上的概率分布集中取其值）∈ C我们称之为信用利差的动态泰尔指数，即托卡斯蒂克过程DT（sh（t）），即DT（sh（t））=∑c∈Cshc（t）log（N·shc（t）），t∈ N、（4）确定性和动态Theil指数都满足以下特性，这些特性直接源于Shannon熵或KL散度（参见[5，第2章]）；这里为动态泰尔熵公式：1。对于任何t，DT（sh（t））属于[0，log（N）]∈ N、对于均匀分布和任何Dirac测度，分别获得了上下界。下限对应于金融风险的完美均衡分布，因为所有国家都支付相同金额的信贷利差。另一方面，上限是指当一个国家支付总价差时，金融风险的集中度。2、可加性分解。特别地，如果我们表示gx（t）：={c∈ C:Xc（t）=x}评级分配为x的国家子集∈ 时间t时{1，…，D}∈ N、动态泰尔指数DT（sh（t））是信贷利差份额分布的泰尔指数与子集q（t）=（q，…，qD）之和，其中qx=∑c∈gxshc，x∈ {1，…，D}和子集的泰尔指数的平均值。也就是说，为了简单起见，去掉了符号中的时间依赖性，DT（sh（t））=DT（q）+D∑x=1qx∑c∈gxshc | gxlogshc | gx，（5）其中，对于c，shc | gx=shcqx∈ gx代表c国信用利差份额的有条件分布，知道c属于gx子集（即其比率分配为x）。DT（q）是评级等级gx，x=1。

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2022-6-11 13:59:22

，D–如阶级间不平等测度，whileD∑x=1qx∑c∈gxshc | gxlogshc | gx=D∑x=1qxDT（sh.| gx），是衡量组内不平等的指标，比如组内不平等指标。3、对人群中信用利差的转移敏感。这意味着泰尔指数对信贷利差分布下尾的迁移比对上尾的迁移更敏感。它对于类置换是不变的。这意味着如果所有c∈ C支付了类似的信用利差，忽略了信用利差的金额，例如所有国家所占的类别。此外，随着信用利差值的增加，DT（sh（t））变小。通过计算一阶矩E[DT（sh（t））]，可以更好地总结动态泰尔指数。提案1。根据假设A1-A4：E[DT（sh（t））]=N∑i=1∑（a，…，aN）∈ENN∏h=1∑（b，…，bl）∈厄尔-1.∏d=0（d）P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，ah·Z+∞···Z+∞埃扎伊∑Nj=zajlogNzai∑Nj=zaj！f（a，…，aN）（za，za，…，zaN | dza，dza，…，dzaN）。（6）式中，fX（t）。。。XN（t）=NFX。。。XN公司 y型···yN=cθ外汇（t）（y），FXN（t）（yN）外汇（t）（y）·…·fXN（t）（yN）。（7）证明。设（i，…，iN）为收集所有N个国家在初始时间t=0时的评级分配的向量，设（a，…，aN）为收集给定未来时间t内评级分配的向量。预期值由[t（p（t））]=E“N给出∑i=1pi（t）log（N pi（t））#=N∑i=1E“Si（t）∑Nj=1Sj（t）logN·Si（t）∑Nj=1Sj（t）#（8） =N∑i=1E“E”Si（t）∑Nj=1Sj（t）logN·Si（t）∑Nj=1Sj（t）！X（t），XN（t）##, （9）根据假设，A3（9）变为：；E[DT（sh（t））]=N∑i=1∑（a，…，aN）∈ENP公司X（t）=a，XN（t）=aN | X（0）=i，XN（0）=英寸· E“Wai∑Nj=1WajlogN·Wai∑Nj=1Waj#（10）根据分段马尔可夫链假设（A2），可以得出如下结论：∈ N l∈ {0，1，2，…，k}：t∈ {τl，…，τl+1- 1}.

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能者818

2022-6-11 13:59:25

（11）因此，这Xh（t）=ah | Xh（0）=ih==∑b∈E∑b∈E类···∑基本法∈EP公司Xh（t）=ah，Xh（τl）=bl，Xh（τ）=b，Xh（τ）=b | Xh（0）=i,（12）可以重写asPXh（t）=ah | Xh（0）=ih=∑（b，…，bl）∈EP公司Xh（t）=ah | Xh（τl）=bl· PXh（τl）=bl | Xh（τl-1） =bl-1.· . . .· PXh（τ）=b | Xh（τ）=b· PXh（τ）=b | Xh（0）=i=∑（b，…，bl）∈E（l）P（t-τl）bl，ah·（l）-1） P（τl-τl-1）基本法-1，bl··（1） P（τ-τ） b，b·（0）P（τ）i，b=∑（b，…，bl）∈埃尔-1.∏d=0（d）P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，ah。（13）因此，通过将（13）替换为（10），我们得到[DT（sh（t））]=N∑i=1∑（a，…，aN）∈ENN∏h=1∑（b，…，bl）∈厄尔-1.∏d=0。（d） P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，ah· E“Wai∑Nj=1WajlogN·Wai∑Nj=1Waj！#。（14）最后，在假设A4下，可以根据：E“Wai计算（14）的最后一项∑Nj=1WajlogN·Wai∑Nj=1Waj#=Z+∞···Z+∞在∑Nj=zajlogNzai∑Nj=zaj！f（a，…，aN）（za，za，…，zaN | dza，dza，…，dzaN）。（15）因此，（6）成立。4.2第4.1节中讨论的总信用利差泰尔指数在其确定性和动态形式化方面，对于类别排列是不变的。因此，需要对总风险进行衡量，以便更好地理解和解释财务风险。为了寻求稳定性，让我们举一个非常简单的例子。假设我们有两种情况，即国家在四个时期内支付表3所示的信贷利差。支付的总利差案例1 a b c d e案例2 a b c d et=1 2 4 5 6 3 t=1 2 4 5 6 3t=2 12 14 16 13 t=2 3 5 6 7 4t=3 22 24 25 26 23 t=3 4 6 7 8 5t=4 32 34 36 33 t=4 5 7 8 6表3：五个代理在四个期间支付的信贷利差。在两种不同的情况下，样本的TC={20、70、120、170}和TC={20、25、30、35}。根据方程式0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07T（p（t））00.010.020.030.040.050.060.070.08tTheil指数和总信贷利差计算得出的不平等度量。

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2022-6-11 13:59:28

案例1案例2图5：第一种案例（虚线）和第二种案例（连续线）计算的泰尔指数和总价差以及总价差相对变化如图5所示。尽管两种情况下国家间的差异相同，但在第一种情况下，泰尔指数的值较低，对应于总价差的较高值。通过仅考虑不平等度量，结果表明，第一种情况下的最佳情况。例如，指数从相同的值开始，即0.065对应于图中的黑色圆圈，但它们的演变不同，第一种情况下达到0.0009，第二种情况下达到0.02（结束值由两个矩形表示）。然而，在观察总价差的变化时，第二个样本显示了更好的情况，因为总价差较低，并且比第一个样本增长更为缓慢。因此，应同时考虑这两项指标的演变，以便准确评估金融风险在国家间的分布以及在给定时期内的风险金额。为了量化整个样本支付的总信用利差，我们按照以下步骤进行。表示b=xc（0）=i，并定义c∈ Ct型∈ [τl，τl+1- 1] [1:l]P（t）i j=P（X（t）=j | X（0）=i），（16）任何给定子周期内从状态i到状态j的转移概率。根据（13），它由[1:l]P（t）i j给出=∑（b，…，bl）∈厄尔-1.∏d=0（d）P（τd+1-τd）bd，bd+1·（l）P（t-τd+1）bd+1，j.（17）定义2。c国根据其评级分配支付的预期总信用利差定义为VI（t）=E[TCc（0，t）]：=E“t∑s=1D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Sc（s）#。（18）提案3。在假设A1-A4下，c国支付的预期总信用利差为：Vi（t）=Vi（t- 1） +D∑j=1[1:l]P（t）i j·Z+∞Fj（y）dy，（19），其中Fj（y）是生存函数。证据

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2022-6-11 13:59:31

Vi（t）可以递归地找到。因此，我们可以按以下方式分解（18）：Vi（t）=E“t-1.∑s=1D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Sc（s）+E“D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Sc（t）#，（20）在假设A3和定义2下，方程（20）可以重写为Vi（t）=Vi（t- 1） +E“D∑j=1{Xc（t）=j | Xc（0）=i}Wj#=Vi（t- 1） +D∑j=1E{Xc（t）=j | Xc（0）=i}· E【Wj】。（21）一旦我们观察到，等式（19）成立∑Dj=1E{Xc（t）=j | Xc（0）=i}等于公式（17），且E[Wj]=R+∞Fj（y）dy.备注4。一旦计算出每个国家支付的预期信用利差，预期总信用利差由以下公式得出：V（t）=E[TC（0，t）]=D∑j=1nj（0）·Vj（t），（22），其中nj（0）表示在评级等级j中分配的国家的初始数量。因此，人们可以理解金融风险是否相当大，而熵的测量表明了不平等的度量。4.3各国总信贷利差之间的协方差。两国支付的总息差之间的协方差是一个有用的指标，有助于了解一些国家的信贷息差的演变是否是相互依赖的。为了计算该指标，我们需要两个国家支付的总信用利差的预期值，即V（α，β）aα，aβ（t）。定义5。两个国家支付的总信用利差产品的预期值定义为v（α，β）aαaβ（t）：=Et型∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·t型∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）,(23)α, β ∈ C，Xα（0）=aα，Xβ（0）=aβ，t型∈ [τl，τl+1- 1].提案6。在假设A1-A4下，V（α，β）aαaβ（t）由V（α，β）aαaβ（t）=V（α，β）aαaβ（t）给出- 1） +Vaα（t- 1)D∑jβ=1[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞(R)Fjβ（x）dx+Vaβ（t- 1） D∑jα=1[1:l]P（t）aα，jα·Z+∞\'\'Fjα（x）dx+D∑jα=1D∑jβ=1[1:l]P（t）aα，jα[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞Z+∞z·z·f（α，β）jα，jβ（z，z）dzdz。（24）证明。

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2022-6-11 13:59:35

与第4.2节中的证明类似，我们可以递归计算期望值，因此v（α，β）aαaβ（t）=Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）+D∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}Sα（t）·t型-1.∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）+D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）.（25）将成员乘以我们获得的成员：Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·t型-1.∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）+ Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）+ Et型-1.∑s=1D∑jβ=1{Xβ（s）=jβ| Xβ（0）=aβ}sβ（s）·D∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}Sα（t）+ ED∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}Sα（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）.（26）根据定义5，（26）的第一个附录与时间t时α和β国家支付的总信用利差产品的预期值一致-1，即V（α，β）aαaβ（t-1). 对于第二个附录，我们有：EEt型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）σX（α）（z）、S（α）（z）、X（β）（z）、z≤ t型-1.= Et型-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·ED∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）σX（α）（z）、R（α）（z）、X（β）（z）、z≤ t型-1..（27）现在，在假设A1（X（α）和Xβ的i.i.d）下，我们有D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}Sβ（t）σX（α）（z）、S（α）（z）、X（β）（z）、z≤ t型-1.=D∑jβ=1E{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WjβX（β）（t- 1).（28）在假设A3下，由于马尔可夫性质，（28）可以重写为asD∑jβ=1Eh{Xβ（t）=jβ| Xβ（t-1） }i·EhWjβi=D∑jβ=1[1:l]P（t）X（β）（t-1），jβ·Z+∞Fjβ（y）dy.（29）因此，（27）变成：E“t-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}sα（s）·[1:l]P（t）X（β）（t-1），jβ·Z+∞Fjβ（y）dy#，，（30），对于A1，可以重写为“t-1.∑s=1D∑jα=1{X（α）（s）=jα| X（α）（0）=aα}WXα（s）#·E[1:l]P（t）X（β）（t-1），jβ·Z+∞Fjβ（y）dy= Vaα（t- 1) ·D∑jβ=1[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞Fjβ（y）dy.（31）给出了（26）的第二个附录。

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2022-6-11 13:59:41

（26）的第三个附录是对称的，相对于第二个附录，我们只需要交换α和β。因此：Vaβ（t- 1） ·“D∑jα=1[1:l]P（t）aα，jα·Z+∞Fjα（y）dy#。（32）关于（26）的最后附录，我们有：D∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}WX（α）（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WXβ（t）= EED∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}WX（α）（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WXβ（t）X（α）（t），X（β）（t）.（33）在假设A4下，从=ED∑jα=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}WX（α）（t）·D∑jβ=1{Xβ（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}WXβ（t）X（α）（t），X（β）（t）,（34）我们获得∑jα=1D∑jβ=1{X（α）（t）=jα| X（α）（0）=aα}{X（β）（t）=jβ| Xβ（0）=aβ}·EhWX（α）（t）·WX（β）（t）i=D∑jα=1D∑jβ=1{X（α）（t）=jα，X（β）（t）=jβ}·Z+∞Z+∞f（α，β）X（α）（t），X（β）（t）（z，z）·z·zdzdz，（35），其中f（α，β）X（α）（t），X（β）（t）（z，z）=FX（α）（t），X（β）（t）（z，z） z z、（36）因此，（26）的最后附录将由D∑jα=1D∑jβ=1{X（α）（t）=jα，X（β）（t）=jβ}·Z+∞Z+∞f（α，β）X（α）（t），X（β）（t）（z，z）·z·zdzdz,（37）导致=D∑jα=1D∑jβ=1[1:l]P（t）aα，jα[1:l]P（t）aβ，jβ·Z+∞Z+∞z·z·f（α，β）jα，jβ（z，z）dzdz。（38）备注7。命题3-6允许通过以下方式计算两国支付的总信用利差之间的协方差：σ（α，β）jα，jβ（t）=CovTC（α）（0，t），TC（β）（0，t）= V（α，β）aαaβ（t）-Vaα（t）·Vaβ（t）。（39）5结果和讨论在本节中，我们展示了我们通过将整体方法应用于第2节中提供的数据而获得的实证结果。在简要介绍了变化点检测算法之后，我们开始对结果进行描述和解释。特别是，对于寻求综合，并非所有机构的所有结果都显示出来。但是，可根据要求提供结果。5.1分段齐次马尔可夫链（PHMC）和信用利差边际分布的估计应用程序从检测评级动态中的任何中断开始。

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2022-6-11 13:59:49

这是为了使模拟更加精确和准确。事实上，如果有一些变化点，那么从最后一个变化点开始，使用评级过程的动态是很方便的。我们依赖于变化点检测理论。特别是，我们使用Polansky提出的离线检测算法【27】。假设存在一些变化点，但它们的位置和数量未知，我们必须按以下步骤进行。我们首先假设有一个或多个变化点；我们应用似然理论来检测变化点的准确位置。最后，我们通过贝叶斯信息准则（BIC）找到了最佳变更点数量（其位置之前已找到）。BIC允许通过平衡模型的拟合优度与所需参数的数量，选择最佳模型来拟合观测数据。因此，当变化点τ，τkare参数未知，但变化点的数量k已知，变化点的最大似然估计量（MLE），即^τ，通过最大化似然函数来估计τk。（τ，…，τk）=argmaxτ<·····<τk∈{1，…，n-1} nk公司∑m=0L（τm，τm+1）o，（40），其中∑km=0L（τm，τm+1）是以变化点为条件的观测似然函数（关于似然函数计算的详细信息，请参见[27]）。为了了解我们发现的断裂是否导致评级过程中的突然变化，我们测试H：（0）P=····=（k）P与H：（0）P 6=···6=（k）P。测试统计量∧应用于观察序列xc（1），xc（s），c∈ C，计算如下：∧=k∑m=1∑c∈铯∑i=1p（m）i j（xci，xci+1）p（m-1） i j（xci，xci+1），（41），其保持以下等式：∧=2k∑m=1L（τm，τm+1）- L（τ，τk+1）.

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2022-6-11 13:59:51

（42）当变化点已知时，∧渐近地趋向于具有D（D）的χ分布- 1） k自由度。相反，当变化点未知时，使用自举模拟得出测试的临界值（有关此技术的更多详细信息，请参阅[27]）。如果∧>∧| 1，则拒绝具有显著水平α的无效假设-α|.最后，需要进行模型选择，以避免由于大量参数而导致的过度拟合问题。因此，BIC允许通过平衡拟合优度和参数数量，选择最佳模型来拟合观测数据。定义为：BIC（k）=log（s）·D（D- 1） ·（k+1）- 2公里∑m=0升^τm，^τm+1, （43）其中（43）右侧的第一项表示未知参数的数量，第二项表示模型的拟合优度。通过最小化之前为k=0，1，…计算的BIC来检测最佳变更点数量。。。K、 withK是任意选择的。将变化点检测算法应用于三家机构的观察评级数据。值得注意的是，由于我们每天都在工作，每个机构的观测值为128 976。找出变化点的位置当k=2，3产生计算问题时，主要与所需的大量时间有关。为了克服这个问题，我们首先每月检测一次中断。然后，我们使用结果在每日尺度上构建一个时间范围，在该范围内执行算法。

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kedemingshi

2022-6-11 13:59:55

此外，该算法具有令人尴尬的并行性，可以在不丢失数据信息的情况下获得更快的速度。标准普尔0 1 2 3L-542.61-483.51-447.98-427.46参数15 24 36 48BIC 1214.1 1070.1 1205.2 1267.2Moody\'sk 0 1 2 3L-470.70 415.06-391.33-361.76参数16 32 42 36BIC 1078.83 1104.98 1143.42 1032.74Fitchk 0 1 2 3L-530.02-496.57-469.41-472.59参数14 24 30 40BIC 1180.30 1199.29 1196.51 1288.75表4：变化点检测算法的结果表4给出了变化点数量（k）、最大似然函数（L）、参数数量和贝叶斯信息准则（BIC）的值。根据我们的结果，标普的最佳模型是在2012年1月12日检测到一个变化点。惠誉没有变更点。穆迪的最佳模型包括三个变化点：2002年11月11日；2009年3月30日和2013年4月29日。如表（5）所示，统计测试∧的显著性水平为0.05，以计算预期∧0.95∧p值和p 262.659 447.228 0.0099穆迪8.369 217.878 0.0049表5：统计测试结果∧0.95源自自举模拟；∧是根据观测数据计算得出的统计量。不等式和我们在第4节中提出的其他度量，使用从最后一个变化点开始的数据估计转移概率矩阵。特别是，在我们的应用中，参数的数量等于| G |，其中G={Pi j：Pi j>0，i 6=j}惠誉使用整个观察到的评级轨迹，因为没有检测到变化点。

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2022-6-11 13:59:58

表（6）表示S＆P1 2 3 4 5 6 7 81 0.99948 5.15e产生的转移概率矩阵- 04 0 0 0 0 0 02 9.71e- 05 0.99971 1.94e- 04 0 0 0 0 03 0 0 0.99954 4.57e- 04 0 0 0 04 0 3.77e- 04 0.99934 2.83e- 04 0 0 05 0 0 0 6.02e- 04 0.9994 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0.99931 6.92e- 04 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 208 0.99375 0.004178 0 0 0 0 0 0 0 0.01333 0.01333 0.97333表6：变化点后的转移概率矩阵（2012- 01- 12）与上一子期间相关的数据。维持当前状态的可能性非常高，并且随着信贷质量的下降，这种可能性正在降低。此外，对于等级A和B（即gi∈ [3，6]）没有升级的可能性。我们计算Jafry-Schuermann距离dJS（见[22]），以比较PHMC和传统HMC的转移概率矩阵。Jafry和Schuermann提出的指数通过评估乘积▄P▄P的所有奇异值λio的平均值来测量平均转移概率，其中▄Pis是迁移率矩阵▄P的转置。尤其是▄P=P- 一、其中，I是与原始转移概率矩阵P具有相同维数的单位矩阵：MSV D（P）=∑Ni=1qλi（≈PP）N，（44）该度量可以解释为给定迁移矩阵的平均迁移概率的代理。然后，通过比较三个矩阵的平均奇异值（在公式（44）中获得）来计算差值：DJS=MSV D（（k）P）- MSV D（P）。（45）其中（k）P表示PHMC的转移概率矩阵，P表示HMC的转移概率矩阵。该指标非常接近于零（dJS=1.42e- 04标准普尔和dJS=3.63e- 穆迪为04）。因此，这两种情况下的平均转移概率几乎相同，尽管上述测试表明PHMC存在显著差异。

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2022-6-11 14:00:01

该指标也用于比较所有机构的矩阵，我们观察到，距离的值在0.039和0.044之间，如表（7）所述：关于信用利差，为了计算多元分布，我们使用了适用于N个国家信用利差分布的Copula。特别是，根据假设A3，我们需要的边际分布是那些与评级等级相关的分布。图（6）显示了根据标准普尔数据得出的所有评级类别的经验信用利差分布。信贷息差以基点值表示。每个子图显示了从秩=1到秩=7的经验c.d.f。此外，表Fitch Moody\'s&PFitch-0.043805 0.039829 Moody-0.043805-0.0039757S&P-0.039829 0.0039757中显示了与这些分布相关的一些描述性统计数据。表7：DJ适用于所有机构的转移矩阵。0 0.5 1.5 2 2.5利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级10 1 2 3 4 5 7利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级20 1 2 3 4 5 7利差（%）00.10.20.30.40.50.70.80.91评级30 2 4 8 10 12利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.9140 2 4 4 8 10 14利差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级52 4 6 8 10 12 14 16价差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级65 10 15 20 25 3035 40息差（%）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91评级7图6：标普数据评级类别的经验分布。(8). 毫不奇怪，平均值会随着信用质量变得最差而增加（即从排名=1到排名=8）。感知到的风险越高，债务成本越高，排名1 2 3 4 5 6 7 8样本13272 11896 11221 12784 7376 1472 632 75平均值0321 0696 1700 2750 3834 7053 17356 21029 ST。开发人员。

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2022-6-11 14:00:04

0.350 0.772 1.298 1.635 1.954 2.254 8.344 7.451Skew 1.743 2.651 1.120 1.731 1.805 0.341 0.466 1.169Kurt 6.056 11.882 3.702 7.914 6.982 2 2.656 1.969 3.199表8：标准普尔数据的信用利差分布描述性统计。随着信贷质量的下降，这一成本的变化更大。此外，投资评级类别（即排名=1，…，4）的观察次数大于投机评级类别（排名=5，…，8）。测试利差分布，以了解评级类别使用不同分布是否因它们之间的显著差异而合理。Anova检验结果证实，利差分布不同，显著水平为0.05。惠誉穆迪公司11934,41 11725.85 17554.65p值0.00 0.00 0.00表9：所有评级机构内的方差分析测试。5.2评估金融不平等和总信贷利差。通过第4.1节所示的动态泰尔熵的预期值来评估金融风险不平等。这需要来自24个国家和8个评级级别（2 629 575）的所有可能的配置集。为了避免由于组合数量巨大而产生的计算问题，蒙特卡罗法是从根据每个评级机构的（k）Pi j对评级轨迹进行建模开始的。特别是，通过观察国家的初始配置，如果给定国家c在时间t访问了国家i，我们将取该国家概率分布的c.d.f.（即pi，·））。然后，一个伪随机数u∈ 生成了[0，1]，如ifk∑j=1pi，j≤ u（t）<k+1∑j=1pi，j，i、 k级∈ E、 c国在t+1时访问的下一个评级等级将等于k。这是从我们的数据集结束时观察到的国家的分配开始的为期三年的期限。

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2022-6-11 14:00:07

然后，根据每个时间t模拟的评级，通过从多变量分布中提取价差来模拟价差动态。这是通过将高斯Copula应用于上一节所示评级类别的经验分布来实现的。为了更好地模拟未来的支付，我们估计了每个国家观察到的信用利差的相对变化。一旦生成了扩散动力学，将为每个蒙特卡罗迭代计算不等式DT（sh（t））。这个过程已经执行了200次迭代。最后，通过所有迭代中不等式的平均值计算一阶矩，即[T DT（sh（T））]。图（7）显示了预期动态Theil熵随预期总信用利差变化的演变，即。V（t）=V（t）-V（t- 1). 总信贷息差的绝对变化以百分比值表示。初始值和结束值分别由圆圈和矩形表示。图7：所有机构的预期不平等和总信用利差的绝对变化预期不平等显示了所有三家机构的上升趋势。从相同的值0.47（圆圈点的横坐标）开始，预期的不平等在评级机构之间的演变不同。在标准普尔的情况下，其增长约为初始值的23%，最终值等于0.578（标准普尔曲线直角点的横坐标）。对于惠誉，不等式增大到0.721（惠誉曲线矩形点的横坐标）。最高的是穆迪的计算结果：事实上，预期的不平等比其他机构增长得更多，在地平线时间结束时，为0.91（穆迪曲线矩形点的横坐标）。

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2022-6-11 14:00:10

这些结果表明，在所有情况下，金融风险在三年后的平均分布都会减少。在图（7）的纵轴上显示了预期总信用利差的变化。它表示随着时间的推移，预期信贷总额的增长速度。在39.625（标普曲线圆点纵坐标）和44.638（标普曲线矩形点纵坐标）之间的时间段内，V（t）S&Pincreases。以类似的方式V（t）Fitchincreases，但介于40.331和42.340之间。相反，随着时间的推移，V（t）穆迪从41.646缓慢下降至40.205。预期总信用利差有助于我们量化金融风险的规模，并更好地解释金融风险的演变。表（10）显示了开始或模拟时，前两年和模拟结束后的总信贷利差值。这三个机构的价值以百分比和表示。通过查看表（10），可以明显看出，该指标的演变时间t=0 1第二季度第三年穆迪41.648 15106.994 30032.948 44789.140Fitch 40.325 14994.514 30272.184 45677.702S和P 39.615 14995.465 30659.464 46759.857表10：所有机构的V（t）=E[TC（0，t）]。评级机构的情况有所不同。第一年之后，穆迪机构的总付款额最高，其次是标准普尔。相反，从第二年开始，穆迪计算的总信用利差最小，其次是惠誉。这可以概括如下。在标准普尔的情况下，将有比其他机构更公平的分配。然而，金融风险的金额更高，且增长速度比其他机构更快。此外，惠誉数据[DT（sh（t））]的增长幅度大于标准普尔，但总信用利差在较低利率时增加。

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kedemingshi

2022-6-11 14:00:13

这些结果表明，在这种情况下，也有一些国家支付的费用高于其他国家，但国家之间的差异更大，即使总风险更小。最后，在使用穆迪数据模拟的情景中，E[DT（sh（t））]goesup几乎为其观察值的90%，但总信用利差以递减的速度增加，这意味着增加的利差由一个比其他两个情景中更小的国家分组支付。动态泰尔指数的分解特性允许调查评级动态对金融风险不平等评估的影响。图（8）200 400 600 800 10000.260.280.30.320.340.360.380.40.420.44内部不平等Fitchs&PMoody\'s200 400 600 800 10000.10.150.20.250.30.350.40.450.50.55内部不平等Fitchs&PMoody\'s图8：所有代理的类间和类内不平等测度显示了分解为内部不平等（左面板）和内部不平等（右面板）的动态不平等测度。内部不平等评估了金融风险在评级类别之间的分散程度。内部不平等是评级类别内的不平等，根据已知每个国家在给定评级类别中的分配的信用利差的条件份额计算。根据图（8），所有机构的内部不平等测量值都在增加，穆迪的值最大，其次是惠誉和标准普尔。另一方面，内部不平等测量值显示出不同的趋势。事实上，对于穆迪来说，这一数字正在增加，这解释了该机构金融风险不平等的强劲增长。相反，对于其他机构来说，评级等级之间的不平等正在减少。尤其是惠誉，其下跌非常缓慢，直到模拟期的中期。之后，它几乎保持稳定。

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