考虑到等式1.5，我们可以写出St：=exp（WρXt-Xt）=∧Xtwhere∧x：=exp（Wρx-x） ，我们必须了解复合路径{wo ^1n}n∈对于一些（w，Дn）∈ C×Φas n→ ∞.一般来说，路径复合收敛o^1nn→∞----→ wo在所有Skorokhod的度量空间上，都违反了φ，在推论3.25之后，我们展示了如何通过参数表示来理解极限引入（φ-1n，w），构成价格过程路径的自然高维表示。通过定理3.26，我们展示了序列{wo^1n}n∈Ncan可开发瞬时但有限的偏移，如n→ ∞, 以及该序列如何收敛到紧致区间值极限woД，与w密切相关oν，关于图之间的Hausdorff距离，一般为R+×R（w，Д）∈ C×Φ这些区间值限值wo是为每个t定义的∈ R+by（woД）（t）：=w（x）：x∈ [^1（t-), ^1（t）]（1.14）式中，通常-) := lims公司↑tД（s）。顺便说一句，这些极限与等式0.4中的指数化NIG过程的区间值推广路径完全相同，因此为回答和推广序言中与赫斯顿和NIG价格过程以及依赖于这些过程的衍生品相关的问题提供了理论基础。第4章：路径波动率建模框架。至此，所有路径理论都已到位，可以建立一个概率波动率建模框架，该框架可以用表达式Xt=Yt、Xt和St=exp进行总结WρXt-Xt公司在方程1.5中，其中Y={Yt，x}（t，x）∈R+是集合G中的随机字段a.s.返回函数 C（R+，R）。为此，我们首先在第4.1节中明确了随机IVP x=Yt，x，x=0和解决方案的含义。

这是确定性IVPfrom问题1.4的自然推广，与Strand（1970）中的“SP”（样本路径）公式一致。这一一般表述对比了宋楚瑜（1973）和韩克洛登（2017）的应用文本的重点，因为这些文本依赖于利普希茨条件来获得良好的性能。这种依赖性通常会降低x=h（Zt，x）型随机常微分方程的一般性，其中h是固定的，且在空间上是Lipschitz。这显然对一般的波动率建模限制太大，因为即使在方程1.4的赫斯顿情况下，我们也有x=h（t，Zx），其中h（t，Z·）继承了-  布朗运动的H"older正则性。在陈述了问题4.3中我们关注的随机IVP之后，我们巩固了前两章适用于解决方案X={Xt}t的路径结果的结果∈R+。例如，推论4.5表明，路径a.s.在Φ中的任何过程X都可以构造为问题4.3的唯一解，这意味着我们在理论上能够对St=exp类型的任何1引入价格过程建模WρXt-Xt公司. 但根据推论4.6，我们从可加分离类型Yt的随机场开始，x=θ（t）- zxf用于volatilitymodelling，其解集仍然包含所有X∈ Φ带a.s.lim输入→∞Xt<∞.作为旁白，通过以下语句：∈ Φ我们总是指a.s.意义上的，即在空间上(Ohm, F、 P）我们有P[X∈ Φ]：=P[ω∈ Ohm : X（ω）∈ Φ] = 1. 当我们开始在Y旁边施加进一步的a.s.条件时∈ G、 请注意，如果{Ohmn} 是的可数子集Ohm 如果是完全P-测度，则交点也是Ohm*:= ∩nOhmn、 自咨询Billingsley（1995）以来，P[∩nOhmn] =1- P[(∩nOhmn） c]=1- P[∪nOhmcn]≥ 1.-XnP公司[Ohmcn]=1。

（1.15）在本章中，始终可以明确定义此类相交集Ohm*我们的分析和结果对每个结果ω都适用∈ Ohm*. 这正好是一个路径框架，其中所有模型都具有无概率意义。最后，至此，我们已经准备好完全指定由表达式St=exp总结的价格流程框架WρXt-Xt公司, 定义4.7。在此之后，我们可以调用进程√X S的波动性，尽管累积方差过程X具有普遍性，但这一点当然得到了很好的定义∈ Φ和它与（W，W）的任意关系。接下来的两节重点介绍定义4.7中非常通用的子框架，该子框架展示了某些理想的特性，然后第4.4节在这些子框架的交叉处介绍了一个特定的模型。图2中的维恩图描述了这种情况。第4.1节：一般波动率建模框架第4.2节：广义Heston子框架第4.3节：鞅子框架第4.4节：Riemann-Liouville-Heston模型图2：显示第4.1章引言中定义的框架和模型的维恩图更具体地说，第4.2节在定义4.10中定义了广义Heston子框架。在这个子框架中，价格S及其累积方差X的模型验证了方程X t=σZXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=expWρXt-Xt公司, （1.16）其中σ，κ，v>0，ρ∈ [-1，1]可以像通常的Heston参数一样进行解释，θ是C（R+，R+）中的任意双射路径，Z={Zx}x∈路径在C（R+，R）中的进程。很明显，当θ（t）=θt且Z=W时，这与方程1.4中的经典Heston情况相吻合，但与方程1.1中的Heston It^oSDEs不同，这些模型对于任何Z a.s都能很好地定义R+。验证supx∈R+κx-σZx=∞. 该a.s.条件同时确保方程1.16中的隐式随机场为a.s。

在G中，与方程1.10中的过程类似，支配X的cádláG过程X存在于整个R+。定理4.16和定理4.17在本节末尾展示了直接来自随机领域的支配过程X的力量。这些结果提供了Z确保矩母函数（MGF）MX（p，t）：=E【epXt】存在的条件，这对于在第4.3节中建立S的鞅性很重要。第二个结果集中于具有次线性方差增长的高斯过程，如分数布朗运动，这是由于Gatheral et al.（2018）和Bayer et al.（2016）在波动率建模中越来越突出，我们将在第4.4节中使用。在第4.3节中，重点是一个子框架，其中所有价格过程都是鞅。主要借鉴Cont&Tankov（2003）和Guyon&Henry Labordère（2013），讨论了鞅对衍生品定价的重要性，并重点强调了实用性。到目前为止，对随机场Y和布朗运动（W，W）之间的关系没有任何限制，除了两者都是随机元素(Ohm, F、 P），因此通过St=exp对X和Wρ定义S没有限制WρXt-Xt公司.以定理4.26为顶点，我们现在展示了Y应该如何适应自然过滤{Fx}x∈由（W，W）生成的R+，以确保定义4.25框架中的价格S是Gt：=过滤空间上的FXt鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P）。与迄今为止介绍的模型一致，在这个鞅框架中忽略了随机利率的现实。理论上，这相当于假设利率为零，因此通常的银行账户数字B={Bt}t∈R+不变1简介BT=B：=1，价格过程S与其折扣对应物B一致-1秒。

参见Brigo&Mercurio（2006）和Andersen&Piterberg（2010），了解数字和折扣的背景。在未来，可以很容易地引入与Wρ和x无关的随机利率。否则，将利率的波动性与价格过程联系起来将是和谐的，例如，采用利率rX={rXt}t∈R+适应{Gt}t∈R+AND银行账户编号Bt：=exp（RtrXsds），因此价格过程St=Btexp（WρXt-Xt）。回到方程式1.3总结的与Doeblin\'swork相关的一些动机，我们顺便澄清一下，在这个鞅子框架中，随机IVP解x定义了布朗运动Wρ的常规时间变化，定义为4.21，与Revuz&Yor（1999）一致。因此，我们的总体定义√Xof波动率与It^o的演算中最传统的波动率一致，取决于二次变化[·]。具体而言，我们可以确认[对数S]=X a.S.成立。在这一点上，所有的概率理论都已经到位，从业者可以在我们的框架内开始定义模型，从早期的路径分析中我们知道，与其他模型相比，该模型非常普遍和稳定。第4.4节定义了“RiemannLiouville-Heston”（RLH）模型，该模型展示了广义Heston子框架和鞅子框架，因为它位于这些子框架的交叉点，如图2所示。该模型背后的思想非常简单，可以通过调整方程1.3 toXt=σWαXt+κ（θt）来总结- Xt）+v，St=expWρXt-Xt公司, （1.17）其中，我们简单地将布朗运动ww替换为其Riemann-Liouville分数阶导数Wα：=某阶α的Dα（W）∈ （0，），因此，在α=0的边界情况下，恢复了经典的Heston模型。

在我们的框架中，这种布朗运动的替代是可能的，不需要任何额外的适定性分析，这一事实不应该被认为是理所当然的，这让人想起了Friz&Victoir（2010）和Friz&Haier（2014）的介绍中给出的粗糙路径理论背后的一些动机。与Wα一样，方差过程Xbecomes H"older regular的阶数为（0，-α） ，很清楚如何在RLH模型中选择分数阶导数α来重现波动率可以表现出比布朗运动低得多的H"older规律的证据。1简介该模型在定义4.31中有详细说明，但在此之前，根据Hardy&Littlewood（1932）至Hamadouche（2000）的理论，提供了RiemannLiouville分数导数的背景。该理论对于建立衍生品定价模拟方案的收敛性非常重要，这是第4.5节的重点。该方案用于生成第4.5节末尾的隐含波动率，与经典Heston模型的波动率进行对比，展示了期望的特征，如倾斜的幂律缩放（在序言中讨论）和曲率，由领先的粗糙波动率模型显示。附录中提供了此模拟方案的独立和简化python代码，种子输出如图22所示。最终目标是使用RLH模型来说明第3章的路径限制结果，并将其专门化为经典的赫斯顿模型，以便准确回答序言中的激励问题。

第4.6节中最引人注目的发现如下。首先，设Sn为定理0.1中的经典Heston过程，定义Xt为方程0.3和方程0.4中的IG过程，并定义cádlág和区间值过程ot： =经验值p1级- ρWXt+2ρ- σ2σXt-ρθσt,Sot：=经验值Wρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]. （1.18）然后So是定理0.1中的exp-NIG过程，而So是方程1.14中区间值路径woД的随机对应物。包含Sot型∈ Sot=：[S-t、 在引理4.56之后，S+t]变得清晰起来，它澄清了反直觉的表述ot=exp（WρXt-Xt），其中Sot={Sot} 几乎到处都有（a.e.）跟着，意思是S-t=Sot=S+t。然后，尽管我们证明了定理0.1中的收敛性可以推广到sn到S的有限维分布的收敛性o或者点式收敛，即在a.e.路径上，Snin R+×R的图实际上弱收敛于So的图，关于推论4.58中的Hausdorff距离。因此，SN开发了紧凑的空间偏移，大小为S+t- SoTuwards和Sot型- S-tdownwards，它几乎不存在，但在时间上却很密集，就像X的不连续性。图15非常有助于可视化（和验证）这种特殊的Hausdorff收敛。1引言第5章：结论。

虽然我们并没有着手探索第4章的波动率建模框架，而是在考虑第4.6节最终回答的问题时，这些框架在过去几年中逐渐显露出来，但到目前为止，我们已经从问题1.4财务角度为我们的空间不规则IVP的价值提出了一个令人信服的案例。但事实上，很明显，这些在理论上有利于任何动态系统的建模，因为双射解（我们在上下文中标记为累积方差路径）本质上是对时间本身的建模，而时间本身是所有动态系统的核心定义。与其他领域不同的是，时间建模本身在金融领域是一个非常自然的概念，许多作者都利用了这一概念，主要是通过从属的莱维过程，如巴恩多夫·尼尔森和谢泼德（2001a）、杰曼、马丹和约尔（2001）和卡尔·吴（2004）等。这是因为我们旨在建模的价格基本上是通过参数观察的，贸易的时间和空间成分都是由确定性贸易识别者捕获的另一个时间概念索引的，两者都是广义的。对于其他领域的应用，我们的IVP的一般时间不可逆性，如第3章所述，与未来和过去之间的明显不对称性特别一致，这与熵的严格增加和热力学第二定律有关。当然，我们将这些令人兴奋的一般考虑因素留给了未来，在第五章中，我们将重点讨论本论文可能提出的未来金融研究的几个更具体的想法。这包括此处处理的ODE的理论“Carathéodory”扩展，以及方程1.18中令人惊讶的区间值极限（如So）的实际含义。结语：综合CIR-Lévy关系。

正如前面所讨论的，结语完全从It^oSDEs的角度巩固和概括了我们所认为的赫斯顿和尼格关系的起源。虽然我们的证明当然需要随机IVP，但这纯粹是从这个更容易理解的角度提出的。为此，我们首先根据DVNT=nαapVntdWt+n（b），对Heston的CIR SDE进行了彻底的参数化- nβ-1Vnt）dt，Vn=nγc.（1.19）指数α，β，γ∈ (-∞, 1] 然后控制每个术语的缩放方式为n→ ∞ 与复归术语nb相比，提供了与Heston（1993）、Fouque et al.（2011）和Mechkov（2015）的1个引入制度相一致的特定选择。根据这些指数的选择，表1确定了综合CIR过程中可能出现的八种Lévy过程。其中两个是退化的，但也有两个出现在随机起点上。因此，本论文不仅通过随机IVP的新应用适应了波动率的连续、粗糙和跳跃模型，而且在此我们还研究了Mechkov（2016）和Jacquier&Shi（2019）研究的模型。2空间不规则odes的适定性2空间不规则odes的适定性本章的主要结果涉及一阶一维IVPs x=f（t，x），x（τ）=ξ，其中f属于子集f 第1章的C（R，R），为了方便起见，在这里重复。定义1.1（函数集F）。让子集F C（R，R）包含f（·，x）每x严格递增的函数f∈ R、 对于某些（τ，ξ），f（τ，ξ）>0∈ R、 本章的重点是这些IVP的适配性，这对我们来说意味着解决与解决方案的存在性和唯一性、连续依赖性和模拟相关的问题。

继Lipschitz（1876）和广泛的基于空间正则性的唯一性理论之后，如在Agarwal&Lakshmikantham（1993）中大量收集的，尚未考虑此类IVP最大解的适定性，即问题1.2的适定性。尽管ODE隐含地依赖于Wolfgang Doeblin在1940年对差异的处理中出现的函数inF（以“时间变化”的形式呈现，如方程式1.3所示），如第1章所述，并在Bru&Yor（2002）中广泛讨论。由F中的函数驱动的ivp的局部唯一性理论确实存在，并且F（·，x）可以松弛为非递减偶。这一研究路线可以认为起源于Peano（1890）的一个简单的唯一性结果，但本质上终止于Wend（1969）。第2.4节详细介绍了这一点。这篇终端文章最相关的结果在Agarwal&Lakshmikantham（1993）的定理2.6.1中给出，但在经典Hartman（2002）等主流文本中被省略。实际问题正是这个局部性，它减少了考虑的时间间隔[τ，T]，直到我们知道f（T，ν（T））>0适用于局部解∈ C（[τ，T），R）。有鉴于此，唯一性证明变得简单明了，并得到了Cid和Pouso（2009）的一般工作的支持。第1章讨论了这种局部约束的不切实际性，以及方程1.1中Heston模型的IVPderiving，这在波动率建模中很重要。考虑到方程1.6，fixσ，κ，θ，v>0和w∈ C（R，R），然后定义f∈ F使用F（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v。

（2.1）2空间不规则odes的适定性∈ C（R，R），现有理论提供了IVP x=f（t，x）的局部解的唯一性，x（0）=0在某个区间[0，T]上，当w在布朗运动的维纳测度下绘制时，仍然可能（实际上很可能，在波动率建模中）没有固定区间可以几乎肯定地应用该理论。因此，没有固定区间[0，T），即使在方程2.1中相对简单的赫斯顿示例中，也可以使用现有的ODE理论定义一致波动率模型。这说明了Wend（1969）和Cid&Pouso（2009）等局部结果的缺点对于概率应用，有助于解释为什么这些不在主流理论中。考虑到这一点，这里的新结果包括如下定理2.17的直接结果，对于某些t>τ，这并不禁止发现Д（t）=f（t，Д（t））=0。推论2.1（最大唯一性）。提供f∈ F和F（τ，ξ）>0，IVP x=F（t，x），x（τ）=ξ有唯一的最大解。也就是说，问题1.2有一个独特的解决方案。回顾第一章，此类IVP的解决方案Д将建模价格过程的累积方差路径，以及相应的波动性√φ. 所以我们对初始值（τ，ξ）不感兴趣∈ RwhereД（τ）=f（τ，ξ）<0。如上文推论2.1所述，本章进一步假设f（τ，ξ）>0，因为处理f（τ，ξ）=0的情况很微妙。这种处理方法一直保留到第3.1节，在第3.1节中，我们更仔细地研究了此类IVP的解决方案集，并确认这适应了所有严格增加和可区分的路径。这对于波动路径的后果√^1都很富有。

例如，虽然很明显，在间隔时间内，Д不能为零，但Royden&Fitzpatrick（2010）使用病理学示例表明，在任意接近全Lebesgue测度的一组点上，Д仍然可以为零。我们很快将在第2.1节中提供一类与本论文整体相关的“可加分离”IVP示例，但目前我们展示了方程式2.1中熟悉的赫斯顿案例的一个具体示例，以建立F中不同函数的直觉。在方程式2.1中，我们可以自由确定任何w∈ C（R，R），因此可以选择卡尔·韦尔斯特劳斯的病理功能，哈代（1916）对其进行了研究，其霍尔德正则性在齐格蒙德（2003）建立。这允许傅里叶级数表示w（x）：=Xk∈不适用-αksin（2akπx）。（2.2）2任意α空间不规则常微分方程的适定性∈ （0，1），通过Weierstrass M检验，如果a是大于5的奇数整数，则该级数收敛，并且路径w不可微，但α-H"older连续。图3以及方程式2.1中的相应函数f显示了这一点。右面板中的蓝色箭头与后面的相关图一样，提供了向量（1，f（t，x））的方向，ODE解必然与向量相切。请注意，f（t，x）=1的点如何在x轴上形成图形，这与w.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x32101230.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xf（t，x）=1图3：左面板显示了方程式2.2中的Weierstrass路径w，其中a=7，α=0.25。右面板展示了等式2.1中相应的赫斯顿函数f（蓝色箭头），其中σ=0.25，κ=2，v=θ=1。还显示了f（t，x）=f（0，0）=1的路径。一旦这种高度不规则IVP的唯一性到位，更广泛建模框架的实际相关属性就会到位。

例如，定义截断函数wn（x）：=nXk=0a-αksin（2akπx），fn（t，x）：=σwn（x）+κ（θt- x） +v，（2.3）对于n∈ N、 与w或f不同，它可以准确地存储在计算机内存中。然后，定理2.18的连续相依性结果确定，IVPsx=fn（t，x），x（0）=0的解，将收敛到IVP x=f（t，x），x（0）=02的唯一解，对于均匀分布在紧致上的空间不规则常微分方程，其适定性为n→ ∞, 定理2.20的模拟收敛结果同样证明了计算友好的前向Euler多边形的收敛性。现在，本章的结构如下。第2.1节精确定义了本章中所处理的空间不规则IVP的类别，并提供了Fθ的示例子集 F包含迄今为止提及的所有赫斯顿相关函数的函数。第2.2节后退一步，分析任何函数f的零点∈ F、 尽管与IVP没有直接关系，但这一点不容忽视，对随后的许多结果都很重要。第2.3节讨论了IVP解的最大存在性，但也确定了解的一些基本性质，例如它们是严格递增的，对于波动率建模非常重要。第2.4节、第2.5节和第2.6节分别重点讨论了最大解的唯一性、连续依赖性和模拟。2.1主要问题和示例本节的计划是首先重申第1章中讨论的IVP类别，即集合F C（R，R）函数，本章中的主要结果将适用于这些函数，然后提供简单的子集Fθ F适用于迄今为止提到的VP的示例，例如：。

方程2.1中赫斯顿案例得出的结果。回想一下，本章适用的是问题1.2，为方便起见，在此重复。问题1.2（第2章的IVPs）。对于f∈ F和（τ，ξ）∈ rw其中f（τ，ξ）>0，找到最大解ν∈ C（[τ，T*), R） IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ。根据定义，这意味着对于每一个t∈ [τ，T*), Д（τ）=ξ，也包括T*∨支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞.一些次要的观点是正确的。首先，通过问题1.2的陈述，很明显，我们只寻求在某些集合[τ，T]上定义的解决方案*), i、 e.在时间上从初始条件（τ，ξ）向前延伸。如第1章所述，第3章将考虑向后延伸的“历史”。因此，我们应该将И（τ）解释为右导数。回想一下，我们是否应该在集合C（[τ，T*), R） 对于一些T*∈ (τ, ∞], 那么只有条件T*∨ 支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞ 这将其区分为最大解决方案。该条件意味着Д必须延伸至R的边界，即尽可能远。2空间不规则常微分方程的适定性，对于ν是这样一个解，从而验证了在[τ，t]上的ν（t）=f（t，ν（t））*) 和Д（τ）=ξ，相当于验证积分方程Д（t）=ξ+Rtτf（s，Д（s））ds。尽管这需要证明，但这可以在任何颂歌文本中找到，例如Coddington&Levinson（1955）的第2页。最后，如本论文标题所示，我们将问题1.2中的IVP称为“空间不规则”，因为我们没有对F中函数的空间分量施加规则性条件，如Lipschitz或H"older连续性。“时间严格增加和空间不规则”当然提供了更完整的描述。但是，粗略地说，尽管ourIVPs在时间变量上严格增加，这使得它们有助于volatilitymodelling，即。

确保波动性√如果给出一个解决方案，则很好地定义了^1，正是这些IVP的空间不规则性决定了通过IVP的解决方案集的帮助程度，并将生成的建模框架与相对受限的其他框架区分开来。例如，由于这种不规则性，解集变得如此之大，以至于与依赖于它的传统框架不同，可以容纳现实中观察到的高度不规则的波动路径，具有非常低的、时变的，甚至没有明显的霍尔德规则性。参见Bennedsen、Lunde和Pakkanen（2016），了解此类波动路径的大量经验证据，以及最近对“超”或“超”粗波动模型的研究，如Jusselin和Rosenbaum（2020）和Bayer、Harang和Pigato（2020）。鉴于我们对波动率建模的关注，我们强调“空间不规则”描述。我们现在来看问题1.2的一些例子，其中F中的函数允许加法可分表示F（t，x）=θ（t）- w（x）对于某些θ，w∈ C（R，R）。这些例子可能首先与Kaper&Kwong（1988）的工作有关，作者认为类似的可分离函数。但这些假设实际上是非常不同的，例如，除了在IVP起点，w被假设为单调和可区分的。示例2.2（子集Fθ F） 。让路径θ∈ C（R，R）严格递增且双射，因此限制→±∞θ（t）=±∞, 然后让集合Fθ包含表示为F（t，x）：=θ（t）的函数- w（x）（2.4）对于某些w∈ w（0）<0且supx的C（R，R）∈R+w（x）=∞. 对于任何此类θ，包括Fθ F 然后，使用定义1.1，C（R，R）就非常清楚了，因为对于空间上不规则的常微分方程，每个f（·，x）都是严格的2适定性。

此外，如果保证f（0，0）>0，那么对于任何f∈ FθIVPx=F（t，x），x（0）=0提供了问题1.2的示例，特别是（τ，ξ）=（0，0）。与以下各项相关的假设∞ 在示例2.2中，现在可以忽略，但以后会非常有用。我们将具体使用假设supx∈R+w（x）=∞ （例如，几乎可以肯定的是，布朗运动路径满足了这一要求）以确保IVPsx=f（t，x），x（0）=0的最大解始终是全局的，例如，在所有R+上保持不变。等式2.4中使用的不必要减号稍后也将在示例2.5中进行调整。让Θ包含示例2.2中的函数θ，然后看看我们没有setequivalence∪θ∈ΘFθ=F我们可以考虑F（t，x）=θ（t）型函数-w（x）），其中θ1,2∈ Θ，并且也是乘法类型f（t，x）=θ（t）w（x），前提是w是严格正的。我们不会在我们的应用中探索这些函数，因为我们没有理由相信它们比Fθ中的函数更有助于波动率建模。注意，方程2.1中的Heston函数位于Fθ中，其中θ（t）：=κθt，前提是supx∈R+κx-σw（x）=∞.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xf（t，x）=1Д（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00图4：左面板重复图3中的右面板，但包括VP x=f（t，x），x（0）=0的解。右侧显示了相应的“粗略”波动路径√φ.在图4中，我们说明了IVP x=f（t，x），x（0）=0的解决方案，其中f∈ Fθ，使用图3右面板中的Heston函数，soθ（t）：=κθt。图4中还显示了空间不规则ODE2的适定性对应的波动路径√^1，它显然继承了图3左面板中的DRIVING Weierstrass函数的属性。

当然，必须使用模拟方案来近似Д和Д，我们使用定义2.19.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xf（t，x）=1Д（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00图5：图4的复制，但使用方程式2.3中n=1的截断可微分路径Wn，而不是α-H"older Weierstrass极限为n→ ∞.现在我们来考虑函数f的零点∈ F、 如图4所示，即R中F（t，x）=0的点与F（t，x）=1的点相关。注意f∈ Fθ，这些零验证了简单的方程式θ（t）=w（x），证明了方程式2.4中的负符号。所以这些零也验证了t=θ-1（w（x）），给定∈ C（R，R）是双射的。2.2 f驱动功能的零点∈ F、 理解rw中F（t，x）=0的点结果是非常有成效的。例如，本章中建立的IVP解的一些基本性质、第3章的极限定理和第4章中的鞅性结果都依赖于引理2.4中定义的cádlág路径，与方程1.9中前面定义的路径相关。由于每个f（·，x）严格递增，这些零点可以用空间不规则ODEspathφ的单2适定性来表征，如引理2.3所述。然而，因为也可能没有点t∈ 其中，对于给定的x，f（t，x）=0∈ R、 我们选择将φ的图像扩展到R之外。所以让R：=R∪{±∞} 表示扩展实线，和[x，∞] := [x，∞) ∪∞ x等∈ R、 我们为R（和子区间）配备了标准拓扑（或“两点紧定”），这是同胚的，例如，在[-1, 1]. 这可以由度量d（a，b）得出：=| tanh（b）- tanh（a）|在R上，tanh（±）∞) := ±1，例如。Aliprantis（1998）可查阅更多详情。

现在用C（R，R）和d（R，R）表示给定这些拓扑的路径集，这些路径集分别是连续的和Cαdlαg。采用惯例sup := -∞ 和inf := ∞. 这使得φ的定义更加紧凑∈ 引理2.3中的C（R，R），尽管检查它是否等于φ（x）是有用的：=-∞ f（t，x）>0t型+∞ f（t，x）<0tt∈ 否则f（t，x）=0。（2.5）下一个结果引理2.3与隐函数定理有关，如Rudin（1976）的Orem 9.28中所述，尽管我们不假设f的可微性。我们的证明依赖于序列的Bolzano-Weierstrass定理（R中的有界序列具有收敛子序列），这在Bartle&Sherbert（2018）中作为定理3.4.8给出。引理2.3（零路径）。对于f∈FC（R，R），定义函数φ=φf:R→ R乘以φ（x）：=sup{t∈ R:f（t，x）<0}。（2.6）那么φ是C（R，R）中定义良好的路径，每当φ（x）时，验证f（φ（x），x）=0∈ R、 证明。很明显，使用方程式2.6，φ：R→ R是一个定义良好的函数，方程式2.5中的三种情况仅遵循sup := -∞, 辅助R=∞以及每个严格递增f（·，x）的连续性。无论何时φ（x）∈ R、 然后我们在方程2.5中的第三种情况下，很明显f（φ（x），x）=0，为了建立证明，只剩下证明这个函数φ在C（R，R）中。这里的证明使用了序列的极限。所以让{xn}n∈N R是带xnn的序列→∞----→ xin R，但是，对于一个矛盾，假设φ（xn）n→∞----→ φ（x）在R中被破坏。这个散度提供了一个开放球B 围绕φ（x）的空间不规则常微分方程的R2适定性，使得在R\\B中有很多φ（xn）。通过考虑{xn}n的子序列∈如有必要，我们可以选择w.l.o.g。

假设φ（xn）∈ R\\B每n∈ N、 因为R上的拓扑与R上的欧几里德拓扑同胚[-1，1]，Bolzanovierstrass定理提供了一个子序列{xnk}k∈再验证φ（xnk）k→∞----→ t型∈ R、 重要的是，t6=φ（x）源自确保φ（xn）∈ R\\B每n，相对φ（x）∈ B、 再次重新定义{xn}n∈如有必要，我们可以假设w.l.o.g.φ（xn）n→∞----→ t6=φ（x）保持不变。现在假设t<φ（x），并且fix任意t*∈ （t，φ（x）） R、 使用公式2.5，如果φ（x）=∞, 那么我们有f（t*, x） 定义<0，如果φ（x）<∞, 然后f（t*, x） <f（φ（x），x）=0从严格增加的f（·，x）得出。Sof（t*, x） 确保<0。自φ（xn）n起→∞----→ t<t*, 我们可以假设w.l.o.g.φ（xn）<t*对于每个n，如前所述，如果φ（xn）=-∞, 然后f（t*, xn）>0，如果φ（xn）>-∞, 则0=f（φ（xn），xn）<f（t*, xn）从严格递增的每个f（·，xn）开始。So f（t*, xn）>0是每个n的保证。f的连续性现在提供了矛盾0<f（t*, xn）n→∞----→ f（t*, x） <0。（2.7）t>φ（x）的分析实际上是相同的，这些不等式是相反的。由于这些矛盾，收敛φ（xn）n→∞----→ t： =R中的φ（x）必须保持不变。所以，对于任意序列{xn}n∈N、 收敛性xnn→∞----→ xin R表示φ（xn）n→∞----→ R中的φ（x）。这相当于φ的未决索赔∈ C（R，R），因此证明是完整的。路径φ∈ C（R，R）清楚地刻画了f的零点，以及整个集合{φa}a∈Rof路径的定义类似，其中f（φa（x），x）=a。图4中的红线，其中f（t，x）=1thus与φ（x）重合。通过一些工作，使用微分不等式，每个这样的路径φa∈ C（R，R）可用于构造对应IVPx=f（t，x），x（τ）=ξ的任何解的界。

我们将只关注φ=φ，它具体导致引理2.4中正确定义的路径，该路径稍后作为引理2.6中的解边界建立。对于φ∈ C（R，R）和（τ，ξ）∈ R、 下一个结果引理2.4使用了“退出时间”符号E（φ）=Eτ，ξ（φ），这是指在[τ，∞), 带inf := ∞, 通过（φ）（t）：=inf{x>ξ：φ（x）>t}。（2.8）2空间不规则ODE的适定性在定义3.9中适当规定了退出时间函数E，但这些细节现在过于详细。然而，注意方程2.8中定义的函数E（φ）的一些性质非常有用，Whitt（2002）第13.6节对此进行了广泛分析。为此，允许φ为D（R，R）中的任何路径，以验证supx∈[ξ,∞)φ（x）=∞. 那么很明显E（φ）（τ）≥ ξ、 实际上是E（φ）（t）∈ [ξ, ∞) 对于每个t∈ [τ, ∞), 鉴于此，SUPX∈[ξ,∞)φ（x）=∞. 同样清楚的是，E（φ）是非递减的。不太清楚的是，E（φ）是dl，因此定义了D（[τ，∞), [ξ, ∞)). 为此，请注意，anyt存在左极限*∈ [τ, ∞) 自，超过[τ，t*), E（φ）单调且有界于[ξ，E（φ）（t*)]. 右极限也是如此。右连续性最好通过矛盾来观察：任意x*:= E（φ）（t*),然后，由于在方程式2.8中使用了“φ（x）>t”（与“φ（x）”相反）≥ t\'），不等式supx∈[x*,x个*+)φ（x）>φ（x*) 适用于每个 > 如果假设存在右不连续，则命名为点t*∈ [τ, ∞) 其中x+*:= 限制↓t型*E（φ）（t）>E（φ）（t*) =: x个*, 然后supx∈[x*,x个*+)φ（x）>φ（x*) 违反了 ∈ （0，x+*-x个*). 最后，有两种情况可以使（φ）在一个区间内不增加：要么φ（ξ）>τ，然后区间是[τ，φ（ξ）），要么给定一个向上的不连续limx↑x个*φ（x）=：φ（x-*) < φ（x*), 那么间隔是[φ（x-*), φ（x*)).假设φ（ξ）≤ τ和φ∈ 因此，C（R，R）排除了此类间隔，使得E（φ）严格增加。

Whitt（1971）也获得了相关函数E的连续映射性质，并在Puhalskii&Whitt（1997）中得到了利用。在接下来的内容中，将对这些观察结果进行微小的扩展，特别是为了适应这里的两个主要差异，在引理2.3之后，其中φ在C（R，R）中，而不是在C（R，R）中，并且其中supx∈[ξ,∞)φ（x）<∞ 是可能的，而不是supx∈[ξ,∞)φ（x）=∞.引理2.4（Cádlág零）。采用引理2.3的假设。然后对于任何初始值（τ，ξ）∈ rw其中f（τ，ξ）≥ 0，定义函数Д=Дf，τ，ξ：[τ，∞) → [ξ, ∞] byД（t）：=inf{x>ξ：f（t，x）<0}。（2.9）则Д是D中明确的增长路径（[τ，∞), [ξ, ∞]), 验证Д=E（φ）=Eτ，ξ（φ）。此外，如果Д（T）<∞, 然后ν严格递增，验证f（t，ν（t））=0除以[τ，t]。证据使用公式2.9，对于t*∈ [τ, ∞), 任意Д（t*) = inf公司 := ∞ 或者，通过持续的φ（t*) 是最小值x*∈ [ξ, ∞) 其中f（t*, x） <0表示部分（x）中的所有x*, x个*+). 空间不规则常微分方程的这2个适定性表明：Д：[τ，∞) → [ξ, ∞] 是一个定义良好的函数。如果该最小值x*= ^1（t*) <∞ 确实存在，那么f（t*, x）≥ 0表示x in[ξ，x*], 而f（t*, x） <0表示x∈ （十）*, x个*+ ),所以f的连续性也保证了f（t*, x个*) = f（t*, ^1（t*)) = 因为引理2.3中的φ表示f的零点，当φ（x）时，f（φ（x），x）=0∈ R、 然后t*= φ（x*) ∈ R、 现在将建立等价物Д=E（φ），意味着Д（t）=inf{x>ξ：φ（x）>t}=：E（φ）（t）over[τ，∞). 首先假设x*= ^1（t*) < ∞. 如果φ（x）<∞ 对于x∈ （十）*, x个*+ ),然后是排序f（t*, x） <0=f（φ（x），x）保持，t*= φ（x*) < φ（x）则从f（·，x）开始严格递增。

但很明显φ（x*) < 如果φ（x）=∞.现在假设x*∈ [ξ, ∞) 不是φ（x）>φ（x）的最小值*) 对于某些（x）中的x*, x个*+), so不等于E（φ）（t*), 与x相矛盾*= ^1（t*) 是[ξ]中的最小值，∞)其中f（t*, x） <0表示x∈ （十）*, x个*+ ), 再次使用f（·，x）是严格递增的。这就建立了等价物Д（t*) = E（φ）（t*) 对于t*∈ [τ, ∞) 当^1（t*) < ∞. 如果改为Д（t*) = ∞, so f（t*, x）≥ x为0∈ [ξ, ∞), 然后φ（x）≤ t型*保持相同的间隔[ξ，∞),和E（φ）（t*) = ∞. 这说明了Д=E（φ）是否∞ 是否达到。剩下来的就是证明Д=E（φ）在D中（[τ，∞), [ξ, ∞]) 并且正在增加或严格增加。方程式2.8的讨论表明，E（φ）严格增加，D（[τ，∞), [ξ, ∞)) 当φ∈ C（R，R），φ（ξ）≤ τ和supx∈[ξ,∞)φ（x）=∞.在我们的例子中，φ（ξ）≤ 如果φ（ξ）=-∞, 否则由f（φ（ξ），ξ）=0确定≤ f（τ，ξ）和f（·，ξ）严格递增。φ的结果∈ C（R，R）C（R，R）就是点x*∈ (ξ, ∞) 可能存在于limx↑x个*φ（x）=∞. 但是假设*作为这一点的最低点，那么E（φ）显然只存在于D（[τ，∞), [ξ，x*)). 同样，有supx的影响∈[ξ,∞)φ（x）=t*< ∞ 就是E（φ）（t）=∞ 对于所有t∈ [t*, ∞),使用inf := ∞, 也就是说E（φ）出现在D（[τ，∞), [ξ, ∞]). 在所有情况下，Д=E（φ）保持在D（[τ，∞), [ξ, ∞]), 严格地增加了[τ，T] [τ, ∞) 提供Д（T）<∞, 并且在任何T上都是常数，∞)  [τ, ∞) 如果Д（T）=∞, 因此，证明是完整的。显示引理2.3中的零路径φ在C（R，R）中可能看起来非常复杂，但这条路线似乎是建立路径ДinLemma 2.4属性的最清晰路线，这一点并不明显，但至关重要。

例如，如果空间不规则常微分方程的φ2适定性仅连续到R较弱的“一点紧定”，那么例如，可以在-∞ 和∞, 则不能保证结果路径Д严格递增。对于我们的波动率建模应用程序，可以假设∈ F C（R，R）是这样的，每个f（·，x）定义了从和到R的严格递增的双射，就像方程2.1中的赫斯顿情况和子集fθ中的所有函数一样 F来自示例2.2。在这种情况下，很容易证明方程2.6中的零路径φ在C（R，R）中。尽管很容易做出这种双射性假设，但仍然需要扩展实R来理解引理2.4中更重要的cádlág路径，除非Д（t）<∞ 可确保超过[τ，∞) 通过进一步的限制。所以至少在这一章中，我们停留在一般的环境中，其中f只属于f，所以φ∈ C（R，R）。以下示例说明了这两条路径的形式，φ∈ C（R，R）和Д∈ D（R+，R+），当f在子集fθ中时 F，当（τ，ξ）=（0，0）时。为方便起见，让子集Θ，W C（R，R）分别包含示例2.2中的路径θ和w。示例2.5（子集Fθ F） 。调用函数f∈ Fθ接受代表F（t，x）：=θ（t）- w（x），（2.10），其中（θ，w）∈ 利用方程2.6，引理2.3的路径φ由φ（x）：=sup{t给出∈ R:f（t，x）<0}=sup{t∈ R：θ（t）<w（x）}=θ-1（w（x）），（2.11），其中最终表示φ=θ-1.o w根据我们的假设得出θ∈ Θ是双射的。因此，路径φ可以在C（R，R）中找到，即我们从未找到φ（x）=±∞, 对于所有x，havef（φ（x），x）=0∈ R、 现在从方程2.9中，相应的路径由以下公式给出：=inf{x>0：f（t，x）<0}=inf{x>0：w（x）>θ（t）}。（2.12）鉴于w∈ W确保supx∈R+w（x）=∞, 然后，我们发现ν（t）<∞ 超过R+。

将其与引理2.4相结合，则在D（R+，R+）中定义了一条严格递增的路径，其中f（t，ν（t））=0成立，最后我们得到了退出时间关系-1.ow） =E（φ）。在这些例子之后，现在具体地让f采用方程2.1中的赫斯顿形式，sof（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） 空间不规则常微分方程的+v，（2.13）2适定性，发现于Fθ，其中θ（t）：=κθt，提供了supx∈R+κx- σw（x）=∞. 然后我们发现φ（x）：=（κθ）-1（κx- σw（x）- v） ，Д（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt+v}。（2.14）Д的形式与方程式1.9中给出的形式一致，如第1章所述，可以将其视为IG Lévy过程的路径。图6的左面板演示了方程式2.14中的两条路径，应将其与图4的左面板进行比较。为了帮助可视化И（其不连续性在技术上很密集）和引理2.4的关系Д=E（φ），间隔*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]显示在右面板中。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xφ（x）(R)（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xφ（x）(R)*（t） 图6：左面板显示了方程式2.14中的路径φ和φ，其中Weierstrass路径w和参数σ、κ、θ、v与图4中的一致。右侧面板重复左侧，但显示的是^1*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。2.3最大存在性、双射性和边界今后的重点是问题1.2的IVP解，而不仅仅是驱动函数f的性质∈ F、 如前一节所述。具体而言，本节的主要计划如下。首先，在引理2.6中，建立了解的空间边界，如定理2.8所述，这有助于澄清最大解Д是someset C（[τ，T*), [ξ，X*)) 带T*∨ 十、*= ∞. 这是在空间不规则常微分方程问题1.2的2适定性陈述之后讨论的。

引理2.9和引理2.10提供了关于f的简单条件，有助于控制T的值*∈ (τ, ∞] 和X*∈ (ξ, ∞] 分别如此，例如T*= 十、*= ∞ 可以保证。正如定义1.3之前所讨论的，这对于波动率建模是可取的。最后，根据示例2.2，在f示例中给出了这些结果的结果∈ Fθ。解决方案边界。考虑到下一个结果的简单几何后果，如图6所示，很明显，空间解界ξ≤ ^1（t）≤ ν（t）将已建立的解限制为[τ]的子集，∞) × [ξ, ∞) 其中f（t，x）≥ 0，从而得到所需的严格递增解决方案。重要的是要认识到，这并不意味着可以忽略或任意替换f（t，x）<0的区域。相反，这个区域需要从引理2.4中确定重要路径。引理2.6的证明在这里使用了微分不等式，如Lakshmikantham&Leela（1969）中广泛介绍的那样。然而，这里提供了全部细节，因为我们非常规异地使用了与ν相关的cádlág路径上的此类不等式∈ D（[τ，∞), [ξ, ∞]).使用这些路径会使结果看起来更加复杂，并且使用路径φ∈ 引理2.3和中值定理（MVT）中的C（R，R），而不是直接使用Д，看起来非常复杂。这是因为，尽管方程式2.15提供了在某个区间（Д（t），Д（t）中x的f（t，x）<0+), 此类 如果μ的不连续性在[τ，T]中密集，则任何时间间隔的值均为零*). 这是等式2.14的赫斯顿示例中的情况a.s.，因此实际上是相关的，这意味着我们不能使用一组路径（t） ：=Д（t）+ 高于Д，其中f（t，Д（t） ）<0，这将简化问题。引理2.6（空间解边界）。

假设f∈ F和F（τ，ξ）>0，然后用Д（t）定义Д：=inf{x>ξ：F（t，x）<0}，（2.15），其遵循引理2.4。然后，IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的任何最大解，在某个集合C（[τ，t*), R） 和T*∈ (τ, ∞], 满意度ξ≤ ^1（t）≤ ν（t）大于[τ，t*).证据ξ的下界≤ Д（t）很容易确定。因为Д（τ）=f（τ，ξ）>0，那么对于某些（τ，τ+), 因此，ν进入象限（τ，∞) ×(ξ, ∞).第一接触点t*> τ，其中Д（t*) = ξ然后提供Д（t*) ≤ 0，对于空间不规则ODEsapproachξ，给定的Д（t）必须2适定性。但是f（·，ξ）严格地在增加，所以我们遇到了矛盾0≥ ^1（t*) = f（t*, ^1（t*)) = f（t*, ξ） >f（τ，ξ）>0，（2.16），并且必须得出以下结论：对于所有t∈ （τ，T*). 建立Д的上限在概念上是相似的，但由于f（t，Д（t））=0，每当Д（t）<∞,如引理2.4所示，而不是更有用的f（t，ν（t））<0。此外，如前所述，尝试利用价值观 > 0，使得所有x的f（t，x）<0∈ （Д（t），Д（t）+)是徒劳的，因为 值在任何间隔内为零，在该间隔内，φ跳跃。所以我们利用路径φ∈ 引理2.3中零的C（R，R），与φ至φ=E（φ）相关。由于f（τ，ξ）>0，从方程2.15和f的连续性可以清楚地看出，Д（τ）>ξ=Д（τ），因此在该起点处，Д是一个严格的界限。同样，如果t*∈ [τ，T*) 我们发现（t*) = ∞,那么，很明显，严格界限是Д（t）<Д（t）=∞ 同时持有【t】*, T*). 如果t*= τ、 这适用于不切实际的情况（对我们来说），如f（t，x）：=1+t。尽管ν仅为cádlág，但如果发现了一个点，其中ν（t）>Д（t），则为交叉点t*< twhere^1（t*) = ^1（t*) =: x个*保证，给定Д（τ）<Д（τ），且Д严格递增。假设第一个这样的交叉点t*∈ （τ，T*) 存在。

然后给出关系式Д=E（φ），φ∈ C（R，R）和t*是第一个交叉点，存在, δ>0，使得t的参数路径（t，Д（t））为∈ （t*, 对于x，tδ）在时间上严格早于（φ（x），x）的时间∈ （十）*, x个), 式中，tδ：=t*+ δ和Д（tδ）=x:= x个*+ . 为了更清楚地说明，居住“时间严格提前”是指Д（t）=x==> t<φ（x），无论何时（t，x）∈ （t*, tδ）×（x*, x个).给定φ根据引理2.3中的f（φ（x），x）=0表征f的零点，并且everyf（·，x）严格增加，然后将（t，Д（t））定位在比（φ（x），x）更早的时间，为t提供f（t，Д（t））<0∈ （t*, tδ）。然而，MVT提供了一个t点∈ （t*, tδ），其中Д（t）=（x-x个*)/（tδ-t型*) = /δ > 0. 因此，我们在这一点上确定了f（t，ν（t））<0<Д（t），因此，Д无法求解（t）上的ODE x=f（t，x*, tδ） [τ，T*), 如果t*存在。[τ，T]中这样一个点的假设*) 其中，Д（t）<Д（t）因此是荒谬的，并且Д（t）≤因此，ν（t）从初始时间τ延伸到整个[τ，t*), 完成证明。在上述证明中，我们看到了ν（t）的界≥ ξ对所有t>τ都是严格的，考虑到该证明的几何结构，值得涵盖使空间不规则ODEsboundД（t）的upper2适定性的条件≤ ν（t）也严格，超过[τ，t*). 为此，假设Д不仅严格地增加，而且验证Д（t）-^1（s）≥ （t-s） 对一些人来说 > 0和所有s，t∈ [τ，T*) 带s≤ t、 现在，如果第一次接触时间t*∈ （τ，T*) 式中：Д（t*) = ^1（t*) 假设为，则φ（t*) = 0，给定f（t*, ^1（t*)) = 0，但Д（t）- ^1（t*) ≤ -（t*- t） <0表示t∈ （τ，t*). （τ，t）中的矛盾区间*) 在以下位置可以找到：Д（t）<Д（t）。

给出引理2.4中的关系φ=E（φ），其中φ∈ 每当φ（x）时，C（R，R）和f（φ（x），x）=0∈ R、 则该性质为ν（t）-^1（t*) ≤ -（t*-t） 给定单侧Lipschitz条件φ（x），确保<0（通过基本几何因素）- φ（u）≤ L（x- u） 引理2.7的，其中 := L-关于解的界和唯一性，单侧Lipschitz性质可以在Lakshmikantham&Leela（1969）和Agarwal&Lakshmikantham（1993）中找到。引理2.7（严格上界）。引理2.6中的上界是严格的，即μ（t）<μ（t）/【τ，t】*), 如果路径φ∈ 引理2.3中的C（R，R）具有单侧lipschitz性质φ（x）-φ（u）≤ L（x-u） 对于一些L∈ R+和所有u，x∈ [ξ, ∞) 带x≥ u、 这一结果实际上是相关的，因为对价格路径的累积方差进行建模的解决方案Д具有严格正的相应波动率√φ. 为了将抽象的风险中性衍生工具定价措施与现实世界的概率测量（均在第4.3节中介绍）联系起来，这可能会很有帮助，但不包括这方面的细节。双射极大解。NOWMA引理2.6中的边界的主要目的是帮助在以下结果中启用双射性语句。读者应注意，这里的假设f（τ，ξ）>0通常不能放松到f（τ，ξ）≥ 0，在第3.1节中创建。现在回想一下，在问题1.2的陈述之后，最大解决方案∈ C（[τ，T*), R） 是指达到R边界的，即*∨支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞, 经典的ODE理论，例如Lakshmikantham&Leela（1969）的定理1.1.3，在我们的环境中建立了这样的解的存在性，其中f∈ C（R，R）。定理2.8（最大存在性和双射性）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。然后存在IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的最大解。

此外，任何此类Д定义了某些集合C中严格递增的双射（[τ，T*), [ξ，X*)), 其中T*∨ 十、*= ∞.2空间不规则ODEsProof的适定性。经典理论给出了存在性陈述，因为f∈ C（R，R）。这提供了最大的解决方案∈ C（[τ，T*), R） 从定义上讲，这满足了*∨ sup[τ，T*)|^1（t）|=∞.因为f∈ F和F（τ，ξ）>0，界ξ≤ ^1（t）≤ν（t）保持[τ，t*) 引理2.6。假设t>τ时f（t，ξ）>f（τ，ξ）>0，那么从定义ν（t）：=inf{x>ξ：f（t，x）<0}可以清楚地看出，在f（t，x）中，Д被限制为rw的子集≥ 0，使Д不递减。从引理2.4中回想，当Д（t）<∞, 因此，接触点Д（t）=Д（t）提供Д（t）=0。相反方向，如果Д（t）=0，则我们必须找到Д（t）=Д（t）或Д（t）=Д（t-) < ν（t），给定的Д是严格增加的。所以现在，对于一个矛盾，假设ν（t）=0在一个区间【a，b】上保持不变 [τ，T*). 那么我们必须找到（a-) ≤ Д（a）=Д（a）=Д（b）=Д（b-) ≤ ^1（b）。（2.17）但具有Д（a）=Д（b-) 意味着И至少在[a，b]上是恒定的，这违反了引理2.4中Д的严格递增性质。因此，Д是非递减的，并且Д（t）=0不能保持间隔。因此，在任何这样的[a，b]中，我们必须找到一个点，其中Д（t）>0，并且И的连续性扩展了这一点，以确保Д（b）-Д（a）=a、b的RbaД（s）ds>0∈ [τ，T*).因此，像^1一样，我们发现∈ C（[τ，T*), R） 严格增加，因此在C中定义双射（[τ，T*), [ξ，X*)), 其中X*= 限制↑T*^1（t）∈ (ξ, ∞]. 这允许最大化条件T*∨ sup[τ，T*)|^1（t）|=∞ 写为T*∨ |ξ| ∨ 十、*= ∞. 反过来，这与T*∨ 十、*= ∞, 已知|ξ|<∞, 完成证明。存在条件。从条件T开始*∨ 十、*= ∞ 在定理2.8中，我们知道*= ∞, 或X*= ∞, 或者两者兼而有之。

下两个结果的目的是为f提供单独的可行条件，独立地确保T*= ∞ 或X*= ∞ 两者都是可取的。确定其中的第一个非常简单，如下所示。引理2.9（暂时存在）。设f，τ，ξ，Д如引理2.6所定义，且∈C（[τ，T*), [ξ，X*)) 是IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的任何最大解。如果Д（T）<∞对于一些T∈ (τ, ∞), 然后T*> T，并通过扩展，如果Д（T）<∞ 超过[τ，∞), 然后T*= ∞.证据根据定理2.8，ν是某些C（[τ，T）的双射元素*), [ξ，X*)) 带T*∨十、*=∞. 对于矛盾，假设Д（T）<∞ 对于一些T∈ (τ, ∞) 但是T*≤ T<∞. 那么我们有X*= ∞, 所以T*∨ 十、*= ∞ 已验证，因此→T*---→ ∞. 因为对于空间不规则常微分方程，在[τ，T]上严格增加，ν是2适定性*) 且ν大于[τ，T] [τ，T*), 然后，有魟（τ）=ξ<魟（τ）和魟（T）<limt↑T*^1（t）=∞ 提供独特的接触点t*∈ （τ，T*) 式中：Д（t*) = ν（T），具有严格的不等式ν（T）<Д（T）<Д（T）/（T*, T*). 这与关系Д（t）相矛盾≤ ν（t）大于[τ，t*) 引理2.6。因此，我们发现*> 如果Д（T）<∞. 延伸至T*= ∞ 在让T→ ∞, 确定索赔。ν（T）<∞ 在引理2.9中，当f∈ F、 当F∈ C（R，R）。然而，这是一个补充经典存在论的条件，如Wintner（1945）的主要结果，在Hartman（2002）中简洁地作为定理5.1提出。此理论需要检查限制器∞dx/U（t，x）=∞, 对于带有| f（t，x）|的某些U≤ U（t，| x |）在[τ，t]上，并适用于U（t，x）=x和U（t，x）=x log x的情况。