但这个条件依赖于无界集合中的f，如[τ，T]×R，所以以f（T，x）为例：=T- w（x）带w（x）：=x正弦（x）- 1和任何a>1，我们记录∞dx/U（t，x）<∞ 当自然选择U（t，x）=1+t+xa时，引理2.9立即提供了[τ]上所有最大解的存在性，∞), 假设上界Д是由Д（t）=inf{x>0:xasin（x）给出的D（R+，R）的元素- 1>t}=E（w）（t）<∞. （2.18）另一方面，考虑将该示例缩减为f（t，x）：=1+t，即使用instead w（x）=-1、那么，很明显，ν（t）：=t+是x=f（t，x），x（0）=0的全局解。然而，由于其中一个结果是Д（t）：=inf{x>0：-1>t}=inf := ∞ 对于所有t∈ 在这个初等例子中，R+，引理2.9是无用的。但是，正如定义1.5之后所讨论的，lim inft→∞^1（t）=∞ 在以下情况下没有帮助√^1将对波动路径进行建模。现在我们需要一个关于f的条件∈ F可确保X*= ∞ 在定理2.8中。为此，考虑f（t，x）：=2的例子- e-t型- 2倍。那么很容易检查f∈ F和Д（t）：=1- e-这是IVP x=f（t，x），x（0）=0的全局解。因此，在OREM 2.8中，我们有（T*, 十、*) = (∞, 1） ，即Д∈ C（R+，[0，1））。这个导致X的IVP的性质*= 1 < ∞ 是f（t，1）=-e-对于所有t，t<0∈ R+，因此不能通过x=1的线。实际上，这相当于具有limx↑1φ（x）=∞ 其中φ∈ C（R，R）来自引理2.3。以下结果中的条件用于排除这些示例，从而强制执行X*= ∞, 事实上，当f∈ F、 2空间不规则常微分方程的适定性在下面的陈述中，注意任何这样的最大解Д都是一些集合C（[τ，T）的双射元素*), [ξ，X*)) 带T*∨十、*= ∞ 根据定理2.8，例如Д（t）t→T*---→ 十、*持有。引理2.10（空间存在）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。

然后是任何最大解∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ满足x*> X有效期→∞对于所有x，f（t，x）>0∈ [ξ，X]。So X*= ∞ i有效期→∞对于所有x，f（t，x）>0∈ [ξ, ∞).证据如果首先处理方向，则更容易，因此假设X*> 对于某些X>ξ。鉴于∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 根据定理2.8是双射的，然后是Д（t）t→T*---→ 十、*> X存在唯一的T∈ （τ，T*) 式中，Д（T）=X，带Д（T）≥ 0超过[τ，T]。因此，我们发现f（t，Д（t））=Д（t）≥ 0在[τ，T]上，且给定{Д（T）：T∈ 【τ，T】}=【ξ，X】和f（·，X）严格增加，然后明显受限→∞每x f（t，x）>0∈ [ξ，X]。如果X*= ∞, 此参数适用于任何X∈ (ξ, ∞), so限制→∞对于x，f（t，x）>0∈ [ξ, ∞), 完成一半的证明。在另一个方向，我们正在尝试建立X*> 对于某些X>ξ。请注意，ifT*< ∞, 那么我们必须有X*= ∞ > X验证要求T*∨ 十、*= ∞ 来自定理2.8。结果是显而易见的，我们现在应该假设*= ∞. 进一步假设对于某些X∈ (ξ, ∞), 限制→∞f（t，x）>每x保持0∈ [ξ，X]。一个timeT∈ （τ，T*) 现在将建造在必须保持φ（T）>X的位置，确认X*> 首先请注意，这种限制条件→∞f（t，x）>0表示φ（x）<∞ 对于x∈ [ξ，X]，其中引理2.3中的φ表示f的零点，根据f（φ（X），X）=0，当φ（X）∈ R、 用于 > 0，定义移位路径φ∈ C（[ξ，X]，R）乘以φ（x） ：=（τ∨ φ（x））+. 然后是严格不等式f（φ（x） ，x）>0保持不变，因为每f（·，x）严格递增一次。现在定义：=最小值∈[ξ，X]f（φ（x） ，x）∈ (0, ∞), t型*:= maxx公司∈[ξ，X]φ（十）∈ (τ, ∞). （2.19）这些值确保了不等式f（t，x）≥ 垂直线上的c（t*, x） 对于x∈ [ξ，X]，也指矩形（t）中的f（t，X）>c*, ∞) ×[ξ，X]。现在确定时间T：=T*+ c-1（X- ξ） 和线路∈ C（[t*, T），[ξ，X]），从点（T）开始*, ξ） 至（T，X），梯度c>0，乘以Д（T）：=ξ+c（T- t型*).

（2.20）我们已经构建了一条线，其中清楚地显示出Д（t）=c，并且f（t，Д（t））>c在（t）上*, T）。清楚地^1（t*) = ξ<Д（t*) 保持，并假设第一个接触点，其中Д（t）=Д（t），则空间不规则ODEД（t）的适定性为2≤ c、 提供矛盾c<f（t，Д（t））=f（t，Д（t））=Д（t）≤ c、 因此，相反，我们必须在[t]上取φ（t）>φ（t*, T]，因此，也就是Д（T）>Д（T）=X，确认X*> 十、 通过取X→ ∞, X的扩展*= ∞ 简单明了，完成证明。引理2.10的证明是有建设性的，因为它实际上为点T建立了一个下界∈ （τ，T*), i、 e.验证ξ<Д（T）<Д（T）≤ ν（T），因此改进了引理2.6的下边界。这些界限以及通过微分不等式推导的界限，对于建立第3章的极限定理，尤其是定理3.17至关重要，在那里，很自然地，这些界限不是空间上的下限，而是时间上的上限。下一个结果只是将引理2.9和引理2.10的结果结合在一起，就像在第3章中处理问题1.4时应用这些结果一样。为此，我们提出了条件Д（t）<∞ 引理2.9直接在f上∈ F作为infx∈[ξ,∞)f（t，x）<0，使用方程式2.9，这显然是等效的。同样，条件限制→∞f（t，x）>0的曲线2.10表示为supt∈[τ,∞)f（t，x）>0，这相当于f（·，x）严格递增。在推论2.11的陈述之后，假设的目的为不等式1.11，定义子集G 第3章适用的C（R+，R）将是明确的。比如引理2.10，写下∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 在下面的语句中，我们指的是T值*, 十、*如定理2.8所示，因此，例如，极限ν（t）t→T*---→ 十、*持有。推论2.11（时空存在）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。

然后最大解决方案∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 对于IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，验证条件infx∈[ξ,∞)f（t，x）<0t型∈ [τ, ∞) ==> T*= ∞, 支持∈[τ,∞)f（t，x）>0x个∈ [ξ, ∞) ==> 十、*= ∞.（2.21）这就完成了问题1.2中这些空间不规则IVP的一些基本特性及其解决方案的覆盖，这些特性现在通过依赖于子集Fθ的示例进行了说明 F在示例2.5中使用。特别值得注意的是infx的存在条件∈[ξ,∞)方程式2.21中的f（t，x）<0对x的正增长off（t，x）没有限制∈ [ξ, ∞), 在下面的示例2.12中，由路径w的负增长控制∈ W、 因此，方程2.21的条件确实补充了依赖于此类正增长约束的经典存在性条件，如引理2.9.2空间不规则常微分方程的适定性示例2.12（子集Fθ）所述 F） 。调用函数f∈ Fθ接受代表F（t，x）：=θ（t）- w（x），（2.22），其中（θ，w）∈ Θ×W，例如limt→±∞θ（t）=±∞ 和supx∈R+w（x）=∞. 在例2.5中，我们看到，对于IVP x=f（t，x），x（0）=0，引理2.3的路径由φ（t）=inf{x>0:w（x）>θ（t）}，（2.23）给出，这是在D（R+，R+）中，给定supx∈R+w（x）=∞. 我们可以把它写得更简洁些，如：Д=E（θ-1.o w） =E（w）o θ，使用方程2.8中的退出时间表示法。现在定理2.8告诉我们，这个IVP的任何最大解Д都是某个集合C中的双射路径（[0，T*), [0，X*)), 其中T*∨ 十、*= ∞. 给定ν（t）<∞ 对于所有t∈ R+，然后引理2.9提供T*= ∞, 并给予限制→∞f（t，x）=∞ 对于每x∈ R、 然后引理2.10提供X*= ∞ 而且

推论2.11可等效用于获得T*= 十、*= ∞, 那个isinfx∈R+θ（t）-w（x）<0t型∈ R+==> T*= ∞, 支持∈R+θ（t）-w（x）>0x个∈ R+==> 十、*= ∞.（2.24）在这个例子之后，现在具体地让f取方程2.1中的赫斯顿形式，sof（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v，（2.25），在Fθ中发现，其中θ（t）：=κθt，提供supx∈R+κx- σw（x）=∞. 然后我们得到了ν（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt+v}（2.26），其中，给定supx∈R+κx-σw（x）=∞, 定义D（R+，R+）中的路径，并提供IVP x=f（t，x），x（0）=0的任何最大解的上界。因此，在C（R+，R+）中可以找到这样的最大解，正如我们在建模波动性时所希望的那样。在图7中，我们在这个赫斯顿环境中插图了解析式Д及其边界Д，与之前的图一致。2空间不规则常微分方程的适定性0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0x′И（t）Д（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0x′И（t）Д（t）图7:IVP x=f（t，x），x（0）=0的解И与引理2.6的上界一起显示。函数f与图4和图5.2.4的最大唯一性是一致的。正如本章开头所承诺的，本节首先阐明了现有的节点唯一性理论对问题1.2的解释。textAgarwal&Lakshmikantham（1993）是一个很好的起点，它系统地提出了21个直接适用的一阶ODE唯一性定理，以及进一步的推论、非唯一性理论和“Carathéodory”扩展，这些扩展只假设解的a.e.可微性。历史背景。唯一对f的空间行为没有限制的现有结果∈ C（R，R）原则上可以应用于问题1.2，是Wend（1969）的定理，在Agarwal&Lakshmikantham（1993）中被称为定理2.6.1。

从技术上讲，这并不完全正确，因为例如，Yosie（1925）提出的定理1.21.2，这是唯一一个真正具有唯一性特征的定理，当然也适用于Wend和所有其他定理。虽然这种特征化是非常直观的，但由于其结果如此普遍，很难想象在不使用其他条件的情况下建立其条件。2空间不规则常微分方程的适定性也许毫不奇怪，Wend定理中的情况与我们的类似，如第1章讨论最大解的重要性时所述。具体而言，假设存在时间单调性约束，仅在时间上向前寻求解决方案。这一结果将很快被适当介绍，但我们首先考虑Peano（1890）的早期结果。相反，这采用了空间单调性约束，并应用于示例likef（t，x）=-sgn（x）| x | afor a∈ （0，1），生成唯一的解决方案Д（t）=0到（0，0）。定理2.13（Peano唯一性）。让f∈ C（R，R）使得f（t，·）对于每t不递增∈ R、 那么IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ有唯一的最大解。证明这个结果只需要几行，这些是根据阿加瓦尔和拉克什米坎坦（1993）的定理1.3.1给出的。现在，反函数定理的一个结果，例如Rudin（1976）中的定理9.24，是如果ν是一个IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的解，具有一个定义良好且可微分的逆ν-1，则此逆运算将求解反相器divp x=g（t，x），x（ξ）=τ，其中g（t，x）：=1/f（x，t）。Cid&Pouso（2009）对此进行了介绍和使用。现在请注意，来自Peano\'stheorem的f（t，·）的非递增假设变成了g（·，x）的非递减假设，反转了时间和空间之间的约束，并将我们置于Wend定理适用的环境中。

但也要注意，因为f（x，t）=∞ 在Peano定理中，假设∈ C（R，R），那么我们必须在Wend定理中手动排除g（t，x）=0的点。定理2.14（Wend的唯一性）。假设f∈ C（R，R），f（·，x）对于x是非递减的∈ R和f（t，x）>0 in x Rwith（τ，ξ）∈ 十、 那么IVP X=f（t，X），X（τ）=ξ在X中有唯一的解，即一些ν∈ C（[τ，T]，R）带（T，Д（T））∈ X和（T，Д（T））∈ 十、 因此，Wend定理是一个局部结果，不适用于最大解，除非f（t，X）>0 in X的假设扩展到所有R。这显然不适用于波动率建模，排除了方程2.1中本论文核心的Heston情况，并且通常使引理2.4中的重要路径ν无效，因为ν（t）=inf := ∞.通过反函数理论，从Peano到Wend的唯一性结果的转变为Cid&Pouso（2009）的思想提供了一个特殊的例子。在这里，作者使用简单的时空变换将任何唯一性结果映射到另一个唯一性结果，如图中所示的空间不规则odes2适定性。然而，像Wend定理一样，总是考虑f（t，x）6=0的区域，当考虑C（R，R）中的一般函数时，这些区域当然可能很小。因此，至少从现有结果来看，定理2.17中唯一性结果的主要贡献在于其对最大解的适用性，以及Wend（1969）和Cid&Pouso（2009）对这些限制的完全放松。当然，这里的设置和Wend定理中的设置在其他方面并不等价，因为在问题1.2中，我们要求将每个函数f（·，x）从非递减改进为严格递增。我们相信这一改进在未来可以放宽，但现在这样做没有实际价值。

例如，定义1.5中的解决方案集Φ变宽，以适应波动路径√其中（不现实的）可以在间隔上为零，但已经（同样不现实的）路径可以在任意接近全Lebesgue度量区域的集合上为零。这种扩大所付出的代价是，解的逆解并不总是存在的，这些逆解可能是相对简洁的证明的关键，例如，通过Lebesgue微积分的定理2.17。接下来，很少有数学家知道这些由Peano和Wend引起的简单单调性结果，无论他们是否在金融领域。考虑到这些数学家对相对复杂的It的脑力激荡的知识，这在金融领域似乎是自相矛盾的，方程式2.1就是从中推导出来的。皮亚诺和温德的结果并没有遵循利普希茨唯一性条件，这似乎鼓励了这一点。正如Soong（1973）所承认的那样，Lipschitzcondition对于应用来说往往“太过严格”，并且“从实践角度来看肯定是不可取的”，然而这些条件在ODE理论的教学中已经被优先考虑，现在研究人员并不总是欣赏像刚才介绍的这些简单的替代方案。与上一节相比，本节的程序相对简单，但深入探讨了功能分析。定理2.8表明问题1.2的解是双射的，它们显然有定义良好的逆，在本节中标记为^Д，以避免写入（Д-1). 这些反演是证明定理2.17的关键，因此，这些反演的重要性质首先收集在引理2.16中。唯一性结果。作为预防注意事项，很容易得出关于路径Д和^Д：=Д的“直观”结论-在这里，对于空间不规则的ODE2病例，其病理适定性是错误的。

例如，尽管有等式2.27，但从反函数定理来看，不能假定^（t）>0 a.e.（关于勒贝格测度）遵循^（x）<∞ a、 e.，即使^Д（x）>0确实从^（t）<∞. 这基本上是因为逆^Д与Д不同，不需要将空集映射到空集，这被称为Lusin（N）属性，在论文Lusin（1916）之后。这一性质与绝对连续性密切相关，但在现代泛函分析中很少被强调。Saks（1937）第7.6节专门论述了这一点。在与病理学的斗争中，我们的救世主是Lebesgue（1904年）的Lebesgue微积分基本定理，Wend定理等局部结果避免了病理学。如Royden&Fitzpatrick（2010年）第6.2节所述，我们在EMMA 2.16中提出了这一点。简而言之，定理2.17是将Lebesgue定理应用于Wend定理的产物，为了突出Lebesgue定理更广泛的重要性，我们重现了Royden&Fitzpatrick（2010）的一句鼓舞人心的评论：评论2.15。Frigyes Riesz和Bela Sz-纳吉指出，勒贝格的理论是“实变量理论中最引人注目、最重要的理论之一”事实上，1872年卡尔·韦尔斯特拉斯（KarlWeierstras）提出了一种在一个开放区间上的连续函数的数学，该函数在任何点上都是不可微的。进一步的病理学被揭示，在数学分析中，病理学的传播有一段时间的不确定性。1904年出版的Lebesgue定理及其后果帮助人们恢复了对数学分析和谐的信心。回想一下等式2.28中的不等式，它是Lebesgue定理的推论，对于Cantor（1884）的病理性Cantor函数是严格的。与直觉相反，康托函数的简单修改也能够验证λ（0）=0，λ（x）<0（即x>0，但λ（x）>0）。

这正是OREM 2.17中出现的情况，揭示了该结果适用的数学通用性水平。正如其证明所示，以下属性集合只构成了反函数定理，如Rudin（1976）的定理9.24所述，以及Lebesgue\'stheorem及其推论，如Royden&Fitzpatrick（2010）的第6.2节所述。引理2.16（解的逆性质）。假设f∈ F、 F（τ，ξ）>0，且设Д∈C（[τ，T*), [ξ，X*)) 是IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的最大解，如空间不规则常微分方程2.8的2适定性，so x*= 限制↑T*^1（t）和t*∨ 十、*= ∞. 则Д有一个定义良好的逆^Д：=Д-1.∈ C（[ξ，X*), [τ，T*)), 这也在严格地增加。对于（t，x）∈ [τ，T*)×[ξ，X*),每当Д（t）＞0时，或当存在^Д（x）时，等于^Д（x）（x））=1（2.27），x=Д（t）。在任意子间隔上[a，b] [ξ，X*), 勒贝格定理适用于^Д，即^Д是a.e.可微的和^Д（b）- ^Д（a）≥Z[a，b]^И（x）dx。（2.28）最后，如果^Д（x）在[a，b]中除了有限个点之外的任何地方都存在，则^Д在这里是绝对连续的，等式为2.28中的等式，然后^（t）>0 a.e。证据根据定理2.8，IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的每个最大解ν在某些集合C（[τ，t*), [ξ，X*)) 带T*∨ 十、*= ∞. 所以它的逆^^显然也是严格递增的，在C中（[ξ，X*), [τ，T*)), 并且唯一定义为验证任意（t，x）的^И（ν（t））=t和^И（x））=x的函数∈ [τ，T*) ×[ξ，X*).此外，每当^（x））>0时，反函数定理提供了^（x）=1/^（x）），因此显然存在^（x）>0。相反，如果^Д（Д（t））>0存在，则^（t）=1/。

当确定x=Д（t）时，等式2.27中更简洁地表示了这些等效值。尽管^^可能不可区分，但严格来说，它是在[ξ，X]之上增加的*), 因此，byLebesgue定理是a.e.可微的，并验证了方程2.28。如果^Д在【a，b】中被改进为可区分的，除了有限数量的点外，那么在这些点之间的开放子区间（ai，bi）中它是可区分的，具有^Д（bi）- ^Д（ai）=RBAIi^Д（x）dx。Leb积分的线性度[∪i（ai，bi）]=b-a将该等式推广到等式2.28。对于严格递增函数，等式2.28中的等式等价于Royden&Fitzpatrick（2010）的推论6.5.12中的绝对连续。最后，如果^Д（x）<∞ xi分数有限的情况除外∈ 【a，b】，则很明显，在【a，b】中，除了在最后点ti：=^И（xi）外，Д（t）=1/^И（Д（t））>0，因此Д（t）>0 a.e.】如下所示。我们不会直接使用[^（a），^（b）]中的最终结论^（t）>0 a.e.，但将其包括在内，以强调我们通常不能假设它，即使^（x））>0 a.e.在[a，b]中，从^^（x）<∞ a、 e.in[a，b]和Д（t）=1/^Д（t））。如前所述，空间不规则ODE2的适定性假设^Д具有Lusin（N）性质。等效地，利用Saks（1937）的定理7.6.7，假设^^严格增加，因此有界变化是绝对连续的。现在我们可以讨论这篇论文中最重要的一个结果了。与迄今为止的所有结果一样，人们通常不能期望这在f（τ，ξ）=f（τ，Д（τ））=0的扩展中成立，尽管对于任何t∈ （τ，T*).定理2.17（最大唯一性）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。那么，IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，确实存在一个最大解。

这个唯一解是某个集合C（[τ，T）上的严格递增双射路径*), [ξ，X*)), 带T*∨ 十、*= ∞.证据首先，假设φifor i=1，2是该IVP的任意两个这样的最大解，其中定理2.8定义了一些集合C（[τ，Ti），[ξ，Xi]）中的严格递增路径和双射路径，其中Ti∨ Xi=∞. 这种双射性确保了νi（t）t→Ti公司---→ xi现在定义*:= T∧ 串联X*:= 十、∧ 十、 所以φiboth存在于X中：=[τ，T*) ×[ξ，X*). 现在的任务是显示在X中的Д=Д。从这一点出发，我们可以直觉地，通过一个简单的个案分析来阐明，T=Tand X=X，因此实际上，在C中，Д是相同的最大解（[τ，T*), [ξ，X*)) 带T*∨ 十、*= ∞. 为了涵盖一个这样的情况，让T<∞, sothat X=∞ 由T给出∨X=∞. 然后假设X<∞, so T=∞. 现在，在X中具有Д=Д尤其意味着Д（t）=Д（t）=X<∞ 对于一些t∈ [τ，T），自Д（T）T起→T型<∞------→ X=∞. 对于Д，这是荒谬的，因为双射路径Д满足Д（t）t→T型=∞------→ X<∞ 因此，对于任何t<∞. 因此，现在我们可以专注于验证X中的Д=Д，从中可以得出最大唯一性声明。从今以后，关键是使用倒数^Иi：=Д-1i∈ C（[ξ，Xi），[τ，Ti）），以及在引理2.16中合并的这些路径的属性。请注意，如果我们发现^^^=^^，X中的唯一性，则在X中的^=^*) ×[τ，T*). 为此，定义函数λ∈ C（[ξ，X*), R） 由λ（x）：=^Д（x）- ^Д（x），跟踪每个^ito到达空间级别x的时间差。该函数满足λ（ξ）=0，因为^Д（ξ）=^Д（ξ）=τ，如果我们在所有[ξ，x]上发现λ（x）=0，则证明是完整的*).针对矛盾，假设存在点c∈ （ξ，X*) 式中λ（c）6=0，假设w.l.o.g.^Д（c）>^Д（c），则λ（c）>0。

通过λ的连续性，以及λ（ξ）=0的事实，一个区间（a，b） [ξ，X*) 对于空间不规则常微分方程，存在包含λ（x）>0且λ（a）=0,2适定性的c，其含义为^И（a）=^Д（a）。a=ξ是可能的，但不应假定。现在，λ（x）>0覆盖（a，b）意味着这里的^Д（x）>^Д（x），因为每个f（·，x）严格增加，那么f（^Д（x），x）>f（^Д（x），x）。计算x的常微分方程Д1,2（t）=f（t，Д1,2（t））和θ1,2（x）∈ （a，b），这个关于f值的不等式等价地提供了Д（^Д（x））- Д（^Д（x））>0。（2.29）现在清楚地显示出Д（^Д（x））≥ （a，b）上的0，并且确实有可能得出^（x））=0。但请注意，等式2.29反而强制（a，b）上的Д（^Д（x））>0。因此，方程式2.27提供了^Д（x）=1/Д（^Д（x））<∞, 在（a，b）中显示^Д是不同的，因此验证^Д（x）- ^Д（a）=Z【a，x】^Д（u）du（2.30），对于所有x∈ （a、b）。为完整性起见，请注意，即使未定义^Д（a），这一点仍然成立，即使用引理2.16和单态{a}的完整性，意味着^（^Д（a））=0 【a，b】。不能假设方程式2.30的等式适用于^Д，通常在（a，b）中仅保持a.e.可微，而方程式2.28中的勒贝格定理提供了^Д（x）- ^Д（a）≥Z[a，x]^И（u）du。（2.31）方程式2.30和方程式2.31中的不等式将暂时引用，但首先考虑方程式2.29。通过将引理2.16应用于此处的每个组件，这可以等效地表示为1/x- 1/o^Д（x）>0 a.e.in（a，b），因此λ（x）=^Д（x）- ^Д（x）<0。（2.32）除了（a，b）中λ（a）=0和λ（x）>0的性质外，现在似乎很接近于一个矛盾，但如果没有方程式2.30和方程式2.31，则无法保证与直觉相反。（如备注2.15所述，λ（a）=0，λ（x）<0 a.e.和λ（x）>0同时存在的函数）。

实际上，仅通过使用方程2.30、方程2.31和方程2.322对空间不规则常微分方程的适定性（按该顺序），λ（x）>λ（a）=0对（a，b）的顺序矛盾如下：λ（x）- λ（a）=^Д（x）- ^Д（a）- （^И（x）- ^Д（a））≤Z[a，x]^И（u）du-Z[a，x]u（u）du（2.33）=Z[a，x]u（u）- ^Д（u）du=Z[a，x]λ（u）du<0，（2.34），其中（2.33）使用方程2.30和方程2.31，（2.34）使用方程2.32。这建立了λ（x）<λ（a）=0除以（a，b），因此给出了所需的矛盾。apoint c的存在性∈ （ξ，X*) 因此，λ（c）6=0是荒谬的，取而代之的是λ（x）=0除以[ξ，x]*). 这提供了[ξ，x]上的^Д（x）=^Д（x*), so也包括ν（t）=ν（t）除以[τ，t*). 如前所述，这意味着T=T=T*, X=X=X*和T*∨十、*= ∞, 因此，两个φ实际上都是IVP x=f（t，x）x（τ）=ξ的sameunique最大解，完成了证明。这个结果结束了这个简短的部分。应该注意的是，这是已知的ODE x=f（t，x）的第一个最大唯一性结果，其中没有对函数f施加空间正则性约束。关于本章中介绍的IVP，并在几个图中进行了说明，例如取决于子集Fθ的IVP F从示例2.2中，除了解决方案以外，没有什么可说的了∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 所提及的事实上是唯一的。2.5解映射的连续性本节的重点是建立定理2.18的连续依赖性结果，从而澄清问题1.2的某些稳定性性质，并完成“适定性”（存在性、唯一性和连续依赖性）的三个常规要求。粗略地说，目标是获得类似于Coddington&Levinson（1955）第2.4节的陈述，例如定理2.4.1。然而，与大多数文献一样，这些结果重新考虑了初始条件（τ，ξ）的连续性∈ 兰德参数u∈ Rk。

另见Hartman（2002）第5章空间不规则ODE2适定性，该章强调了解映射的可微性，并遵循函数f的相关假设∈ C1,1（R，R），此处不适用。这些与初始条件和参数有关的结果对我们来说太严格了。例如，我们有兴趣知道theHeston IVP的累积方差解Д是否=方程式2.1中的f（t，x），x（0）=0，其中f（t，x）：=σw（x）+κ（θt-x） +v，相对于采样路径W（ω）=：W是连续的∈ C： =类过程布朗运动的C（R，R）。实际上，这告诉我们是否以及如何用计算有用的序列{wn}n来近似这样一个路径w∈N C、 例如线性多边形或方程式2.3的平移傅立叶级数。后者用于图8中的演示。这些考虑因素在理论上也很有帮助，因为对于价格过程的建模框架，St=exp（WρXt-Xt）第1章中概述的实际定义，我们需要累积方差和价格过程X和S从(Ohm, F、 P）进入显式可测空间，以便实际可以进行概率计算。当然，如果我们能够建立一种适当的一般形式的连续性，那么可测量性就会随之而来。相关的可测空间将始终是具有由特定度量或范数导出的Borelσ-代数的集合。对比与初始条件和参数相关的结果，这说明了为什么我们寻求一般顺序连续性语句，如Fnn→∞----→ fon（F，dF）==> ^1nn→∞----→ νon（Φ，dΦ），（2.35）对于IVP的溶液Дnof x=fn（t，x），x（τ）=ξ，并且适当定义Φ，dF，dΦ。然后，此处的假设简化为需求wnn→∞----→ 赢得赫斯顿的榜样。我们等到第3章，特别是第3点。

在定理3.3中，给出了连续性陈述，该陈述将在第4章的概率框架中得到依赖，现在解决了定理2.18中的连续性陈述，该连续性陈述在这里的无概率设置中提供了更多信息。为了按预期解释方程2.37，让C（R，R）上的均匀半形定义为kfk[τ，T]×[ξ，X]：=sup{| f（T，X）|：（T，X）∈ [τ，T]×[ξ，X]}（2.36），对于任何矩形[τ，T]×[ξ，X] R、 类似地，在集合C（[τ，T*), R） 和T*∈ (τ, ∞],通过kИk[τ，T]：=支持定义精原细胞∈[τ，T]|Д（T）|对于任何T>τ的情况，对于空间上不规则的常微分方程，这应该是内部2适定性，称为kДk[τ，T]：=∞ 当T≥ T*. 这是T≥ T*只是为了适应如下情况→田纳西州≤T------→ ∞ 在方程2.37中，kа- ^1nk[τ，T]=∞. 从定理2.18中可以清楚地看出，k^1- ^1nk[τ，T]=∞ 最多为有限数量的条款。最后，定理2.18的证明依赖于Ascoli引理，如Coddington&Levinson（1955）第1章所述。这一基本结果表明，一个等界且等连续的序列{νn}n∈N C（[τ，T]，R）具有一致收敛的子序列。对于不同的序列，这些等条件分别从kИnk[τ，T]<x和kИnk[τ，T]<M开始。事实上，后者具有一致的起点Дn（τ）=ξs。定理2.18（解映射连续性）。假设子集{fn}n∈N 对于所有n，F为fn（τ，ξ）>0∈ N、 并让^1N∈ C（[τ，Tn），R）表示每个IVP的唯一最大解x=fn（t，x），x（τ）=ξ。然后对于任何值t∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），∞),kf公司- fnk[τ，T]×[ξ，X]n→∞----→ 0 ==> k^1- Иnk[τ，T]n→∞----→ 0.（2.37）证明。回想一下，根据定理2.8和定理2.17，此类最大解νnexist是唯一的，并且定义了集C（[τ，Tn），[ξ，Xn）]中严格递增的双射，其中Tn∨Xn=∞. 现在Fix T∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），X），然后定义X：=[τ，T]×[ξ，X]。

此外，还应确保kfkX<M<∞, 自f起存在∈ C（R，R）。给定kf-fnkXn→∞----→0，则我们发现所有n大于某些n的kfnkX<M∈ N、 所以我们可以假设w.l.o.g.对于所有N∈ 通过重新定义M或删除前N个条款。使kfnkX<M确保（t，νn（t））∈ X代表t∈ [τ，t∧ T]式中T=τ+M-1（X- ξ).为了以后的一致性，请定义较早的时间t：=τ+M-1（X-^1（T））。减少t的使用∧ T，假设最坏的情况，即T<T。尽管如此，这提供了（t，νn（t））∈ 对于所有n，X大于[τ，t]，现在我们的目标是建立简化结论kν-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0、用于获得该值的推理将在时间tk=τ+kM内重复-1（X-直到[τ，T]上的收敛，如方程2.37中所示，最多T- τt- τ=M（T- τ）X- ^1（T）（2.38）本程序的迭代。这是一个走向收敛的过程-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0刚好超过[τ，t]通过Ascoli引理遵循一个相对标准的论点，该引理用于Coddington&Levinson（1955）的2空间不规则常微分方程相关定理2.4.1的适定性，非常松散地概括为等有界性+等连续性{z}==> Ascoli引理+唯一性==> 汇聚（2.39）这里，等有界性和等连续性涉及集合{νn}n∈Nof IVP解决方案。在我们的设置中，我们已经确保了自我们发现knk[τ，t]以来在[τ，t]上的这些性质≤|ξ| ∨ |X |<∞ 和kИnk[τ，t]≤ kfnkX<M<∞ 适用于所有n∈ N、 Ascoli引理则提供了收敛性k*-Иnkk[τ，t]k→∞----→ 子序列{Кnk}k的0∈Nto a限制*.寻找一个矛盾，现在假设k^1- Иnk[τ，t]n→∞----→ 违反了0。

然后是{νn}n的有限子序列∈n保持在围绕ν的某个开放球外，而theAscoli引理提供了这一点的一个子序列，即kν*-Иnkk[τ，t]k→∞----→ 0，其中*6= φ.但是，[τ，t]上的每个ДnkveriДnk（t）=ξ+Rtτfnk（s，Дnk（s））ds，可以写成Дnk（t）=ξ+Ztτf（s，Дnk（s））+λnk（s）ds，λn（t）：=fn（t，Дn（t））- f（t，νn（t））。（2.40）现在kλnkk[τ，t]≤ kf公司- fnkkXk→∞----→ 假设为0，且具有f∈ C（R，R）伸长量K^1*- Иnkk[τ，t]k→∞----→ 0至kf（·，Д）*(·)) - f（·，Дnk（·））k[τ，t]k→∞----→ 0，所以取k→ ∞ 不等式2.40我们发现*（t） =ξ+Rtτf（s，Д）*（s） ）ds超过[τ，t]。So^1*求解[τ，t]上的x=f（t，x），x（τ）=ξ，与定理2.17给出的唯一性结果相矛盾*6= φ. 假设kД- Иnk[τ，t]n→∞----→ 因此，违反0是荒谬的。现在将重复前面的参数以延长间隔[τ，t]。有k-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0，存在N∈ N，使得对于N>N，给定φ（t）<φ（t）时，φN（t）<φ（t）。通过删除第一个条目，我们可以假设n为φn（t）<φ（t∈ N、 但是，这个界限，连同Д（T）<X和kfnkX<M，让我们扩展了前面的语句（T，ДN（T））∈ X在[τ，t]上到相同的在[τ，t]上∧ T]，其中T：=T+M-1（X- ^1（T））。So{νn}n∈现在Nis在[τ，t]上是等界和等连续的，再次假设t<t。重复方程式2.39中总结的程序，然后得出k-Иnk[τ，t]n→∞----→ 进一步重复，序列tk：=τ+kM-1（X- 生成的时间为（T），得出的结论为k- Иnk[τ，tk∧T]n→∞----→ 0.因此，k^1的权利要求- Иnk[τ，T]n→∞----→ 方程2.38.2空间不规则常微分方程的适定性方程2.37中的域[τ，T]×[ξ，X]对路径的依赖性表明，定理2.18还不能扩展到度量空间上的方程2.35这样的陈述，这有助于概率。

如前所述，在第3章中，一旦解决方案被保证是全局的，即存在于R+上，这种依赖将得到缓解。然后我们得到一个声明kf- fnkR+n→∞----→ 0 ==> k^1- ^1nkR+n→∞----→ 0（2.41），其中这些不是字面上的一致范数，但与方程1.12中的一致范数一致，分别在R+和R+的紧致子集上诱导一致收敛的拓扑。因为当我们移动到概率设置时，请注意等式2.41的类似路径语句不适用于It^oSDE映射。这在《Riz&Victoir（2010）》和《Friz&Haier（2014）》的介绍中进行了解释，并用于激励粗糙路径理论。值得注意的是，在定理2.18中，假设{fn}n∈N 与本章相关的F和fn（τ，ξ）>0主要用于我们的方便，因为我们知道溶液严格增加，等等。很难将此结果扩展到已知具有唯一溶液的任何IVP。方程2.39中的方法在区间序列【τ，tk】上的重复应用仍然可以使用，只需稍作调整。最后，隐式收敛fn（τ，ξ）n→∞----→ 方程2.37中的f（τ，ξ）允许假设所有n的fn（τ，ξ）>0∈ 放宽到f（τ，ξ）>0，这也是定理2.20即将出现的模拟收敛结果的情况。然而，当我们在第3章中引入f（τ，ξ）=0的微妙可能性时，这种情况就不再存在了，因此对于章节之间更平滑的过渡，我们将这些极限结果保持原样。现在来说明定理2.18，让函数fn∈ F代表n≥ 1如方程式2.3所示，fn（t，x）：=σwn（x）+κ（θt- x） +v，wn（x）：=nXk=0a-αksin（2akπx），（2.42），f（t，x）：=σw（x）+κ（θt-x） +v和w（x）：=P∞k=0a-αksin（2akπx）。为保持一致性，如图3所示，对所有值σ、κ、θ、v、a、α进行x检验。

现在，我们来说明每个IVP的唯一最大解x=fn（t，x），x（0）=0。然后使用kw- wnk[0，X]n→∞----→ 0对于所有X>0（可通过逐点收敛和等连续性建立），我们得到kf-fnk[0，T]×[0，X]n→∞----→ 0表示所有T，X>0。推论2.11的存在条件可以是空间不规则常微分方程的2适定性，用于建立ν∈ C（R+，R+），特别是T=∞ 在定理2.18中。这一结果提供了k^1-^1nk【0，T】n→∞----→ 0表示所有T>0。三角不等式的应用还提供了收敛性k- ^1nk【0，T】n→∞----→ 0表示所有T>0。综上所述，k^1- ^1nk=kf（·，Д（·））- fn（·，Дn（·））k≤ kf（·，Д（·））- f（·，Дn（·））k+kf（·，Дn（·））- fn（·，Дn（·））kn→∞----→ 0。（2.43）图8说明了一致收敛性Дnn→∞----→ ν大于[0，1]，且相应的挥发度为ypИnn→∞----→p^1。请注意，该图还包含图4和图5.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0n=0n=1n=2n=4n中的路径=∞0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00图8：左面板显示IVP x=fn（t，x），x（0）=0，fnas在等式2.42中的解。还显示了方程式2.42（黑色）中wn=0时的IVP解决方案。右面板显示了相应的波动率路径SPДn.2.6溶液模拟本节的重点是定理2.20，它与IVPs x=f（t，x），x（τ）=ξ和f的简单正向Euler模拟模式有关∈ F、 然而，这个结果不是标准的，因为我们从来没有真正假定这个函数F的值可以在计算机上精确地再现，而只是那些方便的序列{fn}n的值∈N F（在紧集上）一致收敛到它。所谓方便，我们的意思是（过紧）对于空间不规则odes计算机内存，每个fn都可以存储在2个适定性中。

除了简单的模型外，波动率建模通常需要这种广义的模拟收敛，我们将在第4章中依赖它进行应用。虽然可以参考计算ODE文本，如Griffiths&Higham（2010）和Han&Kloeden（2017）来了解Euler方法和扩展，但相关的Cauchy-Peanoexistence定理证明及其依赖性，如Coddington&Levinson（1955）中所述，将使读者更好地了解定理2.20。这是因为我们的目标不是任何类型的fancysimulation方案，而是目前适用于任何f∈ F、 这是尽可能简单的，尽管刚才提到了必要的概括。起初，这里的定理2.20似乎可以遵循定理2.18的连续依赖结果，反之亦然。但在这里，正在模拟实际多边形，这些多边形是不可区分的，只能被视为解决由不连续函数驱动的IVP，即Carathéordory意义上的IVP。定理2.18==> 定理2.20要求定理2.18的扩展适用于不连续函数，如fn∈ D（R，R）。通过简单地将Lebesgue微积分应用于（绝对连续的）多边形，可以避免这种获得定理2.20的方法。在另一个方向上，我们只得到定理2.20==> 定理2.18如果在定理2.20中，我们取网格极限kπnk→ 0服用前fn→ f、 但这种迭代限制实际上无法在计算机上实现。现在，我们定义IVP的前向Euler多边形。为此，调用一个无界集π：={tk}k∈N [τ, ∞), τ=：t<t<，[τ]的划分，∞), 设∏（[τ，∞)) 成为这些对象的集合。对于T∈ (τ, ∞), 定义网格kπk[τ，T]：=maxk∈N{tk+1∧T-tk公司∧T}。最后，我们写出Дπ∈ 自动控制 强调以下多边形的绝对连续性。定义2.19（前欧拉多边形）。

修复f∈ C（R，R）和π：={tk}k∈N∈ Π([τ, ∞))对于某些τ∈ R、 例如，可以设置tk：=τ+k 对一些人来说 > 0、定义多边形Дπ∈ AC（[τ，∞), R） 使用Дπ（τ）：=ξ∈ R、 然后在每个间隔（tk，tk+1）上递归设置Дπ（t）：=Дπ（tk）+（t- tk）f（tk，Дπ（tk））（2.44）注意到↓tk公司--→ 每k的Дπ（tk）∈ N、 以及∪k∈N（tk，tk+1）=（τ，∞). 对于IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，这样的路径Дπ将被称为前向Eulerπ-多边形。2空间不规则常微分方程的适定性在所有[τ，∞), 即使最大解决方案∈ C（[τ，T*), R） 相关IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ在有限时间内爆炸，例如满足t*< 十、*:= 限制↑T*^1（t）=∞. 理论上，我们的前向Euler多边形Дπ不能在紧致的[τ，T]上爆炸，因为这将需要从π到[τ，T]的一系列时间点。实际上，Дπ当然可以超过计算机的最大值。现在，我们给出了问题1.2的前向Euler多边形的收敛结果。它的证明使用了函数f的连续模∈ F其中，在紧X上 R、 is definedw（R）=wf，X（R）：=sup{| f（t，X）- f（t，x）|：：（t，x）- （t，x）|<r，（ti，xi）∈ 十} 。（2.45）对于任何此类f和X，w的存在和极限w（r）r↓0--→ 0从f开始跟踪∈ C（R，R）。定理2.20（前向Euler收敛）。假设{fn}n∈N F和fn（τ，ξ）>0。Forpartitions{πn}n∈N Π([τ, ∞)), let^1n∈ AC（[τ，∞), R） 为IVP x=fn（t，x），x（τ）=ξ，且设Д的前向Eulerπn多边形∈ C（[τ，T），R）是IVP x=f（T，x），x（τ）=ξ的唯一最大解∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），∞),kf公司- fnk[τ，T]×[ξ，X]，kπnk[τ，T]n→∞----→ (0, 0) ==> k^1- Иnk[τ，T]n→∞----→ 0.（2.46）证明。与定理2.18中的IVP解不同，给定的多边形Дnneed不能像Д那样严格递增，实际上可能会违反引理2.6中的界限，例如。

对于某些n和t>τ，我们可以找到νn（t）<ξ。然而，与定理2.18一样，fix T∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），X），然后定义矩形X：=[τ，T]×[ξ，X]。现在，我们将澄清，在某个子区间[τ，t] [τ，T]，我们仍然发现（T，ν（T））∈ X表示非常大的n。由于f（τ，ξ）>0且f（·，ξ）严格增加，则f（t，ξ）>0超过[τ，t]，且f的连续性提供了一个矩形X:= [τ，T]×[ξ，ξ+]  其中f（t，X）>0。使用KF-fnkX公司n→∞----→ 0，可以将w.l.o.g.扩展到每n，即我们可以假设fn（t，x）>0表示所有提供的n（t，x）∈ 十、. 正如定理2.18所示，更广泛的收敛性kf- fnkXn→∞----→ 0还允许我们假设所有n的w.l.o.g.a边界kfnkX<M。矩形条X将成为多边形的反射屏障，有效地增大n，重新建立边界φn（t）≥ ξ为n→ ∞. 要了解这一点，请考虑νnover[τ，t]，其中t：=τ+M-1（X- ν（T））如定理2.18所示。由于kfnkX<M，对于空间不规则odes，|ncanh2适定性不能达到[τ，t]上X的顶部，但它可以达到底部。然而，要拉动此力，必须首先从X的顶部逃逸, 找到fn（t，x）<0的点。对于νnto，则到达X的底部需要X的交叉在一个向前的欧拉步骤中，因为fn（t，x）>0 inX. 一旦模拟网格足够小，特别是oncekπnk[τ，t]<M，这就不可能了-1.. 因为这是由假设n保证的→ ∞, 我们现在可以假设。l、 o.g.它适用于所有n，因此，至少在[τ，t]上，所有的νnare现在包含在X中，现在得到k-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0使用了方程2.39中的一般方法，但细节与定理2.18中的略有不同，因为Дn（t）6=ξ+Rtτfn（s，Дn（s））ds，即Дn不是IVP解，而是前向Euler多边形。

然而，给定∈AC（[τ，∞), R） ，那么我们至少有ξn（t）=ξ+R[τ，t]Дn（s）ds，可以写为Дn（t）=ξ+Z[τ，t]f（s，νn（s））+λn（s）ds，λn（t）：=Дn（t）- f（t，νn（t））。（2.47）注意λnhere与方程式2.40之间的细微差异。对于每个t∈ [τ，T]，设tn=tn（T）：=最大{tk∈ πn：tk<t}表示分区πn中的时间点，它正好在t之前，因此0<t- 田纳西州≤ kπnk[τ，T]和Дn（T）=fn（tn，Дn（tn）），无论在何处出现。将方程2.47中的该等式代入λnf，以代替a.e.t∈ [τ，t]我们得到|λn（t）|=| fn（tn，νn（tn））- f（t，Дn（t））|≤ |fn（tn，Дn（tn））- f（tn，Дn（tn））|{z}≤kfn公司-fkXn公司→∞----→0+| f（tn，Дn（tn））- f（t，νn（t））|{z}≤w(√1+Mkπnk[τ，T]）n→∞----→0（2.48），使用三角形不等式，界限|（tn，νn（tn））-（t，Дn（t））|<√1+Mkπnk[τ，T]，连续模量w=wf，xf来自方程2.45，满足w（r）r↓0--→ 0、确保kΝnk[τ，t]<|ξ|∨ |X |和kИnk[τ，t]<M，集合{Иn}n∈Nis在[τ，t]上等边界和等连续。就像定理2.18的证明一样，假设limitkД-Иnk[τ，t]n→∞----→ 通过调用Ascoli引理和limitR[τ，t]λn（s）dsn，违反0会导致矛盾→∞----→ 方程式2.47中的0获得一个极限值*:= 利姆→∞Дnk6=Дwhichveri fiesД*（t） =ξ+Rtτf（s，Д）*（s） ）ds如^1。

因此，我们必须得出kИn的结论- νk[τ，t]n→∞----→ 0，同样在定理2.18中，这可以逐步扩展到任何[τ，tk∧ T]含tk：=τ+kM-1（X-^1（T）），提供了kДn的权利要求-νk[τ，T]n→∞----→ dT后0-τt-τe阶跃。2空间不规则常微分方程的适定性∈N Π([τ, ∞)) 在定理2.20中，我们可以自由地将方程2.46中的假设解耦为lim（n，m）→(∞,∞)（kf- fnk，kπmk）=（0，0）。通过使用上述定理2.20和前一节中的定理2.18，可以很容易地确定该联合极限可以用迭代方差limn代替→∞limm公司→∞或limm→∞画→∞. 然而，正如前面所讨论的那样，这种迭代限制无法在计算机上实现，因此其本身并没有实际用途。为了说明定理2.20，在图9中，我们复制了图4，但也显示了正向Euler多边形的序列，该序列与IVP解相一致。使用二元和三元分区，由πn定义：={km-n： k级∈ N} 对于m=2，分别为3。为简单起见，fn：=对于所有n，其中f（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v是图3.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0n=0n=1n=2n=4n中的赫斯顿函数=∞0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0图9：左面板显示了在使用二元分区时收敛到图4中IVP解的前向Euler多边形。右侧面板重复左侧，但使用替代三元分区，因此收敛速度更快。通常，如果不对f（t，x）的空间正则性施加约束，我们就无法限制图9所示的收敛速度：=σw（x）+κ（θt- x） +v通过w。

尽管如此，当我们在新的波动率模型和第4.5节中现有的波动率模型之间进行比较时，衡量我们的前向Euler模式2对空间不规则常微分方程的适定性所带来的误差仍然很重要。在图16和图17中，所比较的指标是隐含波动率，我们发现4096条模拟路径足以将所有模拟隐含波动率控制在分析生成的赫斯顿波动率的0.1以内。这4096条路径中的每一条都取决于我们定义2.19中的前向Euler方案，在附录中，我们提供了简洁的python代码，该代码在10年内以4096个时间步生成一条这样的路径，即使用 := 10/4, 096 ≈ 定义2.19中的0.0024。如附录所述，此代码在2.3 GHz Intel Core i5 MacBook Pro上运行需要75毫秒。本章到此结束，问题1.2的适定性处理也到此结束。虽然这里很容易包含对这个问题的一些小修改，特别是考虑到将f（τ，ξ）>0的假设放宽到f（τ，ξ）的微妙可能性≥ 0，这似乎更好地放在下一章中，探讨解决方案空间及其限制。3解决方案空间和退出时间限制3解决方案空间和退出时间限制本章有三个主要目标。

首先，在第2章的适定性分析之后，定理3.1提供了一个适用于问题1.2的条件，该条件保留了迄今为止的结果，并且也适应了初始值，其中φ（τ）=f（τ，ξ）=0，而不是f（τ，ξ）>0。尽管建模结果可以忽略不计，但定理3.1都在ourIVPs的解空间中注入了和谐，并提供了一个具体的解释，解释了为什么定理2.17的最大唯一性结果成立，尽管f（t，ν（t））=0在任何未来时间t>τ都是可能的。与第2章一样，子域[τ，∞) × [ξ, ∞)  Rof a函数f∈ F C（R，R）决定解决方案的行为，因此为了避免重复假设，第3.1节的实用结论是简化正在考虑的IVP，由相关函数g驱动∈ G C（R+，R），如等式1.6中的赫斯顿示例。在谨慎处理初始值后，仅考虑x=g（t，x），x（0）=0类型的IVP。问题1.4中有这样的IVP特征，由此为论文的其余部分奠定了建模基础。本章的第二个目标是精确理解这些IVP的解集，以及如何通过它们的简单序列产生某些不连续的极限点。该分析将我们带到第3.4节，通过定理3.17，该节为理解时间积分CIR过程和Lévy从属函数（如方程1.10中的IG过程）之间令人惊讶的极限关系提供了基础。但更一般而言，提供了一个简单的方法来构造任何严格递增的无界路径D（R+，R+），作为直观的“退出时间”度量空间（Φ，DΦ）上IVP解的限制。本章的最终目标是揭示此类限制的后果→∞----→ 复合路径w的φon（Φ，dΦ）o ^1n，对于任何w∈ C（R+，R）。

复合收敛Wo ^1nn→∞----→ wo ^1在点方向a.e.发生，但在斯科罗霍德的拓扑图上被违反，因为wo ^1ncan将瞬时“偏移”发展为n→ ∞. 因此，在第3.5节中，引入了ahaudor ff度量空间（E，dE），在此空间上建立了图的收敛性。这为回答关于Heston和Niggrelationship的序言中的问题提供了基础，最终将定理0.1扩展为一个实际有价值的函数结果。3解决方案空间和退出时间限制有了这一路径理论，我们将准备进入第4章的概率框架，其中迄今为止与IVP解决方案Д相关的结果将应用a.s.计算方差和价格过程X和s。如第1章所述，这些将通过组合s=exp（WρX）进行关联-十） ，因此我们强调复合路径。3.1简化问题在第2章中，只有IVPs x=f（t，x），x（τ）=ξ和初始值（τ，ξ）∈ rf（τ，ξ）>0，这意味着解决方案Д验证Д（τ）=f（τ，ξ）>0。然而，定理2.17的最大唯一性结果适应了时间t>τ，其中φ（t）=f（t，φ（t））=0，这表明了一些自然发生的条件，其中f（τ*, ξ*) = 0表示某些τ*> τ和ξ*> ξ、 然而，转换IVP x=f（t，x），x（τ）的唯一性*) = ξ*仍然有效。事实上，定理3.1的一个结果是：提供点（τ，ξ）∈ Ris可通过严格增加（“历史”）实现∈ C（（T，τ），R）解决了终值问题x=f（T，x），x（τ）=ξ，那么相应的初值问题存在唯一的最大解（“未来”），无论f（τ，ξ）=0与否。

当f（τ，ξ）=0时，这种自然稳定性是可靠的，给出了即将出现的唯一性反例。在这些反例和定理3.1的证明之后，新的IVP函数集 第1章中介绍的C（R+，R）已得到适当定义，这将在本章后面优先考虑，并纳入第4章。虽然这组G不太容易定义为F，但相关的最大解Д肯定更容易分析。这主要是因为它们总是构成从R+到R+的不同双射，所以体极大解实际上是全局的。如前所述，如果需要从拓扑上理解解决方案空间，这在转移到概率设置时非常有用。非唯一性示例。回想一下通过x=f（t，x）给出的IVP唯一性的常见反例：=| x |α，x（0）=0对于某些α∈ (0, 1). 验证这两个全球解决方案是很简单的∞（t） ：=0和Д（t）：=（（1-α） t）1-α、 将这些结合起来，得到其他的，νT（T）：=φ∞（t） t型∈ [0，T），Д（T- T）T∈ [T，∞),（3.1）3任何T的解空间和退出时间限制∈ (0, ∞). 事实上，收敛性ДTT↓0--→ Д和ДTT↑∞---→ φ∞然后均匀放置在压实物上。提出这个例子的目的是要澄清，在我们的例子中，f∈ F、 我们不需要担心沿着直线likex=0的解的这种转换。这是因为这样的线，其中f（·，x）必然为零，被每个f（·，x）严格递增的条件所排除。

然而，请注意，当这个IVPI适应于x=sgn（x）| x |α，x（0）=0时，我们会得到额外的负解，如-φ.这些正是我们需要担心的非唯一性示例。为了将这些情况彻底扩展到我们的设置中，我们可以考虑F（t，x）类型的函数：=Ia，b（t）| t |α+Ic，d（x）| x |β，Ia，b（t）：=at<0+bt≥a、b、c、d为0（3.2）∈ R和α、β∈ (0, 1). 请注意，f∈ 如果a<0<b，则假设everyf（·，x）严格增加。当（c，d）=(-1，1），有趣的是，我们仍然可以得到非唯一性，而不需要这个排序c<0<d。为了清楚起见，我们将只考虑情况f∈ 用简化表示F（t，x）：=t+Ia，b（x）p | x |（3.3）对于某些a，b∈ R、 注意，当τ>0时，IVP x=f（t，x），x（τ）=0提供了问题1.2的示例，因为f（τ，0）=τ>0，而τ=0给定f（0，0）=0。假使-3=：a<0<b：=1和τ=0，我们得到两个抛物线解Д±（t）：=±t，这很容易确定。但即使我们-3=：a<b：=-1<0，所以Ia，bn的符号在x=0的直线上不再变化，我们仍然得到两个解，即ν+（t）=tandД-（t） =-t、 图10中展示了这些示例的解Д±以及路径φ（x）：=-引理2.3中的Ia，b（x）p | x |，其中f（φ（x），x）=0。因此，当τ>0时，第2章的结果适用于方程3.3中的这些例子，当τ=0时，很少有人这样做。这清楚地表明，我们一般不能将问题1.2陈述中的条件f（τ，ξ）>0放宽到f（τ，ξ）≥ 0，并保持适定性。在这种唯一性分解之后，很容易构造出“不连续依赖”的例子，这违反了定理2.18。