简单地计算解空间和退出时间限制，这提供了Mechkov（2015）对定理0.1最深刻的理解。结语，读者现在有了可以考虑的工具，概括了这个示例以获得其他Levy过程限制，并以概率而非路径的方式工作。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0？0（t）Д1（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0？0（t）Д4（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.60.81.0？0（t）Д16（t）0.0 0 0.2 0.4 0.0 6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0(R)Д0（t）Д64（t）图12：收敛Дnn→∞----→ 对于n=1、4、16和64，如例3.19所示，集成CIR路径的φon（Φ，dΦ）到IGLévy路径的φ。示例3.19（路径集成CIR到IG）。假设σ，κ，θ，v>0和w∈ C（R+，R）和定义{gn}n∈N C（R+，R）乘以gn（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v/n。注3：解空间和出口时间限制与方程1.6中的赫斯顿函数一致。然后kg- gnkR+n→∞----→ 0，其中g（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） 。（3.45）使用定义1.3，可以直接确定{gn}n∈N G提供条件支持验证∈R+κx- σw（x）=∞. 等效地，如果函数Д（t）：=inf{x>0：g（t，x）<0}=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt}（3.46）是D（R+，R）中定义良好的路径。注：当w=w（ω）是布朗运动的样本路径时，这些条件均满足a.s。因此，满足了应用定理3.17的条件。这告诉我们Дnn→∞----→ 在退出时间空间（Φ，dΦ）上，其中每一个都将IVPx=ngn（t，x），x（0）=0。也就是说，Д是Φ中唯一的路径，其中验证了Дn（0）=0，且Дn（t）=nσw（Дn（t））- nκ（θt- ^1n（t））+v。

（3.47）由于每个Дnca可被视为综合CIR过程r·Vs（ω）ds的样本路径，如等式1.3所示，且极限Дa为IG Le'vy过程的样本路径，如等式1.10所示，因此，我们建立了此类过程在（Φ，dΦ）上的路径收敛，并为适用于相关Heston和NIG过程的定理0.1提供了路径原点。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0'Д0（t）Д1（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0'Д0（t）Д64（t）图13：使用gn（t，x）：=σw（x）+κ（θt）重复图12中的收敛- x） +vin示例3.19，并更快地截断w，如图5.3所示，解空间和出口时间限制图12说明了该收敛，其中w是方程式2.3中截断的Weierstrass路径。对于标有Д（t）的图，我们实际使用的是区间值pathsД的图*（t） ：=[Д（t-), ν（t）]如图6所示，与推论3.15中的E（Д）（x）=M（φ）（x）的图形一致，并有助于可视化dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，即空间中紧集上的时间一致收敛。在图13中，我们假设gn（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v=g（t，x）。与方程3.46和Mechkov（2015）相比，对于任何选择的w，t=0时的不连续性都是可以保证的∈ C（R+，R）提供v>0，并且该不连续性的大小为φ（0）=inf{x>0：κx- σw（x）>v}。（3.48）3.5偏移限制上一节涉及问题1.4中IVP的解序列的限制。如第1章所述，在第4章中，我们定义了一个框架，在该框架中，价格过程允许表示S=exp（WρX-十） ，其中累积方差过程X={Xt}t∈这里，R+以路径为基础解决了问题1.4。注意，S只是通过一个简单的（尽管是随机的）组合从X派生出来的，几何布朗运动∧X：=exp（WρX-x） ，即S=∧o十、

因此，为了理解S的路径在第3.4节的退出时间限制下的行为，我们在这里主要关注组合W的行为o 对于某些w∈ C（R+，R），根据第3.4节的限制，可能与Д有关。此类成分wo ^1不必表示价格路径，但可以是此类路径的功能，如衍生支付。我们发现，在此类复合材料中可能会出现瞬时漂移，这些结论将允许我们扩展例3.19中的路径CIR和IG关系，以回答序言中提出的赫斯顿和NIG相关问题。为了理解这些复合限制，以下内容令人放心，应牢记在心。这只是利用了（Φ，dΦ）上极限φ的不连续性是大气可数的这一事实，如推论3.14之前所讨论的。因此，Д是a.e.连续的，这基本上可以通过假设w是连续的定义扩展到这个推论。3解空间和退出时间限制汇总3.20（即复合收敛）。假设νnn→∞----→ Дon（Φ，dΦ）和alsow∈ C（R+，R）。那么对于任何T∈ R+以下逐点收敛a.e.发生在右侧∈ [0，T]：（wo ^1n）（t）n→∞----→ （w）o ν）（t）i=t.（3.49），这显然也会导致积分收敛，如推论3.14中的Lpstatements。尽管令人欣慰，但必须理解这个结果的局限性，因为它证明了路径依赖泛函的相关收敛可能会被违反，例如我们发现→∞支持∈[0，T）（wo ^1n）（t）≥ 支持∈[0，T）（wo ^1）（t）（3.50），在实际利益的情况下具有严格的不平等性。

这在实践中是一个重要的例子，因为它涉及到共同障碍选项的支付，尽管持续监控。本节的分析将使我们能够理解这些极限，在本例中，对于任何T>0supt，我们在（R，|·|）上获得以下令人惊讶但相当优雅的收敛∈[0，T）（wo ^1n）（t）n→∞----→ 支持∈[0，T）sup（woД）（T），（woД）（T）：={w（x）：x∈ [^1（t-), ^1（t）]}。（3.51）路径wo~n是集值的，因此上面的sup sup实际上是紧区间值的。Indeed我们有以下等效表示，注意*如图6所示，（woД）（t）=minx公司∈φ*（t） w（x），maxx∈φ*（t） w（x）, φ*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。（3.52）第1章简要讨论了此类路径，现在，如序言所述，从赫斯顿模型中出现的价值间过程似乎是合理的。所以一般来说，组成的收敛性o^1nn→∞----→ wo在D（R+，R）上的所有合理度量空间上都违反了φ，就像Skorokhod（1956）的空间一样，尽管有φnn→∞----→ 第3.4节中所述的（Φ，dΦ）。因此引入了区间值路径，我们称之为偏移路径。此命名受Whitt（2002）第15章的启发，其目的是了解排队应用程序中出现的具有类似偏移路径的过程。游览空间。现在，我们正确地定义了偏移路径集E，然后定义了它的相关度量，这应该被认为是描述图在R+×R w.R.t.Hausdorff距离上的紧致收敛的特征。在解空间和出口时间限制空间（E，dE）的偏移上，我们将得到函数收敛wo ^1nn→∞----→ 在D（R+，R）上无法获得的woД，推广了方程式3.51中给出的（R，|·|）上的特定限值。定义3.21（路径集）。设集合E包含R+上的实紧区间值路径ε，即。

对于每个t∈ R+返回一个紧区间ε（t）=：[ε-（t） ，ε+（t）] R、 对于这样的路径ε，具有ε-（t） =ε+（t）是可接受的，在这种情况下，ε（t）返回一个单态。或者，假设ε∈ D：=D（R+，R），然后是为每个t返回一个单态{ε（t）}的路径∈ R+在E中，方便时仍将标记为ε。在这个意义上，D E、 我们对路径ε特别感兴趣∈ E，对于某些εo∈ D验证εo（t）={εo（t） }无论何时εo（t-) = εo（t） 和[εo（t-) ∧ εo（t） ，εo（t-) ∨ εo（t） ] εo（t）=[ε-（t） ，ε+（t）]，否则。回想一下，此类内含物按照方程式1.18进行了讨论，方程式1.18定义了Hestonmodel产生的指数化NIG过程的异常概括。与ε不同∈ E通常，这些偏移路径εo与一些εo∈ D属于Whitt（2002）第15.4节的设置，定理15.4.1为此类路径提供了条件，以便在配备我们的Hausdorff度量de时定义可分离空间。为了定义该度量de，ε∈ E使其图ΓT（ε）在[0，T]上 R+be定义ΓT（ε）：={（T，x）∈ [0，T]×R:x∈ ε（t）}，（3.53），然后定义扩展图Γ*T（ε）：=ΓT（ε）∪ {T}×R来缓解任意端点T的问题，就像我们帮助定义dMin定理3.13一样。这解释了为什么在等式3.51的示例中手动删除端点。现在这样定义。定义3.22（偏移度量）。对于ε，ε∈ E和T∈ R+，让偏移伪度量dE，t改变图之间的Hausdorff距离dhΓ1,2：=Γ*T（ε1,2），即dE，T（ε，ε）：=dH（Γ，Γ）：=max（sup（T，x）∈Γinf（s，u）∈Γ|（t，x）- （s，u）|，sup（t，x）∈Γinf（s，u）∈Γ|（t，x）- （s，u）|）。（3.54）然后通过de（ε，ε）：=Pn定义偏移度量dEon E∈N-n（1∧ dE，n（ε，ε））。注意，与每个dE、T一样，实际上定义了E上的另一个伪度量，这通常是hausdorff距离的情况。

要了解这一点，只需考虑ε1,2∈ E，ε（t）：=[-1，1]3 R+但ε（t）的解空间和出口时间限制：[-1，1]仅在有理数Q+，ε（t）：={0}否则。然后明确dE（ε，ε）=0，但ε6=ε。通过通常考虑E中路径的等价类，可以将伪度量空间（E，dE）升级为一个富饶的度量空间。然而，实际上没有必要明确地这样做，因为在E上通常会导出aBorelσ-代数E，使得（伪度量）拓扑空间（E，E）也是一个可测空间，因此适用于我们的概率波动率相关应用。在描述复合路径的偏移极限之前，wo ^1，其中∈ ΦsolvesProblem 1.4，我们首先研究时间导数的极限。这些限制不仅有助于他们自己，因为它们捕捉到了波动路径的行为√^1，但通常与复合限制有关。这可以在方程3.47中的赫斯顿示例中看到，或者更一般地，当g（t，x）：=θ（t）-w（x）如定理3.6所示，因为我们只需找到（wo Д）（t）=θ（t）- ^1（t）。（3.55）如前所述，在本节中，为了方便起见，我们将使用Д和woД也表示E中的单格尔顿值路径，后者与方程式3.51中定义的woД一致。这里发展的理论将始终应用于定理3.17的设置中，因此，尽管没有严格要求，但读者可以通篇采用那里的假设：{gn}n∈N G发出该kg-gnkR+n→∞----→ 0，{Дn}n∈N Φ分别求解问题1.4中的x=ngn（t，x），x（0）=0，最重要的是dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，其中∈ Φ如定理3.3所示。衍生品限额。定理3.18构造任何路径∈ Φ  D（R+，R）作为问题1.4的解的极限，关于（Φ，DΦ）。

假设И在（0，T）中有一个不连续性，那么我们必须找到kИnk[0，T]n→∞----→ ∞, 很明显，我们不应试图确定νnasn的限制→ ∞ 在C、D甚至E上，所以对于volatilitypДn都不是。这里我们获得的最佳结果是缩放路径n的限制-1хnon（E，dE），通过显式参数表示实现这一点的方法也适用于成分wo νn，通常与方程3.55中的内容相关。对于下一个结果，请记住如果∈ Φ是问题1.4的全局解，那么导数φ允许平凡的参数表示（e，ν），这与（ν）属于相同的等价类-1, φo φ-1). 这正好等于R+{（t，ν（t））：t∈ R+}={（Д）-1（x），Д（Д）-1（x））：x∈ R+}。（3.56）3解决方案空间和退出时间限制规定了时间组件的限制，如Д-1通过定理3.17可以理解，引理3.23中的焦点是空间分量Дoφ-为清楚起见，在方程式3.57中，路径g（E（Д），E）：x 7→ g（E（Д）（x），x）在C（R+，R）中，并让范数k·kR+像往常一样使用方程1.12定义，其特征是在紧集上一致收敛。引理3.23（参数导数极限）。采用定理3.17的假设，soИnn→∞----→ Дon（Φ，dΦ）。然后导数{νn}n的下列收敛性∈Ntakes地点g（E（Д），E）- n-1хno φ-1nR+n→∞----→ 0.（3.57）证明。给定νnis IVP x=ngn（t，x），x（0）=0的唯一全局解，然后验证每个t∈ R+。替换t=Д-1n（x），我们看到-1Дn（Д-1n（x））=gn（Д）-每x 1n（x），x（3.58）∈ R+。因此，如果收敛δn：=g（E（Д），E）- gn（^1）-1n，e）[0，X]n→∞----→ 所有X发生0（3.59）∈ R+。

我们已经有了两个kE（^1）- φ-1nk[0，X]n→∞----→ 0和kg-gnk[0，T]×[0，X]n→∞----→ 0表示所有T，X∈ 定理3.17中的R+，这些确实结合了方程3.59。g的连续模∈ C（R，R）将用于显示这一点。为此，fix∈ R+和T>E（Д）（X）。然后kE（Д）- φ-1nk【0，X】<T- E（Д）（X）对于所有足够大的n，因此假设w.l.o.g.k-1nk[0，X]=Д-1n（X）<T表示所有n。这意味着所有（Д）的路径-[0，X]上的1n，e），作为等式3.59中的参数，被限定到矩形X中：=[0，T]×[0，X]。注意，三角形不等式给出δn≤ 千克（E（Д），E）- gn（E（Д），E）k[0，X]+kgn（E（Д），E）- gn（^1）-1n，e）k【0，X】。（3.60）这里处理第一个组件很简单，因为它明显以kg为界-gnkX。对于第二个，让w:R+→ R+是gover X的连续模，因此我们有界| g（t，X）- g（s，u）|≤ w（|）（t，x）- （s，u）|）（3.61）对于所有（t，x），（s，u）∈ 十、 和w()↓0--→ 使用两次三角形不等式，方程3.61的关系可以扩展到每个Gn和wn，前提是我们定义：=w+2kg-3解决方案空间和退出时间限制。注意，wn不是gnover X的连续模，因为wn()→0---→2公斤- gnkX6=0。尽管如此，我们现在可以使用kgn（E（Д），E）约束方程3.60中的最后一项- gn（^1）-1n，e）k【0，X】≤ w（kE（Д）- φ-1nk[0，X]+2kg- gnkX。（3.62）因此，方程式3.59中声称的收敛发生，因为对于每X∈ R+g（E（Д），E）- n-1хno φ-1n[0，X]=δn≤ w（kE（Д）- φ-1nk[0，X]+3kg- gnkXn→∞----→ 0。（3.63）给定X是任意的，这扩展到方程3.57 w.r.t中的要求。范数k·kR+。让{εn}n∈N E由单态εn（t）定义：={n-1Д（t）}，从而捕捉波动性的行为√在定理3.24中，我们现在将定理3.17和引理3.23结合起来，以获得一个令人惊讶的极限εnn→∞----→ ε在漂移空间（E，dE）上。

我们的方法，将对复合路径w重复o在定理3.26中，定义每个εn的有用参数表示（τn，σn），并建立这些εn的乘积一致收敛（在紧集上）到一个极限（τ，σ），最终将该极限解释为E中的路径ε。直观的是，参数表示的一致收敛实际上提供了E w.r.t.Hausdorff距离上的收敛，这一点可以通过注意到，在dEin方程3.54的定义中，我们有界sup（t，x），来很容易证实∈Γninf（南、北）∈Γ|（t，x）- （s，u）|=sups∈[0,1）infu∈[0,1）|（τn（s），σn（s））- （τ（u），σ（u））|≤ sups公司∈[0,1）|（τn（s），σn（s））- （τ（s），σ（s））|=：k（τ，σ）- （τn，σn）k[0,1）（3.64），其中我们假设w.l.o.g.所有参数表示（τn，σn）的域已方便地转换为[0,1]。这具体说明了边界T（εn，ε）≤ k（τ，σ）-（τn，σn）k[0,1），可以扩展到我们将使用的，命名为k（τ，σ）- （τn，σn）kR+n→∞----→ 0 ==> dE（εn，ε）n→∞----→ 0。（3.65）定理3.24（偏移导数极限）。采用定理3.17的假设，因此dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0和定义{εn}n∈N E乘以εn（t）：={n-分别为1хn（t）}。ThendE（εn，ε）n→∞----→ 0，其中ε∈ E返回单态{0}a.E.，并由ε（t）精确定义：=0，ε+（t）, ε+（t）：=最大值∈φ*（t） g（t，x），Д*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。（3.66）3解决方案空间和退出时间限制。结合定理3.17和引理3.23，我们得到了乘积收敛性k（E（Д），g（E（Д），E））- (φ-1n，n-1хno φ-1n）kR+n→∞----→ 0。（3.67）现在设置（τn，σn）：=（Д-1n，n-1хno φ-1n），考虑到等式3.56中图形的等效性，分别定义了每个ε的参数表示。

因此，我们将得到所谓的收敛dE（εn，ε）n→∞----→ 0使用方程3.65和方程3.67，如果方程3.66中定义的路径ε类似地由（τ，σ）参数化：=（E（Д），g（E（Д），E））。现在，从定义3.10来看，E（Д）在N中，即在C（R+，R）中定义了一个非递减且空间无界的路径。所以这个参数表示（τ，σ）的图Γ的形式为Γ={（t，g（t，x））∈ R+×R:x∈ φ*（t） }。（3.68）使用连续性和紧凑性*（t） ：=[Д（t-), ν（t）]，则我们获得Γ=（t，x）∈ R+×R:x∈分钟∈φ*（t） g（t，u），最大值∈φ*（t） g（t，u）. （3.69）现在如果我们可以证明ε-（t） ：=最小值∈φ*（t） g（t，x）=0，对于每t，我们最终得到Γ={（t，x）∈ R+×R:x∈ [0，ε+（t）]}。（3.70）这将提供Γ={（t，x）：x∈ ε（t）}，澄清了（τ，σ）确实参数化了ε，因此dE（εn，ε）n→∞----→ 0、确认ε-（t） =0，考虑图13。在Д（t）的不连续处，我们可以看到g（t，x）≥ 所有x确保为0∈ φ*（t） 。给定g（t，ν（t-)) = g（t，ν（t））=0也遵循g的连续性，那么实际上ε-（t） =0。需要确认的是ε（t）={0}a.e.，这是由Д（t）得出的-) = ν（t）a.e.，给定的不连续性是可数的，因此ε+（t）=0 a.e.，完成证明。现在，我们再次使用示例3.19演示定理3.24。注意，当n的限制-1Дn（t）在定理3.17的设置中表示，我们等价地表示gn（t，Дn（t））=n-1хn（t）。给出等式3.47，在示例3.19中，其形式为σ（wo ^1n）（t）- κ（θt- νn（t））+v/n=n-1хn（t），（3.71），这些路径与按比例CIR过程n的路径一致-1V（ω）：=n-例3.19中，1хn，重新校准识别度Vs（ω）ds：=х。

极限ε∈ 定理3.24中的E表示ε（t）：=0，最大值∈φ*（t） σw（x）+κ（θt- x）, ν（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt}，（3.72）3解空间和出口时间限制。因此，我们可以将ε在空间中的瞬时偏移解释为路径w在时间上的某些偏移在空间中的间隔上的表现。εn（t）的收敛性：={n-如定理3.24所示，图14显示了（E，dE）上的1хn（t）}到ε。与图12相比，请注意，εnindeed中的偏移仅在ν跳跃时出现。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε1（t）ε0（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε4（t）0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε16（t）ε0（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε64（t）ε0（t）图14：收敛εnn→∞----→ 显示εon（E，dE），其中εn（t）：={n-1хn（t）}是示例3.19中的缩放CIR路径，ε在方程3.72.3中定义，即解空间和出口时间限制复合限制。适用于复合路径wo^1n，与我们的价格过程一样st：=exp（WρXt-Xt）稍后定义，该部分的结构反映了最后一部分，阐明了我们限制定理3.17得出的结果的方法。具体地说，这里的推论3.25提供了一些有用的参数表示的收敛性（一致在紧上），定理3.26将其简化为偏移空间（E，dE）上的结果。回想一下，在推论3.20中，我们已经演示了pointwiseconvergence（wo^1n）（t）n→∞----→ （w）o^1）（t）a.e.，因此，这里我们将其概括为（令人惊讶的）功能性陈述。

虽然我们将使用固定路径w∈ C：=C（R+，R），这可以推广到序列{wn}n∈正在验证kw- wnkR+n→∞----→ 0无困难。全球解决方案∈ 问题1.4的Φ，带逆φ-1，注意（e，wo ^1）和（Д）-1，w）在参数表示的相同等价类中，精确地表示{（t，w（ν（t）））：t∈ R+}={（Д）-1（x），w（x））：x∈ R+}。（3.73）该等效性类似于方程式3.56中的等效性，而适用于导数Д。下一个结果使用这一点来获得定理3.17的一个平凡的扩展，它从未对我们需要了解的复合路径的行为进行编码o ^1nas n→ ∞.推论3.25（参数复合极限）。采用定理3.17的假设，使dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0和fix w∈ C（R+，R）。然后序列{-1n，w）}n∈投资（E（Д），w）-(φ-1n，w）R+n→∞----→ 0.（3.74）证明。鉴于此处的空间分量，请明确验证kw- wkR+=0，则索赔仅根据结论dΦ（Дn，Д）=kE（Д）-φ-1nkR+n→∞----→ 定理3.17中的0。让{εn}n∈N E由单态εn（t）定义：={（wo 在定理3.26中，我们现在建立一个极限εnn→∞----→ ε，从而描述了w的极限行为o 因此，价格路径也是。如第1章所述，所发现的极限当然是填充成分ε：=wo）（t）：={w（x）：x∈φ*（t） }如往常一样*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。注ε（t）返回单态{（woν）（t）}a.e.，为了与方程3.66进行比较，我们有等效表示ε（t）：=ε-（t） ，ε+（t）, ε-（t） ：=最小值∈φ*（t） w（x），ε+（t）：=最大值∈φ*（t） w（x）。（3.75）3解决方案空间和退出时间限制理论3.26（偏移复合限制）。采用定理3.17的假设，使dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0和fix w∈ C（R+，R）。

定义集合{εn}n∈N E分别由单态εn（t）：={（wo νn）（t）}，ε：=woД∈ E、 然后dE（εn，ε）n→∞----→ 0.证明。根据推论3.25，我们得到了乘积收敛k（τ，σ）-（τn，σn）kR+n→∞----→0，其中（τ，σ）：=（E（Д），w）和（τn，σn）：=（Д）-1n，w）。因此，我们可以使用方程3.65中的方法来获得dE（εn，ε）n的要求→∞----→ 如果每个（τn，σn）参数化εn，则为0。当n 6=0时，使用等式3.73中的等效性，（τn，σn）明确参数化εn。为了看到（τ，σ）也参数化了ε，我们操纵（τ，σ）的图Γ来获得Γ={（E（ν）（x），w（x））：x∈ R+}={（t，w（x））∈ R+×R:x∈ [^1（t-), ν（t）]}={（t，x）∈ R+×R:x∈ （woД）（t）}。（3.76）给定ε：=woД，那么我们可以等价地写Γ={（t，x）：x∈ ε（t）}可以看出（τ，σ）确实参数化了ε。所以我们得到了dE（εn，ε）n→∞----→ 0，完成证明。为结束本章，提供了定理3.26的一个示例，该示例将pathwiseCIR和IG限制关系从示例3.19扩展到Heston和NIG模型，如序言中所述。这为加强和推广Mechkov（2015）的定理0.1奠定了坚实的基础，我们将在第4.6节中这样做。结果收敛εnn→∞----→ 价格路径的ε如图15所示，与图14一致。示例3.27（从赫斯顿到NIG的路径）。固定路径w0,1∈ C： =C（R+，R），对于某些ρ∈ [-1，1]定义wρ：=ρw+p1- ρw。这些可以解释为布朗运动的样本路径，它定义了方程1.4中的赫斯顿模型，例如wρ：=wρ（ω）。NowletДn∈ Φ用w：=w求解例3.19中的IVPs x=ngn（t，x），x（0）=0，从而得出Дn（t）=nσ（wo ^1n）（t）- nκ（θt- νn（t））+v.（3.77）让每个单态值路径εn∈ E根据εn（t）从wρ和溶液Дn中确定：=经验值（wρo ^1n）（t）-^1n（t）.

（3.78）再次使用方程式1.4，注意εnandnma可分别被视为赫斯顿价格过程及其累积方差的样本路径。如例3.19所示，3可应用解空间和退出时间限制定理3.17来获得νnn→∞----→ Дon（Φ，dΦ），其中Д是一条IG Lévy路径。定义几何布朗路径w（x）：=exp（wρ（x）-x） ，我们可以应用定理3.26进一步获得收敛性εnn→∞----→ εon（E，dE），其中ε：=woД。总ε（t）：=经验值wρ（x）-x个: x个∈ [^1（t-), ^1（t）]. （3.79）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.52.02.53.03.54.0ε1（t）ε0（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.01.52.02.53.03.54.0ε4（t）0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.01.52.02.53.54.0ε16（t）ε0（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.01.52.02.53.03.54.0ε64（t）ε0（t）图15：收敛εnn→∞----→ 图中显示了εon（E，dE），其中εnare-Heston-pricepaths和ε是指数化NIG路径的区间值推广，两者在示例3.27.3中定义了解空间和出口时间限制。注意，ε是等式1.18中极限S的路径，我们声称这是指数化NIG过程S的区间值推广o那里这将在EMMA 4.56中介绍，但请注意，当-) = ν（t），即a.e.，则ε（t）仅包含sp（wρo ^1）（t）-^1（t）= 经验值p1级- ρ（wo Д）（t）+2ρ- σ2σД（t）-ρθσt（3.80）其中，最终表达式使用关系式κД（t）- σ（wo Д）（t）=κθt以消除EWo^1的定义如下。现在很明显，这个表达式与指数化NIG过程的apath一致o. 因此，我们证明了区间值指数化NIG推广的赫斯顿价格路径ε到路径ε的收敛性。为了一致性，在图15中，我们将path win示例3.27固定为Weierstrass pathdriving图14，并设置ρ=-1（对股票价格而言并非不合理），因此实际上不依赖于额外路径w。

设置ρ=-1是指赫斯顿价格路径εn中仅出现向下偏移，如果ρ=1，则向上偏移。这些向下偏移在图15中的广义NIG极限ε中明显可见。通过相关ODE，如方程3.55，图15中的这些向下价格偏移可直接与图14.4中的波动率向上偏移相关。路径波动率建模框架4路径波动率建模框架我们现在准备使用前两章中的新ODE理论来构建概率波动率建模框架。我们使用“pathwise”（可能被认为是“probability”的同义词）来描述这个框架，以提醒我们，所有带有init的模型都将存在于某个概率空间中(Ohm, F、 P），在显式子集上定义良好Ohm* Ohm 完全P-测量的结果（或“路径”）。这一点的证明将来自我们应用于每个结果ω的无概率适定性理论∈ Ohm*. 这种情况比模型更有用，因为它不需要明确提供Ohm*. 我们不认为“路径”一般有标准化的含义；见。g、 Vovk（2016）简要介绍了其在It^o型积分中的各种用途。配备Ohm*其中P[Ohm*] = 因此，我们的模型在任何其他衡量标准P下仍保持a.s.良好定义*验证P*[Ohm*] = 1，因此根据任何P* P、 实际上，这使我们能够用大量其他（不规则）随机过程代替方程1.3中赫斯顿模型表示的布朗运动，而不需要额外的适定性分析。这将在推论4.6之后进行讨论，并在定义4.10中进行精确定义，其中定义了替代波动率驱动因素Z。

我们在第4.4节定义RLH模型时使用了这些，其中使用了定理4.17中的高斯过程之一。回想一下，这种取代布朗运动的能力是弗里兹&维克托尔（2010）和弗里兹&海尔（2014）的路径理论背后的动机之一。例如，如果我们调用源自F"ollmer（1981）的路径It^o演算，我们只能以类似的“路径”感觉来考虑方程1.1中的Heston SDE。这是一条活跃的研究路线；参见Davis、Oblój&Siorpaes（2018年）、Lochowski、Perkowski&Pr"omel（2018年）和Cont&Perkowski（2019年）的发展动态，所有这些都是由金融问题引起的。我们从ODE构建的pathwise框架并不是为了与这些roughpath和pathwise It^o备选方案竞争（而是在处理序言中概述的问题时出现的）。但与之相比，它的一个显著优点是相对简单，因为它不依赖于这些备选方案核心的非黎曼积分。在我们的概率设置具体化之前，本章的计划已经概述。4从框架到模型的路径波动率建模框架。在前两章ODE理论的基础上，本章的前半部分是一个三阶段漏斗。概率空间上价格过程建模的一般框架(Ohm, F、 P）在第4.1节中首次定义。如第1章所述，这取决于每个ω的问题1.4的解∈Ohm. 因此，根据推论3.5，它是从非内射和满射解映射建立的，根据定理3.3，它是紧集上的连续w.r.t.一致收敛。然后，在第4.2节和第4.3节中，将该一般框架简化为两个不同的子框架，分别包含广义赫斯顿模型和鞅模型。

最后，第4.4节定义了漏斗的特殊产品RLH模型，该模型位于这两个子框架的交叉处。图2对此进行了说明，为了方便起见，这里重复了这一点。第4.1节：一般波动率建模框架第4.2节：广义赫斯顿子框架第4.3节：鞅子框架第4.4节：黎曼-刘维尔-赫斯顿模型图2：维恩图，显示了本章定义的框架和模型。在选择这些漏斗阶段进行演示时，我们非常小心，因为我们正试图在不损害任何目标的情况下实现几个目标。当然，我们希望最终得到一个波动率模型，该模型展示了其他更成熟框架中领先对手的一些特性。但另一方面，考虑到该框架所基于的基于ODE的基础是非常规的金融基础，可以认为更重要的是，该模型的路径在某些方面是可识别的。根据这些要求，我们还必须说明如何应用第3章的限制性结果来精确描述序言中讨论的赫斯顿-尼格关系。通过这样做，这一新框架能够教会我们关于其他人的实际有价值的东西4一个路径波动率建模框架是毋庸置疑的，这不仅是因为赫斯顿模型和NIG模型是两个最流行的金融模型，分别来自不同的（连续和纯跳跃）框架。综上所述，我们让赫斯顿模型在本章中扮演着某种核心角色。具体而言，第4.2节中的子框架产生了一个价格过程，当驱动波动性的过程Z是布朗运动时，该过程的分布与赫斯顿模型的分布相等，但允许该过程基本上被C（R+，R）的任何其他随机元素所取代。

（如果读者熟悉随机过程仅存在于非零但随机爆炸时间内，请参见池田和渡边（1992）中的定义2.1，可以省略此处的“基本”。）这种简单地取代布朗运动的能力并不是理所当然的，正如刚才所讨论的，这让人想起粗糙路径理论的广告。RLH模型（第4.4节的重点）构成了该广义Heston子框架内的特例，其中波动驱动布朗运动被（0，）中的Riemann-Liouville分数阶导数代替。因此，当（且仅当）该衍生指令为零时，该模型的价格过程（分布）与赫斯顿模型的价格过程一致。由于Riemann-Liouville分数阶导数映射定义了H"older空间之间的连续同构，参见Samko、Kilbas和Marichev（1993），因此很容易将此RLH模型与越来越多的证据相协调，即波动性通常表现出的H"older正则性远远低于布朗运动。特定应用程序选择。本章后半部分重点介绍应用，最后一部分是第4.6节中已经提到的限制。鉴于第3章中提供了任何其他模型的无概率理论，为了最大程度地清晰起见，在RLH模型的特定情况下处理这些限制。如例3.27和图15所示，这些限制不仅仅是数学上的好奇，还将为序言中关于流行的赫斯顿和尼格模型的问题提供精确答案。在此之前，我们将在第4.5节中介绍如何在RLHmodel下模拟衍生品价格。理论上，这取决于第4.3节中的鞅理论和定理3.3中的无概率模拟收敛。

继Cont&Tankov（2003）和Guyon&Henry Labordère（2013）的非常务实的理论之后，第4.3节还提供了衍生工具定价的关联性背景。这是一个特定的4路径波动率建模框架推论4.35，通过将现有和新的其他结果结合在一起，将RLH价格过程确定为鞅。为此，应遵循定理4.16，阐明鞅价格如何与波动驱动过程边际尾部的厚度相关，以及在第4.2节更广泛的广义赫斯顿子框架中。在框架开发的这一阶段，优先考虑基于模拟的方法有两个原因。首先，它为定价衍生（或对冲或预测等其他应用）提供了一个独立的框架范围的解决方案，而不是依赖于模型特定的概率分析，我们将其留给未来。其次，最近的研究表明，除了模拟之外，神经网络还为概率分析经典处理的问题提供了一种替代方法。参见例如Buehler、Gonon、Teichman&Wood（2019）的对冲和Horvath、Muguruza&Tomas（2021）的模型校准。为了帮助我们的模拟收敛，使用了McCrickerd&Pakkanen（2018）中推荐的方差缩减方法，我们没有统计偏差可报告。通过将模拟结果与分析可用的经典Heston对应物进行核对，我们确信模拟得到了正确的实施，并且已经有效地收敛。附录中还提供了简明的python代码，以帮助其他人实现我们的模型。概率设置。

鉴于前两章中的无概率基础，本章的大部分内容也可以在不参考概率度量的情况下介绍。然而，大多数实际应用，如我们依赖于第4.3节中的鞅，或第4.5节和第4.6节中的弱收敛结果，都与概率密不可分。因此，更清楚的是，立即开始引入概率必要性。为此，我们通常会在概率空间上进行研究(Ohm, F、 P）支持所有引用的随机元素，并让ω表示Ohm. 通常可以在固定概率空间上构造这些随机元素，但为了简洁起见，我们不会重复这样做。例如，第4.4节中的RLH模型可以构建在正则概率空间上，该空间仅支持R+上的二维（2d）标准布朗运动W=（W，W）。因此，我们可以Ohm := C（R+，R）×C（R+，R），设F：=B(Ohm) 假设P=W是路径波动率建模框架上的维纳测度，则P=W是具有一致收敛性的特定Borelσ-代数(Ohm, F） 设W为(Ohm, F、 P），简单定义为W（ω）：=ωforeachω∈ Ohm. 这表明，每个结果ω不仅需要与W的apath间接联系，而且它实际上可能是W的一条路径。方程0.2和方程0.3中的Heston和NIG过程也可以在这个固定空间上构造(Ohm, F、 P），因为与我们框架中的所有模型一样，这些模型都是从路径唯一映射构建的。我们假设(Ohm, F、 P）支持这样的二维布朗运动W，它通常由变量x索引∈ R+，例如W={Wx}x∈R+。

否则，当w控制随机场Y={Yt，x}（t，x）的空间行为时，就会产生混淆∈很快引入R+，andis随后由随机IVP解X组成，如WρXin方程1.4中的Heston表示。为了保持一致性，我们将使用{Fx}x∈R+表示W的自然过滤，和{Gt}t∈R+对于不同的过滤w.R.t.，我们的价格过程是鞅。4.1一般价格流程框架问题1.4，我们现在要确定IVP解决方案的随机副本X。回想定理3.4，这个问题的解集Φ正是C（R+，R+）中的双射路径。价格过程S将通过具有几何布朗运动的组合从这些路径中获得，特别是S：=exp（WρX-十） ，所以我们称S的累积方差，Xinstantaneous方差和√X波动性。通常，Wρ是上的一维布朗运动(Ohm, F、 P）由W定义ρ：=p1- ρW+ρwf的某些相关性ρ∈ [-1, 1]. 还没有必要通过Y来约束X和W的关系。最后一点值得详细阐述。我们在这一阶段不会施加这样的限制，因为与其他框架不同，我们的框架的适配性并不需要它。例如，为了生存，It^ointegralRt√方程1.2中赫斯顿模型的VsdWρs要求V适应Wρ的自然过滤。只有在考虑鞅价格时，我们才设法将引入相应的约束推迟到定义4.23。延期的好处是，如果我们不在鞅约束下工作，例如，如果我们的应用是波动率预测而不是衍生品定价，那么我们不必检查定义4.23中的条件。

我们为这种自由付出的代价是，在完全的普遍性中，Y和W仅仅是同一空间上的随机元素(Ohm, F、 P），4路径波动率建模框架相关性ρ和过程Wρ在理论上是多余的。然而，我们选择继续使用这些定义我们的价格过程，因为在我们的应用中，我们将与方程式1.1中的介绍一致地使用它们。也就是说，我们将使用ρ来控制价格S与其波动性之间的相关性√十、 通常被称为不公平市场的杠杆效应。这种影响可以在图16中的货币隐含波动率偏斜中检测到，如方程4.78所示，也可以在S和V路径中检测到：=Xin图22。从这种松散的描述中产生的一个问题是：X（和S）在什么意义上应该被视为一个真正的随机过程，例如，X实际上从哪个函数拓扑中定义了一个可测量的映射(Ohm, F、 P）？回想定理3.3，问题1.4的解映射在G C（R+，R）和C（R+，R）w.R.t.紧上一致收敛的范数k·kRd+。所以这个解映射在诱导σ-代数（拓扑）之间是可测的。所以提供了函数g的随机对应项∈ 问题1.4中的G可从(Ohm, F、 P），那么X（和S）也将是。g的随机对应项∈ G称为随机场，在定义4.1中介绍。我们之所以援引上述定理3.3，是因为我们可以，并且可以直接建立X和S的可测性。为此，可以使用一系列（可测量的）带消失网格的前向Euler多边形过程，其收敛性由定理2.20保证。这种方法反映了Han&Kloeden（2017）第2.1.2节，其中使用了Picard Lindel"of序列，因为我们的函数对应于∈ G是空间上的Lipschitz。随机字段和IVP。

在这一部分中，说明了问题1.4的随机对应项，为此我们引入了连续随机场。在我们的设置中，这些将是C（R+，R）的随机元素，但其他域的含义将很清楚。我们使用旋转Y={Yt，x}（t，x）∈Barndor Off-Nielsen et al.（2018）的R+表示这些，尽管存在“范围随机”的应用。现在回想一下定理3.3中使用的C（R+，R）上的范数k·kR+，它导出了紧集上一致收敛的拓扑。定义4.1（连续随机场）。设连续随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R＋是C（R＋，R）的任意随机元。也就是说，从(Ohm, F、 P）到具有由C（R+，R）上的范数k·kR+诱导的Borelσ-代数的setC（R+，R）。4使用连续随机场（以下简称随机场）、随机ODE和IVP及其解决方案的路径波动率建模框架可定义为其非随机对应物的自然延伸。我们确定了所有R+的解决方案，因为我们最感兴趣的是像问题1.4这样的IVP，其中最大的解决方案是全局的。将其简化为R+的紧凑子集很简单。定义4.2（随机IVP）。对于随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+接通(Ohm, F、 P），调用astochastic进程X={Xt}t∈R+如果x a.s.veri fiesxt=Yt，Xtover R+，则随机ODE“x=Yt，x”的解。若X=0，则称X为随机IVP的解‘X=Yt，X，X=0’。如第1章所述，我们的定义与Strand中随机ODS的“SP”（样本路径）公式（1970）一致，该公式基于作者的博士论文Strand（1968）。这应该与Han&Kloeden（2017）中给出的定义形成对比，该定义与Soong（1973）和Sussmann（1978）的定义一致，所有定义都扩展了Srinivasan和Vasudevan（1971）的定义。

具体而言，使用随机过程Z={Zt}t∈R+和函数h∈ C（R，R），然后Han&Kloeden（2017）会问随机微分方程X={Xt}t∈R+验证R+上的x=h（Zt，x）表达式，即Xt=h（Zt，Xt）。我们在第1章中讨论了为什么这对波动率建模过于严格，因为即使在方程1.4的赫斯顿情况下，我们也有x=h（t，Zx），所以Xt=h（t，ZXt）。经典的随机常微分方程理论有充分的理由避免这种情况，因为h（t，Z·）型最理想（随机）函数违反了依赖于适定性性质的Lipschitz条件。在Heston情况下，h（t，Z·）继承了布朗运动的正则性，因此只有（0，）中的阶数是h"older连续的。这种推理激发了宋楚瑜（1973）关于空间李普希兹随机赋的类似悲观言论。根据第4.2节的定义，本章中考虑的问题类别可能很明显，但在澄清其适当性之前，值得明确说明。调用子集G 定义1.3中的函数的C（R+，R），第2章和第3章中的大多数结果适用。问题4.3。固定随机字段Y={Yt，x}（t，x）∈R+是集合G中的a.s.那么f fina随机过程X={Xt}t∈求解随机IVP x=Yt，x，x=0除以R+。对于每个结果ω∈ Ohm, （非随机）IVP x=Yt，x（ω），x（0）=0，然后a.s.提供问题1.4的示例x=gω（t，x），x（0）=0，给定a.s.gω（t，x）=Yt，x（ω）∈ G、 从路径波动率建模框架概率的角度来看，我们对“修复”的使用。然后……\'应注意问题4.3。这是因为我们处于特权地位，我们可以首先确定Y，并且能够找到解决方案x，而不必同时寻找这对夫妇（x，Y）。借用SDE的术语，我们只寻求独特的强大解决方案。

如Cherny&Engelbert（2005）的图1.1所述，如果在G中发现任意Y，这是“最佳可能情况”。与此相关的是，每当我们提到像X这样的随机过程，例如问题4.3的唯一解，我们通常指的是一类不可区分的随机过程。只有定理4.4明确承认这一点，通过构造问题4.3的一个解X，并澄清任何其他X*无法区分，即a.s.Verifies X*= 十、 得体。考虑到问题4.3中的随机IVP仅由G中的随机场和a.s.驱动，我们可以利用前两章中的无概率分析。下一个结果明确了定理3.3对问题4.3的后果。此后，我们将在明确的情况下省略“a.s.”的重复，例如写Y∈ G、 这样的假设意味着集合{ω∈ Ohm : Y（ω）∈ G} 是可测的，即在F中。反过来，满测度集的任何可数交集都可以通过σ-代数的性质来测量，并通过方程1.15保持满测度。正如下一个证明所示，这正是为什么我们的无概率理论可以在路径基础上应用，以获得a.s.结果的原因。定理4.4（问题4.3的适定性）。OREM 3.3中适用于问题1.4的解决方案的所有无概率陈述，在a.s.基础上适用于问题4.3的解决方案，即适用于随机IVP x=Yt，x，x=0和Y的解决方案∈ G、 具体而言：1（全局存在性和唯一性）。存在唯一的解决方案X={Xt}t∈任何此类随机IVP的R+。此解决方案在集合Φ中有路径 定义1.5中的C（R+，R+）；2（上限）。这个解X由过程X={Xt}t控制∈R+defined byXt=inf{x>0:Yt，x<0}，其路径集Φ 定义1.6中的D（R+，R+）；3（持续依赖）。

问题4.3的解映射是连续的，从G到Φw.r.t。紧集上的一致收敛。也就是说，如果{Yn}n∈n生成解{Xn}n∈N、 肯塔基州- YnkR+n→∞----→a、 s.0==> kX公司- XnkR+n→∞----→a、 s.0。（4.1）4路径波动率建模框架证明。让子集Ohm* Ohm 结果的定义Ohm*:= {ω ∈ Ohm : Y（ω）∈ G} 。Giventhat Y∈ 假设我们知道这个集合Ohm*具有全尺寸，即P[Ohm*] = 1、对于每个ω∈ Ohm*, （非随机）IVP x=gω（t，x）：=Yt，x（ω），x（0）=0构成问题1.4的一个例子，因此符合定理3.3的适定性结果。特别是对于每个ω∈ Ohm*, 该IVP有一个唯一的解Д=Дω，该解以路径Д=Дω为界。检查（Д，Д）∈ Φ×Φ在定理3.3和这些集合的定义中很简单。现在，简单定义每个ω的X（ω）：=Д和X（ω）：=Д∈ Ohm*, 进程X和Xare使用第1点中声明的属性构造。和2。在这里技术上还有其他流程X*这解决了问题4.3，但假设这些字段与X不可区分，则提供了Ohm*当违反定理3.3中的唯一性陈述时，使用正测度。所以不可区分X*= 确保X。方程4.1中的连续依赖性陈述以类似的方式遵循定理3.3对子集的应用Ohm* Ohm 全面衡量结果。具体而言，我们可以定义Ohmn： ={ω∈ Ohm : Yn（ω）∈ G} ，则，Ohm*:= ∩nOhmn∩{ω ∈ Ohm : kY（ω）-Yn（ω）kR+n→∞----→ 0}（4.2），然后得到kX（ω）-Xn（ω）kR+n→∞----→ 每个ω为0∈ Ohm*应用定理3.3。ProvidedYn公司∈ G和kY-YnkR+n→∞----→a、 s.0，然后自Ohm*是完全测度集的可数交集，我们有P[Ohm*] = 1根据方程式1.15。

因此，我们展示了kX- XnkR+n→∞----→a、 s.0。除了等式4.1中给出的连续性陈述外，我们也可以使用定理3.3来获得与不同随机元素的相同结果无关的陈述，而是与固定元素的不同结果相关的陈述。E、 g.对于结果{ωn}n∈N Ohm*,kY（ω）- Y（ωn）kR+n→∞----→ 0 ==> kX（ω）- X（ωn）kR+n→∞----→ 0。（4.3）该路径陈述与方程3.9中的无概率陈述不同，只是因为它适用于完整度量集Ohm*, 并且能够在一个明确的完整度量集上做出这样的陈述，这就是为什么我们将我们的框架描述为“路径”本身。然而，方程式4.1中的陈述比方程式4.3更具实用价值。例如，假设我们想要模拟一个随机的IVP解Xb，但不能模拟Y。那么我们可以使用近似场{Yn}n∈Nand至少生成收敛序列{Xn}n∈N、 4路径波动率建模框架解决方案空间。现在，我们澄清了问题4.3的解决方案图的另外两个属性，如第3点。在定理4.4中，而是从第3章推导而来。这些结果没有提供证明，因为它们分别来自定理3.4和定理3.6，就像定理4.4来自定理3.3一样。也就是说，通过定义适当的完整度量集Ohm*, 然后对每个结果ω应用定理3.4和定理3.6∈ Ohm*.扩展使用Д-1在定理3.4中，我们现在让过程X-1={X-1x}x∈R+表示任意X的唯一逆∈ Φ，类似问题4.3的解决方案。这个逆函数定义得很好，在C（R+，R+）中有双射路径，如X和veri fies X-1Xt=t和XX-1x=x表示（t，x）∈ R+。推论4.5（解决方案集）。问题4.3的解集正是所有随机过程X={Xt}t∈R+路径为Φ。

特别是，筛选任何进程＝{t}t∈R+，路径为C（R+，R），然后每个X∈ Φ求解随机IVP x=Yt，x，x=0，当t，x：=XX时-1x+θt- θX-1x。（4.4）此随机IVP提供了问题4.3的一个示例，即Y∈ G、 当θ随supt严格增加时∈R+θt-Xt=∞. 在这种情况下，X是随机IVP的唯一解决方案。请注意，对于每个固定的x∈ R+，方程4.4中随机场的时间结构完全由过程θ决定。下一个结果来自定理3.6，告诉我们，如果我们将这个过程θ简化为固定函数，那么问题4.3的解集不会受到太大影响。具体而言，解集Φ简化为子集中有路径的所有随机过程Φθ Φ在定理3.6中定义。如下文所述，任何这样的子集θ都包含所有路径θ∈ Φ，附加lim inft属性→∞Д（t）<∞.推论4.6（解映射双射性）。修正任何严格递增函数θ∈ C（R+，R）带supt∈R+θ（t）=∞. LetΦθ Φ包含验证支持的路径∈R+θ（t）-^1（t）=∞, 让Gθ G包含表示为G（t，x）的函数G：=θ（t）- w（x）表示某些w∈ C（R+，R）带w（0）≤ 0和supx∈R+w（x）=∞. 然后，地图将每个随机字段Y∈ Gθ到溶液X∈ 问题4.3的情况x=Yt，x，x=0的Φθ是双射的。与定理3.6的证明一样，唯一字段Y∈ 生成所选processX的Gθ∈ Φθ作为问题4.3的解，现在用过程Z={Zx}x给出∈R+byYt，x：=θ（t）- Zx，Zx：=θ（X-1x）- XX号-1x。（4.5）4路径波动率建模框架该过程的路径为C（R+，R）和满意度Z≤ 0和supx∈R+Zx=∞. 推论4.6中的solutionmap双射性当然补充了此映射从Gθ到Φθw.r.t连续。紧集上的一致收敛，如第3点所示。定理4.4。

这样的领域并不常见∈ 方程式4.5中的Gθ与示例2.2中首次引入的函数inFθ密切相关，并包含方程式2.1中定义的赫斯顿情况。我们将提倡使用此类字段Yt，x：=θ（t）- zxf对于波动率建模更为普遍，其中θ∈ C（R+，R）严格增加，支持∈R+θ（t）=∞, Z∈ C（R+，R），Z≤ 0和supx∈R+Zx=∞. 这是因为推论4.6指出，即使我们对一个随机场的时间结构进行了x检验∈ G通过函数θ，问题4.3的解集仅简化为θ中的过程。所有这些过程都满足supt∈R+θ（t）- Xt=∞,由supt保证∈R+θ（t）=∞ lim输入时→∞Xt<∞. 鉴于我们将简要说明流程√X要成为价格过程的波动性，此条件必须满足→∞Xt<∞考虑到lim inft→∞Xt=∞ a、 这显然是不现实的。现在回顾定义3.8中的集Φ和以下讨论。这组特征是瞬时方差过程，我们可以用问题4.3理论建模。因此，如果我们使用Yt型场，x=θ（t）-ZX我们可以对任何X进行建模，从而对波动性进行建模√十、 哪些信息满足要求→∞Xt<∞ 和限制→∞RTXSD=∞, 间隔内不为零。既然我们理解了为什么问题4.3对波动率建模如此有希望，我们最终准备好正确定义目前存在此问题的建模框架。显然，我们还没有在路径基础上整合所有适用于问题4.3的无概率结果。其余部分，如定理3.3中的模拟收敛和定理3.17中的退出时间限制，将在需要时引入。价格流程框架。在本节开始时，我们描述了建模价格过程S={St}t的一般框架∈R+，通过表达式S=exp（WρX-十） 。

该框架在定义4.7中有适当定义，具体取决于问题4.3，该问题具有唯一的解决方案X={Xt}t∈R+根据定理4.4。根据这一定义，我们最终可以调用√Xvolatility在此框架中，然后将该框架更好地描述为“一般波动率建模框架”，如图2.4的维恩图所示，路径波动率建模框架定义4.7（价格过程框架）。让空间(Ohm, F、 P）支持R+和随机场Y上的二维布朗运动W=（W，W）∈ G、 设X={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的唯一解，然后定义价格过程S={St}t∈R+简单地由St表示：=exp（WρXt-Xt），其中Wρ：=p1- ρW+ρwf对于某些固定ρ∈ [-1, 1].与方程1.5中的赫斯顿模型表示一样，该一般框架中s和X的特定模型将由它们唯一验证的方程总结，命名为Xt=Yt，Xt，St：=exp（WρXt-Xt）。（4.6）我们已经在本节开头讨论了为什么这些过程X和sar确实是富饶的随机过程；因为他们都从(Ohm, F、 P）对于具有Borelσ-代数的集C（R+，R），其特征是紧集上的一致收敛。事实上，这些映射在这个意义上是连续的，如果(Ohm, F、 P）适当定义。E、 g.出租(Ohm, F、 P）是支持布朗运动W=（W，W）和随机场Y的正则积空间，因此Ohm := C（R+，R）×C（R+，R），然后通过将等式4.3中的假设扩展到乘积收敛（kW（ω））来确认S的连续性- W（ωn）kR+，kW（ω）- W（ωn）kR+，kY（ω）- Y（ωn）kR++n→∞----→ (0, 0, 0).（4.7）由此我们得到kS（ω）-S（ωn）kR+n→∞----→ 0提供{Y（ωn）}n∈NG、 在定义4.7的框架内，假设Y∈ G、 请注意，尚未对W和Y之间的关系施加任何约束。