与此相反，回想一下theHeston情况Yt，x：=σWx+κ（θt-x） 方程1.5中的+v，其中Y由Wand线性构造，因此方程4.7中的第三个分量是多余的，由第二个分量表示。与此赫斯顿案例一样，接下来的两部分对W和Y施加约束，以确定价格过程S继承理想属性的子框架。既然定义4.7中对价格过程框架进行了充分规定，只有现在我们才能准确地说出我们所说的依赖于框架的随机过程波动率的含义。定义4.8（波动性）。设S={St}t∈R+是在定义4.7的框架内构建的价格过程。然后让波动率σ={σt}t∈S的R+由σ定义：=√十、 4路径波动率建模框架虽然这一定义似乎与σt=ddt[对数S]t的更可识别关系不一致，但我们将在第4.3节的鞅设置中证明两者之间的一致性，即，在定理4.26中，我们显示了[对数S]=X，也就是说，oddt[对数S]t=Xt。考虑到二次变化的存在性和性质（在传统概率意义上）与鞅有着复杂的关系，将这种一致性与S的鞅性一起处理是有意义的。从今以后，我们将优先使用√Xto表示波动性，为了避免符号与方程0.1.4.2中首次引入的Heston波动性参数的波动性发生冲突，广义Heston子框架本节沿着本章开头所述的漏斗向下移动，将一般波动性建模框架从定义4.7减少到图2中的子框架之一。该子框架中的模型是Heston（1993）流行的随机波动率模型的推广，该模型在序言中非正式介绍。

具体而言，定理4.14演示了如何恢复该模型的价格过程分布。除了澄清前一节中定理4.4和推论4.5的结果外，本节的主要贡献是定理4.16和定理4.17中的条件，这些条件确保了力矩母函数（MGF）E【epXt】在此子框架内的存在，其中X是问题4.3的解。这些结果说明了定理4.4中的主导过程X是多么有价值，并且是本论文的第一个内在概率贡献，因为迄今为止，所有内容都可以在路径基础上简化为第2章和第3章中的无概率结果。尽管这些MGF存在结果本身具有信息性，但对于确定相应价格过程的马丁尼性S=exp（WρX）至关重要-十） 在第4.3节中，给出了通过定理4.20中提供的Novikov鞅条件得到的线。现在，我们回顾Heston（1993）的波动率模型，为推广做准备。经典的赫斯顿模型。像往常一样，让我们的空间(Ohm, F、 P）支持R+上的固定标准2D布朗运动W=（W，W）。从W构造，我们可以定义经典的赫斯顿模型，如下所示。为了完整性，可以引用著名的山田和渡边（1971）的pathwise unique4 A pathwise volatility modeling frameworkness结果，表明CIR SDE不等式4.8具有唯一的强解，因此这里指定的模型确实定义得很好。定义4.9（经典Heston模型）。对于固定参数σ、κ、θ、v>0，让过程v={Vt}t∈R+是CIR SDE的唯一解，取决于W，即验证dvt=σpVtdWt+κ（θ- Vt）dt，V=V.（4.8），然后，对于固定ρ∈ [-1，1]，让赫斯顿价格过程S={St}t∈R+由T定义：=经验ZtpVsdWρs-ZtVsds, Wρ：=p1- ρW+ρW。

（4.9）这一相对简单的模型自建立以来，已进行了大量分析，但它继续为一些最前沿的波动率建模发展提供信息，如El Euch&Rosenbaum（2019）的粗糙Heston模型及其与Gatherel、Jusselin&Rosenbaum（2020）的二次方差。考虑到这一点，令人惊讶的是，这个模型和随机ODE之间的关系在现在之前并没有被认真对待。显而易见的原因是，现有的ODE理论并没有立即为生成的随机ODE提供适定性，但第2章现在已经讨论了这个障碍。一个通用的赫斯顿框架。现已定义了一个建模框架，该框架构成定义4.7的子框架，其特征如图2所示。与赫斯顿模型的关系很快推迟到定理4.14，尽管通过将下面的方程4.10与上面的方程4.8进行比较，可以在Z：=Wandθ（t）：=θt.definition 4.10（广义赫斯顿框架）时直觉得出这一点。设θ是C（R+，R+）中的双射路径，Z={Zx}x∈R+C（R+，R）中的任何进程验证条件supx∈R+κx-σZx=∞对于参数σ，κ>0。

让随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+in G由yt定义，x：=σZx+κ（θ（t）- x） +v，（4.10）对于v≥ 0，设X={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的唯一解，并让价格过程S={St}t∈R+由St定义：=exp（WρXt-Xt）对于固定ρ∈ [-1, 1].如果有帮助，将使用方程xxt=σZXt+κ（θ（t））总结该框架中的特定模型- Xt）+v，St:=exp（WρXt）-Xt）（4.11）4路径波动率建模框架但为了帮助与方程式4.8中的CIR SDE进行比较，请注意，我们可以将EVT=σZRtVsds+κθ（t）-ZtVsds+ 五==> dVt=σdZRtVsds+κ（θ（t）-Vt）dt（4.12），其中V：=X，右侧方程假设等效θ（t）=Rtθ（s）ds，这在定义4.10中技术上不需要，即θ不需要绝对连续。与赫斯顿的情况相比，Z：=Wandθ（t）：=θt，我们仍然不需要通过Z在（W，W）和Y之间施加alink，如第4.1节更一般的设置中所述。当然，有必要澄清定义4.10中的隐含主张，即任何此类字段Y不等式4.10确实存在于G中。从方程式4.10中可以明显看出，Y定义了C（R+，R）的arandom元素，但使用定义1.3中的G定义，我们需要1。Y0,0≥ 0 2. Y·，x急剧增加3。infx公司∈R+Yt，x<0 4。支持∈R+Yt，x>0。（4.13）现在1。Y0,0=v>0从Z=θ（0）=0，2开始。Y·，xis严格增加∈ R+，因为θ严格递增，3。infx公司∈R+Yt，x=-∞ < 每t 0∈ R+因为增长假设supx∈R+κx-σZx=∞ 最后是4。支持∈R+Yt，x=∞ > 每个X为0∈ 因为θ的双射性给出了支持∈R+θ（t）=∞. 请注意，这些检查与定理3.6中执行的检查一样，因为这里和那里的设置当然非常相似。

因此，我们显示了Y∈ G、 此外，定义4.10中的广义赫斯顿框架确实定义了定义4.7中的子框架。更具体地说∈ G告诉我们，定义4.10中的随机IVP是问题4.3的一个例子，因此累积方差过程X具有定理4.4中第3章的所有特性。我们将很快返回到其中一些属性，但现在澄清如何在这个广义的赫斯顿框架中恢复经典的赫斯顿过程。赫斯顿关系。现在，我们将阐明定义4.10中的广义赫斯顿框架与定义4.9中的经典赫斯顿模型之间的关系。除了参数σ、κ、v、ρ，请注意，我们的框架中的特定模型是通过路径和过程Z的选择来定义的。因此，这里的主要任务是明确做出这样的选择，从而产生与经典赫斯顿模型分布相等的价格过程。4路径波动率建模框架实现这一目标的主要工具是来自Dambis（1965）和Dubins&Schwarz（1965），但在这里如Revuz&Yor（1999）中的定理5.1.6所述。类似的陈述可以在Karatzas&Shreve（1998）和Ikeda&Watanabe（1992）中找到。定理4.11（Dambis，Dubins Schwarz）。设M是上的连续局部鞅(Ohm, F、 {Ft}t∈R+，P），M=0和[M]∞= ∞, 并通过Tt定义过程T：=inf{s>0：[M]s>T}。然后Bt:=mtt定义了一个验证B[M]t=Mt的FTt布朗运动。注意在这个结果中∈ 允许R+索引过滤{Ft}t∈R+和组成该过滤的过程T，单位为FTt。虽然在数学上可以接受，但这可能导致对过程M和T之间的关系及其物理相关性的直觉不佳。

除了讨论这些现有结果外，这就是为什么我们用变量x来索引我们的布朗运动W∈ R+代替；既要避免指标重复，又要强调这是一个空间变量的物理解释，如方程4.10所示。现在，我们要应用定理4.11的连续局部鞅是组件Mit：=Rt√VSDWIS定义4.9中的i=0，1，因此[Mi]t=RtVsd[Wi]s=RtVsd。如定理4.11所述，这需要a.s.极限【Mi】∞= 限制→∞RTVSD=∞. 尽管一旦我们在定义4.7的框架内表达了赫斯顿模型（使用定理3.3中X的无界性），就可以很容易地验证这一点，但这种论证将是循环的。这种循环可以通过将其定位到紧凑时间范围，然后将其扩展到完整性来避免。或者，也可以使用CIR过程的遍历性，一般在Papoulis&Pillai（2002）或Jin、Kremer&Rüdiger（2019）中有所涉及。也可以通过矩母函数进行证明，如下面引理4.12所述。除轻微的符号差异外，方程式4.14中给出的表达式与Dufresne（2001）和Carr、Geman、Madan&Yor（2003）中获得的表达式一致。引理4.12（积分CIR无界性）。让CIR处理V={Vt}t∈R+验证方程式4.8中的SDE。然后是convergenceRtVsdsa。s--→ ∞ 作为t发生→ ∞.证据确定随机变量序列{Xn}n∈Nby Xn：=RNVSD。我们将首先测试-第1次-→ θ为n→ ∞, 然后将其扩展到索赔。为此，moment4是每个变量n的路径波动率建模框架生成函数-1Xnis由E给出[epn-1Xn]=eДn+Дnv，其中Дn：=κθnσ-2κθσ对数cosh公司λn+κλsinhλn, ^1n：=2pn-1κ+λcothλn, （4.14）和λ：=pκ- 2σpn-1、我们可以限制p∈ R确保λ>0，但这自然会作为n来保证→ ∞.

现在可以直接检查Дnn→∞----→ 0，但不太直截了当→∞----→ pθ。为此，我们首先将以下n的线性展开式写成n→ ∞日志cosh公司λn+κλsinhλn=κn-σp2κ+ε（n），（4.15），然后利用进一步的展开式λn=κn-σp2κ+O（n-1） ，1+κλ=2+O（n-1） 和1-κλ=O（n-1） ε（n）n的要求→∞----→ log（1）=0从表达式ε（n）=log（1+κλ）eλn+（1）中变得清晰-κλ）e-λn2eκn-σp2κ！。（4.16）^1nn的权利要求→∞----→ 然后，pθ来自等式4.14中对κθnσ的抵消，即νn=κθnσ-2κθσκn-σp2κ+ε（n）n→∞----→ pθ。（4.17）因此我们发现E[epn-1Xn]n→∞----→ epθ。epθ是常数θ的矩母函数，我们得到n-第1次-→ θ为n→ ∞ 根据莱维的连续性定理。这提供了-1Xnp-→ θ、 还有n-1kXnka。s--→ θ为k→ ∞ 对于子序列{nk}k∈N、 假设序列{Xnk}k∈Nis非递减，这提供Xnka。s--→ ∞, 因为limk→∞Xnk<∞产生矛盾-1kXnka。s--→ 0 < θ. 所以我们展示了NRNKVSDSA。s--→ ∞ 作为k→ ∞,这扩展了toRtVsdsa。s--→ ∞ 作为t→ ∞ 鉴于RTVSD也是非递减的。数值试验支持直观估计ε（n）=O（n-1） 在等式4.15中，但利用等式4.16中的精确表达式显然有助于确定优先级ε（n）n→∞----→ 在这一点上，值得考虑引理4.12的证明，尤其是它与我们框架中的对应引理相比的相对复杂性。即使不直接应用定理3.3，这一对应关系如下：经典的赫斯顿随机场，x：=σWx+κ（θt-x） +v满意度信息∈R+Yt，x<0和supt∈R+Yt，x>0。

在路径基础上应用推论2.11，随机IVP解X在C（R+，R+）中具有双射路径。与引理4.12相反，很容易证明过程Xt=RtVsds严格递增，这意味着定理4.11中的T与逆X一致-证明引理4.13中使用的路径波动率建模框架的合理性。根据定义3.8后的讨论，如果V在间隔内不能为零，则X严格递增。但假设这样一个区间（a，b）会导致违反方程4.8中的SDE，因为它的读数为0=κθ（t-a） >0表示任何t∈ （a、b）。接下来的结果使用引理4.12将定理4.11应用于classicalHeston模型，我们将准备从定义4.10中的广义Heston框架中恢复该模型。我们尚未正确定义时间变化，涵盖了第4.3节，因此引理4.13中的描述目前可以认为是非数学的。引理4.13（经典Heston时间变化）。让W和V与定义4.9中的经典Hestonmodel相同，并定义Xt:=RTVSD。然后B={Bx}x∈R+定义Bx：=ZX-1xpVsdWs（4.18）是上的另一个二维布朗运动(Ohm, F、 P），该验证BXt=Rt√VsdWsover R+。证据设{Fit}t∈R+是i=0，1时各分量wi的自然过滤，定义局部鞅Mit：=Rt√VsdWison公司(Ohm, F、 {Ft}t∈R+，P）。这清楚地验证了Mi=0和[Mi]t=RtVsds=：Xt。从引理4.12，我们也有limt→∞RtVsds=[英里]∞= ∞,所以定理4.11可以应用于i=0，1中的每一个。这提供了Bx：=MX-1xd定义了一个验证BXt=Mt的布朗运动，这正是这里的说法。下一个结果为第1章开头的操作带来了精确的含义。定理4.14（经典赫斯顿恢复）。

让价格过程S={St}t∈R+源自定义4.10的广义Heston框架，在我们选择θ（t）：=θt和Z：=W.（4.19）的特定情况下，S的分布与定义4.9中的经典Heston过程的分布一致，参数σ、κ、θ、v>0和ρ∈ [-1, 1]. 事实上，如果这个广义Heston过程不是由布朗运动W构造的，而是由引理4.13构造的B（另外使用Z：=B），那么它与经典Heston过程是无法区分的。证据设V和S与经典Heston模型相同，因此V验证积分方程vt=σZtpVsdWs+κZt（θ- Vs）ds+v.（4.20）4路径波动率建模框架优先考虑引理4.13中的布朗运动B，并定义Bρ：=p1- ρB+ρBlike Wρ，我们可以等效地将方程4.20和价格过程写成方程4.9，即vt=σBRtVsds+κθt-ZtVsds+ v和St=expBρRtVsds-ZtVsds. （4.21）现在优先考虑过程Xt：=RTVSD，这将简化为方程4.11的特定情况：Xt=σBXt+κ（θt- Xt）+v，St：=expBρXt-Xt公司. （4.22）因此，S只不过是定义4.10框架内的特定模型，由B而非W构成，且θ（t）：=θt，Z：=B。因此，我们首先得出了不可区分性声明。分配声明随后用W不等式4.22替换B。在SDEs术语中，定义4.10框架中的每个模型都有一个独特的强解，因此S的分布对此类替换是不变的。为了完整性，我们必须验证经典Heston选项θ（t）：=θt和Z：=w验证定义4.10中的要求，即θ是C（R+，R+）中的双射路径，Z是C（R+，R+）中的双射路径，并验证supx∈R+κx-σZx=∞. 这种最终增长条件，即supx∈R+κx-σWx=∞, 是唯一的非平凡要求，但这是从布朗运动是a.s。

如Sato（1999）所述，在0时反复出现，这意味着每N>0，就存在x>Nκ-其中Wx=0，因此κx-σWx>N。从上述证明可以清楚地看出，该结果不仅恢复了赫斯顿价格过程，而且还恢复了其累积方差Xt：=RTVSD，事实上，这些过程（X，S）是联合的。解决方案映射。在定义4.10的广义Heston子框架中工作时，随机字段Y的规格被减少到参数σ、κ、v、ρ、apathθ和波动驱动过程Z的规格。值得涵盖这对解决方案图结果的影响，如适用于定义4.7更广泛框架的推论4.6。推论4.15。在广义赫斯顿定义框架4.10中确定参数σ、κ、v和pathθ。LetΦv，θ Φ包含路径Д，其中Д（0）=v和supt∈R+θ（t）-^1（t）=∞.然后将每个进程Z映射到随机IVP解决方案X∈ Φv，θ是紧集上的双射连续w.r.t.一致收敛。具体而言，当X：=σ时生成X-1.XX号-1台- κ（θ（X-1x）- x）- v. （4.23）4路径波动率建模框架该结果源自推论4.6，但第3点之后的连续性声明除外。在定理4.4中。注意，如果我们允许参数v是R+中的随机变量，则不会发生任何变化，这将把解集从Φv，θ中的过程扩展到推论4.6中的thoseinΦθ。除了等式4.23中给出的Z外，我们还需要随机选择v：=XT来生成所选的过程X∈ θ作为随机IVP溶液。正如推论4.6之后的讨论所述，回想一下满足条件的过程集支持∈R+θ（t）-X（t）=∞ 推论4.15比Φ宽，这验证了更自然的条件lim inf→∞Xt<∞.

因此推论4.15告诉我们，即使在定义4.10的广义赫斯顿子框架中，我们仍然可以通过选择Z，从理论上建模任何接受St=exp（WρXt）表示的价格过程-Xt），其中X是C（R+，R+）中X=v且lim inft的任何双射过程→∞Xt<∞.这正是为什么我们提倡使用Yt型附加可分离字段，x=θ（t）- zx下面是推论4.6，以及为什么我们要介绍示例2.2。如果我们从方程4.10中选取广义赫斯顿随机场，那么很容易看到关联t，x=θ（t）-Zx，其中▄（t）：=κ（t），▄Zx：=κx- σZx- v、 （4.24）因此，广义Heston框架实际上只是一个以可识别的方式呈现给那些熟悉经典Heston模型的人的可加性可分离领域的框架，定理4.14给出了精确的联系。较难识别的表示不等式4.24有助于数学运算，如定理4.16所示。一般MGF存在。除了像定理4.14这样与现有和内在概率理论相关的结果外，本文中的所有内容都可以简化为第3章的无概率结果。与此相反，本节的主要贡献在于（内在概率）MGFs MX（p，t）：=E【epXt】的存在。在这里，X是一个随机IVP解决方案，仅限于定义4.10中的广义Heston框架，但在推论4.15之后的讨论中，这根本不是什么限制。最明显的是，这种MGF的存在将有助于建立价格过程Ess=exp（WρX）的鞅性-十） 在第4.3节中，考虑到组件exp（Xt）的预期，可以直觉得出，此处的exp（Xt）与MX（，t）一致。

但更一般而言，在定理4.16和定理4.17中使用process4 A pathwise volatility Modeling frameworkX证明了始终使用定理4.4中的processX的力量，它支配着X。这尤其有用，因为Xt:=inf{X>0:Yt，X<0}直接来自随机IVP的基础随机场，使我们能够在不分析随机IVP的情况下，对随机IVP解决方案X得出概率结论。这使得我们的框架更易于不太熟悉ODS的概率论者使用。在得出下一个结果之前，需要澄清的是，通过成功地建立E[epXt]<E[epXt]<∞ 对于某些p>0，我们立即得到Xt<∞. 如定义4.10所示，增长点假设supx∈R+κx-σZx=∞ 是为了确保属性infx∈R+Yt，x<G中的0个字段，相当于Xt<∞. 所以如果我们得到[epXt]<∞ 对于t∈ R+和p>0，我们不必检查supx∈R+κx-σZx=∞ 也定理4.16（一般MGF存在性）。让随机场和IVP解Y和x与定义4.10中的广义Heston框架相同，以便我们可以写出t，x=θ（t）-Zx其中θ：=κθ和▄Zx：=κx- σZx- v、 固定p，T>0，然后假设▄Z的左尾（因此Z的右尾）足够薄，可以在 a、 b，c>0 s.t.对数P[~Zx<~θ（t）]<a- （p+b）x x个∈ [c，∞), （4.25）那么MGF MX（p，t）：=E【epXt】存在于t∈ [0，T]。同样，对于MX（p，t）：=E[epXt]。证据定理4.4确定X在Xt的意义上支配X≥ |Xt |=Xt，因此关于X的结论紧接着关于X的结论。如果Y源于定义4.10，那么X由(-∞, θ（t）]。具体而言，Xt：=inf{x>0:Yt，x<0}=inf{x>0：▄Zx>▄θ（t）}=：E▄θ（t）（▄Z）。

（4.26）如果X有非负严格递增路径，则结论适用于t∈ [0，T]前提是其在最终时间T内保持不变。所以让u：=PX-1t表示XT的分布，满足u（R+）=1，其中通常R+=R+∪ {∞}. 在这个阶段，单身汉{∞}是u的原子，即u({∞}) > 0，不应排除。我们需要建立[epXT]：=ZR+epxu（dx）<∞, （4.27）4一个路径波动率建模框架，一旦实现了这一点，那么很明显我们将有u({∞}) = 0，因此R+支持u。使用方程4.27中的展开式epx=1+pRxepudu，然后使用Tonelli定理，我们得到Zr+epxu（dx）=u（R+）|{z}=1+pZR+z[0，x]epuduu（dx）=1+pZR+epuZ[u，∞]u（dx）du=1+pZR+epuu（[u，∞])du，（4.28）在这个阶段，这些表达式可以读为\'∞ = ∞’. 现在是c≥ 0，定义积分Ic：=R[c，∞]epuu（[u，∞])杜。那么等式4.28显示，如果I<∞. 但实际上，如果Ic<∞ 对于任何c，因为- Ic=Zcepuu（[u，∞])杜邦≤ epcZcu（[u，∞])杜邦≤ cepc<∞. （4.29）建立Ic<∞ 并完成证明，定义Mx（~Z）：=最大值∈[0，x]~zu注意u（[x，∞]) = P[Eθ（T）（~Z）≥ x] =P[Mx（￠Z）≤θ（T）]≤ P【】Zx≤θ（T）]。（4.30）这里的中心等式来自一般等价inf{u>0：f（u）>t}≥ x个<==>supu公司∈[0，x]f（u）≤ t表示连续f和f（0）≤ 0，如在Meerschaert&Sche-fier（2004）中使用的，最终的不平等仅来自于Mx（Z）≥ Zx。现在方程4.30与u（[x，∞]) 与我们对P[~Zx]的假设一起出现在ICX中≤θ（T）]，提供u（[x，∞]) ≤ ea公司-（p+b）XF或x≥ c、 将其代入Ic后，我们发现ifZ存在Itchus E[epXT]∞cea公司-bxdx=b-1ea-bc<∞.

（4.31）由于正常数a、b和c的情况显然是这样，那么我们已经证明了它们的存在E[epXt]≤ E【epXt】<∞ 对于所有t∈ [0，T]，因此证明是完整的。方程4.31中得到的积分非常明确，表明我们对方程4.25中Z增长的假设决不是最优的。事实上，首要任务是为定理4.17提供一个预备结果，该定理涉及一类高斯过程z，已知该过程有助于波动率建模。然后将该类简化为第4.4节中定义的RLH模型中的特定示例。如果需要改进REM 4.16，那么我们证明的以下等价物提供了一个很好的起点E[epXt]=1+pZR+epxP[Mx（≈Z）≤θ（t）]dx。（4.32）4路径波动率建模框架由于定理4.16仅取决于过程X，其证明实际上适用于所有随机领域Y∈ G生成等式4.26中相同的过程X，即使它们不会生成相同的随机IVP解X。例如，letλ∈ C（R，R）是一个严格递增的双射过程，那么定理4.16适用于所有领域Yλt，x：=λ（θ（t）-因为λt：=inf{x>0:Yλt，x<0}=inf{x>0:Yt，x<0}=：Xt。（4.33）高斯MGF存在。广义赫斯顿定义框架4.10中的模型由价格S和累积方差X唯一验证的方程确定，Xt=σZXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt）。（4.34）我们现在展示了如何应用定理4.16给出MX（p，t）：=E[epXt]的存在性，假设波动驱动过程Z是高斯的，具有方差增长约束。定理4.17特别令人惊讶的是，除了对Z的约束外，对参数σ、κ、θ、ρ没有附加限制，但结论对所有（p，t）都成立∈ R×R+。

这基本上是通过假设Zxis的方差由布朗运动的方差控制为x来实现的→ ∞. 至关重要的是，Zxis的方差仍然可以在固定的契约上以任意速率增长，这提供了协调观测所需的全局自由。第4.5节对此进行了验证，但如果这一点不明确，请注意，即使通过有界波动率过程，也可以复制所有历史和大多数未来的波动率观察结果。这种全球自由补充了我们现有的局部自由，因为Z除了其连续性之外没有任何局部约束，例如，不必是任何秩序的霍尔德正则。当然，下一个结果将适用于第4.4节中不久定义的特定RLH模型。该模型以最近的粗糙波动率建模发展为指导，假设Zis a（H"older连续）分数高斯过程验证某些γ的E[Zx]=xγ∈ (0, 1).定理4.17（高斯MGF存在性）。设X={Xt}t∈R+与广义赫斯顿定义框架4.10相同。提供了进程Z={Zx}x∈对于某些α、β，R+以高斯为中心，验证E[Zx]<α+βxγ≥ 0, γ ∈ （0，1），然后MX（p，t）：=E[epXt]全局存在，即对于所有（p，t）∈ R×R+，无论参数σ、κ、θ、v、ρ如何选择。4路径波动率建模框架证明。给定Xtis非负，当p≤ 0，所以我们现在可以假设p>0。为了将定理4.14应用于此处的全局结果，条件不等式4.25必须适用于任何p，T>0。因此，对于任何p，T>0，我们用log p[~Zx<~θ（T）]：=log p[κx]寻求a，b，c>0- σZx- v<κ（T）]<a- （p+b）x（4.35）表示x∈ [c，∞). 现在确定常数θT：=θ（T）+κ-1v>0，因此方程4.35变为方程P[σZx>κ（x- θT）]<a- （p+b）x.（4.36）只搜索c>θT，这意味着x>θT。

固定x，然后具有κ（x-方程4.36中的θT）>0使这直接成为Zx正尾上的条件。给定方差小于α+βxγ的Zxis无中心高斯随机变量，方程4.36适用于iflog Pφ>κ（x- θT）σ√α+βxγ< 一- （p+b）x，（4.37），其中φ是标准高斯数。通过调用流行的高斯界P[φ>u]<e-u或u≥ 0，我们在方程4.37中获得该要求，如果对于某些这样的a，b>0-κ（x- θT）σ（α+βxγ）<a- （p+b）x（4.38），对于大于某些c的所有x≥ θT.将方程4.38中的展开式取为x→ ∞, we seeO（x2-γ） =κ（x- θT）σ（α+βxγ）和（p+b）x- a=O（x）。（4.39）考虑到2-γ>1源自假设γ∈ （0，1），无论κ、σ、θ、α、β、T或p如何，这样的a、b、c的存在最终都是合理的。事实上，在这里的高斯设置中，我们实际上可以首先确定任何a、b>0，然后方程4.38的基本操作表明这对所有x都是满意的∈ [c，∞), 根据需要，如果我们选择c>1∨θT∨d、 其中：=2θT+2σκ（p+b）（α+β）1.-γ< ∞. （4.40）发现此类值a、b、c>0后，定理4.14提供了（p，t）的MX（p，t）和MX（p，t）的存在性∈ R×[0，T]。这扩展到所有（p，t）∈ 给定的T是任意的。请注意，用于获得方程4.38的高斯边界可在Feller（1968）中找到，以及更紧的P[φ>x]<x√2πe-xas x→ ∞. 如果需要的话，这一较紧的界限可能有助于4路径波动率建模框架处理定理4.17中的边界情况γ=1，尽管在与方程4.37中的对数合成后，其本身不适合直接操作。这就总结了我们对定义4.10中的这些广义Heston模型的理论，它定义了定义4.7中的一般模型的子框架。在第4.4节中，该理论将应用于本子框架中的特定RLH模型。

但首先，我们看一下图2所示的Martingale子框架，其中也包含RLH模型。4.3鞅子框架在本节中，定义了定义4.7中的子框架，该子框架仅适用于价格过程S={St}t∈R+是鞅w.R.t.一些过滤{Gt}t∈R+共(Ohm, F、 P）。如图2所示，该鞅框架的特点是∈ Gwhich展示了另外两个属性。这些性质分别确保了适应性和可积性条件的验证，就像定义4.19中一样，任何鞅都必须满足这些条件。与刚刚介绍的MGF一样，Y油田的这些属性也有一个非典型值，即可以在其规格确定后立即进行检查，即不需要对相关随机IVP X=Yt，X，X=0 drivenby的溶液X进行再结晶分析。因此，虽然鞅与概率是不可分割的，并且不能建立在路径基础上，但我们仍然能够保持概率上简单的方法。鞅在金融中的普遍重要性，以及该鞅框架的价值，与无套利衍生品定价的实践有关，现在对此进行解释。由于这里的目标是对实用价值进行简洁的阐述，而不是技术主题，因此我们主要借鉴Cont&Tankov（2003）中的简明推理。衍生产品定价是指措施。让时间t=0表示当前，并将真实世界股票价格St>0（例如任何公布的价格）的未来可能路径视为一个连续的随机过程S={St}t∈概率空间上的R＋(Ohm, F、 P）。

让过滤{Gt}t∈R+包含每个区间[0，t]上与S相关的信息，就像F在R+上所做的一样，并假设任何可用的价格历史记录{St}t∈[-T、 0）是固定的，在当前信息G.4中，是一个路径波动率建模框架。就我们的目的而言，S上的金融衍生品是双方之间的合同，以在未来某个特定时间T>0（到期日）交换现金金额（Payoff），这取决于S在[0，T]上的行为。现在让导数是{St}t的有界映射∈[0，T]至付款∈ R（关于Borelσ-代数可测）。E、 g.考虑#：：=ST≥Sormax{K-RTStdt，0}表示K>0（走向）。第4.5节将重点讨论max{K-ST，0}。从时间0的固定金额现金开始，假设所有市场参与者的未来投资活动都能够在任何时候购买或出售任何数量的该股票，或以商定的价格与其他方签订此类衍生品合同。此外，假设此类活动后剩余的任何现金随时间保持不变。那么，相关的问题是：一方应该如何为衍生品定价？仅在时间0时考虑这个问题（当然，该论点是泛化的），它由另一个映射∏（定价规则）来回答，从衍生品支付#到价格∏（#）∈ R、 通过概率测量Q下的支付预期来指定∏是方便的（无必要的）(Ohm, F） ，Q通过指示器A从∏中回收∈ F、 π（#））：=等式[#]==> Q【A】=π（A）。（4.41）注意，我们对#的有界性假设确保了EQ[#]的存在，但这可以通过选择Q来保证（如果需要）。现在有两点需要强调。首先，通过度量Q指定定价规则∏的这种便利性不仅仅是这样。

在地图∏上非常自然的约束下，如正性和线性：#≥ 0 ==> Π(#) ≥ 0和∏（nXi=1#i）=nXi=1∏（#i），（4.42）如果我们使用关系∏（#））=等式[#]，则∏或Q的规格在数学上是等效的。考虑到概率度量的显示性质与等式4.42中的性质非常相似，但适用于σ-代数的子集，这并不完全令人惊讶。其次，指定定价规则和度量之间的这种等价性不应被解释为一个数学事实。E、 g.至少在现阶段，现实世界度量P与任何可能的定价度量Q.4 A路径波动率建模框架无套利均值鞅之间没有直接关系。回想一下，map∏（#）=EQ[#]仅在时间0分配了竞争价格，请注意，如果Q与P在给定的信息G上一致，则可以将其等效为∏（#）=EQ[| G]。现在∏和Q之间的定价关系在时间t上持续扩展∈ [0，T]当利用∏T（#）=EQ[#Gt]和每个价格∏T（#）时，与St一样，定义了一个真实世界的随机过程，直至其成熟。现在，我们还想确保通过选择定价度量Q指定的价格∏t（#）=EQ[#| Gt），不适应现实世界度量P下无风险财富的表面生成。根据此原则设定的价格称为无套利。我们省略了套利的严格数学定义，取而代之的是一个充分的例子。从任何时间t开始工作∈ [0，T]，考虑Payoff#：=静态到期日T的衍生工具。为了确保导数价格∏t（#）=EQ[#| Gt]实际存在，我们必须将#上的早期有界性假设放宽到测度上的可积条件：EQ[ST | Gt]<∞.在时间T，该衍生工具的价格EQ【ST | GT】=ST与股票的价格一致，而与所选的度量值Q无关。

因此，如果我们可以在时间t出售该衍生工具，使用验证q[ST | Gt]>ST的度量，即EQ[ST | Gt]的比例-通过同时以St的价格购买股票来确保St>0。这种简单的策略证明了套利，并且只有在选择Q时，才能禁止对所有各方和时间进行套利，从而使EQ[St | Gt]=所有t，t的St∈ R+带t≤ T验证此属性EQ[ST | Gt]=ST的任何度量Q都可以称为风险中性，因为它表明购买股票ST的风险没有预期的收益或成本。但更重要的是，此属性是鞅的主要特征，更一般地说，如果S定义了鞅，我们称Q为鞅度量(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，Q）。鞅的严格定义推迟到定义4.19，以保持实际重点。回顾套利是一个现实世界的概念，即与测度P相关，令人惊讶的是，如果使用鞅测度Q和map∏t[#]=EQ[#| Gt]设置导数价格，那么所有套利，而不仅仅是上面的简单例子，都是被禁止的，前提是Q是额外等价于P，这意味着对于任何事件，a∈ F、 P【A】=0==> Q【A】=0。这种等价性推广了我们先前的假设，即Q在G上与P一致。4路径波动率建模框架套利和鞅之间的完整关系比这更深，是数学金融的惊人成就，通常被称为资产定价的基础理论。这一结果进一步证明，如果我们希望抑制阿比塔比特拉，我们实际上别无选择，只能通过这种等价鞅测度（显式或隐式）来实现。有关更多细节，请参考Cont&Tankov（2003）。实际定价。

在上述推理中，与传统的论述相比，我们故意淡化了现实世界中度量P在衍生品定价中的作用。回想一下，我们假设S是连续时间t上的随机过程∈ R+，尽管它为离散发布的价格定义了一个模型。因此，真实世界属性的经验验证，如P[A]=0，而不是P[A]=10-理论上是不可能的。我们继续按照埃米尔·博雷尔（EmileBorel）的这句话，也在Cont&Tankov（2003）中。备注4.18。也许可以证明某些[关于概率的]定理，但它们可能没有任何意义，因为在实践中，不可能验证假设是否充分。在实践中，衍生工具定价者通常专注于直接开发和利用成功的鞅模型，即描述鞅测度，而忽略了一些现实世界的影响。最近byrough volatility提供了一个罕见的成功反例。在这种情况下，研究人员开发了鞅模型，例如Bayeret al.（2016）的鞅模型，以特别适应他们的真实世界信念，即波动性可以表现出比布朗运动低得多的霍尔德规律，参见Gatheral et al.（2020）。无论出于何种动机，我们通常评估这种新鞅模型的实际性能的方式是通过它们协调更大的现有现实世界衍生品报价集的能力。回想一下，衍生价格∏t（#）=EQ[| Gt]在P下定义了一个随机过程，与St类似。但在Q下，通过应用条件期望的塔式属性，该价格∏t（#）被视为与St共享鞅属性，EQ[∏t（#））：=EQ[EQ[| Gt]=EQ[#Gt]=：t（#）。（4.43）4路径波动率建模框架通过这种方式，我们可以认为衍生产品价格与股票价格一样。

而且，正如能够以两种不同的价格交易一只股票将构成最简单的套利一样，设定与可靠的现有报价不一致的衍生品价格也将构成最简单的套利。这就是将现有价格的调整作为绩效衡量的模型。Indeed这个度量可以是循环的，但以这种方式（无意中）使用它表明了缺乏选择敏感导数集的能力，这可能更像是一门艺术而非科学。在继续之前，值得指出的是，这里省略了与现实世界衡量标准P相关的许多常见定义，如可接受和自我融资交易策略，以及买方和卖方价格的概念。为了理解这些概念是如何通过现实世界的超级复制和市场完整性来实现鞅度量的，建议使用实用但数学上优雅的文本Guyon&Henry Labordère（2013）。诺维科夫鞅条件。我们现在致力于定义4.7中的鞅子框架。我们将保留所有与真实世界概率度量的联系，如上所述，以供将来的工作使用，因此重新引入我们的过滤空间(Ohm, F、 {Gt}t∈从本节开始，理解P将描述一个抽象模型，而不是真实世界。很快就会明白为什么我们用GT来表示我们的一般过滤。首先，我们正确地定义了这个空间上的连续鞅。为此，回想一下连续随机过程M={Mt}t∈R+接通(Ohm, F、 {Gt}t∈如果Mtis Gt可测量每个t，则称为R+，P∈ R+。如果我们让指数t表示时间，那么这基本上就是说我们不需要来自未来的信息，即在某些集合中，用t>t来构建Mt。

同样，由于包容性s≤ t型==> Gs公司 Gtof过滤，如果我们可以从Gt构建MTF，那么我们可以另外构建整个历史{Ms:s∈ 定义4.19（连续鞅）。关于过滤概率空间(Ohm, F、 {Gt}t∈连续鞅是一个连续过程M={Mt}t∈R+采用并验证了E[| Mt |]<∞ 和E[Mt | Gs]=每s，t的Ms∈ R+带s≤ t、 这个定义将通过写M是Gt鞅来总结。如果M在C（R+，R+）中还有路径，即非负且在紧集上有界的路径，4则为路径波动率建模框架，然后可积条件e[| Mt |]<∞ 当Mt不依赖于G时是多余的，即验证e【Mt】=e【Mt | G】。然后我们总是发现E[| Mt |]=E[Mt]=E[Mt | G]=M<∞.关于鞅价格过程，我们将始终处于刚才描述的设置中。要了解这一点，请记住，我们的价格过程是S={St}t∈在定义4.7的一般框架中，R+采用指数形式S=exp（WρX-十） ，带X∈ Φ  定义1.5中的C（R+，R+）。因此，S的路径是严格正且有限的，S=1给定Wρ=X=0。我们建立这种价格过程的马丁尼性的主要工具如下所示，这是Novikov（1973）认可的，尽管这里的介绍与Ikeda&Watanabe（1992）类似。定理4.20（Novikov鞅条件）。设L={Lt}t∈R+是上的连续局部鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），L=0，并确定过程M={Mt}t∈R+byMt：=膨胀（Lt-[五十] t）。然后提供E[E[L]t]<∞ 每t∈ R+，M是Gt鞅。请注意，我们对Novikov条件的陈述在技术上忽略了Ikeda&Watanabe（1992）中隐含的局部平方可积性假设。

正如罗杰斯和威廉姆斯（Rogers&Williams）（2000）第5章所阐明的，这一假设非常丰富，也就是说，这里的任何此类过程都满足了这一假设。当然，我们还没有真正定义局部鞅L={Lt}t∈R+和相关的二次变量[L]={[L]t}t∈定理4.20所依赖的R+。但这是因为应用现有的“时间变化”结果（稍后将介绍）将使我们能够在框架中应用EOREM 4.20，而不直接依赖于这些复杂的对象。具体而言，比较表示经验（Lt-[五十] t）在定理4.20中，价格过程St=exp（WρXt-Xt）在定义4.7中，应用Novikov条件的要求是明确的：随机IVP解X必须是WρX={WρXt}t∈R+定义了这种过滤的aGt局部鞅，其中[WρX]=X，E[eXt]<∞ 对于t∈ R+。对于那些熟悉时间变化的人来说，重要的是要认识到，对于依赖于任意随机场Y的任何此类随机IVP解决方案X，像[WρX]=X这样的属性绝不是经过验证的∈ G开启(Ohm, F、 P）。这相当于说问题4.3的解决方案不仅仅是变相的时间变化，通过定理4.22后面的一个例子加以说明。因此，如果我们想将定理4.20与时间变化理论相结合，那么我们必须只选择具有与定义4.7中的属性相比的额外属性的随机领域。一旦我们了解适用于X等一般过程的相关属性，而不一定是随机IVP解决方案，一些随机领域的路径波动率建模框架属性将从本质上揭示出来。时变布朗运动。对于这一部分，我们使用Revuz&Yor（1999）第5章第1节。

在其他流行的文本中可以找到非常相似的部分，如池田和渡边（1992）、卡拉萨斯和什里夫（1998）以及罗杰斯和威廉姆斯（2000），但通过使用Revuz和Yor（1999），我们可以最简洁地处理上述与时间变化相关的问题。也就是说，在我们的设置中，所有这些文本中用于索引的符号可能会令人困惑。通过指出我们的目标是得出S是aGt鞅的结论，可以直观地预见这种混淆，也就是说，我们想得出一个关于由“时间”t索引的过程和过滤的结论∈ R+。然而，在时间改变后（如果我们想避免重复使用索引），如果我们从一个空间开始，这个简单的目标将无法实现(Ohm, F、 {Ft}t∈R+，P）由t表示∈ R+，就像我们通常做的那样。当然，在很多情况下，重复使用任意索引是明确的，但这不是我们的设置，因为将要重复的索引直接对应于索引我们随机领域的索引Y={Yt，x}（t，x）∈R+。在本章开头描述概率设置时，我们已经讨论了这个小问题的自然解决方案。我们只需要从太空开始(Ohm, F、 P）支持我们的2d布朗运动W，并用空间变量x索引该过程∈ R+，即W={Wx}x∈R+。然后{Fx}x∈R+表示W的自然过滤。我们现在正确定义了时间变化。对比Revuz&Yor（1999）中的定义1.2，我们这里只考虑连续时间变化，这简化了呈现。对于我们的应用程序，实际上只需要严格增加和区分时间变化，就像我们的随机IVP解决方案X∈ Φ. 首先回顾一下随机变量τ∈ R+接通(Ohm, F、 {Fx}x∈如果事件{τ≤ x} 在Fx中。

我们继续为这些变量使用停止时间，即使在我们的设置中，停止级别更合适。定义4.21（连续时间变化）。过滤概率空间上的连续时间变化(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P）是一个随机过程X={Xt}t∈R+，其在C（R+，R+）中具有递增路径，并且每个随机变量定义一个Fx停止时间。现在，我们可以简明扼要地陈述Revuz&Yor（1999）中命题1.5的一部分，如下所示。4路径波动率建模框架定理4.22（时变布朗运动）。设X={Xt}t∈R+是时间变化(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P）。那么WX={WXt}t∈R+是一个FXt局部鞅，其中[WX]=X。因此，现在我们要建立价格过程S：=exp（WρX-十） 我们需要随机IVP解X={Xt}t∈根据定义4.21，R+为时间变化。然后，我们将能够结合定理4.20和定理4.22，而不需要直接考虑局部鞅或二次变化的性质。根据定义4.21和定理4.4，很明显，任何此类随机IVP解X在S中：=exp（WρX-十） 是一种时间变化，前提是每个XT都是Fx停止时间。为清楚起见，这要求每个x∈ R+，我们发现事件{Xt≤ x} 在Fx中，其中{Fx}x∈R+是W的自然过滤。重要的是要看到，在问题1.4中，我们对驱动随机场Y和生成Fx的布朗运动W之间的关系没有任何限制，X自然不会表现出这种停止时间特性：我们的随机IVP解决方案不仅仅是变相的时间变化；时变理论为我们建立鞅框架提供了便利。为了证实这一点，对于任何c>0的情况，请考虑字段Y∈ G在YT定义的广义赫斯顿框架中，x：=σZx+κ（θ（t）- x） +v，Zx：=W | c-x个|- 厕所。

（4.44）然后每当x∈ [0，c），{Xt≤ x} 在Fc中-x\\Fx而不是Fx，因此x不是时间变化。因此，为了寻求定义4.7的鞅子框架，现在的任务是描述领域的子集∈ G确保每个XT定义一个外汇停止时间，从而改变时间。考虑到简单关系Xt=Yt，Xt，确保这一点的条件并不难获得，其中一些条件已在适应性定义4.23中正式规定。现在，注意到，在X确定时间变化的情况下，使用log S=WρX-X根据定理4.22，我们可以看到[对数S]=[WρX]=X。那么我们对波动率σ的一般概念是：=√定义4.8中的x与传统关系σt=ddt[对数S]t相一致。这就是是否可以应用定理4.20的情况，例如，我们可以发现e[外部]=∞ 然后S：=exp（WρX-十） 可能不是鞅。鞅框架。这一部分从定义4.25中的图2定义了鞅子框架，并以定理4.26告终，这实际上证明了这4一路径波动率建模框架产生了鞅价格过程S={St}t∈R+。该结果用可积性假设MX（，t）：=E[exp（Xt）]<∞, 我们已经通过定理4.16和定理4.17展示了如何在广义Heston模型中验证这一点。下一个定义只是形式化了一个想法，即给定布朗运动W={Wx}x∈子区间[0，x]上的R+ R+，我们希望能够构造随机场Y={Yt，x}（t，x）∈子域上的R+×[0，x] R+。调用{Fx}x∈R+表示W的自然过滤，并设R为R的Borelσ-代数，例如由欧几里德距离导出。定义4.23（空间适应领域）。

在上(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P），调用随机字段Y={Yt，x}（t，x）∈如果y，x：(Ohm, 外汇）→ （R，R）对于每个（t，x）都是可测量的∈ R+。请注意，它是排序属性u≤ x个==> 傅 Fxof过滤，确保如果Yt，x：(Ohm, 外汇）→ （R，R）是可测量的，那么Yt，u也是可测量的：(Ohm, 外汇）→ （R，R）用于每个HU∈ [0，x）。也就是说，如果一个随机场Y在空间上符合这里的定义，那么我们确实可以在整个R+×[0，x]上构造Y，前提是我们在[0，x]上给定W。从在R+×[0，x]上构造Y的能力可以清楚地看出，即在任何时候，当给定nw在[0，x]上时，我们将假定Y·，x-Y0，xd为每个fixedx定义一个确定性函数∈ R+。当然，定义4.10中的广义赫斯顿框架就是这种情况。考虑到确保每个定义一个外汇止损时间的总体目标，可以通过直接利用止损时间来大幅推广定义4.23。这可以使我们在从另一个随机IVP解决方案构建基础随机场时保留价格过程的马丁尼性，但这相当于考虑高维随机IVP，当然，首先探索1d案例是有意义的。下一个结果证实了空间自适应场的值，表明这些场确保了停车时间属性{Xt≤ x}∈ Fxfor（t，x）∈ R+。为此，它有助于服务于事件{Xt≤ x} ：={ω∈ Ohm : Xt（ω）≤ x} 与{x一致-1台≥ t} ，通过定理4.4给出了随机IVP解X从和到R+的双射的路径。引理4.24（时间变化解）。让Y∈ G是空间上的空间适应场(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P）。那么问题4.3的解，x=Yt，x，x=0，是一个时间变化。4路径波动率建模框架证明。

使用定义4.21，从定理4.4可以清楚地看出，解X∈ Φ具有时间变化所需的所有属性，但通常每个XT不必是Fx停止时间。等式4.44中的反例说明了这一点。此停止时间条件要求每个x∈ R+，我们发现{Xt≤ x}∈ 外汇。假设字段Y在空间上符合定义4.23，每个限制{Yt，u}（t，u）∈R+×[0，x]是Fx可测量的，即从Fx我们可以在R+×[0，x]上构造字段Y。因此，给定X和Y之间的关系Xt=Yt，Xt，X=0，从fx我们也可以清楚地将过程X构造到相同的X级∈ R+，在随机时间X达到-1x。在给定Fx的情况下，这种能力可以构造严格递增的过程X，直至级别X∈ R+明确了任何t∈ R+，事件{Xt≤ x} 从Fx中的信息可知：我们只测量随机时间x-1x，然后使用{Xt≤ x} ={x-1台≥ t} 。这表明{Xt≤ x}∈ Fx，因此通过定义，每个XT是一个Fx停止时间，完成证明。我们已经准备好定义图2所示的鞅框架。这是定义4.7中一般框架的一个子框架，假设Y具有空间适应性和[exp（Xt）]<∞ 其中Xt：=inf{x>0:Yt，x<0}，但为了更清晰，在这里进行了完全定义。定义4.25（鞅价格框架）。让(Ohm, F、 P）在R+上支持布朗运动W=（W，W），设{Fx}x∈R+是W的自然过滤，Y是G中的空间适应随机场，满足MX（，t）：=E[exp（Xt）]<∞ 超过R+。设X={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的解，然后定义价格过程＝{St}t∈R+乘以S：=exp（WρX-十） ，其中Wρ=p1- ρW+ρwf对于某些ρ∈ [-1, 1].在本节的过程中，基本上已经确定了下一个结论性结果，但仍在此处加以巩固。

虽然很明显，定义4.25中的可积性假设仅用于确保MX（，t）<∞, 前者被优先考虑是有充分理由的：这是非常有实际价值的，因为这是一种可以直接从Y检查的情况，不需要分析随机IVP。定理4.16证明了这一点。定理4.26（鞅价格过程）。任何价格过程S=exp（WρX-十） 源自定义4.25中的框架的是Gt:=FXt鞅，而Verifies[log S]=X.4是路径波动率建模的框架证明。假设MX（，t）≤ MX（，t）和MX（，t）<∞ 由假设确保，然后E[外部]<∞ 并且可以调用定理4.20中的Novikov条件得出结论，如果WρXis是一个FXt局部鞅，则S是一个鞅，该局部鞅验证[WρX]=X。如果X是(Ohm, F、 {Fx}x∈如定理4.22所述，R+，P），然后[对数S]=[WρX]=X也如下所示。引理4.24的唯一目的是确定X确实定义了所需的时间变化，前提是Y在空间上符合定义4.23，因此应用该引理完成了证明。4.4 Riemann-Liouville-Heston模型本节的主要目的是在刚刚涉及的两个价格过程子框架的中间部分定义和澄清特定模型的属性，如图2所示。即定义4.10和定义4.25中的广义Heston和鞅模型。尽管通用的赫斯顿子框架通过选择波动驱动过程Z={Zx}x提供了很大的自由度∈R+（回顾推论4.15和下面的讨论），这里的第二个目的是演示如何通过选择Z，轻松和数学协调地进行粗略波动性研究。