具体而言，我们如何适应（0，）中任何固定顺序的H"older连续波动率模型。为了预见这种和谐，首先回顾一下，广义赫斯顿框架中的模型可以由价格及其波动性唯一验证的方程来总结√十、 namelyXt=σZXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），（4.45），其中通常Wρ=p1- ρW+ρW和（W，W）是标准的二维布朗运动。还可以从定理4.14中回忆一下，当选择θ（t）=θt和Z=W时，此处S的分布与经典Heston模型的分布相一致。然后，此处定义的新模型体现了简单地用其黎曼-刘维尔分数导数Z=Dα（W）=：Wα（0，）中的某阶α替换经典布朗运动Z=Wselection的想法。这是赫斯顿模型的一个新的推广，由于明显的原因，将被称为黎曼-刘维尔赫斯顿（RLH）模型。该模型可通过在方程4.45中设置Z=Wα来总结，然后在α=0的省略4 A路径波动率建模框架边界情况下简单恢复经典的赫斯顿模型。假设方程4.45中的θ为例如Lipschitz，则方差过程xinher为Z的H"older连续性：=Wα，即。-α - 对于任何 > 这个经典的替换在我们基于ODE的框架中是可以接受的，不需要额外的适定性工作，这一事实不容忽视。事实上，这证明了我们的框架的稳定性源自第2章的结果，与经典赫斯顿模型的基于It的框架形成对比，在赫斯顿模型中，如果没有实质性的额外工作，这种和谐的替代理念基本上没有意义。参见示例。

Keller Restel，Larsson&Pulido（2018）和Abi Jaber，Larsson&Pulido（2019）的研究适用于替代性的“粗略Heston”概括，但仍不知道有独特的强大解决方案。热切的读者可以跳到图22，图22展示了ourlh模型的样本路径，但本节主要致力于严格定义该模型，从Riemann-Liouville型分数导数开始。如前一节所述，在确认RLH价格过程定义了阿马丁格尔，从而生成无套利衍生品价格之前，将澄清第2章和第3章结果的后果。分数导数。现在引入了（0，1）阶的Riemann-Liouville（RL）分数阶导数，并强调了H"older空间之间的连续映射性质。该特性将有助于稍后理解RLH模型的相关映射特性，然后通过定理2.20建立其模拟的收敛性。对于任何λ∈ （0，1），设Hλ C（R+，R）表示从0开始，且在任何紧致子区间I=[0，I]上的函数集w R+验证λ：kwkλI=supx阶的H"older条件∈I | w（x）|+supx，u∈Ix6=u | w（x）-w（u）| | x- u |λ<∞. （4.46）回想一下空间（Hλ，k·kλI）（包含每个w的限制∈ Hλto I）是不可分的Banach空间。证明了布朗运动可以在可分离子空间（Hλ，k·kλI）上构造，这对我们来说非常方便，后来如Hamadouche（2000）中介绍的那样。定义4.27（Riemann-Liouville分数阶导数）。对于任意路径w∈ Hλ和α阶∈ （0，λ），w的α-分数导数是路径Dα（w）∈ Hλ-在R+比亚迪α（w）（x）上定义的α：=Γ（1）- α） ddxZxw（u）（x）- u） αdu。

（4.47）4路径波动率建模框架本文定义的算子Dα被Hardy&Littlewood（1932）的经典结果很好地定义，并在Hamadouche（2000）的定理8中得到了很好的巩固。在w（0）=0之后，dα（w）（0）=0的含义不应忽视。作为参考，Dα与Samko et al.（1993）定义2.2中的左手RL分数导数一致，其中用Dα0+表示。然而，出于我们的目的，不建议使用此流行文本。以下连续性结果也是由Hardy&Littlewood（1932）得出的，尽管Hamadouche（2000）中的命题2也提供了光滑的证明。这个证明也说明了dα：Hλ→ Hλ-α是双射的，因此也定义了H"older范数的同构。定理4.28（分数阶导数的H"older连续性）。对于λ∈ （0，1），{wn}n∈NHλ，α∈ （0，λ）和I=[0，I] R+，算子Dα在kw意义下是H"older连续的- wnkλ英寸→∞----→ 0 ==> kDα（w）- Dα（wn）kλ-α英寸→∞----→ 0。（4.48）调整粗略波动率观察值；波动率表现出的H"older正则性远低于布朗运动，我们只需在定义4.10的广义Heston框架中，通过RL分数阶导数过程来驱动波动率过程。定义4.29（Riemann-Liouville过程）。从布朗运动W={Wx}x∈R+接通(Ohm, F、 P），确定过程Wα={Wαx}x∈R+乘以Wα=Dα（W），其中α∈ (0,). 一、 e.，Wαx：=Γ（1- α） ddxZxWu（x- u） αdu。（4.49）因为λ在Hλ中的Ware a.s.路径∈ （0，），然后我们在λ的Hλ中找到Wα∈ (0,-α).因此，我们可以通过根据需要简单地提高导数阶数α来降低Wα的H"older正则性，从而降低X。忽略常数，这个过程Wα实际上与It^ointegralRx（x）无法区分-u）-αdWu，由Lévy（1953）引入，与Mandelbrot&Van Ness（1968）的分数布朗运动有关。

具体而言，对于粗波动率建模，Horvath、Jacquier和Muguruza（2019）对此类可区分的关系进行了概括。为了使分数阶导数的性质之间的联系最为明确，将优先考虑定义4.29中Wα的表示。这也继续强调了我们缺乏对随机微积分的任何直接依赖。在Jacquier、Pakkanen和Stone（2018）中可以找到Wα的完整协方差结构，但以下总结了我们需要的内容。4路径波动率建模框架EMMA 4.30（Riemann-Liouville过程属性）。对于α∈ （0，），Riemann-Liouville过程Wα是高斯过程，每个λ的路径在Hλ中∈ (0,-α） ，对于所有x∈ R+验证值[Wαx]=0，E[（Wαx）]=x1-2αΓ(1 - α)(1 - 2α). （4.50）在这一点上，值得注意的是，对于某些固定的a，b，过程Wα具有次线性方差增长，即E[（Wαx）]<a+bxC≥ 0，c∈ （0，1）和所有x∈ R+。例如，回顾α∈ （0，）并使用引理4.30，取任意a>0，b>Γ（1-α)-2(1-2α)-1和C=1- 2α. 注意，这使得定理4.17可以用于多种目的。RLH模型。RLH价格过程模型是在定义4.10的广义Heston框架内建立的，在此框架内，我们选择分数导数Z=Wα：=Dα（W）。因此，在任何概率空间上，其完全定义如下(Ohm, F、 P）支持R+上通常的2d布朗运动W=（W，W）。我们使用Wα和Wρ的符号表示不同的过程，例如ρ=α6，不应产生混淆==> Wρ=Wα。定义4.31（Riemann-Liouville-Heston模型）。

设θ是C（R+，R+）中的任何双射，且设Wα={Wαx}x∈R+是α阶的分数阶导数Wα=Dα（W）∈ (0,).对于某些固定参数σ、κ、v>0，确定随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+in G byYt，x：=σWαx+κ（θ（t）- x） +v，（4.51）然后设x={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的解，让价格过程S={St}t∈R+由S定义：=exp（WρX-十） 对于某些固定ρ∈ [-1, 1].因此，RLH模型可以用X和S唯一验证的方程来总结：Xt=σWαXt+κ（θ（t）-Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），Wρ=p1- ρW+ρW，（4.52），利用定理4.14，当θ（t）=θt和α=0时，价格过程S的分布与经典Heston模型的分布一致，注意D（W）=W。如方程4.12，我们的波动过程√五=√Xin该模型等效验证vt=σWαRtVsds+κθ（t）-ZtVsds+五==> dVt=σdWαRtVsds+κ（θ（t）-Vt）dt，（4.53），其中第二个方程假设θ的绝对连续性，即θ（t）=Rtθ（s）ds。注意，严格增加θ可确保其a.e.差异性，因此V=Xa。e、 继承了4 A pathwise波动率建模框架(- α - )-Wα的H"older连续性。如果θ是额外的(- α - )-H"older continuous（例如Lipschitz），那么X也是如此（无处不在，而不仅仅是a.e.）。最终波动率√Xinherits公司(-α-)-Xt>0且为的区间上的H"older连续性(-α-)-霍尔德则不然。得体。我们需要确认其含义∈ 定义4.31中的G。如果RLH模型位于定义4.10中的广义Heston子框架中，则可以实现这一点。看起来确实如此，但请注意，我们省略了supx要求∈R+κx- σZx=∞那里如定理4.16之前所讨论的，这个条件等价于过程X={Xt}t的存在∈R+上的定理4.4给出了θ和thatXt的双射性质：=inf{x>0:Yt，x<0}=inf{x>0：κx- σZx>κθ（t）+v}<∞.

（4.54）因此我们需要确认Xt<∞ 对于所有t∈ Z=Wα时的R+。为了完全清楚，这意味着P[Xt<∞] = 1.t型∈ R+，而不是P[Xt<∞ t型∈ R+]=1，尽管在我们的设置中，这些条件是等价的，因为X是严格递增的。如定理4.16之前所述，我们将得到Xt<∞ 对于所有t∈ R+如果我们有更强的mgf存在E[epXt]<∞ 对于所有t∈ R+和一些p>0。下一个结果证实了这一点。推论4.32（RLH MGF存在）。设随机IVP解X={Xt}t∈R+及其上界X={Xt}t∈R+是定义4.31中RLH模型的值。然后MGFsMX（p，t）：=E[epXt]和MX（p，t）：=E[epXt]全局存在，即对于所有（p，t）∈ R×R+。证据如果我们可以应用定理4.17，那么这个主张就成立了。为此，我们要求RLH模型下的过程Z=Wα是以高斯为中心的，对于一些a，b≥ 0，c∈ （0，1）和所有x∈ R+。引理4.30中给出的Wα方差表明，对于任何a>0，b>Γ（1），情况确实如此-α)-2(1-2α)-1和c=1-2α.鉴于Xt<∞ 以下为所有t∈ R+，然后等效为supx∈R+κx- σWαx=∞,所以Y∈ G和RLH模型确实是我们定义4.10中的广义Heston模型之一。就完整性而言，这意味着RLH模型的适定性直接遵循定理4.4，可以总结为方程4.52中的定义方程具有路径唯一解。更具体地说，对于每个ω，RLH路径X（ω）和S（ω）在R+上唯一存在∈ Ohm*:= {ω ∈ Ohm : supx公司∈R+κx-σWαx（ω）=∞}.4路径波动率建模框架解决方案映射连续性。对于RLH模型，我们现在快速整合了连续性陈述，如thosein定理4.4和方程4.7。这些陈述最终源自第2章的结果，特别是定理2.18。

首先请注意，在集合中隐式Ohm*刚刚定义的是每个Wα（ω）实际存在的假设。为方便起见，我们可以将此集合简化为只包含W（ω）的结果∈ Hλλ ∈ (0,). 这充分考虑了Wis布朗运动，确保每个Wα（ω）都存在于定义4.27中，并明确了即将到来的H"older范数k·kλR+：=Pn∈N-n（1∧k·kλ[0，n]）存在。定理4.33（RLH解映射连续性）。设（X，S）为theRLH模型中定义的过程，由（W，W）构成。然后对于结果{ωn}n∈N Ohm*和λ∈ （α，），（kW（ω）- W（ωn）kR+，kW（ω）- W（ωn）kλR++n→∞----→ (0, 0)==> （kX（ω）- X（ωn）kR+，kS（ω）- S（ωn）kR++n→∞----→ (0, 0). （4.55）证明。首先注意α∈ （0，），我们总是有λ∈ （0，），因此W（ωn）∈每n的Hλ∈ N、 这表明这里存在范数k·kλR+。现在从假设k·kλR+n→∞----→ 0这里，定理4.28提供kWα（ω）-Wα（ωn）kλ-αR+n→∞----→ 0，再次表示λ-α ∈ （0，）已确保。因此，等式4.55中的极限假设大于（kW（ω）- W（ωn）kR+，kW（ω）- W（ωn）kR+，Wα（ω）- Wα（ωn）kR++n→∞----→ （0，0，0），（4.56），即强于紧集上的乘积一致收敛。使用定义4.31，我们获得RLH随机场收敛kY（ωn）- Y（ω）kR+n→∞----→ 由于方程式4.3和方程式4.7的假设现已得到证实，我们得出了这些假设的结果。这些与此处的主张完全一致，因此请完成证明。马丁尼性。让{Fx}x∈R+表示W=（W，W）的自然过滤。与往常一样，我们现在确认RLH价格过程S={St}t∈定义4.31中的R+是过滤空间上的鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），其中Gt：=FXt。与定理4.26一样，我们还可以得到波动率处理的关系X=[对数S]√X通常满足。为了实现这一点，将应用定理4.26更一般的鞅性结果。

这取决于MGF E【epXt】存在条件和Y的空间适应条件，4定义4.23中的路径波动率建模框架。为了帮助实现后者，首先提供了以下内容，这些内容适用于广义赫斯顿子框架中的所有模型，因此RLH模型特别适用。引理4.34（广义Heston适应性）。让随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+采用定义4.10中的广义赫斯顿形式，即Yt，x=σZx+κ（θ（t）- x） 某些Z的+v={Zx}x∈R+和路径θ。如果Z适应于{Fx}x∈R+，则Y在空间上自适应。证据选择Fx自适应的过程Z意味着Zxis Fx可测量为everyx∈ R+。即Zx：(Ohm, 外汇）→ （R，R）定义了一个可测映射，其中R是R的Borelσ代数，例如由欧几里德距离导出的代数。在广义的Heston情况下，其中y采用形式Yt，x=σZx+κ（θ（t）-x） +v，该假设扩展到Yt，x：(Ohm, 外汇）→ （R，R）对于每个（t，x）是可测量的∈ R+，假设θ是一个固定的连续函数。因此，现在仅使用定义4.23，Y就如所声称的那样在空间上进行了调整，并且证明是完整的。现在定理4.26，推论4.32和引理4.34一起提供了以下内容。推论4.35（RLH模型的鞅性）。RLH价格过程S={St}t∈定义4.31中的R+是过滤空间上的鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），其中Gt：=FXt。证据定理4.26将在假设被证实适用于此处后提供索赔。为此，评估的MGF E[eXt]首先必须存在于R+之上，我们已经在推论4.32中证实了这一点。第二，也是最后一点，RLH油田必须在空间上进行调整。为此，我们可以应用引理4.34，适用于所有广义heston模型，前提是RLH分数阶导数选择Z：=Wα：=Dα（W）适用于{Fx}x∈R+。

从定义4.29中的积分表示可以清楚地看出，Wαx：=Γ（1- α） ddxZxWu（x- u） αdu，（4.57）表明Wα不仅适应于外汇，而且适应于成分W的自然过滤。因此，我们可以应用定理4.26来完成证明，也可以确定X=[对数S]。4.5模拟衍生产品定价现在我们的注意力转向近似理论RLH价格过程S={St}t∈定义4.31中的R+，以及可使用路径波动率建模框架4模拟的计算可行过程定义2.19中的远期Euler方案。尽管为了具体起见，我们在这里重点关注RLH模型，但所采用的方法明确了如何将第2.20条的灵活收敛结果应用于定义4.7的一般框架中的其他模型。假设定理4.26建立了S在空间上的鞅性(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），主要应用是评估（无套利）衍生品价格。因此，在第4.3节之后，我们将关注通过蒙特卡罗模拟，对真实、有界和连续的导数payoff#=#（S）的期望值E[#| G]=E[#]。Glasserman（2003）和Asmussen&Glynn（2007）为这一目标提供了背景。为此，一个序列{Sn}n∈将定义Nof RLH多边形过程，该过程可以模拟并验证E[#（^Sn）]n→∞----→ E[#（S）]任何此类付款。根据定义，这相当于建立随机元素^Snn的弱收敛性→∞=====> S、 或诱导概率测度的弱收敛性；例如，见比林斯利（1999）第1节。接下来，我们处理这样一个事实，即对于任何这样的近似过程^Sn，期望E[#（^Sn）]本身只能由估计量N来近似-1PNi=1#（^Sni），取决于最终实现{Sni}Ni=1。

这种联合近似在蒙特卡洛理论中是一个被忽视的问题，但由于忽视了其中一种近似，理论家和实践者很少陈述实际计算机模拟收敛的概念。在定理4.43中，我们提供了一个易于处理和直观的联合收敛声明，证明了现有实践的合理性。准备结果。考虑到前向Euler收敛结果定理2.20，此处方法的核心将是一个可行序列{Yn}n∈Nof随机场在紧集上均匀收敛到RLH随机场Yt，x：=σWαx+κ（θ（t）-x） +v.虽然具有弱收敛结果，即^Ynn→∞=====> 为了最清楚地应用定理3.3中的路径模拟收敛结果，我们将移动到一个纯粹抽象的概率空间，在该空间上可以建立a.s.收敛结果。与定理4.36一样，该空间上的随机元素通常会用X表示。这种通过a.s.收敛的方法是Billingsley（1999）提出的方法之一。我们现在提供一些准备结果，使这一点成为可能。第一个是Skorokhod（1956）的Skorokhod\'s强大表示定理，如Billingsley（1999）所述。4路径波动率建模框架要正确解释这一点，请回顾收敛声明Xnn中隐含的→∞=====> Xona赋范向量空间（X，k·kX）是映射Xn的可测性：(Ohm, F、 P）→ （X，B（X）），其中B（X）是由k·kX诱导的X的Borelσ-代数，并且是Xnis任何集的支撑∈ B（X）使得uXn【A】=1，其中uXn：=PX-1nis是Xn的分布。最后，对于这样一个可分离的集合，意味着它有一个在（X，k·kX）中稠密的可数子集。定理4.36（斯科罗霍德表示定理）。假设Xnn→∞=====> Xon（X，k·kX）和xh是一个可分离的支架。

然后，在公共概率空间中存在随机元素xn，这样，对于每n，Xnd=xn∈ N、 然而▄Xnn→∞----→a、 s.~Xon（X，k·kX）。这一结果将与Lamperti（1962）提出的布朗运动的Lamperti不变性原理相结合。我们如Hamadouche（2000）所述，强调了子集Hλ Hλ包含路径w∈ Hλ具有附加连续性ωλ（w，δ）δ→0---→ 0，其中ωλ（w，δ）：=supx，u∈I0<| x-u型|≤δ| w（x）-w（u）| | x- u |λ，（4.58）和I R+是任何紧区间。相关结果，如Rackauskas&Suquet（2004）的特征极限理论，适用于这些子集。关键是（Hλ，k·kλR+）是一个可分离的Banach空间，如Ciesielski（1960）所示，因此定理4.36可以在不进行修改的情况下应用。为清楚起见，关于k·kλR+：=P的可分性∞n=1-n（1∧ k·kλ[0，n]）源自有限维乘积空间上的可分性稳定性，参见。g、 比林斯利（1999）。这里我们让W={Wx}x∈R+表示标准的一维布朗运动。定理4.37（Lamperti不变性原理）。设{ζk}k∈Nbe一系列i.i.d.随机变量，其中E[ζk]=0，E[ζk]=σ，E[|ζk |γ]<∞ 对于某些γ>2。确定序列{Wn}n∈Nof分段线性过程^Wn={^Wnx}x∈R+分别使用^Wnx=σ√nbnxcXk=1ζk+（nx- bnxc）ζbnxc+1.

（4.59）然后弱收敛^Wnn→∞=====> 对于所有λ，W发生在（Hλ，k·kλR+）上∈ (0,-γ).由于在实践中，方程式4.59中的多边形将被视为固定n∈ N且σ=1，注意到^wn只不过是4路径波动率建模框架之间的线性插值值^Wnxk：=√νnPkj=1ζj，其中点xk：=kνn具有步长νn：=n-显然，我们也可以颠倒这种简单的关系，利用√νnζk=^Wnxk-^Wnxk-最后，我们提供了以下引理，这些引理简化了多边形路径w的分数阶导数Dα（w）∈ AC（R+，R），类似于定理4.37中的^wn。评估点X*k∈ （xk，xk+1）与Bennedsen、Lunde和Pakkanen（2017）的结果一致，与Horvath et al.（2019）的结果相反，他们都关注近似相关积分rx（x-u）-αdWu。点x之间的简单连接*kand Polygons是一个新颖的概念，将与定理4.28中Dα的H"older连续性一起使用。引理4.38（多边形分数导数）。让路径w∈ AC（R+，R）在点（xk，w（xk））之间呈线性，对于xk：=kν，k∈ 而有些则大于0。那么对于任何α∈ （0，1），导数Dα（w）在点{xk}k处接受以下表示∈NDα（w）（xk）=Γ（1- α） kXj=1（x*k-j）-α（w（xj）- w（xj-1） ），（x*k）-α： =x1-αk+1- x1-αk（1- α)υ. （4.60）证明。由于w在AC（R+，R）中，w（0）=0，Samko et al.（1993）的引理2.2提供了Γ（1- α） Dα（w）（x）：=ddxZxw（u）（x-u）-αdu=Z[0，x]w（u）（x- u）-αdu。（4.61）使用交流等效w（u）=Pkj=1u∈[xj-1，xj）w（xj）-w（xj-1） xj公司-xj公司-1在[0，xk]上，我们有Γ（1- α） Dα（w）（xk）=ZxkkXj=1u∈[xj-1，xj）w（xj）- w（xj-1） xj公司- xj公司-1（x- u）-αdu=kXj=1Zxjxj-1（x- u）-αduw（xj）- w（xj-1） xj公司- xj公司-1.

（4.62）现在评估积分rxjxj-1（x-u）-αdu提供了方程式4.60中的表示，注意到xk- xj=xk-jand xj公司- xj公司-1=ν从等分xk得出：=kД。最后，以下内容在实践中很有帮助，因为它允许我们使用引理4.38的分数导数点（xk，Dα（w）（xk））之间的计算方便的多边形。引理4.39（多边形的收敛）。设{wn}n∈N AC（R+，R）在点（xn，k，wn（xn，k））之间是线性的，对于xn，k：=kn-1，k∈ N带kwn- wkλR+n→∞----→ 0代表some4路径波动率建模框架W∈ Hλ，λ∈ (0, 1). 对于α∈ （0，λ），let{wα，n}n∈N AC（R+，R）在点（xn，k，wα，n（xn，k））之间是线性的，其中wα，n（xn，k）：=Dα（wn）（xn，k）。然后kDα（w）- wα，nkR+n→∞----→ 0.证明。根据定理4.28 kDα（w）-Dα（wn）kλ-αR+n→∞----→ 0成立，因此一致收敛kdα（w）- Dα（wn）kIn→∞----→ 0表示任何I=[0，I] R+也是。三角形不等式giveskDα（w）- wα，nkI≤ kDα（w）- Dα（wn）kI+kDα（wn）- wα，nkI。（4.63）假设kDα（w）-Dα（wn）kI= > 0。那么，由于wα，n（x）：=Dα（wn）（x），x=kn-1，和wα，nis在距离n的这些点之间呈线性-1，我们有kDα（wn）-wα，nkI≤ +ω（n-1） ，其中ω是Dα（w）在I上的连续模。对于任何这样的区间I，我们有kdα（w）- wα，nkI≤ 2kDα（w）- Dα（wn）kI+ω（n-1） n个→∞----→ 0（4.64），则仅通过定义标准k·kR+：=P得出结论∞n=1-n（1∧k·k[0，n]）。为清楚起见，我们最终将定理2.20和定理3.3中的前向Euler收敛结果简化为概率推论，可直接应用于此处的设置。类比定义2.19，定义正向欧拉过程X={Xt}t∈R+表示随机IVP x=Yt，xx=0，带步长 > 0，是X=0和变量Xtk+1=Xtk+Ytk，Xtk之间的线性插值过程, 其中tk：=k 和k∈ N、 推论4.40（前向Euler收敛）。

设{Yn}n∈G中的Nbe随机场，let{Xn}n∈Nbe使用步长n对随机IVPs x=Ynt，x，x=0的正向Euler过程-1. 对一些人来说 > 0，并让x解随机IVP x=Yt，x，x=0。那么，kY- YnkR+n→∞----→a、 s.0==> kX公司- XnkR+n→∞----→a、 s.0。（4.65）注意推论4.40中出现的双重近似：用一个方便的序列Yn来近似场yi，从这些近似中，我们构建了近似的正向Euler过程。这与定理2.20的假设一致，仅在我们将一般划分πn减少到步长为n的情况下-1..价格过程模拟。现在回想一下定义4.31中RLH模型中的五个过程S：=（W，W，Wα，X，S），整个R+，它们通过方程Sxt=σWαXt+κ（θ（t）关联-Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），Wρ=p1- ρW+ρW.（4.66）4一个路径波动率建模框架一个近似过程^S：=（^W，^W，^Wα，^X，^S）现在将被定义，它与S不同，可以在计算机上精确模拟（在压缩上）。其核心是定义2.19中的正向Euler格式，用于近似随机IVPsx=Yt，x，x=0的解。RLH随机场Yt，x：=σWαx+κ（θ（t）- x） +v基本上在离散的等分网格上近似，并在两者之间进行切实可行的插值。定义4.41（RLH多边形）。固定容许RLH参数σ，κ，v>0，α∈ (0,),ρ ∈ [-1，1]和路径θ∈ 定义4.31中的C（R+，R+）。固定时间和空间步长τ，ν>0和k∈ 无损检测tk：=kτ，xk：=kД。对于i=0，1，设{ζin}n∈i.i.d.标准高斯随机变量的NBE序列。现在，以下五个步骤分别处理用多边形近似RLH过程（W、W、Wα、X、S）。第1步。通过点^W：=0和变量^Wxk之间的线性插值确定过程^wb：=√νPkj=1ζj。

也就是说，在长度ν的每个间隔（xk，xk+1）上，定义^Wx：=^Wxk+Д-1（^Wxk+1-^Wxk）（x- xk）。（4.67）步骤2。定义^wsimilary，仅由{ζk}k构建∈n大于{ζk}k∈N、 第3步。通过在^Wα：=0和变量^Wαxk之间的线性插值确定过程^Wα：=√υΓ(1 - α） kXj=1（x*k-j）-αζj，（x*k）-α： =x1-αk+1- x1-αk（1- α)υ. （4.68）步骤4。用^Yt定义随机场^Y，x：=σ^Wαx+κ（θ（t）-x） +v和^x是随机IVP x=^Yt，x，x=0，步长τ的前向Euler多边形过程。也就是说，定义^X：=0，然后通过变量^Xtk+1之间的线性插值确定^X：=^Xtk+^Ytk，^Xtkτ。第5步。通过^St定义exp多边形^S：=exp（^Wρ^Xt-^Xt），其中^Wρ：=√1.- ρ^W+ρ^W。现在将该过程称为^S：=（^W，^W，^Wα，^X，^S）步长为τ，Д的RLH多边形过程。我们现在主要关注的是一系列RLH多边形过程的理论收敛性，但很明显，我们并没有失去实用性，附录中提供了简洁的Python代码，说明了如何模拟定义4.41中的这些RLH多边形。过程^S的样本路径也如图22.4所示，路径波动率建模框架在这里和定理4.42中表示C：=C（R+，R）。这一节的主要结果是紧集上一致收敛的乘积拓扑上的弱收敛性，支持过程的路径∈ C及其多边形近似值^S。对于特定情况，为此类有限产品集配备产品规范kwkR+：=Pdi=1kwikR+，其中w=（wi）di=1∈Cd。回想一下，例如Billingsley（1999），这类乘积空间（Cd，k·kR+）的可分性和完备性是从底层空间（C，k·kR+）继承而来的，可分性确保了该乘积的Borelσ-代数B（Cd）正是Borelσ-代数B（C）d的乘积。定理4.42（RLH多边形收敛）。

设S：=（W，W，Wα，X，S）为RLHprice过程，{Sn：=（W0，n，W1，n，Wα，n，Xn，Sn）}n∈Nbe时间和空间步长τn：=n生成的RLH多基因过程序列-1. 和νn：=n-1用于 > 然后是弱收敛Snn→∞=====> S发生在产品空间（C，k·kR+）上。证据其主要思想是转移到支持过程Snd=SN和Sd=S的概率空间，并建立收敛Sna。s--→S（如n所示→ ∞) on（C，k·kR+）。虽然不一定需要，但这可以通过推论4.40明确应用定理2.20。第1步。如定理4.37所述，过程{W1，n}n∈n当设置σ=1且ζk=ζk时，应包含等式4.59。因为每个ζkis均为高斯分布，且E[|ζk |γ]<∞对于所有γ>2，则定理4.37提供W1，nn→∞=====> 所有λ的Won（Hλ，k·kλR+）∈ (0,).由于每个（Hλ，k·kλR+）都是可分离的，因此应用定理4.36移动到另一个空间，该空间支持▄W1，nd=W1，nand▄Wd=W，带有▄W1，na。s--→韩元（Hλ，k·kλR+）。让这个空间支持另一个布朗运动Windependent fromW，并定义序列{W0，n}n∈n步长分离的￠w点之间的线性插值νn=n-1分别。所以现在▄W0，nd=W0，nand▄Wd=Wbut▄Wgives▄W0，na的连续性。s--→韩元（C，k·kR+）。第2步。通过变量Wα，nxk之间的线性插值，定义Wα，nbe，如Wα，n：=√^1nΓ（1- α） kXj=1（x*n、 k级-j）-αИζ1，nk，￠ζ1，nk：=￠W1，nxj-W1，nxj-1.√νn，（x*n、 k）-α： =x1-αk+1- x1-αk（1- α） νn.（4.69）通过点x的设计*n、 Kf引理4.38，Wα，n在点sxn处包含Dα（~W1，n），k=kνn，引理4.39给出Dα（~W1，n）6=~Wα，na。s--→~Wα：=在（C，k·kR+）上的Dα（~W）。4路径波动率建模框架步骤3。设▄Xnbe定义为随机IVPsx▄Ynt，x，x=0的前向Euler多边形，步长为τn，其中▄Ynt，x：=σ▄Wα，nx+κ（θ（t）-x） +v.让▄x求解随机IVP x=▄Yt，x，x=0，其中▄Yt，x：=σ▄Wαx+κ（θ（t）-x） +v。

给定Wα，na。s--→在（C，k·kR+）上的Wα，然后是kY-YnkR+a.s。--→ 0和推论4.40提供Xna。s--→X on（C，k·kR+）。第4步。分别用Sn定义Sn和S：=exp（▄Wρ，n▄Xn-Xn）和▄S：=exp（▄Wρ▄X-X），然后▄Sna。s--→（C，k·kR+）上的S来自于Wρ，na。s--→~Wρ和▄Xna。s--→这里也是X。第5步。我们已经建立了序列▄Sn：=（▄W0，n，▄W1，n，▄Wα，n，▄Xn，▄Sn）d=Snof RLHpolygons和RLH过程▄S：=（▄W，▄W，▄Wα，▄X，▄S）d=S，从而▄Sna。s--→S发生在产品空间（C、k·kR+）。因此，Snn的声明→∞=====> 接着是S on（C，k·kR+）。回想一下，由于坐标投影是连续的，因此弱收敛Snn→∞=====>（C，k·kR+）上的S立即提供弱坐标方向的收敛，即W0，nn→∞=====>WSnn公司→∞=====> S分别为（C，k·kR+），尽管相反的情况通常不正确。特别是对于任何连续且有界的导数payofff#：（C，k·kR+）→ （R，|·|）我们现在有了衍生产品价格E[#（Sn）]n的收敛性→∞----→ E[#（S）]。但请注意，这仍然是一个理论结果，因为在实践中，我们必须使用i.i.d.样本{Sni}Ni=1和估计量N来近似这些近似期望值E[#（Sn）]-1PNi=1#（Sni）。由于这种双重近似，理论上表现为双重极限n，n→ ∞,我们不能将大数定律直接应用为N→ ∞ 确定极限E[#（S）]。衍生产品定价。本节的最终数学目标是扩展理论弱收敛Snn→∞=====> 将定理4.42的结果转化为基于有限模拟样本{Sni}Ni=1的可计算结果，对于某些n，n∈ N

通过将弱收敛与大数定律相结合，可以非常简单地实现这一点，但这样做往往被忽视，因为大多数作者要么专注于绘制理论弱收敛声明，如定理4.42，要么专注于应用蒙特卡罗理论，好像{Si}Ni=1的精确模拟是可能的。Horvath等人（2019年）和McCrickerd&Pakkanen（2018年）提供了最近的例子。应该清楚的是，下一个结果实际上适用于任意随机元素{Sn}n∈Nof a集合X提供Snn→∞=====> 子空间（X，k·kX）和#:（X，k·kX）→ （R，|·|）。4路径波动率建模框架此处优先考虑基于强大数定律的陈述，参见Dekking、Kraikamp、Lopuha"a&Meester（2005），但后面给出了相应的弱陈述。定理4.43（衍生产品价格的收敛性）。假设Snn→∞=====> 关于（C，k·kR+）asin定理4.42，设{Sni}Ni=1denote i.i.d.Sn的复制。然后对于任何有界和连续的#：（C，k·kR+）→（R，|·|）和公差 > 0，存在n*=n*(#, ) 这样，Limn→∞E[#（S）]-NNXi=1#（Sni）<  a、 s.对于任何n>n*. （4.70）证明。根据Snn的定义→∞=====> 在（C，k·kR+）上，我们有E[#（Sn）]n→∞----→ E[#（S）]，因此存在n*= n*(#, ) 使| E[#（S）]-E[#（Sn）]|< 对于所有n>n*. 对于任意n∈ N、 强大的大数定律提供了a.s.收敛N-1PNi=1#（Sni）N→∞----→E[#（Sn）]，其中E[#（Sn）]的存在确保给定#是有界的。函数f（x）=E[（S）的连续性-x |然后提供方程式4.70中任意n>n的a.s.索赔*:画→∞E[#（S）]-NNXi=1#（Sni）=E[#（S）]- 画→∞NNXi=1#（Sni）= |E[#（S）]- E[#（Sn）]|<. （4.71）类似于方程式4.70但由弱定律isP推导而来的陈述”E[#（S）]-NNXi=1#（Sni）> #N→∞----→ 0表示任何n>n*.

（4.72）实际上，这表示：对于任何固定公差, 可以通过n将我们的模拟质量设置得足够高，然后降低实现大于的衍生价格误差的概率 这个收敛的概念比迭代极限limn强→∞画→∞P[·]=0，这并不保证N→ ∞ 等式4.72中的极限实际上为零。然而，这种收敛在概率上弱于联合收敛，如n，n→ ∞, 因此，有必要在单独极限的收敛中建立某种一致性，以便摩尔-奥斯古德定理适用。在实践中，我们通常更关心设置此类公差 不是直接在价格E[#（S）]上，而是在方便的函数ψ：R上→ 其中的R。当路径波动率建模框架中的此类函数是连续的时，定理4.43提供了以下推论。通过ψ的连续性模量ωψ，这一点的证明至关重要，它必然满足ωψ()↓0--→ 0。推论4.44。在定理4.43的设置中，让ψ：R→ 当限制在包含E[#（S）]的开放球上时，R是连续的。然后存在n*= n*(#, Ψ, ) 这样，Limn→∞ψ（E[#（S）]）- ψNNXi=1#（Sni）！<  a、 s.对于任何n>n*. （4.73）在下一部分中，我们将重点讨论看跌期权#（S）：=max{K的简单情况-ST，0}对于一系列固定的罢工和到期日K，T>0。按照惯例，我们将把看跌期权价格E[#（S）]的估计值映射到Black-Scholes隐含波动率IV上，如图1所示。关于推论4.44，我们因此设置ψ=IV：=BS-1，其中bs（σ）：=KN(-d-) - N个(-d+，d±=d±（σ）：=-对数（K）σ√T±σ√T、 （4.74），N是标准高斯CDF。文本Gatheral（2006）提供了更多关于隐含波动率图IV的详细信息，并根据推论4.44的要求确认其连续性。RLH表示挥发性。

现在，我们使用schemefrom定义4.41模拟RLH隐含波动率。优先考虑的是，当RLH分数导数α∈ （0，0.5）位于零边界上（这是定理4.14的结果），然后显示将α增加到0.2的效果。图16和图17给出了在不同相关制度下α=0和α=0.2之间的比较。在图18和图19中，我们进一步研究了货币（ATM）的倾斜和曲率，展示了RLH模型如何生成这些重要量的爆炸幂律，就像领先的粗糙波动率模型一样。我们继续推测RLH模型与著名的粗糙赫斯顿模型相似，该模型首次定义于El Euch&Rosenbaum（2019年）。图20证实了这一推测，该图显示了与El Euch、Gatheral和Rosenbaum（2019）中的粗略Heston模型相似的隐含波动率。为了帮助进行比较，我们首先在方程式4.80中写下RLH模型的简化版本，该模型优先考虑三个粗略的赫斯顿参数H、ν和ρ。然而，就目前而言，这种相似性仍然是经验性的。这是因为，为了绘制4路径波动率建模框架这些比较，我们必须将RLH分数导数设置为接近其上限0.5，并且需要更多的数值证据，直到我们能够确保定义4.41中相对简单的基于Euler的模拟方案仍然有效收敛。回顾定义4.9中的经典赫斯顿模型，其中价格过程验证dvt=σpVtdWt+κ（θ-Vt）dt，V=V，St=expZtpVsdWρs-ZtVsds, （4.75）并回顾定义4.31中的相关RLH模型，其中价格过程S veriesxt=σθαWαXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St:=exp（WρXt）-Xt），（4.76），其中，在这两种情况下，Wρ：=p1- ρW+ρW。

注意等式4.76中包含了系数θα。这有助于在α变化时进行比较，并且可以通过分数阶导数过程Wα的自相似性从理论上进行验证，参见Jacquieret al.（2018）。撇开理论不谈，图16和图17的最后（τ=2）面板显示出明显的相似性，因此可以对其他面板进行更清晰的比较，即较早到期的面板。为简单起见，我们设置v=θ，以便期望值E[RtVsds]=-2E【log St】=在赫斯顿模型下，θt在时间上呈线性。然后以数值方式寻求RLH曲线θ，从而得出类似关系E【Xt】=-2E[log St]=θt保持不变，因此所有impliedvolatilities都具有该值√θ平均值。（“平均值”可以精确表示；例如，参见McCrickerd&Pakkanen（2018）中的图9和相关讨论。）通过成功找到suchaθ，利用方程4.76和E[Xt]=θ的托内利定理，我们得到了表示式θ（t）=θt-σθακE[WαXt]。（4.77）在模拟过程中，当使用方程式4.77获得F时，我们观察到输出没有变化，当我们得到目标“前向方差”曲线ξ（t）=E[Xt”，如ξ（t）=θ时，该公式将θ作为模型的输入。我们注意到E[WαXt]6=0 fort>0且α6=0（可选停止理论仅在α=0时适用，否则Wα不是局部鞅）。但根据经验我们观察到-当α∈ （0，），因此方程4.77中的θ肯定是严格递增的，因为RLHmodel需要存在于我们的框架中，并根据定理4.4具有唯一（强）解。在图16中，我们设置ρ=-0.7，因此价格过程与其波动性呈强负相关，这在股票市场中通常是如此。在图17中，我们将ρ=0.4设置为更适用于外汇市场的路径波动率建模框架。

在这两种情况下，σ=κ=0.2和θ=v=0.04，α等于0或0.2，我们显示的到期日从一周（τ=1/52）到两年（τ=2）。使用定理4.42中的方案，在python中对每个成熟度运行4096条路径的单独模拟，时间和空间步长分别为τ/512和θτ/512。我们总是从看跌期权payoff s#（s）：=max{K中获得隐含波动率- ST，0}，根据推论4.44进行假设。因此，该收敛结果适用于ψ=IV=BS-1和BS，如等式4.74所示。按照约定，我们在log-strike k：=log（k）空间中表示隐含波动率，并将其放大100。选择返回“delta”N的对数打击(-d+）从方程4.74中大致在区间内（0.005，0.995），因此我们的删除量总是大致捕获99%的模拟价格。我们使用McCrickerd&Pakkanen（2018）中推荐的方差缩减技术。正如报告所述，我们发现这些技术对估计数据的统计偏差可以忽略不计，因此我们没有在这里报告这些偏差。

最后请注意，经典的赫斯顿数据点是在Gatherel（2006）之后通过该模型的特征函数和数值积分获得的。为了更加清晰，附录中给出了用于通过定义4.41中的方案模拟RLH模型的简化版本代码，价格路径如图22所示。如第2.6节末尾所述，该代码运行时间为75 ms，我们发现此处使用4096条路径足以使图16和图17中的所有α=0 RLH隐含波动率在数值积分赫斯顿对应值的0.1范围内。4路径波动率建模框架0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06k182022IV（k，τ=1w）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15k1618202224IV（k，τ=1m）HestonRLHα=0.20.2 0.1 0.1 0.2k161820222426IV（k，τ=3m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.0RLHα0.20.4 0.2 0.0 0.2 0.4k161820222426IV（k，τ=6m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.4 0.2 0.0 0.2 0.4k15.017.520.022.525.027.5IV（k，τ=1y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75k15.017.520.022.525.027.5IV（k，τ=2y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.2图16：分别在方程4.75和方程4.76中定义的经典Heston和RLH模型的隐含挥发率IV（k，τ）。

参数设置为σ=κ=0.2，θ=v=0.04，ρ=-0.7，分数导数α如图所示。4路径波动率建模框架0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06k19.920.020.120.220.320.420.5IV（k，τ=1w）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15k19.7520.0020.2520.5020.7521.00IV（k，τ=1m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.1 0.0 2k19.520.020.521.021.522.0IV（k，τ=3m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.4 0.2 0.0 0 0.2 0.4k202122IV（k，τ=6m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.4 0.2 0.0 0.2 0.4k1920212223IV（k，τ=1y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75k192021222324IV（k，τ=2y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.2图17：显示图16的复制，设置为ρ=0。在图16和图17中，当α=0时，RLH隐含波动率与经典Heston模型的波动率明显一致，验证了定理4.14。考虑到两年期的所有隐含收益率都是相似的，当α增加到0.2时，对较短期限的影响也很明显：在图16中，我们观察到随着成熟度下降到一周，倾斜越来越明显，在图17中，我们观察到弯曲越来越明显。4路径波动率建模框架现在，在图18和图19中，我们通过有限差来近似（按货币）倾斜和曲率，通过以下绝对偏导数（τ）为每个到期日τ定义：=IV（k，τ）kk=0，曲率（τ）：=IV（k，τ）kk=0。

（4.78）0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00τ0.00.10.20.30.40.50.6斜交（τ）：=| IV（k，τ）/k | k=0HestonRLHα=0.20.23τ-0.2图18：根据图16.0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00τ012345曲率（τ）：=| 2IV（k，τ）/k2 | k=0HestonRLHα=0.20.84τ-0.4图19：在中央单位近似的货币隐含波动率曲率下，与图17.4中的数据不同，这是一个路径波动率建模框架。在图18和图19中，我们希望观察幂律倾斜和曲率，就像领先的粗糙波动率模型生成的曲线一样，并将其视为股市的“程式化事实”。因此，我们包括τ型幂律-α和τ-分别为2α，这是Alòs et Al.（2007）和Alòs&León（2017）在通过H"older正则性将Hurstparameter H转换为分数阶导数α时所预测的，即H=0.5- α.尽管这些幂律本身是（短期）近似值，但它们与我们的有限差分RLH偏斜和曲率之间的相似性仍然很明显，这表明RLH模型在这方面的行为确实与领先的粗糙波动率模型类似。现在，在图20中，我们使用改进的RLH模型模拟隐含波动率，该模型与El Euch et al.（2019）中图1和图2的模型相似，即粗略的Heston模型。1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.2 0.4k1020304050IV（k，τ）τ=0.025τ=0.082τ=0.260τ=0.8802.0 1.5 1.0 0 0.5 0.0 0 0 0.5k1020304050IV（k，τ）τ=0.019τ=0.085τ=0.250τ=1.070图20：公式4.80中修正RLH模型的隐含波动率，与粗糙Heston的波动率相比。

参数为H=0.1216，ν=0.2910，ρ=-左面板中为0.6714，H=0.0474，ν=0.4061，ρ=-右侧0.6710。与方程4.75中的经典Heston方差过程相比，El Euch et al.（2019）中的粗糙Heston对应物是奇异随机Volterra方程的弱解vt=ξ（t）+νΓ（H）+Zt（t- s） H类-pVsdWs，（4.79）4远期方差曲线ξ（t）=E[Vt]，H的路径波动率建模框架∈ （0，）和ν>0。为了与theRLH模型进行比较，我们将定义4.31中的累积方差过程X修改为solveXt=θ（t）+νW-HXt公司<==> Vt=θ（t）+νΓ（H+）Z·（·）- x） H类-dWx公司RtVsds，（4.80）其中V：=X，我们允许θ（0）>0，我们对粗略的赫斯顿-赫斯特参数h进行了优先级排序=- α、 并已移除漂移组件-XT完全来自方程式4.52。我们注意到，根据定理4.4，该模型具有唯一（强）解，前提是θ严格递增。然而，基于定理4.17的鞅性结果不再适用，因为存在这种漂移-Xtis已删除。然而，这实际上无关紧要，因为如果漂移-对于任何 > 0，例如。 := 2.-方程式4.79中的粗略赫斯顿模型与方程式4.80中的修正RLH模型之间存在明显的相似性。图20对此进行了验证，尤其是因为该图不是通过校准我们的参数H、ν、ρ来复制粗略的赫斯顿输出，而是通过简单地采用El Euch等人（2019）的粗略赫斯顿参数来生成的。然而，请注意，RLH模型通常在图20中的左尾中产生更高的隐含挥发性，因此通过实际校准仍有改进的空间。回顾方程式4.77，仍需确保等效性θ（t）=ξ（t）- νE[W-HXt]达到合理的精度。

我们在模拟生成图20的过程中对其进行管理，但我们发现θ（t）=θ+θ（1）型曲线-2H）t2Halso产量合理。通过图18、图19和图20，我们提供了令人信服的证据，证明RLH模型的行为与领先的粗糙波动率模型类似。然而，需要更多的理论或数值证据来验证与粗糙赫斯顿模型的关系，因为我们生成图20的模拟依赖于非常高的分数导数。我们在第5章末尾阐明了一些关于RLH模型的潜在未来研究。最后，回顾本章开头的内容，我们在定义RLH模型时的主要目标是通过熟悉的经典Heston模型，促进对图2中更广泛的波动率建模框架的理解。这些明显的粗糙的赫斯顿相似性是一个额外的好处。与粗糙的Heston模型不同，RLH模型存在于一个框架中，所有模型都可以在不损害其唯一强解的情况下灵活修改，4一个路径波动率建模框架，并具有连续的解映射w.r.t.在紧集上一致收敛。尽管进行了尝试，但粗糙赫斯顿模型（以及相关的随机Volterra方程）具有唯一强解的条件仍然未知。粗糙的赫斯顿模型有一个可以近似的特征函数，但可以实现半解析定价。4.6分数Heston-NIG限制在本最后一节中，计划将第3章的限制结果（最著名的是第3.17节）应用于定义4.31中的RLH模型。这样做之后，我们将演示令人惊讶的经典CIR和Heston极限结果作为特例。

前者将在时间积分CIR过程和IGLévy过程之间建立一种全新的联系，其结果是Skorokhod的Mtopology的弱收敛。后一个结果将加强在序言中详细讨论的赫斯顿和尼格之间的关系。回想一下，Keller Restel（2011年）和Forde&Jacquier（2011年）中已经建立了赫斯顿大时间过程和NIG分布之间的联系，Mechkov（2015年）的EOREM 0.1建立了过程边缘分布之间的第一个联系。因此，这里的Heston和NIG关系是第一个功能结果，说明了这些过程在所有时间内是如何同时相关的（和不相关的，因为它变了）。这些结果不如CIR相关结果容易获得，例如，Skorokhod的所有五种拓扑都违反了弱收敛性。为了对经典CIR和Heston过程得出这些结论，将使用定理4.14中这些过程与RLH模型之间的关系，当分数激励α=0时。回想一下FXt鞅价格过程的RLH模型s={St}t∈R+及其累积方差X={Xt}t∈R+，由方程sxt=σWαXt+κ（θ（t））总结- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），（4.81），其中我们定义了通常的过程Wα：=Dα（W）和Wρ：=ρW+p1- ρW.我们现在对这些模型的序列感兴趣，这些模型可以用方程4.81中隐含的潜在随机场的序列来表示。

具体而言，我们考虑场综合，x：=σnWαx+κn（θn（t）- x） +vn，（4.82）4一个路径波动率建模框架，指出这意味着布朗运动（W，W）和参数α，ρ现已固定。当将定理3.17应用于此类领域时，曲线κnθn（t）+vnplay具有相同的作用，提供了一个在紧致上一致发现的极限，如n→ ∞, 因此，为了帮助对经典CIR和Heston过程得出直接结论，我们将只考虑θn（t）：=θt和vn：=v的（经典）情况，对于θ，v>0。因此，方程4.82中的场可以表示为ynt，x：=σnWαx+κn（θt- x） +v（4.83），在随后的结果中，θt可以推广到极限曲线θ（t）。回想定理4.14，当我们在方程4.83中设置分数阶导数α=0时，随机ODE解X的分布与积分CIRprocess的分布一致，S的分布与Heston-price过程一致。现在，根据我们如何让σ和κn标度为n，不同的，可能不连续的，极限将通过定理3.17获得。这里我们最感兴趣的是Mechkov（2015）研究的极限，并在序言中总结，其中σn，κnn→∞----→ ∞ 同样的速度，因为我们知道这些导致了经典过程之间信息量最大、实用性最强的函数关系。在结语中，明确了源自Heston（1993）和Fouque et al.（2011）制度的替代限制，也适应了Yn0,0=vnn的情况→∞----→ ∞.快速反转参数化。在Mechkov（2015）中，定义了Heston模型的一种特殊的“快速回归”参数化，该参数在重新标注参数a、b、c>0的情况下，相当于考虑以下由任何n>0dVnt=napVntdWt+n（b）索引的It^oSDEs- Vnt），dSnt=pVntSntdWρt，（Vn，Sn）=（c，1）。

（4.84）该参数化的新颖之处在于，对于V和n，CIR SDE的扩散和转化分量均呈线性缩放。通过对特征函数的分析（假设方程4.84中的系统是有效的），分布Sntd的收敛性-→获得的STI为n→ ∞ 对于任何t>0，其中Sis是指数化的NIG Lévy过程，参数仅取决于a、b和ρ，不再取决于c。该结果由定理0.1总结，将由推论4.57证实，然后在推论4.58中扩展。现在，我们想以类似的“快速恢复”方式对一系列RLH模型进行参数化。4路径波动率建模框架考虑到RLH模型如何与经典Heston模型相联系，通过OREM 4.14，通过利用方程4.83中的字段Ynas，σn：=na和κn：=n，实现了方程4.84中的参数化。这简单地导致了以下结果。定义4.45（快速反向RLH参数化）。在定义4.31的RLH模型中，将σ=na，κ=n，θ（t）=bt和v=c设置为一些n，a，b，c>0，因此RLH过程（Xn，Sn）是R+上的唯一过程，验证定义方程xnt=naWαXnt+bt- Xnt公司+ c、 Snt=expWρXnt-Xnt公司, （4.85）对于某些固定α∈ （0，）和ρ∈ [-1, 1]. 我们会说，这样的RLH模型正在快速恢复参数化，并将调用n→ ∞ RLH模型的快速回复极限。现在，我们主要关注的是通过第3章的无概率结果建立该模型的a.s.函数极限。然后，通过设置α=0，这些将立即为Heston模型提供弱限制，如等式4.84所示。虽然我们对a.s.感兴趣。