RLH模型本身的局限性，请注意经典Heston模型的弱收敛方法如何通过有限维分布和紧密性与通常的“Prokhorov方法”形成对比，如Jacod&Shiryaev（2003）所简要总结的。在Skorokhod（1956）的所有拓扑上，将Prokhorov的方法天真地应用于等式4.84中的Heston-price过程是注定的，因为此处建立的函数极限通过定理3.26；这些不是连续过程极限，也不是cádlág过程，而是紧区间值过程，路径ε（t）=：[ε-（t） ，ε+（t）]，在定义3.21的集合E中。Whitt（2002）第15章对这些过程进行了研究，鉴于第5章讨论的路径依赖衍生品的意外行为，它们在金融领域的出现不仅在理论上引人入胜，而且具有实际价值。准备结果。本节中的所有随机过程限制均源自第3.4节和第3.5节中的无概率结果。具体而言，我们将应用定理3.17和定理3.26的exittime和Hausdorff结果。为了明确这些结果的应用，我们首先在此处的概率设置中阐明其后果。调用集合Φ 定义1.6中的D（R+，R+），包含严格递增和无界的cAdlAg路径，并设DΦ为定义3.12中的退出时间度量，满足4路径波动率建模框架Φ（Д，Д）=kE（Д）- E（Д）kR+。为清楚起见，E是定义3.9中的退出时间函数，k·kR+是方程1.12中的范数，表示一致收敛超紧。最后调用集合G 定义1.3中的C（R+，R），以问题4.3为特征。没有给出下一个结果的证明，因为它与第3点的结果相同。

在定理4.4中，仅将定理3.3的路径应用替换为定理3.17的路径应用。推论4.46（统一退出时间限制）。设{Yn}n∈G中的Nbe随机场，let{Xn}n∈解随机IVP x=nYnt，x，x=0和定义x∈ Φx Xt：=inf{x>0:Yt，x<0}。如果Yna。s----→n→∞Yuniformly在压实上，然后是Xna。s----→n→∞Xon退出时间空间（Φ，dΦ）。如定理3.13和推论3.14所述，回想一下这个收敛Xn→ Xon（Φ，dΦ）比Skorokhod的Mspace（通过度量不等式3.22定义）上的Xon（Φ，dΦ）更强，并且为（Lebesgue）a.e.t.提供了a.s.逐点收敛∈ R+。现在，转化为概率设置的定理3.26提供了以下内容（E，dE），其中我们从定义3.21中回忆起，E是紧区间值路径overR+，以及该集合上的Hausdorff度量，通过方程3.54中的伪度量定义。在下面，我们允许进程∧X∈ E返回每个t的单态{∧Xt}∈ R+。推论4.47（Hausdor ff复合极限）。采用推论4.46，sothat Xna的假设。s----→n→∞Xon（Φ，dΦ），设∧={∧x}x∈R＋是C（R＋，R）中的任意进程。然后复合过程{∧o Xn：=λXn}n∈Nverify∧o Xna。s----→n→∞∧oXon（E，dE），其中（∧oX）t：{∧X:X∈ [文本-, Xt]}。（4.86）回想一下定理3.26的证明，这里的推论4.47依赖于定理3.26，而推论3.25不仅是图形Hausdorff收敛结果，而且是生成这些图形的特定参数表示的productconvergence结果。给出推论4.47的相应产品声明如下（（Xn）-1, Λ) → （E（X），λ）均匀分布在紧集上。虽然更强大，但这并不会导致对我们的模型的直接陈述，而是对它们的更高维度表示的直接陈述。

这些代表性在未来可能会有所帮助，但目前我们更倾向于优先考虑推论4.47.4这类路径波动性建模框架。现在，我们准备应用这些结果来了解RLH过程和Snin定义4.45的快速逆转限制。事实上，推论4.47中的∧X与序言中等式0.4中的NIG推广S之间的相似性应该已经很明显了。累计差异限制。现在，我们将定义为4.45的一系列过程的极限xonf表示为n→ ∞, i、 e.RLH快速回复限制。推论4.46将用于确定这些，因此，尽管每个过程都是不同的，但极限将表现出不连续性，如以下对IG Lévy过程的概括。回顾定义4.29中的Riemann-Liouville（RL）分数阶导数过程Wα。定义4.48（部分IG过程）。对于a，b>0和α∈ （0，），确定RL分数过程Wα：=Dα（W），与通常一样，过程X={Xt}t∈R+按退出时间XT：=infx>0:x- aWαx>bt. （4.87）这样的过程x将被称为α级分数IG过程，参数为a，b。通过定义δ：=a-1b和γ：=a-1，该分数IG过程与经典IG Lévy过程完全一致，参数δ，γ>0，如Applebaum（2009）所定义，当α=0时（因此当Wα是布朗运动时），其具有MGF eδ（γ-√γ-2u）tin通用，soE[epXt]=eba-2(1-√1.-2au）听我们的话。如前所述，可通过适当的曲线θ（t）代替方程4.87中的线性出口屏障bt进一步推广该过程。与经典IG过程一样，分数IG过程具有严格递增和无界的DCádlág路径，但在R+上仍然是有限的，Φ中的a.s也是有限的。这遵循引理2.4和定理4.17。

后一个结果实际上建立了MGF存在MX（p，t）=E[epXt]<∞ 对于所有（p，t）∈ R×R+，其中a.s.单位Xt<∞ 当然是这样。现在，将推论4.46应用于RLH模型，得到如下分数IG过程。推论4.49（分数IG限值）。设{Xn}n∈Nbe将RLH过程序列定义为定义4.45，并将定义4.48中的分数IG过程设为Xbe，因此xNT=naWαXnt+bt- Xnt公司+ c、 Xt=infx>0:x- aWαx>bt. （4.88）然后收敛dΦ（Xn，X）=kE（X）- （Xn）-1kR+a.s。--→ 0作为n发生→ ∞.4路径波动率建模框架证明。进程{Xn}n∈Neach求解随机IVPs x=nYnt，x，x=0，其中ynt，x：=aWαx+bt- x+n-1c，（4.89）且明显为Yna。s--→ R+as-n的云形上紧→ ∞, 式中，Yt，x：=aWαx+bt-x、 所有RLH领域{Yn}n∈此外，如推论4.32中MGF存在后所证实的，在G中也存在Nare。所以推论4.46的假设成立，因此我们得到了收敛Xna。s--→ Xon（Φ，dΦ），其中X∈ Φ由Xt定义：=inf{x>0:Yt，x<0}。由于Xcoincides的表达式与等式4.88中的表达式一致，因此证明是完整的。现在回想一下定理3.13，退出时间空间（Φ，dΦ）上的收敛性比Skorokhod的Mspace上的收敛性强，本质上是因为前者只考虑路径之间的时间距离，而不是时间和空间。反过来，就像推论3.14一样，我们得到a.s.（Lebesgue）a.e.逐点收敛。也就是说，一直以来T∈ R+，我们a.s.哈维莱特∈ [0，T]：Xntn→∞----→ Xti=T.（4.90）最后注意到，Vellaisamy&Kumar（2018）在非分数情况下分析了推论4.49中出现的极限退出时间过程E（X），α=0。使用关系Eo 引理3.11中提到的E=M，这可以用方程3.27中的最大泛函等效表示，如E（X）=b-1M（e- aWα），即e（X）X=b-1最大功率∈[0，x]{u-aWαu}。

逆{（Xn）-1} n个∈在推论4.49 a.s.中，发现此最大极限均匀分布在紧集上，这可以在路径基础上观察到，如图12所示。经典积分CIR极限。现在，我们澄清了推论4.49，将theRLH模型与分数IG过程联系起来，对于方程4.84中的theHeston模型中的经典CIR过程意味着什么。考虑到CIR和IG流程在滚动4.50中的流行，令人惊讶的是，即使是推论4.51的1d缩减也是新的，尽管自Tse&Wan（2013年）以来，CIR流程和IG分布之间的时间关联已经很长。因此，这些结果证明了我们基于路径ODE的框架能够教给我们关于已经被大量分析的随机过程的令人惊讶的新结果。推论4.50（逆高斯出口时间限制）。设{Vn}n∈Nbe方程式4.84中的一系列循环过程，并定义{Xn}n∈根据时间积分Xnt：=4，路径波动率建模框架RTVNSDS。在定义4.48中定义免疫球蛋白过程Xas，α=0，总之，dVnt=napVntdWt+n（b- Vnt）dt，Vn=c，Xt=infx>0:x- aWx>bt. （4.91）然后是弱收敛Xnn→∞=====> X放置在退出时间度量空间（Φ，dΦ）上。证据为避免符号冲突，用{Xn}n表示∈n进程{Xn}n∈当设置α=0时，NfromCorolution 4.49，因此我们得到▄Xna。s--→ Xon（Φ，dΦ）。如定理4.14所示，对于每n，我们就有等价的▄Xnd=Xnin分布∈ N、 （鉴于我们采用了定义4.45中的参数化，请注意参数关系，例如σ=na。）因此，从Xna开始。s--→ Xon（Φ，dΦ）我们得到Xnn→∞=====> Xas声称。（Φ，dΦ）上的收敛等价于弱收敛E（Xn）n→∞=====> 紧集上出口时间w.r.t.一致收敛的E（X）。

与推论4.49一样，Skorokhod的Mspace上的收敛也是一个结果，现在我们很自然也很有现实意义地问，我们是否也有有限维分布的收敛。这将被表示为Xnf。d--→ Xas n→ ∞, 这意味着弱收敛（Xnt，…，Xntd）n→∞=====> （Xt，…，Xtd）对于任何{tk}dk=1发生 尺寸d的R+∈ N、 如Billingsley（1999）第13章所示，即使在Skorokhod的更强Jspace上出现弱收敛，也不会出现这种情况，但如果所关注的过程具有随机连续性，即P[Xt-= Xt]=1，其中Xt-:= lims公司↑TXS和往常一样，在我们的设置中为X-:= 下一个结果显示Xnf。d--→ Xas n→ ∞ 在我们的设置中，假设Xis是随机连续的，就像任何Lévy过程一样。为了证明这一点，回想一下P[Xt-= Xt]=1还提供P[Xtk-= Xtk，k=1，d] =1对于任何定义{tk}dk=1 R+，可使用方程1.15中的基本操作进行证明。还可以从推论3.14中回忆一下，收敛νn→ νon（Φ，dΦ）还提供了逐点收敛Дn（t）→ Д（t）表示Д的任何连续点，其中isa。e、 至少。Skorokhod（1956）中也显示了同样的情况，以适用于此处定义的所有指标。推论4.51（逆高斯f.d.极限）。补充推论4.50，收敛Xnf。d--→ R+上的Xof有限维分布也作为n发生→ ∞.证据设{Xn}n∈Nbe作为推论4.50的证明，因此Xna。s--→ Xon（Φ，dΦ）和▄Xnd=xn，每个n∈ N、 回想一下，每一个都是可区分的，并且x是一个反向的，4是一个路径波动率建模框架高斯Lévy过程，因此是随机连续的。固定任意有限集{tk}dk=1 R+，因此我们有P[Xtk-= Xtk，k=1，d] =1。

由于（Φ，dΦ）上的收敛在（R，|·|）上的连续点上提供了收敛，因此从| Xna开始。s--→ Xon（Φ，dΦ）和thea。s、 连续性P[Xtk-= Xtk，k=1，d] =1我们得到（▄Xnt，▄Xntd）a.s。--→ （Xt，…，Xtd）on（Rd，|·|）。给定▄Xnd=Xn，这将提供（Xnt，…，Xntd）n→∞=====> （Xt，…，Xtd）。所以Xnf的claimof。d--→ Xis由定义确定，给定有限集{tk}dk=1 R+是任意的。当然可以验证推论4.51，因为集成的CIR和IG过程是有效的，所以有封闭形式的MGF表示。实际上，在1d情况下这样做与引理4.12中通过MGFs给出的证明相似。为此，让进程{Xn}n∈nbe推论4.50中的那些，对于2ap<1和t>0，定义MGFs MnX（p，t）：=E【epXnt】。然后，我们得到MnX（p，t）=eДn（t）+Дn（t）c，其中n∈ N和λ：=p1- 2ap>0我们发现~nn（t）：=bta-2银行日志cosh公司nλt+λsinhnλt, ^1n（t）：=2pn-11+λcothnλt. （4.92）根据重新定义的参数，这些表达式与方程式4.14中给出的表达式一致。从方程4.92中，我们可以看到νn（t）n→∞----→ ν（t）：=0，前提是λ>0，由2ap<1保证。使用引理4.12中给出的类似展开式，我们还发现cosh公司nλt+λsinhnλtn→∞----→ λt.（4.93）因此，我们完全可以找到νn（t）n→∞----→ ^1（t）：=ba-2(1-λ） t，以及由此产生的MGF极限MX（p，t）=eД（t）+Д（t）c=eba-2(1-λ） t=eba-2(1-√1.-2ap）是IG随机变量XTfromCorolution 4.51，定义4.48后明确。

这与1案例中的推论4.51相一致，在更高维度中这样做是可以通过归纳实现的，尽管相当繁琐。这与我们对推论4.51的证明形成了对比，推论4.51甚至可以如图12所示进行可视化。由于这一与经典积分CIR和IG过程相关的结果只是应用定理3.17时出现的限制之一，我们在结语中澄清了CIR过程参数化时可能出现的所有其他限制。其中包括列维过程，正如Applebaum（2009）所示，列维过程可以被视为IGLévy过程的一个特例，并且这两个列维过程也可以以随机起点出现。4路径波动率建模框架价格过程限制。在这一部分中，我们将对RLH价格过程进行与之前相同的分析，但定义为4.45。然后在下一部分中，我们将从方程4.84将其简化为经典Heston模型的结果，最终尽可能地加强理论0.1，从而回答序言中的问题。与定义4.48中的分数IG过程一样，我们首先确定了RLH价格过程的两个候选极限。这些概念概括了经典的NIG过程，参见。g、 Barndor Off-Nielsen&Shephard（2001a）、Cont&Tankov（2003）或Applebaum（2009）将在下一部分中阐明，当这些限制与经典Heston模型相关时。定义4.52（分数NIG cádlág过程）。让Xbe从定义4.48中得出分数IG过程，然后定义过程So= {Sot} t型∈R+如等式4.85所示。因此，完整，Xt：=infx>0:x- aWαx>bt, Sot： =经验值WρXt-Xt公司, （4.94）对于a，b>0，α∈ (0,), ρ ∈ [-1，1]，其中Wα：=Dα（W），Wρ：=ρW+p1- ρ正常。

So称为α级分数NIG cádlág过程，参数为a，b，ρ。给定exp（Wρx-x） 是R+和Xa上的连续过程，当x=0时，严格增加R+上的cádlágprocess，很明显So实际上是R+上的cádlág过程o= 1.注意，从Kumar&Vellaisamy（2012）到Wylomanska，Kumar，Poloczanski&Vellaisamy（2016）的研究路线中，研究了一种替代的“分数NIG”过程，考虑了统计物理中的几种应用。在另一种情况下，分数布朗运动是从属的，而我们的分数过程Wα隐藏在与波动性相关的从属变量X中。因此，我们的候选极限S的出现o从一系列鞅来看，仍然是合理的。我们现在定义了一个相关的区间值过程。定义4.53（分数NIG偏移过程）。设a，b，α，ρ，W，Wand Xbe为定义4.52，但定义了实际区间值过程So={Sot}t∈R+而不是使用ot:=nexpWρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]o.（4.95），则So将被称为α阶分数NIG漂移过程，参数为a，b，ρ。4通过exp（Wρx）的连续性，再次构建路径波动率建模框架-x） ，每个Sot，用于t∈ R+，定义了R的随机闭区间，而不仅仅是

就像任何cádlág进程的不连续性，如x和So, 这些偏移在给定路径上是a.s.可数的，所以不管随机连续性如何，我们a.s.都有sot={sot} 对于a.e.t∈ R+，再次表示Sot=S-t=S+t。这样一个区间值过程So，与一个特定的cádlág过程S相连o, 完美地融入了Whitt（2002）第15.4节的设置，产生于排队论。与非滚动4.47一样，我们将So视为定义3.21中E的随机元素。重新调用E只包含R+上的所有实紧区间值路径，即不只是So的那些与S的cádlág路径相连的路径o. 正是关于E上的偏移（Hausdorff）度量定义3.22所诱导的Borelσ-代数，我们可以将其视为一个博纳随机过程，即(Ohm, F、 P）至（E，E）。接下来的两个结果阐明了序列{Sn}n∈Nof RLH价格过程从定义4.45收敛到分数NIG过程So和So分别。这些结果分别构成推论3.20和推论4.47的直接应用。推论4.54（即分数NIG极限）。设{Sn}n∈Nbe定义4.45和S中的一系列RLH价格过程o定义4.52中的分数NIG cádlág过程。然后是a.s.，收敛Sntn→∞----→ SoT放置a.e.，即所有T∈ R+，我们a.s.哈维莱特∈ 【0，T】：Sntn→∞----→ Soti=T.（4.97）4路径波动率建模框架证明。给定Xna。s--→ 推论4.49中的Xon（Φ，dΦ）∧x：=exp（Wρx-x） a.s.在C（R+，R）中有路径，然后在路径基础上应用推论3.20 a.s.提供了LEBHT∈ [0，T]∧Xntn→∞----→ ∧Xti=T。

（4.98）但现在仅使用Sn、S的定义o而∧，我们看到这正是我们的主张。虽然这种限制结果对于某些应用是有效的，但以下内容对于理解路径依赖导数更丰富的限制行为是必要的。与推论4.47一样，我们让sn同时表示E中返回单态{Snt}的过程。推论4.55（Hausdor ff分数NIG极限）。设{Sn}n∈Nbe定义4.45中的一系列RLHprice过程，让我们o定义4.53中的分数NIG偏移过程。然后是收敛Sna。s--→ So发生在（E，dE）作为n→ ∞.证据与推论4.54一样，定义过程∧x：=exp（Wρx-x） 。然后给出收敛Xna。s--→ 推论4.49中的Xon（Φ，dΦ），推论4.47可用于获得∧oXna。s--→ ∧oXon（E，dE）。根据Snand S的定义，这是一项索赔。如推论4.47所述，此处的图形Hausdor ff结果实际上是适用于此类图形显式参数表示的更强乘积收敛结果的结果。在这里的设置中，我们有（（Xn）-1，λ）a.s。--→ （E（X），∧）均匀压缩。推论4.55中的简化Hausdor ff陈述优先考虑，因为它直接适用于RLH模型，而不是它的高维表示。经典赫斯顿极限。现在，我们可以在上述价格过程收敛结果中设置分数阶导数α=0，以建立方程4.84中经典Heston模型的极限。现在也很清楚，定义4.52和定义4.53中的分数NIG cádlág和偏移过程是如何推广经典NIG Lévy过程的。第一次回忆，例如，从Applebaum（2009）中，一个NIG Lévy进程N={Nt}t∈R+允许以下“方差-均值混合”表示形式，即IG Lévy从属函数X，Xt：=infx>0:x- aWx>bt, Nt：=αWXt+βXt+γt。

（4.99）如果α、β、γ∈ R不受限制，例如，我们可以在这里简单地设置^α=1。然而，为了与赫斯顿模型进行最清晰的比较，4路径波动率建模框架这些参数应该像下一个结果一样加以限制，这很简单，但决不是显而易见的。请注意，S的表示形式o引理中的4.56与方程0.3中的一致，与方程4.99不同，它只取决于三个参数a、b、ρ。引理4.56（分数NIG约化）。让我们o是定义4.52中的分数NIG过程，分数阶α=0。然后So是一个指数化的NIG过程。具体而言，Sot=经验值αWXt+βXt+γt, ^α：=p1- ρ,^β :=2ρ - a2a，γ：=-ρba。（4.100）证明。首先分离出过程Wρ：=ρW+p1- ρ赢得定义So:=exp（WρX-十） 。尽管与直觉相反，IG流程验证了以下内容-aWXt=bt，给定其定义Xt：=inf{x>0:x-aWx>bt}和W的连续性。因此我们可以将进程aWXtin S替换为o按Xt-bt，这样我们就得到了所声称的陈述。下一个结果提供了定理0.1的高维推广。当然可以使用MGFs来验证这一点，就像我们在推论4.51之后的1d案例中所做的那样。然而，对于适用于此处价格过程的1d案例，应咨询Mechkov（2015）。推论4.57（赫斯顿f.d.极限）。设{Sn}n∈Nbe Heston-price的序列从方程4.84开始，让我们o是定义4.52的过程，α=0（因此承认引理4.56中的指数化NIG表示）。然后是Snf。d--→ SoR+上为n→ ∞.证据设{Xn}n∈Nbe推论4.51证明的累积方差过程。--→ （Xt，…，Xtd）on（Rd，|·|），对于任何{tk}dk=1 R+和▄Xnd=xN∈N、 其中Xnt：=RTVSD是也来自推论4.51的经典Heston过程。

通过∧x将∧过程定义为：=exp（Wρx-x） 和▄Sn：=∧▄Xn，回顾▄Snd=snbytherm 4.14。然后通过∧的连续性，我们得到（▄Snt，▄Sntd）：=（∧▄Xnt，▄Xntd）a.s。--→（λXt，…，λXtd）=：（S）ot、 ，Sotd）开（Rd，|·|）。现在假定（▄Snt，▄Sntd）d=（Snt，…，Sntd）对于每n∈ N、 这提供了（Snt，…，Sntd）N→∞=====> （S）ot、 ，Sotd）开（Rd，|·|）。因为时间点{tk}dk=1 R+是任意的，这相当于索赔Snf。d--→ So超过R+。根据推论4.55，该最终结果准确描述了经典赫斯顿价格过程的区间值弱限。这一限制在定义3.21的集合E中有路径，这本身就非常令人惊讶。如定义4.53所述，4路径波动率建模框架回顾NIG漂移过程So此处A.S.返回单态{Sot} 对于a.e.t∈ R+，给定α=0，So允许引理4.56中的指数化NIG表示。推论4.58（Heston Hausdorff界限）。设{Sn}n∈Nbe等式4.84中的赫斯顿价格过程序列，以及定义4.53中α=0的过程序列，因此xt：=infx>0:x- aWx>bt, Sot：=nexpWρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]o.（4.101）然后是弱收敛Snn→∞=====> So发生在Hausdor ff度量空间（E，dE）上。证据在推论4.57中定义类似于SN的过程。然后根据推论4.55，收敛Sna。s--→ So发生在（E，dE）作为n→ ∞. 假设我们设定了α=0，那么定理4.14提供了▄Snd=Sn。因此，来自Sna。s--→ 在（E，dE）上，我们得到弱索赔Snn→∞=====> So。我们认为推论4.58尽可能加强定理0.1。

鉴于这是推论4.55的结果，这是推论4.47的结果，这是无概率定理3.26的结果，那么很明显，我们不仅显著地加强了定理0.1，而且还广泛地推广了它。因此，我们实现了从序言到加强和推广定理0.1的初步目标。最后回想一下，推论4.58最终依赖的定理3.26在图15中进行了可视化演示。以同样的方式，我们可以可视化缩放的Hestonvariance如何处理n-方程式4.84中的1Vn表现为n→ ∞ 使用图14。事实上，定理3.24可以扩展到概率设置中（就像定理3.26一样），以显示n-1vn在（E，dE）上有一个区间值限制，如Sn。此限制a.s.返回Singleton{0}a.e.，但仍有紧凑的向上偏移，如图14所示，即densein R+。鉴于过程VN不可直接交易，我们看不到这一令人惊讶的限制的任何实际后果，超出推论4.50和推论4.58.5的结论5结论这里不可避免地重复了本论文的成果，如摘要和第1章所总结。然而，现在进一步明确了这些成就是如何实现的、它们的价值以及可能的扩展。这一价值观建立在序言中所述的基础上，主要与个人激励经验和特定（尽管非常流行）模型有关。在此澄清之后，提出了一些未来的研究方向。从第2章中获得的新的ODEwell适定性结果的理论概括，到第4章中首次出现的数学金融中的区间值预测价格过程的实际含义。Heston-NIG关系。

当然，首要任务仍然是发展所需的数学理论，以描述经典Heston和NIG模型在Mechkov（2015）的“快速回归”极限中的关系，扩展在那里获得的固定时间分布结果，如定理0.1所示。正如序言中所述，描述必须足够丰富，以揭示其值在该极限范围内收敛的衍生工具类别，从而阐明这些模型对从业人员的适用性和价值。这种关系的程度现在可以通过COLLARY 4.57的有限维限制结果得到。这确实揭示了一大类价格趋同的衍生品，即仅通过固定时间点（有时称为百慕大期权）取决于基础价格过程的衍生品。但是，主要出于归纳的动机，第3章中针对这些限制采取的新的无概率和基于ODE的方法使得推论4.58的Hausdorff限制结果更强，信息更丰富。这一Hausdor-fff结果提供了Heston-NIG关系的完整描述，尽管令人惊讶的是，需要引入经典NIG过程的区间值推广。这一结果对于实际目的来说是理想的，因为它不仅明确了价格不会收敛于经典NIG限制的持续监控路径依赖衍生品的类别，而且还明确了这些价格将收敛于什么。5结论对于任何对随机过程极限定理感兴趣的人来说，无论是在金融领域还是其他领域，这一特殊结果都应该具有理论价值。在金融领域，这是第一个值间过程，就像Whitt（2002）新兴的排队论中定义和研究的过程一样。

在更一般的数学中，这是第一个已知的通过参数限制的连续过程自然产生的过程的例子。鉴于我们所讨论的不是利基连续过程，而是最简单和最流行的随机波动率模型之一，这一点更令人惊讶。赫斯顿（1993）有10000条引文证明了这一点，更重要的是，它在无数金融机构和商业图书馆（如Numerix）中的实施。在第4.6节的过程中，还发现，这些赫斯顿-尼日关系植根于综合CIR和IG过程之间更深层的联系。这种联系建立在第3章中介绍的新的退出时间度量空间上，它比斯科罗霍德的Mspace更强。它也更容易理解，因为它不依赖于参数表示上的函数，并且同胚于非递减连续路径上紧集上一致收敛的波兰拓扑。结语收集了其他Heston参数下CIR过程产生的其他几个Lévy过程限制，例如Heston（1993）和Fouque et al.（2011）的限制。最后值得澄清的是，这些限制关系有直接的多维概括。例如，以具有公共CIR方差过程的d维Heston模型为例，使用公共IG从属函数获得类似的d维exp-NIG Lévy极限。这将De Col等人（2013）流行的Heston FX建模框架与分析和计算要求较低的对应物和谐地联系在一起，随着维度的提高，其重要性越来越大。

事实上，这一NIG对应物属于Ballota、Deelstra&Rayée（2017）的易处理外汇框架，该框架是由Levy流程构建的，github提供了一个实现。com/ryanmccrickerd/frh外汇。更广泛的建模框架。所有这些经典的随机过程关系都源自第3章中ODE解的一般极限结果，最重要的是定理3.17和定理3.26。这些结果使第4.6节中的Heston-NIG关系得以部分概括，与第4.4.5节中的RLH模型相关。结论更一般而言，RLH模型是第4.1节中基于随机ODE的一般框架的范例，存在于第4.2节和第4.3节中定义的两个子框架中。通往推论4.35的路线汇集了这些章节中的几个结果。实际上，该结果证明RLH价格过程是所有参数组合的鞅，因此总是生成无套利衍生品价格。理论上，它证明了定理4.26更一般的鞅结果，它构成了时变和Novikov鞅条件对随机ODE解的一个新应用。反过来，必要的可集成性要求取决于定理4.17的一般MGF存在性结果，适用于一类具有替代高斯驱动的广义Heston模型。通过定义4.41中的配方和附带的定理4.42，我们展示了如何为衍生品定价目的模拟此类模型，并提供了显示与有前景的粗挥发性模型相关特性的挥发性表面。因此，尽管RLH模型主要是为了说明理论目的而定义的，但这一切都表明，与领先同行进行更深入的实证比较，如拜耳等人的比较。

（2016）和El Euch&Rosenbaum（2019）将值得一看。进一步向后看，第4章框架中的所有模型都超越了第2章中的适定性性质，也许最有价值的是定理2.17和定理2.18所获得的唯一性和连续依赖稳健性。这些集合结果是其他集合，不依赖于驱动函数的任何空间正则性属性，如H"older正则性，但仍然适用于最大解。因此，这些ODE的描述在整个空间上是不规则的，其结果是能够协调地适应粗糙的波动率模型，而无需进行额外的适定性分析。这与正在进行的理论研究路线形成了鲜明对比，该理论研究旨在在It^o型Volterra积分方程的框架内适应粗糙波动性，例如最近在Keller-Ressel et al.（2018）和Abi-Jaber et al.（2019）中进行了研究。实际上，这种稳健性意味着从业者不会发现（适当适度的）模型调整会导致违反直觉的后果，例如对衍生产品价格的影响。因此，他们可以安全地利用第3章中解决方案空间捕获的广泛类别的模型，从一开始就具有相对较低的进入壁垒，因为这5个结论严格来说不需要理解任何形式的随机微积分。请注意，在本论文中，It^o演算的介绍很少，只是为了阐明其他更为熟悉的框架的动机、联系和后果。当然，我们需要进行更多的研究，直到我们能够完全理解围绕随机ODE构建的框架是否能够在实践中占据中心地位，或者它的主要价值是否将来自于它可以教给我们的其他框架。

我们已经有了一个很有希望的开端，从第2章的无概率井然有序基础一直到第4章的特定模型，该模型本身就将大众分类模型与粗糙、不连续甚至新颖的偏移概括相协调。最后，提出了未来研究的三个方向，这也是本论文的研究方向。Carathéodory ODE扩展。关于子集F的讨论 定义1.1中的C（R，R）函数阐明了我们考虑这些函数的主要动机，因为它们来自赫斯顿波动率模型，因此具有（实际）建模应用的潜力。但是，在定理2.17的最大唯一性结果之前，我们还讨论了该集合F（理论上）与定理2.14中Wend的局部唯一性结果的关系。我们对Wend定理的表述实际上是一种简化的表述，只适用于经典的可微解，就像本论文的全部内容和大部分ODE理论一样。参考Agarwal和Lakshmikantham（1993）的定理2.6.1，Wend的唯一性定理实际上是在扩展设置中的，其中函数f不一定在C（R，R）中，但满足Carathéodory（1927）存在定理中较弱的“Carathéodory”条件。根据Coddington&Levinson（1955）或Agarwal&Lakshmikantham（1993）的第2.1节，Carathéodory条件要求每个f（·，x）仅可测量，每个f（t，·）连续，每个紧凑矩形x r存在一个Lebesgue可积函数m=mx，使得| f（t，x）|≤ m（t）每当（t，x）∈ 十、 对于任何（τ，ξ）∈ R、 Carathéodory定理则提供了在某些（τ）上ODEx=f（t，x）的“扩展”解的存在性-, τ + ) 其中φ（τ）=ξ。假设f（·，x）可能不是连续的，我们将这种扩展解定义为绝对连续的，其中φ（t）=f（t，ν（t））a.e。

只有5结论Wend定理在这种情况下仍然成立，这确保了在[τ，τ+), i、 e.如果f（·，x）不递减且f（t，x）>0，则及时向前。从理论上讲，很自然地会问，F中的函数是否也可以从F（·，x）连续放宽到仅可测量（其他假设相等），而不影响定理2.17的最大唯一性。在定义4.10中的广义赫斯顿框架中，我们的累积方差过程X验证了类型为xt=σZXt+κ（θ（t））的随机ODE- Xt）+v，（5.1）这将允许我们将θ的连续性放宽到例如仅右连续性。然而，这种放松并没有很好的动机。相反，将方程5.1中的连续过程Z放松为仅正确连续将允许我们利用非高斯Lévy过程来驱动我们的随机ODE x=Yt，xthus累积方差扩展解x。这将为Barndor Off-Nielsen&Shephard（2001b）的方法提供一种替代方法，Carr等人（2003）采用了该方法，该方法利用非高斯过程驱动的SDE来获得具有依赖（如反向）增量的累积方差过程。这些SDE中的Lévy过程Z必须具有正增量，以确保X具有正增量，但在方程5.1的随机ODE中，这似乎是可以放松的。这种对Carathéodory ODEs的扩展的主要目的不是扩大定义1.5中可能的累加方差路径集Φ，因为我们已经在定理3.18中展示了超集Φ中的任何路径 定义1.6中的Φ可以作为一个限制。相反，我们可以利用莱维过程的概率特性进行分析和模拟。

例如，如果在方程5.1中存在Z a Lévy过程，那么我们可以考虑用可选抽样理论来评估E[ZXt]，因此E[Xt]，这在定义4.31的RLH模型中是不可能的，其中Z=Wα是一个布朗分数导数。与f（·，x）是可测量的通常卡拉托气味条件相比，例如cádlág和f（t，·）连续，这激发了对ODE的考虑，取决于以下超集Fe F、 请注意，虽然Lévy过程的路径不一定是cádlág a.s.，但这些过程的随机连续性确保了“cádlág修改”，参见Applebaum（2009）中的引理1.4.8，这意味着我们基本上不会因为假设这一点而失去一般性。5结论定义5.1（函数集）。设集合包含函数f:R→ R，当eachf（·，x）严格递增且连续时，每个f（t，·）cádlág仅具有向上的不连续性，因此f（t，x）- f（t，x-) ≥ 所有（t，x）均为0，部分（τ，ξ）最终f（τ，ξ）>0∈ R、 需要注意的是，我们在定义5.1中并没有假设通常的焦耳气味条件，而是假设了新的焦耳气味条件，这些条件清楚地代表了空间和时间的倒转。像Barndorff-Nielsen&Shephard（2001b）一样，我们现在只假设向上的不连续性，因为很容易构造IVPs x=f（t，x），x（0）=0，否则没有最大扩展解，例如图21中的f（t，x）=t+z（x）类型。也就是说，如果我们不修改反向条件的扩展解的含义，就没有解决方案，例如。

到路径Д，使得退出时间E（Д）解出反向IVP x=1/f（x，t），x（0）=0 a.E.，或更实际地解出一条前向Euler多边形在紧致上均匀收敛的路径Д。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t0.00.51.01.52.0Д（t）0.0 0 0.5 1.5 2.0t0.00.51.01.52.0Д（t）图21：显示IVP x=f（t，x），x（0）=0的Carathéodory扩展溶液，其中f（t，x）=t+z（x），cádlág路径z在x=1.5时向下跳跃。如果该跳跃太大，尽管前向Euler多边形（红色）可能仍然存在a.e.DifferentiableUniform limit（a.e.DifferentiableUniform limit of forward Euler polygons，红色），但仅在[0，1]上方存在（右面板）。补充图21和Barndorff-Nielsen&Shephard（2001b），注意到cádlág路径向下跳跃的约束在其他地方特别出现，例如Lochowski等人（2018）定义的路径二次变化。但目前我们认为这是巧合。5结论关于非高斯Lévy驱动随机模型框架的第一个也是最重要的问题是与定理2.17相对应的：假设f∈ f（τ，ξ）>0对于IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ具有唯一最大扩展解的效率？这意味着什么。第1章中概述的路线，从方程1.1中的赫斯顿波动率模型到方程2.1中的ODE，用以下箭头DVT=σpVtdWt+κ（θ-Vt）dt，V=VД（t）=σ（woД）（t）+κ（θt-ν（t））+v.（5.2）此处的ODE可被视为SDE的路径对应物，对应关系为Д（t）=Vt（ω），前提是我们回忆起路径w∈ 不应将C（R，R）视为WB的一部分，而应将其视为方程式1.3或更高版本的定理4.14的时变版本。利用定理2.17，我们现在知道，当σ，κ，θ，v>0时，对于任何w∈ C（R，R）。

因此，即使w的H"older正则性远低于布朗运动的H"older正则性，IVP也具有唯一性，即a.s。-  对于每个 > 因此，很自然地会问，除了Yamada&Watanabe（1971）的结果之外，是否可以利用定理2.17来确定某些SDE的路径唯一性，对于这一结果，方程式5.2中的CIR SDE是众所周知的边界情况。这个问题仍然没有答案，即使是对CIR SDE的简单推广，sayto dVt=σ| Vt |αdWt+θdt，对于某些α，V=V∈ (0,). 在这种情况下有一个部分答案，因为当θ=0时，这是“Girsanov的SDE”，对于该SDE，α的路径唯一性失败∈ （0，），参见Cherny&Engelbert（2005）中的示例1.22。但不应低估漂移θdt的加入，事实上，这是导致方程5.2的常微分方程中严格增加分量θt的原因，这在定理2.17的证明中很重要。流行的文本onSDEs显示出对这种简单漂移的一些忽视，因为更复杂的漂移往往可以通过改变度量来消除，例如Rogers&Williams（2000）中的定理5.27.1。现在的问题是，我们的新ODE唯一性结果使这场辩论变得有些毫无意义，我们用一个实际的例子来说明原因。假设我们考虑更换Vton。h、 s.在方程式5.2中，对于某些α，Vt | 2α∈ （0，），这对于发现赫斯顿模型表现不理想的从业者来说是一个自然的考虑，与他们的5个结论短期观察相比。对于某些σ、κ、θ、v>0的情况，考虑的SDE为：因此，dVT=σ| Vt |αdWt+κ（θ- |Vt | 2α）dt，V=V.（5.3）Skorokhod的经典结果保证了该SDE的弱解，请参见Skorokhod（1965）或Cherny&Engelbert（2005）中的命题1.13，我们在此遵循其术语。但这种SDE不必有唯一的弱解，更不用说唯一的强解，即不必表现出路径唯一性。

参见Cherny&Engelbert（2005）中的图1.1，以简洁地提示SDE的这些属性是如何相关的。该SDE的Soprobabilistic分析值得怀疑，波动率不明确的适用性可能不是非负的，模拟方案的收敛性也无法保证。然而，给定一个弱解（V，W），我们发现，就像方程1.3一样，V veriesvt=σBRt | Vs | 2αds+κθt-Zt | Vs | 2αds+ v、 （5.4）现在让f（t，x）：=σw（x）+κ（θt-x） +v是方程5.2中隐含的通常赫斯顿函数，并考虑IVP x=fα（t，x），x（0）=0和fα∈ F由Fα定义：=sgn（F）| F | 2α。这个IVP是问题1.2的一个例子，因此根据定理2.17，有一个唯一的最大解να，它是严格递增的。与方程5.2中的解相比，现在的Дα验证了Дα（t）=fα（t，Дα（t））=| f（t，Дα（t））| 2α=|σ（wo Дα）（t）+κ（θt- Дα（t））+v | 2α（5.5），其中我们忽略了fα的sgn（f）分量，因为我们知道Дα（t）≥ 0、将|·| 1/2α应用于每侧，我们可以看到Vt（ω）：=|Дα（t）| 1/2α验证等式5.4中的随机ODE，在识别w（x）：=Bx（ω）的基础上。因此，我们构建了方程5.4的解，SDE的任何弱解都必须使用我们的框架进行验证，在该框架中，所有随机ODE都有一个适用于波动率建模的唯一强解。重要的是，我们没有实际声称方程5.4中的随机ODE是路径唯一的，因为通过将sgn（f）分量添加到fα中，我们可以方便地在我们的框架中求解不同的（路径唯一的）随机ODE，其唯一解也解方程5.4，并且保证非负。我们没有必要使用sgn；我们只需要确保fα（·，x）严格增加，所以fα∈ F、 函数|·|α可以被从和到R+的任何%双射替换。

那么方程5.3的对应项isdVt=σ%（Vt）dWt+κ（θ- %（Vt））dt，V=V，（5.6）5结论，路径解为（%）-1.oφα. 类似地，曲线θt=Rtθds可以推广到任何严格递增的θ（t），现在很明显，以这种方式研究方程5.6可以为源自Dupire（1994）的局部（波动性）波动性模型提供一个迷人的实用视角。实际上，这些函数θ和%可以像在这些模型中一样进行校准。或者，我们可以仅将例如fix%=e，等效地设置α=1，以获得Hagan、Kumar、Lesniewski&Woodward（2002）的流行SABR模型的复归扩展。我们将SDE映射到一个随机ODE上的方法，该ODE总是有一个唯一的强解（回想Cherny&Engelbert（2005）中的图1.1，这是“最好的可能假设”），这种方法可能与交替时间变化和操纵SDE的“Doss-Sussman”方法有关，Ikeda和Watanabe（1992）都涵盖了这两种方法，后者源自Doss（1977）和Sussmann（1978）。重要的区别在于，这些替代方法适用于ODE或相关积分方程，参见示例2.1或Ikeda&Watanabe（1992）中的定理4.3及其推论，但除非SDE已知，否则不会影响这些方法是否具有唯一解。因此，尽管人们从理论上获得了SDE和ODE解之间有趣的关系，但很少有人能在实践中帮助其他人，如果我们希望放松方程5.4的驱动过程，使其不再是布朗运动，那么肯定什么也做不到。这与我们对随机常微分方程（如方程5.4）的一般处理以及对局部波动率模型的广泛应用形成了对比，因为在整个论文中，我们对常微分方程进行了优先排序，并回答了它们的适定性问题，而不依赖于概率，更不用说随机微分方程了。模型的实证检验。

最后，我们提出了与衍生品定价相关的具体实验，这将有助于从定义4.25的鞅框架测试模型。我们根据定义4.31中的RLH模型和扩展提出了这些模型，但当然可以在这个鞅框架中自由考虑任何其他模型。回想一下这个模型，其中价格过程S及其累积方差X=[对数S]唯一验证Xt=σWαXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt）。（5.7）在第4.5节中，说明了该赫斯顿扩展产生的隐含波动率，图18、图19和图20的组合提供了令人信服的经验证据5结论，即该新模型与领先的（粗略的）波动率模型具有重要特征，即其短期倾斜和曲率。具体而言，图20与El Euch et al.（2019）中的结果进行了比较，该结果源自备选的粗糙Heston扩展。因此，我们已经证明，RLH模型的隐含波动率非常灵活，可以证明对该模型协调市场数据能力的独立研究是合理的，而这在这里只有时间和空间禁止。虽然通过McCrickerd&Pakkanen（2018）的方差缩减方法（在合理的时间内）可以通过模拟进行蛮力校准，但鉴于Horvath等人（2021）的有希望的发现，我们还建议探索用于校准的神经网络技术，利用我们的模拟方案生成用于训练的数据。假设RLH模型或定义4.25框架中的替代模型表现良好，足以让金融机构在生产中考虑该模型，以分析价格过程的差异，我们建议随后测试该模型联合调整标准普尔500指数和波动率指数衍生品价格的能力。

众所周知，这是一个困难的挑战，Guyon（2020）最近才在离散时间内解决了这一问题，Gatheral等人（2020）后来提出了第一个具有连续样本路径的令人满意的模型；二次粗糙赫斯顿模型。当然，如果需要，可以考虑类似的二次RLH模型。与Gatheral等人（2020）的二次模型类似，我们可以使用方程szt=σWαZt+κ（θ（t））- Zt）+v，Xt=a（Zt- b） +c，St=exp（WρXt-Xt）（5.8），其中a、b、c>0。然而，在我们的鞅框架中，这不是一个模型；请注意，X与WZ而非WX生成的过滤相适应。在我们的框架中，替换隐式RLH随机场Yt更为自然，x=σWαx+κ（θ（t）-x） +v不等式5.7，带有一个二次变量，如sgn（Y）Y。这一想法显然与函数fα的使用有关：=sgn（f）| f |α，用于求解方程5.4，不同之处在于，在此我们不会通过使用Vt（ω）：=|Дα（t）| 1/2α来反转二次变换。Gatheral et al.（2020）的作者在处理这一联合校准难题时反复强调了祖姆巴赫效应的重要性，因此这种效应也可以直接针对theRLH模型及其二次变量进行测试，就像El Euch et al.（2020）针对拉夫赫斯顿模型所做的那样。我们可以对此持乐观态度，因为非平凡的Zumbach效应影响了从显示时间反转不对称的模型得出的结论，我们的框架确实显示了这一点，图11所示的简单路径违反唯一性最为明确。迄今为止提出的实验有一个共同的主题；以领先的波动率模型为例，例如来自It^o或Volterra SDEs的传统框架，该模型展示了理想的特征，并表明在我们基于随机ODE的框架中至少存在一个特定的模型，该模型与It竞争激烈。

但当然，除了可能简化和统一更为熟悉的框架的特征外，任何新理论的一个至关重要的特性是它能够做出至少一个原始的和实验验证的预测。为此，显而易见的出发点是测试新的漂移过程的影响，这些漂移过程在我们的框架中已成为模型的快速反转限制，我们可以再次使用观察到的衍生产品价格来做到这一点。回想一下分数NIG cádlág和激励过程o和So根据定义4.52和定义4.53，与RLHmodel相关，为简单起见，设置分数导数α=0，因此Wα：=Dα（W）=W。然后通过引理4.56 So是激励结果定理0.1中的标准exp-NIG Lévy过程极限，So是区间值推广Sot=：[S-t、 S+t]3秒otfromEquation 4.95，其推论为4.58，是经典Heston过程的弱极限。当然，定义金融衍生工具的法律合同不考虑价格过程，即在很短的时间段内返回价格区间，就像So一样。但这是一个没有实际意义的观点，因为决定价格的交易者应该担心在短于其交易活动之间持续时间的时间内发生的任何波动。因此，根据It^o的短途旅行理论，最近对财务短途旅行风险的研究，如Ananova、Cont&Xu（2020），最近在Watanabe（2010）进行了审查。现在，为了测试交易员衍生品价格的这种“漂移”效应，我们可以首先根据价格过程进行校准o和So至欧洲选项。理论上，两个模型的校准参数将是等效的，因为随机连续性确保了单态oT={SoT} 如定义4.53所述，在任何固定到期日T>0时，是否返回a.s。

接下来，我们可以测试哪个过程能够更好地预测路径依赖型衍生产品的价格，例如，具有相同到期日的障碍期权的价格。更具体地说，我们可以先计算5个结论，然后对实验过程进行调整o普通认沽期权价格，每种解释为E[（K-SoT） +]对于到期日T和行权K，然后确定哪一组相关的看跌期权价格（K）- 输入∈[0，T]Sot）+≤ E（K）- 输入∈[0，T]inf SoT）+= E（K）- 输入∈[0，T]S-t）+（5.9）更好地协调观察结果。对于这里的排序，我们只使用inf Sot=S-t型≤ Sot、 令人惊讶的是，观察到的障碍期权价格接近上限不等式5.9。由于该价格是我们新的偏移过程预测的价格，该发现可以解释为确认衍生产品价格中的偏移风险溢价，但更重要的是，将验证这些新的偏移过程，以建模该风险。结语结语：综合循环关系在第4.6节中，第3.4节和第3.5节的限制结果应用于定义4.31中的LH模型，建立了与定义4.48、定义4.52和定义4.53中的广义（分数）IG和NIG过程的a.s.限制联系。经典的CIR、Heston、IG和NIG弱极限定理随后成为结果。如第4.6节所述，此处确定的限值取决于在定义4.45中的特定“快速回归”参数化中表达RLH模型的选择，灵感来自Mechkov（2015）的经典Heston参数化，总结于方程式4.84。我们用这篇结语同时描述了Lévy过程的所有（八）个极限，这些极限来自于更一般的快速回复CIR过程，尤其证明了定理3.17的威力。例如，这些参数适用于Heston（1993）和Fouque等人（2011）的参数。

赫斯顿价格过程限制与推论4.57和推论4.58与推论4.49完全相同，因此不再重复。特别令人惊讶的是，这里出现的Lévy限制具有随机起点。定理3.18容纳了这种可能性，这使得它们的构造成为可能。通过涵盖这些，我们不仅提供了波动率的经典连续模型和跳跃模型之间的协调，还提供了随机模型，如Mechkov（2016）、Jacquier&Shi（2019）。考虑Heston（1993）经典Heston模型中的标准CIR方差过程，dVt=σpVtdWt+κ（θ- Vt）dt，V=V.（5.10）通过大幅过参数化此SDE，我们将通过定理3.17同时从中获得各种极限。因此，让族{Vn}n>0的过程求解CIR SDEsdVnt=nαapVntdWt+n（b- nβ-1Vnt）dt，Vn=nγc，（5.11）对于固定a、b、c>0和α、β、γ∈ (-∞, 1]. 通过限制指数α、β、γ≤ 1，we确保等式5.11中的反向分量nb永远不以n为主→ ∞,α，β，γ的任何特殊情况∈ (-∞, 1] 可被视为“快速逆转”制度。然后，在设定（n、a、b、c）时恢复以下经典状态：=（κ、σ、θ、v）尾声（α、β、γ）：=（0，1，0）赫斯顿（1993），（，1，0）福克等人（2011），（1，1，0）梅奇科夫（2015）。（5.12）我们现在准备时间积分过程的极限Xnt：=从等式5.11中的CIR SDE导出的RTVNSD。如第3.3节所述，让Φ D（R+，R+）包含严格递增和无界的cádlág路径，DΦ是退出时间度量，满足DΦ（Д，Д）=kE（Д）- E（Д）kR+。